2010年贵州高考理科数学卷及解答

2010年高考大纲全国卷 II 理科数学试题及答案

(云南、贵州、甘肃、青海、新疆、内蒙古)

理科数学(必修+选修II)[

第I 卷

参考公式：

如果事件A B 、互斥，那么 球的表面积公式

()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=

如果事件A B 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径

()()()P A B P A P B = 球的体积公式

如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34

3

V R π=

n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径

()(1)

(0,1,2,)k k n k

n n P k C p p k n -=-=… 源头学子 https://www.doczj.com/doc/612877869.html, 特级教师王新敞 wxckt@https://www.doczj.com/doc/612877869.html,

一．选择题

（1）复数2

31i i -??= ?+??

（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + （2）函数1ln(1)

(1)2

x y x +-=>的反函数是

（A ）21

1(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x -=+> （C ）21

1(R)x y e

x +=-∈ （D ）211(R)x y e x -=+∈

（3）若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -??

??+?

≥≥≤，则2z x y =+的最大值为

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=

（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35

（5）不等式

26

01

x x x ---＞的解集为 （A ）{}

2,3x x x -＜或＞ （B ）{}

213x x x -＜，或＜＜

（C ）{}

213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}

2113x x x -＜＜

，或＜＜ （6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种 （7）为了得到函数sin(2)3y x π

=-的图像，只需把函数sin(2)6

y x π

=+的图像

（A ）向左平移

4π个长度单位 （B ）向右平移4π

个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2

π

个长度单位

（8）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =uu r ，CA b =uu r

，1a =，2b =，则CD =u u u r

（A ）1233a b +

（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355

a b + （9）已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 （A ）1 （B ）3 （C ）2 （D ）3

（10）若曲线1

2

y x -=在点1

2,a a -?

? ???

处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =[来

（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8

（11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱

AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点 （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个

（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为3

2

，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的

直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =

，则k =

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）已知a 是第二象限的角，4

tan(2)3

a π+=-

，则tan a = ． （14）若9

()a x x

-的展开式中3

x 的系数是84-，则a = ．

（15）已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M 且斜率为3的直线与l 相交

于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =

，则p = ．

（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）

ABC ?中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =

，3

cos 5

ADC ∠=，求AD ．

（18）（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和2()3n n S n n =+ ． （Ⅰ）求lim

n

n n

a S →∞；

（Ⅱ）证明：12222312n

n a a a n

+++…＞．

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，

D 为1BB 的中点，

E 为1AB 上的一点，13AE EB =．

（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角

111A AC B --

的大小．

（20）（本小题满分12分）

如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求p ；

（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；

（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．

[

（21）（本小题满分12分）

己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()22

22100x y a b a b

-=＞，＞相交于B 、D 两点，且

BD 的中点为()1,3M ． （Ⅰ）求C 的离心率；

（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF = ，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．

（22）（本小题满分12分） 设函数()1x

f x e -=-．

（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1

x f x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1

x

f x ax ≤+，求a 的取值范围．

2010年高考大纲全国卷 II 理科数学参考答案

一．选择题

（1）复数2

31i i -??

= ?+??

（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】A

【命题意图】本试题主要考查复数的运算.

【解析】231i i -??= ?+??2

2(3)(1)(12)342i i i i --??

=-=--????

. （2）函数1ln(1)

(1)2

x y x +-=

>的反函数是

（A ）211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x -=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x -=+∈ 【答案】D

【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 【解析】由原函数解得21

1y x e

-=+，即121()1x f x e --=+，又1x >，∴10x ->；∴

ln(1)x R -∈,∴在反函数中x R ∈，故选D.

另法（一点定乾坤――反函数选择题最快捷的方法）：原函数过点(1

1e -+,0)，反函数必过点(0, 1

1e -+),符合条件的只有选项D.

（3）若变量,x y 满足约束条件1,

,325x y x x y -??

??+?

≥≥≤，则2z x y =+的最大值为

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C

【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.

【解析】可行域是由A(1,1),B(1,4),C(1,1)---构成的三角形，可知目标函数过C 时最大，最大值为3，故选C.

（4）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=

（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 【答案】C

【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】173454412747()

312,4,7282

a a a a a a a a a a a +++===∴+++=

== （5）不等式

26

01

x x x ---＞的解集为 （A ）{}

2,3x x x -＜或＞ （B ）{}

213x x x -＜，或＜＜

（C ）{}

213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}

2113x x x -＜＜

，或＜＜ 【答案】C

【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.

【解析】

26(3)(2)

0011

x x x x x x ---+>?>--，利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1或x ＞3，故选C

另法：当0x =时不等式成立，所以排除A 、B ；当2x =时不等式不成立，所以排除 D.故故选C

（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，

其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种 【答案】B

【解析】本题考查了排列组合的知识，考察考生分析问题的能力.

∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信

封有246C =，余下放入最后一个信封，∴共有2

4318C =，故选B.

（7）为了得到函数sin(2)3y x π

=-的图像，只需把函数sin(2)6

y x π

=+的图像

（A ）向左平移

4π个长度单位 （B ）向右平移4π

个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2

π

个长度单位

【答案】B

【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移. 【解析】sin(2)6

y x π

=+

=sin 2()12x π+

，sin(2)3y x π=-sin 2()6

x π

=-，所以将sin(2)6

y x π

=+

的图像向右平移

4π个长度单位得到sin(2)3

y x π

=-的图像，故选B.

（8）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若CB a =uu r r ，CA b =uu r r ，1a =r ，2b =r

，则CD =u u u r

（A ）1233a b +r r （B ）2133a b +r r （C ）3455a b +r r （D ）4355

a b +r r

【答案】B

【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 【解析】因为CD 平分ACB ∠，由角平分线定理得

AD CA

2

=

DB

CB 1

=，所以D 为AB 的三等分点，且22AD AB (CB CA)33==- ，所以2121CD CA+AD CB CA a b 3333

==+=+

，

故选B.

（9）已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 （A ）1 （B ）3 （C ）2 （D ）3

【答案】C

【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题. 【解析】设底面边长为a ，则高22221

(

)1222

h SA a a =

-=-所以体积，246111

12332

V a h a a ==-

设4

6

1122

y a a =-

，则35283y a a '=-，当y 取最值时，352830y a a '=-=，解得a=0或a=4时，体积最大，此时2

11222

h a =-=，故选C.

（10）若曲线1

2

y x -=在点12,a a -?

? ???

处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =

（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..

【解析】332211',22y x k a --=-∴=-，切线方程是13221

()2

y a a x a ---=--，令0x =，

1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是1213

31822

s a a -=??=，解得64a =.故

选A.

（11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱

AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点 （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个 【答案】D

【解析】直线

上取一点，分别作

垂直于

于

则

分别

作O 1N ⊥A 1D 1，O 2M ⊥CC 1,O 3Q ⊥AB ，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥A 1D 1，PM ⊥CC 1；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以

O 1N ＝O 2M ＝O 3Q ，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线

的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.

（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为3

2

，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的

直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =

，则k =

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】B

【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.

【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得1||||,AF A A e =

1||

||,BF B B e

=由3AF FB = ，得1||

||3,BF A A e

=， ∴||13

cos ||23

AE BAE AB e ∠===

，∴6sin 3BAE ∠=，tan 2BAE ∠=，即k=2，故选B.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）已知a 是第二象限的角，4

tan(2)3

a π+=-

，则tan a = ．

【答案】12

-

【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.

【解析】由4tan(2)3a π+=-

得4

tan 23

a =-，又22t a n 4t a n 21t a n 3a αα==--，解得

1t a n t a n 22αα=-=或，又a 是第二象限的角，所以1

tan 2α=-.

（14）若9()a x x

-的展开式中3

x 的系数是84-，则a = ．

【答案】1

【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.

【解析】展开式中3

x 的系数是3

339()8484,1C a a a -=-=-∴=.

（15）已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M 且斜率为3的直线与l 相交

于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =

，则p = ．

【答案】2

【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.

【解析】过B 作BE 垂直于准线l 于E ，∵AM MB = ，∴M 为中点，∴1

BM AB 2

=，又

斜率为3，0

BAE 30∠=，∴1BE AB 2

=，∴BM BE =，∴M 为抛物线的焦点，∴

p =2.

（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ． 【答案】3

【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.

【解析】设E 为AB 的中点，则O ，E ，M ，N 四点共面，如图，∵4AB =，所以

2

2

AB OE R 232??

=-= ???

，∴ME=3，由球的截面性质，有OM ME,ON NE ⊥⊥，

∵3OM ON ==，所以MEO ?与NEO ?全等，所以MN 被OE 垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得，ME MO

MN=2

3OE

=

------------------------------------------------------------------------------------------

2010年高考数学解析（全国Ⅱ卷理）

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案 A D C C C B B B C A D B

1．A 解析：本题考查了复数的运算。

（

i i +-13）2=i i 268-=i i i i ?-2)68(=2

86-+i

=－3－4i ； 2．D 解析：本题考查了反函数的求解、原函数与反函数的关系等。

由y=

2

)1ln(1-+x 得2y=1+ln （x －1），即ln

（x －1）=2y －1，那么x －1=e 2y －

1，即x=e 2y

－1

－1，故对应的反函数为y=e 2x －

1+1，由于原函数中y ∈R ，则相应的反函数中x ∈R ； 3．C 解析：本题考查了线性规划的知识与函数的最值问题。

作出可行域??

?

??≤+≥-≥5231y x x y x ，如图所示，作出目标函数线，可得直线y=x 与3x+2y=5的

交点为最优解点，即为（1，1），当x=1，y=1时z 的最大值为1+2=3；

4．C 解析：本题考查了等差数列的通项及其基本性质等知识。

在等差数列{a n }中，由于a 3+a 4+a 5=12，则2a 4=a 3+a 5=8，即a 4=4，那么根据等差数列的性质知a 1+a 2+…+a 7=7a 4=28；

5．C 解析：本题考查了分式不等式的求解。

由1

6

2---x x x >0，得1)3)(2(--+x x x >0，根据不等式的性质可以求解对应的解为－2

或x>3；

6．B 解析：本题考查了排列组合的知识。

先从3个信封中选一个放标号为1，2的卡片，有3种不同的选法；再从剩下的4张卡片中选两张放到一个信封有2

4C 种；余下的两张卡片放入最后一个信封，∴共有32

4C =18种不同的放法；

7．B 解析：本题考查了三角函数的图象的平移问题。

由于y=sin （2x+

6π）=sin[2（x+12π）]=sin[2（x －6π+4

π）]，那么要得到函数y=sin[2（x －6π）]的图像，只要把y=sin （2x+6π）向右平移4

π

个长度单位即可；

8．B 解析：本题考查了三角形的基本性质与平面向量的基础知识。

由于CD 为角平分线，则利用角平分线性质有CB ：CA=BD ：AD=1：2，由于BA =CA

－CB =b －a ，那么CD =CB +BD =a +

31BA =a +31（b －a ）=32a +3

1

b ； 9．C 解析：本题考查了空间几何体的体积，导数的应用以及探究性问题。

设正四棱锥S —ABCD 的高为h ，底面正方形的边长为a ，那么有h 2+（2

2a ）2

=SA 2=12，那么a 2=24－2h 2，那么该几何体的体积为V=

31a 2h=31（24－2h 2）h=8h －3

2

h 3，则V ′=8－2h 2，令V ′=0，解得h=2，即当h=2时，对应的体积最大，最大值为3

16

；

10．A 解析：本题考查了导数的几何意义，直线的点斜式方程，直线与坐标轴围成三角形的特征与公式，以及幂运算等。

由于y=2

1-x

，那么y ′=－2123-x ，那么由导数的几何意义知k=－2

123

-

a ，则对应的切

线方程为y －2

1

-a

=－2123-a （x －a ），令x=0，得y=2

321

-a ，令y=0，得x=3a ，则

S=21×2

321

-

a ×3a=18，整理得21

a =8，解得a=64； 11．D 解析：本题考查了空间想象能力。

由于到三条两两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点；

12．B 解析：本题考查了椭圆的方程与几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的相关知识等。

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由于AF =3FB ，则有y 1=－3y 2，而e=

2

3

，可设a=2t ，c=3t ，b=t ，代入椭圆方程整理有x 2+4y 2－4t 2=0，而对应的直线AB 的方程为y=k （x －3t ），即x=sy+3t （令s=

k

1

），代入x 2+4y 2－4t 2=0消去x 并整理可得（s 2+4）y 2+23tsy －t 2=0，那么y 1+y 2=－4322+s ts ，y 1y 2=－422+s t ，把y 1=－3y 2代入得－2y 2=－4322+s ts

，－3y 22=－

422+s t ，解得s=2

2

，故k=2； 13．－

2

1

解析：本题考查了三角函数的诱导公式，三角函数的恒等变换公式等。 由于tan （π+2α）=tan 2α=－34，又tan 2α=α

α

2

tan 1tan 2-=－34，则有2tan 2α－3tan α－2=0，

解得tan α=2或tan α=－

21，由于α是第二象限角，则取tan α=－2

1； 14．1 解析：本题考查了二项展开式定理及其应用。

由于T r+1=r

C 9?x 9－

r ?（－

x

a ）r =r C 9（－a ）r ?x 9－2r ，令9－2r=3，解得r=3，则有3

9C （－a ）3

=－84，解得a=1；

15．:C )0(22>=p px y 的准线为l ，过)0,1(M 且 斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个 交点为B .若→

→

=MB AM ,则=p

法一：2 解析：本题考查了抛物线的几何性质，以及平面向量的基本知识。

由于直线AB 的方程为y=3（x －1），代入y 2=2px 得3x 2－（6+2p ）x+3=0，又由于

AM =MB ，那么结合图形特征可得点B 的横坐标x=

2

1

p+2，代入3x 2－（6+2p ）x+3=0整理可得p 2+4p －12=0，解得p=2或p=－6（负值舍去）； 例题5 （全国Ⅱ文理15题）已知抛物线

法二：如图所示，在1ABB Rt ?中，?

=∠301BAB ,

12BB AB =,又→

→=MB AM ，则M 是A 、B 中点，

则BM BB =1,则M 与焦点F 重合，则2=p . 16．3 解析：本题考查了球、直线与圆的基础知识。

由于ON=3，球半径为4，∴小圆N 的半径为7，∵小圆N 中弦长AB=4，作NE 垂

直于AB ，∴NE=3，同理可得ME=3，在直角三角形ONE 中，∵NE=3，ON=3，∴∠EON=30o，∴∠MON=60o，∴MN=3；

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

O

M N

E A

B F

B 1

B

M

A x

y

（17）（本小题满分10分）

ABC 中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =

，3

cos 5

ADC ∠=，求AD 。 【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的

应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.

【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。

由ADC ∠与B ∠的差求出BAD ∠，根据同角关系及差角公式求出BAD ∠的正弦，在三角形ABD 中，由正弦定理可求得AD 。

解： 由3cos 052ADC B π∠=

><知 由已知得124cos ,sin 135

B AD

C =∠=， 从而 sin sin()BA

D ADC B ∠=∠-

=sin cos cos sin ADC B ADC B ∠-∠

41235

513513=??? 33

65

=.

由正弦定理得

AD sin sin BD

B BAD =∠, 所以sin AD sin BD B

BAD

?=∠

53313=

=253365

?

. 【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.

（18）（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和2()3n n S n n =+ ． （Ⅰ）求lim

n

n n

a S →∞；

（Ⅱ）证明：

12

222312n n a a a n

+++…＞． 【命题意图】本试题主要考查数列基本公式11(1)

(2)n n n s n a s s n -=?

=?

-≥?的运用，数列极限和数列

不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.

【解析】（Ⅰ）1lim

lim n n n n n n n a S S S S -→∞→∞-=1lim(1)n n n S S -→∞=-11lim n n n

S

S -→∞-，

1111lim

lim 133n n n n

S n S n -→∞→∞-=?=+，

所以2

lim

3n n n

a S →∞=.

（Ⅱ）当1n =时，

1

12631

a S ==>； 当1n >时，12

222

12n a a a n +++ 1121

222

12n n S S a S S n ---=+++

【点评】2010年高考数学全国I 、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续. （19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =．

（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角

111A AC B --的大小．

【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力.

【解析】

解法一：（Ⅰ）连接1A B ，记1A B 与1AB 的交点为F.

因为面11AA B B 为正方形，故11A B AB ⊥，且1AF FB =. 又13AE EB =，所以1FE EB =，又D 为1BB 的中点， 故//DE BF ，1DE AB ⊥.

作CG AB ⊥，G 为垂足，由AC BC =知，G 为AB 中点.

又由底面ABC ⊥面11AA B B ，得CG ⊥面11AA B B .连接DG ，则1//DG AB ， 故DE DG ⊥，由三垂线定理，得DE CD ⊥. 所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线.

（Ⅱ）因为1//DG AB ，故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，45CDG ∠=

. 设2AB =，则122,2,2,3AB DG CG AC ====.

作111B H AC ⊥，H 为垂足.因为底面111A B C ⊥面11AAC C ，故1B H ⊥面11AAC C ，又作1HK AC ⊥，K 为垂足，连接1B K ，由三垂线定理，得11B K AC ⊥，因此1B KH ∠为二面角111A AC B --的平面角.

2

21111

11111

1()2223A B AC A B B H AC ?-==

， 2211113

3

HC B C B H =-=

， 2212(3)7AC =+=，11123

37

AA HC HK AC ?=

=

，

（Ⅱ）因为1,B A DC

等于异面直线1AB 与CD 的夹角， 故11cos 45B A DC B A DC ?=?

，

即2

2

22242

c ?+?

=， 解得2c =，故(1,0,2)AC =-

.又11(0,2,0)AA BB == ， 所以11(1

,2,2)AC AC AA =+=- . 设平面11AAC 的法向量为(,,)m x y z = ，则110,0m AC m AA ?=?= ，

即220x y z -++=且20y =.令2x =

，则1,0z y ==，故(2,0,1)m =

.

设平面11AB C 的法向量为(,,)n p q r = ，则110,0n AC n B A ?=?=

，

即220,220p q r p q -++=-=. 令2p =，则2,1q r ==-，故(2,2,1)n =-

.

所以1

cos ,15

m n m n m n ?=

=. 由于,m n 等于二面角111A AC B --的平面角， 所以二面角111A AC B --的大小为15

arccos

15

.

【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处. （20）（本小题满分12分）

如图，由M 到N 的电路中有4个组件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各组件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．

（Ⅰ）求p ；

（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；

（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的组件个数，求ξ的期望．

【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力. 【解析】记1A 表示事件：电流能通过T ,1,2,3,4,i i = A 表示事件：123T T T ，，中至少有一个能通过电流， B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过， （Ⅰ）123123A A A A A A A = ，，，相互独立，

3123123P()()()()()(1)A P A A A P A P A P A p ===- , 又 P()1P(A)=10.9990.001A =--=， 故 3

(1)0.0010.9p p -==，，

（Ⅱ）44134123B A +A A A +A A A A = ， 44134123P (B )

P (A +A A A +A A A

A )= 44134123P(A )+P(A A A )+P(A A A A )=

44134123P(A )+P(A )P(A )P(A )+P(A )P(A )P(A )P(A )= =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891

（Ⅲ）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立， 故~(4,0.9)B ξ，40.9 3.6E ξ=?=.

【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解答题的前3题的位置逐渐后移到第20题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这应引起高度重视.

（21）（本小题满分12分）

己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()22

22100x y a b a b

-=＞，＞相

交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M ． （Ⅰ）求C 的离心率；

（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF = ，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．

【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力. 【解析】

解：（Ⅰ）由题设知，l 的方程为：2y x =+.

代入C 的方程，并化简，得2222222()440b a x a x a a b ----=. 设11(,)B x y 、22(,)D x y ，

则2222

12122222

44,a a a b x x x x b a b a

++=?=---，① 由(1,3)M 为BD 的中点知

12

12

x x +=， 故2

2

2

1412a b a

?=-，即223b a =，② 故222c a b a =+=，所以C 的离心率2c

e a

=

=. （Ⅱ）由①、②知，C 的方程为：2

2

2

33x y a -=，

2

121243(,0),(2,0),2,02

a A a F a x x x x ++==-<，

故不妨设12,x a x a ≤-≥.

2222211111(2)(2)332BF x a y x a x a a x =-+=-+-=-，

2222

222222(2)(2)332FD x a y x a x a x a =-+=-+-=-，

12(2)(2)BF FD a x x a ?=--2121242()x x a x x a =-++-2548a a =++.

又17BF FD ?=，故2

54817a a ++=，解得1,a =或9

5

a =-

（舍去）. 故212121222()46BD x x x x x x =

-=?+-=.

连接MA ，则由(1,0),(1,3)A M 知3MA =，从而MA MB MD ==，且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点Ａ处于x 轴相切． 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切. 【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.

（22）（本小题满分12分） 设函数()1x

f x e -=-．

（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1

x

f x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1

x

f x ax ≤

+，求a 的取值范围． 【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【解析】

于是()g x 在0x =处达到最小值，因而当x R ∈时，()(0)g x g ≥，即1x

e x ≥+. 所以当1x >-时，()1

x f x x ≥

+. （Ⅱ）由题设0x ≥，此时()0f x ≥. 当0a <时，若1x a >-

，则01x ax <+，()1

x

f x ax ≤+不成立；

源头学子 https://www.doczj.com/doc/612877869.html, 特级教师王新敞 wxckt@https://www.doczj.com/doc/612877869.html,

【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.