第二章 插值法
1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解：
0120121200102021101201220211,1,2,
()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2
()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)
()()
3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------=
=-+--
则二次拉格朗日插值多项式为
2
20
()()k k k L x y l x ==
∑
022
3()4()
14(1)(2)(1)(1)2
3
5376
2
3
l x l x x x x x x x =-+=-
--+
-+=+
-
2．给出()ln f x x =的数值表
用线性插值及二次插值计算ln 0.54的近似值。 解：由表格知，
01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144
x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-
若采用线性插值法计算ln 0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<
21121221
11122()10(0.6)()10(0.5)
()()()()()
x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----=
=---=+
6.93147(
0.6)
5.10826
(x x =--- 1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-
若采用二次插值法计算ln 0.54时，
1200102021101201220212001122()()()50(0.5)(0.6)()()()()()100(0.4)(0.6)()()()()()50(0.4)(0.5)
()()
()()()()()()()
x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------=
=----=++
500.916291(
0.5)(
0.6)
69.3147(
0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5
x x x x x x =-?--+---?--2(0.54)0.615319840.615320
L ∴=-
≈- 3．给全cos ,090x x ≤≤ 的函数表，步长1(1/60),h '== 若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。
解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 当090x ≤≤
时， 令()cos f x x = 取0110,(
)6060
180
10800
x h π
π
===
?
=
令0,0,1,...,5400i x x ih i =+= 则5400902x π
=
=
当[]1,k k x x x -∈时，线性插值多项式为
1111
1()()
()
k k k k k k k k
x x x x L x f x f x x x x x ++++--=+--
插值余项为
111()cos ()()()()2
k k R x x L x f x x x x ξ+''=-=
--
又 在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且[]cos 0,1x ∈，故计算中有误差传播过程。
*
5
*
*
11211
1*
111
1*
1*1(())10
2
()(())
(())
(())()1(())()
(())
k k k k k k k k k
k k k k k k k
k k k k f x x x x x R x f x f x x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x h
f x εεεεεε-++++++++++∴=
?--=+----≤+
--=-+-=
∴总误差界为 12*
1*
12
*
85
5
()()1(cos )()()(())21()()(())211()(())
2
2
11.061010
2
0.5010610
k k k k k k k R R x R x x x x x f x x x x x f x h f x ξεεε++---=+=---+≤?--+≤?+=?+
?=?
4．设为互异节点，求证：
（1）0()n
k k
j j j x l x x =≡∑ (0,1,,)
k n = （2）0
()()0n
k
j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,)
k n = 证明
（1） 令()k
f x x =
若插值节点为,0,1,,j x j n = ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0
()()n
k n j
j j L x x
l x ==
∑。
插值余项为(1)
1()
()()()()(1)!
n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+
又,k n ≤
(1)
()0
()0
n n f
R x ξ+∴=∴=
0()n
k
k
j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,)
k n = 000
(2)()()
(()
)()()
(())
n
k
j j j n
n
j
i k i
k
j j j i n
n
i k i
i
k
j j i j x x l x C
x x l x C
x x l x =-==-==-=
-=
-∑∑∑∑∑
0i n ≤≤ 又 由上题结论可知
()n
k i
j j
j x
l x x ==∑
()
()0n
i k i
i
k
i k
C
x x
x x -=∴=-=-=∑原式
∴得证。
5设[]2
(),f x C
a b ∈且
()()0,f a f b ==求证：
2
1m ax ()()m ax ().8
a x b
a x b
f x b a f x ≤≤≤≤''≤
-
解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为
10101010
()()
()
x x x x L x f x f x x x x x --=+--
=()()
x b x a f a f b a b
x a
--=+--
1()()0()0
f a f b L x ==∴= 又
插值余项为1011()()()()()()2
R x f x L x f x x x x x ''=-=
--
011()()()()2
f x f x x x x x ''∴=
--
[]012
012
102()()1()()21()41()
4
x x x x x x x x x x b a --??≤-+-????=-=- 又
∴2
1m ax ()()m ax ().8
a x b
a x b
f x b a f x ≤≤≤≤''≤
-
6．在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？
解：若插值节点为1,i i x x -和1i x +，则分段二次插值多项式的插值余项为
2111()()()()()3!
i i i R x f x x x x x x ξ-+'''=
--- 21144
1()()()()m ax ()6
i i i x R x x x x x x x f x -+-≤≤'''∴≤
---
设步长为h ，即11,i i i i x x h x x h -+=-=+
4
3
43
212().6
27
R x e e h ∴≤
=
若截断误差不超过6
10-，则
6
24
3
6
()1010
27
0.0065.
R x h h --≤∴
≤∴≤
7．若44
2,.n n n n y y y δ=?求及，
解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
2n
n y =
44
(1)n n y E y ?=-
4
404404
404
4(1)4(1)4(1)2(21)2
j j n j j n j j j
j
n
j n n n
E y j y j y j y y -=+-=-=??=
- ???
??=
- ???
??=-? ???=-==∑∑∑ 1
14
4
22
()n n y E E
y δ-
=-
14
4
2
2
4
22
()(1)2
n
n
n n E
E y E y y ----=-=?==
8．如果()f x 是m 次多项式，记()()()f x f x h f x ?=+-，证明()f x 的k 阶差分
()(0)k f x k m ?≤≤是m k -次多项式，并且1
()0m f x +?=（l 为正整数）
。 解：函数()f x 的Taylor 展式为
2
()
(1)
1
111()()()()()()2
!
(1)!
m m
m m f x h f x f x h f x h f
x h f
h
m m ξ++'''+=++++
+
+
其中(,)x x h ξ∈+
又()f x 是次数为m 的多项式
(1)
()0
()()()
m f
f x f x h f x ξ+∴=∴?=+-
2
()11()()()2
!
m
m
f x h f x h f
x h m '''=+
++
()f x ∴?为1m -阶多项式 2
()(())f x f x ?=??
2
()f x ∴?为2m -阶多项式
依此过程递推，得()k f x ?是m k -次多项式
()m
f x ∴?是常数
∴当l 为正整数时， 1
()0m f x +?
=
9．证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+? 证明
11()k k k k k k f g f g f g ++?=-
111111111()()k k k k k k k k
k k k k k k k k k k k k k k
f g f g f g f g g f f f g g g f f g f g g f +++++++++=-+-=-+-=?+?=?+?
∴得证
10．证明1
1
0010
n n k k n n k k k k f g f g f g g f --+==?=--?∑∑
证明：由上题结论可知
1()k k k k k k f g f g g f +?=?-?
1
01
101
1
1
(())()n k k
k n k
k k k k n n k
k k k
k k f g f
g g f f
g g
f -=-+=--+==∴?=?-?=
?-
?∑∑∑∑
111
110022111100
()()
()()()k k k k k k
n k k k n n n n n n f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g ++-=--?=-∴?=-+-++-=-∑
1
1
0010
n n k k n n k k k k f g f g f g g f --+==∴?=--?∑∑
得证。
11．证明1
2
00
n j n j y y y -=?=?-?∑
证明11
2
1
()n n j j j j j y y
y --+==?=
?-?∑∑
10211
()()()
n n n y y y y y y y y -
=?-?+?-?++?-?=?-?
得证。
12．若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++ 有n 个不同实根12,,,n x x x ，
证明：11
00,02;
(),1k
n
j
j j k n x f x n k n -=≤≤-?=?'=-?∑
证明： ()f x 有个不同实根12,,,n x x x 且1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++
12()()()()n n f x a x x x x x x ∴=---
令12()()()()n n x x x x x x x ω=---
则1
1
()
()k
k
n
n
j
j
j j j n
n
j
x x f x a x
ω===
''∑
∑
而2313()()()()()()()n
n n x x x x x x x x x x x x x ω'=---+--- 12
1()()()
n x x x x x x -++--- 1211()()()()()()n
j j j j j j j j n x x x x x x x x x x x ω-+'∴=----- 令(),k
g x x =
[]121
,,,()
k
n
j
n j n j
x g x x x x
ω==
'∑
则[]121
,,,()k
n
j
n j n
j
x g x x x x
ω==
'∑
又[]1211,,,()k
n
j
n j j n
x g x x x f x a =∴=
'∑
11
00,02;
(),1
k
n
j
j j k n x f x n k n -=≤≤-?∴=?'=-?∑
∴得证。
13．证明n 阶均差有下列性质：
（1）若()()F x cf x =，则[][]0101,,,,,,;n n F x x x cf x x x =
（2）若()()()F x f x g x =+，则[][][]010101,,,,,,,,,.n n n F x x x f x x x g x x x =+ 证明：
（1）[]120
011()
,,,()()()()
j
n
n j j
j j j j j n f x f x x x x
x x x x x x x =-+=
----∑
[]120011()
,,,()()()()
j
n
n j j
j j j j j n F x F x x x x
x x x x x x x =-+=
----∑
011
()
()()()()j
n
j j
j j j j j n cf x x
x x x x x x x =-+=
----∑
011
()
()()()()()j
n
j j j j j j j n f x c x x x x x x x x =-+=----∑
[]01,,,n cf x x x =
∴得证。
(2)()()()F x f x g x =+
[]00011()
,,()()()()
j
n
n j j
j j j j j n F x F x x x
x x x x x x x =-+∴=
----∑
0011()(
)
()()()()
j
j
n
j j
j j j
j j n
f x
g x x
x x x x x x x =-++=
----∑
0011
()
)()()()()j
n
j j
j j j j j n f x x
x x x x x x x =-+=
----∑
+0
011()
)()()()()
j
n
j j j j j j j n g x x x x x x x x x =-+----∑
[][]00,,,,n n f x x g x x =+
∴得证。
14．74()31,f x x x x =+++求0172,2,,2F ???? 及018
2,2,,2F ???? 。
解： 74
()31f x x x x =+++
若2,0,1,,8i
i x i ==
则[]()
01()
,,,!n n f
f x x x n ξ=
[](7)
017()
7!,,,17!
7!
f
f x x x ξ∴=
=
=
[](8)
018()
,,,08!
f f x x x ξ=
=
15．证明两点三次埃尔米特插值余项是 (4)
2
2
31
1
()()()()/4!,
(,)
k
k k
k R x f
x
x x
x
x x ξξ++=--∈ 解：
若1[,]k k x x x +∈，且插值多项式满足条件
33
()(),()()k k k k H x f x H x f x ''== 3113
11()(),()()k k k k H x f x H x f x ++++''== 插值余项为3()()()R x f x H x =- 由插值条件可知1()()0k k R x R x +== 且1()()0k k R x R x +''==
()R x ∴可写成2
2
1()()()()k k R x g x x x x x +=--
其中()g x 是关于x 的待定函数，
现把x 看成1[,]k k x x +上的一个固定点，作函数 2
2
31()()()()()()k k t f t H t g x t x t x ?+=----
根据余项性质，有 1()0,()0k k x x ??+==
22
313()()()()()()()()()0
k k x f x H x g x x x x x f x H x R x ?+=----=--=
22
3
11()()()()[2()()2()()]k k k k t f t H t g x t x t x t x t x ?++'''=----+-- ()0k x ?'∴=
1()0k x ?+'=
由罗尔定理可知，存在(,)k x x ξ∈和1(,)k x x ξ+∈，使 12()0,()0?ξ?ξ''==
即()x ?'在1[,]k k x x +上有四个互异零点。
根据罗尔定理，()t ?''在()t ?'的两个零点间至少有一个零点， 故()t ?''在1(,)k k x x +内至少有三个互异零点， 依此类推，(4)()t ?在1(,)k k x x +内至少有一个零点。 记为1(,)k k x x ξ+∈使 (4)
(4)
(4)
3
()()()4!()0f
H g x ?
ξξξ=--=
又(4)
3()0H t =
(4)
1()
(),(,)4!
k k f
g x x x ξξ+∴=
∈
其中ξ依赖于x
(4)
22
1()
()()()4!
k k f
R x x x x x ξ+∴=
--
分段三次埃尔米特插值时，若节点为(0,1,,)k x k n = ，设步长为h ，即
0,0,1,,k x x kh k n =+= 在小区间1[,]k k x x +上
(4)
22
1(4)
2
2
1()
()()()
4!1()()()()
4!
k k k k f
R x x x x x R x f
x x x x ξξ++=
--∴=
--
22(4)
12
2
(4)
14(4)
4
4
(4)
1()()m a x
()
4!1[()]m ax ()
4!211m ax ()
4!2
m ax ()
384
k k a x b k k a x b
a x
b a x b
x x x x f x x x x x
f
x h f
x h
f
x +≤≤+≤≤≤≤≤≤≤---+-≤
=?
=
16．求一个次数不高于4次的多项式P （x ），使它满足
(0)(0)0,(1)(1)0,(2)0P P P P P ''=====
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式 0101010,10,10,1
x x y y m m ====== 1
1
30
2
01001
01
2
()()()()(12
)(
)
(12)(1)
j j j
j j j H x y x m
x x x x x x x x x x x x αβα===
+--=---=+-∑
∑
2
10110
10
2
()(12)(
)
(32)x x x x x x x x x x x
α--=---=-
2
02
1()(1)()(1)x x x x x x
ββ=-=-
2
2
3
2
3()(32)(1)2H x x x x x x x ∴=-+-=-+
设22
301()()()()P x H x A x x x x =+--
其中，A 为待定常数
3
2
2
2
(2)1
()2(1)P P x x x Ax x =∴=-++-
14
A ∴=
从而2
2
1()(3)4
P x x x =
-
17．设2
()/(1)f x x
=+，在55x -≤≤上取10n =，按等距节点求分段线性插值函数()h I x ，
计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 值，并估计误差。 解：
若0105,5x x =-= 则步长1,h =
0,0,1,,10i x x ih i =+= 2
1()1f x x
=
+
在小区间1[,]i i x x +上，分段线性插值函数为
111
1()()()i i h i i i i i i
x x x x I x f x f x x x x x ++++--=
+
--
12
2
1
11()
()
11i i i
i x x x x x x ++=-+-++
各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值为 当 4.5x =±时，()0.0471,()0.0486h f x I x == 当 3.5x =±时，()0.0755,()0.0794h f x I x == 当 2.5x =±时，()0.1379,()0.1500h f x I x == 当 1.5x =±时，()0.3077,()0.3500h f x I x == 当0.5x =±时，()0.8000,()0.7500h f x I x == 误差
1
2
55
max ()()max ()8
i i h x x x x h
f x I x f ξ+≤≤-≤≤''-≤
又2
1()1f x x
=+ 2
2
2
2
33
2
4
2(),
(1)
62()(1)
2424()(1)
x f x x x f x x x x f x x -'∴=+-''=+-'''=
+
令()0f x '''=
得()f x ''的驻点为1,21x =±和30x =
1,2355
1(),()2
2
1m ax ()()4
h x f x f x f x I x -≤≤''''=
=-∴-≤
18．求2()f x x =在[,]a b 上分段线性插值函数()h I x ，并估计误差。 解：
在区间[,]a b 上，01,,,0,1,,1,n i i i x a x b h x x i n +===-=-
01
2
m ax ()i
i n h h f x x
≤≤-==
∴函数()f x 在小区间1[,]i i x x +上分段线性插值函数为 111
12
2
11()()()
1[()()]
i i h i i i i i i
i i i i i
x x x x I x f x f x x x x x x x x x x x h ++++++--=+
--=-+-
误差为 1
2
2
2
1m ax
()()m ax ()8
()()2,()2m ax ()()4
i i h i x x x a b
h a x b
f x I x f h f x x
f x x f x h
f x I x ξξ+≤≤≤≤≤≤''-≤
='''∴==∴-≤
19．求4
()f x x =在[,]a b 上分段埃尔米特插值，并估计误差。 解：
在[,]a b 区间上，01,,,0,1,,1,n i i i x a x b h x x i n +===-=- 令01
max i i n h h ≤≤-=
43
(),()4f x x f x x '==
∴函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的分段埃尔米特插值函数为
2
11
12
1111
2
112
111()()(12
)()
()(12
)()
()()()
(
)()()
i i h i i i i i
i
i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x I x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x ++++++++++++--=+----++---'+---'+--
42
13
4
2
113
3
2
12
3
2
112
()(22)
()(22)
4()()
4()()
i i i i i
i i i i i i
i i i
i i i i
x x x h x x h x x x h x x h x x x x x h x x x x x h ++++++=
-+-+
--++
--+
--
误差为 (4)
22
1(4)
4
()()1()()()4!1m ax ()(
)
24
2
h i i i a x b
f x I x f
x x x x h f
ξξ+≤≤-=--≤
又4
()f x x =
(4)
4
401
()4!24
m ax ()()m ax
16
16
i
h a x b
i n f
x h h f x I x ≤≤≤≤-∴==∴-≤≤
试求三次样条插值，并满足条件：
(1)(0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;(2)(0.25)(0.53)0.
S S S S ''==''''==
解：
0101212323430.050.090.060.08
h x x h x x h x x h x x =-==-==-==-=
1111234,533,,,1
145
7j j j j j j j j
h h h h h h μλμμμμ---==--∴=
=
=
=
[][][][]1230100110
122334924,,,114
5
7
()()
,0.9540
,0.8533,0.7717,0.7150
f x f x f x x x x f x x f x x f x x λλλλ=
=
=
=-=
=-===
[][][]
[][]
[][]
[]0401200
1201101
2312212
3423323
44343
(1)() 1.0000,()0.68686(,) 5.5200
,,6 4.3157
,,6 3.2640
,,6 2.4300
6(,) 2.1150
S x S x d f x x f h f x x f x x d h h f x x f x x d h h f x x f x x d h h d f f x x h ''=='=
-=--==-+-==-+-==-+'=
-=-
由此得矩阵形式的方程组为
2 1 M 0 5.5200-
514
2
914
M 1 4.3157-
35
2
25
M 2 = 3.2640-
37
2 47
M 3 2.4300-
1 2 M 4 2.1150-
求解此方程组得
012342.0278, 1.4643
1.0313,0.8070,0.6539
M M M M M =-=-=-=-=-
三次样条表达式为
3
3
11
2
2
11
1()
()
()66()
()(0,1,,1)
6
6
j j j
j j
j j j
j j j
j j j j
j
x x x x S x M
M
h h M h x x M
h x x y y j n h h +++++--=+--+-
+-
=-
∴将01234,,,,M M M M M 代入得
[][]33
33
33
6.7593(0.30) 4.8810(0.25)10.0169(0.30)10.9662(0.25)
0.25,0.302.7117(0.39) 1.9098(0.30) 6.1075(0.39) 6.9544(0.30)
0.30,0.39() 2.8647(0.45) 2.2422(0.39)10.4186(0.45x x x x x x x x x x S x x x x ----+-+-∈----+-+-∈=----+-[][]
33
)10.9662(0.39)
0.39,0.45
1.6817(0.53) 1.3623(0.45)8.3958(0.53)9.1087(0.45)
0.45,0.53x x x x x x x ??
??
?
??
?
+-??∈?
?----+-+-?∈??04001234404(2)()0,()0
20, 4.3157, 3.26402.4300,20
S x S x d f d d d d f λμ''''==''===-=-''=-====
由此得矩阵开工的方程组为
0412******* 4.3157322 3.2640
55 2.43003027
M M M M M ==?
? ?
-???? ? ? ? ?=- ? ? ? ? ?- ????? ? ??
?
求解此方程组，得
012340, 1.8809
0.8616, 1.0304,0
M M M M M ==-=-=-=
又 三次样条表达式为
3
3
11
2
2
11
1()
()
()66()
()6
6
j j j
j j
j j j
j j j
j j j j
j
x x x x S x M
M
h h M h x x M
h x x y y h h +++++--=+--+-
+-
将01234,,,,M M M M M 代入得
[][]333
33
6.2697(0.25)10(0.3)10.9697(0.25)0.25,0.303.4831(0.39) 1.5956(0.3) 6.1138(0.39) 6.9518(0.30)0.30,0.39() 2.3933(0.45) 2.8622(0.39)10.4186(0.45)11.1903(0.39)0.3x x x x x x x x x S x x x x x x --+-+-∈----+-+-∈∴=----+-+-∈[][]
39,0.45
2.1467(0.53)8.3987(0.53)9.1(0.45)0.45,0.53x x x x ??
???
??
?
???
?--+-+-?∈??21．若[]2
(),,()f x C
a b S x ∈是三次样条函数，证明：
[][]
[]
[]2
2
2
2
(1)()()()()2()()()b
b
a
a b
b
a
a
f x dx S x dx
f x S x dx S x f x S x dx
''''-
''''''''''=
-+-????
(2)若()()(0,1,,)i i f x S x i n == ，式中i x 为插值节点，且01n a x x x b =<<<= ，则
[][][]
()()()()()()()()()b a
S x f x S x dx
S b f b S b S a f a S a ''''''-''''''''=---?
证明： [][][][
][][]2
2
2
2
2
(1)()()()()2()()()()2()()()b
a
b
b
b
a a a b
b b a a
a
f x S x dx
f x dx S x dx f x S x dx
f x dx S x dx S x f x S x dx
''''-''''''''=+
-''''''''''=
-
--??????
?
从而有
[]
[]
[][]2
2
2
()()()()2()()()b
b
a a
b b
a
a
f x dx S x dx
f x S x dx S x f x S x dx
''''-
''''''''''=
-+-????
[][]
[]
[][][][][][](2)()()()()()()()()()()()[()]
()()()()()()()()()()()()()()()(
b
a
b a
b
a
b a
k k S x f x S x dx
S x d f x S x b S x f x S x f x S x d S x a S b f b S b S a f a S a S x f x S x dx x x S b f b S b S a f a S a S ''''''-''''=
-''''''''=--
-'''''''''''''=-----+'''''''''''=----??
??
[][][][]
[][]
11
1
01
11
)()()2()()()()()()(
)()()2
()()()()()()k k
n x x k n k k k k k
f x S x dx
x x x S b f b S b S a f a S a S f x S x x S b f b S b S a f a S a +-+=-++=''-+'''''''''''''=-----''''''''=---∑
?
∑
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分） 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并 判断其是否收敛？（10分） 八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）
2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可，亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f + =，则3 2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。 （2）令321)(x x f +=，则322)1(3 2)(-+='x x x f ，由于
期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-
数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分
②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的ＬU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； ５、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ）； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ ６、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 )，=]4,3,2,1,0[f ( ０ )； 7、计算方法主要研究（ 截断 ）误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 （ 1 2+-n a b ); １０、已知f （１）＝2,f (2)=３,ｆ(４)＝5.９，则二次Ne ｗton 插值多项式中x 2系数为 ( ０.15 )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为（A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该
习题一 1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？ 数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法 x max x i , x ( x 1 , x 2 , x n ) T R n 及 A n R n n . 2. 试证明 max a ij , A ( a ij ) 1 i n 1 i n 1 j 证明： （ 1）令 x r max x i 1 i n n p 1/ p n x i p 1/ p n x r p 1/ p 1/ p x lim( x i lim x r [ ( ] lim x r [ lim x r ) ) ( ) ] x r n p i 1 p i 1 x r p i 1 x r p 即 x x r n p 1/ p n p 1/ p 又 lim( lim( x r x i ) x r ) p i 1 p i 1 即 x x r x x r ⑵ 设 x (x 1,... x n ) 0 ，不妨设 A 0 ， n n n n 令 max a ij Ax max a ij x j max a ij x j max x i max a ij x 1 i n j 1 1 i n j 1 1 i n j 1 1 i n 1 i n j 1 即对任意非零 x R n ，有 Ax x 下面证明存在向量 x 0 0 ，使得 Ax 0 ， x 0 n ( x 1,... x n )T 。其中 x j 设 j a i 0 j ，取向量 x 0 sign(a i 0 j )( j 1,2,..., n) 。 1 n n 显然 x 0 1 且 Ax 0 任意分量为 a i 0 j x j a i 0 j ， i 1 i 1 n n 故有 Ax 0 max a ij x j a i 0 j 即证。 i i 1 j 1 3. 古代数学家祖冲之曾以 355 作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？ 113 解： x 325 &0.314159292 101 133 x x 355 0.266 10 6 0.5 101 7 该近似值具有 7 为有效数字。
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ，则＝（ ） A ． B ． C ． D ． 3. 通过点 的拉格朗日插值基函数满足（ ） A ． ＝0， B ． ＝0， C ．＝1， D ． ＝1， 4. 设求方程 的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． B ． C ． D ． π()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? A 1613122 3()()0011,,,x y x y ()()01,l x l x ()00l x ()110l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =()0 f x =12312312 20 223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=?232 x x -+=232 1.5 3.5 x x -+=2323 x x -+=
单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则 ， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数 ，那么 4. 因为方程 在区间 上满 足 ，所以 在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题 的计算公 式 . 填空题答案 230.5 1.5 x x -=-T X )4,3,2(-==1||||X 2||||X =()01,f x x = 3n =()()() 33301213,88C C C === () 3 3C =()420 x f x x =-+=[]1,2()0 f x =0.1h =()211y y y x y ?'=+?? ?=?
实验名称：插值计算 1引言 在生产和科研中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数f（x）在区间[a,b]上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值。用这张函数表来直接求出其他点的函数值是非常困难的，在有些情况下，虽然可以写出f(x)的解析表达式，但由于结构十分复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，构造函数P(x)作为f(x)的近似，插值法是解决此类问题比较古老却目前常用的方法，不仅直接广泛地应用与生产实际和科学研究中，而且是进一步学习数值计算方法的基础。 设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的点a≤x0,x1……,xn≤b上分别取值y0,y1……,yn. 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数φ中，求一简单函数P(x),使P(xi)=yi(i=0,1…,n)而在其他点x≠xi上，作为f(x)的近似。 通常，称区间[a,b]为插值区间，称点x0,x1,…,xn为插值节点，上式为插值条件，称函数类φ为插值函数类，称P(x)为函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的插值函数，求插值函数P(x)的方法称为插值法。 2实验目的和要求 用matlab定义分段线性插值函数、分段二次插值函数、拉格朗日插值函数，输入所给函 数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点，计算f(0.15),f(0.31),f(0.47)的近似值。
3算法描述 1.分段线性插值流程图
2.分段二次插值流程图
3.拉格朗日插值流程图
4程序代码及注释 1.分段线性插值
计算方法第3版习题答案 习题1解答 1.1 解：直接根据定义得 *411()102x δ-≤?*411()102r x δ-≤?*3*12211 ()10,()1026 r x x δδ--≤?≤?*2*5331()10,()102r x x δδ--≤?≤ 1.2 解：取4位有效数字 1.3解：433 5124124124 ()()() 101010() 1.810257.563 r a a a a a a a a a δδδδ----++++++≤≤=?++? 123()r a a a δ≤ 123132231123 ()()() a a a a a a a a a a a a δδδ++0.016= 1.4 解：由于'1(),()n n f x x f x nx -==，故***1*(())()()()n n n f x x x n x x x δ-=-≈- 故** * ***(()) (())()0.02()r r n f x x x f x n n x n x x δδδ-= ≈== 1.5 解： 设长、宽和高分别为 ***50,20,10l l h h εεωωεεεε=±=±=±=±=±=± 2()l lh h ωωA =++，*************()2[()()()()()()]l l l h h l h h εδωωδδδωδδωA =+++++ ***4[]320l h εωε=++= 令3201ε<，解得0.0031ε≤， 1.6 解：设边长为x 时，其面积为S ，则有2()S f x x ==，故 '()()()2()S f x x x x δδδ≈= 现100,()1x S δ=≤，从而得() 1 ()0.00522100 S x x δδ≈ ≤ =? 1.7 解：因S ld =，故 S d l ?=?，S l d ?=?，*****()()()()()S S S l d l d δδδ??≈+?? * 2 ()(3.12 4.32)0.010.0744S m δ=+?=, *** ** * () () 0.0744 ()0.55%13.4784 r S S S l d S δδδ= = = ≈ 1.8 解：（1）4.472 （2）4.47 1.9 解：(1) （B ）避免相近数相减 (2)（C ）避免小除数和相近数相减 (3)（A ）避免相近数相减 (3)（C ）避免小除数和相近数相减，且节省对数运算 1.10 解 （1）357sin ...3!5!7!x x x x x =-+-+ 故有357 sin ..3!5!7! x x x x x -=-+-， （2） 1 (1)(1)1lnxdx ln ln ln N+N =N N +-N N +N +-? 1 (1)1ln ln N +=N +N +-N 1.11 解：0.00548。 1.12解：21 16 27 3102 ()()() -? 1.13解：0.000021
《现代设计方法》课程习题集 西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有 习题 【说明】：本课程《现代设计方法》（编号为09021）共有单选题,计算题,简答题, 填空题等多种试题类型，其中，本习题集中有[ 填空题,单选题]等试题类型未进入。 一、计算题 1. 用黄金分割法求解以下问题（缩小区间三次）。 342)(m in 2+-=x x x f ，给定初始区间[][]3,0,=b a ，取1.0=ε。 2. 用黄金分割法求解以下问题（缩小区间三次） 32)(m in 2+=x x f ，给定[][],1,2a b =-，取1.0=ε 3. 用黄金分割法求解以下问题（缩小区间三次） 432+=x )x (f min ，给定[][]40,b ,a =，取10.=ε。 4. 用黄金分割法求解以下问题（缩小区间三次）。 12)(m in 3+-=x x x f ，给定初始区间[][]3,0,=b a ，取5.0=ε 5. 用黄金分割法求解以下问题（缩小区间三次）。 107)(m in 2+-=x x x f ，给定初始区间[][]3,0,=b a ，取1.0=ε 6. 用梯度法求解无约束优化问题： 168)(m in 22221+-+=x x x X f ，取初始点[]T X 1,1)0(= ，计算精度1.0=ε。 7. 用梯度法求解96)(m in 12221+-+=x x x X f ，[]T X 1,1)0(= ，1.0=ε。 8. 用梯度法求解44)(m in 22221+-+=x x x X f ，[]T X 1,1)0(=，1.0=ε 。 9. 用梯度法求解无约束优化问题：1364)(m in 222 121+-+-=x x x x X f ，取初始点
1.已知 ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0 .8329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差 2.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值 3. 分别求满足习题1和习题2 中插值条件的Newton插值 (1) (2)
3()1(2)(2)(3) 310 N x x x x x x x =+--+--4. 给出函数f(x)的数表如下,求四次Newton 插值多项式,并由此计算f(0.596)的值 解：
5.已知函数y=sinx的数表如下,分别用前插和后插公式计算sin0.57891的值
6.求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式，拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。 (a) (b)
7.试分别确定用复化梯形、辛浦生和中矩形 求积公式计算积分2 14dx x +?所需的步长h ，使得精度达到5 10 -。 8.求A 、B 使求积公式 ?-+-++-≈1 1)] 21()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的 代数精度尽量高,并求其代数精度；利用 此公式求? =2 1 1dx x I (保留四位小数)。 9.已知 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求
) (x f 的三次插值多项式)(3 x P ，并求)2(f 的近 似值（保留四位小数）。 10.已知 求)(x f 的二次拟合曲线)(2 x p ，并求)0(f 的近似值。 11.已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表
练习题与答案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练习题一 一、是非题 1.*x=–1 2.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限 ≤ 4 10 2 1 - ? 。() 2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。( ) 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。( ) 4.用 2 1 2 x - 近似表示cos x产生舍入误差。( )
5. 3.14和 3.142作为π的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1. 为了使计算 ()()2334912111y x x x =+ -+ ---的乘除法次数尽量少，应将该 表达式改写为 ； 2. * x =–0.003457是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限 为 ，相对误差限为 ； 3. 误差的来源是 ； 4. 截断误差为 ； 5. 设计算法应遵循的原则是 。 三、选择题 1．* x =–0.026900作为x 的近似值，它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值 3．用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用s *=21 g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，s t 是在 时间t 内的实际距离，则s t - s *是（ ）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．1.41300作为2的近似值，有( )位有效数字。 (A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。 四、计算题
计算方法模拟试题 一、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0?的误差限为（ ）。 A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ，则=∞A （ ）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（ ）。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ，则=-?)(21x x 。 3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。 4．雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。