成都七中2013-2014学年上期 2014级半期考试数学试卷（文科）
考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：张世永 审题人：杜利超
一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）
1．已知全集U=R ，集合A={}
13>x x ，B={}0log 2>x x ，则A ∪B=（ ） A ．{}0>x x
B ．{}1>x x
C ．{}10< D ．{}0 2．“函数2)(-=kx x f 在区间[]1,1-上存在零点”是“3≥k ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知1tan()2πα+= ，则sin cos 2sin cos αααα -+=（ ） A ． 4 1 B ．21 C ．4 1 - D ．2 1 - 4．定义运算bc ad d c b a -=，则函数32cos 1 2sin )(x x x f =的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ． 2 π 5．函数3)1()(2---=x a ax x f 在区间[)∞+-,1上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．??? ? ? ∞-31, B ．(]0,∞- C ．?? ? ??31,0 D ．?? ????31,0 6．已知函数m x x x f +-=3)(3只有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,2- B ．{}2,2- C ．()2,2- D ．(]2,-∞-∪[)∞+,2 7．ΔABC 中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且A B b a cos cos =，A 、B 、 C 成等差数列，则角C=（ ） A ．3 π B ． 6 π C ． 6π或2 π D ． 3π或2 π 8．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=-，)()4(x f x f -=-，且在区间[]2,0上是减函数．若方程k x f =)(在区间[]8,8-上有四个不同的根，则这四根之和为（ ） A ．±4 B. ±8 C ．±6 D ．±2 9．若函数1)(2++=mx x x f 的值域为[)∞+，0，则m 的取值范围是( ) A ．}{2,2- B ．{}22≤≤-m m C ．{}2,2≥-≤m m m 或 D ．{}22<<-m m 10．已知函数?????<-+-+≥-+=) 0() 3()4()0() 1()(2 22 2 x a x a a x x a k kx x f ，其中R a ∈，若对任 意的非零的实数1x ，存在唯一的非零的实数)(122x x x ≠，使得)()(12x f x f =成立，则k 的最小值为（ ） A ．15 1 - B ．5 C ．6 D ．8 二、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上。） 11．在平面直角坐标系中，已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴 上，终边经过点(3,4)P t t -(0)t <其中，则cos α= 12．ΔABC 中，B=120o，AC=3，AB=3，则ΔABC 的面积为 ． 13．曲线2 2 1ln )(x x x f - =在1=x 处的切线方程为 ． 14．已知()πα,0∈，1 sin cos 5 αα+=，则αtan = ． 15．若a ，b 是任意非零的常数，对于函数)(x f y =有以下5个命题： ①)(x f 是a T 2=的周期函数的充要条件是)()(a x f a x f -=+； ②)(x f 是a T 2=的周期函数的充要条件是)()(x f a x f -=+； ③若)(x f 是奇函数且是a T 2=的周期函数，则)(x f 的图形关于直线2 a x = 对称； ④若)(x f 关于直线2 a x = 对称，且)()(x f a x f -=+，则)(x f 是奇函数； ⑤若)(x f 关于点()0,a 对称，关于直线b x =对称，则)(x f 是)(4b a T -=的 周期函数． 其中正确命题的序号为 ． 三.解答题（16-19每小题12分，20题13分，21题14分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．已知函数a x x x f --=2)(2. （1）当0=a 时，画出函数)(x f 的简图，并指出)(x f 的单调递减区间； （2）若函数)(x f 有4个零点，求a 的取值范围． 17．已知向量212cos , 12x a ω? ?=- ?? ? ，1,cos()3b x πω? ?=-+ ?? ? ，0ω>，点A 、B 为 函数b a x f ?=)(的相邻两个零点，AB=π. （1）求ω的值； （2）若33)(= x f ，?? ? ??∈2,0πx ，求x sin 的值； （3）求()()g x f x x =- 在区间[]0,2π上的单调递减区间. 18．已知m 为常数，函数2()12 x x m f x m -=+?为奇函数. （1）求m 的值； （2）若0>m ，试判断)(x f 的单调性（不需证明）； （3）若0>m ，存在[]2,2x ∈-，使0)2()2(2≤+--f k x x f ，求实数k 的最大值． 19．ΔABC 中，)2sin(sin 3B A B +=，2 tan 12tan 42A A -=. （1）求证：4 π = +B A ; （2）若a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，2=a ，求c 和ΔABC 的面积. 20．已知函数x a a x a x x f )()12(21 31)(223+++-= . （1）若函数x x f x h ) ()('=为奇函数，求a 的值； （2）若函数)(x f 在1=x 处取得极大值，求实数a 的值； （3）若0 a≥，求) (x f在区间[]1,0上的最大值． 21．设x e x x f? = ) ( 0， 10211 ()(),()(),,()()(*) n n f x f x f x f x f x f x n N - ''' ===∈ . （1）请写出) (x f n 的表达式（不需证明）；（2）求) (x f n 的极小值； （3）设8 8 )1 (2 ) (2+ - + - - =n x n x x g n ，) (x g n 的最大值为a，) (x f n 的最小值 为b，求b a-的最小值. x 成都七中2013-2014学年上期 2014级半期考试数学（文科）试卷(参考答案) 命题人：张世永 审题人：杜利超 一．选择题 ABCCD BDBAD 二、填空题 11. 35- 13. 21-=y 14. 4 3 - 15. ① ④ ⑤ 三.解答题 16.解 ：（1 ） 当 0=a 时 22 2 (1)1,(()2 (1 ) 1 , ( x x f x x x x x ?--≥? =- =?+ - 由图可知，)(x f 的单调递减区间为()1,-∞-和()1,0…………….6分 （2）由0)(=x f ，得a x x =-22, ∴曲线x x y 22-=与直线a y =有4个不同交点, ∴根据(1)中图像得01<<- a …………………12分 17.解：（1）2 1()2cos 1cos()cos cos 232x f x x x x x ωπ ωωωω= -++=+ 32cos 23x x x πωωω?? ==+ ??? ,……………….3分 由T AB 21= =π，得22T π πω ==，则1ω=…………………..4分 （2）由（1）得3 3 )32sin(3)(=+ =πx x f ，则31)32sin(=+πx . 由??? ??∈2,0πx ，得322)32cos(-=+πx ，…………………6分 =-+ =∴)3232sin(sin ππx x 32cos )32sin(ππ+x 3 2sin )32cos(ππ+-x 6 1 6223)322()21(31-=?---?=………………8分 （3 ）2()3g x x x π? ? =+ ??? , 2()032 g x x π? ?'=+ -≤ ?? ?, ∴21 cos 32 x π? ?+ ≤ ?? ?,………..10分 ∴25223 33 k x k π ππππ+≤+ ≤+（k Z ∈）, 即223 k x kx π ππ- ≤≤+ （k Z ∈）, 又[]0,2x π∈, ∴()g x 在区间[]0,2π上的单调递减区间为[]0,π，5,23ππ?? ????……12分 18.解：（1）由0)()(=+-x f x f ，得02 12212=?+-+?+---x x x x m m m m , ∴()() 02212=+--x x m ，即12=m , ∴1±=m ……………4分 （2）12 12 2121)(-+=+-=x x x x f 在[]2,2-上单调递减…………7分 (3)由)2()2()2(2-=-≤--f f k x x f ，得222-≥--k x x ，….9分 即222+-≤x x k . 而()1122)(2 2+-=+-=x x x x g 在2-=x 时,最大值为10. ∴10≤k ，从而10max =k …………..12分 19.（1）证明：由2 tan 12tan 42A A -=，得212 tan 12tan 2tan 2 =-= A A A . 由)2sin(sin 3 B A B +=，得()[]()[]A B A A B A ++=-+sin sin 3, ∴()()()()A B A A B A A B A A B A sin cos cos sin sin cos 3cos sin 3+++=+-+, ∴()()A B A A B A sin cos 4cos sin 2+=+, ∴()1tan 2tan ==+A B A , ∴4 π = +B A ……………..6分 （2）解:由（1）得43π= C ，由21tan =A ，得5 5sin =A . 由正弦定理得sin sin a C c A ==由()tan tan tan 11tan tan A B A B A B ++==-得31tan =B ，从而10 10 sin =B . ∴1sin 2 1 == ?B ac S ABC ……….12分 20.解：（1）因为)()12()(22a a x a x x f +++-='， 所以22(21)() ()x a x a a h x x -+++=. 由二次函数奇偶性的定义，因为)(x h 为奇函数， 所以)()12()(22a a x a x x f +++-='为偶函数，即012=+a ， 所以2 1 -=a …………………..4分 （2）因为[]22()(21)()()(1)f x x a x a a x a x a '=-+++=--+, 令0)(='x f ，得11x a =+，a x =2， 所以)(x f '，)(x f 随x 的变化情况如下表： x ),(a -∞ a )1,(+a a 1+a ),1(∞++a )(x f ' + 0 ― 0 + )(x f f ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以1=a …………………4分 （3）因为1->a ，所以01>+a ， 当1≥a 时，0)(≥'x f 对[]1,0∈x 成立， 所以当1=x 时，)(x f 取得最大值6 1)1(2- =a f ; 当10<'x f ，)(x f 单调递增，在)1,(a x ∈时， 0)(<'x f ，)(x f 单调递减， 所以当a x =时，)(x f 取得最大值232 1 31)(a a a f +=; 当0=a 时，在)1,0(∈x ，0)(<'x f ，)(x f 单调递减， 所以当0=x 时，)(x f 取得最大值0)0(=f ; 综上所述, 当1≥a 时，)(x f 在1=x 取得最大值6 1 )1(2- =a f ; 当01a ≤<时, )(x f 取得最大值232 1 31)(a a a f +=………….13分 21.解：（1）根据1()(1)x f x x e =+?,2()(2)x f x x e =+?,3()(3)x f x x e =+?, 猜测出)(x f n 的表达式*)()()(N n e n x x f x n ∈?+=.,…………..4分 （2）要求n y ，即求)(x f n 的极小值点),(n n n y x P ， 先求出x n e n x x f ?++=')1()(， 因为)1(+->n x 时,0)(>'x f n ；当)1(+- （3）配方法可以求出2)3())1((-=+-=n n g a n ， 又因为)1())1((+--=+-=n n e n f b ，所以)1(2)3(+-+-=-n e n b a ， 问题转化为求)1(2)3(+-+-=n n e n c 的最小值 解法1（构造函数）： 令2(1)()(3)(0)x h x x e x -+=-+≥， 则)1()3(2)(+---='x e x x h ，又)(x h 在区间[)0,+∞上单调递增， 所以16)0()(---='≥'e h x h ． 又因为0)3(4<-='-e h ，02)4(5>-='-e h ， 所以存在)4,3(0∈x 使得0)(0='x h ． 又有)(x h '在区间[)0,+∞上单调递增，所以00x x <≤时，0)(0<'x h ； 当0x x >时，0)(0>'x h ， 即)(x h 在区间[)∞+,0x 上单调递增，在区间[)0,0x 上单调递减， 所以)())((0min x h x h =． 又由于4)3(-=e h ，51)4(-+=e h ，)3()4(h h >， 所以当3=n 时，b a -取得最小值`4-e ． 解法2（利用数列的单调性）： 因为1 2 11152+++- + -=-n n n n e e n c c ， 当3≥n 时，152≥-n ，012 >+n e ， 111 <+n e ， 所以011521 2 >- + -++n n e e n ，所以n n c c >+1． 又因为2114e c + =，3 21 1e c +=，431e c =，321c c c >>， 所以当3=n 时，b a -取得最小值4-e ．……………..14分
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