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高中数学解题方法之分离变量法(含答案)

高中数学解题方法之分离变量法(含答案)
高中数学解题方法之分离变量法(含答案)

分离变量法

分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中,求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.

分离变量法:是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端,使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量,其中一个范围已知,另一个范围未知.

解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后,对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围,求a 的范围:

定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥(求解()f x 的最小值);不等式()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤(求解()f x 的最大值).

定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥(求解()f x 的最大值);不等式()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤(即求解()f x 的最小值).

定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域(求解()f x 的值域). 解决问题时需要注意:(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个;(2)确定是求最大值、最小值还是值域.

再现性题组:

1、已知当x ∈R 时,不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立,求实数a 的取值范围。

2、若f(x)=2

33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立,求a 的取值范围。

3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2

()251f x x a a ≥+--恒成立,求a 的取值范围。

4、若方程42210x x

a -+=有解,请求a 的取值范围 5、已知32

11132

y x ax x =

-++是(0,)+∞上的单调递增函数,则a 的取值范围是( ) .0A a < .22B a -≤≤ .2C a < .2D a ≤

6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。

再现性题组答案:

1、解:原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时,不等式a+cos2x<5-4sinx

恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-,设f(x)=4sinx+cos2x 则

22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴

2、解:23321x x x a --≥+-恒成立,即2

242a x x ≤--在[1,4]x ∈-上恒成立, 只需2min 2(42)a x x ≤--,解得3a ≤-

3、解:2233251x x x a a --≥+--在[1,4]x ∈-上恒成立? 22

2542a a x x -≤-- 在[1,4]x ∈-上恒成立?2

325312a a a -≤-?≤≤

4、解:令2x

t = (t>0),则21210221t at a t a t

-+=?=+≥?≥

5、解:2'10y x ax =-+≥在(0,)+∞上恒成立?1

a x x

≤+在(0,)+∞上恒成立2a ?≤ 6、解:由于函]4

3,4[4),4sin(2cos sin π

πππ-∈--=->x x x x a ,显然函数有最大值2,2>

∴a 。

示范性题组:

例1. 已知函数()21,(0,1]f x x ax x =++∈,且()||3f x ≤恒成立,求a 的取值范围.

【分析】法一(二次函数):问题转化为不等式组22

13,(0,1]13

x ax x x ax ?++≤?

∈?++≥-??恒成立 → 2()1f x x ax =++在(0,1]x ∈上的最大值与最小值 → 以对称轴与定义域端点进行比较

分类,研究单调性.正确率较低.

法二(分离变量):问题转化为22

42x x a x x

---≤≤在(0,1]x ∈上恒成立(除x 时注意符号), → 由定理1得22max min

42x x a x x ????

---≤≤????

????.求相应函数最值,正确率较高. 例2.已知函数.ln )(),0(22

1)(2

x x g a x ax x f =≠+=若)()()(x g x f x h -=存在单调递增

区间,求a 的取值范围.

【分析】问题转化为221

'()0ax x h x x

+-=

≥在0x >上有解,即2210ax x +-≥在0x >上有解. 解:法一(二次函数):此题(0)10f =-<,分类是只需注意开后和轴,较为简捷.正确率不高,原因在于没有注意特殊点,将问题分为1解,2解,想得过于复杂. 法二(分离变量):问题转化为2

12x

a x

-≥

在0x >上有(存在)解 → 由定理 1.2得2min

12x a x -??

≥????.求解相应范围上的最小值,正确率较高.

例3.已知a 是实数,函数2

()223.f x ax x a =+--如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点,求a 的取值范围. 【分析】方法一(根的分布):这个题目是一个标准的根的分布问题,解题时需要考虑: 开口方向,判别式,对称轴,特殊点的函数值.解题时需要分为大3类,小5类.学生能够部分得分,很

难列出所有不等式组.

方法二(分离变量):问题转化为2

2230ax x a +--=在[1,1]x ∈-上恒有解 → 分离变

量得23221x a x -=

-,222

[1,(,)(,1]x ∈--有解 → 由定理1.3得只需求

函数2

32()21x g x x -=-在222[1,(,)(,1]2222x ∈---上的值域即可, 2

±单独考虑.此法思维两较小,运算量较二次函数略大,得分率略有增加.

通过对上述三道题目解答过程中出现的两种做法的比较,不难体会到,分离变方法的优越性:思维量小,过程简捷明快,思维严谨性的要求有所降低.不足之处:个别时候,分离后产生的函数,在求解其最值或值域时运算量较大.总体来说,多数时候,应优先使用分离变量法。 例4、已知函数3()31f x x ax =+-的导函数为/()f x ,/()()3g x f x ax =--. (1)若/()60x g x ?+>对一切2x ≥恒成立,求实数a 的取值范围; (2)若对满足01a ≤≤的一切a 的值,都有()0g x <,求实数x 的取值范围. 解:(1)

/22()33()333f x x a g x x a ax =+∴=+-- /()6g x x a ∴=-

即2

660x ax -+>对一切2x ≥恒成立?即6

6a x x <+对一切2x ≥恒成立 记6

()6h x x x =+

,则在2x ≥上()a h x <恒成立,/26

()6h x x

=-在2x ≥上恒大于0,

∴6

()6h x x x

=+在2x ≥上单调递增,min ()(2)15h x h ∴== 15a ∴<

(2)即2()333g x x a ax =+--对一切01a ≤≤恒成立

若3x =,则2()333240g x x a ax =+--=<不满足 x φ∴∈

若3x <,则2333x a x -<-对一切01a ≤≤恒成立2331

1033x x x -?

>?<<- 若3x >,则2333x a x ->-对一切01a ≤≤恒成立2

23303303x x x -?

- 11x ?-<< x φ∴∈

综上所述:103

x << 巩固性题组:

1、已知函数()lg 2a f x x x ??

=+- ???

,若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >,试确定a 的取值范围。

2、已知(],1x ∈-∞时,不等式()

21240x x

a a ++-?>恒成立,求a 的取值范围。

3、已知函数32()24f x x x x =++-,2()7g x x ax =+-.若对任意的[0,)x ∈+∞都有

'()()f x g x ≥,求实数a 的取值范围.

4、设函数3

21()(1)4243

f x x a x ax a =

-+++,其中常数a R ∈. (1)当1a >时,求函数()f x 的单调区间;

(2)若3x ≥时,'()0f x >恒成立,求实数a 的取值范围。

5、在?ABC 中,已知2|)(|,2cos )2

4

(sin sin 4)(2

<-++

=m B f B B

B B f 且π

恒成立,求实数m 的范围。

6、求使不等式3sin cos ,(,)44

a x x x ππ

>-∈恒成立的实数a 的范围。

7、设124()lg

,3

x x

a f x ++=其中a R ∈,如果(.1)x ∈-∞时,()f x 恒有意义,求a 的取值范围。

8、设函数是定义在(,)-∞+∞上的增函数,如果不等式2

(1)(2)f ax x f a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立,求实数a 的取值范围。

分离变量法巩固训练题答案:

1、解:根据题意得:21a

x x

+

->在[)2,x ∈+∞上恒成立, 即:2

3a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立,

设()2

3f x x x =-+,则()2

3924f x x ?

?=--+ ??

?

当2x =时,()max 2f x = 所以2a > 2、解:令2x

t =,

(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为:221

t a a t

+-<

, 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立,只须求出()2

1

t f t t +=

在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22

211111124

t f t t t t t +????==+=+- ? ?????

11,2t ??

∈+∞????

()()min 324f t f ∴==

2

313

42

2

a a a

∴-

'()()f x g x ≥即223417x x x ax ++≥+-

2

248ax x x ∴≤++

若0x =,则08≤恒成立, a R ∴∈

若0x >,则8

24a x x ≤++,824412x x ++≥=又,12a ∴≤

综上所述:12a ∴≤ 4、解:(1)

2()2(1)4(2)(2)f x x a x a x x a '=-++=--,又1a >,由()0f x '>得:

(,2)(2,)x a ∈-∞+∞,由()0f x '<得22x a <<,因此()f x 的单调增区间有(,2)-∞与(2,)a +∞,()f x 的单调减区间有(2,2)a

(2)3x ≥时,'()0f x >恒成立?3x ≥时,2

2(1)40x a x a -++>恒成立。

?3x ≥时,(2)(2)0x x a -->恒成立?3x ≥时,2a x <恒成立,3232

a a ?

5、解:]1,0(sin ,0,1sin 22cos )2

4

(

sin sin 4)(2

∈∴<<+=++

=B B B B B

B B f ππ

, ]3,1()(∈B f ,2|)(|<-m B f 恒成立,2)(2<-<-∴m B f ,

即??

?+<->2

)(2

)(B f m B f m 恒成立,]3,1(∈∴m

6

、解:由于函sin cos sin(),(0,)442

a x x x x π

π

π>-=-

-∈,令x x y cos sin -=,

则由于x x y cos sin -=的最大值取不到2,即a 取2也满足条件,所以2≥a

7、解:如果(.1)x ∈-∞时,()f x 恒有意义1240x x a ?++>,对(,1)x ∈-∞恒成立.

212(22)4x

x x x a --+?>-=-+(.1)x ∈-∞恒成立。令2x t -=,2()()g t t t =-+

又(.1)x ∈-∞则1(,)2t ∈+∞()a g t ∴>对1

(,)2t ∈+∞恒成立,

又()g t 在1[,)2t ∈+∞上为减函数,max 13()()24t g ==-g ,3

4

a ∴≥-。

8、分析:本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为2

12ax x a --<-对于任意

[0,1]x ∈恒成立,从而转化为二次函数区间最值求解。

解:

()f x 是增函数2(1)(2)f ax x f a ∴--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立 212ax x a ?--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立 210x ax a ?++->对于任意[0,1]x ∈恒成立,

令2

()1g x x ax a =++-,[0,1]x ∈,所以原问题min ()0g x ?>,

又min (0),0

()(),2022,2g a a g x g a a >???

=--≤≤??

<-??即2min 1,0()1,2042,2

a a a g x a a a - >???=-

-+-≤≤?? <-?? 易求得1a <。

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

配方法 、分离常数法

函数的值域(配方法,分离常数法) 一、配方法。 例1.求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤,∴321x -≤-≤-,∴21(2)9x ≤-≤,∴23(2)65x -≤--+≤,∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域为[3,5]-。 例2.求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设: )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得:][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ,从而得出:]0,2y ?∈?。 说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为:0)(≥x f 。 例3.若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。 【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4,0),(0,2)确定一条直线,作出图象易得: 2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而,y=1时,y x lg lg +取最大值2lg 。 练习.求下列函数的最大值、最小值与值域: ①142+-=x x y ; ②]4,3[,142∈+-=x x x y ; ③]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ;⑤ y =。 【答案】①[3,)-+∞;②[2,1]-;③[2,1]-;④[3,6]-;○6[0,2] 二、分离常数法 适用类型1:分子、分母是一次函数的有理函数,可用分离常数法 例4:求函数125 x y x -=+的值域。 解:∵177(25)112 222525225 x x y x x x -++-===-++++,

北邮数理方程课件第三章的分离变量法

第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题: ???? ?????=??-==??=><

其中A ,B 为积分常数,(7)代入(6)中边界条件,得 00 A B Ae +=???-+=?? (8) 由(8)得A=B=0,得X (x )=0,为平凡解,故不可能有0λ<。 (2) 当0λ=时,(6)式中方程的通解是 ()X x Ax B =+ 由边界条件得A=B=0,得X (x )=0,为平凡解,故也不可能有0λ=。 (3)当 02 >=βλ时,上述固有值问题有非零解.此时式(6)的通解为 x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件(6)中边界条件,得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ,故 0cos =l β,即 ),2,1,0(212Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程(3)的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是,所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,,得 0=n D

高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法 一.直接法(观察法):对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例1.求函数1y = 的值域。 【解析】0≥11≥,∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【练习】 1.求下列函数的值域: ①32(11)y x x =+-≤≤; ②x x f -+=42)(; ③1 += x x y ; ○ 4()112 --=x y ,{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-;②[2,)+∞;③(,1) (1,)-∞+∞;○4{1,0,3}-。 二.配方法:适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法。 例2.求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤,∴321x -≤-≤-,∴21(2)9x ≤-≤,∴23(2)65x -≤--+≤,∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域为[3,5]-。 例3.求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设: )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得:][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ,从而得出:]0,2y ?∈?。 说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为: 0)(≥x f 。 例4.若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。

第三章-行波法与积分变换法Word版

第三章 行波法与积分变换法 分离变量法,它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法,是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法,一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔(D ’alembert )公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题: .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? (1) 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, (2) 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入(1)可得 η ξ???u 2=0。 先对η求积分,再对ξ求积分,可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知

). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ (3) 由(3)第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ, 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以,我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? (4) 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道,直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线,称为特征线。已知,左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ,右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ,且这两个值随着特征线的移动而变化,实际上,波是沿着特征线方向传播的。称变换(2)为特征变换,因此行波法又称特征线法。 注:此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波, )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明:弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去,其传播速度为a 。因此此法称为行波法。

高中数学函数知识点详细

第 二章 函数 一.函数 1、函数的概念: (1)定义:设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中 的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作:y =)(x f ,x ∈A .其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域. (2)函数的三要素:定义域、值域、对应法则 (3)相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定 义域一致 (两点必须同时具备) 2、定义域: (1)定义域定义:函数)(x f 的自变量x 的取值范围。 (2)确定函数定义域的原则:使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。 (3)确定函数定义域的常见方法: ①若)(x f 是整式,则定义域为全体实数 ②若)(x f 是分式,则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数x y 111+ = 的定义域。 ③若)(x f 是偶次根式,则定义域为使被开方数不小于零的全体实数 例1. 求函数 () 2 14 34 3 2 -+--=x x x y 的定义域。 例2. 求函数()0 2112++-= x x y 的定义域。 ④对数函数的真数必须大于零 ⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1 ⑥若)(x f 为复合函数,则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零,如)0(10 ≠=x x ⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (4)求抽象函数(复合函数)的定义域 已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2 x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1)求)31(x f -的定义域 3、值域 : (1)值域的定义:与x 相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。 (2)确定值域的原则:先求定义域 (3)常见基本初等函数值域: 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数(正余弦、正切)

高中数学函数定义域值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一。求函数得定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式得被开方数非负。 (3)对数中得真数部分大于0。 (4)指数、对数得底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx中x≠kπ+π/2;y=cotx中x≠kπ等等。 ( 6 )中x 二、值域就是函数y=f(x)中y得取值范围。 常用得求值域得方法: (1)直接法(2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学得始终。 定义域得求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数得定义域: ①;②;③ 解:①∵x—2=0,即x=2时,分式无意义, 而时,分式有意义,∴这个函数得定义域就是、 ②∵3x+2〈0,即x<-时,根式无意义, 而,即时,根式才有意义, ∴这个函数得定义域就是{|}. ③∵当,即且时,根式与分式同时有意义, ∴这个函数得定义域就是{|且} 另解:要使函数有意义,必须: 例2 求下列函数得定义域: ①② ③④ ⑤ 解:①要使函数有意义,必须: 即: ∴函数得定义域为: []

②要使函数有意义,必须: ∴定义域为:{ x|} ③要使函数有意义,必须: ? ∴函数得定义域为: ④要使函数有意义,必须: ∴定义域为: ⑤要使函数有意义,必须: 即 x< 或 x〉∴定义域为: 2定义域得逆向问题 例3若函数得定义域就是R,求实数a得取值范围(定义域得逆向问题) 解:∵定义域就是R,∴ ∴ 练习: 定义域就是一切实数,则m得取值范围; 3复合函数定义域得求法 例4 若函数得定义域为[-1,1],求函数得定义域 解:要使函数有意义,必须: ∴函数得定义域为: 例5 已知f(x)得定义域为[—1,1],求f(2x—1)得定义域。 分析:法则f要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x-1上必也要求2x-1在[-1,1]内取值,即-1≤2x-1≤1,解出x得取值范围就就是复合函数得定义域;或者从位置上思考f(2x-1)中2x-1与f(x)中得x位置相同,范围也应一样,∴—1≤2x-1≤1,解出x得取值范围就就是复合函数得定义域。 (注意:f(x)中得x与f(2x-1)中得x不就是同一个x,即它们意义不同。) 解:∵f(x)得定义域为[—1,1], ∴—1≤2x-1≤1,解之0≤x≤1, ∴f(2x-1)得定义域为[0,1]。 例6已知已知f(x)得定义域为[-1,1],求f(x2)得定义域。 答案:—1≤x2≤1 x2≤1-1≤x≤1 练习:设得定义域就是[-3,],求函数得定义域 解:要使函数有意义,必须: 得: ∵≥0 ∴ ∴函数得定域义为: 例7 已知f(2x-1)得定义域为[0,1],求f(x)得定义域 因为2x-1就是R上得单调递增函数,因此由2x-1, x∈[0,1]求得得值域[-1,1]就是f(x)得定义域、 练习: 1已知f(3x-1)得定义域为[—1,2),求f(2x+1)得定义域。) (提示:定义域就是自变量x得取值范围) 2已知f(x2)得定义域为[-1,1],求f(x)得定义域

分离常数法与分离变量法在数学解题中的应用

分离常数法与分离变量法在数学解题中的应用 1.分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法,主要的分式函数有ax b y cx d +=+,22ax bx c y mx nx p ++=++,x x m a n y p a q ?+=?+,sin sin m x n y p x q ?+=?+等。解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。 2.分离常数法的常考题型: (1)判断分式函数的单调性;(2)求分式函数的值域; 3.分离变量法是求参数的取值范围的一种常用方法,通过分离变量,用函数观点讨论主变量的变化情况,由此我们可以确定参数的变化范围,这种方法可以避免分类讨论的麻烦,从而使问题得以顺利解决。分离变量法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到。解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题。 4.分离变量法的常考题型: (1)函数零点问题;(2)函数单调性问题; (3)不等式恒成立问题;(4)不等式有解问题; (5)求定点、定直线问题; 5.函数的“存在性”问题和“任意性”问题(共十类): (1)相同函数,不同变量(分别考虑): (I)对任意2211D x D x ∈∈,,M x f x f ≤-)()(21成立M x f x f ≤-?min max )()(; (2)不同函数,相同变量(构造函数): (I)对任意D x ∈,)()(x g x f ≤成立0)]()([0)()(max ≤-?≤-?x g x f x g x f ; (II)存在D x ∈,使)()(x g x f ≤成立?存在D x ∈,0)]()([0)()(in ≤-?≤-m x g x f x g x f ; (3)不同函数,相等关系(函数值域之间的关系): (I)存在D x ∈,使)()(x g x f =成立?存在D x ∈,)()(0)()(x g x f x g x f -?=-有零点; (II)对任意11D x ∈,存在22D x ∈,使)()(21x g x f =成立)(x f ?值域)(x g ?值域; (III)存在11D x ∈,22D x ∈,使)()(21x g x f =成立)(x f ?值域)(x g 值域φ≠; (4)不同函数,不同变量(函数最值大小的比较): (I)对任意2211D x D x ∈∈,,)()(21x g x f ≤成立min max )()(x g x f ≤?; (II)存在11D x ∈,使得任意22D x ∈时,)()(21x g x f ≤成立min in )()(x g x f m ≤?; (III)存在11D x ∈,22D x ∈,使)()(21x g x f ≤成立max in )()(x g x f m ≤?; (IV)对任意11D x ∈,存在22D x ∈,使)()(21x g x f ≤成立max a )()(x g x f x m ≤?; 总结:(1)把不等关系转化为函数最值大小的比较; (2)把等量关系转化为函数值域之间的关系;

北邮数理方程课件 第三章 分离变量法

第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题: ???? ?????=??-==??=><=βλ时,上述固有值问题有非零解.此时式(6)的通解为

x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件(6)中边界条件,得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ,故 0cos =l β,即 ),2,1,0(21 2Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程(3)的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是,所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,,得 0=n D 3 32 02)12(322)12(sin )2(2ππ+- =+-=?n l xdx l n lx x l C l n 故所求的解为 x l n t l a n n l t x u n 2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0 3 3 2 π ππ++?+- =∑∞ = 例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离,然后放手任其自由振动。设弦 长为l ,被拨开的点在弦长的0 1 n (0n 为正整数)处,拨开距离为h ,试求解弦的振动,即求解定解问题

高中数学主要题型与方法归纳

高中数学重点题型与思维方法归纳 一、集合、逻辑、函数、导数、定积分 1.集合的运算——①图示法P1 9;②验证法P111;③空集分类法P2 14;④转化法P14 2.子集(元素)个数——①列举法;②2n法P1 6;③转化法P125 8 3.充分必要条件——①大小法(小充分,大必要)P3 1;②推导法(推出充分被推必要互推充要)P3 3 4.命题的否定——①结论否定法;②全特互化法)P3 4 5.求定义域——①有意义法(具体函数或实际问题)P6 12;②整体不变法(抽象函数)P5 5 6.求值域——①图象法;②单调性法P5 8、P7 8;③反函数法;④分离常数法P12 13(1); ⑤配方法P10 13;⑥最值法 7.求最值——①函数值域法P7 8、P21 8、P86 13;②均值不等式法P11 4;③线性规划法; ④导数法P103 6;⑤转化法(立体与平面、同侧与异侧P67 5、P73 7、相离与相切P101 11) 8.求解析式——①换元法;②待定系数法P10 13(1);③构造方程法P6 13;④化归法P22 13 9.画图——①特殊点法P15 9;②变换图象法P15 8、P27 7;③假设验证法P15 6; ④奇偶分析法P15 9;⑤导数法(原增导在上,原减导在下)P103 3 10.零点或交点——①图象法P9 8;②零点交点转化法P18 11;③韦达定理法P17 8; ④解方程法P17 1、P17 10;⑤估算法P17 5;⑥导数法 11.一元二次方程根的分布——①图象法P67 9;②判别韦达法P9 9 12.单调性问题——①图象法P7 9;②复合法(同增异减)P9 11;③定义法; ④导数法P12 13、P101 10、P103 5、P103 9;⑤性质法 13.奇偶性问题——①特殊值法P7 6;②定义法P16 14(1);③化半法P8 13;④图象法P21 12 14.周期性问题——①图象法;②定义法P7 7;③三角公式法 15.对数计算——①逆运算转化法P13 3、P21 9;②化同法P13 5;③换底法 16.函数的应用——①列式法P19 4;②建模法P20 14、P64 14;图表法 17.求导数——①定义法P103 1;②公式法P101 2 18.求切线方程——①△=0法;②导数法P102 13、P104 11;③距离法(适用于圆) 19.求极值——①图象法P103 2;②导数法(左正右负极大值,左负右正极小值)P104 10、P104 13 20.求定积分或曲线围成面积——①图象法P105 11;②积分公式法P105 5;③概率法 二、三角函数、平面向量 1.三角函数符号(或角的象限)——①单位圆法P23 7;②πk2法P23 5 Rt法P25 2;②同角公式法 2.三角函数知一求余——①? 3.三角化简求值——①化切法P25 9;②化弦法;③1的代换P24 13;④和积互化P25 4; ⑤公式法P29 10;⑥换角法P30 13;⑦转化法(化同角、化同名、化同次)P25 8、P28 14 4.对称问题——①图象P21 12;②整体不变法;③公式法;④验证法P28 12 5.解三角形——①正弦定理P33 8;②余弦定理P33 9;③化边法P34 13;④化角法 6.平面向量的运算——①图解法P35 10、P97 9;②公式法P41 3;③坐标法P37 1、P41 10 7.向量平行(共线)问题——①成比例法P37 2;②公式法P35 2、P73 11、P99 7、12 8.向量垂直问题——①几何法P39 10;②公式法P39 7、P96 14 9.求夹角——①几何法P37 5;②公式法P41 11 10.求长度(模)——①平方法P37 9;②解三角形法P41 2

数学物理方程第三章行波法与积分变换法

第三章 行波法与积分变换法 (第十三讲 ) 分离变量法,它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法,是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法,一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔(D ’alembert )公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题: .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? (1) 作如下代换; ?? ?-=+=at x at x ηξ, (2) 利用复合函数求导法则可得 222222 22))((,ηηξξ ηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2222222 2ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入(1)可得 η ξ???u 2=0。 先对求积分,再对求积分,可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ (3) 由(3)第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ, 利用(3)第一式可得

.2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以,我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? (4) 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题: ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解:其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2=0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(, 从而可得 C x x G C x x F +=-=4 3)(4 9)3(2 2

用分离常数法解高考题

用分离常数法解高考题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

用分离常数法解2014年高考题 1 用分离常数法讨论方程根的个数 题1 (2014年高考课标全国卷I 理科第11题即文科第12题)已知函数 32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围是 ( ) A.(2,)+∞ B.(1,)+∞ C.(,2)-∞- D.(,1)-∞- 答案 C 解 因为函数3 2 ()31f x ax x =-+的零点不为0,所以可得本题的题干等价于“关于x 的方程a x x =?? ? ??-??? ??3 113有唯一实根,且该实根是正数,求a 的取值范围”,也等价于 “关于x 的方程a x x =-3 3有唯一实根,且该实根是正数,求a 的取值范围”. 用导数容易作出曲线3 3x x y -=如图1所示: 图1 由图1可得答案C . 题2 (2014年重庆卷文科第10题)已知函数??? ??∈-∈-+=] 1,0(,]0,1(,311 )(x x x x x f ,且 m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有且仅有两个不同的零点,则实数m 的取值范围 是( )

A.]21,0(]2,49(? -- B.]21 ,0(]2,411(?-- C.]32,0(]2,49(?-- D.]32,0(]2,411(?-- 答案 A 解 设)11(1 ) ()(≤<-+= x x x f x h ,题意即曲线)(x h y =与直线m y =有两个公共点. 因为?????? ?≤<+-≤<-?? ? ??-+=) 10(1 11) 01(2311)(2 x x x x x h ,由复合函数单调性的判别法则“同 增异减”可得函数)(x h 在??? ??--31,1上是减函数,在]1,0(,0,31??? ???-上均是增函数,从 而可作出曲线)(x h y =的草图如图2所示,由此可得答案. 图2 题3 (2014年高考江苏卷第13题)已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数,当[0,3)x ∈时,21 ()22 f x x x =-+ ,若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 . 答案 10,2?? ??? 解 作出函数21 ()2(03)2 f x x x x =-+ ≤<的图象如图3所示:

(分离常数法与分离参数法)

分离常数法与分离参数法 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法,主要的分式函数有ax b y cx d +=+,22ax bx c y mx nx p ++=++,x x m a n y p a q ?+=?+,sin sin m x n y p x q ?+=?+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域 例1 求函数31()(1)2 x f x x x +=≤-的值域. 解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322 x x x -+==+--. 由1x ≤,得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<. 2.用分离常数法判断分式函数的单调性 例2 已知函数()()x a f x a b x b +=≠+,判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x b x b ++--==+++,x b ≠-.所以,当0a b ->时,函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数;当0a b -<时,函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数. 3.用分离常数法求分式函数的最值 例3 设1x >-,求函数2710()1 x x f x x ++=+的最小值. 解 ∵1x >-,∴10x +>.由已知有 2 [(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51 x x =++++59≥=. 当且仅当411 x x += +,即1x =时,等号成立.∴当1x =时,()f x 取得最小值9. 分离参数法 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法,通过分离参数,用函数观点讨论主变量的变化情况,由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦,从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题 例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点,求a 的取值范围. 解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点,∴方程2 40x ax -+=在[2,4]上有实根,即方程4a x x =+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x =+ ,则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x +-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立,∴()f x 在[2,4]上是增函数. ∴(2)()(4)f f x f ≤≤,即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.

分离常数参数法-高考理科数学解题方法练习题

方法四 分离(常数)参数法 1.练高考 1.【2016高考北京文数】函数()(2)1 x f x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】2 【解析】1 ()11121 f x x =+ ≤+=-,即最大值为2. 2.【2016高考山东理数】在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A +=+ (Ⅰ)证明:a +b =2c ; (Ⅱ)求cos C 的最小值. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 12 ()∏由()I 知2 a b c += , 所以 2 2 2 2222cos 22a b a b a b c C ab ab +?? +- ?+-??= =311842 b a a b ??=+-≥ ???, 当且仅当a b =时,等号成立.

故 cos C 的最小值为 12 . 3.【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列,公差为d ,对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项. (Ⅰ)设2 2 * 1,n n n c b b n N +=-∈,求证:{}n c 是等差数列; (Ⅱ)设 () 22 * 11 ,1,n n n n k a d T b n N === -∈∑,求证:2111.2n k k T d =<∑ 【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析 4.【2016高考江苏卷】已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. 设1 2,2 a b == . (1)求方程()2f x =的根; (2)若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立,求实数m 的最大值; (3)若01,1a b <<> ,函数()()2g x f x =-有且只有1个零点,求ab 的值。 【答案】(1)①0 ②4(2)1 【解析】 (1)因为12,2 a b == ,所以()22x x f x -=+.

数学物理方程-第三章分离变量法2

第三章 贝塞尔函数 对两个自变量的情形,在第二章中比较系统地介绍了分离变量法的基本思想 以及求解偏微分方程定解问题的主要步骤. 本章讨论多于两个自变量的情形,其求解过程和两个自变量情形基本相同,区别仅在于特征值问题的求解要用到一类特殊函数—贝塞尔(Bessel )函数. 本章前两节围绕一类特征值问题的求解,比较系统地介绍二阶常微分方程的幂级数解法,以及Bessel 函数的一些基本性质. 第三节介绍多于两个自变量情形的分离变量法. §3?1 二阶线性常微分方程的幂级数解法 3.1.1 常系数线性方程的基解组 在高等数学中,同学们已学过常微分方程的一些求解方法. 对于常系数线性常微分方程,只要求出特征方程的根,就很容易写出齐次方程的基解组,由此可得齐次方程通解表达式. 例1.1 求解下列齐次微分方程 (1) '''320y y y -+=. (2) '''4130y y y ++=. (3) '''440y y y ++=. 解 (1) 特征方程为 2320λλ-+=, 特征根为121,2,λλ== 故基解组为 2{, }x x e e . (2)特征方程为 24130λλ++=, 特征根为1223, 23i i λλ=-+=--,是一对共轭复数,基解组为(23)(23){, }i x i x e e -+--, 这两个解为复值函数. 为得到实值函数的基解组,利用齐次微分方程解的线性性质得 2(23)(23)1 cos3 (+ )2x i x i x e x e e --+--=, 2(23)(23)1 sin 3 ( )2x i x i x e x e e i --+--=-, 这两个实值函数22cos3, sin3x x e x e x --也是方程(2)的解,由此得方程(2)的基解组为 22{cos3, sin3}x x e x e x --. (3)特征方程为 2440λλ++=,

高中数学:求函数值域的方法十三种

高中数学:求函数值域的十三种方法 一、观察法(☆ ) 二、配方法(☆) 三、分离常数法(☆) 四、反函数法(☆) 五、判别式法(☆) 六、换元法(☆☆☆) 七、函数有界性 八、函数单调性法(☆) 九、图像法(数型结合法)(☆) 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用 一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 0≥ 11≥, ∴函数1y 的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是: ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112 --=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。 【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ,而()()331==-f f ,()()020==f f ,()11-=f 所以:{}3,0,1-∈y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x ∈,则函数的值域为{}1|-≥y y 。 二. 配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法。 【例1】 求函数2 25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得: ∵ 由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时, ,当 时, 故函数的值域是:[4,8] 【变式】已知 ,求函数 的最值。

【解析】由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配 方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐 标不在区间内,如图2所示。函数的最小值为,最大值为。 图2 【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ,(1)求函数()g t (2)当∈t [-3,-2]时,求g(t)的最值。(说明:二次函数在闭区间上的值域二点二分法,三点三分法) 【解析】(1)函数 ,其对称轴方程为 ,顶点坐标为(1,1),图象开口向上。 图1 图2 图3 ①如图1所示,若顶点横坐标在区间 左侧时,有 ,此时,当 时,函数取得最小值 。 ②如图2所示,若顶点横坐标在区间上时,有 ,即 。当时,函数取得最小 值 。 ③如图3所示,若顶点横坐标在区间 右侧时,有 ,即 。当 时,函数取得最小值 综上讨论,g(t)=?? ? ??<+≤≤>+-=0110,11,1)1()(22min t t t t t x f (2)221(0)()1(01)22(1)t t g t t t t t ?+≤?=<

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