试题
__2009___年~__2010___年第 一学期
课程名称: 数值分析 专业年级: 2009级(研究生) 考生学号: 考生姓名: 试卷类型: A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □
………………………………………………………………………………………………………
一. 填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
1.设有节点012,,x x x ,其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ,则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =,则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -????=--????-??,233x ??
??=??????,则1A = ,1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二.简答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
1. 哪种线性方程组可用平方根法求解?为什么说平方根法计算稳定?
2. 什么是不动点迭代法?()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点?
3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ,请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三.求一个次数不高于3的多项式()3P x ,满足下列插值条件:
i x 1 2
3 i y 2
4 12 i y '
3
并估计误差。(10分)
四.试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1
01
1I dx x
=+?
。(10分) 五.用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。(10分) 六.试用Doolittle 分解法求解方程组:
1232
5610413191963630
x x x -????????????-=??????
??????----?????? (10分) 七.请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324
812231530
x x x x x x x x x ++=??
++=??-+=? 的迭代格式,并
判断其是否收敛?(10分)
八.就初值问题0(0)y y
y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。(10分)
《数值分析》(A )卷标准答案
(2009-2010-1)
一. 填空题(每小题3分,共12分) 1. ()1200102()()
()()
x x x x l x x x x x --=
--; 2.7;3. 3,8;4. 2n+1。
二.简答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
1. 解:系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 (4分)
对于对称正定阵 A ,从2
1
i
ii ik k a l ==
∑
可知对任意k ≤ i 有||ik ii l a ≤。即 L 的元素不会增大,误差可控,不需选主元,所以稳定。 (4分) 2. 解:(1)若()*
*x
x ?=,则称*x 为函数()x ?的不动点。 (2分)
(2)()x ?必须满足下列三个条件,才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于
()x ?的不动点:
1)()x ?是在其定义域内是连续函数; (2分)
2)()x ?的值域是定义域的子集; (2分) 3)()x ?在其定义域内满足李普希兹条件。 (2分)
3.解:参照幂法求解主特征值的流程 (8分) 步1:输入矩阵A ,初始向量v0,误差限ε,最大迭代次数N; 步2:置k:=1,μ:=0,u0=v0/||v0||∞; 步3:计算vk=Auk-1; 步4:计算
并置mk:=[vk]r, uk:=vk/mk;
步5:若|mk- μ |< ε,计算,输出mk,uk ;否则,转6; 步6:若k 2376,p x x x =-+(3分) 再设()()()()()32123p x p x K x x x =+--- (3分) 2K = (1分) ()3 2 329156p x x x x =-+- (1分) (2)()()()()()()2 4311234! R x f x x x ξ= --- (2分) 四.解:应用梯形公式得()()11 012I I f f ≈=+??? ? (2分) 0.75= (1分) 应用辛普森公式得:()()21104162I I f f f ???? ≈= ++ ??????? (2分) 0.69444444= (1分) 应用科特斯公式得: ()()41113703212327190424I I f f f f f ? ??? ?? ?? ≈= ++++ ? ? ??????????? (2分) 0.6931746= (2分) 五.解:由零点定理,cos 0x x -=在(0, )2 π 内有根。 (2分) 由牛顿迭代格式1cos 0,1,......1sin n n n n n x x x x n x +-=-=+ (4分) 取04 x π = 得, [][]1max ;k k r i i n v v ≤≤= 12340.73936133;0.739085178 0.7390851330.739085133 x x x x ==== (3分) 故取*40.739085133x x ≈= (1分) 六.解:对系数矩阵做三角分解: 1112 1321222331323325610 0413********u u u l u u l l u -?????? ??????-=????????????---?????? (2分) 125621373414A LU -???? ????=-=????????-???? (4分) 若Ly b =,则12310,1,4y y y ==-=; (2分) 若Ux y =,则(3,2,1)T x =。 (2分) 七.解:(1)对于方程组,雅可比方法的迭代矩阵为 00.50.51010.50.50B -?? ??=--?? ???? (2分) 其特征多项式为() 2 det() 1.25I B λλλ-=+,且特征值为 1230, 1.25, 1.25i i λλλ===- (2分) 故有() 1.251B ρ=>,因而雅可比迭代法不收敛。 (1分) (2)对于方程组,Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为 00.50.500.50.5000.5B -????=--????-?? (2分) 其特征值为1230,0.5λλλ=== (2分) 故有()0.51B ρ=<,因而雅可比迭代法收敛。 (1分) 八.证明题(本大题共2小题,每小题7分,共14分) 1. 证:该问题的精确解为0()x y x y e λ= (2分) 欧拉公式为1(1)i i i i y y h y h y λλ+=+=+ (2分) 对任意固定的i x x ih ==, 有/1/00(1)[(1)]i i x h x h i y y h y h λλλλ=+=+, (2分) 则0()i x i y e y x λ= (1分) 2.证:牛顿迭代格式为125,0,1,2,66n n n x a x n x += += (3分) 因迭代函数为()25,66x a x x ?=+而()35,63a x x ?'=+又*3x a =, (2分) 则 ()() 3 3 3 51 06 2 3 a a a ?' =+= ≠。 故此迭代格式是线性收敛的。 (2分) 《数值分析》参考解答 三.计算题(每小题7分,共42分): 1. 设 x e x f =)(, 试构造基函数求)(x f 的2次插值多项式 )(2x P ,满足: )1()1(),0(')0('),0()0(222f P f P f P ===. 解 设)(2x P 的基函数为)(),(),(010x x x βαα,则它们满足下列关系 (1分) x 0 1 x 0 )(2x P 1 e )('2x P 1 ) (0x α 1 0 )(' 0x α 0 )(1x α 0 1 )('1x α 0 ) (0x β0 0 )('0x β 1 (2分) (1) 令002 00)(c x b x a x ++=α,则有?????===++===0 )0(0)1(1 )0(0' 0000000b c b a c ααα, 即1,0,1000==-=c b a . 所以1)(20+-=x x α. 或由0)1(0=α,先得))(1()(0l kx x x +-=α. 再由1)0(0=α,得1=-l ,即1-=l . 由1)0(0 ='α,得0=-k l ,即1-==l k . 所以1)1)(1()(20+-=+--=x x x x α. (1分) (2) 令11211)(c x b x a x ++=α,则有??? ??===++===0 )0(1)1(0 )0(1' 1111111b c b a c ααα, 即0,0,1111===c b a . 所以21)(x x =α. 或由0)0()0(1 1='=αα,先得21)(kx x =α. 再由1)1(1=α,得1=k . 所以21)(x x =α. (1分) (3) 令22220)(c x b x a x ++=β,则有??? ??===++===1 )0(0)1(0 )0(2' 0222020b c b a c βββ, 即 0,1,1222==-=c b a . 所以x x x +-=20)(β 或由0)1()0(00==ββ,先得)1()(0-=x kx x β. 再由1)0(0=' β,得1=-k ,即1-=k . 所以x x x x x +-=--=20)1()(β (1分) 最后得 1)2()()0()()1()()0()(20'102++-=++=x x e x f x f x f x P βαα. (1分) 2. 求 x x x x f ++=2323)( 在区间 [-1,1] 上的2次最佳一致逼近多项式; 解 设所求的2次最佳一致逼近多项式为)(*2x P . 令)]()([3 1 )(*2x P x f x Q -=. (2分) 则)(x Q 的首项系数为1, 并且当)(2 1)]()([31)(32* 2x T x P x f x Q =-=时, )(x Q 与0的偏 差最小, 即)(x f 与)(* 2x P 的偏差最小. (2分) 因为]1,1[-上的3次切比雪夫Chebyshev 多项式为x x x T 34)(33-=. (1分) 所以x x x x x x x x T x f x P 4 13 2)493(23)(43)()(23233* 2+=--++=- =. (2分) 3.利用龙贝格公式计算定积分(计算到1R 即可): ? -+7 1 .2dx x 解 ]7,1[,2)(-∈+=x x x f ,16)]7()1([2 ) 1(71=+---= f f T , (1分) 94428.16548)3(28 2112=?+=+=f T T , 22774.17)73(247214.8)]5()1([2 4 2124=+?+=++=f f T T , )]6()4()2()0([2 2 2148f f f f T T ++++= 30599.178********.8=++++=, (2分) 25904.173134121=-=T T S ,32223.1731 34242=-=T T S , 33207.173 1 34484=-=T T S , (2分) 32644.1715 11516121=-=S S C , 33273.1715 1 1516242=-=S S C , 33283.1763 16364121=-=C C R .(2分) 4.利用改进的尤拉方法求解常微分方程初值问题:(要求取步长2.0=h 计算) 解 令x y y x f +=),(,则改进的尤拉公式为: ))],(,(),([2 1n n n n n n n n y x hf y h x f y x f h y y ++++=+ (2分) 22)2(2)2(12h x h h y h h n n +++??? ?? ?++=. (2分) 取2.0=h 得,02.022.022.11++=+n n n x y y . (1分) 计算结果如下: x y 1 1 1.2 1.46 1.4 2.0652 1.6 2.84754 (2分) 5.用牛顿法求方程 023)(3 =--=x x x f 在 30=x 附近的根(只要求迭代2步)。 解 牛顿迭代公式为:) () (' 1n n n n x f x f x x - =+ (2分) ) 1(32 2 ---- =n n n n x x x x . (2分) 取迭代初值为30=x ,则迭代结果如下表所示: ?? ?=≤≤+='. 1)1() 6.11(y x x y y T S C R n=1 16 1 7.25904 17.32644 17.33283 n=2 16.94428 17.32223 17.33273 n=4 17.22774 17.33207 n=8 17.30599 (3分) 6.写出解如下线性方程组的高斯-塞德尔迭代公式,并讨论其收敛性。如果不收敛,则应怎样处理才能得到收敛的高斯-塞德尔迭代公式? ?? ?=+=-. 123, 0322121x x x x 解 2332A -??=????,2002D ??=????,0030L ??=-????,0300U -?? =-????,?? ????=10b . (1分) 则 () 1 1 2020132324D L --????-==????-???? , (1分) 得 () 1 2003061132000944G D L U -??????=-==??????--?????? , (1分) ()1 200011321244f D L b -??????=-==??????-?????? , (1分) ( ) ()() 1600419024k k k X GX f X +? ???????=+=+?????? -?????? 为高斯-塞德尔迭代公式. (1分) 这时G 的2个特征值为129 ,04 λλ=- =,故()1G ρ>,迭代法不收敛. (1分) 若原方程 1212230321x x x x -=??+=?改写成为 1212 321230x x x x +=??-=?, 这时3223A ?? =??-??是严格对角 优势矩阵,则由此得到的迭代法必收敛. (1分) 四.证明题(每小题9分,共18分): 1. 证明本试卷第三大题(即计算题)第1小题的插值余项: )1(6)()()(2 22-=-=x x e x P x f x R ξ)10(<<ξ, 并有误差估计.81|)(|2≤x R 证:方法一:因为()()22()R x f x P x =-,则0,1是()2R x 的零点且0为二重的, (1分) 于是可设()()2 2()1R x k x x x =??-,令[]2 2()()()()(1 ),0,1t f t P t k x t t t φ=---∈ (2分) n n x 0 3 1 2.33333 2 2.05555 则()t φ有4个零点:0,0,1,x ,连续使用三次罗尔定理,则()0,1,ξ?∈使'''()0φξ=, (2 分) 即'''''' ()()()3!0()3!6 f e f k x k x ξ ξξ-?=?= =, 得()()2216e R x x x ξ=??-. (2 分) 方法二: 设2 222 ()()()()()(1)(1) f x P x t f t P t t t x x φ-=----, 则()t φ有3个零点0,1,x , (1分) '()t φ有2+1个零点,。'''()t φ有一个零点,所以''''''22()() 0()()3!(1) f x P x f x x φξξ-==- - (2 分) '''22()() ()3!(1) f x P x f x x ξ-= - (2 分) ''2 2211()()()(1)(1)66f x P x f x x x e x x ξ-=-=-, 即()()2216 e R x x x ξ=??-. (2 分) 最后()()()2 2223(1)1||11166628 e e x x R x x x x x x ξ+-????=-≤-≤???????. (2 分) 2.证明: 求积公式 )5 3 (95)0(98)53(95)(1 1 f f f dx x f ++-≈ ? -恰有5次代数精度. 证:当()1f x =时,1 1 ()f x dx -?11 1()2d x -==?, 53853585 ()(0)()1(0)1295995999 f f f f -++=?++?=; (1分) 当()f x x =时, 1 21 1 11 1 ()()02x f x dx xd x ---?? ===??????, 5385353853 ()(0)()()(0)()09599595995 f f f f -++=-++=; (1分) 当2 ()f x x =时,1 31 1 211 12()()33 x f x dx x d x ---??===??????, 2253853538532 ()(0)()()(0)()95995959953 f f f f -++=-++=; (1分) 当3 ()f x x =时, 1 1 31 1 ()()0f x dx x d x --==? ?, 335385353853 ()(0)()()(0)()09599595995 f f f f -++=-++=; (1分) 当4 ()f x x =时, 1 51 1 411 12()()55 x f x dx x d x ---??===??????, 4453853538532()(0)()()(0)()95995959955 f f f f -++=-++=; (1 分) 当5 ()f x x =时, 1 1 51 1 ()()0f x dx x d x --==? ?, 555385353853 ()(0)()()(0)()09599595995 f f f f -++=-++=. (1 分) 即求积公式对次数不超过5的多项式准确成立, 但当6 ()f x x =时, 1 71 1 611 1 2()()77x f x dx x d x ---??===??????, 6653853538536 ()(0)()()(0)()959959599525 f f f f -++=-++=, 不成立. (2 分) 综之,求积公式具有5次代数精度. (1 分) 数值分析试题1 1. 已知325413 .0,325413* 2*1==X X 都有6位有效数字,求绝对误差限。(4分) 解: 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ (6分) 解: {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()A A A T max 2 λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ??? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= (6分) ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时,)(1k k x x ?=+ (k=0,1……)产生的序列{}k x 收敛于2 解: ①Newton 迭代格式为: x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ,其中:? ??=13A ???22,?? ? ???-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α(k=0,1……)求解Ax=b ,问取什么实数α,可使迭代收 敛 (8分) 解: 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即,解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意,须使1)( 5. 设方程Ax=b ,其中?????=211A 212 ???? ?-112,?? ????????=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收 敛性,并建立Gauss-Seidel 迭代格式 (9分) 解: U D L A ++= ?? ???--=+-=-210 )(1U L D B J 202-- ? ????-012 3分 0,03213=====-λλλλλJ B I 2分 即10)(<=J B ρ,由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式: ?? ???--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3) (3 )1(1) 1(2) (3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k=0,1,2,3……) 3分 6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组:i i b Ax =(i=1,2,3)其中 ?????=222A 331 ?????421,23121,,974x b x b b ==???? ? ?????= (12分) 解: ①11b Ax = ?????222 331 ?????421???? ??????=9741x A=?????111 110 ?????100?????002 021 ???? ? 211=LU 3分 由Ly=b1,即?????111 110 ?????100y=??????????974 得y=?? ????????234 1分 由Ux1=y ,即?????002 021 ?????211x1=??????????234 得x1=???? ? ?????111 2分 ②22b Ax = ?????222 331 ?????421x2=???? ? ?????111 由Ly=b2=x1,即?????111 110 ?????100y=??????????111 得y=?? ??? ?????001 1分 由Ux2=y ,即?????002 021 ?????211x2=??????????001 得x2=?? ?? ? ?????005.0 2分 ③33b Ax = ?????222 331 ?????421x3=???? ? ?????005.0 由Ly=b3=x2,即?????111 110 ?????100y=??????????005.0 得y=?? ????????-05.05.0 1分 由Ux3=y ,即?????002 021 ?????211x3=??????????-05.05.0 得x3=???? ? ?????-025.0375.0 2分 7. 已知函数y=f(x)有关数据如下: 要求一次数不超过3的H 插值多项式,使 '11' 33)(,)(y x H y x H i i == (6分) 解: 作重点的差分表,如下: 3分 2 1021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1) =2 3 2x x + 3分 8. 有如下函数表: 试计算此列表函数的差分表,并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 (7分) 解: 由已知条件可作差分表, 3分 i ih x x i =+=0 (i=0,1,2,3)为等距插值节点,则Newton 向前插值公式为: 03 3 2100 22100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ?---+?--+?-+ = =4+5x+x(x-1) =442 ++x x 4分 9. 求f(x)=x 在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ,并求出平方误差 (8分) 解: 令22102)(x a x a a x P ++= 2分 取m=1, n=x, k=2 x ,计算得: (m,m)=dx ? -1 11=0 (m,n)= dx x ? -1 1 =1 (m,k)= dx x ? -1 1 2=0 (n,k)= dx x ?-1 13 =0.5 (k,k)= dx x ?-1 1 4 =0 (m,y)= dx x ?-1 1 =1 (n,y)= dx x ?-1 1 2 =0 (k,y)= dx x ?-1 1 3 =0.5 得方程组:?? ? ??==+=5 .05.005.011201a a a a 3分 解之得c a a c a 2,1,210-=== (c 为任意实数,且不为零) 即二次最佳平方逼近多项式2 22)(cx x c x P -+= 1分 平方误差:3 2 ),(2 2222 2 22 = -=-=∑=i i i y a f p f ?δ 2分 10. 已知如下数据:用复合梯形公式,复合Simpson 公式计算?+= 1 0214 dx x π的近似值(保 留小数点后三位) (8分) 解: 用复合梯形公式: )}1()]8 7 ()43()85()21()83()41()81([2)0({1618f f f f f f f f f T ++++++++= =3.139 4分 用复合Simpson 公式: )}1()]4 3 ()21()41([2)]87()85()83()81([4)0({2414f f f f f f f f f S ++++++++= =3.142 4分 11. 计算积分? = 20 sin π xdx I ,若用复合Simpson 公式要使误差不超过5102 1 -?,问区间 ]2,0[π要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度,区间]2 ,0[π 应分为多少等 分? (10分) 解: ①由Simpson 公式余项及x x f x x f sin )(,sin )()4(==得 544)4(2 04102 1)1()4(360)(max )4(1802)(-≤≤?≤=≤n x f n f R x n ππππ π 2分 即08.5,6654≥≥n n ,取n=6 2分 即区间]2,0[π分为12等分可使误差不超过5102 1 -? 1分 ②对梯形公式同样1)(''max 2 0≤≤ ≤x f x π ,由余项公式得 5102 1 )2(122)(-?≤≤n f R n ππ 2分 即255,2.254=≥n n 取 2分 即区间]2,0[π分为510等分可使误差不超过5102 1 -? 1分 12. 用改进Euler 格式求解初值问题:?? ?==++1 )1(0 sin 2'y x y y y 要求取步长h 为0.1,计算y (1.1)的近似值 (保留小数点后三位)[提示:sin1=0.84,sin1.1=0.89] (6分) 解: 改进Euler 格式为: ?? ???++=+=+-++- +)] ,(),([2) ,(1111n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 2分 于是有 ?????+++-=+-=+-++- +-+) sin sin (05.0) sin (1.0121121 2 1n n n n n n n n n n n n n x y y x y y y y x y y y y (n=0,1,2……) 2分 由y(1)=0y =1,计算得 ???? ?=≈=+-=- 838 .0)1.1(816 .0)1sin 11(1.01121y y y 2分 即y(1.1)的近似值为0.838 13. ] [],[],,[lim ],[),,(],,[)(0' 000000' x f x x f x x f x x f b a x b a C x f x x ==∈∈→证明:定义:设(4分) 证明: ] ['],[],[],[lim ] [][lim ]['00000000000 x f x x f x x f x x f x x x f x f x f x x x x ===--=→→故可证出 4分 14. 证明:设n n R A ?∈,?为任意矩阵范数,则A A ≤)(ρ (6分) 证明: 设λ为A 的按模最大特征值,x 为相对应的特征向量,则有Ax=λx 1分 且λρ=)(A ,若λ是实数,则x 也是实数,得Ax x =λ 1分 而 x x ?=λλ x A x ,?≤??≤λ故x A Ax 2分 由于A x 0x ≤≠λ得到,两边除以 1分 故A A ≤)(ρ 1分 当λ是复数时,一般来说x 也是复数,上述结论依旧成立 数值分析试题2 1、(本题5分)试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字,并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π (2分) 这里,3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 (1分) 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r (2分) 2、(本题6分)用改进平方根法解方程组:??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ; 解 设??? ? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 13132111232312132 1 32 3121l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得: 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d (3分) 由y D x L b Ly T 1,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== (3分) 3、(本题6分)给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1)写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式; 2)考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性; 解 1)Jacoib 迭代格式为 ???????-+-=----=+-=+--=++++7 )2217() 8()2323(8)311(10 )57() (3)(2)(1)1(4 )(4)(2)(1) 1(3 ) (3)(1)1(2 ) (4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x (2分) Gauss-Seidel 迭代格式为 ???????-+-=----=+-=+--=++++++++++7 )2217() 8()2323(8 )311(10 )57() 1(3)1(2)1(1)1(4 )(4)1(2)1(1)1(3 ) (3)1(1)1(2)(4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x (2分) 2)由于所给线性方程组的系数矩阵 ???? ?? ? ??----=72211 8230381510 10A 是严格对角占优的,所以Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式均是收敛的。(2分) 4、(本题6分)已知方程 08.023=--x x 在5.10=x 附近有一个根。将此方程改写成如下2个等价形式: 8.0,8.0332-= +=x x x x 构造如下两个迭代格式: 1) ,2,1,0,8.032 1=+=+k x x k k 2) ,2,1,0,8.03 1=-= +k x x k k 判断这两个迭代格式是否收敛; 解 1)记328.0)(x x +=?,则3 22) 8.0(32)('x x x += ?, 14755.005.31 )5.18.0(1)5.18.0(35.12)5.1('3 2322322<==+=+?= ? (2分) 所以该迭代格式是局部收敛的。 (1分) 2)记8.0)(3 -= x x ?,则8 .023)('3 2-=x x x ?, 1103.28 .05.125.13)5.1('3 2 >=-?= ? (2分) 所以该迭代格式是发散的 (1分) 5、(本题6分)设2 3 )()(a x x f -= (1)写出解0)(=x f 的牛顿迭代格式; (2)证明此迭代格式是线性收敛的。 解 (1)因2 3 )()(a x x f -=,故)(6)('3 2 a x x x f -=,由牛顿迭代公式 ) (') (1n n k k x f x f x x - =+, ,1,0=k (1分) 得k k k k k k k x a x a x x a x x x 665)(6)(32231 + =---=+, ,1,0=k (2分) (2)因迭代函数2665)(x a x x +=?, 3365)('x a x -=?, (1分) 3* a x = 故02 1 )(365)('33* ≠=-= a a x ? 此牛顿迭代格式是线性收敛的。 (2分) 6、(本题9分)给定数据 x 0 2 3 5 f(x) 1 -3 -4 2 数值分析试题 一、 填空题(2 0×2′) 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值,则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7-x 3+1,则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 , f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设,‖A ‖∞=___5 ____,‖X ‖∞=__ 3_____, ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ,则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ;如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是:=∑=n i i x a 0)( 1 ;所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ,计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%,至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ,线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的,其中的残差 r i = (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ,(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时,若在迭代区间存在唯一解,且f (x ) 二 1 求A的LU分解,并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证:非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异,要说明A不一定能做LU分解,只需举出一个反例即可。现考虑矩阵,显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解,则 故,而,显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解,故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解,只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素,故有 从而有 故,,, 故,,, 4设A是任一阶对称正定矩阵,证明是一种向量范数 证明(1)因A正定对称,故当时,,而当时, (2)对任何实数,有 (3)因A正定,故有分解,则 故对任意向量和,总有 综上可知,是一种向量范数。 5 设,,已知方程组的精确解为 (1)计算条件数; (2)若近似解,计算剩余; (3)利用事后误差估计式计算不等式右端,并与不等式左边比较,此结果说明了什么?解(1) (2) (3)由事后误差估计式,右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时,尽管剩余很小,误差估计仍然较大。因此,当A病态时,用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为,证明当时,有最小值 证明设,则 又 故 从而当时,即时,有最小值,且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛,比较哪一种方法收敛较快,其中 解对雅可比方法,迭代矩阵 , 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法,迭代矩阵 ,故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设,求解方程组,求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 , 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 , 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为,其中,求证:若,则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵,故 又,故, 即,故故系数矩阵A按行严格对角占优,从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵,考虑迭代格式 求证:(1)对任意初始向量,收敛; (2)收敛到的解。 证明(1)所给格式可化为 这里存在是因为,由A对称正定,,故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为,为相应的特征向量,则与做内积,有 因正定,故,从而,格式收敛。 1、(本题5分)试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字,并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π (2分) 这里,3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 (1分) 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r (2分) 2、(本题6分)用改进平方根法解方程组:??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ; 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得: 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d (3分) 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== (3分) 3、(本题6分)给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1)写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式; 2)考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性; 解 1)Jacoib 迭代格式为 第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解: 求解求积公式的代数精度时,应根据代数精度的定义,即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立,但对于m+1次多项式就不准确成立,进行验证性求解。 (1)若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =,则 1012h A A A -=++ 令()f x x =,则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =,则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =,则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。 令4 ()f x x =,则 二 1求A的LU分解,并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证:非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异,要说明A不一定能做LU分解,只需举出一个反例即可。现考虑矩阵,显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解,则 故,而,显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解,故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解,只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素,故有 从而有 故,,, 故,,, 4设A是任一阶对称正定矩阵,证明是一种向量范数 证明(1)因A正定对称,故当时,,而当时, (2)对任何实数,有 (3)因A正定,故有分解,则 故对任意向量和,总有 综上可知,是一种向量范数。 5 设,,已知方程组的精确解为 (1)计算条件数; (2)若近似解,计算剩余; (3)利用事后误差估计式计算不等式右端,并与不等式左边比较,此结果说明了什么?解(1) (2) (3)由事后误差估计式,右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时,尽管剩余很小,误差估计仍然较大。因此,当A病态时,用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为,证明当时,有最小值 证明设,则 又 故 从而当时,即时,有最小值,且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛,比较哪一种方 法收敛较快,其中 解对雅可比方法,迭代矩阵 , 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法,迭代矩阵 ,故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设,求解方程组,求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 , 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 , 数值分析整理版试题及答案 例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解: (1)k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ (2)一阶均差、二阶均差分别为 []()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=,{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解: 若{}span 1,x Φ=,则0()1x ?=,1()x x ?=,且()1x ρ=,这样,有 《数值分析》 重点考察内容及各章作业答案 学院: 学号: 姓名: 重点考察内容 基本概念(收敛阶,收敛条件,收敛区域等), 简单欧拉法。 第一章基础 掌握:误差的种类,截断误差,舍入误差的来源,有效数字的判断。 了解:误差限,算法及要注意的问题。 第二章插值 掌握:Hermite插值,牛顿插值,差商计算,插值误差估计。 了解:Lagrange插值 第三章数据拟合 掌握:给出几个点求线性拟合曲线。 了解:最小二乘原理 第四章数值积分微分 掌握:梯形公式,Simpson公式,代数精度,Gauss积分,带权Gauss积分公式推导,复化梯形公式推导及算法。 了解:数值微分,积分余项 第五章直接法 掌握:LU分解求线性方程组,运算量 了解:Gauss消去法,LDL,追赶法 第六章迭代法 掌握:Jacobi,Gauss-Seidel迭代格式构造,敛散性分析,向量、矩阵的范数、谱半径 了解:SOR迭代 第七章Nolinear迭代法 掌握:牛顿迭代格式构造,简单迭代法构造、敛散性分析,收敛阶。 了解:二分法,弦截法 第八章ODE解法 掌握:Euler公式构造、收敛阶。 了解:梯形Euler公式、收敛阶,改进Euler公式 题目类型:填空,计算,证明综合题 第一章 误差 1. 科学计算中的误差来源有4个,分别是________,________,________,________。 2. 用Taylor 展开近似计算函数000()()'()()f x f x f x x x ≈+-,这里产生是什么误差? 3. 0.7499作 3 4 的近似值,是______位有效数字,65.380是舍入得到的近似值,有____几位有效数字,相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值,有_______位有效数字. 4. 改变下列表达式,使计算结果比较精确: (1)11,||1121x x x x --++ (2 ||1x (3) 1cos ,0,|| 1.x x x x -≠ (4)sin sin ,αβαβ-≈ 5. 采用下列各式计算61)时,哪个计算效果最好?并说明理由。 (1) (2 )99-3 )6 (3-(4 6. 已知近似数*x 有4位有效数字,求其相对误差限。 上机实验题: 1、利用Taylor 展开公式计算0! k x k x e k ∞ ==∑,编一段小程序,上机用单精度计算x e 的函数 值. 分别取x =1,5,10,20,-1,-5,-10,-15,-20,观察所得结果是否合理,如不合理请分析原因并给出解决方法. 2、已知定积分1 ,0,1,2,,206 n n x I dx n x ==+? ,有如下的递推关系 111 110 0(6)61666 n n n n n x x x x I dx dx I x x n ---+-===++-? ? 可建立两种等价的计算公式 (1) 1016,0.154n n I I I n -= -=取; (2) 12011),0.6n n I nI I n -=-=(取 第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解: 求解求积公式的代数精度时,应根据代数精度的定义,即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立,但对于m+1次多项式就不准确成立,进行验证性求解。 (1)若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =,则 1012h A A A -=++ 令()f x x =,则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =,则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =,则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 令4()f x x =,则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时, 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 (2)若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =,则 1014h A A A -=++ 令()f x x =,则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =,则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =,则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字,求绝对误差限。(4分) 解: 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ (6分) 解: {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= (6分) ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时,)(1k k x x ?=+ (0,1……)产生的序列{}k x 收敛于 2 解: ①迭代格式为: x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组,其中:?? ?=13A ?? ?2 2,?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α(0,1……)求解,问取什么实数α ,可使 迭代收敛 (8分) 解: 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分 1、(本题5分)试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字,并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π (2分) 这里,3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 (1分) 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r (2分) 2、(本题6分)用改进平方根法解方程组:???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ; 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得: 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d (3分) 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== (3分) 3、(本题6分)给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1)写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式; 2)考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性; 解 1)Jacoib 迭代格式为 例1、 已知函数表 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解: (1) 故所求二次拉格朗日插值多项式为 (2)一阶均差、二阶均差分别为 例2、 设2 ()32f x x x =++,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=,{}span 1,x Φ=的最佳平 方逼近多项式。 解: 若{}span 1,x Φ=,则0()1x ?=,1()x x ?=,且()1x ρ=,这样,有 所以,法方程为 011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ,经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程,得到14a =,011 6 a = 故,所求最佳平方逼近多项式为* 111()46S x x =+ 例3、 设()x f x e =,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=,{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近 多项式。 解: 若{}span 1,x Φ=,则0()1x ?=,1()x x ?=,这样,有 所以,法方程为 解法方程,得到00.8732a =,1 1.6902a =, 故,所求最佳平方逼近多项式为 例4、 用4n = 的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1 ? 。 解: (1)用4n =的复合梯形公式 由于2h =,( )f x =()121,2,3k x k k =+=,所以,有 (2)用4n =的复合辛普森公式 由于2h =,( )f x =()121,2,3k x k k =+=,()12 220,1,2,3k x k k + =+=,所以,有 例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。 解:先消元 再回代,得到33x =,22x =,11x = 所以,线性方程组的解为11x =,22x =,33x = 例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。 解: 设 则由A LU =的对应元素相等,有 1114u = ,1215u =,1316u =, 2111211433l u l =?=,3111311 22 l u l =?=, 2112222211460l u u u +=?=-,2113232311 545l u u u +=?=-, 数值分析第8章 数值积分与数值微分 8.1 填空题 (1)n+1个点的插值型数值积分公式∫f(x)dx b a ≈∑A j n j=0f(x j )的代数精度至少是 n ,最高不超过 2n+1 。【注:第1空,见定理8.1】 (2)梯形公式有 1 次代数精度,Simpson 公司有 3 次代数精度。【注:分别见定理8.1,8.3】 (3)求积公式∫f(x)dx h 0≈h 2[f (0)+f (h )]+ah 2[f ′(0)?f ′(h)]中的参数a= 1/12 时,才能保证该求积公式的代数精度达到最高,最高代数精度为 3 。 解:令f(x)=1,x,x 2带入有, { h 2[1+1]+ah 2[0?0]=h h 2[0+h ]+ah 2[1?1]=12 (h 2)h 2[0+h 2]+ah 2[0?2h ]=13 (h 3) //注:x 的导数=1 解之得,a=1/12,此时求积公式至少具有2次代数精度。 ∴ 积分公式为:∫f(x)dx h 0≈h 2[f (0)+f (h )]+h 2 12[f ′(0)?f ′(h)] 令 f(x)= x 3带入求积公式有:h 2 [0 +h 3]+ h 212 [0?3h 2]=14 (h 4),与f(x)= x 4的定积分计算值1 4 (h 4)相等, 所以,此求积公式至少具有3次代数精度。 令f(x)= x 4带入求积公式有,h 2[0+h 4]+h 2 12[0?4h 3]=1 6(h 5),与f(x)= x 5的定积分计算值1 5(h 5)不相等,所以,此求积公式的最高代数精度为3次代数精度。 8.2 确定下列求积公式的求积系数和求积节点,使其代数精度尽量高,并指出其最高代数精度。 解题思路:按照P149 中8.3式进行求解,根据求积公式中未知量n 的数量决定代入多少f(x),当积分公式代入求积节点x n 的计算结果与定积分的计算结果一致,继续代入求积节点X n+1,,若计算结果与对应的定积分计算结果不一致时,求积公式拥有最高n 次的代数精度。 (1)∫f(x)dx 2h 0≈A 0f (0)+A 1f (h )+A 2f(2h) 解:令f(x)=1,x,x 2代入有,【注:本例中需求解A 0、A 1、A 2共3个未知量,故需3个相异求积节点f(x)】 {A 0+A 1+A 2=2h A 1h +A 22h =1 2(2h )2A 1h 2+A 2(2h )2=1 3(2h )3 求解得A 0=13h ,A 1=43h ,A 2=1 3h , ∴求积公式为:∫f(x)dx 2h 0≈13hf (0)+43hf (h )+1 3 hf(2h) ∵该求积公式对3个相异节点1,x,x 2均有余项E (f )=0, //注:参见P149定理8.1 ∴该求积公式至少具有2次代数精度。 令f(x)= x 3,代入求积公式有:4 3hh 3+1 3h (2h )3=4h 4 ∵函数f(x) = x 3的定积分结果为:∫x 3dx 2h 0=1 4(2h )4=4h 4 ,与求积公式计算值相等, ∴该求积公式具有3次代数精度。 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有( )和( )位有效数字. A .4和3 B .3和2 C .3和4 D .4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ,则A =( ) A . 16 B .13 C .12 D .2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足( ) A . ()00l x =0, ()110l x = B . ()00l x =0, ()111l x = C .() 00l x =1,()111 l x = D . () 00l x =1,()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛,则它具有( )敛速。 A .超线性 B .平方 C .线性 D .三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程( ). A . 232 x x -+= B .232 1.5 3.5 x x -+= C . 2323 x x -+= D . 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时,科茨系数()()() 33301213,88C C C ===,那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ,所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题(每题15分,共60分) 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据: 求分 段线性插值函数,并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈, ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--% ()()()()()()()()()收敛较慢 代入上式得:将解: 收敛速度次并分析该迭代公式的迭代的根求方程 取试用迭代公式∴≠<<*'*+++-='∴+*+*=*∴=+?+?? ? ??===++= =∴++= ==-++=++=++014.01022220||10 2202613381013202132020 132010212010220. 2.0 20102110220 4.1222 222212012123021x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k k k k k k ?????? )))()()()[]()()[])49998.0cos 215.0cos 2 1,022,00cos 2 102 12,0210,2,0.cos 2 10sin 2 11,cos 2 113cos 2 12; 1.0cos 2 12.4120101==== ==->-=<-=-=>+='-===-+x x x x x x x f f x x x f x x f x x x f x x x x k k 则 取上有一个根在所以上在为单调递增函数故则令解: 位有效数字求出这些根,精确到用迭代公式分析该方程有几个根给定方程ππππ 500 .0105.0102.0||3412≈*?=---x x x 所以方程的根 41444444466666.6663.4k k S S S S s +=+=++++++=+故迭代公式为可知: 由解: 动点迭代公式:导出下列连根公式的不Λ ΛΛΛ()()()()()()()()()()()()))()))() )()?得到的是什么迭代公式步迭代时选取第?得到的是什么迭代公式选取使收敛速度快; 选取的单根附近收敛; ,使迭代在选取值写出迭代公式是参数其中的迭代公式 给定方程不收敛 解: 都不收敛于迭代则对任何初值都有数证明:如果对于任何实为一实数设k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x f k x f x f x f x x x x x x x G x G x x x x x G x G x x x G x G x G x Gx x x x x x G x x x G x '='==-=∴*-≥≥-≥-=*-∴-≥-∴≥--='*=*≠≥'**=*+++++++++1514302. 1. , 1.45.41 ,,1.,4.40101111111100λλλλλλΛΛ 《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:2.367,0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ,拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b ); 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y ),y (x 0)=y 0的改进的欧拉公 数值分析试题及答案 一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有()和()位有效数字. A.4和3 B.3和2 C.3和4 D.4和4 2. 已知求积公式,则=() A. B.C.D. 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足() A.=0,B.=0, C.=1,D.=1, 4. 设求方程的根的牛顿法收敛,则它具有()敛速。 A.超线性B.平方C.线性D.三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程(). A.B. C.D. 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设, 则, . 2. 一阶均差 3. 已知时,科茨系数,那么 4. 因为方程在区间上满足,所以在区间内有根。 5. 取步长,用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题(每题15分,共60分) 1. 已知函数的一组数据:求分段线性插值函数,并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解, , 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 (1)写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式; (2)对于初始值,应用雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式分别计算(保留小数点后五位数字). 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯-塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯-塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 (1)请指出为什么初值应取2? (2)请用牛顿法求出近似根,精确到0.0001. 计算题3.答案 第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2%,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限是多少 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝ 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大这个计算过程 稳定吗 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 . 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误 差做比较. 2.求证: (a)当时,. (b)当时,. 3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式. 第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5105.0-?,那么近似数有几位有效数字(有效数字的计算) 解:2*103400.0-?=x ,325*102 1102 1---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少(有效数字的计算) 解:10314159.0?= π,欲使其近似值*π具有4位有效数字,必需 41*102 1 -?≤-ππ,3*3102 1102 1--?+≤≤?-πππ,即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ,978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值,问b a +, b a ?有几位有效数字(有效数字的计算) 解:3*1021 -?≤-a a ,2*102 1-?≤-b b ,而1811.2=+b a ,1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤ -+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤ -+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差和相对误差(误差的计算) 解:已知δ=-* *x x x ,则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=,底面半径r 的值为cm r 5*=, 已知cm h h 2.0||*≤-,cm r r 1.0||*≤-,求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差 限与相对误差限。(误差限的计算) 解:*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 πππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v 相对误差限为 %420 1 20525) 5,20() 5,20(),(2 ==??≤ -ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。(函数误差的计算) 解:%* *a x x x =-, )%(* **** *na x x x n x x x y y y n n n =-≤-= - 7计算球的体积,为了使体积的相对误差限为%1,问度量半径r 时允许的相对误差限为多大(函数误差的计算)数值分析试题及答案汇总
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