封一
本科毕业论文（设计）
初中数学最值问题解法
学生姓名：黄炜清
学号：11550505059
系院：广东第二师范学院
专业：数学系
指导教师：曾小宁副教授
提交日期：2014年4月10日
封二
毕业论文基本要求
1．毕业论文的撰写应结合专业学习，选取具有创新价值和实践意义的论题。
2．论文篇幅一般为理科以3000至5000字为宜。
3．论文应观点明确，中心突出，论据充分，数据可靠，层次分明，逻辑清楚，文字流畅，结构严谨。
4．论文字体规范按《广东第二师范学院本科生毕业论文管理办法（试行）》和“论文样板”执行。
5．论文应书写工整，标点正确，用微机打印后，装订成册。
本科毕业论文（设计）诚信声明
本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
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时间：年月日
关于论文（设计）使用授权的说明
本人完全了解广东第二师范学院关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：
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学生签名：
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摘要
在日常生活中我们经常会被问到“消耗最多原料”“花费最少费用”“距离最短的线路”“面积最大的方案’’等问题，这类问题在初中数学中也经常会看到，它们又叫叫最值问题。
最值问题是初中数学的一项重要内容。最值又可分为最大值和最小值。由于最值问题的涉及范围广，知识点多，综合性强，题型丰富多样，解答灵活多变，它涵盖初中数学的方方面面。并且最值问题贴近生活实际，在生产和生活实际中经常用到。有利于考察学生的分类讨论，数形结合和转化化归能力。
最近几年最值问题也经常出现在中考数学题中。求最值问题的解法是初中数学学习的一个要点，它渗入到数学的各个领域当中。本文结合具体实例，从中归纳总结出初中最值问题的几种常用解法。
[关键词]初中数学；最值问题；解法
Abstract
In daily life we are often asked to "consumption" up to "spend the least" "shortest distance" and "the minimum power '' and other issues, these problems are often encountered in mathematics of junior high school, they are called the most value problem.
The most value problem is an important content of the junior middle school mathematics. The value can be divided into the minimum and maximum values. Because the most value problem involving a wide range, knowledge points, comprehensive, more answers to questions, flexible, it covers all aspects of mathematics in junior middle school. And the most value problem close to real life, often used in production and life practice. To discussion the students, the combination and transformation ofadaptation. In recent years the mostvalue problems often appear in the senior high school entrance examination inmathematics. Method for seeking the most value problem is one of the most difficult partsof junior high school mathematics, mathematics in various fields it into the. In this paper, combined with specific examples, summarized from the values of junior high schoolseveral solutions to the problems.
[Key Words]：Junior high school mathematics; the most value problem; solution
目录
摘要..........................................................................................I Abstract....................................................................................II 1、绪论 (1)
1.1研究背景 (1)
1.2初中最值考点 (1)
2、最值问题的解题方法 (2)
2.1运用配方法求最值 (2)
2.2运用基本不等式求最值 (3)
2.3利用判别式法求最值 (5)
2.4数形结合法求最值 (5)
2.5运用对称性求最值问题 (6)
2. 6一次函数的最值问题 (7)
2. 7二次函数的最值问题 (8)
致谢 (27)
初中数学最值解法
引言
“最值问题”又可分为“最大值”和“最小值”问题，最值问题的题目多种多样，解题方法也多样。
1. 绪论
1.1 研究背景
初中最值问题贯穿整个初中数学的学习过程，而且在中考中占据着非常重要的位置，初中数学最值的问题形式多样，而它的解法也灵活多变，是初中生在数学学习中经常碰到的又非常难明白的一类问题。在《数学课标》中了解到要在特定的数学活动中让学生获得一定的生活经验，在初中数学学习最值问题过程中，求“花费最少”“时间最短”等最值问题的解法无不联系生活实际，让学生不仅掌握数学知识，而且又解决生活问题。
1.2初中最值考点
最值问题的解法一直是初中数学学习的重要内容，而且是一类综合性较强的问题，在人类学习数学的过程中存在，在各个城市的中考数学压轴题中经常出现。初中最值问题主要考验学生在平时学时中对基础知识的综合运用，无论是在代数问题中还是在几何问题中都存在解决最值的题目，总结了一下最值问题在这几年在中考压轴题中出现频率比较高的类型。我发现主要集中在几何类题型。通常要利用重要的几何结论，例如两点间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等性质。还有利用一次函数和二次函数的性质求最值
2.最值问题的解题方法
初中最值问题的解题的思路和方法多种多样，不同的问题有不同的解法，需要学生具有敏锐的观察能力和灵活的头脑。但数学学习“万变不离其宗”。求最值问题亦是求值问题。那么求最值问题即是求结果的问题。下面通过解答几种初中最常见的最值问题，以下介绍几种初中最值问题的常见解法。
2.1运用配方法求最值
2.1.1 概述
通常说到解最值问题的解法，其中一种重要的种方法是配方法。当我们遇到二次多项式，一元二次方程，而且它的未知量是任意时。我们可以通过配方法来解答。配方法求最值的思路是张问题配成若干个完全平方的式子。通常以求问题的最小值为主，主要考察学生的观察与计算能力为主。
2.1.2例题
例如：1，设x为实数，方程;y=3x2+12x+6的最小值为_______。
解：
y=3x2+12x+6
=3(x2 +4 x+2+2-2)
=3（x2 +4 x+4）-6
=3（x+2）2－6
显见，当x=－2，y有最小值-6。
例如;2,若x,y是实数，则x2+4y2－4xy+2015的最小值是。原式=
x2+4y2－4xy+2015
=( x 2+4y 2－4xy)+2015 =( x-2y) 2 +2015
显然有 (x-2y)2≥0,所以 当x-2y=0,时 ,得代数式的值最小， 最小是2015
2.2运用基本不等式求最值
2.2.1概述
虽然初中数学书本没有关于基本不等式的知识点，但是在初中数学教学中，数学老师通常会在学生最值问题中让同学掌握基本不等式。当我们遇到两数积为定值，求两数平方和的最小值这类问题，可以考虑利用不等式“222a b ab +≥或
a b +≥a>0,b>0）
，此两不等式当且仅当a b =时取等号”「1」的性质来求解。但要运用这结论要注意，要求各个数必须均为正值，而且“和”或“积”是定值，还要注意是否具备等号条件。在初中学习运用不等式解最值有一首顺口溜：学会基本不等式，灵活运用的关键，添减项，配系数，“1”的代换别忘记，“一正二定三相等”格式规范定切记；千变万化不等式，透过现象看本质。此类问题灵活多变，主要考察学生对不等式性质的理解和掌握。常出现于选择题，填空题和应用题。
2.2.2例题
例如: 1，若xy=5,那么代数式
4
441
1y
x +的最小值是 。 分
44411y x +=2
222222)
(1
21·1·2)21()1(xy y x y x =≥+=25 所以：4
441
1y x +的最小值是25
例如2;如图所示，某动物园要围成面积相同的长方形狮子笼四间，有一面可以利用围墙，其他的几面用钢筋网围住．
问：（l）现在有可以围成36m长的网的原材料，当每间狮子笼的长与宽各为多少时，可以让每间狮子笼的面积最大？
（2）如果要让每间狮子笼的面积为24m2，则每间狮子笼的长与宽各为多少时，可以让围成四间狮子笼的钢筋网的总长度最小？
答：（1）设每间狮子笼的长为x m，宽为y m，由题意可知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18．设每间狮子笼的面积为S，则S＝xy．
由于，
∴，得出.
即可知，当且仅当时，等号成立．
由，解得．
故每间狮子笼的长为4.5m，宽为3m时，可以让每间狮子笼的面积最大．
（2）由题意可知：.
设钢筋网的总长度为l，则.
∵.
∴.
当且仅当时，等号成立．
由，解得.
故每间狮子笼的长为6m ，宽为4m 时，可以让围成四间狮子笼的钢筋网的总长度最小．
2.3利用判别式法求最值
2.3.1概述
当我们遇到要求最大值与最小值的题目时，看起来毫无头绪，直接求解可能较困难，但是我们可以根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；然后再根据x 是实数，利用方程的判别式，推得?≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。这种问题的解题方法又叫做判别式法。这类问题主要用于解答分式型二次函数。
2.3.2例题
例如 1，：求x x x x 221
1
-+++的最大值与最小值。
解：设x x x x y 22
1
1
-+++=，整理得x x yx yx y 221-+=++ 即()()11102--++-=y x y x y 因为x 是实数，所以?≥0 即()()141022+--≥y y
解得1
3
3≤≤y
所以x x x x 221
1
-+++的最大值是3，最小值是13。
2.4数形结合法求最值
2.4.1概述
当我们在阅读题目时发现一些代数问题条件中的有数量联系有明显的几何意义的时候，或者看到以某种形式与几何图形有所关联的时候，那么我们可以通过作出和其相关的几何图形，将代数的问题中的条件及数量关系可以醒目的一一
在图形中表现出来，再而转化成利用几何关系来求解问题。
2.4.2例题
例如:1，求16)8(422+-++x x 取最小值的实数x 的值为 .
解：16)8(422+-++x x
=2222)40()8()20()0(-+-+-+-x x .
然后构造如图所示的图像。作A （0，2）关于x 轴的 对称点A ′(0,-2),,设直线A ′B 的解析式为y=kx+b,
则???=+-=+8820b k b k 解得???
??-==2
43b k 所以24
3-=
x y ,令y=0,得38
=x .
即C 点的坐标是，x x ， x 有最小值时
所以当16)8(43
8
),0,38(22+-++= 2.5运用对称性求最值问题
2.5.1概述
在初中数学的学习中，经常会遇到一些求两条线段之和最小的题目，学生会感到找不到思路，其实它是利用轴对称求距离最短的变形，这类这题涉及的知识面广，综合性强，解答起来有一定的难度。其实运用轴对称的性质解决最值问题初中最值问题运用对称性解最值主要借助两个基本的定理：一个是“两点之间线段最短”的定理，另外一个就是运用“三角形两边之和大于第三边的定理”解答的。
2.5.2 例题
例如:１、如图，菱形ABCD 中，AB ＝6cm ，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小最是
解：由菱形的对角线互相垂直平分性质可知：点Ｂ与点Ｄ关于对角线ＡＣ对称。
因为Ｐ在对角线ＡＣ上运动，所以ＰＢ＝ＰＤ。
如果要求PE+PB 的最小最， 也就是要求PE+PD 的最小值。 连接ＤＥ交ＡＣ于点1P ，由图可知，PE+PB= PE+PD=DE 而且DE 就是PE+PB 的最小值 又因为∠BAD ＝60°，ＡＥ＝2
1
ＡＤ，Ｅ为ＡＢ的中点， 所以ＤＥ⊥ＡＢ， 而ＡＢ＝ＡＤ＝6cm ，
所以ＤＥ＝33cm ，即P Ｄ+PB 的最小值为33cm
例如：２、如图，∠ＡＯＢ＝４５°，且∠ＡＯＢ角内有一点Ｐ，ＯＰ＝１2，在角的两边上有两点Ｑ、Ｒ（两点均不同于点Ｏ），则△ＰＱＲ的周长的最小值为
解 ：作Ｐ关于ＯＡ，ＯＢ的对称点1P ，2P 。 连接1P 2P ，分别交ＯＡ，ＯＢ于Ｑ，Ｒ。 如图所示，再连接ＰＱ，ＰＲ。 由题可知 1P Ｑ＝ＰＱ，2P Ｒ＝ＰＲ， 所以△ＰＱＲ的周长＝1P Ｑ+ＱＲ+2P Ｒ。 根据两点之间线段最短的定理， △ ＰＱＲ的周长＝1P 2P ， △ 而∠ＰＯＡ＝∠1P ＯＡ， ∠ＰＯＢ＝∠2P ＯＢ， 且ＯＰ＝Ｏ1P ＝Ｏ2P ＝12， 又因为∠ＡＯＢ＝４５°， 所以∠1P Ｏ2P ＝９０°
Ｐ
Ｏ
Ｂ
Ａ Ｑ
Ｒ
2P
1P
即△1P Ｏ2P 为等腰直角三角形，故△ＰＱＲ的周长的最小值为12√2
2.6一次函数的最值问题
2.6.1概述
“求一次函数的最值问题”的过程不仅是一次函数的具体应用,更是体验数学与生活实际紧密相联的体现。在数学解题中或是在生活中，经常会遇到什么时后可以获得最大利润?获得的最大利润是多少?这只是其中一个生活与学习联系的问题。在解题这种问题的过程中,我们应该将生活实际问题转化成数学解题问题,然后构建起目标函数,通过一次函数的性质，如一次函数的增减性。便可使问题顺利的得到解决.
2.6.2例题
例如：1，某生姜生产基地丰收收获生姜300吨。经市场调查，可采用批发、零售、粗加工后销售，并按这三种方式销售，计划每吨的售价及成本如下表：
如果经过一段时间，生姜按照计划全部售出后获得利润为y （元）生姜x （吨），且零售是批发量的1/3
问：（1）求y 与x 之间的函数关系；
（2）由于受条件限制经粗加工的生姜最多100吨，求该生产基地计划全部售完生姜获得最大利润。
答：（1）由题意可知，批发生姜3x 吨，粗加工后销售（300-4x ）吨 则y=3x(4000-1000)+x ·（6000-2000）+（300-4x ）·（9000-3000） =-6800x+860000，
（2）由题意得 200-4x ≤80 解之得 x ≥30 ∵-11000x+1800000 -6800＜0 ∴y 的值随x 的值增大而减小
当x=50时，y 最大值=-6800+860000=656000元
例如：2、某酒店有200个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间
会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客
居住的每个房间每天支出50元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于340
元。设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；
(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；
(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
解：(1) y =50-
101
x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。 (2) W =(50-101x )(180+x -20)= -101
x 2+34x +8000；
(3) W = -101x 2+34x +8000= -10
1
(x -170)2+10890，当x <170时，W 随x 增大
而增大，但0≤x ≤160，
∴当x =160时，W 最大=10880，当x =160时，y =50-
10
1
x =34。答：一天订住34个房间时，个房间时， 宾馆每天利润最大，最大利润是10880元
2.7二次函数的最值问题
2.7.1概述
对于某些与二次函数有关联的生活实际问题，如果利用二次函y=a x 2+bx+c
（a≠0）的图象与性质，将实际问题抽象构建为二次函数的数学模型，建立二次函数的关系式，应用二次函数最值性质，解决生活中遇到的最值问题。要注意函数的定义域。
2.7.2例题
例如;1,某商场购进一批单价为10元的商品,如果以单价15元销售,那么一个月内可以售出1000件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售
单价每提高1元,销售量相应减少50件.售价提高多少元时,才能在一个月内获得最大利润?
解：设售价提高x元时，一月内获得的利润为y元.则
y=(x+15-10)(1000-50x)
=-50x2+750x+5000
=-50(x-15)2+2187.5
∴当x=15时，y最大=2187.5
答：当售价提高15元时，一个月内可获最大利润2187.5元
例如：2，如图，有长为36米的篱笆，利用一面墙（墙的长度不超过12米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AD）的矩形花圃。设花圃的一边AD为x米，面积为S平方米。
（1）求S与x的函数关系式；
大的面积；如果不能，请说明理由。
解：（1）由题可知，AD为x,所以AB为36-3x,面积
S=x(36-3x),
S=-3 x2+36x
(2)花圃的面积公式为S=﹣3x2+36x，
配方; S=﹣3x2+36x
=﹣3（x2﹣12x）
=﹣3（x﹣6）2+108
因为36-3x﹥0得x＜12
又因为围墙不超过12米，则36-3x≤12，则x≧8
可得8≤x＜12
∵8≤x＜12时，S有最大值，且当x=8时，方程s=﹣3（x﹣6）2+108=108﹣3(8﹣6）2=96这时有最大面积96平方米
,
致谢
在本文完成之际，谨向我的导师曾小宁副教授致以衷心的感谢，本论文是在他的精心指导和关怀下完成的，从论文的选题、方案设计，到论文的撰写和修改，都倾注了曾小宁老师的心血和汗水，在学习期间，他的言传身教将使我终生受益，他认真严谨的治学态度、豁达宽广的胸怀、平易近人的处事风格是我一生的楷模，值此提交论文之时，在此向我敬佩的曾小宁导师表达衷心的感谢！