、2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准
科目代码： 856 科目名称： 高等代数
一. （20分）证明下列命题：
(1). （10分）设()d x ,()f x ,()g x 都是数域P 上的多项式。如果()|()d x f x ，
()|()d x g x ，且()d x 为()f x 与()g x 的一个组合，证明：()d x 是()f x 与()g x 的一个最
大公因式。
(2). （10分）)(x f 是数域F 上次数大于零的多项式，0,≠∈c F c 则
)()(x f c x f ≠-.
证明：(1).由题意，存在多项式(),()u x v x , 使()()()()()d x u x f x v x g x =+.（4分）如果()|()h x f x ，()|()h x g x ,那么()|()h x d x .（8分）又由于()|()d x f x ，()|()d x g x , 所以()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式。（10分）
(2).如果()()f x c f x -=, 那么(0)()(2)f f c f c === .（3分）
考虑()()(0)g x f x f =-.（6分） 显然，()()g x f x ?=?, 并且()0,1,2,g nc n == . ()g x 有无限多个根，这是不可能的。（10分）
二.（15分）已知行列式3
07437516
78
9435
2-=
D . 求24232221A A A A +++，其中ij A 是元素ij a 的代数余子式。
解：考虑行列式253411
11
15734703
C -=
，按它的第二行展开。（5分）由于C 和D 除了第二行外均相同，故21222324C A A A A =+++，（10分）而计算可得
25341111
7215734703
C -=
=. 所以2122232472A A A A +++=.（15分） 三.（20分）证明n 阶行列式
++++-+=
-+O O
O 11
1
1
1
n n a b ab a b ab a b a b a b
ab a b
. 解：当=1n 结论显然成立。假设结论对-1n 阶行列式成立。（2分）
对n 阶行列式，将第一列拆成两项。第二项按第一行展开。第一项的第一列乘b -加到第二列，第2列乘b -加到第3列，……，第n-1列乘b -加到第n 列。然后用归纳假设。
++++=
+
++O O O
O O
O 101
1
1
1
n a ab b ab
a b ab a b
ab a b a b D ab ab a b a b
（10分）
++=
++O O O
O O O 0
101
1
01
1
a a b
ab a a b a b
ab a b
a （15分）
111n n n n n
n
n a b a b a bD a b a b a b
++---=+=+=--（20分）
四．（15分）已知1V 是120n x x x +++= 的解空间，2V 是12n x x x === 的解空间，证明：12n P V V =⊕。
证：12(,,,)n a a a V ?∈ , 令 121
()n a a a a n
=
+++ . 我们有1212(,,,)(,,,)(,,,)n n a a a a a a a a a a a a =---+ .（5分）
而且1212(,,,),(,,,)n a a a a a a V a a a V ---∈∈ . 因此12n P V V =+.（7分）
如果1212(,,,)n b b b V V ∈? ,那么120n b b b +++= , 且12n b b b === .（10分） 从而120n b b b ==== .（12分）
因此12{0}V V ?=. 总之，12n P V V =⊕（15分）
五.（10分）写出一个三元齐次线性方程组，使它的基础解系为)3,2,1(=η. 解：考虑以)3,2,1(=η为解的方程1122330k x k x k x ++=， 那么1231230k k k ++= .（3分）
把它看成123,,k k k 的方程。得到基础解系(2,1,0),(3,0,1)--.（7分） 由此得到方程组
12
1
3
2030
x x x x -+=??-+=?
它以)3,2,1(=η为基础解系。（10分）
六.（20分）设实二次型2221231323()222f X x x x x x tx x =++++，求当t 是何整数时二次
型()f X 是正定的，并求一个线性替换Y TX =将二次型()f X 化为标准形。
解：此二次型的矩阵为：1010112A t t ??
?
= ? ???
，若要f 为正定的，则要求其各级顺序主子
式都大于零，（5分）即
21
1
0110,12
t t t =-> (0)t > （8分）
因t 为整数，故0t =（10分）； 当0t =时
()222
12313
2
2
2132
3
()22f X x x x x x x x x x
=+++=+++， （12分）
作线性替换：
1132233y x x y x y x =+??=??=?，即113223
3x y y x y x y
=-??=??=?，则其为非退化的线性替换， （16分） 则经过此线性替换后可得到二次型的标准型：222
123
f y y y =++。 （20分）
七.（20分）设V 是数域P 上的n 维线性空间。
(1) （10分）设21V V V ⊕=，已知r αα,,1 是1V 中的线性无关向量组；s ββ,,1 是
2V 中的线性无关向量组。证明s r ββαα,,,,,11 是V 的线性无关向量组。
(2) （10分）设A 是V 的线性变换。证明：A 是单射的充分必要条件是它是满射。
证明： (1) 由于21V V V ⊕=，12{0}V V ?=.（2分） 设
11110r r s s a a b b ααββ+++++=
那么111112{0}r r s s a a b b V V ααββ++=---∈?= （4分）
因此11110,0r r s s a a b b ααββ++=++= 。（6分）由已知r αα,,1 是1V 中的线性无关向量组；s ββ,,1 是2V 中的线性无关向量组，得110,0r s a a b b ====== .（8分） 所以s r ββαα,,,,,11 是V 的线性无关向量组。（10分） (2) 已知dim ker dim Im +n A A =，（4分）所以
A 是单射当且仅当ker {0}dimker 0dimIm Im n V =?=?=?=A A A =A 当且仅当A 是满射. 所以 A 是单射的充分必要条件是它是满射。（10分）
八.（10分） 设数域P 上的3维空间V 的线性变换s 在基123,,a a a 下的矩阵为
711611521---??
? ???
. 求线性变换215s s s --+在基123
,,a a a 下的矩阵。
解：线性变换215s s s --+在基123,,a a a 下的矩阵为
21
7117117116115611611521521521----?????? ? ? ?---+- ? ? ? ? ? ?---??????
（4分） 4887355511041763055121285425105791---?????? ? ? ?
=---+-- ? ? ? ? ? ?----??????（8分） 144210004142-?? ?= ? ?--??
（10分） 九.（15分） 设矩阵 11111,1112a A a a β????
? ?
== ? ? ? ?-????
， 已知线性方程组AX β=有解但不
唯一，试求：(1)a 的值；(2)正交矩阵Q ，使T Q AQ 为对角矩阵，其中T Q 表示Q 的转置（求Q 和T Q AQ ）。
解：(1)对线性方程组AX β=的增广矩阵作初等行变换
111111111011011200(1)(2)2a a a a a a a a a 骣骣÷麋?÷÷??÷÷??÷÷??÷÷=?-??÷÷?÷?÷?÷?÷÷?÷?÷-÷?-++?÷桫桫
因为线性方程组AX β=有解但不唯一，所以秩()()3r A r A =<，故2a =-.
(2)现在1
12121211A -?? ?
=- ? ?-??
的特征方程为(3)(3)E A λλλλ-=-+. 因此特征值为
1233,3,0λλλ==-=. 对应的特征向量分别为：
123(1,0,1),(1,2,1),(1,1,1)T T T ααα=-=-=
将123,,ααα单位化，得
312123123
,,T T T αααβββααα=
=====
令0
Q ? = ?
，则有300030000T
Q AQ ??
?=- ? ?
??
.