2018年硕士研究生招生考试大纲
考试科目名称：高等代数考试科目代码：865
一、考试要求
高等代数考试大纲适用于北京工业大学应用数理学院和北京科学与工程计算研究院（0701）数学、（0714）统计学学科各专业的硕士研究生入学考试。考试内容主要包括多项式、行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间、λ-矩阵等。要求考生理解基本概念、掌握基本定理、熟悉基本计算，有较强的运算能力和综合分析解决问题能力。
二、考试内容
（一）多项式理论
(1)理解一元多项式的概念，多项式的因式分解、因式分解定理；
(2)掌握多项式的加、减、乘、除运算、多项式的整除、最大公因式、重因式判别法、有理系数多项式、爱森斯坦因判别法。
（二）行列式
(1)理解n元排列、n级行列式的定义；
(2)熟练掌握n级行列式定义性质、n级行列式（按行或列）展开、n级行列式的计算方法；
(3)熟悉代数余子式的相关结论、克来姆法则、范得蒙行列式。
（三）线性方程组
(1)理解n维向量的运算及性质、线性相关与线性无关；
(2)熟练掌握高斯消元法、矩阵的秩、线性方程组有解的判别定理、线性方程组解的结构。
（四）矩阵
(1)熟练掌握矩阵的各种运算、矩阵乘积的行列式、矩阵的秩、分块矩阵、逆矩阵、初等变换与初等矩阵
（五）二次型
(1)熟悉二次型的矩阵表示[1]
(2)熟练掌握二次型的标准型、二次型的规范型、惯性定理、正定二次型。
[高等教育]北工大线性代数课习题答案王中良教辅
北工大 线性代数 习题解答 王中良版 线性代数习题解答 习题一 1 计算下列行列式。 (1) 4 273-=12+14=26 (2) 213132321= (3) 00)1(0000003z y z x y x z y z x y x z y z x y x ----=---=---0=∴D (4) 31221331222113 12110 0a a a a a a a a a -= 2．解三元线性方程组： ?? ? ??=-+-=-+-=+-0 13222321321321x x x x x x x x x
解： 50 1 1 1122 21 ,101 1 312 121,51 10311122,51432611 1 1312 121321-=---=-=----=-=----=-=+-++--=----=D D D D 11=∴x , 22 =x , 13=x . 3. 求下列排列的逆序数，并指出奇偶性。 (1) 354612 解：τ=4+4+1=9 奇排列 （2）7563421 解：τ+6+5+3+3+1+1=19 奇排列 (3) 345…n21 τ=n-1+n-2=2n-3 奇排列 （4）(n-1)(n-2)…21n τ=(n-2)+(n-3)+…+1=)( 当n=4m 时，排列为奇排列；当n=4m+1时，排列为偶排列； 当n=4m+2时，排列为偶排列；当n=4m+3时，排列为奇排列。 4．求i 、j 使 （1）2i68j431为奇排列 解：i=5, j=7. (2) 162i54j8 为偶排列 解：i=7 , j=3. 5．在5阶行列式中，下列各项的前面应带什麽符号？ (1) a a a a 312413 55 42a 解：因为τ（34125）=2+2=4，所以此项前面的符号为“+”。 (2) 53 453124124512532431a a a a a a a a a a = 解：因为τ（24153）=2+2=4，所以此项前面的符号为“+”。 6．写出4阶行列式展开式中所有带负号且含元素a 32的项。 解 . ;;433221144132241344322311a a a a a a a a a a a a --- 7．按定义计算行列式： (1)
北京工业大学实验学院 高等数学（工）－1综合测试题一 一、填空题（共5个小题，每小题3 分，共15分） 1、2401lim sin 3x x x →＝ 。 2 、2 0x ?＝ 。 3 、若112,n x x +== lim →∞n n x ＝ 。 4、若22()22
2020年北京工业大学应用统计考研真题（回忆版）及考研参考书 育明教育506大印老师 北外教授、北大教授、人大教授、中财教授、社科院教授联合创办 2020年1月1日 【2021年考研温馨解析：考研失败的7大原因】 根据育明教育过去12年对10000多名考研学员的分析发现，大多数考生之所以考研失败，主要是基于以下几个方面的原因：第一，准备的时间太晚，在育明教育咨询的考生，很多都建议大三或者大二就开始准备，并且最好是大三就尝试考一次，但是大多数考生的复习时间也就是几个月，这么短时间，怎么能和准备了一两年的考上相比呢，除非你是神通。第二，院校选择和专业选择不合理。当然，很多考生也不知道怎么选择专业和院校，因为信息太少了，又缺乏相关的经验，这点可以咨询育明教育咨询师，由十余年考研咨询经验的高级咨询师给大家答疑解惑。第三，复习规划不合理。自上学以来，很多考生就是在家长和老师的安排下进行学习的，上大学以后大家就失去了学习安排的能力，导致考研不知道如何安排，这点可以根据育明一对一的复习进度进行解决。第四，复习技巧。很多辅导机构都会给大家讲解一些技巧，但是这些技能很难在考场上应用的，真正的技巧是要通过长时间的练习和备考磨炼出来的。第五，答题技巧。育明教育每年都会聘请具有5年以上公共课和专业课阅卷经验的老师对学员进行一对一指导的，这点是育明教育高通过率的秘诀，要知道，很多题目都是主观题，你能回答上来和你能得高分是两码事。第六，复习重点。考研考的就是心态，很多考生往往容易贪多，再加上把握不住重点，所以，越往最后越是急躁，越是觉得需要记忆的内容多，其实核心问题就是没有掌握住重点。第七，很多考生初试后，对复试不够重视，尤其是MPAcc的考生，报考人大、北外、北语等院校的考生，现在复试的比例越来越高了，所以一定要重视复试，育明教育的复试保过班次，大家可以考虑。 一、2020年北京工业大学应用统计考研真题回忆版 育明教育一对一学员回忆整理 楼主二本学校，报考北京工业大学应用统计专业，初试成绩417，如此高分大神，考研er们快来膜拜吧~ 首先我想强调一下如果你要下定决心考研究生，我说的是下定决心，你就一定不要中途放弃，不要觉得自己考不上，要有一定的自信，要相信自己能够坚持下来，一定不要有放弃的念头。 然后再来说一下考研的准备吧！我是从3月份开学后才开始准备的，当时也查了很多资料，也愁，不知道从何下手，不知道到底把目标定到哪里，也咨询过老师。我考研的目标是从上大学就决定的，大三是离考研最近的时期，当时的我也很迷茫，为自己的未来迷茫，直到后来我才明白，当开始为一件事情努力的时候，这种迷茫的感觉才会消失。我是很想去一个大城市的，北京又是离家最近的大城市，我想去，所以我最终确定了北京工业大学，应用统计专业。 ?数学： 育明考研考博培训中心官网：https://www.doczj.com/doc/611549051.html,400-6998-626
北京工业大学2007-2008学年第二学期期末 线性代数（工） 课程试卷（A ） 注：本试卷共 8大题，满分100分. 得分登记（由阅卷教师填写） 考试方式：闭卷 考试时间：2008年06月25日 学号 姓名 成绩 得分 .填空题（每小题 3分，共30 分）. ' 1 0 0、 1 2 3 4 ] 1.矩阵乘积 0 1 0 5 6 7 8 13 0 1(9 10 11 12丿 2. B 满足AB 二A ? B ，则A - E 可逆，且（A - E ） 3. 如果2阶方阵A 的特征值是1, -1 , A 为其伴随矩阵, 则行列式 * 4. : '1 设3维列向量组［忙匕，：/和「，：2满足? 2 ,：'3 〉1,〉2「3 构成的矩阵 （写出具体数值） 5. 如果 P -3 1 2 P 9 =0 ,而且p 0，则p 二 bx &y - -1 6. 如果实系数方程组 b 2x Q >^0有实数解，则行列式 b 2 b 3 C 2 C 3 设n 阶方阵A
7. 设‘1 一1,‘2 =0是实对称矩阵A的特征值，〉=（2,t 2,1）T，― （1 t ,匕2）是分别属于-1,1的特征向量，贝U t二
8.如果〉=（1,1,-1）T 是实方阵A 的一个特征向量，则 2A 2 -3E 必有一个特征向量等于 如果n 阶实矩阵A 满足A 3 -0，E 是n 阶单位矩阵，则 【 】 （A ） A E 可逆，但A - E 不可逆 （B ） A E 不可逆，但 A - E 可逆 （C ）A E 、A-E 都可逆 （D ）A E 、A-E 都不可逆 （A ） 当线性方程组 AX 二b 无解时，行列式 A=0。 （B ） 当线性方程组 AX 二b 有无穷多组解时，行列式 A=0。 （C ） 当行列式 A=0时，线性方程组 AX=b 无解。 （D ）当线性方程组 AX=b 有唯一解时，行列式 AH0 。 5 -1 -1 ) ‘2 0 0、 4.矩阵 —1 1 -1 和 0 -1 0 的关系 是 <_1 -1 1丿 <0 0 2丿 (A ) 相似但不等价 (B ) 相似而且等价 (C ) 不相似但等价 (D ) 既不相似也不等价 广0 、 广2 3 3 10 ?二次型（人公2卞3） 1 1 -2 曰4 -b 的正惯性指数与负惯性指数之和是 2.如果向量组〉1,〉2,〉3,〉4线性无关，而且其中的每一 个向量都与向量 -正交，则向 量组用 ,〉2「3,〉4,- 【 】 (A) 定线性相关 （B ） 疋线性无关 （C ） 可能线性相 关， 也可能线性无关 （D ） 前三个选项都不止确 3. 设A 是n 阶方阵，则下列选项中不正确的是 【 】 9. 如果 1 3 2.2 ~3~ 是正交矩阵，则a = 1 3> 共15分）。将正确答案的字母填入括号内 。 单项选择题（每小题
2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛 A 题：GPS 定位问题 GPS 是英文 Global Positioning System 的缩写，即全球定位系统。GPS 的空间部分是由24颗卫星组成（21颗工作卫星，3颗备用卫星），它位于距地表20200公里的上空均匀分布在6个轨道面上（每个轨道面4颗），轨道倾角为55°。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星。图A.1给出GPS 卫星的示意图。 图A.1：GPS 卫星的图片 图A.2：车载型GPS 信号接收机 GPS 的用户设备部分是GPS 信号接收机，它的作用是接收GPS 卫星所发出的信号，利用这些信号进行导航定位等工作，图A.2为一款GPS 信号接收机。 GPS 信号接收机能收到GPS 卫星发来的信息，信息由GPS 卫星所在的空间位置和GPS 信号到达地面接收机的时间组成。卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定，为简化问题，这里假定它是准确值。GPS 信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟（铯原子钟）和地面接收机上的时钟（低成本钟）决定，所以有误差。由GPS 卫星上的原子钟与地面GPS 标准时间之 间的误差称为钟差，钟差是未知的。 设()i i i C B A ,,为第i 颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标，i t 为GPS 信号到达接收机的时间。所谓地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点O 与地球质心重合，Z 轴指向地球北极，X 轴指向经度原点E ，Y 轴垂直于XOZ 平面构 成右手坐标系，如图A.3所示。 图A.3：地心空间直角坐标系
表A.1给出了4颗卫星在空间中的位置，表A.2给出这4颗卫星的GPS信号到达四个地点处GPS接收机的时间。 表A.1：卫星在地心直角坐标系中的位置（单位：公里） 你所要完成的问题如下： 1. 建立相应的数学模型，确定出上述四个地点的经度与纬度，并地图标明它们所在的位置。 2. 在通常的情况下，地面的GPS接收机能收到5—8颗卫星的信号，对于多于4颗卫星的情况，你将如何修改你的数学模型，使得定位更准确？表A.3给出第5颗卫星的位置，表A.4给出5颗卫星的GPS信号到地点5的时间。请用你提出的方法计算出地点5的位置（经度、纬度，并在地图上标出）。 表A.3：第5颗卫星在地心直角坐标系中的位置（单位：公里） 注：地球半径近似为R = 6371 公里；光速为c = 299 792.458 公里/ 秒。
一. 填空题（每小题3分，共30 分. 注意：所有题目需给出计算结果； a a =型答案无效） 1. 100121201224680011111?????? ??? ?-= ??? ? ??? ??????? 2. 记 12111 323 154917827 ----第二列四个位置的代数余子式分别是12223242,,,A A A A .若 23122232420A aA a A a A +++=，且0a >，则a = 3. 在行列式2 2 3121x x x x x -的完全展开式中，合并同类项后，3x 的系数是 4. 3阶实方阵A 和非零向量123,,ααα满足：112233,2,A A A αααααα===-.若 记以123,,ααα为列向量组的矩阵为()123P ααα=，则1 P AP -?? ? ?= ? ?? ? （写出具体的矩阵）. 5. 若32?型、23?型实矩阵,A B 满足112211817AB ?? ? =- ? ?-?? ，则,A B 的秩之和 ()()R A R B += 6. A 是2阶实方阵. 若齐次线性方程组()0A E X -=和(2)0A E X -=均有非 零解，则行列式*12A A E -++= 7. 若12,, ,m ααα是齐次线性方程组123112301012012700x x x -?????? ? ? ? --= ? ? ? ? ? ?--?????? 的解空间中
的线性无关向量组，则m 能取到的最大值是 8. 若3阶实方阵123()A ααα=的列向量组123{,,}ααα与线性无关向量组 12{,}ββ满足1122123 12325αββαββαββ =-?? =+??=-? ，则A 的阶梯化矩阵中非零行的行数是 9. 方程1 234 26801 1 1x x x +-+=--的根123,,x x x 之和123x x x ++= 10. 若Q 是n （1n >）阶实方阵，且齐次线性方程组0QX =只有零解， T A Q Q =，则A 的特征值 0（填“,,><=”之一）. 二（10分）. 计算行列式01523 13 110 18 3810113132510 D ----=------（要求出具体数值）. 三（10分）. 用初等变换的方法，解方程101110110011101110X -???? ? ? -=- ? ? ? ?-????. 四（10分）.a 取何值时，线性方程组123412341 23422320574x x x x x x x x x x x x a -++=?? +-+=??-+-=? 有解？ 有解时，写出其通解. 五（12分）. 已知288828882A ?? ? = ? ??? . 求一个可逆矩阵P ，使得1P AP - 是对角矩阵；并求出这一对角矩阵.
北京工业大学2017--2018学年第一学期考试试卷A 答案 课程名称： 高等数学 A 课程所在学院： 理学院 考试班级 学号 姓名 成绩 试卷说明： 1. 本次考试为闭卷考试。本试卷共计 页，共 大部分，请勿漏答； 2. 考试时间为 １２０ 分钟，请掌握好答题时间； 3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚； 4. 本试卷全部答案都写在试卷上； 5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场； 6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！ 一、填空题（每题3分，共30分） 1 ．2 lim 2x x →=-1 2 2. 设2ln(1) ,0()sin ,0 x x f x x x b x +?>? =??+≤? 在0=x 处连续，则=b 1 3．()0,()1,f a f a '==则极限1lim ()n nf a n →∞ -= -1 4．已知sin3y x =, n 为自然数，则() n y =3sin(3)2 n x n π + 5． 设,sin cos t x te y t t ?=?? =+?? 则0 t dy dx == 1 6． 2 222 cos (cos )1cos x x x dx x π π- +=+? 2π 7． 设()f x '连续，则()sin cos xf x dx '=? (cos )f x c -+ 8.已知0 ()arcsin x g x tdt = ? , 则0g '（ ）= 0 9. 微分方程1 y y x x '- =的通解是y =()x c x + 10. 微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y =1x
北京工业大学2013—2014学年第二学期 《高等数学(工)—1》重修考试试卷 考试说明：考试日期: 2014年5月17日、考试时间：95分钟、考试方式：闭卷 承诺： 本人已学习了《北京工业大学考场规则》和《北京工业大学学生违纪处分条例》，在考试过程中自觉遵守有关规定和纪律，服从监考教师管理，诚信考试，做到不违纪、不作弊、不替考，若有违反，愿接受相应处分。 承诺人： 学号： 班号： 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 注：本试卷共 三 大题，共 6 页，满分100分，考试时必须使用卷后附加的统一答题纸和草稿纸。 卷 面 成 绩 汇 总 表（阅卷教师填写） 题 号 一 二 二 三 总成绩 满 分 36 52 12 得 分 一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1.=-→x x x sin 1 ) 1(lim ______________________ 2.函数2 1 sin )2sin(1 21211--++-= x x y x x 的跳跃间断点为_______________ 3.设参数方程???==t y t x 3 3cos sin 确定了函数)(x f y =，则=x y d d __________________ 4.设函数)(x f y =由方程y x x y =所确定，则=x y d d ____________________ 5. 曲线(23)ln(12) (3) x x y x x ++= -的水平渐近线为______________________ 6.设函数)(x f y =由方程y xe y +=1所确定，则==0 d x y ______________________ 得 分
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就业薪酬比较高的城市有：乌鲁木齐[10564元]、日照[8999元]、盐城[7999元]、赤峰[7184元]、蚌埠[6999元]、乌海[6624元]、中山[6132元]、 嘉兴[5584元]、唐山[5332元]、普洱[4999元]、马鞍山[4924元]等。 6、同类专业排名 信息安全专业在专业学科中属于理学类中的电子信息科学类，其中电子信 息科学类共9个专业，信息安全专业在电子信息科学类专业中排名第1，在整 个理学大类中排名第4位。 在电子信息科学类专业中，就业前景比较好的专业有：信息安全，材料化学，材料物理，微电子学，光电子技术科学，电子信息科学与技术，信息科学 技术，光信息科学与技术，科技防卫等 培养目标： 本专业是计算机、通信、数学、法律、管理等学科的交叉学科，主要研究 确保信息安全的科学与技术。培养能够从事计算机、通信、电子商务、电子政务、电子金融等领域的信息安全高级专门人才。 主要课程： 信息安全专业的专业核心课程由基础数学类课程、计算机主干课程、信息 安全类课程三类组成，主要包括以下内容：数学分析、线性代数、集合与图论、代数与逻辑、概率与数理统计;数据结构、计算机原理、操作系统、计算机网络基础、网络访问控制、程序设计工具类课程;信息安全数学基础、信息安全体系、操作系统安全分析、密码学、安全协议、信息论与编码。除上述专业课外还开 设了大量专业选修课，主要有：应用安全入门、网络安全技术入门、数据通信 原理、信息安全法律基础、计算机网络安全管理、数字鉴别及认证系统、网络 安全检测与防范技术、防火墙技术、病毒理论与防治技术、网络安全协议与标 准等。随着信息安全技术的发展，将增设相关课程。 专业要求： 视力无“全色盲” 更多相关文章推荐： 1. 201X信息安全专业就业前景 2. 201X信息安全专业大学排名 3. 201X年北京工业大学各专业录取分数线 4. 201X专业就业前景好的专业
A题：寻找丢失的飞机 马航MH370失联事件已过去一年多了，但到目前为止，失事飞机仍然没有找到，这给飞行安全带来巨大的阴影。寻找丢失飞机，确定失事原因是确保飞行安全的重要工作。 假设某架飞机正从A点飞往B点，可能坠落在某个开阔水域（如大西洋、太平洋、印度洋等），并假设坠落飞机不发出任何信号。请你建立一般的数学建模，帮助搜救飞机尽快地找到失事飞机。 在建立模型过程中，你需要定义模型所需的某些概念：如飞机的所在位置、飞行航线、坠落之前收到的雷达信号和相应的时间等。你应该认识到：需要搜救的飞机会有不同类型，也会有不同类型的搜索飞机，或者使用不同的电磁波或传感器等。你还需要指定有可能发现失事飞机的搜索模式，请注意：100%或接近100%发现失事飞机的搜索模式是不切合实际的。 在模型建立之后，请用仿真（或模拟）的方法评价你模型搜索成功的概率，这个概率不应只是一个简单的数值，可能是一个区间，还要有说明该成功率的理由。你还应该完成模型检验和敏感性分析等工作，也就是在不同的初始条件，你提出的搜索模型对搜索结果的影响。 完成上述工作之后，根据你们的计算结果，写一份简短非技术报告，向公众说明你们的搜救方案。
B题：乘用车物流运输计划问题 整车物流指的是按照客户订单对整车快速配送的全过程。随着我国汽车工业的高速发展，整车物流量，特别是乘用车的整车物流量迅速增长。图B.1、图B.2和图B.3就是乘用车整车物流实施过程中的画面。 乘用车生产厂家根据全国客户的购车订单，向物流公司下达运输乘用车到全国各地的任务，物流公司则根据下达的任务制定运输计划并配送这批乘用车。为此，物流公司首先要从他们当时可以调用的“轿运车”中选择出若干辆轿运车，进而给出其中每一辆轿运车上乘用车的装载方案和目的地，以保证运输任务的完成。“轿运车”是通过公路来运输乘用车整车的专用运输车，根据型号的不同有单层和双层两种类型，由于单层的轿运车在实际运输中很少使用，本题仅考虑双层轿运车。双层轿运车又分为三种子型：上下层各装载1列乘用车，故记为1-1型（见图B.1）；下、上层分别装载1、2列，记为1-2型（见图B.2）；上、下层各装载2列，记为2-2型（见图B.3），每辆轿运车可以装载乘用车的最大数量在6到27辆之间。 在确保完成运输任务的前提下，物流公司追求降低运输成本。但由于轿运车、乘用车有多种规格等原因，当前很多物流公司在制定运输计划时主要依赖调度人员的经验，在面对复杂的运输任务时，往往效率低下，而且运输成本不尽理想。请你们为物流公司建立数学模型，给出通用算法。 装载具体要求如下：每种轿运车的上、下层装载区域均可等价看成长方形，各列乘用车均纵向摆放，相邻乘用车之间纵向及横向的安全车距均至少为0.1米，下层力争装满，上层两列力求对称，以保证轿运车行驶平稳。受层高限制，高度超过1.7米的乘用车只能装在1-1、1-2型下层。轿运车、乘用车规格（第3问见附件1和附件2）如表B.1和表B.2所示。 表B.1 轿运车规格 轿运车的类型上下层长度(米) 上层宽度(米) 下层宽度(米) 1-1 19 2.7 2.7 1-2 24.3 3.5 2.7
北京工业大学2006-2007学年第二学期期末线性代数（工）课程试卷（A ） 一、填空题 1. 0 1000 1100 --=_____________________ 2. 设n 阶方阵A 满足2110A A E --=，则2A E -可逆，且1(2)_________________A E --= 3. 设A 为2阶可逆方阵，*A 为A 的伴随矩阵，若2A =，则*13_____________________A A --= 4. 设A 、B 均为n 阶方阵，若AB E =，则2______________E BA E -= 5. 设向量组123,,ααα和12,ββ满足1122123 1247573αββαββαββ=+??=-+??=-?，则向量组123,,ααα必线性_____关 6. 设A 为6阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，若秩()5r A =，则齐次线性方程组* 0A X =的基础解系中含有解向量 的个数为__________________________ 7. 设矩阵31223815a a a ?? ?+- ? ??? ，B 为3阶非零矩阵，且0AB =，则a=________________ 8. 设13λ=，22λ=是实对称矩阵A 的特征值，(1,2,1)T t α=+，(3,1,1)T t β=-+是分别属于3，2的特征向量， 则t=__________________ 9. 矩阵102102001?? ???? ? ? ? ??? 的逆矩阵是_____________________________ 10. 二次型112323213(,,)5 15331x x x x x x -???? ??? ??? ???--???? 的正惯性指数与负惯性指数之和是________________ 二、单项选择题 1. 矩阵211121112--?? ?-- ? ?--??和200020002?? ? ? ??? 的关系是 【 】 A. 既合同又相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同又不相似 2. 1234,,,αααα线性相关，2345,,,αααα线性无关，则 【 】 A. 1235,,,αααα线性相关 B. 1235,,,αααα线性无关
多元分析实验 1.回归分析 为估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立一个观测站，测量最大积雪深度X（米）与当年灌溉面积Y（公倾），测得连续10年的数据如表6.1所示。 （1）建立一元线性回归模型，求解，并验证系数、方程或相关系数是否通过检验； （2）现测得今年的数据是X=7米，给出今年灌溉面积的预测值、预测区间和置信区间（a=0.05）; （3）将数据散点、回归预测值、回归的预测区间和置信区间均画在一张图上，分析线性回归的拟合情况。 解答: (1)根据题意有R程序如下： X<-c(5.1,3.5,7.1,6.2,8.8,7.8,4.5,5.6,8.0,6.4); Y<-c(1907,1287,2700,2373,3260,3000,1947,2273,3113,2493); lm.sol<-lm(Y~1+X) summary(lm.sol) 运行结果如下： Call: lm(formula = Y ~ 1 + X)
Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -128.591 -70.978 -3.727 49.263 167.228 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 140.95 125.11 1.127 0.293 X 364.18 19.26 18.908 6.33e-08 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 96.42 on 8 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9781, Adjusted R-squared: 0.9754 F-statistic: 357.5 on 1 and 8 DF, p-value: 6.33e-08 > summary(lm.sol,correlation = T,symbolic.cor = F) 运行结果如下： Call: lm(formula = Y ~ 1 + X) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -128.591 -70.978 -3.727 49.263 167.228 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 140.95 125.11 1.127 0.293 X 364.18 19.26 18.908 6.33e-08 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 96.42 on 8 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9781, Adjusted R-squared: 0.9754 F-statistic: 357.5 on 1 and 8 DF, p-value: 6.33e-08 Correlation of Coefficients:
北京工业大学2010-2011学年第1学期开学初 线性代数(工) 补考试卷 考试方式：闭卷 考试时间：2010年 08月 日 学号 姓名 成绩 注：本试卷共8大题，满分100分. 得分登记（由阅卷教师填写） 一. 填空题（每小题3分，共30 分）. 1. 行列式21 22 10 3 x x x --的完全展开式中，3x 的系数是 2. 设n 阶方阵A 满足：2 0A A E -+=，E 是n 阶单位矩阵，则A E +可逆，且 1()A E -+= 3. 设A 是3阶实方阵。,,2A A E A E --均不可逆。则行列式2A A E -+= 4. 010101010011010011101-?????? ??? ?= ??? ? ??? ?-?????? 5. 如果三维列向量组123{,,}ααα和12{,}ββ满足112 2 23 12 223αββαβαββ= -?? =-??=+?，则矩阵()12 3,,ααα的行列式()123,,ααα= （要求填具体数字） 6. 设矩阵13101 112202 A a -?? ? ? = ?- ??? ，B 是3阶非零矩阵，且0AB =，则=a 7. 设A 为5阶方阵。若秩()2r A =，则齐次线性方程组0AX =的基础解系中含有解向 量的个数为
8. 设121,1λλ=-=是实对称矩阵A 的特征值，(1,1,1),(,2,1)T T t t αβ=-+=- 是分 别属于1,1-的特征向量，则t = 9. 若矩阵0cos sin sin a b c e d θ θθ?? ? ? ?? ? 是正交矩阵，且0b <，则1A -?? ?= ? ??? 10. 二次型112323131(,,)512120x x x x x x -???? ??? - ??? ???--???? 的正、负惯性指数之和= 二. 单项选择题（每小题3分，共15分）。将正确答案的字母填入括号内。 1. 矩阵 011101110--?? ? -- ? ?--?? 和 100020001?? ?- ? ??? 的关系是 【 】 （A ） 合同但不相似 （B ） 相似但不合同 （C ） 合同而且相似 （D ） 既不合同又不相似 2. 若0,1-是实对称矩阵A 的特征值，123,,ααα是A 的属于0的一个特征向量组， 12,ββ是A 的属于1-的一个特征向量组， 则 【 】 (A) 121,,ααβ一定是线性无关向量组 （B ） 12,αβ一定正交 （C ） 121,,ααβ一定是线性相关向量组 （D ） 前三个选项都不正确 3. 设n 阶实对称矩阵A 满足9 0A =（其中9n <）， 那么，下列陈述中不正确的是 【 】 （A ） A 的特征值是零 （B ） 0A ≠ (C) A 可以相似对角化 （D ） A E +是可逆矩阵 4. 下列陈述中不正确的是 【 】 （A ）初等矩阵的行列式都是正数 （B ）若实方阵A 的行列式1A <-，则1 T A A -≠ （C ）有些初等矩阵的逆矩阵是其本身（D ）实方阵A 及其伴随矩阵* A 满足* AA A E = 5. 如果2 0000 1010010010a a ?? ? ? ?- ? -?? 是实正定矩阵，则 【 】 （A ）1a >- （B ） 1a <- （C ）1a = （D ）a 可以是任何负实数
2013年北京工业大学865高等代数考研真题 一、填空题（写出正确答案，本题共25分，每小题5分） 1．如果实方阵 110011001A -?? ?=- ? ???，则n A = 。 2．已知n （自然数1n ≥）阶方阵J 的所有元素都是1-；()ij n n A a ?=中除了nn a 外， 其余元素 0ij a =。如果J 和A 相似，则nn a = 。 3．一个n 阶行列式D 的元素由 ()max ,ij a i j =给定，则D = 。 4．设α为3维列向量，T α是α的转置，如果121242121T αα-?? ?=-- ? ?-??，则T αα= 。 5．设R 为实数域，集合|,,,u v u T v x y x u v x y R u x u ?????? ?=+∈?? ??? ?????关于矩阵的加法和数乘构 成R -线性空间，则T 的一组基为 ，维数是 。 二、选择题（将正确答案的选项填入括号中，本题共25分，每小题5分） 1．设,A B 均为n 阶矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ?? ???的伴随矩阵为（ ）。
A ．3(1)2n O B A O **??- ??? B ．2(1)3n O B A O **??- ??? C ．23O B A O **?? ??? D ．32O B A O **?? ?? ? 2．设,A P 均为3阶矩阵，且1100010002P AP -?? ?= ? ???，若()123,,P ααα=， () 1123,,Q αααα=+，则1Q AQ -=（ ）。 A ．210110002?? ? ? ?? ? B ．110120002?? ? ? ??? C ．100010002?? ? ? ?? ? D ．100020002?? ? ? ?? ? 3．设向量组12I:,,,r ααα可由向量组12II:,,,s βββ线性表示，则（ ）。 A ．当r s <时，向量组II 必线性相关 B ．当r s >时，向量组II 必线性相关 C ．当r s <时，向量组I 必线性相关
1 数学建模入门 学号： 姓名： 邮箱： 手机： 1.1实验目的与要求 数学建模入门，体会数学建模的意义，学会换角度思考问题。 1.2 基本实验 1. 椅子放平问题 依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。解答: 一、模型假设 对椅子和地面在符合日常生活的前提下，做出如下假设： （1）椅子：四条腿长相同，并且四脚的连线呈长方形。 （2）地面：略微起伏不平的连续变化的曲面。 （3）着地：点接触，椅子在地面任意位置至少有三只脚同时着地。 上述假定表明长方形椅子是正常的，排除了地面有坎以及有剧烈升降等异常情况。 二、模型建立 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同
时着地表示出来。 首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动,通常有拖动或转动椅子两种办法把椅子放稳，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。 注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。 如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置。 用θ表示椅子旋转后的位置 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的连续函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是
数学建模作业7&8 基本实验 解：（1）根据题意使用interval estimate()函数进行区间估计，编写R程序如下：X <- c(1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948) interval_estimate(X) 运行结果为： mean df a b 1 997.1 9 902.9965 1091.203 根据运行结果可知，这种灯泡的使用寿命的均值为997.1小时，置信系数为0.95的置信区间为[902.9965,1091.203]，因此这批灯泡中大约95%的灯泡至少使用902.9965小时。 （2）编写R程序如下： pnorm(1000,mean(x),sd(X)) 运行结果为： [1] 0.5087941 根据运行结果可知，这批灯泡能够使用1000小时以上的概率为50.87941%。 解：题中给出了正常男子的血小板计数均值为μ0=225×109/L。我们可以假设血小板的计数分布服从正态分布。那么从事油漆作业工人的血小板计数就是均值μ和方差σ2未知的正态分布。可以根据题中给出的20名男子的血小板计数值，估计出从事油漆作业工人的平均血小板计数值μ1。然后对比正常男子和从事油漆作业男子的血小板计数值，来判断油漆作业对人体血小板计数是否有影响。 这里可以使用函数t.test()做单个正态总体的单边检验。 假设H0:μ1<μ0，H1:μ1>μ0。
编写R程序如下： X<-c(220,188,162,230,145,160,238,188,247,113,126,245,164, 231,256,183,190,158,224,175) t.test(X, alternative = "greater", mu = 225) 运行结果为： One Sample t-test data: X t = -3.4783, df = 19, p-value = 0.9987 alternative hypothesis: true mean is greater than 225 95 percent confidence interval: 175.8194 Inf sample estimates: mean of x 192.15 由运行结果可知，p-value=0.9987>0.05，不能拒绝原假设，接收H0，即认为油漆作业工人的血小板计数均值小于正常男子的血小板计数均值。而在运行结果中，得到油漆作业工人的平均血小板计数值为192.15，对比可知μ1<μ0。所以油漆工人的血小板计数要低于正常成年男子，油漆作业会减少人体血小板计数。 解：（1）方差相同的t检验： 即：σ12=σ22，根据题意，假设H0:μ1<μ2，H1:μ1>μ2。 编写R程序如下： X<-c(-0.70, -5.60, 2.00, 2.80, 0.70, 3.50, 4.00, 5.80, 7.10, -0.50,2.50, -1.60, 1.70, 3.00, 0.40, 4.50, 4.60, 2.50, 6.00,
数学建模作业3 线性规划和整数规划实验： 1生产计划安排： 某厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力，材料等有关数据如下： 产品，消耗定额，资源 A B C 可用量（单位） 劳动力 6 3 5 45 材料 3 4 5 30 产品利润（元/件） 3 1 4 要求： （a）确定获利最大的产品生产计划； （b）产品A的利润在什么范围内变动时，上述最有计划不变； （c）如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位0.4元，问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜 （d）如果设计一种新产品D，单件劳动力消耗为8单位，材料消耗为2单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产？ 解：max 3x1+x2+4x3 !利润最大值目标函数 x1,x2,x3分别为ABC的生产数量 st !限制条件 6x1+3x2+5x3<45 !劳动力的限制条件 3x1+4x2+5x3<30 !材料的限制条件 end !结束限制条件 把上面的语句直接复制到lindo中点solve,可以得到以下结果 1.生产产品A5件,C 3件可以得到最大利润,27元 2.A利润在2.4-4.8元之间变动,最优生产计划不变 3.max 3x1+x2+4x3 st 6x1+3x2+5x3<45 end 可得到生产产品B 9件时利润最大,最大利润为36元,应该购入原材料扩大生产,购入15个单位 4.max 3x1+x2+4x3+3x4 st 6x1+3x2+5x3+8x4<45 3x1+4x2+5x3+2x4<30 end gin x1 gin x2 gin x3 gin x4
利润没有增加,不值得生产 2工程进度问题： 某城市在未来的五年内将启动四个城市住房改造工程.每项工程有不同的开始时间，工程周期也不一样.表3.1提供这此项目的基本数据. 工程1和工程4必须在规定的周期内全部完成.必要时，其余的二项工程 可以在预算的限制内完成部分.然而，每个工程在它的规定时间内必须至少完成25%.每年底，工程完成的部分立刻入住，并目实现一定比例的收入.例如，如果工程1在第一年完成40%，在第三年完成剩下的60%，在五年计划范围内的相应收入是0.4 x 50(第二年)+0.4 x 50(第三年)+ }0.4+0.6) x 50(第四年)+ (0.4+0.6) x 50(第五年)=(4x0.4+2x0.6)x50(单位:万元).试为工程确定最优的时间进度表，使得五年内的总收入达到最大. 解：设某年某工程的完成量为Xij，i表示工程的代号（i=1，2，3），j表示年数（j=1，2，3，4，5）如第一年工程1完成X11，工程3完成X31，到第二年工程已完成X12，工程3完成X32。另有一个投入与完成的关系，既第一年投入总费用的40%，该工程在年底就完成40%。 工程1利润： 50 × X11+50 × (X11+X12)+50×(X11+X12+X13)+50×(X11+X12+X13) 工程2利润： 70×X22+70×(X22+X23) +70×(X22+X23+X24) 工程3利润： 150×X31+150×(X31+X32)+150×(X31+X32+X33) +150×(X31+X32+X33+X34) 工程4利润： 20×X43+20×(X43+X44) Max ( 50 ×X11+50 ×(X11+X12)+50×(X11+X12+X13)+50×(X11+X12+X13))+ (70×X22+70×(X22+X23) +70×(X22+X23+X24))+( 150×X31+150×(X31+X32)+150×(X31+X32+X33) +150×(X31+X32+X33+X34))+( 20×X43+20×(X43+X44)) s.t. 5000×X11+15000×X31=3000 5000×X12+8000×X22+15000×X32=6000 5000×X13+8000×X23+15000×X33+1200×X43=7000