专题九 指数函数
【高频考点解读】
1.了解指数函数模型的实际背景．
2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】
题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域．
(1)y ＝? ??
??23－|x ＋1|；(2)y ＝2x
2x
＋1；(3)y ＝.
【提分秘籍】
解决与指数函数的性质问题时应注意
(1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用．
【举一反三】 已知函数f (x )＝
.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
【热点题型】
题型二指数函数的图象及应用
例2、(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是( )
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
【答案】(1)A (2)[－1,1]
【提分秘籍】
1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
2．y＝a x，y＝|a x|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系：
y＝a x与y＝|a x|是同一函数的不同表现形式．
函数y＝a|x|与y＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同．
【举一反三】
当a≠0时,函数y=ax+b和y=b ax的图象只可能是下图中的( )
【热点题型】
题型三分类讨论思想在指数函数中的应用
例3、设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
【提分秘籍】
分类讨论思想在指数函数中主要是涉及单调性问题，一般情况下，当指数函数的底数不明确时，要分a>1或0 本题主要考查换元法求二次函数最值及指数函数的单调性，解题时，换元后由于底数a 取值不定故要分两种情况进行讨论． 【举一反三】 若指数函数y＝a x在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________. 【高考风向标】 1．（2014·福建卷）若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( ) 图1-1 A B C D 2．（2014·江西卷）已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝( ) A．1 B．2 C．3 D．－1 【答案】A 【解析】g (1)＝a －1，由f [g (1)]＝1，得5 |a －1| ＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1. 3．（2014·辽宁卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 121 3，则 ( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a 【答案】C 【解析】因为0log 121 2 ＝1，所以c >a >b . 4．（2014·山东卷）设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( ) A ．[0，2] B ．(1，3) C ．[1，3) D ．(1，4) 【答案】C 【解析】根据已知得，集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{y |1≤y ≤4}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ＜3}．故选C. 5．（2014·山东卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A. 1x 2 ＋1＞1y 2＋1 B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2 ＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3 ＞y 3 6．（2014·陕西卷）下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x 3 C ．f (x )＝? ?? ??12x D ．f (x )＝3x 7．（2014·陕西卷）已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________． 【答案】10 【解析】由4a ＝2，得a ＝12，代入lg x ＝a ，得lg x ＝12，那么x ＝1012 ＝10. 8．（2013·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x ? ?? )x<－1或x>1 2，则f(10x )>0的解集为( ) A ．{x|x<－1或x>－lg 2} B ．{x|－1 C ．{x|x>－lg 2} D ．{x|x<－lg 2} 【答案】D 【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1 2，解得x<－lg 2. 9． （2013·湖南卷）设函数f(x)＝a x ＋b x －c x ，其中c>a>0，c>b>0. (1)记集合M ＝{(a ，b ，c)|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a ，b ，c)∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________； (2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号) ① x∈(－∞，1)，f(x)>0； ② x∈R，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则 x∈(1，2)，使f(x)＝0. 10．（2013·浙江卷）已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x ＋y) ＝2 lg x ·2 lg y C ．2 lg x·lg y ＝2 lg x ＋2 lg y D ．2 lg(xy) ＝2 lg x ·2 lg y 【答案】D 【解析】∵lg(xy)＝lg x ＋lg y ，∴2lg(xy) ＝2 lg x ＋lg y ＝2lgx 2lgy ，故选择D. 【随堂巩固】 1．已知a <14，则化简4 4a －1 2 的结果是( ) A.4a －1 B ．－4a －1 C.1－4a D ．－1－4a 【答案】C 【解析】4 4a －1 2＝4 1－4a 2 ＝(1－4a ) 12 ＝1－4a . 2．设函数f (x )＝a －|x | (a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( ) A ．f (－2)>f (－1) B ．f (－1)>f (－2) C ．f (1)>f (2) D ．f (－2)>f (2) 3．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图像上，则tan a π 6 的值为( ) A ．0 B. 33 C. 1 D. 3 4．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图像可能是( ) 5．给出下列结论： ①当a <0时，(a 2) 32 ＝a 3 ； ②n a n ＝|a |(n >1，n ∈N ＋，n 为偶数)； ③函数f (x )＝(x －2) 12 －(3x －7)0 的定义域是{x |x ≥2且x ≠73}； ④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7. 其中正确的是( ) A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 6．函数y＝a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值为( ) A.1 2 B．2 C．4 D.1 4 7．设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 8．若x>0，则(2x 1 4 ＋3 3 2 )(2x 1 4 －3 3 2 )－4x － 1 2 (x－x 1 2 )＝________. 【答案】－23
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