含参变量的积分

ξ12.3 含参变量的积分

一、含参变量的有限积分

设二元函数f （x,u)在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）有定义，],,[βα∈?u 一元函数f(x,u)在[a,b]可积，即积分

dx

u x f a b

),(?

存在 ],[βα∈?u 都对应唯一一个确定的积分（值)

),(u x f a b

?dx .于是，积分

dx u x f a b

),(?是定义在区间],[βα的函数，记为],[,),()(βα?∈=?u dx u x f a

b u ,称为含参变量的有限积分，u 称为参变量。

下面讨论函数)(u ?在区间 ],[βα的分析性质，即连续性、可微性与可积性

定理 1 若函数),(u x f 在矩形域R ),(βα≤≤≤≤u b x a 连续，则函数

dx u x f a

b

u ),()(?=?在区间也连续。

证明

有

，使取],,[u ],,[βαβα∈?+?∈?u u u

.

),(),()()(.

)],(),([)()dx u x f u u x f a

b

u u u dx u x f u u x f a

b

u u u -?+≤-?+-?+=-?+??????（

根据ξ10.2定理8，函数),(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即

,,:),(),(,0,02121221,1δδδε<-<-∈?>?>?y y x x R y x y x 有

ε<-),(),(2211y x f y x f .

特别地，.:),(),,(δ

)(),(),()()(a b dx u x f u u x f a

b u u u -<-?+≤-?+?ε?? 即函数在区间连续.

设[]βα,0∈u ，由连续定义，有

)()(lim ),(lim

u u dx u x f a b

u u u u ??==→→?

=

dx u x f a b dx u x f a b u u ),(lim ),(0

0→??=. 由此可见，当函数),(u x f 满足定理1的条件时，积分与极限可以交换次序. 定理2 若函数),(u x f 与

u

f

??在矩形域R(βα≤≤≤≤u b x a ,)连续，则函数在区间[βα,]可导，且[]βα,∈?u ，有

dx

u u x f a b u du d

??=?),()(? 或

dx u u x f a b dx u x f a

b

du d ??=??),(),(. 简称积分号下可微分.

证明 [][],,u,,,βαβα∈?+?∈?u u u 使取有

[].),(),()()(dx u x f u u x f a

b

u u u -?+=-?+??? （1） 已知

u

f

??在R 存在，根据微分中值定理，有 .10,),(),(),('<

.10,),()

()('

<

b u u u u u 在上面等式等号两端减去dx u x f a

b

u ),('?，有

d x u x f a

b

u u u u u ),()

()('?-?-?+?? dx u x f u u x f a

b u u ),(),(''

-?+≤?

θ. 根据 ξ10.2定理8，函数),('u x f u 在闭矩形域R 一致连续，即

,0,0>?>?δε,:),(),,(δ

有

),(),()

()('a b dx u x f a

b

u u u u u -≤-?-?+?ε??即 dx u x f a

b

u

u u u u u ),()

()(lim '0

?=?-?+→??? 或

.),()(dx u u x f a b u du

d

??=?? 定理2指出，当函数),(u x f 满足定理2的条件时，导数与积分可以交换次序. 定理 3 若函数),(u x f 在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）连续，则函数

dx u x f a

b

u ),()(?=?在区间[]βα,可积，且

.).(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ??

????=??????????αβαβ （2） 简称积分号下可积分.

证明 根据定理1，函数)(u ?在[]βα,连续，则函数)(u ?在区间[]βα,可积.下

面

证

明

等

式

（

2

）

成

立

.

[]

βα,∈?t ，设

.),()(,),()(21dx du u x f t a b t L du dx u x f a b t t L ???

???=??????=????αα

根据4.8ξ定理1，有.),()('

1

dx t x f a

b

t L ?=

已知du u x f t ),(?α与du u x f t

t ),(???α

都在R 连续，根据定理2，有

dx du u x f t

a b dt d t L ??????=

??),()('2α =dx du u x f t t a b ??

????????

),(α =dx t x f a

b

),(?.

于是，[]βα,∈?t ，有()().'2'

1

t L t L =.由1.6ξ例1，()(),21C t L t L =-其中C 是常数.特别地,当α=t 时，()(),021==ααL L 则C=0,即()()β==t t L t L 当.21时，有

()(),21ββL L =即.),(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ??

????=??????????αβαβ

定理3指出，当函数),(u x f 满足定理3的条件时，关于不同变量的积分可以交换次序。

以上所讲的含参变量的有限积分，只是被积分函数含有参变量.一般情况下，除被积函数含有参变量外，积分的上、下限也可含有参变量，即).(),(u b b u a a ==不难看到，[]βα,u ? ，对应唯一一个积分（值）,),()

()(dx u x f u a u b ?

它仍是区间[]

βα,上的函数，设[].,,),()

()

()(βαψ∈=?u dx u x f u a u b u 这里只给出函数)(u ψ在区间[]βα,的可微性. 定理4 若函数),(u x f 与

u

f

??在矩形域R(βα≤≤≤≤x b x a ,)连续，而函数)(u a 与)(u b 在区间[]βα,可导，[]βα,∈?u ，有

()().,b u b a b u a a ≤≤≤≤ 则函

数

()()()

dx u x f u a u b u ),(?

=ψ在区间

[]

βα,可导，且

()()()()[]()()[]().,,),(''u a u u a f u b u u b f dx u u x f u a u b u du

d

-+??=?ψ (3)

证明 []()u b z u a y u ==∈?),(,,设βα与).,,(),(u z y F dx u x f y

z

=?有

()()

()

()()()[].,,,u u b u a F dx u x f u a u b u ==?ψ 已知

u

F Z F y F ??????,,都是连续函数.由3.10ξ定理4的推论，函数()u z y F ,,关于变量u 可导，有(),'u

z z F u y y F u F u ????+????+??=

ψ其中 ).,(),(),,(),(,),(),(u z f dx u x f y z z z F u y f dx u x f y

z

y y F dx u x f u z y dx u x f y z

u u F =??=??-=??=????=??=??????

于是，()()()().,,,'''z u z f y u y f dx u x f u

y z u +-??

=?

ψ 将()u a y =与()u b z =代入上式，有

()()()()+??=?dx u u x f u a u b u du

d

,ψ

[]()()[]().,),(''u a u u a f u b u u b f -

显然，当()u a 与()u b 是常数时，()()0''==u b u a ，定理4的特殊情况就是定理2.

二、含参变量的无穷积分

设二元函数),(u x f 在区域()βα≤≤+∞≤≤x x a D ,有定义,[]βα,∈?u ，无穷积分()du u x f a

,?

∞+都收敛，即[]βα,∈?u 都对应唯一一个无穷积分（值）

()du u x f a

,?∞

+ .于是()du u x f a

,?∞

+是区间[]βα,上的函数，记为

()(),,dx u x f a

u ?

∞+=? []βα,∈u ,

称为含参变量的无穷积分，有时也建成无穷积分，u 是参变量.

已知无穷积分()dx x f a

?

∞+与级数∑∞

=1n n u 的敛散概念、敛散判别法及其性质基

本上是平行的.不难想到，含参变量的无穷积分()dx u x f a

,?

∞+

与函数项级数∑∞

=1

n n u 之间亦应如此.讨论函数项级数的和函数的分析性质，一致

收敛起着重要作用.同样，讨论含参变量的无穷积分所确定的函数分析性质，一致收敛同样也起着重要的作用. []βα,∈?u 无穷积分()dx u x f a

,?

∞+都收敛，即[]βα,∈?u ，有

()()dx u x f a A

dx u x f a

A ,lim ,??+∞→=∞+. 即u u A A A >?>?>?,0,0ε，有

()()()ε<∞

+=-∞

+???dx u x f a

dx u x f a A dx u x f a

,,, （4）

一般来说，对[]βα,上不同的u 1和u 2，在ε相等的情况下，1u A 与2u A 也是不同的.区间[]βα,有无限多个点u ，因而对应无限多个正数A u （[]βα,,0∈?>?u A A ，有（4）式成立）呢？事实上，由得含参变量的无穷积分在区间[]βα,存在着通用的正数0A .于是，有下面一致收敛概念: 定义 设I u ∈?（区间），无穷积分()dx u x f a

,?∞+收敛.若0,0A ?>?ε（通

用）>0,,,0I u A A ∈?>?有

ε<∞

+=-∞

+???dx u x f A

dx u x f a A u x f a

),(),(),(，则称无

穷积分()dx u x f a

,?

∞+在区间I 一致收敛. 若无穷积分()dx u x f a

,?

∞+在区间I 不存在通用的00>A ，就是非一致收敛.现将一

致收敛与非一致收敛列表对比如下：

无穷积分()dx u x f a

,?∞+在区间I

一致收敛

.),(A

,,,0,000εε<∞+∈?>?>?>??

dx u x f I u A A A 有

非一致收敛

.),(A ,,,0,000

0000εε≥∞

+∈?>?>?>??dx u x f I u A A A 有

例6 证明：无穷积分dx ue xu

-?∞+0

在区间[]()0,>a b a 一致收敛. 证明 设A>0,求无穷积分（将u 看作常数）

dx ue xu

-?∞+0.

设dt u

dx t xu 1

,==，有dx ue xu -?

∞+0=dt u ue Au 11-?∞+=dt e Au 1-?∞+=.Au e - 已知b x a ≤≤，有

.Aa

Au xu e e dx ue A

---≤=∞+? ,0>?ε由不等式ε<-Aa e ，解得ε1ln 1a A >

.取ε

1

ln 10a A =.于是，0>?ε，ε1

ln 10a A =

?，0A A >?，[]b a u ,∈?，有,ε<≤∞+--?Aa xu e dx ue A

即无穷积分在区间[]b a ,一致收敛.

定理5(柯西一致收敛准则） 无穷积分dx u x f ),(0?∞

+在区间I 一致收敛I u A A A A A ∈?>>?>?>??,,0,002010与ε，有

.),(1

2

ε

A

证明 （?）由一致收敛的定义，,,,0,000I u A A A ∈?>?>?>?ε有

.2),(ε

<∞

+?dx u x f A

从而，0201A A A A >>?与，分别有

2

),(1

ε

<

∞

+?dx u x f A

与

2

),(2

ε

<

∞

+?dx u x f A

.于是，

dx u x f A dx u x f A

dx u x f A

A ),(),(),(2

1

1

2

?

??∞+-∞

+=

.

2

2

),(),(21εε

ε

=+

<

∞++∞+≤??dx

u x f A dx u x f A

（?）010,0,0A A A >?>?>?ε与,,02I u A A ∈?>有

ε

A ),(1

2

.

令+∞→2A ，有()ε≤∞+?dx u x f A ,1

，即无穷积分在()dx u x f ,0?∞

+区间I 一致收敛. 定理6 若I u B x B ∈?>?>?,,0，有()),(,x F u x f ≤ （5） 且无穷积分dx x F a )(?

∞+收敛，则无穷积分()dx u x f ,0

?∞

+在区间I 一致收敛. 证明 已知无穷积分dx x F a

)(?∞

+收敛，根据ξ12.1定理2无穷积分的柯西收敛准则，即 010,,0A A a A >?>?>?ε 与 ,02A A > 有

().1

2

ε

由不等式（5），{}010,,m

a x A A B a A >?>?与,02A A >,I u ∈?有

.)(),(),(1

2

1

2

1

2

ε<≤

≤

???dx x F A A dx u x f A

A dx u x f A

A

再根据定理5的充分性，无穷积分()dx u x f a

,?

∞

+在区间I 一致收敛. 定理6中的函数()x F 称为优函数.定理6亦称为优函数判别法.

例7 证明：无穷积分dx e ux 2

-?∞+在区间一致收敛（0>a ）. 证明 .),,[2

2ax ux e e a u --≤+∞∈?有

已知无穷积分dx e ax 2

-?

∞+收敛（见ξ12.1 例7），根据定理6，则无穷积分dx e ux 2

0-?∞+在区间一致收敛.

例8 证明：无穷积分dx y

x xy

2

2cos 1+∞+?在R 一致收敛. 证明 ,R y ∈?有

.1

cos 2

22x

y x xy ≤+ 已知无穷积分dx x 211?∞+收敛，则无穷积分dx y x xy 2

2cos 1+∞+?在R 一致收敛. 定理6是判别某些无穷积分一致收敛性的很简单的判别法 ，但这种方法有

一定的局限性：凡是能用定理6判别无穷积分是一致收敛，此无穷积分必然是绝对收敛;如果无穷积分是一致收敛，同时又是条件收敛，那么就不能用定理来判别.对于这种情况，有下面的定理：

定理7（狄利克雷判别法） 若()u x f ,，()u x g ,满足：

1）当+∞→A 时，积分dx u x f a

A

),(?对[]βα,∈u 一致有界；

2）),(u x g 是x 的单调函数，且+∞→x 时，关于u 一致收敛于0.则无穷积分

()()dx u x g u x f a ,,?∞

+在[]βα,上一致收敛.

证明 由条件1），[],,,0βα∈?>?u M 有

.),(M d x u x f a A

于是'A ?，[]βα,''∈?>u a A 及，有（不妨设'''A A <）

().2),(),(,'

''''

'M dx u x f x A dx u x f x A dx u x f A

A ≤+≤???

由条件2），[]βαε,,,00∈?>?>?u a A ，有 .),(ε

''',A A ∈?ξ，有

dx u x f A u A g dx u x f A u A g dx u x g u x f A A ),(),(),('),(),(),('

''

''

'

'

'???+≤ξ

ξ

.422εεεM M M =+≤

由定理5知，无穷积分()()dx u x g u x f a

,,?∞

+在[]βα,上一致收敛. 定理8（阿贝尔判别法） 若),(),,(u x g u x f 满足： 1）无穷积分dx u x f a

),(?

∞

+关于[]βα,∈u 一致收敛； 2）函数),(u x g 关于x 单调，且关于u 在[]βα,上一致有界.则无穷积分

()()dx u x g u x f a ,,?∞

+在[]βα,上一致收敛.

例9 证明：无穷积分dx x

x e yx sin 0-?∞+在区间[]+∞,0一致收敛. 证明 因为对0≥?y 函数yx e -关于x 是单调减少，且0≥?x ，0≥?y ，有

1≤-yx e ，而无穷积分dx x

x

sin 0?

∞+一致收敛.根据阿贝尔判别法，无穷积分

dx x x

e yx sin 0-?∞+在[]+∞,0一致收敛.

例10 证明：无穷积分),0[,1sin 02

+∞∈+∞+?p dx x

x p

在一致收敛. 证明 作替换,2,t dt dx t x ==有dt t

t t dx x x p

p ???

? ??+∞+=+∞+??2212sin 01sin 0. 已知无穷积分dt t

t sin 0

?

∞+（关于p )一致收敛.而函数()???

? ?

?

+=

2

121p t t f （在

0≥p ）关于是单调减少，且关于一致有界.于是，由阿贝尔判别法，无穷积分

),0[1sin 0

2

+∞+∞+?在dx x

x p

一致收敛.

()dx u x f a

u ),(?

∞+=?在区间[]βα,一致收敛，则函数()u ?在区间[]βα,连续.

证明 由一致收敛的定义，[]βαε,,0,0,00∈?>?>?>?u A A A ，有

().3

,ε

<∞+?dx u x f A [][]βαβα,,,00∈?+∈?u u u 取，有

().3,0ε<∞+?dx u x f A 与 ().3

,0ε

根据定理1，函数()()dx u x f a A

u p ,?=在区间[]βα,连续，当然在任意一点

[]βα,0∈u 也连续，即对上述同样的,,0,0δδε?>u 有

()()().3

,),(0000ε<-?+=

-?+??dx u x f a A dx u u x f a A

u p u u p 于是，(),,0,,0000δδε?>?>?>?u A A A 有 ()()00u u u ??-?+=

()()dx u x f a

dx u u x f a

00,,?

?∞+-?+∞

+

=

()()-?+∞++?+?

?dx u u x f A

dx u u x f a

A

00,,

()()dx u x f A dx u x f a A 00,,??∞

+-

()()+-?+≤

??dx u x f a A dx u u x f a A

00,,

()()dx u x f A dx u u x f A

0,,??∞

++?+∞

+

.3

3

3

εε

ε

ε

=+

+

<

即函数()u ?在区间[]βα,连续.

()()dx u x f a

u ,?

∞+=?在区间[]βα,一致收敛，则函数()u ?在区间[]βα,可积，且

()(),,dx du u x f a du u ??

?

???∞+=???αβ?αβ 即 ()().,,dx du u x f a du dx u x f a ??

????∞+=??????∞+????αβαβ 简称积分号下可积分.

证明 根据定理9,函数()u ?在区间[]βα,连续，则函数()u ?在区间[]βα,可积.由一致收敛定义，[]βαε,,,0,000∈?>?>?>?u A A A ，有

().,ε<∞

+?dx u x f A （6）

根据定理3，有

()().,,dx du u x f a A du dx u x f a A ??

?

???=??????????αβαβ 从而，0A A >?时，有

()()du dx u x f a du u ??

?

???∞+=???,αβ?αβ

=()()du dx u x f A dx u x f a A ???

???∞++???,,αβ

=()()du dx u x f A du dx u x f a A ??

?

???∞++??????????,,αβαβ

=()().,,du dx u x f A dx du u x f a A ???

???∞++??????????αβαβ

于是，由不等式（6）有

()()dx du u x f a A du u ??

?

???-???,αβ?αβ

=

()du dx u x f A ??

?

???∞+??,αβ

()du dx u x f A

,??

∞

+≤αβ <(),αβεα

β

ε-=?du

即 ()()dx du u x f a A du u A ??

?

???=???+∞→,lim αβ?αβ

= ().,dx du u x f a ??

?

???∞+??

αβ 定理11 若函数()u x f ,与()u x f u ,'在区域()βα≤≤+∞≤≤u x a D ,连续，且无穷积分()()dx u x f a

u ,?

∞+=?在区间[]βα,收敛，而无穷积分()dx u x f a

u ,'?

∞+在

区间[]βα,一致收敛，则函数()u ?在区间[]βα,可导，且

()(),,'

'dx u x u

f a u ?

∞+=? 即

()().,,dx u x f u a dx u x f a

du d ???

∞+=?∞

+ 简称积分号下可微分.

证明 [],,βα∈?u 讨论积分 ().,'dt dx t x t f a u ??

?

????∞+?α 根据定理10，有

()dt dx t x t f a u ???

????∞+?,'α

=()()dx u t x f a dx dt t x t f u a ???????∞+=??

??????

∞+αα,,' =()[]dx t x f a

,?

∞+- ()[]dx x f a

α,?

∞+

=()().α??-u 对上式两端关于u 求导数，有()().,'

'dx u x u

f a u ?

∞+=?

即

()().,,dx u x f u a dx u x f a

du d ???

∞+=?∞

+ 类似地，含参变量的瑕积分也有一致收敛及其判别法，以及含参变量瑕积分

所定义函数的分析性质. 三、Γ函数与B 函数

Γ函数与B 函数是连个含参变量的反常积分所定义的非初等函数，它们在数学、物理中有广泛的应用. （一）Γ函数

函数()dx x e x --?

∞+=Γ10

αα称为Γ函数（伽马函数）. 已知函数()αΓ的定义域是区间()+∞,0（见ξ12.2例7）.下面讨论Γ函数的两个性质.

1. Γ函数在区间()+∞,0连续.

事实上，()dx x e x --?∞+=Γ10

αα =dx x e x --?101α+.11

dx x

e x --?

∞+α ()，使与21,,0ααα?+∞∈? .2

10ααα≤≤<

(]1,0∈?x ,有 .111x e x x e x

--≤--αα [)+∞∈?,1x ，有 .121x e x x e x

--≤--αα 已知瑕积分

dx e x

x

--?1101

α与无穷积分

dx e x x --?∞

+121

α都是收敛，则无穷积分

dx e x

x

--?∞

+10

α在区间[]21,αα一致收敛.而被积函数x e x --1α在区域

()21,0ααα≤≤+∞<

数在点α连续.因为α是区间()+∞,0任意一点，所以Γ函数在区间()+∞,0连续.

2.递推公式：,0>?α有 ()()

x x e d x dx e x ---∞+=∞+=+Γ??

α

αα0

01

=().0

10

αααααΓ=∞++---∞+-?

dx e x e x x

x

设+∈+≤

而.10≤-

特别地，+∈=N n n ,α，有()()()() =-Γ-=Γ=+Γ111n n n n n n =()().1121Γ????-? n n

而()101=∞+=Γ-?dx e x ，即 ().0

!1dx e x n n x

n -?∞+==+Γ 这是!n 的一个分析表达式.函数Γ就是!n 的自然推广，后者只对自然数有定义，

现在推广到自变量是任何正数范围.

（二） B 函数

函数B ()()dx x x q p q p 1

110

1,---=?称为B 函数（贝塔函数）

已知B ()q p ,的定义域是区域()+∞<<+∞<

1.对称性：B ()q p ,=B ().,p q 事实上，设dt dx t x -=-=,1，有

B ()q p ,=()dx x x q p 11101---?=()dt t t q p 11

110----?

=()dt t t p q 1

110

1---?=B ()q p ,

2.递推公式：1,0>>?q p ，有B ()q p ,=

1

1

-+-q p q B ()1,-q p

事实上，由分部积分公式，1,0>>?q p ，有

B ()q p ,=()

dx x x

q p 1

1

10

1

---?=()

???

? ??--?p x d x p q 1

10

1

=()()dx x x p

q x p x q p q p 2

10110111----+-? =

()[]

()dx x x x x p q q p p 21

1110

11-------? =

()()()dx x x x p q dx x x p q q p q p 1

121110

111011----------??

=

()()q p B p

q q p B p q ,11,1----， 即B ()q p ,=

1

1

-+-q p q B ()1,-q p .

由对称性，,0,1>>?q p 又有 B ()().,11

1

,q p B q p p q p --+-=

.

特别+∈=N n n q ,地，，逐次应用递推公式，有 B ()()1,1

1

,--+-=

n p B n p n n p

=

()()()()

()2,2121--+-+--n p B n p n p n n =()()()()()

().1,1211221p B p n p n p n n +-+-+???-?-=

而B ()1,p =dx x p 101

-?=p 1

，即 B ()n p ,=

()()()

.11!1-++-n p p p n 当()+∈==N n m n q m p ,,时，有 B ()n m ,=

()()()11!1-++-n m m m n =

()()()!

1!1!1-+--n m m n

或 B ()n m ,=

()()()

n m n m +ΓΓΓ. 这个公式表明，尽管B 函数与Γ函数的定义在形式上没有关系，但它们之间

却有着内在联系.这个公式可推广为0,0>>?q p ，有B ()()()()

q p q p q p +ΓΓΓ=

,. （10）

3.0,0>>?q p ，B ().sin cos 022,1212???π

d q p q p --?=

事实上，设?2cos =x ，???d dx cos sin 2-=，有

B ()()dx x x q p q p 1

110

1,---=?

=()

()().cos sin 2sin cos 2

1

2

1

2?????πd q p ---?

=.sin cos 0221212???π

d q p --?. （11）

由公式（11），有下面几个简单公式：0,0>>?q p ，有

()()()().2,21sin cos 0

21212q p q p q p B d q p +ΓΓΓ=

=--????π

（12） 在公式（12）中，令2

1+=

n q 与21

=p .1->?n ，有

.1222121sin 0

2??

? ??+Γ?

?? ??Γ??? ?

?+Γ=?n n d n ??π

（13） 在公式（13）中，令0=n ,有()2

21211221210

2??

???????

??Γ=ΓΓ??

? ??Γ=??π

d ， 或π=????????? ??Γ2

2121，即 .21π=??

?

??Γ 4.证明勒让德公式：0>?a ，有()().222112a a a a Γ=??? ?

?

+ΓΓ-π

证明 B ()()()[]dx

x x dx x x a a a a a 1

1110

1101,----=-=??

=()[]()[]dx x x dx x x a a 112

11210

11---+-??

.

对等号右端第二个积分作变换.设t x -=1，d x =-d t ，有 ()[](

)[]dt t t dx x x a a 1

02

11

12

111----=-?? =()[].11210

dx x x a --?

B ()a a ,=2()[]dx x x a 121

1--?

= 2.21411

2

210

dx x a -??

?

???????? ??--?

设u

du

dx u x 4,2121-==-，有

B ()()121

21122110121

,----=-=?a a a dt u u a a B .,21??

? ??a

由公式（10），有

()()()()

.212

121212?

?? ?

?+ΓΓ???

??Γ=ΓΓΓ-a a a a a a 已知π=??? ??Γ21，即 ()().222112a a a a Γ=??? ??

+ΓΓ-π

特别地，令41=

a ，有 .2212

434112

1ππ

=???

??Γ=??

?

??Γ??? ??Γ- 5.余元公式：设10<

x x ππ

=-ΓΓ 证明 已知B 函数

B ()(),10

1,1

1dx x x b a b a ---=? .0,0>>b a

设()

0.1,12

=+=+=

x y dy dx y y x 时，1;0==x y 时，.+∞=y 于是

B ()()

.10

,1

dy y y b a b

a a +-+∞+=?

再令()101<<-=a a b ，有

B ().101,1

dy y

y a a a +∞+=--?

由B 函数Γ与函数的关系，有

B ()()()a a a a -ΓΓ=-11,. 即

()().1011

dy y

y a a a +∞+=-ΓΓ-?

再由ξ12.3例14，有

()()a

dy y y a a a ππ

sin 1011=+∞+=-ΓΓ-?， .10<

这就是余元公式.

特别地，当2

1

=

a 时，可求得 π=??

?

??Γ21

或

.021π=∞+=??

?

??Γ-?dz z e z 再设2x z =，我们又重新得到了已知的概率积分， .2

02π=∞+-?dx e x

第十八章 含参变量的广义积分

第十八章 含参变量的广义积分 1． 证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 220cos() (0)xy dy x a x y +∞≥>+? ； (2) 20 cos() ()1xy dy x y +∞ -∞<<+∞+?； (3) 1 ()x y y e dy a x b +∞-≤≤?； (4) 1 cos (0,0)xy p y e dy p x y +∞->≥?； (5) 20sin (0)1p x dx p x +∞ ≥+?. 2． 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性： (1) 20 (0)x dx αα-<<+∞?； (2) 0 xy xe dy +∞-?， （i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈； (3) 2 ()x e dx α+∞ ---∞?， （i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞； (4) 22(1)0sin (0)x y e xdy x +∞ -+<<+∞?. 3． 设()f t 在0t >连续，0()t f t dt λ+∞ ?当,a b λλ==皆收敛，且a b <。求证： 0()t f t dt λ+∞ ?关于λ在[,]a b 一致收敛. 4． 讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 22 0()x F x dy x y +∞ =+?，(,)x ∈-∞+∞； (2) 20()1x y F x dy y +∞ =+?，3x >； (3) 20sin ()()x x y F x dy y y π π-=-?，(0,2)x ∈.

5． 若(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续，含参变量广义积分 ()(,)c I x f x y dy +∞ =? 在[,)a b 收敛，在x b =时发散，证明()I x 在[,)a b 不一致收敛. 6． 含参变量的广义积分()(,)c I x f x y dy +∞ =?在[,]a b 一致收敛的充要条件是：对任一 趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =） ，函数项级数 111(,)()n n A n A n n f x y dy u x +∞∞ ===∑∑? 在[,]a b 上一致收敛. 7． 用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞ =?在[,]a b 的积分交换次序 定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）. 8． 利用微分交换次序计算下列积分： (1) 210()() n n dx I a x a +∞ +=+? （n 为正整数，0a >）； (2) 0sin ax bx e e mxdx x --+∞ -?（0,0a b >>）； (3) 20sin x xe bxdx α+∞-? (0α>). 9． 用对参数的积分法计算下列积分： (1) 220ax bx e e dx x --+∞-? （0,0a b >>）； (2) 0 sin ax bx e e mxdx x --+∞ -?（0,0a b >>）. 10． 利用2(1)2011y x e dy x +∞-+=+?计算拉普拉斯积分 20cos 1x L dx x α+∞=+? 和 120sin 1x x L dx x α+∞=+? . 11． 2 0(0)xy e dy x +∞ -=>计算傅伦涅尔积分

第十五章 含参变量的积分(数学分析)课件

第十五章含参变量的积分 教学目的与要求 1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题. 3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等； 6 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系； 7 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。 教学重点 1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分； 3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等 6 Beta函数和Gamma函数的性质。 教学难点 1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 3 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；

§1 含参变量的常义积分 教学目的 1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题. 教学过程 1 含参变量的常义积分的定义 （P373） 2 含参变量的常义积分的分析性质 2.1 连续性定理P374 T h e o r e m 1 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续 , 则函数 ?=d c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续 . Theorem 2 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函数)(1x y 和 )(2x y 在] , [b a 上连续 , 则函数? =)() (21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上连续. 例 1 求下列极限 (1)dx y x y ? -→+1 1 2 20lim (2) dx n x n n ? ++∞→1 )1(11lim 2.2 积分次序交换定理P375 例2 见教材P375. 2.3 积分号下求导定理P375—376 T h e o r e m 3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 则函数? = d c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导 , 且 ??=d c d c x dy y x f dy y x f dx d ),(),(. ( 即积分和求导次序可换 ) . Theorem 4设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函 数)(1x y 和)(2x y 定义在] , [b a , 值域在] , [d c 上, 且可微 , 则含参积分

含参变量反常积分的几种计算方法

含参变量反常积分的几种计算方法 摘 要：含参变量反常积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数又是以积分形式给出，所以它在积分计算中起着桥梁作用，并且计算难度较大，本文主要总结含参变量反常积分的几种方法，利用这几种方法，可以进行一系列的积分运算，这样可使含参变量反常积分运算更易理解和掌握。 关键词：含参变量反常积分 积分号下积分法 积分号下微分法 收敛因子 留数定理 在进行含参变量反常积分的运算时，首先要验证条件（包括确定含参变量及其变化范围，把问题归结为能利用含参变量反常积分运算性质的某一种，还要验证所用性质应满足的条件）,在验证条件时,判别一致收敛至关重要,判别法通常采用魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西判别准则或用定义判别，然而在验证一致收敛时并不简单，这使得含参变量反常积分的计算有一定的难度，经过验证后，就可以利用含参变量反常积分的性质具体进行运算。本人在学习过程中，通过大量的、不断的练习，进行探索和归纳，总结出几种含参变量反常积分的计算方法，这几种方法运算技巧强，便于理解和掌握，下面分述于后。 一 积分号下积分法 要对含参变量反常积分()(),y a g f x y dx +∞=? 实现积分号下求积分，须验证以下条件： (1) (),f x y 在,x a y c ≥≥上连续； (2) (),a f x y dx +∞? 在[),y c ∈+∞上内闭一致收敛，(),c f x y dx +∞ ? 在[),x a ∈+∞上内闭一致收敛； (3) (,)c a dy f x y dx +∞ +∞?? 及(),a c dx f x y dy +∞+∞ ?? 至少有一个收敛， 则 ()(),,a c c a dx f x y dy dy f x y dx +∞+∞ +∞ +∞ =?? ?? 例1 利用2 u e du +∞ -?u=x α令2 ()0 (0)x e dx ααα+∞ -?>?，求2 e d αα+∞ -?的值。 分析：2 x e dx +∞ -?这个积分在概率论中非常有用，它的值可以用多种方法求出，但在这里利用积 分号下积分法求解，是很值得借鉴的，而且须验证的条件又显然成立。 解：由已知，得()g α=2 ()0 x e dx αα+∞ -?是取常值的函数，记I=2 e d αα+∞ -?, 则 I 2=I 2 e d αα+∞ -?=2 Ie d αα+∞ -? =22 ()0 ()x e dx e d αααα+∞+∞ --??=2 2(1) x d e dx α αα+∞+∞ -+?? =2 2(1) x dx e d α αα+∞+∞ -+??= 201121dx x +∞+?=4π 故 二 积分号下微分法

含参变量积分

目录 摘要 (1) 前言 (2) 一、预备知识 (2) （一）、含参变量积分的定义 (2) （二）、含参变量反常积分的定义 (2) （三）、定理 (3) 1、含参变量积分的相关定理 (3) 2、含参变量反常积分的相关定理 (4) 二、含参变量积分的应用 (5) （一）、用含参变量积分解决积分计算的解题模式 (5) 1、利用含参变量积分解决定积分、广义积分的解题模式 (5) 2、用含参变量积分解决二重、三重积分的模式 (6) （二）、证明等式 (7) （三）、证明不等式 (9) （四）、求极限 (10) （五）、求隐函数的导数 (12) 三、含参量反常积分的性质 (13) （一）、含参量反常积分的局部一致收敛与连续性 (13) 1、局部一致收敛概念 (13) 2、连续的等价条件 (13) 3、几种收敛性的关系 (15) （二）、含参量反常积分局部一致收敛的判别法 (17) 1、主要结果 (17) 2、主要引理 (18) （三）、计算含参量反常积分的一些特殊方法 (21) 1、利用反常积分的定义和变量替换求解 (21) 2、通过建立微分方程求积分值 (21) 3、引入收敛因子法求解 (22) 4、级数解法 (23) 5、利用其他的积分 (24) 总结 (25) 参考文献 (25)

含参变量积分 赵洁 （渤海大学数学系辽宁锦州121000中国） 摘要：本文主要研究含参变量积分的两种类型：含参变量（正常）积分和含参变量反常积分。首先，给出了它们的定义和相关定理;然后，介绍了含参变量（正常）积分在证明等式、不等式和求极限等方面的应用；最后，给出了含参变量反常积分的性质和计算的一些特殊方法。 关键词：含参变量积分；二重积分；定积分；广义积分；局部一致收敛；一致收敛；含参量反常积分 Parameter Integral Zhao Jie (Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract：In this paper, two kinds of parameter integral are studied:parameter (normal) integral and parameter improper integral.Firstly their definitions and related theorems are given;Secondly the applications of parameter (normal) integral in proving equality,proving inequality and solving limit are introduced;Finally the qualities and some special solving methods of parameter improper integral are given. Keywords：parameter integral;double integral;definite integral;improper integral;locally uniformly convergence;uniform covergence;parameter improper integral

含参变量的积分

含参变量的积分 1 含参变量的正常积分 1． 求下列极限： (1) 1 0lim a -→? ； (2) 2 20 0lim cos a x ax dx →? ； (3) 122 0lim 1a a a dx x a +→++? . 2．求'()F x ，其中： (1) 2 2 ()x xy x F x e dy -=?； (2) cos sin ()x x F x e =? ； (3) sin() ()b x a x xy F x dy y ++= ? ； (4) 2 2 (,)x x t f t s ds dt ?????? ? ?. 3．设()f x 为连续函数， 2 01 ()()x x F x f x d d h ξηηξ??=++???? ? ?， 求'' ()F x . 4．研究函数 1 22 () ()yf x F y dx x y =+? 的连续性，其中()f x 是[0，1]上连续且为正的函数. 5．应用积分号下求导法求下列积分： (1) 2220 ln(sin ) (1)a x dx a π ->? ; (2) 20 ln(12cos ) (||1)a x a dx a π -+

(4) 20 arctan(tan ) (||1)tan a x dx a x π >? ； (2) 1 01sin ln (0,0)ln b a x x dx a b x x -??>> ??? ?. 7．设f 为可微函数，试求下列函数的二阶导数： (1) 0()()()x F x x y f y dy =+?； (2) ()()|| ()b a F x f y x y dy a b = -

含参变量的积分

§12.3 .含参变量的积分 教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则． 教学要求 (1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式． (2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明． 一、含参变量的有限积分 设二元函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤有定义，[,],u αβ?∈一元函数(,)f x u 在[,]a b 可积，即积分 (,)b a f x u dx ? 存在.[,]u αβ?∈都对应唯一一个确定的积分（值）(,)b a f x u dx ?.于是，积分(,)b a f x u dx ?是定义在区间[,]αβ的函数，表为 ()(,), [,]b a u f x u dx u ?αβ=∈? 称为含参变量的有限积分，u 称为参变量. 定理1.若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ?=?在区间 [,]αβ也连续. ★说明：若函数(,)f x u 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序. 定理2 .若函数(,)f x u 与f u ??在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ?=?在 区间[,]αβ可导，且[,]u αβ?∈，有 (,)()b a d f x u u dx du u ??=??， 或 (,)(,)b b a a d f x u f x u dx dx du u ?=???. 简称积分号下可微分.

第十讲含参变量的积分

第十讲含参变量的积分 10 . 1 含参变量积分的基本概念 含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义 设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,?=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈． ()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数 ()()[]b a x dy y x f x I d c ,,,∈=? 为含参量二的正常积分． 一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称 ()()() () []b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=? 为含参量x 的正常积分． 同样可定义含参量 y 的积分为 ()()[]d c y dx y x f y J b a ,,,∈=?或()()() () []d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=? 2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述） ( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈?，()()( ) () ?= →000 ,lim 0x d x c x x dy y x f x I ( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有 ()()()? ????==b a b a d c b a d c dx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， · ( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()() ()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d x c x ' ' ' ,,,-+= ?· 以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略， 例10. l 求积分?>>-? ?? ??1 0,ln 1ln sin a b dx x x x x a b 解法 1 （用对参量的微分法）：设()?>>-? ? ? ??=1 00,ln 1ln sin a b dx x x x x b I a b ，

含参变量有限积分的计算

课程论文 题目 学生毛文龙 所在院系理学院 指导教师职称 完成日期2011年6月20日

含参变量有限积分的计算 一、引言 含参变量的有限积分的计算，是数学分析学习中的难点，也是工科考研复习中的难点，其主要题型包括：含参变量有限积分的计算、含参变量积分函数的相关计算（极限、求导）等等。 二、定义及性质 1.积分限固定的情形 定义 设二元函数()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,有定义， []βα,∈?u ，一元函数()u x f ,在[]b a ,可积，即积分()?b a dx u x f ,存在。[]βα,∈?u 都 对应唯一一个确定的积分（值）()?b a dx u x f ,。于是，积分()?b a dx u x f ,是定义在区 间[]βα,的函数，表为()()?=b a dx u x f u ,?，称为含参变量的有限积分，u 称为参变 量。 性质1(连续性) 设函数()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,连续，则函数()()?=b a dx u x f u ,?在区间[]βα,也连续。 这表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可交换的。即对任意[]βα,0∈u ，()()? ?→→=b a u u b a u u dx u x f dx u x f ,lim ,lim 0。 同理可证，若()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,上连续，则含参变量的积分()()?=d c dy y u f u ,ψ也在区间[]βα,上连续。 性质2(可微性) 若函数()u x f ,及其偏导数 u f ??在矩形区域()βα≤≤≤≤u a R ，b x 上连续，则函数()()?=b a dx u x f u ,?在区间[]βα,可导，且 []βα,∈?u ，有()()()dx u u x f u du d u b a ???== ',??。

含参变量有限积分的性质及应用

重庆三峡学院数学分析课程论文含参变量有限积分的性质及应用 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名张杨府 年级 2009级 学号 200906034142 指导教师刘学飞 2011年6月

含参变量有限积分的性质及应用 张杨府 (重庆三峡学院 数学与统计学院 2009级数本一班) 摘 要: 本文主要通过含参变量有穷积分的连续性定理、积分号下可微分定理、积分号下可积.分定理、积分次序可换定理来说明含参变量有限积分的性质，并且阐述了它在数学中的应用。 关键词: 参变量 有限积分 连续性 可微性 可积性 1 含参变量的有限积分的定义 设二元函数(,)f x μ在矩形域R (α≤?≤β , α≤μ≤β)有定义, 一元函数(,)f x μ在 ?μ∈[α,β]可积,即积分 (,)b a f x u dx ?存在. ?μ∈[α,β]都对应唯一一个确定的积分 (,)b a f x u dx ?.于是,积分 (,)b a f x u d x ? 是在定义区间的[α,β]函数,表为?(μ) = (,)b a f x u dx ? 称为含参变量的有限积分, μ称为参变量. 2 含参变量有限积分的性质定理 定理1 如果函数(,)f x μ在矩形域R (α≤?≤β , α≤μ≤β)连续 ,则(,)f x μ函数?(μ)= (,)b a f x u dx ? 在区间[α,β]也连续. 该定理表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运 算的顺序是可以交换的. 证明 ],[βα∈?u ，取u ?，使u +u ?∈],[βα,有 )()(u u u ??-?+=?-?+b a dx u x f u u x f )],(),([ |)()(u u u ??-?+|≤?-?+b a dx u x f u u x f |),(),(| 函数 ) ,(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即 0,0>?>?δε,11221212(,),(,):||,||x y x y D x x y y δδ?∈-<-<

反常积分及含参变量的积分

第十二章 反常积分与含参变量的积分 §12.1 .无穷积分 一、无穷积分收敛和发散概念 实例：设地球的质量为M ，地球的半径为R.若火箭距离地心为()b b R >，则将质量为m 的 火箭，从地面发射到距离地心为b 处，§8.5例21给出了火箭克服地球引力2 2mgR F r =所作的 功 为了使火箭脱离地球的引力范围，即b →+∞，火箭克服地球引力F 所作的功 定义 设函数()f x 在区间[,]a +∞（或(,],(,))b -∞-∞+∞有定义，符号 ()a f x dx +∞ ? （或(),()b f x dx f x dx +∞ -∞ -∞ ? ? ） 称为函数()f x 的无穷积分. 设,,p R p a ?∈>函数()f x 在［a,p ］可积，若极限 存在（不存在），则称无穷积分()a f x dx +∞ ?收敛（发散），其极限称为无穷积分()a f x dx +∞ ? （的值）， 即 ()lim ()p a a p f x dx f x dx +∞→+∞=? ? . 设,,q R q b ?∈<函数()f x 在［q,b ］可积，若极限 存在（不存在），则称无穷积分()b f x dx -∞ ?收敛（发散），其极限称为无穷积分()b f x dx -∞ ? （的值）， 即 ()lim ()b b q q f x dx f x dx -∞ →-∞=??. 若c R ?∈，两个无穷积分 ()c f x dx -∞ ? 与 ()c f x dx +∞ ? 都收敛（至少由一个发散），则称无穷积分()f x dx +∞-∞ ? 收敛（发散），且 ()()()c c f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ -∞ -∞ =+? ? ? . 显然，火箭脱离地球引力所作的功W '是函数2 2()mgR F r r =的无穷积分，即 例1 . 求下列无穷积分 2 , x x e dx xe dx +∞ +∞ --? ? .