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应用同余解题

在五年级我们已初步学习了同余的有关知识．同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法．

例1 a除以5余1，b除以5余4，如果3a＞b，那么3a－b除以5余几？

分析与余数有关的问题考虑用同余式可以使解题简便．

解：∵a≡1（mod5），

∴3a≡3（mod 5），

或者3a≡8（mod 5）．（1）

又∵b≡4（mod 5），（2）

∴（1）－（2）得：

3a－b≡8－4≡4（mod 5）．

因此，3a－b除以5余4．

例2 若a为自然数，证明10│（a1985－a1949）．

分析如果换一种方式表达，所要证明的即是要证a1985与a1949个位数字相同．用对于模10两数同余来解，可以使解题过程简化．

证明：∵a1985＝a4×496＋1≡a（mod 10），

a1949＝a4×497＋1≡a（mod 10），

∴a1985－a1949≡a－a≡0（mod 10）．

即10│（a1985－a1949）．

说明：这里用到一个事实：对于任何自然数a，a5与a的个位数字相同．

由能被8、9整除的特征，得

由（2）得y≡2（mod 8）

因0?y<9且y是整数

∴y＝2．

把y＝2代入（1）得

x＋6＋7＋9＋2≡0（mod 9）

∴x≡3（mod 9）．

由x是一位整数得：x＝3．

∴所求五位数是36792．

分析①设n÷9＝商…r，那么9│（n－r），根据n－r＝商×9，以及n－r的个位数字，可推算出商的个位数字．

②抓住“一个整数与它的各位数字之和对于模9同余”这性质，可以很快的化大数为小数．

≡1919×20≡2×2≡4（mod

9），

∴9│（n－4），即n－4＝9×商，

又∵n－4的个位数字是5，

∴n被9除所得的商的个位数字是5．

例5 设2n＋1是质数，证明：12，22，…，n2被2n＋1除所得的余数各不相同．

分析这道题肯定不可能通过各数被2n＋1除去求余数．那么我们可以考虑从反面入手，假设存在两个相同的余数的话，就会发生矛盾．而中间的推导是步步有根据的，所以发生矛盾的原因是假设不合理．从而说明假设不成立，因此原来的结论是正确的．

证明：假设有两个数a、b，（a≠b，设b

那么，由同余定义得a2－b2≡0（mod（2n＋1））．

即（a＋b）（a－b）≡0（mod（2n＋1）），由于2n＋1是质数．

∴a＋b≡0（mod（2n＋1））或a－b≡0（mod（2n＋1））．

由于a＋b，a－b均小于2n＋1且大于零，

可知，a＋b与2n＋1互质，a－b也与2n＋1互质．

即a＋b与a－b都不能被2n＋1整除．

产生矛盾，∴原题得证．

说明：这里用到一个重要的事实：如果A·B≡0（modp），p是质数，那么A或B中至少有一个模p为零．p是质数这一条件不能少，否则不能成

问：a除以13所得余数是几？

解：用试除方法可知：13│191919．

∵1919×2＝3838，而3│3837，

即1919个“1919”有3838个“19”，三组三组取走“19”后还剩下一组．

∴a≡19（mod 13）．

∴a≡6（mod 13）．

即a除以13余数是6．

例7 求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数．

解：设x为所求数，

由题意

（3）即x＝7k＋5（k是整数）．代入（2）得

7k＋5≡3（mod 5），

∴2k≡3（mod 5），

2k≡8（mod 5）．

∴k≡4（mod 5），即k＝5m＋4（m是整数）．

∴x＝7k＋5＝7（5m＋4）＋5＝35m＋33，

上式代入（1）得：

35m＋33≡2（mod 3），

2m≡2（mod 3），

∴m≡1（mod 3），即m＝3t＋1（t是整数）．

∴x＝35m＋33＝35（3t＋1）＋33＝105t＋68，

当t＝1时，x＝173．

∴所求的最小三位数为173．

例8 给出12个彼此不同的两位数，证明：由它们中一定可以选出两个数，它们的差是两个相同数字组成的两位数．

分析证这道题要考虑到以下三点．

①两位数的数码相同时，它一定能被11整除．

②遇到数是任意的，需排个序，这样讨论表述起来比较方便．

③用12个数中最大的数依次地分别减去其余11个数可得到11个差．若差中有相同数码组成的两位数，问题得证；若差中没有合条件的两位数，这时这11个（差）数各自除以11，所得余数只可能在｛1，2，3，…，10｝中，必有两个差数的余数相同，考虑用余数造抽屉解题．

证明：设12个两位数从小到大排列为：

10?a1＜a2＜…＜a11＜a12?99，

用a12分别减去其余的数，得差：

b1＝a12－a1，b2＝a12－a2，…，b11＝a12－a11．

①若上面11个差中有某个差b i能被11整除，即11│（a12－a i），那么已证出数a12与a i的差b i是两个相同数码组成的两位数．

②若这11个差均不能被11整除，则按不能被11整除的余数造10个抽屉，余数相同者归入同一抽屉，根据抽屉原理，11个差数中，一定存在两数b m、b n对于模11同余，即：b m－b n≡0（mod 11），

即（a12－a m）－（a12－a n）≡0（mod 11），

即a n－a m≡0（mod 11），

即11│（a n－a m），

即差a n－a m是一个由相同数码组成的两位数．综合（1）、（2）问题得证．

说明：这道题的证明用到了将数按被11除的余数分类的思想．

一般地，任何一个整数a被自然数n除，余数只可能是0，1，2，…，n－1这n 种情况，这样我们可以利用余数将整数分为几类，如：整数按除以2余1还是0，分为奇数和偶数．

又如，整数除以3，余数只能是0，1，2这三种情况，我们可以把所有整数按除以3后的余数分三类，即3k，3k＋1，3k＋2，（k是整数）．

这种利用余数分类思想，是重要的数学思想方法，它可以使研究问题时搜索的范围大大缩小．

例9 试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除．

证明：∵质数中仅有一个偶数2，

∴不小于5的质数是奇数．

又不小于5的自然数按除以6所得的余数可分为6类：6n，6n＋1，6n＋2，6n＋3，6n＋4，6n＋5，（n是自然数），

其中6n，6n＋2，6n＋4都是偶数，又3│6n＋3．

∴不小于5的质数只可能是6n＋1，6n＋5．

又自然数除以6余数是5的这类数换一记法是：6n－1，

∴（不小于5的质数）2－1＝（6n±1）2－1

＝36n2±12n＝12n（3n±1），

这里n与（3n±1）奇偶性不同，其中定有一个偶数，

∴2│n（3n±1），

∴24│12n（3n±1）．

∴结论成立．

说明：按同余类造抽屉是解竞赛题的常用方法．

例10 任给七个不同的整数，证明其中必有两个数，其和或差是10的倍数．

分析首先考虑什么样的两个整数的和或差可以被10整除．设两个整数a、b，若a≡b（mod 10），则10│（a－b）；若a≡r（mod 10），而b≡10－r（mod 10），则10│（a＋b），只有这两种情况．但是如果按整数除以10的余数造抽屉，就有十个抽屉，对于已知条件中给定的七个数无法应用抽屉原理，所以要考虑如何造六个抽屉．根据首先考虑的两个整数被10除的两种情况，可以把余数之和等于10的并成一类，这样分为：10k、10k±1、10k±2、10k±3、10k±4、10k±5六类，恰好构造六个抽屉，再应用抽屉原理可解此题．

证明：根据整数n≡r（mod 10）构造六个抽屉如下：

r＝0的数；r＝5的数；r＝1或9的数；r＝2或8的数；r＝3或7的数；r＝4或6的数．

这样任给定的七个整数按照除以10的余数r，放入六个抽屉中，必有一个抽屉中至少有两个数．这两数的和或差必是10的倍数．

浅谈同余及其应用

揭阳职业技术学院毕业论文（设计）题目：浅谈同余定理及其应用学生姓名黄指导教师某某某系（部）师范教育系专业数学教育班级 999 班学号 11211211 提交日期200 年月日答辩日期 200 年月日 200 年月日

浅谈同余定理及其应用摘要初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它以算术方法为主要研究方法，在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数。同余理论是初等数论中的重要内容之一，其性质及应用研究已引起许多学者的关注。本文归纳总结了同余的若干性质，结合实例，探究了同余性质在检验、判断整除问题、求余数、判断合数、韩信点兵问题等方面的具体应用。体现了用同余性质解决问题的简洁性。关键词：同余整除余式方程

绪论初等数论是研究整数性质的一门学科，它是数学中最古老的分支之一，内容极为丰富，曾被数学家说成是数学的皇后。同余问题在当今中小学乃至大学的数学教学中都有涉及，它作为初等数论的核心内容之一，具有很强的应用价值，很多数学问题都要借助同余理论来解决。同余的应用问题分为很多种类型，每种类型的题目又有一定的解题技巧。掌握了这些题型的技巧，可以提高大家解决问题的能力。本文基于对同余理论的理解，将应用同余理论解决的问题具体整理分类，从中分析出一些借助同余理论解题的技巧与规律。现在初等数论中关于同余的内容主要包括：同余的定义及基本性质、剩余类与剩余系、欧拉定理、费马小定理、循环小数、一次同余方程及一次同余方程组。到目前为止，古今中外很多学者与数学家，对同余的应用问题都有了一定的研究。在中国，早在宋代，大数学家秦九韶所著的《数书九章》中就记载了求解同余方程的“大衍求一术”。还有，著名的古代数学著作《孙子算经》中也记载能解决“物不知其数”问题的孙子定理，也被称作“中国剩余定理”。以及“韩信点兵”问题的研究，都为解决一次同余方程和同余方程组的问题带来了便利。在西方，除了高斯引入同余的概念之外，欧拉和费马提出的定理也为解决同余的相关问题做出了重要的贡献。希望通过本文的研究能将同余理论的应用问题更加系统全面的展现出来。以便，今后大家在探究同余理论时，能对同余应用问题的类型和解决技巧有一个清晰的认识和理解，更好的解决相关问题。 1 相关性质定理[1] 性质1同余是一种等价关系，即有：（1）反身性 a≡a（mod m）. （2）对称性若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）. （3）传递性若a≡b（mod m）， b≡c（mod m），则a≡c（mod m）. 性质2同余式可以相加减,即若 a≡b（mod m），c≡d（mod m），则 (1) a＋c≡b＋d（mod m）. (2) a－c≡b－d（mod m）. 性质3同余式可以相乘,即有：

同余法解题完整版

同余法解题集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]

五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。同余的定义是这样的：两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。。记作a≡b（mod.m）。读作：a同余于b模m。同余的性质也比较多，主要有以下一些： 1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。例如201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。 2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个除数整除。 3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。 4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。 5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d （mod m），（可加减性） 6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）二、中国剩余定理解法一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？解法：求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24 第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40 第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30 这3个数的最小公倍数为60，所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=34 12X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。三、解题技巧同余口诀：“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍n倍加”这是同余问题的口诀。 1）、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60-3或者60n-3

同余的性质与应用

. 1 同余的性质及应用 1 引言数论的一些基础容的学习，一方面可以加深对数的性质的了解，更深入的理解某些其他邻近学科，另一方面，可以加强数学训练.而整数论知识是学习数论的基础，其中同余理论有时整数论的重要组成部分，所以学好同余理论是非常重要的. 在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数，例如我们问现在是几点钟，就是用24去除某一个总的时数所得的余数；问现在是星期几，就是问用7去除某一个总的天数所得的余数，假如某月2号是星期一，用7去除这月的号数，余数是2的都是星期一. 我国古代子算经里已经提出了同余式11(mod )xb m ,22(mod )xb m ,…, (mod )k k xb m 这种形式的问题，并且很好地解决了它.宋代大数学家九韶在他的《数学九章》中提出了同余式1(mod )i i x M m ≡, 1,2,...,i k =, i m 是k 个两两互质的正整数， 12...k m m m m =,i i m m M =的一般解法. 同余性质在数论中是基础，许多领域中一些著名的问题及难题都是利用同余理论及一些深刻的数学概念，方法，技巧求解.例如，数论不定方程中的费尔马问题，拉格朗日定理的证明堆垒数论中的华林问题，解析数论中，特征函数基本性质的推导等等.在近现代数论研究中，有关质数分布问题，如除数问题，圆格点问题，等差级数问题中的质数分布问题，2an bn c ++形式的质数个数问题，质数个数问题，质数增大的快慢问题，孪生质数问题都有一定程度的新成果出现，但仍有许多尚未解决的问题. 数论的发展以及现代数学发展中提出的一些数论问题，都要求我们对于近代数论的一些方法和基础知识，必须熟练掌握.所以，本文主要介绍了同余理论中同余基本性

同余法解题

五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初就是由德国数学家高斯发明得。同余得定义就是这样得: 两个整数,a,b,如果她们同时除以一个自然数ｍ,所得得余数相同,则称ａ,b对于模m同余。。记作a≡b(moｄ.ｍ)、读作:a同余于ｂ模ｍ。同余得性质也比较多,主要有以下一些: 1、.对于同一个除数,两个数得乘积与它们余数得乘积同余。例如20１ ×９5得乘积对于除数7,与2０1÷７得余数5与95÷７得余数４得乘积20对于7同余。 2.、对于同一个除数,如果有两个整数同余,那么它们得差就一定能被这个除数整除。例如51９与３99对于一个除数同余,那么这个除数一定就是519与3９9得差得因数,即５19与399得差一定能被这个除数整除。３..对于同一个除数,如果两个数同余,那么她们得乘方仍然同余。例如２0与29对于一个除数同余,那么2０得任何次方都与２9得相同次方对于这个除数同余,当然余数大小随次方变化。 4、对于同一个除数,若三个数a≡b(moｄm),ｂ≡c(moｄm),那么a,b,ｃ三个数对于除数m都同余(传递性) 例如６０与7６同余于模８,76与204同余于模８,那么60,76,204都同余于模８、 5。对于同一个除数,若四个数ａ≡ｂ(mｏdｍ),ｃ≡d(mｏd m),那么a±ｃ≡c±d(mod m),(可加减性) 6。对于同一个除数, 若四个数a≡b(mod m),c≡ｄ(modｍ),那么ac≡cｄ(mｏd m),(可乘性) 二、中国剩余定理解法一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小就是几? 解法:?求３个数:第一个:能同时被3与4整除,但除以5余4,即１2X2=2４?第二个:能同时被４与5整除,但除以３余1,即20X2＝40 第三个:能同时被3与5整除,但除以4余2,即15x2＝30?这3个数得最小公倍数为6０, 所以满足条件得最小数字为24+４0+30-60=３4 12X2=24 20Ｘ2＝４０15x2＝30中2得来历。三、解题技巧同余口诀:“差同减差,与同加与,余同取余,最小公倍n倍加”这就是同余问题得口诀。１)、差同减差:用一个数除以几个不同得数,得到得余数,与除数得差相同,此时反求得这个数,可以选除数得最小公倍数,减去这个相同得差数,称为:“差同减差”。例:“一个数除以４余1,除以5余2,除以６余3”,因为4—1＝5—2=６-3=3,所以取—3,表示为60—3或者60n－3 2)、与同加与:用一个数除以几个不同得数,得到得余数,与除数得与相同,此时反求得这个数,可以选除数得最小公倍数,加上这个相同得与数,称为:“与同加与"。例:“一个数除以４余３,除以5余2,除以6余1”,因为4＋3=５＋2=6＋1＝7,所以取+7,表示为60n+７、3)、余同取余:用一个数除以几个不同得数,得到得余数相同,此时反求得这个数,可以选除数得最小公倍数,加上这个相同得余数,称为:“余同取余”。例:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1",因为余数都就是1,所以取＋1,表示为６０n＋1。

小升初应用题解题技巧

小升初应用题大全，可分为一般应用题与典型应用题。 1.归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】总量÷份数＝1份数量 1份数量×所占份数＝所求几份的数量另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例1买5支铅笔要元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解（1）买1支铅笔多少钱÷5＝（元）（2）买16支铅笔需要多少钱×16＝（元）列成综合算式÷5×16＝×16＝（元）答：需要元。例23台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷？解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷90÷3÷3＝10（公顷）（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷10×5×6＝300（公顷）列成综合算式90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）答：5台拖拉机6天耕地300公顷。例35辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？解（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材100÷5÷4＝5（吨）（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材5×7＝35（吨）（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次105÷35＝3（次）列成综合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）答：需要运3次。 2.归总问题【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】1份数量×份数＝总量总量÷1份数量＝份数总量÷另一份数＝另一每份数量【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。例1服装厂原来做一套衣服用布米，改进裁剪方法后，每套衣服用布米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？解（1）这批布总共有多少米×791＝（米）

列一元一次方程解应用题的一般步骤

?列一元一次方程解应用题的一般步骤：列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是： ⑴审题：理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。 ⑵设元（未知数）：找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； ①直接未知数：设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，? 然后利用已找出的等量关系列出方程； ②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。 ⑶用含未知数的代数式表示相关的量。 ⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 ⑸解方程及检验。 ⑹答题。综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。 ?一元一次方程应用题型及技巧：列方程解应用题的几种常见类型及解题技巧：（1）和差倍分问题： ①倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……” 来体现。

②多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。 ③基本数量关系：增长量＝原有量×增长率，现在量＝原有量＋增长量。（2）行程问题：基本数量关系：路程＝速度×时间，时间＝路程÷速度，速度＝路程÷时间，路程=速度×时间。 ①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距； ②追及问题：快行距－慢行距＝原距； ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度，逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度例：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？(此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。) 例：一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？

浅析中国剩余定理及其应用

浅析中国剩余定理及其应用李辉（井冈山学院数理学院信息与计算科学 343009）指导老师颜昌元 [摘要]：本文阐述了中国剩余定理的由来，介绍了它的几种解法，及其它在多项式，现代密码学，生活方面的应用. [关键词]：中国剩余定理；解法;多项式；现代密码学引言在中国,以剩余定理为代表的同余理论源远流长,可追溯到《周易》中的卜筮古法.秦九韶说:“圣有大衍,微寓于《易》”,即指此意.另外,同余理论的另一个来源是古代制定历法的需要.实际上,从汉末到宋末1000余年的时间中,有很多天文学家熟悉一次同余式的解法,他们在编制历法时利用它来推算“上元积年”.中国剩余定理对现代数学的研究有很强的启迪意义.特别是在多项式，密码学中的应用非常关键. 一中国剩余定理的由来我国古代《孙子算经》中有一著名而又重要的问题:“今有物不知其数,三三数之剩二、五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何.答曰:二十三”.这一问题可译为:一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2.求适合条件的最小的数.题中还介绍了它的解法:“术曰:三三数之剩二,置一百四十;五五数之剩三,置六十三;七七数之剩二,置三十;并之,得二百三十三,以二百十减之,即得.”意即:物数W=70×2+21×3+15×2-2×105=23.接下来又给出了这类题的一般解法(余数为一的情况):术文说:“凡三三数之剩一,则置七十;五五数之剩一,则置二十一;七七数之剩一,则置十五.一百六以上,以一百五减之,即得.”这个问题及其解法,在世界数学史上占有重要的地位,因此,中外数学家都尊称为“孙子定理”或“中国剩余定理”. 为了比较清楚地了解“中国剩余定理”这一名称的由来,我们不妨先引进同余定义:一般地,若两个整数a、b被同一个大于1的整数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余.记作: a≡b (mod m）应用同余原理,我们把“物不知其数”问题用整数的同余式符号表达出来,是:设N≡2 (mod 3)≡3 (mod 5)≡2 (mod 7),求最小的数N.答案是N=23. 书中问题及其解法,建立起数学模型就是: 设a、b、c为余数, P为整数,则N≡a(mod 3)≡b(mod 5)≡c(mod 7) 的解是: N=70a+21b+15c-105P (1) 现在,我们把上述解法中的a,b,c作一分析:设M=3×5×7,则 70=2×5×7=2×(3×5×7)/3=2×M/3

小学二年级数学应用题解题步骤

小学二年级数学应用题及解题步骤 1、剧院共有500个座位，一年级197人，二年级201人。（1）剧院能同时容纳两个年级看电影吗？ 197+201=398（人） 398<500 答：剧院能同时容纳两个年级看电影。（2）假如有空位，还空几个座位？ 500-398=102（个） 2、商店卖出340袋大米，卖出的面粉比大米多54袋，卖出面粉多少袋？ 340+54=394（袋） 3、洗衣机568元，比录音机贵280元，录音机多少元钱？ 568-280=288（元） 4、小东立定跳远跳了140厘米，小黑比小东多跳30厘米，小强比小东少跳38厘米。（1）小黑跳了多少厘米？ 140+30=170（厘米）（2）小强跳了多少厘米？ 140-38=102（厘米） 5、三年级捐435元，四年级比三年级多捐78元，五年级捐的比四年级少27元。

（1）三年级和四年级一共捐多少钱？ 435+78+435 =513+435 =948（元）（2）五年级捐了多少钱？ 435+78-27 =513-27 =486（元） 6、六．一儿童节到了，同学们在折千纸鹤。小黑折了203只纸鹤，小明折的比小黑多47只，小王折的比小黑少20只。 ①小明折了多少只千纸鹤？ 203+47=250（只） ②小黑和小王大约一共折了多少只？ 203-20=183（只） 203+183≈400（只） 200200 7、光明小学女生有496人，男生比女生多64人，男生有多少人？学校一共有多少人？ 496+64=560（人） 496+560=1056（人） 8、有一桶油，第一次倒出125千克，第二次倒出的比第一次少30千克，两次一共倒出多少千克？

同余的应用的开题报告

呼伦贝尔学院本科生毕业论文开题报告题目同余的应用专业数学与应用数学姓名______________________彭丽霞学号2011071115 指导教师付莉 2014年11月7日

七、论文提纲（一）前言同余是《算术研究》中的一个基本研究课题，这个术语来自拉丁文，同余的概念的建立和同余符号的引入大大简化了数论中的许多问题，它的引入使得无限的整数被划分为有限类。而且同余在生产、生活中也有广泛的应用，如制作万年历、循环赛程、电话电缆的（二）提纲一、同余 1、同余的定义 2、同余的定理 3、同余的性质 4、完全剩余系定义 5、完全剩余系定理 6、一次同余式定义 7、孙子定理二、同余的应用 1、求最大公约数 2、检验因子 3、检验整数计算 4、检验素数合数 5、循环赛程 6、万年历（三）结论通过本文的论证，我们发现同余的出现给很多问题的解决提供了简便的途径。同余的性质虽然只有固定的那几条，但它却能解决许多困扰我们的问题，在解决问题时开阔了我们的思路。同余的性质易懂，但在运用其解题时有一定的困难，所以在生活中我们要仔细观察。八、参考文献 [1]苏亚丽，杨继明.孙子定理在两个数学竞赛题的应用[J].云南：玉溪师范学院学报（第27卷），2011年第4期. [2]郭小菊.同余法求最大公约数[J].读与写杂志，2012，4. [3]潘承洞，潘承彪.初等数论[M]北京大学出版社，1992. [4]刘合义.谈数论中的同余及其应用[J].河北：衡水师范专科学校.第4卷，第11期，2002， [5]姜浩瑞.初等数论在高中数学解题中的一些应用[J].中学数学教学，2006，第5期. [6]姚磊.整除性的若干解法[J].皖西学院学报2001，5 [7]王志兰.关于同余的几个问题[J].高师理科学刊.2009，28(5)：44—46 [8]颜松远.数论及应用[J]数学实践与认知，2002，19(4)：486—508 [9]原新生.一次同余方程的几种解法[J].牡丹江教育学院学报，2009，115(3)：115 [10]陈小辉.关于同余理论在中学奥数中的应用[J].数学通讯，2001，(5)：43—46

例谈运用同余解题的取模技巧(xzh)

例谈运用同余解题的取模技巧 226400 江苏省如东县第一职业高级中学邢忠虎由德国数学家高斯引进的同余概念是研究数论问题的一个十分重要的工具．运用同余解题，可以避免繁琐的计算，抓住问题的实质和要害，而运用同余解题其关键则在选取恰当的模．本文通过若干例题介绍几种基本的取模技巧，供参考． 1 求余数或证明整除性问题，常以除数为模例1 求20083 除以13的余数．解 33 ≡271(mod13)≡, ∴200836691366966933(3)3133(mod13)?+==?≡?≡．故20083除以13的余数为3．注求余数是同余的基本问题，在这种问题中，先求出与1±同余的数是一种基本技巧．这一技巧在后面的例3与例7中将再次得到运用． 2 求个位数（末两位数）问题，常以10（100）为模求个位数与末两位数的问题，其实质也就是求一数被10或100除所得余数．例2 求3581244752279+?的末位数字．解 ∵3581244752279+?358124729≡+? 4834201454729?+?+?+=+? 314729≡+?321≡+?5(mod10)= ∴3581244752279+?的末位数字是5．注在求解本题的过程中用到了以下结论：任何正整数的乘方之个位数重复出现的周期为4，即4(mod10),k l l a a +≡其中a 是任意正整数，k 为自然数，1,2,3,4l =．请读者自行证明该结论．例3 求4063的末两位数．解因为4 961(mod100)≡， 16941(mod100)≡， 2091(mod100)≡，

幂同余定理及其应用

幂同余定理及其应用吴敏金mjwu1940@https://www.doczj.com/doc/6e3117309.html, 由同余式的性质，可推出 [幂同余定理] 设同余式a==b (mod m)，那么对于任意的正整数n, a^n==b^n (mod m).。（^n表示n次方，==表示同余）证明：由同余式的性质，如果a==b (mod m)，c==d (mod m)，则a*c==b*d (mod m)。取c=a, d=b，作n次乘法即得结论。证毕幂同余定理可应用于幂同余方程求解：对于给定的m,n，已知a，求a^n==x (mod m)，(0<=x

所以，13^2015除以170的余数为155。由上面2例可见，利用幂同余定理比直接计算3^2015，13^2015方便得多了。下面示例，给出当a>m时的求解方法。 3，求23^5555除以7的余数？解：由23==2 (mod 7), 及8==1 (mod7) 23^5555==2^5555==(2^3)^1851*4==1^1851*4==4 (mod 7) 所以，23^5555除以7的余数为4。对于另一类幂同余方程：对于给定的m,n，已知b, 求x^n==b (mod m)。较为复杂，另文讨论。

歌曲作法模进法7

歌七第二节模进法概念：模进，又叫移位重复，是指将主题或某一个动机、乐结、乐句，在不同的高度上重复出现。如：123454321与567121765 （模进与模仿的区别？）模进本身包含了重复的因素：即原有的节奏保持不变，只是音高方面形成有规律的变化，如移高、移低等。模进与重复比较，动力性更强，更具有进一步展开的意义。模进包括：严格模进、自由模进、上行模进与下行模进、连环模进、反行模进 1严格模进：是指原有的节奏保持不变，而旋律进行的音程关系却同时移高或移低若干度。如《请到天涯海角来》：请到天涯海角来，这里四季春常在。《前进吧，革命的接班人》《太阳出来了》：第二句严格摸进，旋律整个提高纯四度，使情绪高涨，象征着初生的太阳喷薄而出。

《南泥湾》《心中的太阳》上例中三次重复的“我不知道”就是严格的移位重复。 2自由模进：保持原有的节奏关系，旋律进行的音程关系较自由一些。这种模进方法比严格模进运用的更为多一些。因为如果一味的按照原来的节奏和严格的音程关系来模进，往往会破坏旋律的风格，有时会引起调性的混乱。这是初学者应该运用较多的模进方法。如《大海啊，故乡》《祖国，慈祥的母亲》（朱66）《费加罗的婚礼》《北风吹》

《蓝色多瑙河》 [奥]约翰施特劳斯曲如《爱的奉献》中“这是心的呼唤”和“这是爱的奉献”（让同学们书写这两句谱例，分析模进的类型？严格还是自由？）以上的例子节奏不变，而音程关系做了相应的变化，使得旋律进行非常亲切自然。否则的话会引起旋律风格的变化或调性的改变。 3上行模进与下行模进：既可以是严格模进，也可以是自由模进，只是方向的不同。上行模进往往用在歌曲的高潮之前，起到一种准备、铺垫和推动的作用，因为上行模进，音区越来越高，力度越来越强、情绪越来越高涨，所以，在歌曲接近高潮的时候，常采用这种手法。一相反，下行模进，则使高潮的乐思下降，情绪回归。如《妹妹找哥泪花流》

单位1应用题解题方法

近距离教育单位“1”应用题的解题方法：目前没有形式化定义，只有广泛存在于分数教学实践中的描叙性定义：把一个完整的量（比如一段路程、一项工程、一筐苹果、一本书、一段时间等）或一个数（正数）视为一个整体或一个单位，并赋予自然数1的特性，可记为“1”。判断是否是单位“1”应用题 1、找到分数 2、分数后面没有单位如何找单位“1”：①找到题目中的分数、百分数等关于部分与整体关系的数。（后面没有单位） ②谁的几分之几谁就是单位“1”（关键词：是、比、占等字的后面的通常是单位”1”的）分数｛①表示部分与整体的关系是一个数（后面不带单位） ②表示具体的数量。是一个量（后面带单位）例：（1）一批水泥，计划每天用去1／5吨，实际每天比计划多用去1／4吨，实际每天用去多少吨？ (2)一批水泥，计划每天用去1／5吨，实际每天比计划多用去1／4，实际每天用去多少吨？找单位“1”练习题：（1）男生人数比女生人数多1 5 ，把看作单位“1”。（1）一瓶水1千克，用去1 3 千克，把_____________________看作单位“1”。（3）水结成冰后体积增加了 1 10 ，把看作单位“1”。（4）冰融化成水后，体积减少了 1 12 。把看作单位“1”。（5）今年的产量相当于去年的2 5 ，把看作单位“1”。（6）一个长方形的宽是长的1 3 ，把看作单位“1”。（7）食堂买来100千克白菜，吃了2 5 ，把看作单位“1”。（8）一台电视机降价1 5 ，把看作单位“1”。

单位“1”应用题的解题步骤： ▲解题步骤： 1、找关键句，审单位“1”。 2、找对应关系。（一一对应） 3、列关系式（已知单位“1”的量求其它的用乘法；已知其它的量求单位“1”用除法）例题： 1、前进乡计划挖一条300米长的水渠，已经挖了5 4，还剩下多少米没挖？ 2、有大米160千克，大米比面粉多 41，面粉有多少千克？ 3、一堆沙运走了总吨数的 72，剩下的比运走的多2.1吨，这堆沙有多少吨？ 4、友谊伞厂为支援四川抗震救灾赶制一批帐篷。第一天生产了这批帐篷总数的20%，第二天生产了总数的 207，两天共生产帐篷3300顶。这批帐篷一共有多少顶？ 5、甲乙两车同时从A 、B 两地出发，相向而行，甲车速度比乙车快4 1，在离中点20千米处相遇，A 、B 两地相距多少千米？

解答应用题的一般步骤

解决问题的一般步骤第一步：弄清已知条件和问题。通过读题理解题意，分清题中的已知条件和问题。第二步：分析数量关系。在理解题意后，就对应用题中的已知条件和所求问题进行分析，主要弄清已知条件间有怎样的关系，已知条件和问题之间有怎样的关系，根据这些数量关系的线索，确定先算什么，再算什么。学会分析应用题的数量关系，这是正确解答应用题的关键。第三步：列式计算。按照前边拟定的解答步骤，列出算式进行计算。第四步：检验作答。检查时一定要仔细认真，要查看原题，有没有弄错题意，抄错数字，列式是不是题目的要求，计算也有没有错误。检验答案是否正确，如果发现都错误，要及时改正。这一步是十分必要的。要注意纠正不经检验就作答的毛病。以上四个步骤是互相联系的，不可缺少的。在实际作题时，一般只列出算式，写出答案，有的步骤的过程可以写在草稿上。小学生解答问题常见错误的分析同学们在解答问题的过程中会发生种种错误。爱动脑筋思考问题的同学要善于发现自己的错误，并发现错误的原因。这样就能很快的提高自己分析问题和解决问题的能力。同学们解答问题常见的错误大致有六个方面： 1.粗心失误有些解决问题由于粗心，列错了算式。有的是虽然列式对了，但计算错误，答语写

错，单位名称写漏等等。 2.概念不清解答问题需要有清晰、明确了、牢固的数学概念作为基础，如果概念模糊，就会发生解题上的差错。例如，“前进养鸡厂养母鸡2120只，母鸡的只数是公鸡只数的2.5倍。这个养鸡厂共养鸡多少只？”一位同学这样列式：2120+2120X2.5=2120+5300=7420(只)。答：这个养鸡厂共养鸡7420只。对“倍”的意义不理解，见题中有“倍”字就用乘法算，造成解题错误。 3.凭“经验”解题在解答同一类问题时，往往凭所学例题的解题“经验”去列式，忽视了已知条件与所求问题的变化，以及这道题与同类其他题的区别，致使解题出错。例如,一项工程甲单独完成要小时，乙单独完成要小时，甲乙合作要几小时完成这一工程？有一位同学错列成：1 同学们是否发现两人合作的时间反而比甲、乙独作的时间长错在哪里呢？这位同学凭“经验”按例题的解题方法去算，甲乙合作的工作时间=工作总量工作效率和，往往题目是“甲独作要2小时，”甲的工作效率用表示，这题中“甲独作要小时，”工作效率也按往常的用表示，结果出错。 4.找错中间问题解答复合问题的关键是正确地提出中间问题，如果解题的思路不请，方向不明就不能的关系，正确地分清已知数与已知数中间，已知数与未知数之间，错误地提出中间问题。例如，“一种圆柱形桔子罐头盒高6厘米，底面直径是10厘米，做这样的一个罐头至少需要多少白铁皮？”有的同学从底面直径是10厘米这一已知条件，提出中间问题先求底面圆形面积，再求体积，由于解题方向不明，误把

15、同余法解题

第十五讲同余法解题一、知识要点在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，52÷24=2……4，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1、同余的表达式和特殊符号:37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。记作：37≡44(mod7),“≡”读作同余。一般地，两个整数A 和B，除以大于1的自然数M所得的余数相同，就称A、B对于模M同余，记作：A≡B(modM) 2、同余的性质（1）A≡A(modM)（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）（2）若A≡B(modM)，那么B≡A(modM)（这称作同余的对称性）（3）若A≡B(modM)，B≡C(modM)，则A≡C(modM)（这称为同余的传递性）（4）若A≡B(modM)，C≡D(modM)，则A±C≡B±D(modM)（这称为同余的可加性、可减性）则A×C≡B×D(modM)（称为同余的可乘性）（5）若A≡B(modM)，则A n≡B n (modM)，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果A≡B(modM),那么M｜(A－B)（A－B的差一定能被M整除）,这是为什么呢？ 3、同余口诀：“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。1）、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。 2）、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。 3）、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。

小学数学应用题解题技巧大全

小学数学应用题解题技巧大全小升初应用题大全，可分为一般应用题与典型应用题。 1归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】总量÷份数＝1份数量 1份数量×所占份数＝所求几份的数量另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例1买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解（1）买1支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元）（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）列成综合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）答：需要1.92元。例23台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷？解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？90÷3÷3＝10（公顷）（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？10×5×6＝300（公顷）列成综合算式90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）答：5台拖拉机6天耕地300公顷。例35辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？解（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？100÷5÷4＝5（吨）（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？5×7＝35（吨）（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？105÷35＝3（次）列成综合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）答：需要运3次。 2归总问题【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】1份数量×份数＝总量

一次函数应用题解题方法1

一.使用直译法求解一次函数应用题所谓直译法就是将题中的关键语句“译”成代数式，然后找出函数关系、列出一次函数解析式，从而解决问题的方法。例题1．东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。该商场为促销制定了甲、乙两种优惠办法。甲：买1支毛笔就赠送1本书法练习本；乙：按购买金额打9折付款。某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种书法练习本x(x>=10)本。（1）分别写出按甲、乙两种优惠办法实际付款金额y甲（元）、y乙（元）与x之间的函数关系式。（2）比较购买不同数量的书法练习本时，按哪种优惠办法付款最省钱。（3）如果商场允许既可以选择一种优惠办法购买，也可以用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和这种书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案。分析：只需根据题意，按要求将文字语言翻译成符号语言，再列出一次函数关系式即可。解：（1）y甲=10×25+5（x-10）=5x+200（x>=10） y乙=10×25×0.9+5×0.9×x=4.5x+225（x>=10）（2）由（1）有：y甲-y乙=0.5x-25 若y甲-y乙=0 解得x=50 若y甲-y乙>0 解得x>50 若y甲-y乙<0

解得x<50 当购买50本书法练习本时，按两种优惠办法购买实际付款一样多，即可任选一种优惠办法付款；当购买本数不小于10且小于50时，选择甲种优惠办法付款省钱；当购买本数大于50时，选择乙种优惠办法付款省钱。（3）设按甲种优惠办法购买a(0<=a<=10)支毛笔，则获赠a本书法练习本。则需要按乙种优惠办法购买10-a支毛笔和(60-a)支书法练习本。总费用为y=25a+25×0.9× （10-a）+5×0.9×（60-a）=495-2a。故当a最大（为10）时，y最小。所以先按甲种优惠办法购买10支毛笔得到10本书法练习本，再按乙种优惠办法购买50本书法练习本，这样的购买方案最省钱。说明：本题属于“计算、比较、择优”型，它运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了最优方案的设计问题。二.使用列表法求解一次函数应用题列表法就是将题目中的各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解题方法。例题2．某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知：生产一件A种产品需用甲种原料9kg、乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4kg、乙种原料10kg，可获利润1200元。（1）若安排A、B两种产品的生产，共有哪几种方案？请你设计出来。（2）设生产A、B两种产品获得的总利润是y元，其中一种产品的生产件数是x，试写出y 与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案可以获得最大总利润。最大的总利润是多少？分析：本题中共出现了9个数据，其中涉及甲、乙两种原料的质量，生产A、B两种产品的总件数及两种产品所获得的利润等。为了清楚地整理题目所涉及的各种信息，我们可采用列表法。解：（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品是（50-x）件根据题意得：

应用同余问题

同余法解题（进阶）知识精讲例题1 求1992×59除以7的余数。练习1 求4217×364除以6的余数。例题2 已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？练习2 已知2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期几？例题3 求2001的2003次方除以7的余数。（费尔马小定理：某数的6次方除以7，余数为1）练习3 求12的200次方除以7的余数。例题4 自然数300，262，205除以m的余数相同，m最大是多少？练习4 1.一个整数除226、192、141都得到相同的余数，且余数不为0，这个整数是几？ 2.有一个整数，用它去除63、91、129得到三个余数的和是25，这个整数是多少？例题5 某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是几？练习5 某数除以7余1，除以5余1，除以12余9。这个数最小是几？挑战极限例6 当1991和1769除以某一个自然数m时，余数分别为2和1，那么m最小是多少？

例7在一个圆圈上有几十个孔（如图38-1），小明像玩跳棋那样从A孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跑回A孔，他先试着每隔2孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔。问：这个圆圈上共有多少个孔？课内练习 1.求1339655×12除以13的余数。 2.求879×4376×5283除以11的余数。 3.已知2002年的“七月一日”是星期一。求2015年的“七月一日”是星期几？ 4.2004的2004次方除以7的余数是多少？ 5.某数除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此数最小值。 6.一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少？ 7.A除以5余1，B除以5余4，如果3A大于B,那么3A-B除以5的余数是多少？ 8.若442、297、210都被同一个数相除，所得的余数相同。这个除数最大是多少？ 9.有一个自然数，用它分别除63,90,130，都有余数，三个余数的和为25，这三个余数中最小的一个是多少？ 10.号码分别为101, 126，173, 193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数，那么打球盘数最多的运动员打了多少盘？

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