题库:圆的证明与计算题
1.如图，AB是⊙O的直径，点D是A E上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE 交于点F.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若P A＝AO，DE＝2，求PD的长．
第1题图
(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＋∠EBA＝90°，
∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE，
∴∠EAB＝∠CBE，
∴∠ABE＋∠CBE＝90°，
∴CB⊥AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
(2)解：∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD＝∠DBE，
如解图，连接DO，
第1题解图∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠EBD＝∠OBD，
∴∠EBD＝∠ODB，
∴OD∥BE，
∴PD
PE
＝PO
PB
，
∵P A＝AO，
∴P A＝AO＝OB，
∴PO
PB
＝2
3
，
∴PD
PE
＝2
3
，
∴
PD
PD＋DE
＝2
3
，
∵DE＝2，
∴PD＝4.
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若AE＝4，cos A＝2
5
，求DF的长．
第2题图
（1）证明：如解图，连接OD，
第2题解图∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
又∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠ODF＝∠DFC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
G
∴DF 是⊙O 的切线；
(2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ，
∴AG ＝12AE ＝2.
∵cos A ＝AG OA ＝2OA ＝25，
∴OA ＝5，
∴OG ＝OA 2－AG 2＝21，
∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°，
∴四边形OGFD 为矩形，
∴DF ＝OG ＝21.
3如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，AM ⊥BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD .
(1)求证：AD ＝AN ；
(2)若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径．
第3题图
(1)证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角，
∴∠BAD ＝∠BCD ，
∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ，
∴∠AEN ＝∠AMC ＝90°，
∵∠ANE ＝∠CNM ，
∴∠BAM ＝∠BCD ，
∴∠BAM ＝∠BAD ，
在△ANE 与△ADE 中，
?????∠BAM ＝∠BAD AE ＝AE
∠AEN ＝∠AED
， ∴△ANE ≌△ADE (ASA)，
∴AN ＝AD ；
(2)解：∵AB ＝42，AE ⊥CD ,
∴AE ＝12AB ＝22，
又∵ON ＝1，
∴设NE ＝x ，则OE ＝x －1，NE ＝ED ＝x ，OD ＝OE ＋ED ＝2x －1，
如解图，连接AO ，则AO ＝OD ＝2x －1，
第3题解图 ∵△AOE 是直角三角形，AE ＝22，OE ＝x －1，AO ＝2x －1，
∴(22)2＋(x－1)2＝(2x－1)2，
解得x1＝2，x2＝－4
3(舍)，
∴AO＝2x－1＝3，
即⊙O的半径为3.
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.
(1)求证：∠1＝∠F；
(2)若sin B＝
5
5
，EF＝25，求CD的长．
第4题图
（1）证明：如解图，连接DE.
第4题解图
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°.
∵E是AB的中点，
∴DA＝DB，
∴∠1＝∠B.
∵∠B＝∠F，
∴∠1＝∠F；
(2)解：∵∠1＝∠F，
∴AE＝EF＝25，
∴AB＝2AE＝4 5.
在Rt△ABC中，AC＝AB·sin B＝4，
∴BC＝AB2－AC2＝8.
设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，
即42＋x2＝(8－x)2，
解得x＝3，
∴CD＝3.
5.如图，直线DP和⊙O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE 的垂线，交AE于点F，交⊙O于点B，作ABCD，连接BE，DO，CO.
(1)求证：DA=DC；
(2)求∠P及∠AEB的度数.
第5题图
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，
∵CB ⊥AE ，
∴AD ⊥AE ，
∴∠DAO ＝90°，
又∵直线DP 和⊙O 相切于点C ， ∴DC ⊥OC ，
∴∠DCO ＝90°，
∴在Rt △DAO 和Rt △DCO 中，
???DO ＝DO AO ＝CO
， ∴Rt △DAO ≌Rt △DCO (HL)，
∴DA ＝DC ；
(2)解：∵CB ⊥AE ，AE 是⊙O 的直径，
∴CF ＝FB ＝12BC ，
又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，
∴CF ＝12AD ，
又∵CF ∥DA ，
∴△PCF ∽△PDA ，
∴PC PD ＝CF AD ＝12，即PC ＝12PD ，DC ＝12PD .