正弦定理和余弦定理
知识点
1. 正弦定理：__a sin A __＝__b sin B ____＝__c
sin C
_＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径.
由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝____ sin A ∶sin B ∶sin C _____； (2)a ＝___)2R sin A _____，b ＝__2R sin B _____，c ＝__2R sin C ___； (3)sin A ＝___a 2R ____，sin B ＝___b 2R ___，sin C ＝__c
2R
_____等形式，以解决不同的三角形问题.
2.余弦定理：a 2＝__ b 2＋c 2－2bc cos A ________，b 2＝__ a 2＋c 2－2ac cos B _____， c 2＝____ a 2＋b 2－2ab cos C ____.
余弦定理可以变形为：cos A ＝___b 2＋c 2－a 22bc ________，cos B ＝___a 2＋c 2－b 2
2ac ______，
cos C ＝___a 2＋b 2－c 2
2ab
______.
3.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1
2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，
并可由此计算R 、r .
4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.
余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题.
解三角形时，三角形解的个数的判断
在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直
角
图形
关系式 a ＝b sin A
b sin A a ≥b a >b 解的个数 一解 两解 一解 一解 5．判断三角形的形状特征 必须从研究三角形的边角关系入手，充分利用正、余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一． ①等腰三角形：a ＝b 或A ＝B . ②直角三角形： b 2＋c 2＝a 2 或 A ＝90° . ③钝角三角形： a 2＞b 2＋c 2 或 A ＞90° . ④锐角三角形：若a 为最大边，且满足 a 2＜b 2＋c 2 或A 为最大角，且 A ＜90° . 6．由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A ＞B ?a ＞b ?sin A ＞sin B . 基础自测 1.在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________. 2.(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π 3，则a ＝________. 3.在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________. 4.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，C ＝π 3，a ＝2b ，则b 的值为________. 5.已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为 ( ) A.2 2 B.8 2 C. 2 D. 22 1.2 2.1 3. 6 3 4.3 5.C 6．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a 、b 、c 成等差数列，B ＝30°，△ ABC 的面积为3 2 ，则b ＝ . 【解析】∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac sin30°＝3 2 ，∴ac ＝6. 又a 、b 、c 成等差数列，故2b ＝a ＋c . 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos30°， ∴b 2＝4b 2 －12－63，得b 2＝4＋23，∴b ＝1＋ 3. 7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 【解析】由a ＝2b cos C 得sin A ＝2sin B cos C ∵A ＋B ＋C ＝π ∴sin A ＝sin(B ＋C ) ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C 即sin(B －C )＝0 ∵0 8．在△ABC 中，设命题p ：a sin B ＝b sin C ＝c sin A ，命题q ：△ABC 是等边三角形，则命题p 是 命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】∵a sin B ＝b sin C ＝c sin A ，由正弦定理知：a sin A ＝b sin B ＝c sin C . ∴sin B ＝sin A ＝sin C ∴A ＝B ＝C ?a ＝b ＝c ，∴p ?q 又若a ＝b ＝c ，则A ＝B ＝C ＝60°?sin A ＝sin B ＝sin C . ∴a sin B ＝b sin C ＝c sin A ，∴q ?p . 题型一 利用正弦定理求解三角形及有关三角形中的三角函数的范围(最值) 例1 ⑴在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c . (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c . 解 (1)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ， 3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝3 2. ∵a >b ，∴A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝ b sin C sin B ＝6＋22 ； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝6－22. (2)∵B ＝60°，C ＝75°，∴A ＝45°.由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ， 得b ＝a ·sin B sin A ＝46，c ＝a ·sin C sin A ＝43＋4.∴b ＝46，c ＝43＋4. (2)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2b sin A . ①求角B 的大小； ②求cos A ＋sin C 的取值范围． 解析 ①由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ， 所以sin B ＝12，由△ABC 为锐角三角形得B ＝π 6 . ②cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin(π－π6－A )＝cos A ＋sin(π 6 ＋A ) ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝3sin(A ＋π 3 )． 由△ABC 为锐角三角形知，π2＞A ＞π2－B ，又π2－B ＝π2－π6＝π 3 . ∴2π3＜A ＋π3＜5π6，∴12＜sin(A ＋π3)＜32 . 由此有32＜3sin(A ＋π3)＜32×3＝32，所以cos A ＋sin C 的取值范围为(32，3 2 )． 点评 解决这类问题的关键是利用正弦定理和余弦定理，要么把角化成边，要么把边化成角，然后再进行三角恒等变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 型函数，从而求解单调区间、最值、参数范围等问题，注意限制条件A ＋B ＋C ＝π，0＜A ，B ，C ＜π的应用，如本题中由△ABC 为锐角三角形得到A ＋B ＞π2，从而推到2π3＜A ＋π3＜5π 6 . 探究提高 (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意. 变式训练1 (1) 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________. π 6 (2)在△ABC 中，若tan A ＝1 3 ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________； （3）在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝______ 解析 (2)∵在△ABC 中，tan A ＝1 3 ，C ＝150°， ∴A 为锐角，∴sin A ＝1 10.又∵BC ＝1. ∴根据正弦定理得AB ＝BC ·sin C sin A ＝10 2. (3)由b >a ，得B >A ，由a sin A ＝b sin B ， 得sin B ＝b sin A a ＝25650×22＝3 2 ， ∵0° （4）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝a cos C . ①求角C 的大小； ②求3sin A －cos(B ＋π 4 )的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 解析 ①由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0＜A ＜π，所以sin A ＞0，从而sin C ＝cos C ， 又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π 4 . ②由(1)知B ＝3π 4 －A . 于是3sin A －cos(B ＋π 4 )＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π 6 )． ∵0＜A ＜3π4，∴π6＜A ＋π6＜11π 12， 从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin(A ＋π 6 )取最大值2. 综上所述，3sin A －cos(B ＋π 4 )的最大值为2， 此时A ＝π3，B ＝5π 12 . （5）如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M 、N 分别是边AB 、AC 上的点，线段 MN 经过△ABC 的重心G .设∠MGA ＝α(π3≤α≤2π 3 )． ①试将△AGM 、△AGN 的面积(分别记为S 1与S 2)表示为α的函数； ②求y ＝1S 21＋1 S 22的最大值与最小值． 解析①因为G 是边长为1的正三角形ABC 的重心， 所以AG ＝23×32＝33，∠MAG ＝π 6， 由正弦定理GM sin π6＝GA sin π－α－π6，得GM ＝3 6sin α＋π6 . 则S 1＝12GM ·GA ·sin α＝sin α12sin α＋ π6 (或1 63＋cot α )． 又GN sin π6＝GA sin α－π6，得GN ＝36sin α－π6， 则S 2＝1 2GN ·GA ·sin(π－α) ＝sin α12sin α－ π6 (或163－cot α )， ②y ＝1S 21＋1S 22＝144sin 2α·[sin 2(α＋π6)＋sin 2(α－π6)]＝72(3＋cot 2α)． 因为π3≤α≤2π3，所以，当α＝π3或α＝2π 3时，y 取得最大值y max ＝240； 当α＝π 2时，y 取得最小值y min ＝216. 题型二 利用余弦定理求解三角形 例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c . (1)求角B 的大小； (2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积. 解 (1)由余弦定理知： cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c 得： a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ， 整理得：a 2 ＋c 2 －b 2 ＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－1 2 . ∵B 为三角形的内角，∴B ＝2 3 π. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2 3π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ??? ?1－1 2，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝33 4 . 探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键. (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用. 变式训练2 1．已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac . (1)求角B 的大小； (2)若c ＝3a ，求tan A 的值． 解 (1)∵a 2＋c 2－b 2 ＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12 . ∵0 3 . (2)方法一 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a . 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝57 14 . ∵0 5 . 方法二 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a . 由正弦定理，得sin B ＝7sin A .由(1)知，B ＝π3，∴sin A ＝21 14. 又b ＝7a >a ，∴B >A ，∴cos A ＝1－sin 2A ＝57 14 . ∴tan A ＝sin A cos A ＝3 5 . 方法三 ∵c ＝3a ，由正弦定理，得sin C ＝3sin A . ∵B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝2π3－A ，∴sin(2π 3－A )＝3sin A ， ∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝3sin A ，∴32cos A ＋1 2 sin A ＝3sin A ， ∴5sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝sin A cos A ＝3 5 . 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝25 5， ·＝3. (1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值. 解 (1)∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝3 5， ∴sin A ＝4 5.又·＝3，∴bc cos A ＝3，∴bc ＝5. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×4 5＝2. (2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6， 根据余弦定理得 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ＝36－10－10×3 5＝20， ∴a ＝2 5. ３．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB BC ?＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4. (1)求b ·c 的最大值及θ的取值范围； (2)求函数f (θ)＝23sin 2(π 4 ＋θ)＋2cos 2θ－3的值． 【解析】(1)∵AB BC ?＝8，∠BAC ＝θ，∴bc cos θ＝8. 又a ＝4，∴b 2＋c 2－2bc cos θ＝42 即b 2＋c 2＝32. 又b 2＋c 2≥2bc ∴bc ≤16，即bc 的最大值为16. 而bc ＝8cos θ，∴8cos θ≤16，∴cos θ≥1 2 ∵0<θ<π，∴0<θ≤π 3. (2)f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3＝3[1－cos(π 2 ＋2θ)]＋1＋cos2θ－ 3 ＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π 6 )＋1 ∵0<θ≤π3， ∴π6<2θ＋π6≤5π6 ∴12≤sin(2θ＋π 6)≤1. 当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×1 2＋1＝2. 当2θ＋π6＝π2，即θ＝π 6 时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3. 点评 有关三角形中的三角函数求值问题，既要注意内角的范围，又要灵活利用基本不等式． 题型三 正、余弦定理的综合应用 例3 (2011·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2. (1)当p ＝5 4，b ＝1时，求a ，c 的值； (2)若角B 为锐角，求p 的取值范围. 解 (1)由题设并由正弦定理， 得??? a ＋c ＝54 ， ac ＝1 4， 解得????? a ＝1，c ＝14或????? a ＝14， c ＝1. (2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋1 2 cos B . 因为0 32，2， 由题设知p >0，所以 6 2 探究提高 在已知关系式中，若既含有边又含有角.通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角. 变式训练３ 1.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . (1)若c ＝2，C ＝π 3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状. 解 (1)∵c ＝2，C ＝π 3 ，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴1 2 ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组? ??? ? a 2＋ b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. (2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ， 即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0 2 ，△ABC 为直角三角形； 当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ， 即△ABC 为等腰三角形.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 2. ?ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos 2A= 2a ⑴ b a ⑵若c 2=b 2+ 3a 2求B. 解: (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝2sin A ，所以b a ＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝1＋3a 2c . 由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2. 可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝2 2 ，所以B ＝45°. 题型四 判断三角形的形状 一、判断三角形的形状 例1在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求角A 的大小； (2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 解析 (1)由已知得：2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c . 即a 2＝b 2＋c 2＋bc 由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ∴cos A ＝－1 2 ∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°. (2)由(1)得：sin 2A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ＋sin B sin C 又sin B ＋sin C ＝1得sin B ＝sin C ＝1 2 ∵0° 点评 有关三角形形状的判定，途径一：探究内角的大小或取值范围确定形式；途径二：计算边的大小或转化为仅关于边的关系式确定形式． 例4 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )， 试判断△ABC 的形状. 解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B . 方法一 由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B . 在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二 由正弦定理、余弦定理得： a 2 b b 2＋ c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac ， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形. 变式训练4 1.已知在△ABC 中，2 22cos A b c c +=，则△ABC 的形状是 解析：∵cos 2A 2＝b ＋c 2c ，∴cos A ＋12＝b ＋c 2c . ∴cos A ＝b c . 又∵b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，即b 2＋c 2－a 2＝2b 2. ∴a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 为直角三角形． 探究提高 利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断. 2. 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ， 且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc . (1)求sin A 的值； (2)求2sin ????A ＋π4sin ? ???B ＋C ＋π41－cos 2A 的值． 解 (1)∵3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝42 3 bc . 由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22 3 ， 又0 3 (2)原式＝2sin ????A ＋π4sin ????π－A ＋π41－cos 2A ＝2sin ????A ＋π4sin ??? ?A －π42sin 2A ＝2????22sin A ＋22cos A ????22sin A －2 2cos A 2sin 2A ＝sin 2A －cos 2A 2sin 2 A ＝－72. 所以2sin (A ＋π4)sin ( B ＋ C ＋π 4) 1－cos 2A ＝－7 2 方法与技巧 1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍． 2.应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π 2 中互补和互余的情况，结 合诱导公式可以减少角的种数. 3.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边， 练题一 一、选择题 1．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( ) A ．－12 B.1 2 C ．－1 D ．1 【解析】根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B 得sin A cos A ＝sin 2B . ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1，故选D. 2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是 ( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C .等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 3.在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C 的值为( ) A.2633 B .2393 C.393 D.133 3 4.若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A.154 B.34 C.31516 D.1116 【解析】结合正弦定理得：6a ＝4b ＝3c 设3c ＝12k (k >0) 则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4k 2＋16k 2－9k 22×2k ×4k ＝11 16，选D. 5.若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23 【解析】由已知得：????? a ＋ b 2－ c 2 ＝4 a 2＋ b 2－ c 2＝2ab cos60° 两式相减得：ab ＝4 3 ，选A. 二、填空题 6.在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝__52 3______. 7.若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于____2____. 8.在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝9 10，则BC ＝________.4或5. 9．已知△ABC 的一个内角为120°，且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为 . 【解析】不妨设A ＝120°，c ∴cos120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4) ＝－1 2 解得：b ＝10. ∴S △ABC ＝1 2 bc sin120°＝15 3. 三、解答题 10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A 是锐角，且3b ＝2a ·sin B . (1)求A ； (2)若a ＝7，△ABC 的面积为103，求b 2＋c 2的值. 解 (1)∵3b ＝2a ·sin B ，由正弦定理知 3sin B ＝2sin A ·sin B . ∵B 是三角形的内角，∴sin B >0，从而有sin A ＝32 ， ∴A ＝60°或120°，∵A 是锐角，∴A ＝60°. (2)∵103＝1 2bc sin 60°，∴bc ＝40， 又72＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，∴b 2＋c 2＝89. 11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .已知a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求b . 解 方法一 ∵sin B ＝4cos A sin C ， 由正弦定理，得b 2R ＝4cos A c 2R ，∴b ＝4c cos A ， 由余弦定理得b ＝4c ·b 2＋c 2－a 2 2bc ， ∴b 2＝2(b 2＋c 2－a 2)，∴b 2＝2(b 2－2b )，∴b ＝4. 方法二 由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A ， ∵a 2－c 2＝2b ，b ≠0，∴b ＝2c cos A ＋2， ① 由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ，又由已知得，sin B sin C ＝4cos A ， ∴b ＝4c cos A . ② 解①②得b ＝4. 12．在△ABC 中，A ，B 为锐角，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且cos2A ＝ 35，sin B ＝1010 . (1)求A ＋B 的值； (2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 【解析】(1)∵A ，B 为锐角，且sin B ＝1010 ∴cos B ＝1－sin 2B ＝310 10 又cos2A ＝1－2sin 2A ＝3 5 ∴sin A ＝55，cos A ＝1－sin 2A ＝25 5 ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝2 2 又∵0 4 . (2)由(1)知C ＝3π4，∴sin C ＝2 2 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得5a ＝10b ＝2c 即a ＝2b ，c ＝5b . ∵a －b ＝2－1，即2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5. 13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b . (1)求sin C sin A 的值； (2)若cos B ＝1 4 ，△ABC 的周长为5，求b 的长． 【解析】(1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 所以cos A －2cos C cos B ＝2c －a b ＝2sin C －sin A sin B ， 即sin B cos A －2sin B cos C ＝2sin C cos B －sin A cos B ， 即有sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，即sin C ＝2sin A ， 所以sin C sin A ＝2. (2)由(1)知sin C sin A ＝2，所以有c a ＝2，即c ＝2a ， 又因为周长为5，所以b ＝5－3a ， 由余弦定理得：b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ， 即(5－3a )2＝(2a )2＋a 2－4a 2×1 4 ， 解得a ＝1，所以b ＝2. 练习2 一、选择题 1．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B ·sin C ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π6] B ．[π6，π) C ．(0，π3] D ．[π 3 ，π) 【解析】由已知得：a 2≤b 2＋c 2 －bc 由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ∴b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ∴cos A ≥12 ∵A ∈(0，π)，∴A ∈(0，π 3 ]，选C. 2.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点， 且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值 为 ( ) A. 33 B. 36 C.63 D . 66 3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则 ( ) A.a >b B.a C.a ＝b D.a 与b 的大小关系不能确定 二、填空题 4.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则∠A ＝___60°_____，△ABC 的形状为__正三角形______. 5.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋ tan C tan B 的值是___4_____. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝1 4 (b 2＋c 2－a 2)， 则A ＝___π 4 _____ 7.在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC cos A 的值等于____，AC 的取值范围 为 . 【解析】由正弦定理得： AC sin B ＝BC sin A ，即AC sin2A ＝1 sin A ， ∴AC 2sin A cos A ＝1sin A ，则AC cos A ＝2. 又△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝3A >90°，B ＝2A <90° ∴30° 2 由AC ＝2cos A 得AC 的取值范围是(2，3)． 三、解答题 8.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小； (2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状. 解 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc . ① 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－1