2．1 两角差的余弦函数 2．2 两角和与差的正弦、余弦函数
1．了解两角差的余弦公式的推导过程．
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式，两角和的正弦、余弦公式．(重点) 3．会利用公式解决简单的化简求值问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理 两角和与差的正弦、余弦函数 阅读教材P 118～P 120练习以上部分，完成下列问题． 1．两角差的余弦公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(C α－β) 2．两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(C α＋β) 3．两角和与差的正弦公式
(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(S α＋β)， (2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S α－β)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的余弦公式中，角α，β是任意的．( ) (2)sin(α＋β)＝sin α＋sin β一定不成立．( ) (3)sin(α－β)＝sin βcos α－sin αcos β.( ) (4)存在α，β，使cos(α－β)＝cos α＋cos β.( ) 【解析】 (1)√.
(2)×.如当α＝π6，β＝－π
6时，则sin(α＋β)＝0.
sin α＋sin β＝sin π6＋sin ? ??
??－π6＝0，
∴当α＝π6，β＝－π
6时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β.
(3)×.sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (4)√.如α＝π2，β＝π
4时，
cos(α－β)＝cos α＋cos β. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
求值：(1)sin 15°＋cos 15°；
(2)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°.
【精彩点拨】 解答本题首先把非特殊角向特殊角转化成创造条件逆用公式，然后再应用公式求解．
【自主解答】 (1)法一：sin 15°＋cos 15° ＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)
＝sin 45°cos 30°－cos 45° sin 30°＋cos 45°cos 30°＋ sin 45° sin 30° ＝
22×32－22×12＋22×32＋22×12＝6
2
. 法二：sin 15°＋cos 15° ＝2?
??
??
22·sin 15°＋22·cos 15°
＝2sin(15°＋45°) ＝2sin 60°＝
62
. (2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin 29° ＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1°sin 29° ＝－(sin 29° cos 1°＋cos 29° sin 1°) ＝－sin(29°＋1°)＝－sin 30°＝－1
2
.
1．解决此类问题的关键是将非特殊角的三角函数求值问题，转化为特殊角的三角函数求值问题．
2．化为特殊角的和与差的形式，公式中只有两个角，运用公式时，务必熟记公式的结构特征和符号规律．
[再练一题]
1．求值：(1)cos(x ＋27°)·cos(x －18°)＋sin(x ＋27°)· sin(x －18°)；
(2)cos 105°＋sin 195°的值．
【解】 (1)cos(x ＋27°)cos(x －18°)＋sin(x ＋27°)·sin(x －18°) ＝cos[(x ＋27°)－(x －18°)] ＝cos 45° ＝22
. (2)cos 105°＋sin 195°＝cos 105°－sin 15° ＝cos(60°＋45°)－sin(60°－45°)
＝cos 60°cos 45°－sin 60°·sin 45°－sin 60°cos 45°＋cos 60°·sin 45° ＝12×22－32×22－32×22＋12×22 ＝
2－6
2
.
已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35
.求sin 2α
的值．
【精彩点拨】 由于2α＝(α－β)＋(α＋β)，故可用两角和的正弦公式求解． 【自主解答】 ∵π2<β<α<3π
4，
∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π
2，
∴sin(α－β)＝1－cos 2
α－β ＝
5
13
， cos(α＋β)＝－1－sin 2
α＋β ＝－45.
∴sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×? ????－45＋1213×? ????－35 ＝－5665
.
1．给值求值问题主要有两类：一是直接利用公式展开后求值．二是变角求值．即将问题中的角表示成已知角的和或差整体求值．在计算中要注意根据角的取值范围确定三角函数值的符号．
2．常见的变角技巧： 2α＝(α＋β)＋(α－β)， 2β＝(α＋β)－(α－β)，
α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等．
[再练一题]
2．已知α，β是锐角，且sin α＝437，cos(α＋β)＝－11
14
，求sin β的值.
【导学号：66470067】
【解】 ∵α是锐角，且sin α＝43
7，
∴cos α＝1－sin 2
α＝
1－?
????4372＝1
7
. 又∵sin(α＋β)＝1－cos 2
α＋β ＝
1－? ??
??－11142
＝
53
14
， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β) sin α＝5314×17－? ????－1114×437＝3
2.
[探究共研型]
探究1 【提示】 给值求角即求该角的某种三角函数值． 探究2 给值求角的关键是什么？
【提示】 关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示． 探究3 常用的角的变换技巧有哪些？
【提示】 互余或互补关系的应用，如π4－α与π4＋α互余，π4＋α与3
4π－α互补
等．
已知α∈? ????0，π2，β∈? ??
??－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－
2
10
，求α. 【精彩点拨】 先计算sin α后再根据α∈? ????0，π2确定角α大小．
【自主解答】 ∵α∈? ????0，π2，β∈? ??
??－π2，0，
∴α－β∈(0，π)． ∵cos(α－β)＝3
5，
∴sin(α－β)＝4
5
.
∵β∈? ????－π2，0，sin β＝－210，∴cos β＝7210， ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×? ????－210＝2
2. 又∵α∈?
????0，π2，∴α＝π4.
1．解决这类问题，关键有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围．一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，便可求解．
2．确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定. 注意本题解答中如果求出sin(α＋β)＝
22，可能就会导致α＋β＝π4或3π
4
.
[再练一题]
3．已知α，β都是锐角，且sin α＝
55，sin β＝10
10
.求α＋β的值． 【解】 因为α，β都是锐角，所以0<α<π2，0<β<π
2，
0<α＋β<π，又sin α＝
55，sin β＝10
10
， 所以cos α＝1－sin 2
α＝255，cos β＝31010
，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝2
2.
又0<α＋β<π， 所以α＋β＝π
4
.
1．cos 66°·cos 36°＋cos 24°·cos 54°的值为( ) A ．0 B ．12 C.32
D ．－12
【解析】 cos 66°·cos 36°＋cos 24°·cos 54° ＝cos 66°·cos 36°＋sin 66°·sin 36° ＝cos(66°－36°)＝cos 30° ＝32
. 【答案】 C
2．若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b ＝________. 【解析】 a ·b ＝cos 60° ·cos 15°＋sin 60°·sin 15° ＝cos(60°－15°) ＝cos 45° ＝32
. 【答案】
32
3．cos 345°的值为________.
【导学号：66470068】
【解析】 cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15° ＝cos(45°－30°)
＝c os 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝
2＋6
4
. 【答案】
2＋6
4
4．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ? ????α＋π4＝________. 【解析】 因为α为第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2
α＝－35，
所以sin ? ????α＋π4＝sin α·cos π4＋cos α·sin π4＝ －35×22＋? ????－45×22＝－7
10 2. 【答案】 －710
2
5．已知sin ? ????π4－α＝5
13，求cos 2
α－sin 2
αcos ? ??
??π4－α.
【解】 cos 2α－sin 2
α
cos ? ????π4－α
＝
cos α－sin α cos α＋sin α
2
2
cos α＋sin α
＝2(cos α－sin α) ＝2?
??
??
22cos α－22sin α
＝2sin ? ??
??π4－α
＝10
13
.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________
第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定
四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。
三角恒等式 1．三角恒等式 基本公式 sin（2kπ+α）＝sinα，cos（2kπ+α）＝cosα，tan（2kπ+α）＝tanα cot（2kπ+α）＝cotα，sec（2kπ+α）＝secα，csc（2kπ+α）＝cscα sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα cot（π+α）＝cotα，sec（π+α）＝﹣secα，csc（π+α）＝﹣cscα sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα cot（﹣α）＝﹣cotα，sec（﹣α）＝secα，csc（﹣α）＝﹣cscα sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα cot（π﹣α）＝﹣cotα，sec（π﹣α）＝﹣secα，csc（π﹣α）＝cscα sin（α﹣π）＝﹣sinα，cos（α﹣π）＝﹣cosα，tan（α﹣π）＝tanα cot（α﹣π）＝cotα，sec（α﹣π）＝﹣secα，csc（α﹣π）＝﹣cscα sin（2π﹣α）＝﹣sinα，cos（2π﹣α）＝cosα，tan（2π﹣α）＝﹣tanα cot（2π﹣α）＝﹣cotα，sec（2π﹣α）＝secα，csc（2π﹣α）＝﹣cscα sin（π/2+α）＝cosα，cos（π/2+α）＝﹣sinα，tan（π/2+α）＝﹣cotα cot（π/2+α）＝﹣tanα，sec（π/2+α）＝﹣cscα，csc（π/2+α）＝secα sin（π/2﹣α）＝cosα，cos（π/2﹣α）＝sinα，tan（π/2﹣α）＝cotα cot（π/2﹣α）＝tanα，sec（π/2﹣α）＝cscα，csc（π/2﹣α）＝secα sin（3π/2+α）＝﹣cosα，cos（3π/2+α）＝sinα，tan（3π/2+α）＝cotα cot（3π/2+α）＝tanα，sec（3π/2+α）＝cscα，csc（3π/2+α）＝﹣secα sin（3π/2﹣α）＝﹣cosα，cos（3π/2﹣α）＝sinα，tan（3π/2﹣α）＝cotαcot（3π/2﹣α）＝tanα，sec（3π/2﹣α）＝﹣cscα，csc（3π/2﹣α）＝﹣secα两角余差 1/ 3
高考数学（文）难题专项训练：三角函数及三角恒等变换 1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且θ=∠A 若 AO m AC B C AB C B 2sin cos sin cos =+则=m （ ） A ．θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定 2.设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ?∈，有 D l x ∈+，且)()(x f l x f ≥+，则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题： ①函数x x f -=2 )(为R 上的1高调函数； ②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数； ③如果定义域为),1[+∞-的函数2 )(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是),2[+∞； ④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数. 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30< 4. 在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b a b 2sin 2sin log log ,22<>， bc a c b 3222+=+,若0 3.2 简单的三角恒等变换 一．教学目标 1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向 使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三 角恒等变形在数学中的应用。 3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中 如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 三、教学设想： （一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式 （二）新课讲授： 1、由二倍角公式引导学生思考：2 αα与有什么样的关系？ 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． 例1、试以cos α表示222 sin ,cos ,tan 222α α α． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 2 2α α-=； 因为2cos 2cos 12α α=-，可以得到21cos cos 22 α α+=． 又因为222 sin 1cos 2tan 21cos cos 2α α ααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例2．已知135sin = α，且α在第二象限，求2tan α的值。 例3、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）、sin sin 2sin cos 22θ? θ? θ?+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手． ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβ?+=-=， 那么,22θ? θ? αβ+-==． 把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos 22θ?θ?θ?+-+=． 思考：在例3证明中用到哪些数学思想？ 例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式， 三角函数恒等变形公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 三角函数恒等变形公式 以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asi nα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] （数学4必修）第三章 三角恒等变换 [基础训练A 组] 一、选择题 1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．7 24- 2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A . 5π B .2 π C .π D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 4．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c = ， 则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b << 5．函数)cos[2()]y x x ππ= -+是（ ） A .周期为4π的奇函数 B .周期为4 π的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期为2 π的偶函数 6．已知cos 2θ= 44sin cos θθ+的值为（ ） A ．1813 B ．1811 C ．9 7 D ．1- 二、填空题 1．求值：0000 tan 20tan 4020tan 40+=_____________。 2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα += 。 3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。 4．已知sin cos 223 θ θ +=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。 5．ABC ?的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2 B C A ++取得最大值，且这个最大值为 。 三、解答题 1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值. 2．若,2 2sin sin = +βα求βαcos cos +的取值范围。 3．求值：0 010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20 -+-- 4．已知函数.,2 cos 32sin R x x x y ∈+= （1）求y 取最大值时相应的x 的集合； （2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象. （数学4必修）第三章 三角恒等变换 [综合训练B 组] 一、选择题 1．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 13a b c -=-==+则有（ ） A .a b c >> B .a b c << C .a c b << D .b c a << 三角恒等变换公式 1.两角和与差的三角函数 和（差）角公式： sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β tan(α±β)= β αβαtan tan 1tan tan ± 倍角公式： sin 2α =2sin αcos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1 - sin 2α tan2α=αα2tan 1tan 2- 2.和差化积与积化和差公式 积化和差公式： 2sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β) 2cos αsin β= sin(α+β)-sin(α-β) 2cos αcos β= cos(α+β)+cos(α-β) -2sin αsin β=cos(α+β)-cos(α-β) 和差化积公式： sin α+ sin β=2sin 2βα+cos 2 β α- sin α- sin β=2cos 2βα+sin 2 βα- cos α+ cos β=2cos 2βα+cos 2 βα- cos α- cos β=-2sin 2βα+sin 2βα- 3.万能公式与半角公式 万能公式： sin α=2tan 12tan 22 αα+ cos α=2tan 12tan 12 2 αα+- tan α=2tan 12tan 22 αα- 半角公式： sin 2 cos 12αα -±= cos 2 cos 12αα+±= tan ααα cos 1cos 12+-± ==ααsin cos 1-=ααcos 1sin + 其他： cos 2 2cos 12αα+= sin 22cos 12αα-= 1+cos2α=2cos α2 1-cos2α=2sin α2 第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )， 三角函数恒等变形公式 以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数 两角和与差的三角函数: cos( a + 3)=cos a ? cos 3 -sin a ?sin 3 cos( a - 3)=cos a ? cos 3 +sin a ?sin 3 sin( a ±3 )=sin a ? cos 3 ±cos a ? sin 3 tan( a + 3)=(tan a +tan 3 )/(1-tan a ? tan 3 ) tan( a - 3)=(tan a -tan 3 )/(1+tan a ? tan 3 ) 三角和的三角函数： sin( a + 3 +Y )=sin a ? cos 3 ? cos 丫+cos a ? sin 3 ? cos 丫+cos a ? cos 3 ? sin 丫-sin a ? sin 3 ? sin 丫cos( a + 3 + Y )=cos a ? cos 3 ? cos 丫-cos a ? sin 3 ? sin Y -sin a ? cos 3 ? sin 丫-sin a ? sin 3 ? cos 丫 tan( a + 3 + Y )=(tan a +tan 3 +tan 丫-tan a ?tan 3 ? tan 丫)/(1-tan a ? tan 3 -tan 3 ? tan 丫-tan 丫? tan a ) 辅助角公式： Asin a +Bcos a =(A2+B2)A( 1/2)sin( a +t)，其中 si nt=B/(A2+B2)A(1/2) cost=A/(A2+B2)A(1/2) tan t=B/A As in a -Bcos a =(A2+B2)A(1/2)cos( a -t) , tan t=A/B 倍角公式： sin (2 a )=2sin a? cos a :=2/(tan a +cot a ) cos(2 a )=cos2( a )- sin2( a )=2cos2( a )-仁1- 2sin2( a ) tan (2 a )=2tan a/[1- tan2( a )] 三倍角公式： sin (3 a )=3sin a-4sin3( a )=4sin a-sin(60+ a )sin(60- a ) cos(3 a )=4cos3( a )-3cos a =4cos a-cos(60+ a)cos(60- a ) tan(3 a )=tan a ? tan( n /3+a) ? tan( n /3-a) 半角公式： Sin( a /2)= ±V((1 -cos a )/2) cos( a /2)= ±V ((1+cos a )/2) tan( a /2)= ±V ((1 -cos a )/(1+cos a ))=sin a /(1+cos a )=(1-cos a )/sin a 降幕公式 sin2( a )=(1-cos(2 a ))/2=versin(2 a )/2 cos2( a )=(1+cos(2 a ))/2=covers(2 a )/2 tan2( a )=(1-cos(2 a ))/(1+cos(2 a )) 万能公式： sin a =2tan( a /2)/[1+tan2( a /2)] cos a =[1- tan2( a /2)]/[1+tan2( a /2)] tan a =2tan( a /2)/[1- tan2( a /2)] 积化和差公式： 高中数学必修4 三角恒等变换1 1．已知(,0)2 x π ∈-，4 cos 5 x = ，则=x 2tan （ ） A ． 247 B ．247- C ．7 24 D ．724- 2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A . 5π B .2 π C .π D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 4．函数)cos[2()]y x x ππ= -+是（ ） A .周期为 4π的奇函数 B.周期为4π 的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期 为2 π 的偶函数 5．已知cos 23 θ= ，则44 sin cos θθ+的值为（ ） A ． 1813 B ．1811 C ．9 7 D ．1- 6. 函数2 sin cos y x x x =+的图象的一个对称中心是（ ） A .2( ,32π- B .5(,62π- C .2(,32π- D .(,3 π 7. 当04 x π <<时,函数22cos ()cos sin sin x f x x x x =-的最小值是（ ） A ．4 B ． 12 C ．2 D ．14 8. 已知函数()sin(2)f x x ?=+的图象关于直线8 x π= 对称，则?可能是（ ） A . 2π B .4π- C .4 π D .34π 9. 将函数sin()3y x π =-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将 所得的图象向左平移3 π 个单位，得到的图象对应的僻析式是（ ） A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=- C .1sin()26y x π=- D .sin(2)6 y x π =- 高中数学三角恒等变换精选题目（附答案） 1、cos 24cos36cos66cos54? ? ? ? -的值为（ ） A 0 B 12 C 2 D 1 2 - 2.3cos 5α=- ，,2παπ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 3. tan 20tan 4020tan 40? ? ? ? ++的值为（ ） A 1 B 3 C D 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ） A 47- B 47 C 18 D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4 cos 5 αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4,43(ππ- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、7 25 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（ ） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于 5 4 ,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A 1010 B 1010- C 10103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-= 的图像（ ） A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12π个单位 10. 函数sin 22x x y =+的图像的一条对称轴方程是 （ ） A 、x =113π B 、x = 53π C 、53x π=- D 、3 x π =- 11. 已知1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则x tan 的值为 （ ） A 、34 B 、34- C 、43 D 、4 3- 12.若0,4πα? ? ∈ ?? ?()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1 tan 7 β=-,则=-βα2 （ ） A 、56π- B 、23π- C 、 712 π- D 、34π- 13. .在ABC ?中，已知tanA ,tanB 是方程2 3720x x -+=的两个实根，则tan C = 14. 已知tan 2x =，则 3sin 22cos 2cos 23sin 2x x x x +-的值为 15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ?面积的最小值为 。 16. 关于函数( )cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ?? - ???? 上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π?? ??? 成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移 512 π 个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上） 17. 已知02 π α<< ，15tan 2 2tan 2 α α + = ，试求sin 3πα? ?- ?? ?的值． 18. 求) 212cos 4(12sin 3 12tan 30 200--的值． 两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β (T α－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β (T α＋β) 2． 二倍角公式 sin 2α＝ααcos sin 2； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如 T α±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β＝tan α－tan β tan α－β－1. 4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α －φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 三角恒等变换公式 教学目标： 1、掌握二倍角公式、和差公式的应用； 2、掌握拼凑法在求解角度三角函数值的应用。 重难点分析： 重点：1、和差公式、二倍角公式的记忆； 2、公式变换与求解三角函数值。 难点：1、二倍角公式的灵活使用； 2、整体代换思想与求解三角函数值。 知识点梳理 1、和差公式 sin()__________________±=αβcos()________________±=αβtan()___________ ±=αβ。 2、二倍角公式 sin 2_______________α=； cos 2___________________________________α===； tan 2____________α=。 3、半角公式[升（降）幂公式] 2sin ____________α=、2cos _________α=、sin cos _________αα=。 4、合一公式[辅助角公式] sin cos ____________a b αα+=（?由,a b 具体的值确定）； )sin(cos sin 22?ααα++= +b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注意：公式中的α是角度代表，可以是α2、2 α 等。 知识点1：利用公式求值 （1）和差公式 【例1】cos79°cos34°＋sin79°sin34°＝【 】 A ．2 1 B ．1 C ． 2 2 D ． 2 3 【例2】sin 27cos63cos27sin63??+??=【 】 A ．1 B ．1- C ． 22 D ．2 2- 【随堂练习】 1、sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于【 】 A ．0 B ． 2 1 C ． 2 3 D ．1 2、cos12°cos18°－sin12°sin18°＝【 】 (A )2 1- (B )2 3- (C )2 1- (D ) 2 3 3、sin70°sin25°＋cos70°cos25°=________。 4、sin34sin 26cos34cos26??-??=【 】 A ．12 B ．1 2 - C ．32 D ．32- 5、式子cos cos sin sin 12 6 12 6 π π π π -的值为【 】 §6.3 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 【复习目标】 1．掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式； 2．能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 3．能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明． 【双基诊断】 （以下巩固公式） 1、163°223°253°313°等于 （ ） A.－2 1 B.2 1 C.－ 2 3 D. 2 3 2、在△中，已知2，那么△一定是 （ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 3、??-?70sin 20sin 10cos 2的值是 （ ） A.2 1 B. 2 3 C. 3 D.2 4、已知α－β=2 1，α－β=3 1，则（α－β）. 5、已知5 3sin ),,2 (=∈αππα，则=+)4 tan(πα 。 6、若 t =+)sin(απ，其中α是第二象限的角，则 =-)cos(απ 。 7、化简 1tan151tan15 +-等于 （ ） ()A () B () C 3 () D 1 8、(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （ ） ()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 16 9、已知α和（4 π－α）是方程2 0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 （ ） B.2 10、0015tan 75tan += 。 11、设14°14°，16°16°， 6 6，则a 、b 、c 的大小关系是 （ ） ＜b ＜c ＜c ＜b ＜c ＜a ＜a ＜c 12、△中，若2a ，60°，则. 13、f （x ）= x x x x cos sin 1cos sin ++的值域为 （ ） A.（－3 －1，－1）∪（－1， 3 －1） B. （21 3-- ，2 13-） C.［2 1 2--，－1］∪（－1， 2 12-） D. ［21 2-- ，2 12-］ 14、已知∈（0，2 π），β∈（2 π，π），（α+β）=65 33，β=－ 13 5 ，则α. 15、下列各式中，值为2 1的是 ( ) 15°15° B.2 2 12 π－ 1 C. 2 30cos 1? + D. ? -?5.22tan 15.22tan 2 16、已知2θ 2θ3 32，那么θ的值为，2θ的值为. 17、=000080cos 60cos 40cos 20cos 。 高中数学三角恒等式变形解题常用方法 一.知识分析 1. 三角函数恒等变形公式 （1）两角和与差公式 （2）二倍角公式 （3）三倍角公式 （4）半角公式 （5）万能公式 ，， （6）积化和差 ， ， ， （7）和差化积 ， ， ， 2. 网络结构 3. 基础知识疑点辨析 （1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式？ 实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中，是一个任意角， 可正可负。另外，公式虽然形式不同，结构不同，但本质相同： 。 （2）怎样正确理解正切的和差角公式？ 正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点： ①推导正切和角公式的关键步骤是把公式，右边的“分子”、“分母” 都除以，从而“化弦为切”，导出了。 ②公式都适用于为任意角，但运用公式时，必须限定，都不 等于。 ③用代替，可把转化为，其限制条件同②。 （3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用？ ①不用计算器或查表，只通过笔算求得某些特殊角（例如15°，75°，105°角等）的三角函数值。 ②能由两个单角的三角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角的三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的大小（注意这两个条件缺一不可）。 ③能运用这些和（差）角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式，化简三角函数式，要注意公式可以正用，逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的最大值或最小值。 （4）利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么？ 先用二倍角公式导出，再把两式的左边、右边分别相除， 得到，由此得到的三个公式：，， 分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根号前的符号，由所在的象限来确定，如果没有给出限制符号的条件，根号前面应保持正、负两个符号。另外，容易 证明。 4. 三角函数变换的方法总结 三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中 三角恒等式 1.能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能公式.(重点) 2.能利用所学公式进行三角恒等变换.(重点、难点) [基础·初探] 教材整理1降幂公式 阅读教材P121例3，完成下列问题. sin2α＝1－cos 2α 2， cos2α＝1＋cos 2α 2， tan2α＝1－cos 2α1＋cos 2α . 1.若cos α＝－3 5，且π＜α＜ 3π 2，则cos α 2＝________. 【解析】∵π＜α＜3π 2，∴ π 2＜ α 2＜ 3π 4， ∴cos α 2＝－ 1＋cos α 2＝－ 5 5. 【答案】－ 5 5 2.若tan α 2＝3，则cos α＝________. 【解析】∵tan2α 2＝ 1－cos α 1＋cos α ＝9， ∴cos α＝－4 5. 【答案】－4 5 教材整理2积化和差与和差化积公式 阅读教材P126链接以上内容，完成下列问题. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin A cos B.() (2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin A cos B.() (3)cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－cos2β.() 【解析】(1)正确. (2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝－2sin A sin B，故错. (3)cos(α＋β)cos(α－β)＝1 2(cos 2α＋cos 2β)，故错. 【答案】(1)√(2)×(3)× 教材整理3万能公式 阅读教材P126～P127的“链接”内容，完成下列问题. 设tan α 2＝t，则sin α＝ 2t 1＋t ，cos α＝ 1－t2 1＋t ，tan α＝ 2t 1－t . 1.若tan α＝3，则sin 2α＝________，cos 2α＝________. 【解析】∵tan α＝3，∴sin 2α＝ 2tan α 1＋tan2α ＝ 3 5，cos 2α＝ 1－tan2α 1＋tan2α ＝－ 4 5. 【答案】3 5－ 4 5 高中数学必修四第三章《三角恒等变换》测试卷及答案2套 测试卷一 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( ) A ．0 B.12 C.3 2 D ．1 2．若函数f (x )＝sin 2 x －12 (x ∈R )，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π 2 的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数 3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π 4 )等于( ) A.17 B ．7 C ．－1 7 D ．－7 4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A ．[－π，－5π6] B ．[－5π6，－π 6 ] C ．[－π3，0] D ．[－π 6 ，0] 5．化简：sin 60°＋θ＋cos 120°sin θ cos θ 的结果为( ) A ．1 B. 3 2 C. 3 D ．tan θ 6．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )等于( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2x D ．3＋sin 2x 7．若函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)的一条对称轴方程为x ＝π 2，则a 等于( ) A ．1 B. 3 C ．2 D ．3 8．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2 x ，x ∈R 的值域是( ) A ．[－12，32] B ．[－22＋12，22＋12 ] C ．[－32，12] D ．[－22－12，22－12 ] 9．若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于( ) A ．－75 B.75 C ．－35 D.35 10．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为( )高中数学人教版必修简单的三角恒等变换教案(系列一)
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