A
A
I A I -=
-≤
--11
1)(1
证明：因1)(<≤A A ρ，即矩阵A 的特征值都小于
1
?0)det(≠-A I ，即A I -可逆
而
)()()(11A A I A I A I +--=---=A A I I 1)(--+
? A A I I A I 11)()(---+=-A A I I 1)(--+≤
A
A I I ?-+≤-1)(
?I
A A I ≤---)1()(1，即
A
A
I A I -=-≤
--111)(1
同理可以证明： A
A
I A I -=
-≤
+-111)(1
§4 矩阵的分解
一、 几种特殊矩阵 1、 对称正定矩阵
n 阶矩阵A 满足：A A T =，
且对任意的)0(),,,(21≠=x x x x x T n 有0>Ax x T 性质：（1）A 为对称阵，如果A 的n 特征值都大于0，则A 为正定矩阵
（2）A 为对称阵，如果A 的各阶顺序主子式0>?k ，则A 为
正定矩阵
2、严格（弱）对角占优矩阵 n 阶矩阵A =()n n ij a ?满足：
),,2,1(
1n i a a n
i j j ij ii =>∑≠= 则称矩阵A 为严格对角占优矩阵；若不存在一个排列阵P ，使得
???
?
?
?=221211
A A A AP P T ，则称矩阵A 为不可约矩阵；若设矩阵A 是不可约的，且满足
)
,,2,1( 1
n i a a n
i
j j ij ii =≥∑≠=
其中至少一个取不等号，则称A 为不可约弱对角占优矩阵。 如：
A =????
?
????
???------------8321371212611125，
=B ?
???
?
?
???
???------2112112112 则矩阵A 是严格对角占优的，矩阵B 是不可约弱对角占优矩阵。
性质：（1）设矩阵A 是严格对角占优矩阵或不可约弱对角占优矩阵，则0≠ii a ，且矩阵A 非奇异。
（2）若矩阵A 是严格对角占优矩阵或不可约弱对角占优矩阵，则A 是正定矩阵
3、设T e )0.,0,0,1(1 =，T n l l l l ),,,,0(131211 =，T e l I L 111-= 则，
????
?
?
? ??--=111
1
21
1n l l L ，称1L 为单位下三角矩阵。如果011≠a ，且取11
1
1a a l i i =
可使
??
??
?
?
?
?
?=nn n n n b b b b a a a A L 2
22211211
100，一般地，记 T j e )0.,1,0,0( =，T j n j j j l l l ),,,0,0(,,1 +=，T j j j e l I L -=，1,,2,1-=n j
则
??
????
???
?
??--=+1111,,1j n j j j l l L ，则j L 满足 性质（1）??
???????
?
??=+-1111
,,11
j n j j j l l L 性质（2）111211----n L L L =?????????
?
??=
-++11
11
1
,,1,11,121n n j
n n j j j l l l
l l l
二、 矩阵的三角分解（U L Factorization ）
1、定义：设n 阶矩阵A ，若存在一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U ，使LU A =，则称之为矩阵A 的三角分解或LU 分解。
更一般地，若LDU A =，其中L 是单位下三角矩阵，D 是对角矩阵，U 是单位上三角矩阵，则称之为矩阵A 的LDU 分解。 一般来说，矩阵的LU 分解不唯一。因为若
LU A =是A 的一个三
角分解，对任意对角元素均非零的对角矩阵D ，
U L
U LDD LU A ??1===-也是A 的一个三角分解。
关于矩阵三角分解的存在唯一性，有如下定理：
定理1：设)(ij a A =是n 阶矩阵，则存在唯一LDU 分解的充要条件是：
)1,,2,1( 0-=≠?n k k
其中k ?表示矩阵A 的k 阶顺序主子式。 注：（1）假设矩阵
A 有唯一的LDU
分解，其中L 是单位下三角矩
阵，D 是对角矩阵，U 是单位上三角矩阵，如果 记：U DU =，则U 是一个上三角矩阵，
?
LDU A ==U L ——称为Doolittle 分解
记：L LD =，则L 是一个下三角矩阵，从而
?
LDU A ==U L ——称为Crout 分解
一般非异矩阵的Doolittle 、Crout 分解有它们的应用背景，其分
解的方法将在下一章的学习中进一不讨论。
（2）当矩阵
A 是对称正定、严格对角占优或不可约严格对角
占优时，必存在唯一的LDU 分解，因而也存在唯一的Doolittle 分解或Crout 分解。
（3）在Matlab 中，可以通过调用[L,U]=lu(A)来完成矩阵的
LU 分解
2、对称正定矩阵的Cholesky 分解（平方根分解）
首先，有上面的讨论可知，对称正定矩阵存在唯一的LDU 分解，即LDU A =，其次我们可以证明，对对称正定矩阵
A 有
T L U =，为此有
定理2：设)(R M A n ∈对称正定，则A 必有如下分解：
T
LDL A =
这里，L 是单位下三角矩阵，D 是对角元素全大于零的对角矩阵
证明：因为A 有唯一的LDU
，因而
A 也有唯一的Doolittle 分
解，即
LDU A ==U L （)DU U =
注意到：
T
A
A =，
R U DL U A T
T T ==（
)T DL R = 比较两式，由Doolittle 分解的唯一性，得到：
T U L =，或T
L U =，
从而有：T
LDL A =
进一步可以证明有如下的Cholesky 分解：
定理3：如果
)(R M A n ∈对称正定，则存在唯一的一个对角
元全部大于零的下三角阵)(R M L n ∈，使
T
LL
A =
证明：由定理2得到
T
DL L A 11=，且D 是对角元素全大于零的对角矩阵
设0),,,(21>=i n d d d d diag D ， 记：),,,(212
1n d d d diag D
=，则D =21D 2
1D
?
T DL L A 11==
))((1
2
/12/11T L D D L A =
=T
T
LL L D D L =))((12
/12
/11（
12
/1L D L =） 为解决编程过程中的一些问题，下面我们推导Cholesky 分解的计
算公式：设A 为n 阶实对称正定矩阵，且T
LL A =，即
???????? ??nn n n
n
n n a a a a a a a a a a a a a a a a 321333231322322121413
1211
=???????
?
??nn n n n l l l l l l l l l l
32
133
3231
22
2111
000000??????
??
?
?nn n n l l l l l l l l l l 000000333223221413
12
11
第一步：用L 的第i 行乘T
L 的第一列，得到
111111l l a =，1111i i l l a =，?11
11a l =，1111/l a a i i =
第二步：用L 的第i 行乘T L 的第二列，得到
2
2222122l l a +=，2221212l l l l a i i i += ?2212222
l a l -=，2221122/)(l l l a l i i i -=
类推可得到如下的一般计算公式：
2
1
1
is
i s ii ii l
a l ∑-=-=，n i
,,2,1 =
ii
ks is i s ki ki l l l a l /)(1
1
∑-=-=，n i i k
,,2,1 ++=
因计算过程中每步都有开方运算，故Cholesky 分解也称为平方根法。
例
2.4.1：计算矩阵??
??
??????----=524212425
A 的多利特分解与乔列斯基分
解。
解：(1) 多利特分解。设矩阵A 分解得到的矩阵L 与U 为
??
??
??????=11132
31
21
l l l L ，????
?
???
??=332322
131211
u u u u u u U 。 由关系式LU A =，先用)3,2,1( 11==j a u j j 计算
U 的第1行，所以
511=u ，212=u ，413-=u ；接着由)3,2( 1111==i a l i i 计算
L 的第1列，得到5/221=l ，5/431-=l ；再利用)3,2( 12122=-=j u l a u j j j 计算
U 的第2行，有
5/122=u ，5/223-=u ；
根据)3( )(2212122=-=i u u l a l i i i 知第2列232-=l ；最后U
的第3行1233213313333=--=u l u l a u 。
所以??
??
??????--=125/415/21L ，??????????--=15/25/142
5U 。 (2) 乔列斯基分解。设矩阵A 乔列斯基分解后的L 为
????
??????=3332
31
22
21
11
l l l l l l L 。 由关系式T LL A =，L 的第1列为51111==
a l ，且1111l a l i i =，即
55221=l ，55431-=l ；L
的第2列为552
212222=-=l a l ，
552)(2221313232-=-=l l l a l ；最后1232231
3333=--=l l a l 。 所以A
的乔列斯基分解矩阵???
?
??????--=1552554555525
L 。
在Matlab 中，)(A chol 来实现矩阵的Cholesky 分解。
三、 矩阵的满秩分解
定理4：设矩阵
n
m C
A ?∈，r A rank =)(，则A 可分解为
GS A =，其中满秩矩阵r
m C G ?∈与n r C S ?∈分别是列满秩矩阵
和行满秩矩阵。
我们称上式为矩阵A 的满秩分解。 证：因为r A rank =)
(，根据矩阵的初等变换理论，对A 进行
初等行变换，可以将A 化为阶梯形矩阵B ，即
??
?
???=→0S B A
其中n
r C
S ?∈是秩为r 的行满秩矩阵
于是存在有限个m 阶初等矩阵的乘积，记作P ，使得B PA =，
或者
B P A 1
-=
再将1-P 分解为[]D G P =-1
，其中r m C G ?∈，
)(r m m C D -?∈均为列满秩矩阵。所以得到[]GS S D G B P A =??
?
????==-01
。
显然，任一非零矩阵都可以分解为一个列满秩、行满秩矩阵的乘积，并且满秩分解是不唯一的。 例
2.4.2：设矩阵??
??
?
?????=139301621231A ，求A 的满秩分解 解：对矩阵A 进行初等行变换，得到
??????????=139301621231A →??
??
?
?????-00003/21003/1031→??????0S
其中??
????-=3/21003/1031S ，注意到2)(=A rank ，且矩阵A 的阶梯阵中的1，3两列线性无关，因此选择矩阵A 的1，3列构成矩阵
G ，所以矩阵A 的满秩分解为：
??????????=139301621231A =?
?????-????
?
?????3/21003/1031331221
四、 矩阵的QR 分解
定理5：设矩阵A 是非奇异的n 阶实（复）矩阵，则存在正交（酉）矩阵Q ，非奇异的上三角矩阵R ，使得QR A = 证明：仅就A 是实矩阵的情形证明
因矩阵A 是非奇异的，故A A T
是对称正定矩阵，由实对称正定矩
阵的Cholesky 分解，存在上三角矩阵R ，使得： A A T
=T
R
R ，
记矩阵Q =1
-AR ，则QR A =，且
11)(--=AR AR Q Q T T =11)(--AR A R T T =11)(--RR R R T T
=
T
T R R 1)(-=I 值得注意的是，矩阵A 的QR 分解也不是唯一的，但当我们约定矩阵R 的对角线元素均为正时，矩阵A 的QR 分解唯一。分解的具体实现，可按施密特正交化方法进行。
例2.4.3：设矩阵
????
?
?????=121212221A ，试用施密特正交化方法求A 的
QR 分解。
解：令
??????????=α1211，??????????=α2122，????
??????=α1223。利用施密特正交化方法，可得
??????????=α=β12111，????
?
?????-=β-α=β111122，??????????-=β-β-α=β2/102/16
7311233
即321,,βββ是正交向量组。于是
????
?
??????βββ=ααα=13/116/711),,(),,(321321A 。
令????
??ββββββ=332211,,Q ，????
???????βββ=13/116/711),,(321diag R 。则QR A =。
矩阵的QR 分解的计算在一般的数学软件中都有现成的算法，可以查看各软件的帮助文件。
五、 矩阵的奇异值分解
奇异值分解是矩阵分解中最重要的分解之一，它被广泛应用在信息处理、多元统计分析、最优控制等方面。
在讨论矩阵的相似对角化时，我们可以将任意的n 阶方阵化为约当标准形或对角形矩阵。奇异值分解就是对任意的n m ?阶矩阵进行
对角化化简。这里们只考虑实矩阵的奇异值分解，对复矩阵也有类似的结果。
首先，对任意的矩阵，有如下两个性质： 性质1：对任意的矩阵A ，有
)()()(T T AA rank A A rank A rank ==；
性质2：对任意的矩阵A ，A A T
与T
AA 均是实对称的半正定矩阵，
且它们有相同的非零特征值
1、 矩阵A 奇异值定义
定义2.4.3：设n m R A ?∈，r A rank =)(，
A A T
的特征值为 0121=λ==λ>λ≥≥λ≥λ+n r r
则称),,2,1( r i i i =λ=σ为矩阵A 的奇异值。 显然，从定义中可以得到：
（1）矩阵奇异值的个数与矩阵的秩相等。 （2）虽然
A A T 是n 阶矩阵，T
AA
是m 阶矩阵，但根据定义
和矩阵性质，它们具有相同的非零特征值。
（3）若矩阵A 是实对称矩阵，则奇异值为它的非零特征值的绝对值。
2、矩阵A 的奇异值分解
定理6(奇异值分解定理)：设n
m R A ?∈，r A rank =)(，则存
在m 阶正交阵U 和n 阶正交阵V ，使
T
V U A ??
?
????∑?=000
其中),,,(21r diag σσσ=∑ ，而),,2,1( r i i =σ为矩阵A 的奇异值。
证：因为A A T
是秩为r 的实对称的半正定矩阵，所以可设其特征值为
0121=λ==λ>λ≥≥λ≥λ+n r r
于是奇异值为),,2,1( r i i i =λ=σ。且存在n 阶正交矩阵V ，
使得
)0,,0,,,,(21 r T T diag AV A V λλλ= (i)
记),,,(211r v v v V =，),,(12n r v v V +=，则分块矩阵的乘法，(i)可以写成
2
2222111),,,(∑=σσσ=r
T T diag AV A V (ii) 022
=AV A V T
T 或 02=AV (iii)
令11
211),,,(-∑==AV u u u U r 11U U T =T AV )(11-∑)(11-∑AV
=T
T
T
A V 1
1)(-∑)(11
-∑AV =)()(11
1AV A V T T
T
-∑)(1
-∑，则由(ii)知 =I
即1U 的列向量是两两正交的m 维单位向量，且
11
AV U T =T
AV )(11-∑)(1AV
=T
T T
A V 1
1)(-∑
)(1AV
=T )(1-∑2∑=∑
在m R 中可以将向量组r u u u ,,,21 扩充为一组标准正交基
m r r u u u u u ,,,,,,121 +
记),,(12m r u u U +=，则),(21U U U =是m 阶正交矩阵。
利用分块矩阵的乘法，可得
??
????=22122
111AV U AV U AV U AV U AV U T
T T T T 根据1U 的定义，显然∑=11AV U T
；同时 0)(2111212=∑=∑∑=-U U AV U AV U T T T
又由(iii)知
02=AV 。所以存在m 阶正交阵U 和n 阶正交阵V ，使
(2.4.10)式成立。证毕。
从证明中可以看出，A 的奇异值由矩阵A 唯一确定，但正交矩阵U 和V 一般是不唯一的。所以矩阵A 的奇异值分解一般也不唯一。矩阵A 的奇异值分解计算的步骤较多，一般不进行手工计算，通常是利用数学软件计算，在Matlab 中，可通过调用函数)(A svd 得到矩阵A 的奇异值分解。
定理7：设n
m R A ?∈，矩阵A 的一个奇异值分解为
T
V U A ??
?
????∑?=000 其中
∑为r 阶对角矩阵，U 和V 分别是m 阶和n 阶正交阵，记
),,,(211r u u u U =，),,(12m r u u U +=，
),,,(211r v v v V =，),,(12n r v v V +=。则
(1) r A rank =)(；
(2)
11V U A ∑=；
(3) A 的零空间{}n r v v Span
A N ,,)(1 +=； (4) A 的值域{}r u u u Span
A R ,,,)(21 =。 例
2.4.4：求矩阵???
?
?
??---=101120121111A 的奇异值
解：A=[1,1,-1,-1;2,1,0,2;1,-1,0,1];
>> svd(A)' ans =
3.2079 2.1350 1.0730
几种数学计算方法的比较
有限元法，有限差分法和有限体积法的区别 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为 (1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值
四年级用简便方法运算计算题
27×99 541×67－67×441 48×101－48 34×201 256×7－56×7 103×37 125×16 420÷35 76×23＋24×23 103×23 25×（40+8）75×3×4
123×67－23×67 38×7＋62×7 25×16×5 68×48＋68×2 52×32＋48×32 5×27＋63×5 64×9－14×9 125×18 67＋42＋33＋58 18×137－18×37 18×45＋18×55 250×28
199×9＋199 50×（60＋8）49＋49×49 304×22 12×（40－5）75×141－75×40 55×25＋25×45 （30+4）×25 27×37＋37×23 47＋99＋47 25×65＋25×25 24×250
163×8＋37×8 256×9－46×9 63×8＋91×63＋63 28×111－28×11 201×34 78×101－78 560÷16 373×9－73×9 2×46＋46×1813×125×8 44×25 28×57＋43×28
99×64＋64 16×401 36×25 199×53＋53 12＋19×12 （30＋2）×15 226×13－26×13 125×16 402×15 25×19 （30+8）×25 48×125
63＋15×2 202×41 21＋254＋79＋46 125×（8+16）202×13 13＋13×49 304＋297 25×124－24×25 41×99 56＋56×49 15×301－15 250×9×4
电磁学主要公式、定理、定律
电磁学主要公式、定理、定律 一. 电场 1.库仑定律：212 q q F K r = 2.电场强度定义式：F E q = 3.点电荷电场强度决定式：2 Q E K r = 4.电势定义式：P E q ?= 5.两点间电势差：AB A B U ??=- 6.场强与电势差的关系式：AB U Ed = （只适用于匀强电场） 7.电场力移动电荷做功：AB W U q =? 8平行板电容器电容定义式：Q C U = (U 就是电势差AB U ) 9.平行板电容器电容决定式：4S C Kd επ= （ 式中，ε为介质的介电常数，S 为两板正对面积， K 为静电力恒量，d 为板间距离） 10.带电粒子在匀强电场中被加速：21 2mv qU = 11.带电粒子在匀强电场中偏转：2 2 02qL U y mv d = （U 为两板间电压） 二.恒定电流 1.电流强度定义式：q I t = 2.电流微观表达式：I nqSv = （其中n 为单位 体积内 的自由 电荷数，q 为每个电荷的电量值，S 为导体的横截面积，v 为 自由电荷定向移动速率。） 3.电动势定义式：W E q = （W 为非静电力移送电荷做的功，q 为被移送的电荷量） 4.导线电阻决定式：L R S ρ = ( 式中ρ为电阻率，由导线材料、温度决定，L 为导线长，S
为导线横截面积。) 5.欧姆定律：U I R = (只适用于金属导电和电解液导电的纯电阻电路，对含电动机、电解槽 的非纯电阻电路，气体导电和半导体导电不适用） 6.串联电路： （1） 总电阻 12......R R R =++总 （2） 电流关系 123.....I I I I === （3） 电压关系 123......U U U U =++总 7.并联电路： （1）总电阻 123 1111 ......R R R R =+++总 ①只有两个电阻并联时用 12 12 R R R R R = +总 更方便快捷； ②若是n 个相同的电阻并联。可用1= R R n 总 （2） 电流关系 123=......I I I I +++总 (3) 电压关系 123=......U U U U ===总 8.电功的定义式：W qU UIt == （ 在纯电阻电路中 ，2 2 U W UIt I Rt t R ===） 9.电功率定义式：W P UI t == （ 在纯电阻电路中 , 22 U P I R R ==） 10.焦耳定律(电热计算式)：2Q I Rt = 11.电热与电功的关系 ： （1）在纯电电路中，W Q = （2）在非纯电阻电路中 W qU UIt == ＞Q 2I Rt = 12.电功率定义式：W P t = 13.电功率通用式：W P t = 和 P UI = （对纯电阻电路，22 W U P UI I R t R ====） 14.闭合电路欧姆定律：E I R r =+ （变形：E U U =+外内 ；E IR Ir =+； E U Ir =+外） 三. 磁场
简便方法计算方法总结
简便方法计算方法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
（一）“凑整巧算”——运用加法的交换律、结合律进行计算。要求学生善于观察题目，同时要有凑整意识。 【评注】凑整，特别是“凑十”、“凑百”、“凑千”等，是加减法速算的重要方法。 1、加法交换律 定义：两个数交换位置和不变， 公式：A+B =B+A， 例如：6+18+4=6+4+18 2、加法结合律 定义：先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 公式：（A+B）+C=A+(B+C)， 例如：(6+18)+2=6+(18+2) 3、引申——凑整 例如：1.999+19.99+199.9+1999 =2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1 =2222-1.111 =2220.889 【评注】所谓的凑整，就是两个或三个数结合相加，刚好凑成整十整百，譬如此题，“1.999”刚好与“2”相差0.001，因此我们就可以先把它读成“2”来进行计算。但是，一定要记住刚才“多加的”要“减掉”。“多减的”要“加上”！ （二）运用乘法的交换律、结合律进行简算。 1、乘法交换律 定义：两个因数交换位置，积不变. 公式：A×B=B×A 例如：125×12×8=125×8×12 2、乘法结合律 定义：先乘前两个因数，或者先乘后两个因数，积不变。 公式：A×B×C=A×(B×C), 例如：30×25×4=30×（25×4） （三）运用减法的性质进行简算，同时注意逆进行。 1、减法 定义：一个数连续减去两个数，可以先把后两个数相加，再相减。 公式：A－B－C=A－(B+C)，【注意：A－(B+C)= A－B－C的运用】 例如：20－8－2=20－（8+2） （四）运用除法的性质进行简算 (除以一个数，先化为乘以一个数的倒数，再分配)。 1、除法 定义：一个数连续除去两个数，可以先把后两个数相乘，再相除。 公式：A÷B÷C=A÷(B×C)， 例如：20÷8÷1.25=20÷(8×1.25)
物理电磁学论文
物理电磁学论文 现代人的生活已经离不开电，与此同时，电磁也充斥着我们生活中的每一个角落。随着电磁学，电磁技术的发展，我们已经离不开它了，在越来越多的领域，越来越多的角落，电磁学都在发挥着它的作用。1电磁对家庭输电的影响 现在人们越来越关注周围的生活环境了，所谓的污染已经不再是我们的眼睛所能看到的垃圾，耳朵听到的噪声，鼻子闻到的恶臭，还有我们看不见，摸不着的电磁辐射。随着科学技术的发展和信息社会的到来，我们的居室内不仅有冰箱，彩色电视机，洗衣机，微波炉和空调机等家用电器，而且不少家庭中还有计算机，传真机等多种信息交流的工具，相应地，进入每个家庭的输电线强磁场对人体也特别有害处。 摘要：介绍了电磁学计算方法的研究进展和状态，对几种富有代表性的算法做了介绍，并比较了各自的优势和不足，包括矩量法、有限元法、时域有限差分方法以及复射线方法等。 关键词：矩量法；有限元法；时域有限差分方法；复射线方法 1 引言 1864年Maxwell在前人的理论（高斯定律、安培定律、法拉第定律和自由磁极不存在）和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是著名的Maxwell方程。在11种可分离变量坐标系求解Maxwell方程组或者其退化形式，最后得到解析解。这种方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有规则边界的简单问题。对于不规则形状或者任意形状边界则需要比较高的数学技巧，甚至无法求得解析解。20世纪60年代以来，随着电子计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法发展起来，并得到广泛地应用，相对于经典电磁理论而言，数值方法受边界形状的约束大为减少，可以解决各种类型的复杂问题。但各种数值计算方法都有优缺点，一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，常需要将多种方法结合起来，互相取长补短，因此混和方法日益受到人们的重视。 2 电磁场数值方法的分类 电磁学问题的数值求解方法可分为时域和频域2大类。频域技术主要有矩量法、有限差分方法等，频域技术发展得比较早，也比较成熟。时域法主要有时域差分技术。时域法的引入是基于计算效率的考虑，某些问题在时域中讨论起来计算量要小。例如求解目标对冲激脉冲的早期响应时，频域法必须在很大的带宽内进行多次采样计算，然后做傅里叶反变换才能求得解答，计算精度受到采样点的影响。若有非线性部分随时间变化，采用时域法更加直接。另外还有一些高频方法，如GTD，UTD和射线理论。 从求解方程的形式看，可以分为积分方程法（IE）和微分方程法（DE）。IE和DE相比，有如下特点：IE法的求解区域维数比DE法少一维，误差限于求解区域的边界，故精度高；IE法适合求无限域问题，DE法此时会遇到网格截断问题；IE法产生的矩阵是满的，阶数小，DE法所产生的是稀疏矩阵，但阶数大；IE法难以处理非均匀、非线性和时变媒质问题，DE 法可直接用于这类问题〔1〕。 3 几种典型方法的介绍 有限元方法是在20世纪40年代被提出，在50年代用于飞机设计。后来这种方法得到发展并被非常广泛地应用于结构分析问题中。目前，作为广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法，有限元法已非常著名。
简便方法
整数简算·四则混合运算 【练习】 14.用简便方法计算下面各题. 3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋9 125×128-125×27-125 ※(11×9＋11)×(111×999＋111)×(7×11×13－1001) (24×21×45)÷(15×4×7) (125×72×24)÷9÷8 111×111 1111×1111 999×999 9999×9999 15.利用数的分解法计算下面各题. (1)9＋99＋999＋9999＋99999 (2)2772÷28 (3)579999971÷29 (4)1986＋331×594 (5)1111×58＋6666×7 (6)99999×77778＋33333×66666 (7)321×17＋107×39＋1070 (8)2999998＋299997＋29996＋2995＋294＋23 16.用简便方法计算下列各题. (1)54＋38＋46 (2)37＋44＋56 (3)88＋(37＋22) (4)67＋15＋33 (5)375＋342＋658＋625 (6)827＋74＋36＋163
(7)428＋267＋(733＋572) (8)536＋(541＋464)＋469 (9)327＋108(10)325＋98 (11)872-48-272 (12)384－(184＋36) (13)528－(138-72) (14)387-124 (15)564-387＋187 (16)843＋78-43 (17)274-87＋26-13 (18)936-867-99＋267 (19)813－(613-237) (20)537－(543-163)－57 (21)36×(468÷9) (22)58÷17×34 (23)48×5 (24)24×25 (25)56×125 (26)26×64×625 (27)84×(25×37) (28)68×36＋36＋31×36 (29)84×29-18×84-21×4 (30)72×(51÷12) (31)4321-1996＋1998
各种计算电磁学方法比较和仿真软件
各种计算电磁学方法比较和仿真软件 各种计算电磁学方法比较和仿真软件微波EDA 仿真软件与电磁场的数值算法密切相关，在介绍微波EDA 软件之前先简要的介绍一下微波电磁场理论的数值算法。所有的数值算法都是建立在Maxwell 方程组之上的，了解Maxwell 方程是学习电磁场数值算法的基础。计算电磁学中有众多不同的算法，如时域有限差分法（FDTD ）、时域有限积分法（FITD ）、有限元法（FE）、矩量法（MoM ）、边界元法（BEM ）、谱域法（SM）、传输线法（TLM ）、模式匹配法（MM ）、横向谐振法（TRM ）、线方法（ML ）和解析法等等。在频域，数值算法有：有限元法（ FEM -- Finite Element Method）、矩量法（MoM -- Method of Moments ），差分法（ FDM -- Finite Difference Methods ），边界元法（ BEM --Boundary Element Method ），和传输线法 （ TLM -Transmission-Line-matrix Method ）。在时域，数值算法有：时域有限差分法（ FDTD - Finite Difference Time Domain ），和有限积分法（ FIT - Finite Integration Technology ）。这些方法中有解析法、半解析法和数值方法。数值方法中又分零阶、一阶、二阶和高阶方法。依照解析程度由低到高排列，依次是：时域有限差分法（FDTD ）、传输线法（TLM ）、时域有限积分法（FITD ）、有限元法（FEM ）、矩量法（MoM ）、线方法（ML ）、边界元法（BEM ）、谱域法（SM ）、模式匹配法
(完整版)四年级数学用简便方法计算的几种类型
四年级数学用简便方法计算的几种类型 类型一：（注意：一定要括号外的数分别乘括号里的两个数，再把 积相加） （40＋8）×25 125×（8+80）36×（100+50） 24×（2＋10）86×（1000－2）15×（40－8） 类型二：（注意：两个积中相同的因数只能写一次） 36×34＋36×66 75×23＋25×23 63×43＋57×63 93×6＋93×4 325×113－325×13 28×18－8×28 类型三：（提示：把102看作100＋1；81看作80＋1，再用乘法分配 律）78×102 69×102 56×101 52×102 125×81 25×41 类型四：（提示：把99看作100－1；39看作40－1，再用乘法分配 律）31×99 42×98 29×99 85×98 125×79 25×39 类型五：（提示：把83看作83×1，再用乘法分配律） 83＋83×99 56＋56×99 99×99＋99 75×101－75 125×81－125 91×31－91 四年级数学简便计算：方法归类
一、交换律（带符号搬家法） 当一个计算题只有同一级运算（只有乘除或只有加减运算）又没有括 号时，我们可以“带符号搬家”。适用于加法交换律和乘法交换律。256+78-56 450×9÷50 =256-56+78 =450÷50×9 =200+78 =9×9 =278 =81 二、结合律 （一）加括号法 1.当一个计算题只有加减运算又没有括号时，我们可以在加号后面直 接添括号，括到括号里的运算原来是加还是加，是减还是减。但是在 减号后面添括号时，括到括号里的运算，原来是加，现在就要变为减； 原来是减，现在就要变为加。（即在加减运算中添括号时，括号前是 加号，括号里不变号，括号前是减号，括号里要变号。） 例：345-67-33 789-133+33 =345-（67+33） =789-（133-33） =345-100 =789-100 =245 =689 2.当一个计算题只有乘除运算又没有括号时，我们可以在乘号后面直 接添括号，括到括号里的运算，原来是乘还是乘，是除还是除。但是 在除号后面添括号时，括到括号里的运算，原来是乘，现在就要变为
计算电磁学入门基础介绍
计算电磁学入门基础介绍 一. 计算电磁学的重要性 在现代科学研究中，“科学试验，理论分析，高性能计算”已经成为三种重要的研究手段。在电磁学领域中，经典电磁理论只能在11 种可分离变量坐标系中求解麦克斯韦方程组或者其退化形式，最后得到解析解。解析解的优点在于： ①可将解答表示为己知函数的显式，从而可计算出精确的数值结果; ②可以作为近似解和数值解的检验标准; ③在解析过程中和在解的显式中可以观察到问题的内在联系和各个参数对数值结果所起的作用。 这种方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有规则边界的简单问题。当遇到不规则形状或者任意形状边界问题时，则需要比较复杂的数学技巧，甚至无法求得解析解。20 世纪60 年代以来，随着电子计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法也迅速发展起来，并在实际工程问题中得到了广泛地应用，形成了计算电磁学研究领域，已经成为现代电磁理论研究的主流。简而言之，计算电磁学是在电磁场与微波技术学科中发展起来的，建立在电磁场理论基础上，以高性能计算机技术为工具，运用计算数学方法，专门解决复杂电磁场与微波工程问题的应用科学。相对于经典电磁理论分析而言，应用计算电磁学来解决电磁学问题时受边界约束大为减少，可以解决各种类型的复杂问题。原则上来讲，从直流到光的宽广频率范围都属于该学科的研究范围。近几年来,电磁场工程在以电磁能量或信息的传输、转换过程为核心的强电与弱电领域中显示了重要作用。 二. 电磁问题的分析过程 电磁工程问题分析时所经历的一般过程为： 三. 计算电磁学的分类 (1) 时域方法与谱域方法 电磁学的数值计算方法可以分为时域方法(Time Domain或TD)和频域方法(Frequeney Domain或FD)两大类。 时域方法对Maxwell方程按时间步进后求解有关场量。最著名的时域方法是时域有限差分法(Finite Difference Time Domain或FDTD)。这种方法通常适用于求解在外界激励下场
小学数学简便计算方法汇总(打印精编版)
小学数学简便计算方法汇总 1、提取公因式 这个方法实际上是运用了乘法分配律，将相同因数提取出来，考试中往往剩下的项相加减，会出现一个整数。 注意相同因数的提取。 例如： 0.92×1.41＋0.92×8.59 =0.92×（1.41+8.59） 2、借来借去法 看到名字，就知道这个方法的含义。用此方法时，需要注意观察，发现规律。还要注意还哦,有借有还，再借不难。 考试中，看到有类似998、999或者1.98等接近一个非常好计算的整数的时候，往往使用借来借去法。 例如： 9999+999+99+9 =9999+1+999+1+99+1+9+1—4 3、拆分法 顾名思义，拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。这需要掌握一些“好朋友”，如：2和5，4和5，2和2.5，4和2.5，8和1.25等。分拆还要注意不要改变数的大小哦。 例如： 3.2×12.5×25 =8×0.4×12.5×25 =8×12.5×0.4×25
4、加法结合律 注意对加法结合律 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 的运用，通过改变加数的位置来获得更简便的运算。 例如： 5.76＋13.67＋4.24＋ 6.33 =（5.76＋4.24）＋(13.67＋6.33) 5、拆分法和乘法分配律结 这种方法要灵活掌握拆分法和乘法分配律，在考卷上看到99、101、9.8等接近一个整数的时候，要首先考虑拆分。 例如： 34×9.9 = 34×(10－0.1) 案例再现：57×101=？ 6利用基准数 在一系列数种找出一个比较折中的数字来代表这一系列的数字，当然要记得这个数字的选取不能偏离这一系列数字太远。 例如： 2072+2052+2062+2042+2083 =（2062x5）+10-10-20+21 7利用公式法 (1) 加法： 交换律，a+b=b+a, 结合律，(a+b)+c=a+(b+c).
计算机在化工中的应用(新)
.班级：， 姓名：， 座号： 1.a)用MathType 5.2在Word 中编一复杂公式。 1 lim n x i y →∞ ==∑ 1.b)在Word 中编一三线表（3行4列以上）；把一非三线表转化为三线表。 1.c)将一PDF 文件格式转换为Word 文件；将一Word 文件格式转换为PDF 文件。 1.d)将一AutoCAD 图、PDF 文件图和jpeg 图插入Word 文件中。 2. a)用Origin 软件将化工实验数据画成曲线。多线图，并将图插入Word 文件中（活图）。
2. b)用Origin软件将化工实验数据画成曲线。不同X的多线图，并将图插入Word文件中。 2. c)用Origin软件将化工实验数据画成曲线。双Y图，并将图插入Word文件中。 3. 用Origin软件将化工实验数据回归成方程。分别为: 3.a)单变量线性拟合（5点以上）；3.b) 单变量非线性拟合（5点以上），并将结果放入Word文件中；3.c)多变量线性拟合，并将结果放入Word文件中。 4.使用正交设计软件(如正交设计助手II专业版 v3.1)设计一实验项目，并对正交实验结果进行直观分析、因素指标图及交互作用的直观分析，多因素的方差分析。 dddd_实验计划表 ffff 所在列123 因素温度/℃时间/t浓度实验结果 实验145253 实验245175 实验345362 实验448274 实验548163 实验648357 实验749267 实验849159 实验949378
5. 在计算机互联网上进行文献检索,下载一篇与毕业课题相关的PDF化工科技论文(只打印首页上半页)。 6. 用chemdraw-01-软件画一复杂有机分子式。 CH3 OH 7.（选一个实践，5人一组，交电子版） §实验1: 化工单元模块精馏模拟计算 ----甲醇-二甲醚-水三元混合物精馏塔模拟 §实验2：环己烷与甲苯萃取精馏模拟计算 §实验3：化工稳态模拟计算软件应用 ----序贯模块法异丙苯合成流程模拟计算 *8. 用Matlab软件将化工实验数据回归成方程。多变量非线性拟合，并将结果放入Word文件中。 （交电子版）每人一个文件夹,内有每人Word文件, Origin文件,正交文件，PDF，chemdraw 各一个, 文件夹和文件名均如: 23号张三
简便计算计算法则
小学数学简便计算的几种方式 在分数、小数四则混合运算中，除了根据计算法则按运算顺序计算，还要注意认真观察题目的结构特征和数据特点，正确、合理、灵活地运用运算定律和性质进行简便计算。简便计算主要有以下几种形式。 一、整体简便计算。整个一道算式可以用简便方法计算，这种形式最为常见。例如： ＝1.14×10 ＝11.4 二、局部简便计算。一道算式中局部可以进行简便计算，这种形式也不少见。 三、中途简便计算。开始计算并不能简便计算，而经过一两步后却能进行简便计算，这种情况最容易忽视。例如： =1.2×（1+5+4） =1.2×10 =12 四、重复简便计算。在一道题里不止一次地进行简便计算，这种情况往往不注意后一次简便计算。例如： ＝8×55×0.125 ＝8×0.125×55 第二次 ＝1×55 ＝55 几种简便运算方法 最近金思维数学课上学了几种简便运算的方法，个别同学理解得不好，所以我想在这里把书中涉及到几种方法做一下简单的介绍。 一、替换法（重点是把接近整十数的数看成整十数加或减几） 例1：46+49 （把49看作50-1） = 46+50-1 = 96-1 = 95 例2：54-28 （把28看作30-2） = 54-30+2
= 14+2 = 16 二、凑整法（重点是找到适合凑整十的数） = 72-（17+23） = 72-40 = 32 例3：93-58-13 =（93-13）-58 = 80-58 = 22 三、加减抵消法（在有加有减而且加减的数值很接近的情况下使用非常方便，但是一定要注意运算符号，否则很容易出错。） 例：76-19+18 =76-1 =75 四、观察规律法 这部分题非常灵活，我只举一个简单的例子 10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 式子很长怎么办？看下面红颜色的部分 10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 是不是发现规律了 =1+1+1+1+1=5 学会方法很重要，当然对于孩子们来说，学会了方法还需要一定量的计算才能把各种方法运用得熟练，从而达到牢固掌握、灵活运用的程度。有空的时候可以让孩子做以下试题以达到巩固的目的。 1、23+49 2、36-19 3、64-48 4、37+29 5、52+34+18 6、35-17-5 7、56+25-36 8、36-24+23 9、17+28+12+23 10、1+2+3+4+5+6+7+8+9 小学数学简便运算方法归类 一、带符号搬家法（根据：加法交换律和乘法交换率） 当一个计算题只有同一级运算（只有乘除或只有加减运算）又没有括号时，我们可以“带符号搬家” 二、结合律法 （一）加括号法 1.当一个计算题只有加减运算又没有括号时，我们可以在加号后面直接添括号，括到括号里的运算原来是加还是加，是减还是减。但是在减号后面添括号时，括到括号里的运算，原来是加，现在就要变为减；原来是减，现在就要变为加。（即在加减运算中添括号时，括号前是加号，括号里不变号，括号前是减号，括号里要变号。） 2.当一个计算题只有乘除运算又没有括号时，我们可以在乘号后面直接添括号，括到括号里的运算，原来是乘还是乘，是除还是除。但是在除号后面添括号时，括到括号里的运算，原来是乘，现在就要变为除；原来是除，现在就要变为乘。（即在乘除运算中添括号
计算方法简明教程插值法习题解析
第二章 插值法 1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2 ()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1) ()() 3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x == ∑ 022 3()4() 14(1)(2)(1)(1)2 3 5376 2 3 l x l x x x x x x x =-+=- --+ -+=+ - 2．给出()ln f x x =的数值表 用线性插值及二次插值计算ln 0.54的近似值。 解：由表格知， 01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144 x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=- 若采用线性插值法计算ln 0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<
21121221 11122()10(0.6)()10(0.5) ()()()()() x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----= =---=+ 6.93147( 0.6) 5.10826 (x x =--- 1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈- 若采用二次插值法计算ln 0.54时， 1200102021101201220212001122()()()50(0.5)(0.6)()()()()()100(0.4)(0.6)()()()()()50(0.4)(0.5) ()() ()()()()()()() x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------= =----=++ 500.916291( 0.5)( 0.6) 69.3147( 0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5 x x x x x x =-?--+---?--2(0.54)0.615319840.615320 L ∴=- ≈- 3．给全cos ,090x x ≤≤ 的函数表，步长1(1/60),h '== 若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。 解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 当090x ≤≤ 时， 令()cos f x x = 取0110,( )6060 180 10800 x h π π === ? = 令0,0,1,...,5400i x x ih i =+= 则5400902x π = = 当[]1,k k x x x -∈时，线性插值多项式为
计算机在化工中的应用论文
目录 一摘要 二计算机在化工中的应用 1 计算机在化工中的主要应用 2 计算机在化工中应用存在的问题 3 计算机在化学当中的应用前景 三多款化工中常用的软件 1 前言 2 ChemCAD 2.1 ChemCAD简介 2.2 应用范围 2.3 使用方法 2.4 功能扩展 3 Chemoffice系列软件 3.1 Chemoffice简介 3.2 Chemoffice软件详细功能 3.3 ChemOffice WebServer 4 Origin图形可视化和数据分析软件 4.1 Origin简介 4.2 Origin软件功能 5 HYSYS 软件 5.1 HYSYS软件简介 5.2 HYSYS 软件功能 四结语 五参考文献 计算机在化工中的应用 一摘要 随着经济全球化和信息技术的迅速发展，信息资源被看作是获得未来物流竞争优势的关键因素之一，物流信息网的广泛兴起，一方面降低物质消耗，另一方面提高了劳动生产率。在当前这场世界新的技术革命中，令人瞩目的是电脑技术的迅速发展和广泛应用，计算机技术的发展也是一日千里，硬件性能成倍提高，软件技术的发展也更加成熟，界面更加友好，使用更加方便。如今计算机的应用已经渗透到各行各业各个部门，有识之士早已呼吁：不会使用计算机将成为新一代文盲。随着时代的发展计算机在化工中的应用越来越重要，本文主要介绍了多款化工中常用的软件。 关键词：计算机与化工化工应用软件化工过程控制化工实验 二计算机在化工中的应用 计算机在化工中的主要应用： 一、计算机在化工中的主要应用:计算机在化工教学中的应用计算机在化工教学中的广泛应用增大教学容量、提高课堂效率在传统的教学模式中，教师板书占用时间太多，定义、公式及其推理、图形、例题等必须板书。板书时间长了，新授内容必然受到限制，教师与学生之间沟通交流的时间以及学生动脑思考的时间也会缩短。这样，学习效果就难提高。使用多媒
计算电磁学结课论文
《计算电磁学》学习心得 姓名：桑dog 学号： 班级： 联系方式：
前言 计算电磁学是科技的重要领域它的研究涉及到应用计算机求解电磁方程它的重要性基于麦克斯韦方程——唯一的可以描述小到亚原子大到天体尺度的所有物理现象的方程, 。而且, 麦克斯韦方程式对于结果拥有很强的预测能力: 对于一个复杂问题的麦克斯韦方程的解通常可以准确的预知实验结果。因此, 麦克斯韦方程的解对于提高我们对复杂系统之物理现象的洞察力和设计复杂系统的能力均有极大帮助所以, 成功求解麦克斯韦方程式拥有广泛的应用前景: 例如纳米技术, 电脑微电子电路, 电脑芯片设计, 光学, 纳米光学, 微波工程, 遥感, 射电天文学, 生物医学工程, 逆散射和成象等等。 这篇文章的安排如下：第一章介绍了计算电磁学的重要意义以及发展状况。第二章介绍了计算电磁学中解决问题的方法分类。第三章对主要的数值方法进行了简介。第四章展望了计算电磁学的发展趋势。
第1章计算电磁学的重要性 在现代科学研究中，“科学试验，理论分析，高性能计算”已经成为三种重要的研究手段[1]。在电磁学领域中，经典电磁理论只能在11 种可分离变量坐标系中求解麦克斯韦方程组或者其退化形式，最后得到解析解。解析解的优点在于： ●可将解答表示为己知函数的显式，从而可计算出精确的数值结果; ●可以作为近似解和数值解的检验标准; ●在解析过程中和在解的显式中可以观察到问题的内在联系和各个参数对数值 结果所起的作用。 这种方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有规则边界的简单问题[2]。当遇到不规则形状或者任意形状边界问题时，则需要比较复杂的数学技巧，甚至无法求得解析解。20 世纪60 年代以来，随着电子计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法也迅速发展起来，并在实际工程问题中得到了广泛地应用，形成了计算电磁学研究领域，已经成为现代电磁理论研究的主流。简而言之，计算电磁学是在电磁场与微波技术学科中发展起来的，建立在电磁场理论基础上，以高性能计算机技术为工具，运用计算数学方法，专门解决复杂电磁场与微波工程问题的应用科学。相对于经典电磁理论分析而言，应用计算电磁学来解决电磁学问题时受边界约束大为减少，可以解决各种类型的复杂问题。原则上来讲，从直流到光的宽广频率范围都属于该学科的研究范围。近几年来,电磁场工程在以电磁能量或信息的传输、转换过程为核心的强电与弱电领域中显示了重要作用。[3]
简便方法计算
六年级数学《分数的简便计算》学生学习情况调研报告天河区先烈东小学程静张玉梅 一、概述 《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的对于《简便计算》的相关描述：探索和理解运算律，能应用运算律进行一些简便运算。在学习本单元内容前，学生已经学习运用运算定律进行整数和小数的简便计算，《义务教育课程标准实验教科书《小学数学》六年级上册·教师用书》中关于本学习内容的相关描述：理解乘法运算定律对于分数乘法同样适用，并会应用这些运算定律进行一些简便计算。 通过本单元的学习，使学生明确在整数、小数运算中，应用运算定律进行简便计算时，一般是把整数或小数凑成整十、整百、整千的数使计算简便。在分数运算中，可以利用约分使数据变小，或应用运算定律使计算简便。要培养学生细心观察，根据具体情况，灵活应用所学知识的能力。 二、数据描述 各小题得分情况一览表（蓝色为高于级平均的知识点）
三. 学生答题情况分析（选择错误率高的知识点进行分析） 四、对策及专项题组设计训练 1.对策。 A、改革评价体系，注重学生的发展。 对学生评价时，既要着眼于学生负担的减轻，又不能忽视学生的发展。在“算法多样化”的同时，我们还要鼓励学生勤于探索算法的最优化，让学生能根据计算的实际，能选择适当的简便方法进行计算，给并予适当的评价。
例如：计算101×65－65，常规的算法是101×65－65=65×（101－1），对于101×65－65=（100＋1）×65－65也未尝不可，即使用递等式也不要一棍子打死，应合理评价，并给予提示。 数学本身是追求优化的，但学生思维水平和认知基础是有差异的。教材或教师展示的算法可能是最优的，但对于学生而言未必就是喜欢的能接收的。 例如：教材所给出的长方形的周长公式是长方形的周长=（长＋宽）×2，真正在教学时，有些学生得出这个结论还是相当费力的。虽然用四条边的长度连加，或长×2＋宽×2这两种方法没有公式所谓的“简便”，但对有些学生而言，它更贴进学生的思维方式。教师没有必要把最优化的结论强加给学生，应让学生在不断的练习中体验出来。 B、改变教学观念，注重培养学生的探究能力 《新课程标准》对简便计算的要求是“探索和理解运算律，能运用运算律进行简便运算。”长期以来，我们数学中的计算教学片面地注重了能力的培养，而忽视了对学生数学思想、数学意识的渗透。“练习有余，探索不够”是我们教学的一大弊端。在传统的教学过程中，教师往往是本末倒置的：对于规律一带而过，更谈不上让学生探索了，然后就不厌其烦地讲解例题，让学生做练习。学生成了计算的奴隶，还有什么学习的兴趣可言。这样学生只会条件反射般地运用定律去解题，而不会去观察思考，当然也没有所谓的“多样化”、“最优化”的考虑了。 例如：3.5÷2.5÷4=3.5÷2.5×4 学生犯错的主要原因在于老师一味机械地程序化训练，把凑整作为思考的唯一方法，而忽略了题目的算理变换。 数学教育目标，不仅要强调知识的掌握、技能的形成，而且要更加关注学生的数学意识、数学思想的培养。如果每一个运算规律，都是学生通过探索研究得出来的，学生头脑中的会留下深深的烙印，也不需要老师过多的强调什么样的题目要简便计算。在练习前让学生先观察，想一想可不可以用简便方法。长此以往，题目也许不必再出现“第几题要用简便方法计算”了。 C、改变目标定位，注重学生简便意识培养 简便意识的培养不仅是简便计算这一部分内容的任务，也不仅仅在这一部分内容教学中所能解决得了的。在应用题教学中，我们要学生探讨解法的最优化；在空间与图形的教学中，我们要培养学生思维的简洁性……至于在科学服务于生活，使生活方便的事例数不胜数。
实例教程 手把手教你计算样本量
实例教程：手把手教你计算样本量 作者：张耀文 小玲看了新英格兰医学杂志的一篇文章[1]后，有些地方不明白，于是来找小咖讨论。 小玲：我觉得这个研究做的棒棒哒，但有一点没看明白，就是原文中统计方法部分的样本量计算到底写了个啥： 小咖：你没看明白就对了。这段话确实没有讲明白样本量到底怎么计算来的。你应该去看看这个研究的Protocol和Supplementary Appendix，里面应该会详细写到。因为限于篇幅，有些研究会在正文中省略一些信息。 小玲：那么，哪里能找到这个研究的Protocol和Supplementary Appendix呢？ 小咖：来，跟着我操作。首先搜到新英格兰医学杂志的这篇文章，然后点击①PDF下载这篇文章，再点开②Supplementary Material。
下载③Protocol 和④Supplentary Appendix 。 小玲：原来是这样啊，那我赶紧再去读一读这两个文件。 小玲读完后，又来找小咖。 小玲：我找到啦，原来在Protocol 的84-85页有样本量计算的详细介绍。 小咖：很好。你先总结一下大意。 小玲：比较主要结局（体重变化）时，按照P =0.05进行双侧t 检验。对于另一个主要结局（二分类变量）——体重下降5%及以上、10%以上的人数比例，采用双侧卡方检验比较。假设对照组体重下降10%以上的人数比例为10%，利拉鲁肽组的这个比例为14%。当利拉鲁肽组和对照组的样本量分别为2400例、1200例时，可以有超过90%的把握度发现这种差异。 小咖：很好，你get 到了所有的point 。以本研究为例，计算样本量时，需要
