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浅谈杨辉三角的奥秘及应用

浅谈杨辉三角的奥秘及应用
浅谈杨辉三角的奥秘及应用

浅谈杨辉三角的奥秘及应用

摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。

关键词杨辉三角,最短路径,错位,幂

0 引言

杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他著的《详解九章算法》一书中,画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形,称做“开方做法本源”,现在简称为“杨辉三角”,它是杨辉的一大重要研究成果。随着素质教育的提倡,新课程标准的颁布,生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系,那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢?这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。

1 杨辉三角与数字11的幂的关系

我们知道初中时老师要求我们背11的幂,11的1次幂、2次幂、3次幂还好背,后面就难起来了。后来我受到一位老师的启发,并且查看了这方面有关资料,发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切。

假设y=11n

当n=0时: y=1;

当n=1时: y=11;

当n=2时:y=121;

当n=3时:y=1331;

当n=4时:y=14641;

以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致,接下来我们再来看一下当n≥5时的情况,如下:

当n=5时: 1 4 6 4 1

? 1 1

1 4 6 4 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

当n=6时: 1 5 10 10 5 1

? 1 1

1 5 10 10 5 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

……

由上可知:11的n 次幂的各位数字(不含进位)与杨辉三角中的各数字完全相等(证

明还有待证明)即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图

形。如下图:

1 (110

) 1 1 (111

)

1 2 1 (112)

1 3 3 1 (113)

1 4 6 4 1 (114)

1 5 10 10 5 1 (115)

1 6 15 20 15 6 1 (116) ……

其实这个关系我们早就学习过了,只是用另一种方式表达而已。我们知道初中时老师教

我们记11的幂时,有一句口诀:头尾不变(即为1),左右相加放中间。其实是错位相加,而

扬辉三角中头尾为1,中间的数是其肩上的两数之和,也是错位相加得到的。

2 杨辉三角与2的幂的关系

首先我们把杨辉三角的每一行分别相加,如下:

1 ( 1 )

1 1 ( 1+1=

2 )

1 2 1 (1+2+1=4 )

1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )

1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )

1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3

2 )

1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )

……

我们知道相加得到的数是1,2,4,8,16,32,64,…刚好是2的0,1,2,3,4,5,

6,…次幂,即杨辉三角第n 行中n 个数之和等于2的n-1次幂。

刚好与高中时学的杨辉三角的性质相符合,归纳如下:

1°与二项式定理的关系:杨辉三角的第n 行就是二项式n b a )(+展开式的系数列

}{R N C 。

2°对称性:杨辉三角中的数字左、右对称,对称轴是杨辉三角形底边上的“高”,即

r n n r n c C -=。

3°结构特征:杨辉三角除斜边上1以外的各数,都等于它“肩上”的两数之和,即

r n r n n r n C c C 11---+=。

利用以上的性质我们可以预测杨辉三角中任意一行的数字的情况。

3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系

为了讲解方便我们先讨论杨辉三角中n 为前7行时的情况。分别为每一斜行标号,如图

所示:

(1) 1 (2) n=1

1 1 (3) n=2

1 2 1 (4) n=3

1 3 3 1 (5) n=4

1 4 6 4 1 (6) n=5

1 5 10 10 5 1 n=6

1 6 15 20 15 6 1

把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6

把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15

把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20

把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15

把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6

把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1

将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比,我们发现它们是完全相同的。

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

由上面可猜想得到:杨辉三角中n 行中的第i 个数是斜行i-1中前n-1个数之和,即第

n 行的数分别为1、斜行(1)中第n 行之前的数字之和、斜行(2)中第n 行之前的数字之和、

斜行(3)中第n 行之前的数字之和、斜行(4)中第n 行之前的数字之和、…、斜行(n-3)中第

n 行之前的数字之和、1。

证明结论:假设当n=k 时成立,

即第k 行的数分别为1、斜行(1)中第k 行之前的数字之和、斜行(2)中第k 行之前的数

字之和、斜行(3)中第k 行之前的数字之和、斜行(4)中第k 行之前的数字之和、…、斜行(k-3)

中第k 行之前的数字之和、1。

则n=k+1时

因为杨辉三角中的每一个数是它肩上的两数之和

所以第k+1行的第一个数为:1

第k+1行的第二个数为:第k 行的第一个数1与第二个数之和

因为第k 行的二个数等于斜行(1)中第k 行之前的数字之和

所以第k 行的第一个数1与二个数之和就等于斜行(1)中第k+1行之前的数字之和。

同理可得到第k+1行的第三个数为:斜行(2)中第k+1行之前的数字之和。第四个数为:

斜行(3)第k+1行之前的数字之和、…

综上所述结论成立。

假如我们将杨辉三角由等腰三角形改变为等腰直角三角形,划斜率为 1 的直线,再

来考虑,斜率为1的直线上的字数之和又有什么规律?

……

可以发现这些数字为1,1,2,3,5,8,13,21…,从第3项起每一项

都是前两项之和。这就是著名的菲波那契数列。菲波那契在1902年提出了一个有趣

的问题:“假定每对大兔每月生产一对小兔,而每对小兔过一个月能完全长成大兔,

问一年里面由一对大兔能繁殖出多少对大兔来。”我们感兴趣的是大兔的对数组成的

数列,原来有大兔一对,设为 0U =1,一个月后一对小兔出生,但是大兔还是一对,

1U =1 , 2个月后小兔长大,而大兔又生了一对小兔, 2U =2 这样下去,3U =3 ,

4U =5 … 而假设第n 个月后大兔n U 对,n+1个后大兔为1+n U 对,那么第n+1个月

时,原来的n U 对大兔又生出了n U 对小兔,所以第n+2个月大兔有

2+n U =n U +1+n U ,所以具有这样的规律。

4 以杨辉三角为背景的问题分析

由上可知,在古老的杨辉三角中存在着很多奥秘,如果把他的这种性质合理的应用到现

实生活中或者是教学中,将会让我们更进一步的认识到杨辉三角的美妙及杨辉三角这一伟大

的发现的现实意义。

4.1杨辉三角在弹球游戏中的应用

如图1的弹球游戏,小球向容器内跌落,碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻挡

物,再向两侧跌落第三层阻挡物,如此一直下跌最终小球落入底层。根据具体地区获的相应

的奖品(。

图1

我们来分析一下为什么小球落到不同区域奖品会有如此大的差别?A 区的奖品价值高于D 区,说明小球落入A 区的可能性要比落入D 区的可能性小,转化为数学问题就是小球落

入A 区和D 区的概率。小球要落入D 区的情况有两种,有概率知识得:

D 1 D 2

就是说,小球落入D 区的概率是等于它肩上两区域概率之和的

2

1,据此小球落入各区的概率为可以按以上方法类推,如下: 2121

1

8381

321

32

5

32

10

32

10

325

32

1

64

6466415

6420

6415646641 A B C D E F G

图2

观察上图,小球落到AD 两区的概率要比其它区域小的多,当然奖品就要多一些。从该

图中不难发现各区域的概率分子与杨辉三角形完全一致,我们可以利用杨辉三角的性质直接

得出小球落到AD 两区的概率要比其它区域小的多。

该题是一道将杨辉三角的性质与概率的性质结合在一起而设置的一种游戏。可想而知,

技术人员在设置这个游戏时利用杨辉三角和概率的某些性质而制成的。这是个令人惊喜的游

戏,它为课堂教学提供了一个生动的实例。

4.2路径中的杨辉三角

小红家到学校之间有很多的交叉路口,每一个交叉路口都有两条路可以走如图3,一天

小红有事需要尽快回家,可是小红却不知该走那条路好,请帮小红找出一条最近的路。

解:如图4(为了讨论方便我们把家看成甲地,学校看成乙地。)从甲地到乙1地有2种

走的方法。 甲

1 如图5,从甲地到乙2地有3种走的方法,等于到乙1的走法加上1。

图5 乙2

如图6,从甲地到乙3地有3种走的方法,刚好是到乙2的走法加上1。

2

图6 乙3

如图7,从甲地到乙4地有6种走的方法,刚好是到乙2的走法加上到乙3的走法。

图7乙4

随着甲乙两地之间距离的增大,从甲地到每一个交叉点的走法如图8所示:

甲 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 3 6 10 15 21 28 36

1 4 10 20 35 56 84

1 5 15 35 70 126

1 6 21 56 126

1 7 28 84

1 8 36

1 9

1

图8

上图所示从甲到每一个交叉点的走法与杨辉三角很相似,由此当我们遇到如上所示的路径的问题我们可以根据杨辉三角来确定它到另一端的走法。其实这个图形在西方数学史上已有记载,它就是法国数学家帕斯卡发现的被世人称为“帕斯卡三角形”。从该图中我们很容易得到二项式任意正整次幂的系数展开。

记得华东师大的霍益萍教授讲过:“时间的开放,形式的开放,都是次要的,重要的是思维的开放,思想的开放。”夸美纽斯也有一句名言:“教一个活动的最好办法是演示。”演示是直观教学的一种,而直观的东西一般容易被人接受。我们常说,发现一个问题往往比解决问题更重要,而“发现”靠的并不都是逻辑思维,直观性的思维有时能出奇制胜。在数学教学中强化直观教学,也许可以使沉闷的课堂教学活泼起来。而杨辉三角中的内在规律是课堂教学中培养学生直观思维的一个非常完美的实例。

总上所述,古老的杨辉三角的某些优美的性质在现代生活中得到了充分的体现,令人不由为灿烂的古代文明心生自豪之情。

参考文献

[ 1 ] 宋碎让.对于“巨形格中的最短路径与杨辉三角”的思考[J].数学教学.2004(5) [ 2 ] 曹亮.杨辉三角在弹球游戏中的应用[J].数学教学.2004(10)

[ 3 ] 唐永.以“杨辉三角”为背景的试题例析[J].数学教学.2005(4)

浅谈数学史在初中数学教育的体现

浅谈数学史在初中数学教育的体现 长期以来,数学学科在教学过程中的“缺人”现象一直存在.所谓的“缺人”现象就是对人文素养的缺失与忽视.而实际上,教学过程中适当的融入数学史的做法便是很好的人文渗透.以人文渗透的方式丰富数学学习的内容与形式,可以让学生喜欢数学、会学数学、进而学好数学.从数学史的内容分布来看,在数学教育中渗透数学史的元素可以从以下几个方面人手. 一、数学史之数学概念的发生、发展过程 数学概念是数学中最基本的元素之一,对数学概念的历史挖掘可以更好的让学生对概念的本质产生直观印象,从源头帮助学生学好知识,学透知识. 正数与负数的历史发展 正数与负数的产生是人类思维进化的大飞跃.在原始时期,人们没有数的概念,在计数的时候往往使用手指计数,当手指数量不够用

的时候,人们就会借助结绳、棍棒、石子的方式计数.随着社会的发展,尤其是经济的发展.对计数的要求就逐渐变高,于是就有了自然数的概念,分数的产生.而在生活中则有了比0度还低的温度……这些情景的出现就要求人类开始考虑数字的正反,多少两个层面的含义,于是就诞生了负数的概念.这种正负数产生的过程就可以让学生真切的感知负数诞生的历史背景和社会生态,有利于学生将正负数的知识迁移运用到生活当中. 二、数学史之定理的发现与证明过程 传统课堂中对定理的证明和介绍往往是将证明过程进行展示,学生对定理的来历和证明过程的原始记载并无掌握,不能很好的形成对所学知识的深刻印象.将定理证明的来源及其在不同国家的历史发展介绍给学生将有助于深化对定理的理解,学习伟大数学家对待证明的方法,并感悟数学思想的魅力. 勾股定理的证明

在中国,勾股定理的证明最早可以追溯到4000年前.在《周髀算经》的开头就有关于勾股定理的相关内容;而在西方有文字记载的最早给出勾股定理证明的则是毕达哥拉斯.相传是毕达哥拉斯在朋友家做客时,无意中看到朋友家地板的形状,于是便在大脑中出现了一系列的假设和猜想,并随后给予了论证.当毕达哥拉斯证明了勾股定理以后,欣喜若狂,于是杀牛百头以示祝贺.现在,数学家已经从不同的角度对勾股定理进行了证明,证明方法多达几十种. 三、数学史之数学历史中较为有名的难题解析 在数学的发展史中,有一些流传下来的被后人津津乐道的数学难题,这些题目的解答中往往蕴含着丰富的数学解题思想和独特的思维方式,同时也可以让学生感受到数学问题的奥秘并从中获得启示. 哥尼斯堡七桥问题

高中数学论文:浅谈高中数学个性化课堂教学尝试

高中数学论文 让学生个性在数学课堂中张扬 ——浅谈高中数学个性化课堂教学尝试 【内容提要】学习是学生的个性化行为,作为教师,应当在课堂教学环境中创设一个有利于张扬学生个性的场所,因此高中数学要求学生积极、主动、健康地学习,充分发展其个性特长。这就需要我们教师在课堂教学中更加关注和努力尝试个性化教学,然而如何在课堂教学中实施有效的个性化教学就成了关键问题。本文以杨辉三角型数列问题为例,谈谈如何在日常教学中实施个性化课堂教学的问题。 【关键词】个性化课堂教学 数学学习是学生学习的个性化行为,在这个个性化过程中,让学生在数学课堂教学中展示个性化学习,让学生的个性得到充分的发展,做到教师个性化的教和学生个性化的学的统一。数学课程理念倡导:日常教学要使学生积极、主动、健康地学习,充分发展其个性特长。为了实现这一目标,教师在课堂教学时,要凭借良好的教学素质,创造性地处理教材,合理的创设课堂氛围,最优化地组合课堂结构,最大程度的发挥学生的主体作用,让课堂真正成为学生自己的舞台。充分发掘学生的聪明才智,调动学生的学习积极性,使课堂教学适应个体个性化的自然需要,从而有效的提高课堂效率。而以往受应试教育和教学设施的影响,高中实施个性化教育还只停留在“空想”阶段,随着新课程改革的不断深入和现代教育技术的应用,使得个性化课堂教学成为一种可能,更是一种必然.而教学实践中,教师对如何开展个性化课堂教学比较陌生,不知道如何有效地对学生进行个性化教学。这一问题成为了日常教学的焦点,也是一个难点。下面就结合《杨辉三角型数列问题》教学案例谈谈笔者在实施个性化课堂教学中的尝试。 高一学生在学习完数列内容后,开展了有关杨辉三角问题的研究性学习,初步熟悉了杨辉三角的概念及基本性质.为了进一步培养学生的能力,真正达到研究性学习的目的,借用学生熟悉的杨辉三角模型,设计了有关杨辉三角型数列问题的延续课。 一、知识积累阶段 例1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

杨辉三角(教案)

杨辉三角(1) 目的要求 1.了解有关杨辉三角的简史,掌握杨辉三角的基本性质。 2.通过研究杨辉三角横行的数字规律,培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。 3.通过小组讨论,培养学生发现问题。探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神。 内容分析 本课的主要内容是总结杨辉三角的三个基本性质及研究发现杨辉三角横行的若干规律。 杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质,它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。 研究性课题,主要是针对某些数学问题的深入探讨,或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。目的在于培养学生的创新精神和创造能力。它要求教师给学生提供研究的问题及背景,让学生自主探究知识的发生发展过。从问题的提出、探索的过程及猜想的建立均主要由学生自主完成,教师不可代替,但作为组织者,可提供必要指导。 教师首先简介杨辉三角的相关历史,激发学生的民族自豪感和创造欲望,然后引导学生总结有关杨辉三角的基本知识(研究的基础)及介绍发现数字规律的主要方法(研究的策略),并类比数列的通项及求和,让学生对n阶杨辉三角进行初步的研究尝试活动,让学生充分展开思维进入研究状态。 以下主要分小组合作研究杨辉三角的横行数字规律,重点发现规律,不必在课堂上证明。 教学过程 (一)回顾旧知 1.用电脑展示贾宪三角图、朱泄杰的古法七乘方图、帕斯卡三角图(附后),同时播放用古代民族乐器演奏的音乐。

教师介绍杨辉三角的简史:北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,南宋数学家杨辉在《详解九章算法》(1961年)记载并保存了“贾宪三角”,故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。在欧洲直到1623年以后,法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。 2.用电脑展示15阶杨辉三角或事先印好15阶杨辉三角分发给学生。对照杨辉三角,回顾高二下学期学过的杨辉三角的构造及基本性质,并由学生叙述。 1°与二项式定理的关系:杨辉三角的第n行就是二项式 n b a) (+展开 式的系数列 } {R N C。 2°对称性:杨辉三角中的数字左、右对称,对称轴是杨辉三角形底边 上的“高”,即 r n n r n c C- =。 3°结构特征:杨辉三角除斜边上1以外的各数,都等于它“肩上”的 两数之和,即 r n r n n r n C c C 1 1- - - + =。 (二)分组研究杨辉三角横行规律(将全班学生按前后排四或五人一组分成若干研究小组) 1.介绍数学发现的方法:杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律。古今中外,许多数学家如贾宪、杨辉、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过,并将研究结果应用于其他工作。他们研究的方法可以归纳为:

浅谈数学教学中的德育教育

浅谈数学教学中的德育教育 发表时间:2011-10-27T09:05:41.360Z 来源:《学习方法报●语数教研周刊》2011年第5期供稿作者:薛在敏 [导读] 德育在现代人素质结构中占居着核心地位,德育是素质教育的根本. 山东海阳市留格庄镇第二初级中学薛在敏 别林斯基说过:“有许多种教育与发展,而且每一种都具有自己的重要性,不过德育在它们中应该首屈一指”.德育在现代人素质结构中占居着核心地位,德育是素质教育的根本.寓德育教育于中学数学教学中,是素质教育、义务教育数学教学大纲的重要组成部分,数学教育要实施素质教育就应该在学科教学中有机地渗透德育,引导学生在学习数学的同时提高自身素质,完善自我. 一、立足教材,挖掘德育内容 德育渗透在数学中的内容是多方面的.大纲要求:“根据数学学科特点,对学生进行学习目的的教育,爱祖国、爱社会主义、爱科学教育,辩证唯物主义观点的启蒙教育——”.其中爱国主义教育是德育教育的灵魂和核心,缺乏或忽视它都是不健全、不完善的教育.在教材中有许多反映我国国情建设、科技资源、环境保护等内容,有意识、有计划地加以发挥是渗透德育的基本途径. 如教学“科学记数法”时,向学生讲解“我国的领土有960万平方公里,我国的第一大岛台湾的面积是135700平方米——”.通过讲解这些知识进行国情教育,使学生了解祖国的大好河山,心中有祖国,做爱国的中国人;同时明确认识到台湾是中国的一部分,香港、澳门的回归已成现实,我们盼望着祖国的完全统一. “近几年我国国内生产总值连续增长,2001年达到95933万亿元,2002年102398万亿元,2003年116694万亿元”.每一年的增长率是多少?通过完成这道应用题,学生们了解到了祖国在改革开放中各个方面取得的成就,瞩目祖国的不断强大,从而进一步激发学生们热爱祖国,拥护改革开放政策,为他们将来的学习和发展奠定坚实的思想基础. 中国上下五千年中,数学方面的发明创造是数学发展史中的光辉篇章.在进行圆周长、圆面积、扇形面积、圆柱(锥)体积等教学时,所用的圆周率,都不忘介绍祖冲之、刘徽为研究圆周率所作的巨大努力和杰出的贡献,用以激发学生们的民族自豪感,坚定学好数学的决心. 在教学完全平方公式时,也不失时机地讲解“杨辉三角”的辉煌业绩以及在高数中的重要地位,激发学生的求知欲望,为将来的发展而奋斗. 二、结合实际,丰富德育内涵 数学属于理科类,其思想往往是内隐和深藏的,有时就需要教师创造渗透德育教育的条件,如自编习题,这也是扩大教育的一种好方法. 现代的学生大部分是独生子女,在长辈们无微不至的关怀下,往往养成了以自我为中心不良习性,不懂得关心别人和尊敬长辈.有些家长向我反映,他们的孩子在家好吃好穿,不考虑别人,更有甚者,穿衣服要穿名牌,很少顾及到家长辛勤劳作的艰辛.于是我在教学时,经常自编了一些暗示题 编题时,我还结合学校“向灾区人民献爱心”活动,培养学生的社会责任感;结合植树节,渗透绿化环境、美化家园、爱我海阳核电的教育;结合“两弹一星”的丰功伟绩,激发学生爱科学、学科学、报效祖国的远大理想;还结合诸如节约用煤、粮食增产、降低利息、缴纳税款等资料,使学生在解题中受到全方位的思想教育,达到全面提高学生素质. 三、摆正态度,倡导德育评价 数学是一门基础性极强的学科,部分学生由于某一阶段或某一时期的学习态度、方法等因素导致了当前学习上的障碍和暂时落后,从而引起了同班同学的冷眼,致使他们有一种抬不起头的感觉,学习上很大程度上会出现畏难怕学的情绪,在这种情况下,我的态度十分鲜明,就是帮助他们,我尽可能地让他们感到班级、同学的温暖,给他们最好的位置, 四、改进教法,提高德育实效 随着现代社会的飞速发展,建设成就、科技发明可以说无一不是群体的力量.在实践中、竞争中团结合作,是每一个公民必须具备的素质,培养学生这些思想品质,也是实施德育教育的一项内容,数学学科十分有利于培养学生的这些意识.在教学过程中改变传统的“我讲你听”的方式,充分让学生主动的参与教学,设计“一帮一”、“一对红”,自由讨论、邻桌小议、分组讨论等形式,达到协作互助、共同进步.如教学“解直角三角形”知识后,课后让学生分小组结合,自由选择课题,设计问题,运用解直角三角形知识解决生活中的实际问题.于是有的小组测量旗杆高度、有的测量河宽,——学生们有的准备工具、有的测量数据、解答计算,最后带到课内评比交流,师生共同评价.这种方法使学生互相取长补短,学生间合作,小组间竞争,从中学做人,提高德育的实效性,把个人融于团队之中. 数学教学中对学生进行的德育渗透,可能只是点点滴滴,但只要长期坚持,学生定会耳濡目染,潜移默化,集腋成裘,学生的品德素质将随着数学学习同步提高,从而实现真正意义上的素质教育.

杨辉三角 小学数学 精品

杨辉三角 人教版小学数学五年级下期第115页第10题,涉及著名的“杨辉三角”, 对此,教参中已有所介绍。为了提高学生的学习兴趣,加深对“杨辉三角”的理解,增强学生的民族自豪感和爱国热情,下面推荐一个有趣的数学游戏。 老师出示一张图(有条件的可以使用多媒体): 宣布:“现在和同学们玩一个有趣的数学游戏。请一位同学在这个图的最下面一行6个圆圈里任意各填一个一位数,我随即在顶端那个圆圈里写一个数。然后,大家按照图中的连线,算出最下面那行相邻两个圆圈里的数的和,填入上一行的圆圈里。自下而上照这样进行下去,直到算出顶端那个圆圈里应该填的数,一定跟我已经填好的数一样。哪位同学愿意试一试?” 等那位同学把最下面一行的6个数填好以后,老师迅速算出左起第三、四两个数的和的10倍,加上第二、五两个数的和的5倍,再加上第一、六两个数,得数就是顶端那个圆圈里应该填的数。 比如,从左到右,学生所填的数是4、1、8、6、2、3,老师就应该填10 ×(8+6)+5×(1+2)+(4+3)=140+15+7=162。 这是为什么呢?原来,“杨辉三角”中的数是有规律的。 规律是:自上而下,每个圆圈里的数等于与它相连的,上一行圆圈里的数的和。比如,第三行中间圆圈里的数之所以是2,就因为与它相连的第二行两个圆圈里的数都是1,1+1=2。依此类推。 游戏相当于把上面的过程倒回去,所以要把圆圈里的数分别乘上1、5、10、10、5、1。

等玩过两三次以后,学生一定会急于知道老师是怎样做到未卜先知的,甚至有些爱动脑筋的学生,已经在开始探求其中的奥秘了。这时,可以启发学生用学过的“用字母表示数”的方法,看看最下面那行所填的6个数,在整个计算过程中究竟各用了几次。 设:第六行所填的6个数依次为A、B、C、D、E、F。第五行就是A+B、B +C、C+D、D+E、E+F;第四行就是A+2B+C、B+2C+D、C+2D+E、D+2E+F;第三行就是A+3B+3C+D、B+3C+3D+E、C+3D+3E+F;第二行就是A+4B+6C+4D+E、B+4C+6D+4E+F;顶端的数就是A+5B+10C+10D +5E+F,即10(C+D)+5(B+E)+(A+F)。从而得出前面所总结出的方法。 “杨辉三角”在数学中有着重要作用,同时又具有直观形象的特点,对于培养学生的思维能力很有好处,值得给学生提供一个加深印象的机会。 杨辉三角 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 …… 中还隐藏着许多奥秘: 请看这些斜线上的数: 自然数 1 三角形数 1 1 四面体数 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 …… 一、自然数:1,2,3,4,… 求前n个自然数的和,无需使用公式,答案就在第n个自然数的左下方。比如,前4个自然数的和,就在第4个自然数4的左下方,是10。前5个自

斐波那契数列的启示

Xxxxxxxxxxx大学 课程论文(2013-2014学年春季学期) 论文题目: 课程名称: 任课教师: 班级: 学号: 姓名:

浅谈斐波那契数列 摘要: 斐波那契数列,又称作黄金分割数列,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21……这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和。斐波那契数列的发明者,是意大利数学家列昂纳多?斐波那契(Leonardo Fibonacci)。本文主要就斐波那契数列的提出与特征进行简要分析,通过举例重点说明斐波那契数列在实际生活当中的表现与应用,进而得到启示。 关键词: 斐波那契数列; 特征; 应用 Research on Fibonacci sequence (Institute of Technology, China Agricultural University, FENG-Wei) Abstract: Fibonacci sequence, also known as the golden series, referring to such a sequence: 1,1,2,3,5,8,13,21…… this sequence beginning from the third term, each of which equal to the sum of the first two terms. The inventor of Fibonacci series was an Italian mathematician——Leonardo Fibonacci. This tractate focuses on the characteristics of Fibonacci sequence and has a brief analysis, as well as giving examples to analyze the performance and application of Fibonacci sequence in real life, and then get inspirations. Key words: Fibonacci sequence; Characteristics; Application

杨辉三角

杨辉三角 教学设计思想: 这节课是高三数学(选修II )的研究性课题,是在高二学过的“二项式定理”的基础上,进一步探讨和研究杨辉三角的性质,实质上就是二项展开式的二项式系数即组合数的性质。 (1)让学生在教师设计的问题情境中,自己根据已经学过的知识去发现问题→提出问题→解决问题,即观察、猜想、归纳杨辉三角横行、竖向、斜向的数字各数之间的大小关系、组合关系及各数字之间的联系等规律。 (2)在学生自主探究知识的发生发展过程中从中体会到数学世界的神奇和有趣,激发他们对数学的热爱之情。培养他们的交流与协作的能力。 (3)通过向他们介绍杨辉三角的有关历史,让他们了解中国古代数学的伟大成就,增强他们的民族自豪感。 教学 目标: 1 使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史,掌握杨辉三角的基本性质,并能认识到中国古代的数学的辉煌成就。 2 让学生在老师的启发下自己去探讨杨辉三角中行、列的数字的特点, 发现杨辉三角的有关的性质,培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。 3通过讨论,培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。在交流中培养学生的协作能力,形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神,为进一步学习作好准备。 教学过程: 一 引入 今天我们在高二学过的杨辉三角的基础上,进一步探索杨辉三角数字中横 向、竖向、斜向…中蕴含的有趣的数量关系。(幻灯片:出示杨辉三角的前3行,余下的让学生补充完整) 二 杨辉简介 杨辉,中国南宋时期杰出的数学家 和数学教育家。在13世纪中叶活动于 苏杭一带,其著作甚多。其中《详解九章算术》 中的“开方作法本源图”,曾被称为“杨辉三角”, 杨辉指明次系贾宪(约11世纪)所用. 三 探讨杨辉三角的性质 ? ??++++++=++++++=+++++=++++=+++=++=+=+6 43223245665 432234554 3223443 22332 221061520156)(510105)(464)(33)(2)()(1)(b ab b a b a b a b a a b a b ab b a b a b a a b a b ab b a b a a b a b ab b a a b a b ab a b a b a b a b a

杨辉三角及其空间拓展

杨辉三角及其空间拓展 株洲市二中G0216 刘子儒郭时伟 摘要 本文首先对杨辉三角中特有的数学规律作了初步探索,发现了其奇偶排列的等边三角形现象。然后,在研究中,我们在空间杨辉三角的问题上迈出了第一步——由平面杨辉三角走向三维杨辉三角。我们在研究过程中推导出了三维杨辉三角数坐标公式,并总结出其与三项式系数的关系。在三维杨辉三角模型的基础上我们又续而导出四维杨辉三角和N维杨辉三角。经过努力的研究,最后归纳出了四维及N维杨辉三角数坐标公式。由此得出了N 项式展开项系数定理。在研究过程中我们还有机地结合现代计算机技术协助公式的推导,并将其付之实用,进一步完善了课题的研究。对此,还有几名著名的数学教授提出了宝贵的意见。 这些都是前人从未涉足过的领域,而这篇论文把这次研究的新颖性给淋漓尽致地体现出来了。 关键词:杨辉三角空间公式系数 杨辉三角,作为中国古代数学中的奇迹。在数学计算中,日常生活中,无时不刻地展示着自己的魅力。从古至今,从中国到外国,有无数的学者为之着迷。 但是,以往的学者们的研究只限于平面内的杨辉三角。如果考虑到空间上的拓展,那在学术上是突破性的。所以我们决定对杨辉三角进行全面、深刻地分析,将其拓展到三维、四维乃至N维。 研究杨辉三角,是在偶然中想到的。对于多次出现在数学课本上的“杨辉三角”,不对其有些想法才是奇怪了。而恰好我的母亲又叫“杨辉”。所以,小时候第一次在《十万个为什么》中看到时就留下了深刻的印象。再加上多次、再次地在高中数学课本中“相遇”,愈发觉得亲切。 一.杨辉三角的相关信息 看似简单的一个数字列表,却蕴藏着很深的奥秘。这无疑是我国古代劳动人民智慧的结晶,也集中地体现了数学的奥妙无穷。有了它,我们可以轻易地计算两个数的和的几次方,甚至用来开一个数的几次方。 杨辉(约十三世纪)字谦光,钱塘(今浙江杭州)人,是我国南宋时的数学家,杨辉的数学著作有《讲解九章算法》十二卷,流传至今的只是其中的一部分,其中“开方作法本源”载有二项式系数三角形,后人称为杨辉三角形,此外,他还著有《日用算法》二卷,《乘除通变算宝》三卷,《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷等。

杨辉三角

研究性课题:杨辉三角 ●教学目标 (一)教学知识点 1.理解杨辉三角的性质 2.掌握有关杨辉三角的基本性质1 1 1C C C ,C C +++-=+=r n r n r n r n n r n . (二)能力训练要求 会应用杨辉三角的基本性质证明杨辉三角新的性质. (三)德育渗透目标 1.培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题的能力.解决问题能力,让学生在探索过程体验数学活动,数学发现的成功的愉悦. 2.培养学生实际动手操作实践创新的能力,培养学生的创新精神,探索精神和应用能力,鼓励学生大胆猜想,相信科学. ●教学重点 杨辉三角新的性质的探索和发现是教学的重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系,研究和探索杨辉三角的一些性质,对于发现某些数学规律是大有裨益的.对于培养学生的创新思维能力也是不无帮助的. ●教学难点 杨辉三角新的性质的探索和发现是本节课教学难点。 ●教学方法 由于杨辉三角中的许多有趣的数量关系不是轻易发现的,而简单的告诉和求证又显得十分枯燥无味,学生的发现、探索精神和能力的培养受到了一定的限制,所以学生主动探索,发现和证明(失败时总结经验,另寻他路,重新启动,走向成功)的全程的尝试是最为主要的,这样不是被动的接受,而是主动的建构,学生的认知结构得到了较好的发展和培养,他们不仅学会了知识而且还学会了如何面对困难、克服困难,走向成功的高峰的非智力因素的调节作用,要求同学们不仅是个体参与,而且是集体参与,智力参与. ●教具准备 实物投影仪(多媒体课件) ●教学过程 Ⅰ.课题导入 上节课我们学习了杨辉三角中的有关性质,杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一,它的发现远早于法国数学家帕斯卡,它和勾股定理,圆周率的计算等其他中国古代数学成就,显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能。今天我们继续探索研究杨辉三角的有关性质. Ⅱ.讲授新课 一般的杨辉三角如下表.

浅谈数学课堂教学中的数学文化的渗透

浅谈数学课堂教学中的数学文化的渗透 随着新课程改革的实施,数学教学的文化价值在课堂教学中显得越来越重要。本文先谈如何认识数学是一种文化,及其文化资源的内涵,然后试从数学知识发生发展的过程、联系数学史实、联系生活实际以及欣赏数学美四个方面论述了如何在数学课堂教学中渗透数学的文化价值,使学生从中受到潜移默化的教育。与此相应的要求教师自身的数学文化素养有所提高。 一、数学本身就是一种文化 文化的含义很复杂,如今关于文化的定义有几百种,难怪有人说,“文化是个框,什么都能装”。那数学文化究竟是什么,目前还没有统一的定义。而全日制义务教育数学课程标准指出:“数学是人类的一种文化,它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”。普通高中数学课程标准(实验)解读中提到:“一般说来,数学文化表现为在数学的起源、发展、完善和应用的过程中体现出的对于人类发展具有重大影响的方面。它既包括对于人的观念、思想和思维方式的一种潜移默化的作用,对于人的思维的训练功能和发展人的创造性思维的功能,也包括在人类认识和发展数学的过程中体现出来的探索和进取的精神和所能达到的崇高境界等”。可见数学文化对数学教育的影响。新时代的教师应思考如何将数学文化融入数学课堂,渗入到实际的教学活动中,使学生在学习数学的过程中得到数学文化的熏陶。 二、数学文化资源的内涵 人文精神的内涵是很丰富的,包括对高尚的道德、信念、人格的追求;对自由、平等、正义的渴望;对幸福、信仰、人生价值问题的反思;对知识、科学、真理的求索;对客观现实、自然规律的遵循。概括地说要养成健康的人格,形成人与人、人与社会、人与自然和谐、默契的关系。数学学科的内涵十分丰富,功能极其全面。大数学家克莱因认为:“数学是人类最高的智力成就,也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,可是数学能给予以上的一切”。

浅谈栈和队列的应用

浅谈栈与队列的应用 摘要:数据结构是计算机中一个非常重要的分支,它是现实世界数据与计算机世界数据连接的关键,它主要涵盖两方面的内容:逻辑层面的数据结构和计算机存储数据物理层的数据结构。关于数据结构中的线性表、栈、队列,将上述两方面的内容进行介绍,进行横向的比较,从而更清楚地看到它们之间的联系与区别,并分析它们在现实计算中的应用。 关键词:线性表;堆栈;队列;应用开发 Discussion on the Application of Stack and Queue Abstract: Data structure is a very important branch of a computer,it is the key of the connection of real world data and computer world data,it mainly covers the following two contents:logic level data structure and computer data storage physical layer data structure.About the data structure of the linear list,stack,queue,it introduces the content of the above-mentioned two aspects,carries on the horizontal comparison,thus more clearly see the relationship and difference between them.And analyzes them in real in the calculation of the application. Key words: Linear List; Stack;Queue;Application Development 0 引言 栈和队列可以看作线性表的特例,它们都具有和线性表相同的存储方式,顺序存储和链式存储,栈有顺序栈和链式栈,队列有顺序队列和链式队列。但从数据类型角度看,它们是和线性表大不相同的两类重要的抽象数据类型。由于它们被广泛应用在各种软件系统中,因此在面向对象的程序设计中,它们是多型数据类型[1~2]。 1 基本概念 1.1 线性表的概念和特性 线性表是有限元素(a1,a2,a3…,an)有序序列的集合,a1,a2…,an都是完全相同结构的数据类型,同时它们之间的排列严格有序,其中任何元素都对应唯一的前驱以及唯一的后继。这样一个序列可以有查询、删除、插入队列任何位置的数据操作[3]。 1.2 栈的概念和特性 栈作为一种限定性线性表,它限定插入和删除操作都在表的同一端进行。允许插入和删除元素的一端称为栈顶,另一端为栈底;栈底固定,栈顶浮动。栈的插入操作被形象地称为进栈或入栈,删除操作称为出栈或退栈。我们只能从一端取出放入数据,即压入栈和弹出栈,所以它的顺序是“后进先出”,如图1。 作者简介:刘碧霞(1993年-),女,本科,1063384634@https://www.doczj.com/doc/6c2151787.html,。 1.3 队列的概念和特性 队列与栈类似,是另一种限定性的线性表,它只允许在表的一端插入元素,而在另一端删除元素。允许插入元素的一端称为队尾,允许删除元素的一端称为队头。它的操作不同的地方是两端存、取数据,且仅仅是一端取(队头)一端存(队尾),所以它的顺序是“先进

浅谈杨辉三角的奥秘及应用

浅谈杨辉三角的奥秘及应用 摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。 关键词杨辉三角,最短路径,错位,幂 0 引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他著的《详解九章算法》一书中,画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形,称做“开方做法本源”,现在简称为“杨辉三角”,它是杨辉的一大重要研究成果。随着素质教育的提倡,新课程标准的颁布,生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系,那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢?这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。 1 杨辉三角与数字11的幂的关系 我们知道初中时老师要求我们背11的幂,11的1次幂、2次幂、3次幂还好背,后面就难起来了。后来我受到一位老师的启发,并且查看了这方面有关资料,发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切。 假设y=11n 当n=0时: y=1; 当n=1时: y=11; 当n=2时:y=121; 当n=3时:y=1331; 当n=4时:y=14641; 以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致,接下来我们再来看一下当n≥5时的情况,如下: 当n=5时: 1 4 6 4 1 ? 1 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 当n=6时: 1 5 10 10 5 1 ? 1 1 1 5 10 10 5 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

…… 由上可知:11的n 次幂的各位数字(不含进位)与杨辉三角中的各数字完全相等(证 明还有待证明)即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图 形。如下图: 1 (110 ) 1 1 (111 ) 1 2 1 (112) 1 3 3 1 (113) 1 4 6 4 1 (114) 1 5 10 10 5 1 (115) 1 6 15 20 15 6 1 (116) …… 其实这个关系我们早就学习过了,只是用另一种方式表达而已。我们知道初中时老师教 我们记11的幂时,有一句口诀:头尾不变(即为1),左右相加放中间。其实是错位相加,而 扬辉三角中头尾为1,中间的数是其肩上的两数之和,也是错位相加得到的。 2 杨辉三角与2的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加,如下: 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1= 2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3 2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) …… 我们知道相加得到的数是1,2,4,8,16,32,64,…刚好是2的0,1,2,3,4,5, 6,…次幂,即杨辉三角第n 行中n 个数之和等于2的n-1次幂。 刚好与高中时学的杨辉三角的性质相符合,归纳如下: 1°与二项式定理的关系:杨辉三角的第n 行就是二项式n b a )(+展开式的系数列 }{R N C 。 2°对称性:杨辉三角中的数字左、右对称,对称轴是杨辉三角形底边上的“高”,即 r n n r n c C -=。

浅谈数学史对学生数学教学的作用

摘要:学生数学教学作为基础教育的重要组成部分,着力培养学生分析、论证和解决问题的能力。针对现在数学教学中忽视对数学史的教育的这一现象,本文结合相关资料谈一谈数学史在数学教学中的作用。 关键字:数学史、学生数学教育、作用 Abstract:Mathematics education in schools of basic education as an important component of the analysis focus on cultivating students, demonstration and problem-solving abilities. For now ignore the teaching of mathematics in schools of mathematics education in the history of this phenomenon, combined with relevant information in this article to talk about the history of mathematics in school mathematics education. Keywords:History of mathematics、 Secondary School Mathematics Education 、Role 引言 数学,作为人类智慧的一种表达形式,它的源泉是人类社会实践和数学的内部矛盾,它的基础是逻辑和直觉,分析和推理,共性和个性。学生数学教育是基础教育的重要组成部分,对于培养中学生分析、论证和解决问题的能力,独立思考能力、推理能力、空间想象能力等都是非常重要的,是“素质教育”的内涵之一。要正确地树立数学的观念,培养一个民族的数学文化,我们就不能不追问这个民族数学的发展历程,以及整个数学学科发展的历史。但是长期以来,数学史在中学数学教学中没有得到应有的重视,教材本身反映的比较少,供教师参考的关于渗透数学史教育的文献也比较少,大多数数学教师把相关的数学史知识一带而过,或干脆不讲,这就大大忽略了数学史对学生数学教育的促进作用。如果不把数学史融入到数学教学当中,那么数学的教育价值就难以体现,所以我们要认识到数学史对数学教育的重大意义。

杨辉三角形

有趣的杨辉三角形 【教学目的】 1.初步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律; 2.培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力,重点培养创新能力; 3.了解我国古今数学的伟大成就,增强爱国情感. 【教学手段】 课堂教学,以学生自学为主,教师引导探索。 【教学思路】 →学生自学教材,然后思考几个问题。 →分组探讨杨辉三角的性质。 →展示学生探究成果 →教学小结 【自学教材】; 1.什么是杨辉三角? 二项式(a+b)n展开式的二项式系数,当n依次取1,2,3...时,列出的一张表,叫做二项式系数表,因它形如三角形,南宋的杨辉对其有过深入研究,所以我们又称它为杨辉三角.(表1) 例如,它的兩項的係數是1和1; ,它的三項係數依次是1、2、1; ,它的四項係數依次1、3、3、1。 2.杨辉——古代数学家的杰出代表 杨辉,杭州钱塘人。中国南宋末年数学家,数学教育家.著作甚多,他编著的数学书共五种二十一卷,著有《详解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷.其中后三种合称《杨辉算法》,朝鲜、日本等国均有译本出版,流传世界。 “杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中,此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它,这表明 我国发现这个表不晚于11世纪. 在欧洲,这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的 (Blaise Pascal,1623年~1662年),他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就

杨辉三角教案

《杨辉三角》教案 教学目标 1、知识目标: (1)了解杨辉及杨辉三角。 (2)初步认识杨辉三角中行列数字的特点与规律。 2、能力目标: (1)培养学生查阅资料,运用图表和数学语言的能力; (2)培养学生观察能力,提出问题,分析问题的能力,归纳能力与增强创新意识。 3、情感目标: (1)培养学生善于交流,乐于合作的团队精神; (2)在研究的过程中,培养学生不怕挫折,永不满足的意志品质,追求新知的科学态度; (3)通过了解我国古代的数学成就,培养学生的爱国主义精神,激发学生探索、研究数学的热情。 教学重难点: 引导学生从杨辉三角的行列数字中发现规律,得出结论,从而培养学生自主学习的能力。 教学方法: 以学生自己探索研究为主,教师重在点拨指导。 教学手段: 多媒体辅助教学,导学提纲

课堂研究 一、引入 1、(有一位数学家说过:哪里有数,哪里就有美)用下列一些等式的优美规律来激发学生探究杨辉三角的兴趣 112=121 1+2+1=22 1112=12321 1+2+3+2+1=32 11112=1234321 1+2+3+4+3+2+1=42 2、介绍杨辉(激发爱国热情) 杨辉,中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在13世纪中叶活动于苏杭一带,其著作甚多。 他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、《乘除通变本末》三卷(1274年)、《田亩比类乘除算法》二卷(1275年)、《续古摘奇算法》二卷(1275年)。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面,他对筹算乘除捷算法进行总结和发展,有的还编成了歌决,如九归口决。他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的"纵横图"及有关的构造方法,同时"垛积术"是杨辉继沈括"隙积术"后,关于高阶等差级数的研究。杨辉在"纂类"中,将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序,重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。 他非常重视数学教育的普及和发展,在《算法通变本末》中,杨辉为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史上的重要文献。二、学生自己观察归纳得出杨辉三角的一些特征

人教高中数学选修2-3第一章132杨辉三角教学设计

1.3.2杨辉三角周兰英 【教学目标】 知识与技能: 1、使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史,掌握杨辉三角的基本性质; 2、探索杨辉三角中行、列数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质之间联系,并能归纳这些数字规律; 3、会用数学归纳法及问题情景法证明发现的数字规律. 方法与过程: 1、培养学生独立思考与相互交流结合的意识,使学生基本掌握“观察——分析——猜想——证明”的科学研究方法; 2、利用简短的视频放映,向同学们简要介绍杨辉三角历史,提高同学们学习数学的乐趣,增强民族自豪感; 3、通过练习以及杨辉三角与纵横路线图,杨辉三角与弹子游戏,培养学生形成知识间相互联系的意识,并形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯,为进一步学习作好准备. 情感、态度与价值观: 1、了解我国古代数学的伟大成就,培养学生的爱国主义精神. 2、在知识的应用中,培养学生数学应用和科学研究的意识和能力,以及乐于探索、勇于创新的科学精神. 【教学重点、难点】 重点:杨辉三角的性质的发现 难点:引导学生发现杨辉三角中的行、列的数字规律 【教学方法与教学手段】 引导探索——合作交流——发现 计算机辅助教学 【教学过程】 复习回顾 简要回顾二项式定理,通项以及二项式系数相关概念. 一.本节知识点 1.杨辉三角:(a+b)1 …………………………………………………1 1 (a+b)2………………………………………………1 2 1 (a+b)3……………………………………………1 3 3 1 (a+b)4…………………………………………1 4 6 4 1 (a+b)5………………………………………1 5 10 10 5 1 (a+b)6………………………………………1 6 15 20 15 6 1 第行 1 (1) 第行 1 (1) 杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况,那么杨辉三角有何特点?(至少两点) 2.二项式系数的性质(用式子表示) (1)(对称性) (2)当为偶数时,最大;当为奇数时,最大(增减性与最大值) (3)(各二项式系数的和) 二、简单介绍杨辉——古代数学家的杰出代表

《杨辉三角》教案1

《杨辉三角》教案1 【教学目标】 1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉,并探索其中的规律; 2.能运用函数观点分析处理二项式系数的性质; 3.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单的应用。 【教学重难点】 教学重点:二项式系数的性质及其应用; 教学难点:杨辉三角的基本性质的探索和发现。 【教学过程】 一、复习引入 1、二项式定理:________________________________________________; 二项式系数:______________________________________________; 2、( 1+x) n=________________________________________________; 二、杨辉三角的来历及规律 练一练:把( a+b) n(n=1,2,3,4,5,6)展开式的二项式系数填入课本P37的表格,为了方便,可将上表改写成如下形式: (a+b)1 …………………………………………………1 1 (a+b)2 (121) (a+b)3 (1331) (a+b)4 (14641) (a+b)5 (15101051) (a+b)6 (1615201561) …………………………… 爱国教育,杨辉三角因上图形如三角形,南宋的杨辉对其有过深入研究,所以我们称它为杨辉三角。杨辉,我国南宋末年数学家,数学教育家.著作甚多。“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中,此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它,这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲,这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的(Blaise Pascal, 1623年~1662年),他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。

浅谈初中数学“选学内容”的使用

学科论文:初中数学 浅谈初中数学“选学内容”的使用 【摘要】“选学内容”作为教材的一个有机组成部分,在培养学生的数学素质方面有着十分积极而独到的作用。利用“选学内容”可让学生看到更广阔的数学世界。既有助于激发学生的学习兴趣;又可以培养学生良好的思想素质,以及提高学生的数学知识应用能力。 人教版初中数学中“选学内容”丰富,集趣味性、知识性、史料性、教育性于一体,是对教学内容的补充和开拓,是对学生进行思想教育的极好内容。所以,本文依据新课程相关理念,结合教学实践,对数学教材中的“选学内容”的使用进行探索。 【关键词】数学选学内容使用 人教版初中数学教材在每章节中安排了相关的“选学内容”,可谓是新教材的一个亮点。选学内容主要以“数学趣闻”、“数学发现”和“数学史”为题材,为学生提供丰富的具有思想性、实践性、挑战性的反映数学本质的阅读材料,丰富了教材内容。其目的是拓展学生的数学活动空间,培养学生学习的兴趣,激发他们的探索精神和创新意识,使学生在思维能力、情感态度和价值观等多方面得到发展。所以,如何开发和利用“选学内容” 这一宝贵材料,如何充分发挥材料的教育内涵和教育功能,成为教师努力探索的新课程。 本文结合自身教学的尝试,谈谈对初中数学“选学内容”的探索。 一、将“选学内容”创设成教学情境 建构主义强调学生知识的获得不是单纯的复制和迁移,更重要的是学生的自我建构。 因此要求教师把问题设置在学生思维的“最近发展区”,关注与学生生活相关的活生生的经验,让学生在与社会环境的接触中产生问号。有些“选学内容”的编写恰恰以实际生活作为素材,符合学生的认知心理特征.因此,可以适当加以修改,用来导入或完善某些概念。 案例一:在七年级(上)第一章第4节《有理数的乘除法》的教学中,我们可以把课后的选学材料《翻牌游戏中的数学道理》作为创设情境的素材,以游戏的形式来激发了学生的学习兴趣,以提高学生的积极性和参与意识,使课堂氛围充满生机活力。 课件演示翻牌游戏——桌上有9张正面向上的扑克牌每次翻动其中任意2张(包括已翻过的牌),使它们从一面向上变为另一面向上,这样一直做下去,观察能否使所有的牌都反面向上?

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