大学物理学习题答案
习题一
1.1 简要回答下列问题：
(1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相
等？
(2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？
(3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什
么？
(4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一
定保持不变？ (5) r ?和r ?有区别吗？v ?和v ?有区别吗？
0dv
dt =和0d v dt
=各代表什么运动？ (6) 设质点的运动方程为：()x x t =，()y y t =，在计算质点的速度和加速度时，有人先求
出r =
dr
v dt
= 及 22d r a dt =
而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即
v = 及 a =你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？
(7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？
(8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此
其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？
(9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？
(10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，n a 、t a 、a 三者的大小是否随时间改变？ (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？
1.2 一质点沿x 轴运动，坐标与时间的变化关系为224t t x -=，式中t x ,分别以m 、s 为单位，试计算：(1)在最初s 2内的位移、平均速度和s 2末的瞬时速度；(2)s 1末到s 3末的平均加速度；(3)s 3末的瞬时加速度。
解：
(1) 最初s 2内的位移为为： (2)(0)000(/)x x x m s ?=-=-= 最初s 2内的平均速度为： 0
0(/)2
ave x v m s t ?=
==? t 时刻的瞬时速度为：()44dx
v t t dt
=
=- s 2末的瞬时速度为：(2)4424/v m s =-?=-
(2) s 1末到s 3末的平均加速度为：2(3)(1)804/22
ave v v v a m s t ?---=
===-? (3) s 3末的瞬时加速度为：2(44)
4(/)dv d t a m s dt dt
-===-。
1.3 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为0a ，质点出发后，每经过τ时间，加速度均匀增加b 。求经过t 时间后，质点的速度和位移。
解: 由题意知，加速度和时间的关系为
0b
a a t τ
=+
利用dv adt =，并取积分得
000v t
b dv a t dv τ?
?=+ ??
???，202b v a t t τ=+ 再利用dx vdt =，并取积分[设0t =时00x =]得
x
t
x dx vdt =??，23
0126b x a t t τ
?=
+ 1.4 一质点从位矢为(0)4r j =的位置以初速度(0)4v i =开始运动，其加速度与时间的关系为(3)2a t i j =-.所有的长度以米计，时间以秒计.求：
（1）经过多长时间质点到达x 轴；
（2）到达x 轴时的位置。 解： 20
3()(0)()4(2)2t v t v a t dt t i t j ?
?=+
=+- ??
?? ()()320
1()(0)442t
r t r v t dt t t i t j ?
?=+
=++- ??
?? （1） 当2
40t -=，即2t s =时，到达x 轴。 （2） 2t s =时到达x 轴的位矢为 ：(2)12r i =
即质点到达x 轴时的位置为12,0x m y ==。
1.5 一质点沿x 轴运动，其加速度与坐标的关系为2
a x ω=-，式中ω为常数，设0=t 时刻的质点坐标为0x 、速度为0v ，求质点的速度与坐标的关系。
解：按题意 222d x
x dt
ω=- 由此有 dx dv
v dt dx dx dv dt dv dt
x d x ====-2
22
ω， 即 xdx vdv 2
ω-=， 两边取积分 ??
-=x
x v
v xdx vdv 0
2ω，
得
20221
2221202122
1
x x v v ωω+-=-
由此给出 v =±，2
02
02x v A +??
? ??=ω
1.6 一质点的运动方程为k t j t i t r
++=2
4)(，式中r ，t 分别以m 、s 为单位。试求：
(1) 质点的速度与加速度；(2) 质点的轨迹方程。
解：(1) 速度和加速度分别为： (8)dr v t j k dt ==+， j dt
v
d a 8==
(2) 令k z j y i x t r ++=)(，与所给条件比较可知 1=x ，2
4t y =，t z =
所以轨迹方程为：21,4x y z ==。
1.7 已知质点作直线运动，其速度为2
1
3()v t t ms -=-，求质点在0~4s 时间内的路程。 解: 在求解本题中要注意：在0~4s 时间内，速度有时大于零，有时小于零，因而运动出
现往返。如果计算积分4
vdt ?，则求出的是位移而不是路程。求路程应当计算积分4
v dt ?
。
令2
30v t t =-=，解得3t s =。由此可知：3t ，v v =； 3t =s 时，0v =；而3t >s 时，0v <，v v =-。因而质点在0~4s 时间内的路程为 ()()4
3
4
3
4
2
2
3
3
()33s v dt vdt v dt t t dt t t dt =
=+-=---?????
34
2323033
13116()2
3233t t t t m ????=---=????????。
1.8 在离船的高度为h 的岸边，一人以恒定的速率0v 收绳，求当船头与岸的水平距离为x 时，船的速度和加速度。
解: 建立坐标系如题1.8图所示，船沿X 轴方向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方程，由图题1.8，可得出
习题1.8图
222x r h =-
两边求微分，则有
22dx dr x
r dt dt = 船速为
dx r dr
v dt x dt
=
=
按题意
0dr
v dt
=-(负号表示绳随时间t 缩短)，所以船速为 0v =(前面根号下的里面是加号)
负号表明船速与x 轴正向反向，船速与x 有关，说明船作变速运动。将上式对时间求导，可得船的加速度为
2203h v dv
a dt x
==-
负号表明船的加速度与x 轴正方向相反，与船速方向相同，加速度与x 有关，说明船作变加
速运动。
1.9 一质点沿半径为10cm 的圆周运动，其角坐标θ(以弧度rad 计)可用下式表示
324t θ=+
其中t 的单位是秒(s )试问：(1)在2t s =时，它的法向加速度和切向加速度各是多少？ (2)当θ等于多少时其总加速度与半径成45角 ？
解：(1) 利用 324t θ=+，2/12d dt t ωθ==，/24d dt t αω==，
得到法向加速度和切向加速度的表达式
24
144n a r rt ω==，24t a r rt α==
在2t s =时，法向加速度和切向加速度为：
442
1441440.12230.4()n a rt m s -==??=?，
224240.12 4.8()t a rt m s -==??=?
(2) 要使总加速度与半径成45角，必须有n t a a =，即414424rt rt = 解得 31/6t =，此时 67.2423=+=t θrad
1.10 甲乙两船，甲以10/km h 的速度向东行驶，乙以15/km h 的速度向南行驶。问坐在乙船上的人看来，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何？
解：以地球为参照系，设i 、j
分别代表正东和正北方向，则甲乙两船速度分别为
h km i v /101 =，h km j v /152
-=
根据伽利略变换，当以乙船为参照物时，甲船速度为
h km j i v v v /)1510(21
+=-=
h km v /1.18151022=+=
， 31.5610
15==arctg θ
即在乙船上看，甲船速度为18.1/km h ，方向为东偏北 31.56
同理，在甲船上看，乙船速度为18.1/km h ，方向为西偏南 31.56。
1.11 有一水平飞行的飞机，速率为0v ，在飞机上安置一门大炮，炮弹以水平速度v 向前射
击。略去空气阻力，
(1) 以地球为参照系，求炮弹的轨迹方程； (2) 以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程；
(3) 以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？
解：(1) 以地球为参照系时，炮弹的初速度为01v v v +=，而t v x 1=，2
5.0gt y -= 消去时间参数t ，得到轨迹方程为：
2
02
)
(2v v gx y +-=（若以竖直向下为y 轴正方向，则负号去掉，下同） (2) 以飞机为参照系时，炮弹的初速度为v ，同上可得轨迹方程为22
2v
gx y -=
(3) 以炮弹为参照系，只需在(2)的求解过程中用x -代替x ，y -代替y ，可得 2
2
2v gx y =.
1.12如题1.12图，一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为D ，速率为v ，一艘速率为u v <的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。试证明：如果快艇在尽可能最迟的时
刻出发，那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为x u
=；快艇截
住这条船所需的时间为t =
。
D 港口
习题1.12图
证明：在如图所示的坐标系中，船与快艇的运动方程分别为 11x vt
y D =??=? 和
22
cos sin x x u t
y u t θθ=+???
=?? 拦截条件为：
??
?==2
12
1y y x x 即 c o s s i n
v t x u
t D u t θθ=+???
=?? 所以
()cos sin D v u x u θθ
-=
，
x 取最大值的条件为：0/=θd dx ，由此得到cos /u v θ=，相应地sin θ=。
因此x 的最大值为
x =
x 取最大值时对应的出发时间最迟。快艇截住这条船所需的时间为
sin D t u θ=
=
x
习题二答案 习题二
2.1 简要回答下列问题：
(1) 有人说：牛顿第一定律只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例，因而它是多余的.你的看法如何？
(2) 物体的运动方向与合外力方向是否一定相同？
(3) 物体受到了几个力的作用，是否一定产生加速度？ (4) 物体运动的速率不变，所受合外力是否一定为零？ (5) 物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？
(6) 为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值？
(7) 合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物体动能的增量？
(8)质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理与动能定理是否与惯性系有关？请举例说明. (9)判断下列说法是否正确，并说明理由：
(a)不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.
(b)内力都是保守力的系统，当它所受的合外力为零时，其机械能守恒. (c)只有保守内力作用而没有外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.
(10) 在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？ (11) 放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火质心运动轨迹如何？为什么在空中焰火总是以球形
逐渐扩大？(忽略空气阻力)
2.2 质量为m 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力F kv =-（k 为常数）作用，
0t =时质点的速度为0v ，证明：
（1）t 时刻的速度为0kt v v e
-=；
（2）由0到t 的时间内经过的距离为0()[1]kt m
x mv k e
-=?-； （3）停止运动前经过的距离为0mv k 。
证明： (1) 由 dv ma m
F kv dt ===- 分离变量得 dv k dt v m
=-，积分得 00v
t v dv
k dt v m =-?? ，0ln v k t v m
=-，0kt m v v e -= (2) //0
00
(1)t
kt m kt m mv x vdt v e dt e k
--==
=
-??
(3) 质点停止运动时速度为零，即t →∞，故有/0
00
kt m
mv x v e dt k
∞-'==
?。
2.3一质量为10 kg 的物体沿x 轴无摩擦地运动，设0t =时，物体的速度为零，物体在力34F t =+(N)(t 以s 为单位)的作用下运动了3s ，求它的速度和加速度. 解. 根据质点动量定理,
30
Fdt mv mv =-?, ()3
34t dt mv +=?
3
2210323323
2.7()10
t t v ms m -??+?+???===
根据牛顿第二定律，F ma =
[]334343 1.510
t t F a m m =++?====(m/s 2)
2.4 一颗子弹由枪口射出时速率为0v ms -1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为
()F a bt =-N （a,b 为常数）
，其中t 以秒为单位： （1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；
（2）求子弹所受的冲量； （3）求子弹的质量。 解：
(1)由题意，子弹到枪口时，有()0F a bt =-=, 得a t b
=
(2)子弹所受的冲量?-=-=t
bt at dt bt a I 0221)(，将a
t b
=代入，得b a I 22=
(3)由动量定理可求得子弹的质量 0
2
02bv a v I m =
=
2.5 一质量为m 的质点在xoy 平面上运动，其位置矢量为j t b i t a r
ωωsin cos +=，求质点的动量及0t =到2t πω=时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量。 解：质点的动量为
()sin cos p mv mr m a ti b tj ωωω===-+
将0t =和2t πω=分别代入上式，得 1p m bj ω=，2p m ai ω=- 动量的增量，亦即质点所受外力的冲量为
21()I p p m ai bj ω=-=-+
2.6 作用在质量为10kg 的物体上的力为(102)F t iN =+，式中t 的单位是s 。
（1）求4s 后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量；
（2）为了使这力的冲量为200Ns ，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和
一个具有初速度1
6jm s --?的物体，回答这两个问题。 解：(1)若物体原来静止，则
4
10
(102)56t p Fdt t idt i ?==+=??[1kg m s -??]，沿x 轴正向，
111
1115.656[]p v i m s I p i kg m s m
--??=
=?=?=??[], 若物体原来具有初速度1
06v jm s -=-?，则
0000
,()t
p mv p t mv Fdt =-=-+?
于是 201()p p t p p ?=-=? 同理， 2121,v v I I ?=?=
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．
(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即?+=+=t
t t dt t I 02
10)210(
令2
10200t t +=，解得10t s =。
2.7 一小船质量为100kg ，船头到船尾共长
3.6m 。现有一质量为50kg 的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。
习题2.7图 解：由动量守恒 0=-人人船船v m V M
又 dt V
S t
?=
船
船，
船人
船船人
船人人S m M dt V m M dt v s t
t
=
==?
?0
，
如图，船的长度 L S s =+人船 所以 3.6
1.2100
1150L S m M m =
==++
船船人
即船头相对岸边移动m S 2.1=船
2.8 质量2m kg =的质点,从静止出发沿X 轴作直线运动，受力(12)F t i =(N)，试求开始3s 内该力作的功。
解 3
(12)(12)x x L
L
A F dx t dx tv dt ===?
??
而
200
00
1232t
t
t
x x x x F v v a dt dt tdt t m =+===??
? 所以
()3
3
3
2
3
400
3612336729(J)4A t t dt t dt t ??
=?===??????
2.9 一地下蓄水池，面积为2
50s m =，水深度为1.5m ，假定水的上表面低于地面的高度是
5.0m ，问欲将这池水全部抽到地面，需作功多少?
O
1h
习题2.9图
解:建坐标如习题 2.9图，图中0h 表示水面到地面的距离，1h 表示水深。水的密度为
3310kg m ρ=，对于坐标为y 、厚度为dy 的一层水，其质量dm sdy ρ=，将此层水抽到
地面需作功
dA dmgy sgydy ρ==
将蓄水池中的水全部抽到地面需作功
()01
01
2
201012
h h h h h h A dA sgydy sg h h h ρρ++??===+-?
?
?
?
()21011
22
sg h h h ρ=
+ ()321
10509.8 1.52 5.0 1.52
=????+??64.2310=?(J) 2.9一炮弹质量为m ，以速度v 飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T ，且一块的质量为另一块质量的k 倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其
速率分别为v ，v
证明：设一块的质量为1m ，则另一块的质量为21m km =。利用12m m m +=，有 11m m k =
+， 21
km m k =+ ① 又设1m 的速度为1v ，2m 的速度为2v ，则有
22222112
12121mv v m v m T -+=
② 1122m v m v mv += [动量守恒] ③
联立①、③解得
12(1)v kv k v +=+，12(1)v k v kv =+- ④
联立④、②解得
22)(2v v km
T
-=，于是有km T v v 22±
= 将其代入④式，有
12(1)kT
v k v k v v m
?=+-= ?
又因为爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，当1k >时只能取 km
T
v v m kT v v 2,221-=+
=。 2.10一质量为m 的子弹射入置于光滑水平面上质量为M 并与劲度系数为k 的轻弹簧连着的木块后使弹簧最大压缩了L ，求子弹射入前的速度0v .
习题2.10图
解： 子弹射入木块到相对静止的过程是一个完全非弹性碰撞，时间极短，木块获得了速度，尚未位移，因而弹簧尚未压缩.此时木块和子弹有共同的速度1v ，由动量守恒，
()10m M v mv +=
此后，弹簧开始压缩，直到最大压缩，由机械能守恒，
()22111
22
m M v kL += 由两式消去1v ，解出0v 得
0v =
2.11质量m 的物体从静止开始，在竖直平面内沿着固定的四分之一圆周从A 滑到B 。在B 处时，物体速度的大小为B v 。已知圆的半径为R ，求物体从A 滑到B 的过程中摩擦力所作的功：(1)用功的定义求； (2)用动能定理求；(3)用功能原理求。
B
习题2.11图
解 方法一：当物体滑到与水平成任意θ角的位置时，物体在切线方向的牛顿方程为
cos t dv mg f ma m
dt θ-== 即
cos dv f mg m
dt
θ-=-+ 注意摩擦力f 与位移dr 反向，且||dr Rd θ=，因此摩擦力的功为
00||
cos B
v f dr A mg Rd m dv dt πθθ=-+?
?
22
001cos 2
B v B mgR d m vdv mgR mv πθθ=-+=-+??
方法二： 选m 为研究对象，合外力的功为
()
A mg f N dr =++??
考虑到N 0dr ?=?
，因而
2
cos ||cos f f f A A mg dr A mgR d A mgR πθθθ=+?=+=+??
由于动能增量为2
102
k B E mv ?=
-，因而按动能定理有 212f B
A mgR mv +=，2
12
f B A mgR mv =-+。
方法三：选物体、地球组成的系统为研究对象，以B 点为重力势能零点。 初始在A 点时，0p E mgR =、00k E =
终了在B 点时，0p E =，212
k B E mv =
由功能原理知：2
1012
f A E E E mv mgR =?=-=-
经比较可知，用功能原理求最简捷。
2.12 墙壁上固定一弹簧，弹簧另一端连接一个物体，弹簧的劲度系数为k ，物体m 与桌面间的摩擦因素为μ，若以恒力F 将物体自平衡点向右拉动，试求到达最远时，系统的势能。
μX
习题2.12图
解：物体水平受力如图，其中k f kx =，f mg μμ=。物体到达最远时，0v =。设此时物体的位移为x , 由动能定理有
()0
--00x
F kx mg dx μ=-?
即 2
1-
-02
Fx kx mgx μ= 解出 ()
2F mg x k
μ-=
系统的势能为 ()2
221
2p F mg E kx k
μ-==
2.13 一双原子分子的势能函数为
???
?
??????? ??-??? ??=6012002)(r r r r E r E p
式中r 为二原子间的距离，试证明： ⑴0r 为分子势能极小时的原子间距；
⑵分子势能的极小值为0E -； ⑶当0)(=r E p 时，原子间距离为
6
2
r ；
证明：（1）当()
0P dE r dr
=、22
()0P d E r dr >时，势能有极小值min )(r E P 。由 126126000000137()2120P r r r r dE r d E E dr dr r r r
r ??
??????=-=-+=?? ? ? ??????????? 得 126
00r r r r ????
= ? ?????
所以0r r =，即0r 为分子势能取极值时的原子间距。另一方面，
12620002
148()
12137P r r d E r E dr r
r ??=- ??? 当0r r =时，200222200072()
137120P E d E r E dr r r r ??=-=> ???
，所以0r r =时，)(r E P 取最小值。
（2）当0r r =时，126
00
min
0000()2P r r E r E E r r ????????=-=- ? ?????????
（3）令126
000()20P r r E r E r r ??
????=-=?? ? ?????????
，得到
1260020r r r r ??????-=?? ? ????????
?，6
02r r ??
= ???
，r =
2.14 质量为7.2×10-23kg ，速度为6.0×107m/s 的粒子A ，与另一个质量为其一半而静止的粒子B 相碰，假定这碰撞是弹性碰撞，碰撞后粒子A 的速率为5×107m/s ，求：
⑴粒子B 的速率及偏转角； ⑵粒子A 的偏转角。
B
习题2.14图
解：两粒子的碰撞满足动量守恒
B B A A A A v m v m v m '' +=
写成分量式有
βαcos 'cos 'B B A A A A v m v m v m +=
βαsin 'sin 'B B A A v m v m =
碰撞是弹性碰撞，动能不变：
222'2
1'2121B B A A A A v m v m v m += 利用
kg m A 23
10
2.7-?=， kg m m A
B 23106.32
-?==
， s m v A /100.67?=，s m v A /100.5'7?=，
可解得
s m v B /1069.4'7?=，'454 =β，'2022 =α。
2.15 平板中央开一小孔，质量为m 的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为1M 的重物。小球作匀速圆周运动，当半径为0r 时重物达到平衡。今在1M 的下方再挂一质量为2M 的物体，如题2-15图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度ω'和半径r '为多少？
习题2.15图
解：在只挂重物1M 时，小球作圆周运动的向心力为1M g ，即
2
100M g mr ω= ①
挂上2M 后，则有
212()M M g mr ω''+= ②
重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．
即 2222
0000r mv r mv r r ωω''''=?= ③
联立①、②、③得
2/3
3/2
12100112,
M M M r r M M M ωω?
??+''=
=
=?? ?+?
??
2.16 哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为m r 10
11075.8?=时的速率是1
4
11046.5-?=ms
v ，它离太阳最远时的速率是1
221008.9-?=ms
v ，这时它离太阳的
距离r 2是多少？（太阳位于椭圆的一个焦点。）
解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有
1122
r m v r m v = ∴ 104
12
1122
28.7510 5.4610 5.2610[]9.0810
rv r m v ???===??
2.17 查阅文献，对变质量力学问题进行分析和探讨，写成小论文。
参考文献：
[1]石照坤，变质量问题的教学之浅见，大学物理，1991年第10卷第10期。 [2]任学藻、廖旭，变质量柔绳问题研究，大学物理，2006年第25卷第2期。 2.18 通过查阅文献，形成对惯性系的进一步认识，写成小论文。
参考文献：
[1]高炳坤、李复，“惯性系”考，大学物理，2002年第21卷第4期。 [2]高炳坤、李复，“惯性系”考(续)，大学物理，2002年第21卷第5期。
习题三答案 习题三
3.1简要回答下列问题：
(1) 地球由西向东自转，它的自转角速度矢量指向什么方向？ 作图说明.
(2) 刚体的转动惯量与那些因素有关？“一个确定的刚体有确定的转动惯量”这句话对吗？ (3) 平行于z 轴的力对z 轴的力矩一定为零，垂直于z 轴的力对z 轴的力矩一定不为零.这种说法正确吗？
(4) 如果刚体转动的角速度很大，那么作用于其上的力是否一定很大？作用于其上的力矩是否一定很大？
(5) 两大小相同、质量相同的轮子，一个轮子的质量均匀分布，另一个轮子的质量主要集中在轮子边缘，两轮绕通过轮心且垂直于轮面的轴转动。问：(a)如果作用在它们上面的外力矩相同，哪个轮子转动的角速度较大？(b)如果它们的角加速度相同，哪个轮子受到的力矩大？(c)如果它们的角动量相等，哪个轮子转得快？
(6) 为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定轴转动动能
只与外力矩有关，而与内力矩无关？
(7) 下列物理量中，哪些与参考点的选择有关，哪些与参考点的选择无关：(a) 位矢；(b)位移；(c)速度；(d)动量；(e)角动量；(f)力；(g)力矩.
(8) 做匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心并与圆平面垂直的轴上任一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？ (9) 一人坐在角速度为0ω的转台上，手持一个旋转着的飞轮，其转轴垂直于地面，角速度为'ω。如果忽然使飞轮的转轴倒转，将发生什么情况？设转台和人的转动惯量为I ，飞轮的转动惯量为'I 。
3.2质量为m 长为l 的均质杆，可以绕过B 端且与杆垂直的水平轴转动。开始时，用手支住A 端，使杆与地面水平放置，问在突然撒手的瞬时，(1)绕B 点的力矩和角加速度各是多少？(2)杆的质心加速度是多少？
解：(1)绕B 点的力矩M 由重力产生，设杆的线密度为ρ，l
m
=ρ，则绕B 点的力矩为 000
1
2
mg
m l M xdG gxdm gx dx mgl ρ=
===??? 杆绕B 点的转动惯量为 202
0231ml dx x dm x I l m ===??ρ
角加速度为 32M g I l β== (2)杆的质心加速度为 g l a 4
3
2==β
3.3 如图所示，两物体1和2的质量分别为1m 与2m ，滑轮的转动惯量为I ，半径为r 。
⑴如物体2与桌面间的摩擦系数为μ，求系统的加速度a 及绳中的张力1T 与2T (设绳子与滑轮间无相对滑动)；
⑵如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a 及绳中的张力1T 与2T 。
习题3.2图
解：⑴先做受力分析，物体1受到重力g m 1和绳的张力1T ，对于滑轮，受到张力1T 和2T ，
对于物体2，在水平方向上受到摩擦力g m 2μ和张力2T ，分别列出方程
a m T g m 111=- [()a g m T -=11] a m g m T 222=-μ [()g a m T μ+=22]
()12a T T r M I I
r
α-=== 通过上面三个方程，可分别解出三个未知量
()()212212m m gr a m m r I μ-=++，()()22112121m r g Ig T m m m r I μ++=++，()()21222121m r g Ig T m m m r I
μμ++=++ ⑵ 在⑴的解答中，取0=μ即得
()21212m gr a m m r I =++， ()2211212m r g Ig T m m m r I +=++，()21222
12m m r g
T m m r I
=++。 3.4 电动机带动一个转动惯量为I=50kg·m 2的系统作定轴转动。在0.5s 内由静止开始最后达
到120r/min 的转速。假定在这一过程中转速是均匀增加的，求电动机对转动系统施加的力矩。
解：由于转速是均匀增加的，所以角加速度α为
2120/min 2/8/0.560/min
r rad r
rad s t s s ωπαπ??=
==?? 从而力矩为
322508 1.25710M I kgm s απ-==?=?
3.5 一飞轮直径为0.30m ，质量为5.00kg ，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀的加速，经0.50s 转速达到10r/s 。假定飞轮可看作实心圆柱体，求：
⑴飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数； ⑵拉力及拉力所作的功；
⑶从拉动后t=10s 时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。 解：⑴ 飞轮的角加速度为
210/2/125.7/0.5r s rad r
rad s t s
ωπα??=
==? 转过的圈数为
r s s r n 5.25.0/102
1
=??= ⑵ 飞轮的转动惯量为 2
2
1mr I =， 所以，拉力的大小为
110.3
5125.747.1()222
M I F mr N r r αα====???=
拉力做功为
47.1 2.5 3.14
0.311
W F S F n d J π==?=???= ⑶从拉动后t=10s 时，轮角速度为
3
125.710 1.25710(/)t rad s ωα''==?=? 轮边缘上一点的速度为
3
1.257100.15188(/)v r m s ω''==??= 轮边缘上一点的加速度为
2
125.70.1518.8(/)a r m s α==?=。
3.6 飞轮的质量为60kg ，直径为0.50m ，转速为1000r/min ，现要求在5s 内使其制动，求制动力F 。假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ=0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺寸如图所示。
习题3.6图
解：设在飞轮接触点上所需要的压力为F '，则摩擦力为F μ'，摩擦力的力矩为2
d
F '
μ，在
制动过程中，摩擦力的力矩不变，而角动量由2
d
mv 变化到0，所以由 0Mdt L L =-?有 2
22d
d m t d F ?='ωμ
解得785.42m d F N t ωμ'=
=。由杆的平衡条件得 0.5
314.21.25
F F N '==。 3.7 弹簧、定滑轮和物体的连接如图3.7所示，弹簧的劲度系数为2.0N m -1；定滑轮的转动
惯量是0.5kg m 2，半径为0.30m ，问当6.0kg 质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长。
习题3.7图
解：当物体落下0.40m 时，物体减少的势能转化为弹簧的势能、物体的动能和滑轮的动能， 即
2
2
2222121r Iv mv kh mgh ++=，
将kg m 6=，2
/8.9s kgm g =，m h 4.0=，2
5.0kgm I =，m r 3.0=代入，得 s m v /01.2=
3.8 在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为m 的人。圆盘的半径为R ，转动惯量为J ，角速度为ω。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。 解：系统的角动量在整个过程中保持不变。
人在盘边时，角动量为 (
)
ωω2
mR J I L +== 人走到盘心时角动量为 ωω'=''=J I L
因此 ()ωωJ
mR J 2
+=
'
人在盘边和在盘心时，系统动能分别为
2
2212
121ωωJ R m W +=，()22
2222121ωωJ mR J J W +=
'= 系统动能增加 2422
2122121ωωJ
R m R m W W W +
=-=? 3.9 在半径为1R ，质量为m 的静止水平圆盘上，站一质量为m 的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心，半径为2R [21R R <]的圆周匀速地
大学物理学 习题答案 习题一答案 习题一 1.1 简要回答下列问题： (1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相等？ (2)平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？ (3)瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什么？ (4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一定保持不 变？ (5) r ?v 和r ?v 有区别吗？v ?v 和v ?v 有区别吗？0dv dt =v 和0d v dt =v 各代表什么运动？ (6) 设质点的运动方程为：()x x t = ，()y y t =，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 r = dr v dt =及22d r a dt = 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v =及a =你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？ (7)如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性 的？ (8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此其法向加速 度也一定为零.”这种说法正确吗？ (9)任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？ (10)质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，n a 、t a 、a 三者的大小是否随时间改变？ (11)一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？ 一质点沿x 轴运动，坐标与时间的变化关系为224t t x -=，式中t x ,分别以m 、s 为单位，试计算：(1)在最初s 2内的位移、平均速度和s 2末的瞬时速度；(2)s 1末到s 3末的平均加速度；(3)s 3末的瞬时加速度。 解：
大学物理学I 课程教案
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第三章质点动力学 教材分析： 在前两章中，我们以质点为模型讨论了力学中的基本概念以及物体作机械运动的基本规律。在这一章中，我们将拓展这些概念和规律，把它们应用到刚体运动的问题中。本章主要讨论刚体绕定轴转动的有关规律，在此基础上，简要介绍刚体平面平行运动。 3.1 定轴转动刚体的转动惯量 教学目标: 1 理解刚体的模型及其运动特征； 2 理解转动惯量的概念和意义； 教学难点： 转动惯量的计算；动量矩守恒定律的应用 教学内容： 1 转动惯量的定义 2 转动惯量的计算(匀质长细杆的转动惯量、均匀细圆环的转动惯量、均匀薄圆盘的转动惯量、均匀球体的转动惯量) 3 平行轴定理 3.2刚体的定轴转动定理3.3 转动定理的积分形式——力矩对时间和空间的积累效应 3.5 守恒定律在刚体转动问题中的应用 教学目标: 1理解力矩的物理意义，掌握刚体绕定轴转动的转动定律 2 理解力矩的功和刚体转动动能的概念，并能熟练运动刚体定轴转动的动能定理和机械能守恒定律 3 用类比方法学习描述质点和刚体运动的物理量及运动规律 4 理解刚体对定轴转动的角动量概念和冲量矩的概念 5 掌握刚体对定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 教学难点： 刚体定轴转动定律 教学内容： 1 力矩 2 定轴转动的角动量定理 3 定轴转动的动能定理(力矩的功、定轴转动的动能、定轴转动的动能定理) 4 刚体的重力势能 5 机械能守恒定律的应用 6 角动量守恒定律及其应用 课后作业： 小论文： 1 关于转动惯量的讨论 2 陀螺运动浅析
第5章机械振动 教材分析： 与前几章所讨论的质点和刚体的运动相似，振动也是物质运动的基本形式，是自然界中的最普遍现象。振动几乎涉及到科学研究的各个领域。例如，在力学中有机械振动，在电磁学中有电磁振荡。近代物理学中更是处处离不开振动。本章将讨论机械振动的基本规律。 5.1 弹簧振子和单摆的运动方程 教学目标： 理解弹簧振子的动力学和运动学方程；理解单摆的动力学方程和运动学方程 教学重/难点： 弹簧振子的动力学方程的建立；单摆动力学方程的建立 教学内容： 弹簧振子的动力学方程、弹簧振子的运动学方程、单摆的运动方程 5.2 简谐振动 教学目标： 理解简谐振动的定义、简谐振动的运动方程 理解简谐振动的振幅、周期、相位的意义 掌握用旋转矢量表示简谐振动、理解简谐振动能量的特征 教学重/难点： 简谐振动的特征量：振幅、周期、相位 旋转矢量法、简谐振动的动能、势能 教学内容： 简谐振动的基本概念、简谐振动的旋转矢量图表示法、简谐振动的能量 5.3 同方向同频率的简谐振动的合成 教学目标： 理解同方向同频率的两个或多个简谐振动的合成 教学重/难点： 两个或多个同方向同频率简谐振动的合成 教学内容： 两个同方向同频率的简谐振动的合成、多个同方向同频率的简谐振动的合成 作业：P166 5.2 5.3 5.8 5.23
大学物理(吴柳主编) 上册课后习题答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
说明： 上册教材中，第5，6，7等章的习题有答案； 第1，2，4，8章的习题有部分答案； 第3，9，10，11章的习题没有答案。 为方便学生使用，现根据上学期各位老师辛苦所做的解答，对书上原有的答案进行了校对，没有错误的，本“补充答案”中不再给出；原书中答案有误的，和原书中没有给出答案的，这里一并给出。错误之处，欢迎指正！ 第1章 1.4． 2.8×10 15 m 1.5．根据方程中各项的量纲要一致，可以判断：Fx= mv 2/2合理， F=mxv , Ft=mxa , Fv= mv 2/2, v 2+v 3=2ax 均不合理. 第2章 2.1 (1) j i )2615()2625(-+-m; )/]()2615()2625[(45 1151020)2615()2625(s m j i j i t r v -+-=++-+-=??= (2)52m; 1.16m/s 2.2 (1) 4.1 m/s; 4.001m/s; 4.0m/s (2) 4m/s; 2 m.s -2 2.3 3m; m 3 4π ; 140033-s .m π方向与位移方向相同; 1.0m/s 方向沿切线方向 2.5 2π (m); 0; 1(s) 2.6 24(m); -16(m) 2.8 2 22 t v R vR dt d +=θ 2.10 (1) 13 22 =+y x (2) t v x 4sin 43ππ-=;t v y 4 cos 4π π=;t a x 4cos 1632ππ-=;t a y 4sin 162ππ-= (3) 2 6= x ,22=y ;π86- =x v ,π82=y v ;,2326π-=x a 2 322π-=y a 2.12 (1) ?=7.382θ，4025.0=t (s)，2.19=y (m) (2) ?=7.382θ，48.2=t (s)，25.93=y (m)。 2.14 (1) 22119x y - = (2) j t i v 42-=;j a 4-= (3) 0=t 时，j r 19=； 3=t 时，j i r +=6。（4）当9=t s 时取“=”，最小距离为37（m ）。
《大学物理》第二版-课后习题答案-第九章
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
习题精解 9-1.在气垫导轨上质量为m 的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图9-1所示，试证明物体m 的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为k 1和k 2. 解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为 12()F k k x =-+ 根据牛顿第二定律有 2122()d x F k k x ma m dt =-+== 化简得 212 20k k d x x dt m ++ = 令2 12k k m ω+=则22 20d x x dt ω+=所以物体做简谐振动，其周期 12 22m T k k π π ω = =+ 9-2 如图9.2所示在电场强度为E 的匀强电场中，放置一电偶极矩P=ql 的电偶极子，+q 和-q 相距l ，且l 不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消息后，这对电荷会以垂直与电场并通过l 的中心点o 的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。设电荷的质量皆为m ，重力忽略不计。 解 取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图9.2所示位置时，电偶极子所受力矩为 sin sin sin 22 l l M qE qE qEl θθθ=--=- 电偶极子对中心O 点的转动惯量为 2 2 21 222 l l J m m ml ????=+= ? ????? 由转动定律知 2221sin 2d M qEl J ml dt θθβ=-==? 化简得 222sin 0d qE dt ml θθ+= 当角度很小时有sin 0θ≈，若令2 2qE ml ω= ，则上式变为
1 习题解答 习题一 1-1 ｜r ?｜与r ? 有无不同? t d d r 和 t d d r 有无不同? t d d v 和 t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1） r ?是位移的模，? r 是位矢的模的增量，即r ?1 2r r -=，1 2r r r -=?； （2） t d d r 是速度的模，即 t d d r = =v t s d d .t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中t r d d 就是速度径向上的分量， ∴ t r t d d d d 与 r 不同如题1-1图所示 . 题1-1图 (3) t d d v 表示加速度的模，即t v a d d = ， t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢） ，所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中dt dv 就是加速度的切向分量. (t t r d ?d d ?d τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y = y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r ＝2 2y x +，然后根据v = t r d d ，及a ＝ 2 2d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v = 2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 及a = 2 22222d d d d ??? ? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r +=， j t y i t x t r a j t y i t x t r v 222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为
大学物理学习题答案 习题一答案 习题一 1.1 简要回答下列问题： (1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相 等？ (2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？ (3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什 么？ (4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一 定保持不变？ (5) r ?和r ?有区别吗？v ?和v ?有区别吗？0dv dt =和0d v dt =各代表什么运动？ (6) 设质点的运动方程为：()x x t =，()y y t =，在计算质点的速度和加速度时，有人先求 出r = dr v dt = 及 22d r a dt = 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v = 及 a =你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？ (7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？ (8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此 其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？ (9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？ (10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，n a 、t a 、a 三者的大小是否随时间改变？ (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？ 1.2 一质点沿x 轴运动，坐标与时间的变化关系为224t t x -=，式中t x ,分别以m 、s 为单
习题精解 7-1一条无限长直导线在一处弯折成半径为R 的圆弧，如图7.6所示，若已知导线中电流强度为I,试利用比奥—萨伐尔定律求：（1）当圆弧为半圆周时，圆心O 处的磁感应强度；（2）当圆弧为1/4圆周时，圆心O 处的磁感应强度。 解（1）如图7.6所示，圆心O 处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成。因为圆心O 位于直线电流AB 和DE 的延长线上，直线电流上的任一电流元在O 点产生的磁感应强度均为零，所以直线电流AB 和DE 段在O 点不产生磁场。 根据比奥—萨伐尔定律，半圆弧上任一电流元在O 点产生的磁感应强度为 02 4Idl dB R μπ= 方向垂直纸面向内。半圆弧在O 点产生的磁感应强度为 000220 444R I Idl I B R R R R πμμμπππ= == ? 方向垂直纸面向里。 （2）如图7.6（b ）所示，同理，圆心O 处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成。因为圆心O 位于电流AB 和DE 的延长线上，直线电流上的任一电流元在O 点产生的磁感应强度均为零，所以直线电流AB 和DE 段在O 点不产生磁场。 根据毕奥—萨伐尔定理，1/4圆弧上任一电流元在O 点产生的磁感应强度为 02 4Idl dB R μπ= 方向垂直纸面向内，1/4圆弧电流在O 点产生的磁感应强度为 0002 220 4428R I Idl I R B R R R πμμμπππ= ==? 方向垂直纸面向里。 7.2 如图7.7所示，有一被折成直角的无限长直导线有20A 电流，P 点在折线的延长线上，设a 为，试求P 点磁感应强度。 解 P 点的磁感应强度可看作由两段载流直导线AB 和BC 所产生的磁场叠加而成。AB 段在P 点所产生的磁感应强度为零，BC 段在P 点所产生的磁感应强度为 0120 (cos cos )4I B r μθθπ= - 式中120,,2 r a π θθπ= == 。所以 500(cos cos ) 4.010()42 I B T a μπ ππ= -=? 方向垂直纸面向里。 7-3 如图7.8所示，用毕奥—萨伐尔定律计算图中O 点的磁感应强度。 解 圆心 O 处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成， AB 段在P 点所产生的磁感应强度为 ()0120 cos cos 4I B r μθθπ= -
大学物理学习题答案 习题一答案 习题一 1.1 简要回答下列问题： (1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相 等？ (2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？ (3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什 么？ (4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一 定保持不变？ (5) r ?和r ?有区别吗？v ?和v ?有区别吗？ 0dv dt =和0d v dt =各代表什么运动？ (6) 设质点的运动方程为：()x x t =，()y y t =，在计算质点的速度和加速度时，有人先求 出22r x y = + dr v dt = 及 22d r a dt = 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v = 及 a =你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？ (7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？ (8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此 其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？ (9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？ (10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，n a 、t a 、a 三者的大小是否随时间改变？ (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？ 1.2 一质点沿x 轴运动，坐标与时间的变化关系为224t t x -=，式中t x ,分别以m 、s 为单位，试计算：(1)在最初s 2内的位移、平均速度和s 2末的瞬时速度；(2)s 1末到s 3末的平均
. . . . .. .. .. 习题解答 习题一 1-1 ｜r ?｜与r ? 有无不同? t d d r 和 t d d r 有无不同? t d d v 和 t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1） r ?是位移的模，? r 是位矢的模的增量，即r ?1 2r r -=，1 2r r r -=?； （2） t d d r 是速度的模，即 t d d r = =v t s d d .t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则 t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中 t r d d 就是速度径向上的分量， ∴ t r t d d d d 与r 不同如题1-1图所示. 题1-1图 (3) t d d v 表示加速度的模，即t v a d d = ， t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢） ，所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中dt dv 就是加速度的切向分量. (t t r d ?d d ?d τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y = y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r ＝22y x +，然后根据v = t r d d ，及a ＝ 2 2d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v = 2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 及a = 2 22222d d d d ??? ? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r +=， j t y i t x t r a j t y i t x t r v 222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为
第9章 静电场 习 题 一 选择题 9-1 两个带有电量为2q 等量异号电荷，形状相同的金属小球A 和B 相互作用力为f ，它们之间的距离R 远大于小球本身的直径，现在用一个带有绝缘柄的原来不带电的相同的金属小球C 去和小球A 接触，再和B 接触，然后移去，则球A 和球B 之间的作用力变为[ ] (A) 4f (B) 8f (C) 38f (D) 16 f 答案：B 解析：经过碰撞后，球A 、B 带电量为2q ，根据库伦定律12204q q F r πε=，可知球A 、B 间的作用力变为 8 f 。 9-2关于电场强度定义式/F E =0q ，下列说法中哪个是正确的？[ ] (A) 电场场强E 的大小与试验电荷0q 的大小成反比 (B) 对场中某点，试验电荷受力F 与0q 的比值不因0q 而变 (C) 试验电荷受力F 的方向就是电场强度E 的方向 (D) 若场中某点不放试验电荷0q ，则0=F ，从而0=E 答案：B 解析：根据电场强度的定义，E 的大小与试验电荷无关，方向为试验电荷为正电荷时的受力方向。因而正确答案（B ） 9-3 如图9-3所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且 OP =OT ，那么[ ] (A) 穿过S 面的电场强度通量改变，O 点的场强大小不变 (B) 穿过S 面的电场强度通量改变，O 点的场强大小改变 习题9-3图
(C) 穿过S 面的电场强度通量不变，O 点的场强大小改变 (D) 穿过S 面的电场强度通量不变，O 点的场强大小不变 答案：D 解析：根据高斯定理，穿过闭合曲面的电场强度通量正比于面内电荷量的代数和，曲面S 内电荷量没变，因而电场强度通量不变。O 点电场强度大小与所有电荷有关，由点电荷电场强度大小的计算公式2 04q E r πε= ，移动电荷后，由于OP =OT ， 即r 没有变化，q 没有变化，因而电场强度大小不变。因而正确答案（D ） 9-4 在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 [ ] (A) q /ε0 (B) q /2ε0 (C) q /4ε0 (D) q /6ε0 答案：D 解析：根据电场的高斯定理，通过该立方体的电场强度通量为q /ε0，并且电荷位于正立方体中心，因此通过立方体六个面的电场强度通量大小相等。因而通过该立方体任一面的电场强度通量为q /6ε0，答案（D ） 9-5 在静电场中，高斯定理告诉我们[ ] (A) 高斯面内不包围电荷，则面上各点E 的量值处处为零 (B) 高斯面上各点的E 只与面内电荷有关，但与面内电荷分布无关 (C) 穿过高斯面的E 通量，仅与面内电荷有关，而与面内电荷分布无关 (D) 穿过高斯面的E 通量为零，则面上各点的E 必为零 答案：C 解析：高斯定理表明通过闭合曲面的电场强度通量正比于曲面内部电荷量的代数和，与面内电荷分布无关；电场强度E 为矢量，却与空间中所有电荷大小与分布均有关。故答案（C ） 9-6 两个均匀带电的同心球面，半径分别为R 1、R 2(R 1 物理学教程下册答案9-16 第九章 静 电 场 9－1 电荷面密度均为＋σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图(A )放置，其周围空间各点电场强度E (设电场强度方向向右为正、向左为负)随位置坐标x 变化的关系曲线为图(B )中的( ) 题 9-1 图 分析与解 “无限大”均匀带电平板激发的电场强度为0 2εσ，方向沿带电平板法向向外，依照电场叠加原理可以求得各区域电场强度的大小和方向.因而正确答案为(B ). 9－2 下列说确的是( ) (A )闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面一定没有电荷 (B )闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面电荷的代数和必定为零 (C )闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零 (D )闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零 分析与解 依照静电场中的高斯定理，闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面电荷的代数和必定为零，但不能肯定曲面一定没有电荷；闭合曲面的电通量为零时，表示穿入闭合曲面的电场线数等于穿出闭合曲面的电场线数或没有电场线穿过闭合曲面，不能确定曲面上各点的电场强度必定为零；同理闭合曲面的电通量不为零，也不能推断曲面上任意一点的电场强度都不可能为零，因而正确答案为(B ). 9－3 下列说确的是( ) (A) 电场强度为零的点，电势也一定为零 (B) 电场强度不为零的点，电势也一定不为零 (C) 电势为零的点，电场强度也一定为零 (D) 电势在某一区域为常量，则电场强度在该区域必定为零 分析与解电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量，电场强度为零表示试验电荷在该点受到的电场力为零，电势为零表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时，电场力作功为零.电场中一点的电势等于单位正电荷从该点沿任意路径到参考零电势点电场力所作的功；电场强度等于负电势梯度.因而正确答案为(D). *9－4在一个带负电的带电棒附近有一个电偶极子，其电偶极矩p的方向如图所示.当电偶极子被释放后，该电偶极子将( ) (A) 沿逆时针方向旋转直到电偶极矩p水平指向棒尖端而停止 (B) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p水平指向棒尖端，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动 (C) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p水平指向棒尖端，同时逆电场线方向朝远离棒尖端移动 (D) 沿顺时针方向旋转至电偶极矩p 水平方向沿棒尖端朝外，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动 题9-4 图 分析与解电偶极子在非均匀外电场中，除了受到力矩作用使得电偶极子指向电场方向外，还将受到一个指向电场强度增强方向的合力作用，因而正确答案为(B). 9－5精密实验表明，电子与质子电量差值的最大围不会超过±10－21e，而中子电量与零差值的最大围也不会超过±10－21e，由最极端的情况考虑，一个有8个电子，8个质子和8个中子构成的氧原子所带的最大可能净电荷是多少？若将原子视作质点，试比较两个氧原子间的库仑力和万有引力的大小. 分析考虑到极限情况，假设电子与质子电量差值的最大围为2×10－21e，中子电量为10－21e，则由一个氧原子所包含的8个电子、8个质子和8个中子 习题解答 习题一 1-1 ｜r ?｜与r ? 有无不同? t d d r 和 t d d r 有无不同? t d d v 和 t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1） r ?是位移的模，? r 是位矢的模的增量，即r ?1 2r r -=，1 2r r r -=?； （2） t d d r 是速度的模，即 t d d r = =v t s d d .t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中t r d d 就是速度径向上的分量， ∴ t r t d d d d 与r 不同如题1-1图所示. 题1-1图 (3) t d d v 表示加速度的模，即t v a d d = ， t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢） ，所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中dt dv 就是加速度的切向分量. (t t r d ?d d ?d τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y = y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r ＝2 2y x +，然后根据v = t r d d ，及a ＝ 2 2d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v = 2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 及a = 2 22222d d d d ??? ? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r +=， j t y i t x t r a j t y i t x t r v 222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为 第1章 质点运动学 P21 1.8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为：x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计。⑴以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；⑵求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；⑶ 计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。 解：（1）j t t i t r )432 1()53(2-+++=m ⑵ 1=t s,2=t s 时，j i r 5.081-= m ；2114r i j =+m ∴ 213 4.5r r r i j ?=-=+m ⑶0t =s 时，054r i j =-；4t =s 时，41716r i j =+ ∴ 140122035m s 404 r r r i j i j t --?+= ===+??-v ⑷ 1d 3(3)m s d r i t j t -==++?v ，则：437i j =+v 1s m -? (5) 0t =s 时，033i j =+v ；4t =s 时，437i j =+v 24041 m s 44 j a j t --?= ===??v v v (6) 2d 1 m s d a j t -==?v 这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。 1.9 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为2 26a x =+，a 的单位为m/s 2， x 的单位为m 。质点在x =0处，速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。 解：由d d d d d d d d x a t x t x ===v v v v 得：2 d d (26)d a x x x ==+v v 两边积分 210 d (26)d x x x =+? ?v v v 得：2322 250x x =++v ∴ 1m s -=?v 1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为θ=2+33t ，式中θ以弧度计，t 以秒计，求：⑴ t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；⑵当加速度 的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解： t t t t 18d d ,9d d 2==== ωβθω ⑴ s 2=t 时，2 s m 362181-?=??==βτR a 2 222s m 1296)29(1-?=??==ωR a n ⑵ 当加速度方向与半径成ο45角时，有：tan 451n a a τ?== 即：βωR R =2 ，亦即t t 18)9(2 2=，解得：9 23= t 则角位移为：32 2323 2.67rad 9 t θ=+=+? = 1.13 一质点在半径为0.4m 的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为α=0.2 rad/s 2，求t ＝2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。 解：s 2=t 时，4.022.0=?== t αω 1s rad -? 则0.40.40.16R ω==?=v 1s m -? 064.0)4.0(4.022=?==ωR a n 2 s m -? 0.4 0.20.0a R τα==?=2s m -? 22222 s m 102.0)08.0()064.0(-?=+=+= τa a a n 与切向夹角arctan()0.06443n a a τ?==≈? 物理学教程（二）下册 答案9—13 马文蔚 第九章 静 电 场 9－1 电荷面密度均为＋σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图(A )放置，其周围空间各点电场强度E (设电场强度方向向右为正、向左为负)随位置坐标x 变化的关系曲线为图 (B )中的( ) 题 9-1 图 分析与解 “无限大”均匀带电平板激发的电场强度为0 2εσ，方向沿带电平板法向向外，依照电场叠加原理可以求得各区域电场强度的大小和方向.因而正确答案为(B ). 9－2 下列说法正确的是( ) (A )闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷 (B )闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零 (C )闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零 (D )闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零 分析与解 依照静电场中的高斯定理，闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零，但不能肯定曲面内一定没有电荷；闭合曲面的电通量为零时，表示穿入闭合曲面的电场线数等于穿出闭合曲面的电场线数或没有电场线穿过闭合曲面，不能确定曲面上各点的电场强度必定为零；同理闭合曲面的电通量不为零，也不能推断曲面上任意一点的电 场强度都不可能为零，因而正确答案为(B ). 9－3 下列说法正确的是( ) (A ) 电场强度为零的点，电势也一定为零 (B ) 电场强度不为零的点，电势也一定不为零 (C ) 电势为零的点，电场强度也一定为零 (D ) 电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零 分析与解 电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量，电场强度为零表示试验电荷在该点受到的电场力为零，电势为零表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时，电场力作功为零.电场中一点的电势等于单位正电荷从该点沿任意路径到参考零电势点电场力所作的功；电场强度等于负电势梯度.因而正确答案为(D ). *9－4 在一个带负电的带电棒附近有一个电偶极子，其电偶极矩p 的方向如图所示.当电偶极子被释放后，该电偶极子将( ) (A ) 沿逆时针方向旋转直到电偶极矩p 水平指向棒尖端而停止 (B ) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p 水平指向棒尖端，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动 (C ) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p 水平指向棒尖端，同时逆电场线方向朝远离棒尖端移动 (D ) 沿顺时针方向旋转至电偶极矩p 水平方向沿棒尖端朝外，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动 题 9-4 图 分析与解 电偶极子在非均匀外电场中，除了受到力矩作用使得电偶极子指向电场方向外，还将受到一个指向电场强度增强方向的合力作用，因而正确答案为(B ). 9－5 精密实验表明，电子与质子电量差值的最大范围不会超过±10 －21 e ，而中子电量与零差值的最大范围也不会超过±10 －21e ，由最极端的情况考虑，一个有8个电子，8个质子和8个中子构成的氧原子所带的最大可能净电荷是多少？ 若将原子视作质点，试比较两个氧原子间的库仑力和万有引力的大小. 分析 考虑到极限情况， 假设电子与质子电量差值的最大范围为2×10 －21 e ，中子电量为10－21 e ，则由一个氧原子所包含的8个电子、8个质子和8个中子可求原子所带的最大可能净电荷.由库仑定律可以估算两个带电氧原子间的库仑力，并与万有引力作比较. 解 一个氧原子所带的最大可能净电荷为 ()e q 21max 10821-??+= 二个氧原子间的库仑力与万有引力之比为 1108.2π46202max < 习题精解 9-1.在气垫导轨上质量为m 的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图9-1所示，试证明物体m 的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为k 1和k 2. 解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为 12()F k k x =-+ 根据牛顿第二定律有 2122()d x F k k x ma m dt =-+== 化简得 212 20k k d x x dt m ++ = 令2 12k k m ω+=则22 20d x x dt ω+=所以物体做简谐振动，其周期 22T π ω = =； 9-2 如图所示在电场强度为E 的匀强电场中，放置一电偶极矩P=ql 的电偶极子，+q 和-q 相距l ，且l 不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消息后，这对电荷会以垂直与电场并通过l 的中心点o 的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。设电荷的质量皆为m ，重力忽略不计。 解 取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图所示位置时，电偶极子所受力矩为 sin sin sin 22 l l M qE qE qEl θθθ=--=- 电偶极子对中心O 点的转动惯量为 2 2 21 222 l l J m m ml ????=+= ? ????? 由转动定律知 2221sin 2d M qEl J ml dt θθβ=-==? 化简得 222sin 0d qE dt ml θθ+= 当角度很小时有sin 0θ≈，若令2 2qE ml ω= ，则上式变为 ~ 222sin 0d dt θ ωθ+= 所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。而且其周期为 22T π ω = = 9-3 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。汽车为开动时，上下为自由振动的频率应保持在 1.3v Hz = 附近，与人的步行频率接近，才能使乘客没有不适之感。问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度 解 汽车正常载重时的质量为m ，振子总劲度系数为k ，则振动的周期为2T π = 率为1v T = = 正常载重时弹簧的压缩量为 22220.15()44mg T g x g m k v ππ==== 9-4 一根质量为m ，长为l 的均匀细棒，一端悬挂在水平轴O 点，如图所示。开始棒在平衡 位置OO ， 处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手，棒将在重力矩作用下，绕O 点在竖直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。 若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力，棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动，并求其振动周期。 解 设在某一时刻，细棒偏离铅直线的角位移为θ，并规定细棒在平衡位置向右时θ为正，在向左时为负，则力矩为 . 1 sin 2 M mg l θ =- 负号表示力矩方向与角位移方向相反，细棒对O 点转动惯量为2 13 J ml = ,根据转动定律有 222 11sin 23d M mgl J ml dt θθβ=-== 化简得 223sin 02d g dt l θθ+= 当θ很小时有sin θθ≈，若令2 32g l ω= 则上式变为 222sin 0d dt θ ωθ+= 1.一运动质点的瞬时速度和平均速度总是相等，则该质点所作的运动为：（ ） A 匀加速直线运动； B 自由落体运动； C 匀速圆周运动； D 匀速直线运动。 2.某质点的运动方程为6533+-=t t x ，则该质点作的运动是：（ ） A 变加速直线运动； B 曲线运动； C 匀加速直线运动； D 变速圆周运动。 3.一人站在河岸上，用绳通过一个定滑轮拉船靠岸，若人以恒定的速率v 0收绳，则船的速率v 应满足的关系为：（ ） A 0v v <； B 0v v =； C 0v v >； D θsin 0v v = (θ是绳的水面的夹角)。 4.一质点沿x 轴运动，已知加速度为a =4t ，初始条件为，t =0时，00=v ，100=x ，则其运动方程为：（ ） A 10323+=t x ； B 1023+=t x ； C 104 12+=t x ；D 102+=t x 5.一个质点在作匀加速圆周运动，下面几种观点中错误的是：（ ） A 切向加速度的大小不变，方向在改变； B 法向加速大小不变，方向在改变； C 法向加速度的大小方向都改变； D 总的加速度的大小方向都在改变。 6.某质点的运动方程为6533 +-=t t x ，则质点作：（ ） A 匀加速直线运动，加速度沿x 轴正向； B 匀加速直线运动，加速度沿x 轴负向； C 变加速直线运动，加速度沿x 轴正向； D 变加速直线运动，加速度沿x 轴负向。 7.一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度为s m /2，瞬时加速度为2/2s m -。则一秒钟后质点的速度：（ ） A 等于零； B 等于s m /2-； C 等于s m /2； D 不能确定。 8.以下哪种情况不可以把研究对象看作质点：（ ） A 地球自转 B 地球绕太阳公转 C 平动的物体 D 物体的形状和线度对研究问题的性质影响很小。 9.车厢正作匀速直线运动，从车厢上掉下一物体A ，若忽略空气阻力，从地面上观察者看去，A 物体的运动是：（ ） A 自由落体运动 B 平抛运动 C 斜抛运动 D 匀加速直线运动 10关于瞬间速度，下面哪个说法正确（ ） Ａ 瞬间速度就是很短时间内的平均速度 Ｂ 瞬间速度可以由实验测出 Ｃ 无论测量仪器如何先进，瞬时速度都是不能测出的 Ｄ 如果C 正确，提瞬间速度没有意义 11几个力同时作用在一个质点上而达到平衡，当其中一个力停止作用时，质点的运动状态 第一章 质 点运动学和牛顿运动定律 1.1平均速度 v = t △△r 1.2 瞬时速度 v=lim △t →△t △r =dt dr 1. 3速度v=dt ds = =→→lim lim △t 0 △t △t △r 1.6 平均加速度a = △t △v 1.7瞬时加速度（加速度）a=lim △t →△t △v =dt dv 1.8瞬时加速度a=dt dv =22dt r d 1.11匀速直线运动质点坐标x=x 0+vt 1.12变速运动速度 v=v 0+at 1.13变速运动质点坐标x=x 0+v 0t+2 1 at 2 1.14速度随坐标变化公式:v 2-v 02=2a(x-x 0) 1.15自由落体运动 1.16竖直上抛运动 1.17 抛体运动速度分量?? ?-==gt a v v a v v y x sin cos 00 1.18 抛体运动距离分量?? ? ??-?=?=20021sin cos gt t a v y t a v x 1.19射程 X=g a v 2sin 2 1.20射高Y=g a v 22sin 20 1.21飞行时间y=xtga —g gx 2 1.22轨迹方程y=xtga —a v gx 2202 cos 2 1.23向心加速度 a=R v 2 1.24圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量和a=a t +a n 1.25 加速度数值 a=2 2n t a a + 1.26 法向加速度和匀速圆周运动的向心加速度相同a n =R v 2 1.27切向加速度只改变速度的大小a t = dt dv 1.28 ωΦR dt d R dt ds v === 1.29角速度 dt φ ωd = 1.30角加速度 22dt dt d d φ ωα== 1.31角加速度a 与线加速度a n 、a t 间的关系 a n =222)(ωωR R R R v == a t =αωR dt d R dt dv == 牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。 牛顿第二定律：物体受到外力作用时，所获得的加速度a 的大小与外力F 的大小成正比，与物体的质量m 成反比；加速度的方向与外力的方向相同。 1.37 F=ma 牛顿第三定律：若物体A 以力F 1作用与物体B ，则同时物体B 必以力F 2作用与物体A ；这两个力的大小相等、方向相反，而且沿同一直线。大学物理学教程(第二版)(下册)答案
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