第二章
习题2-1
1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞
x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞
x n +k =a .
证：由lim n n x a →∞
=，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有
n x a ε-<
取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有
n k x a ε+-<
由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞
=.
2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若l i m n →∞
x n =a ,则lim n →∞
∣x n ∣=|a|.考察数列
x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.
证：
lim 0,,.
使当时，有n x n x a
N n N x a εε→∞
=∴?>?>-<
而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?>
n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<
由数列极限的定义得 lim n n x a →∞
=
考察数列 (1)n
n x =-，知lim n n x →∞
不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞
=，
所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：
(1) lim n →∞2221
11(1)(2)n n n ??+++ ?+??
=0； (2) lim n →∞2!n
n =0. 证：（1）因为
2
2
2
2
22111112(1)
(2)
n n n n
n
n n n n
n
+
+≤+++≤≤=+
而且 2
1lim
0n n
→∞
=，2lim
0n n
→∞
=，
所以由夹逼定理，得
222111lim 0(1)(2)n n
n n →∞??+++= ?+?? . （2）因为2
2222240!
1231n
n n n n
<
=
<- ，而且4lim 0n n →∞=，
所以，由夹逼定理得
2
lim
0!
n
n n →∞
=
4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =
11
n
e +，n =1,2,…；
(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
（2）因为12x =
<，不妨设2k x <，则
12k x +=
<
=
故有对于任意正整数n ，有2n x <，即数列{}n x 有上界，
又 1n n x x +-=
，而0n x >,2n x <，
所以 10n n x x +-> 即 1n n x x +>， 即数列是单调递增数列。
综上所述，数列{}n x 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。
习题2-2
1※
. 证明：0
lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .
证：先证充分性：即证若0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -
+
→→==，则0
lim ()x x f x a →=.
由0
lim ()x x f x a -
→=及0
lim ()x x f x a +
→=知：
10,0εδ?>?>,当010x x δ<-<时，有()f x a ε-<，
20δ?>当020x x δ<-<时，有()f x a ε-<。
取{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<或00x x δ<-<时，有()f x a ε-<， 而00x x δ<-<或00x x δ<-<就是00x x δ<-<，
于是0,0εδ?>?>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<， 所以 0
lim ()x x f x a →=.
再证必要性：即若0
lim ()x x f x a →=，则0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -
+
→→==,
由0
lim ()x x f x a →=知，0,0εδ?>?>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<，
由00x x δ<-<就是 00x x δ<-<或00x x δ<-<，于是0,0εδ?>?>，当
00x x δ<-<或00x x δ<-<时，有()f x a ε-<.
所以 0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -
+
→→==
综上所述，0
lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .
2. (1) 利用极限的几何意义确定0
lim x → (x 2
+a ),和0
lim x -
→1
e x ；
(2) 设f (x )= 12
e ,0,,0,x
x x a x ??
，问常数a 为何值时，0lim x →f (x )存在.
解：（1）因为x 无限接近于0时，2
x a +的值无限接近于a ，故2
0lim ()x x a a →+=.
当x 从小于0的方向无限接近于0时，1
e x 的值无限接近于0，故1
lim e 0x x -
→=.
（2）若0
lim ()x f x →存在，则0
lim ()lim ()x x f x f x +
-
→→=，
由（1）知 22
lim ()lim ()lim ()x x x f x x a x a a +
-
-
→→→=+=+=，
1
lim ()lim e 0x x x f x -
-
→→==
所以，当0a =时，0
lim ()x f x →存在。
3. 利用极限的几何意义说明lim x →+∞
sin x 不存在.
解：因为当x →+∞时，sin x 的值在-1与1之间来回振摆动，即sin x 不无限接近某一定直线y A =，亦即()y f x =不以直线y A =为渐近线，所以lim sin x x →+∞
不存在。
习题2-3
1. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.
解：例1：当0x →时，tan ,sin x x 都是无穷小量，但由
sin cos tan x x x
=（当0x →时，
cos 1x →）不是无穷大量，也不是无穷小量。
例2：当x →∞时，2x 与x 都是无穷大量，但22x x
=不是无穷大量，也不是无穷
小量。
例3：当0x +
→时，tan x 是无穷小量，而cot x 是无穷大量，但tan cot 1x x = 不是无穷大量，也不是无穷小量。
2. 判断下列命题是否正确：
(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量； (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量； (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；
(6) y =x sin x 在(-∞，+∞)内无界，但lim x →∞
x sin x ≠∞；
(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量； (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解：（1）错误，如第1题例1； （2）正确，见教材§2.3定理3；
（3）错误，例当0x →时，cot x 为无穷大量，sin x 是有界函数，cot sin cos x x x
= 不是无穷大量；
（4）正确，见教材§2.3定理2；
（5）错误，例如当0x →时，1
x 与1x
-
都是无穷大量，但它们之和
11()0x
x
+-
=不
是无穷大量；
（6）正确，因为0M ?>，?正整数k ，使π2π+
2
k M >，从而
ππππ(2π+
)(2π+
)sin(2π+
)2π+
2
2
2
2
f k k k k M ==>，即sin y x x =在(,)-∞+∞内无界，
又0M ?>，无论X 多么大，总存在正整数k ，使π>k X ，使(2π)πsin(π)0f k k k M ==<，即x →+∞时，sin x x 不无限增大，即lim sin x x x →+∞
≠∞；
（7）正确，见教材§2.3定理5；
（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。
3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.
(1) f (x )=
2
34
x -,x →2; (2) f (x )=ln x ，x →0+，x →1,x →+∞；
(3) f (x )= 1e x ,x →0+，x →0-； (4) f (x )=
2
π-arctan x ,x →+∞;
(5) f (x )=
1x
sin x ,x →∞; (6) f (x )=
2
1x
x →∞.
解：（1）2
2
lim (4)0x x →-=因为，即2x →时，2
4x -是无穷小量，所以
2
14
x -是无穷
小量，因而
2
34
x -也是无穷大量。
（2）从()ln f x x =的图像可以看出，10
lim ln ,lim ln 0,lim ln x x x x x x +
→→+∞
→=-∞==+∞，
所以，当0x +
→时，x →+∞时，()ln f x x =是无穷大量；
当1x →时，()ln f x x =是无穷小量。
（3）从1()e x
f x =的图可以看出，1
1
lim e ,lim e 0x x x x +
-
→→=+∞=，
所以，当0x +
→时，1
()e x f x =是无穷大量；
当0x -
→时，1
()e x f x =是无穷小量。 （4）πlim (
arctan )02
x x →+∞
-= ，
∴当x →+∞时，π()arctan 2
f x x =-是无穷小量。
（5） 当x →∞时，
1x
是无穷小量，sin x 是有界函数，
∴
1sin x x
是无穷小量。
（6） 当x →∞时，
2
1x
∴
是无穷小量。
习题2-4
1.若0
lim x x →f (x )存在，0
lim x x →g (x )不存在，问0
lim x x →［f (x )±g (x )］, 0
lim x x →［f (x )·g (x )］是否存在，
为什么?
解：若0
lim x x →f (x )存在，0
lim x x →g (x )不存在，则
（1）0
lim x x →［f (x )±g (x )］不存在。因为若0
lim x x →［f (x )±g (x )］存在，则由
()()[()()]g x f x f x g x =--或()[()()]()g x f x g x f x =+-以及极限的运算法则可得0
lim x x →g (x )，与题设矛盾。
（2）0
lim x x →［f (x )·g (x )］可能存在，也可能不存在，如：()sin f x x =，1()g x x
=
，则
lim sin 0x x →=，0
1lim
x x
→不存在，但0
lim x x →［f (x )·g (x )］=0
1lim
sin 0x x x
→=存在。
又如：()sin f x x =，1()cos g x x
=
，则π2
l i m s i n
1x x →
=，π2
1lim
cos x x
→
不存在，而
lim x x →［f (x )·g (x )］π2
lim tan x x →
=不存在。
2. 若0
lim x x →f (x )和0
lim x x →g (x )均存在，且f (x )≥g (x )，证明0
lim x x →f (x )≥0
lim x x →g (x ).
证：设0
lim x x →f (x )=A ，0
lim x x →g (x )=B ，则0ε?>，分别存在10δ>，20δ>，使得当
010x x δ<-<时，有()A f x ε-<，当020x x δ<-<时，有()g x B ε<+
令{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<时，有
()()A f x g x B εε-<≤<+
从而2A B ε<+，由ε的任意性推出A B ≤即
lim ()lim ()x x x x f x g x →→≤.
3. 利用夹逼定理证明：若a 1,a 2，…，a m 为m 个正常数，则
lim
n
→∞
=A ,
其中A =max{a 1,a 2,…，a m }.
≤
≤
，即
1
n A m A ≤
≤
而lim n A A →∞
=，1
lim n n m A A →∞
= ，由夹逼定理得
lim
n A →∞
=.
4※
. 利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若x 1
,x 2
,…，
x n +1
（n =1,2,…），则lim n →∞
x n 存在，并求该极限.
证：因为12x x ==有21x x >
今设1k k x x ->
，则1k k x x -=
>
=，由数学归纳法知，对于任意
正整数n 有1n n x x +>，即数列{}n x 单调递增。
又因为12x =<，今设2k x <，
则12k x -=<
=，由数学归纳法
知，对于任意的正整数 n 有2n x <，即数列{}n x 有上界，由极限收敛准则知lim n n x →∞
存在。
设lim n n x b →∞
=
，对等式1n x +=
两边取极限得b =
，即2
2b b =+，
解得2b =，1b =-（由极限的保号性，舍去），所以lim 2n n x →∞
=.
5. 求下列极限： (1) lim
n →∞
3
3
232451
n n n n n +++-+； (2) lim n
→∞
1cos n ???
-
?? ?
??
； (3) lim n →∞
; (4) lim
n →∞
1
1
(2)3(2)
3
n
n n n ++-+-+；
(5) lim
n →∞
1112
21113
3
n
n ++++
++
. 解：（1）原式=2
3
2
3
2433lim
1115
5n n n n
n
n
→∞
+
+=
+-
+
；
（2
）因为lim (10n →∞
-
=，即当n →∞
时，1-
是无穷小量，而cos n 是有界变
量，由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得：lim (1cos 0n n →∞
??
-
=???
?
； （3
）2
lim lim
n n →∞
→∞
=
而2
lim
lim
01
n n n
→∞
→∞
+
==，
2
lim lim
n n →∞
→∞
∴==∞； （4）1
1
1
11
21(1)()(2)31333lim
lim
2(2)
3
3(1)()1
3
n n n n n n n n n n ++→∞
→∞++-+
-+==-+-+ ；
（5）1
11
111()
2
1111114[1()]
42222lim
lim lim 1111311()3[1()]333
3
113
n n n n n n n n n ++→∞→∞→∞++-+++--
===+++--
-
.
6. 求下列极限： (1) 3
lim x →2
39
x x --； (2) 1
lim x →2
2354
x x x --+；
(3) lim
x →∞
34
2
6423x x x
++; (4) 2
lim
x π
→
sin cos cos 2x x x
-;
(5) 0
lim
h →3
3
()x h x
h
+-; (6) 3
lim
x
→;
(7) 1
lim
x →2
1
n
x x x n
x +++-- ; (8) lim x →∞
sin sin x x x x
+-；
(9) lim
x →
+∞
(10) 1
lim x →3
13(
)11x
x
---；
(11) 0
lim x →2
1(sin
)x x
.
解：2
3
3
3
3311(1)lim
lim
lim
9
(3)(3)
3
6
x x x x x x x x x →→→--===
--++
（2）21
1
lim (54)0,lim (23)1x x x x x →→-+=-=-
2
2
1
1
5423lim
0,lim
23
54
x x x x x x x x →→-+-∴==∞--+即
（3）3
4
4
2
26
464lim
lim 03232x x x x
x x x
x
→∞
→∞
+
+==++
； （4）π2
π
π
sin cos
sin cos 22lim
1cos 2cos π
x x x x
→
--=
=-；
（5）[]22
3
3
()()()()lim
lim
h h x h x x h x h x x x h x
h
h
→→??+-+++++-??
=
22
20lim ()()3h x h x h x x x →??=++++=?
?； （6
）
3
3
(23)92)lim
lim
x x x →→+-=
3
3
4lim
lim
3
x x →→===
；
（7）22
1
1
(1)(1)(1)
lim
lim
1
1
n
n
x x x x x n
x x x x x →→+++--+-++-=--
212
1lim 1(1)(1)(1)n n x x x x x x x --→??=+++++++++++?
? 1123(1)2
n n n =++++=
+ ；
（8）sin lim
0x x x
→∞
= （无穷小量
1x
与有界函数sin x 之积为无穷小量）
sin 1sin lim
lim
1sin sin 1x x x x x x x x x
x
→∞
→∞
+
+∴==-
-
；
（9
）22
lim lim
x x →+∞
→+∞
=
lim
lim
1x x →+∞
→+∞
===；
（10）1
lim x →3
13(
)11x
x
-
--2
3
1
(1)3
lim
1x x x x
→++-=-
2
3
2
1
1
2(2)(1)lim
lim
1(1)(1)
x x x x x x x
x x x →→+-+-==--++
2
1
(2)lim
11x x x x
→-+==-++
（11） 当0x →时，2
x 是无穷小量，1sin
x
是有界函数，
∴它们之积2
1sin x x
是无穷小量，即2
1lim sin
0x x x →??
= ??
?
。
习题2-5
求下列极限(其中a ＞0,a ≠1为常数）：
1. 0
lim
x →sin 53x x
; 2. 0
lim
x →tan 2sin 5x x
; 3. 0
lim x →x cot x ;
4. 0
lim
x
→x
; 5. 0
lim
x →2
cos 5cos 2x x
x
-; 6. lim x →∞
1x
x x ??
?+??
; 7. 0
lim x →()
cot 13sin x
x +; 8. 0
lim
x →1x
a x
-; 9. 0
lim
x →x x
a a
x
--;
10. lim
x →+∞
ln(1)ln x x
x
+-; 11. lim x →∞3222x
x x -??
?-??
; 12.lim x →∞211x
x ?
?+ ???
; 13. 0
lim
x →arcsin x
x
; 14. 0
lim x →arctan x
x
; .
解：1. 000sin 55sin 55sin 55lim
lim lim 335353x x x x
x x x x x →→→=== ； 2. 000tan 2sin 221sin 25lim lim lim sin 5cos 2sin 55cos 22sin 5x x x x x x x
x x x x x x
→→→==
0205021sin 252lim lim lim 5cos 22sin 55
x x x x x x x x →→→== ； 3. 0000
lim cot lim
cos lim lim cos 1cos 01sin sin x x x x x x
x x x x x x →→→→=?==?= ；
4. 0
sin 2lim
lim
lim
lim
2
2
x x x x x x x
→→→→===
sin 2122
2
x x →=
=
=
；
5. 2
20
073732sin sin
sin sin cos 5cos 2732222lim
lim
lim (2)732222x x x x x
x x
x x
x
x
x x →→→?
?-??-==-??????????
73sin sin 212122lim
lim
732
2
2
2
x x x x x
x
→→=-
?=-
；
6. 111lim lim lim 111e (1)
x
x
x x x x x x x x x →∞→∞→∞?
? ???
=== ? ?++??
?+??
；
7. 3cos cos 1
cot sin 3sin 0
lim (13sin )
lim (13sin )lim (13sin )x
x
x
x
x x x x x x x →→→??+=+=+????
1
3sin 0
lim (13sin )e,lim 3cos 3x x x x x →→+==
cot 3
lim (13sin )
e x
x x →∴+=
8.令1x
u a =-，则log (1)a x u =+，当0x →时，0u →，
11lim
lim
lim
1log (1)log (1)
x
x u u a a a u x
u u u
→→→-==++
1
1
1ln log e
lim log (1)a u
a u a u →=
=
=+.
9. 0
0(1)(1)
11lim
lim
lim x x
x x
x x x x x a a
a a
a a x
x
x x ---→→→??
------==+ ?-??
11
lim
lim
ln ln 2ln x
x
x x a a
a a a x
x
-→→--=+=+=-
（利用了第8题结论0
1lim
ln x
x a a x →-=）
； 10. ln(1)ln 11lim
lim
ln
x x x x
x x
x x →+∞
→+∞
+-+=?
1111lim
ln(1)lim
lim ln(1)0x x x x x
x
x
→+∞
→+∞→+∞
=+=+
=；
11. 22223211lim lim 1lim 1222222x
x x
x
x
x x x x x x x --→∞→∞→∞??-??????
=+=+?? ? ? ?---?????????
?
221
1lim 1e, lim
22222
x
x x x x x
-→∞→∞
??
+==-
?--?
?
1
232lim e 22x
x x x -→∞
-??∴= ?-??
； 12. 1
22
12
22
1
11ln (1)lim
ln (1)
2211
lim (1)lim (1)lim e
e x x x
x
x x
x x x x
x x x x x →∞?
?++
??
??
→∞
→∞→∞
??
+
=+==????
2
1
2
1lim
lim ln (1)
0lne
e e
e 1x
x x x x
→∞
→∞
+
?====；
13.令arcsin x u =，则sin x u =，当0x →，0u →，
arcsin 1lim
lim
1sin sin lim
x u u x
u u x
u
u
→→→===；
14.令arctan x u =，则tan x u =，当0x →，0u →，
arctan 1lim
lim
lim
cos lim
lim cos 1sin tan sin x u u u u x
u u u u u x
u
u
u
→→→→→==== .
习题2-6
1. 证明： 若当x →x 0时，α(x )→0,β(x )→0,且α(x )≠0，则当x →x ０时，α(x )～β(x )的充要条件是0
lim
x x →()()
()
x x x αβα-＝０.
证：先证充分性. 若0
lim
x x →()()
()
x x x αβα-＝０，则0
lim x x →()(1)()
x x βα-
＝0,
即0
()1lim
0()
x x x x βα→-=，即0
()lim
1()
x x x x βα→=.
也即0
()lim
1()
x x x x αβ→=，所以当0x x →时，()()x x αβ .
再证必要性：
若当0x x →时，()()x x αβ ，则0
()lim
1()
x x x x αβ→=，
所以0
lim
x x →()()
()
x x x αβα-＝0
lim x x →()(1)()
x x βα-
＝0
()1lim
()
x x x x βα→-=0
11110()lim
()
x x x x αβ→-
=-=.
综上所述，当x →x 0时，α(x )～β(x )的充要条件是
lim
x x →()()
()
x x x αβα-＝０.
2. 若β(x )≠0，0
lim x x →β(x )=0且0
lim
x x →()()
x x αβ存在，证明0
lim x x →α(x )=0.
证：0
()()lim ()lim
()lim
lim ()()
()
x x x x x x x x x x x x x x x αααββββ→→→→== 0
()lim
00()
x x x x αβ→==
即 0
lim ()0x x x α→=.
3. 证明： 若当x →0时，f (x )=o (x a )，g (x )=o (x b )，则f (x )·g (x )＝o (a b
x +)，其中a ,b 都大于
0，并由此判断当x →0时，tan x －sin x 是x 的几阶无穷小量. 证: ∵当x →0时, f (x )=o (x a )，g (x )=o (x b )
∴0
()
()
lim
(0),lim
(0)a
b
x x f x g x A A B B x
x
→→=≠=≠
于是: 0
000()()
()()()()
lim
lim lim lim 0a b
a b a b
x x x x f x g x f x g x f x g x AB x
x x x x
+→→→→?=?=?=≠ ∴当x →0时, ()()()a b f x g x O x +?=, ∵tan sin tan (1cos )x x x x -=-
而当x →0时, 2
tan (),1cos ()x O x x O x =-=, 由前面所证的结论知, 3
tan (1cos )()x x O x -=, 所以,当x →0时,tan sin x x -是x 的3阶无穷小量.
4. 利用等价无穷小量求下列极限： (1) 0
lim
x →sin tan ax bx
(b ≠0)； (2) 0
lim
x →2
1cos kx
x
-；
(3) 0
lim
x
→ln(1)x +； (4) 0
lim
x
→
(5) 0
lim
x →arctan arcsin x x
； (6) 0
lim
x →sin sin e
e
ax
bx
ax bx -- (a ≠b )；
(7) 0
lim
x →ln cos 2ln cos 3x
x ； (8) 设0
lim
x →2
()3f x x
-＝100,求0
lim x →f (x ).
解 00sin (1)lim
lim .tan x x ax ax a
bx bx b
→→==
)
2
2
2
2
2
2
1
()1cos 12
(2)lim lim .
2
(3)lim
lim
2.2
1
12(4)lim
lim
lim
x x x x x x x kx kx
k x
x
x x x
x
x
→→→→→→→-==
====+
1lim
4
x →==
arctan (5)lim
lim
1.arcsin x x x x x
x
→→==
1)(1)(6)lim
lim
sin sin 2cos
sin 2211lim
lim 2cos
sin
2cos
sin
22
22
lim
lim
2cos
2cos
22
22
lim
lim ()cos 2e
e
(e e e
e
ax
bx
ax
bx
x x ax
bx
x x x x x x a b
a b ax bx
x x a b a b a b
a b x x
x x
ax
bx
a b a b a b a b x x
x x
a
b
a b a b x
→→→→→→→→---=+----=-+-+-=-+-+-??=-+-()cos
2
1.
a b a b x a b a b a b
a b
a b
+--=
-
=
=---
[][]
2
22
00
2
ln 1(cos 21)ln cos 2cos 21(7)lim
lim
lim
ln cos 3ln cos 31
1(cos 31)1
(2)1cos 2442lim
lim lim
.
11cos 399(3)
2
x x x x x x x x x x
x x x x x x
x
x →→→→→→+--==-+--====-
(8)由2
()3lim
100x f x x
→-=,及2
lim 0x x →=知必有0
lim[()3]0x f x →-=,
即 0
lim[()3]lim ()30x x f x f x →→-=-=,
所以 0
lim ()3x f x →=.
习题2-7
１.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：
(1) f (x )= 31,01,3,12;
x x x x ?+≤
或
解: (1) 3
lim ()lim (1)1(0)x x f x x f +
+
→→=+==
∴ f (x )在x =0处右连续, 又1
1
lim ()lim (3)2x x f x x +
+
→→=-=
3
1
1
1
1
lim ()lim (1)2
lim ()lim ()2(1)
x x x x f x x f x f x f --+-→→→→=+====
∴ f (x )在x =1处连续.
又 2
2
lim ()lim (3)1(2)x x f x x f -
-
→→=-==
∴ f (x )在x =2处连续.
又f (x )在(0,1),(1,2)显然连续,综上所述, f (x )在[0,2]上连续.图形如下
:
图2-1
(2) 1
1
lim ()lim 1x x f x x -
-
→→==
1
1
1
1
lim ()lim 11
lim ()lim ()1(1)
x x x x f x f x f x f +++-→→→→=====
∴ f (x )在x =1处连续.
又1
1
lim ()lim 11x x f x -
+
→-→-==
1
1
lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==-
故1
1
lim ()lim ()x x f x f x -
+
→-→-≠
∴ f (x )在x =-1处间断, x =-1是跳跃间断点. 又f (x )在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞显然连续.
综上所述函数f (x )在x =-1处间断,在(,1),(1,)-∞--+∞上连续.图形如下
:
图2-2
2. 说明函数f (x )在点x 0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同?又有什么联系? 略.
3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在?试举例说明.
解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在.
例如0(),01
x x f x x x x
≤??
==?>??是其的一个第二类间断点,但0
lim ()lim 0x x f x x --→→==即在
0x =处左极限存在,而0
1lim ()lim x x f x x
++
→→==+∞,即在0x =处右极限不存在.
4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型： (1) f (x )=
2
2
132
x x x -++； (2) f (x )＝
sin sin x x x +；
(3) f (x )= ()
11x
x +； (4) f (x )= 2
24
x x +-；
(5) f (x )= 1sin
x x
.
解: (1)由2
320x x ++=得x =-1, x =-2
2
2
11
1
1
2
1(1)(1)1lim ()lim lim
lim
2
32
(1)(2)
2
lim ()x x x x x x x x x f x x x x x x f x →-→-→-→-→---+-====-+++++=∞
∴ x =-1是可去间断点,x =-2是无穷间断点. (2)由sin x =0得πx k =,k 为整数.
00
(0)
sin lim ()lim
lim (1)2
sin sin lim (),
x x x x k k x x x f x x
x
f x π→→→→≠+==+
==∞
1
1
1
1
11
1
(1)
0(3)()(1)
lim ()lim (1)lim ()lim (1)lim [(1())
]
e,
e
x x x x x x
x
x x x x x f x x x f x x f x x x ++---→→---→→→?+>?=?
?-
∴ x =0是跳跃间断点. (4)由x 2-4=0得x =2,x =-2.
2
2
2
22
1
lim ()lim
lim
42,x x x x f x x x →→→+===∞--
2211
lim ()lim ,24
x x f x x →-→-==-- ∴ x =2是无穷间断点,x =-2是可去间断点.
(5) 0
1lim ()lim sin
0,()x x f x x f x x
→→== 在x =0无定义
故x =0是f (x )的可去间断点.
5.适当选择a 值，使函数f (x )= ,0,
,0
x e x a x x ?
解: ∵f (0)=a ,
lim ()lim (),
lim ()lim 1,
e x x x
x x f x a x a f x ++--→→→→=+===
要f (x )在x =0处连续,必须0
lim ()lim ()(0)x x f x f x f +
-
→→==.
即a =1.
6※
.设f (x )= lim
x →+∞
x x x
x
a a a a
---+，讨论f (x )的连续性.
解: 2210
1()lim
lim
sgn()1010
x x x x
x
x
a a x a a a f x x x a a
a
x --→+∞
→+∞
-
====>?++?
=? 所以, f (x )在(,0)(0,)-∞+∞ 上连续,x =0为跳跃间断点. 7. 求下列极限： (1) 2
lim
x →2
22
x x x +-； (2) 0
lim
x
→；
(3) 2
lim x →ln(x -1); (4) 1
2
lim x →
(5) lim x e
→(ln x )x .
解: 2
2
2
222(1)lim
1;2
222
x x x x →?=
=+-+-
2
1
2
(2)lim
(3)lim ln(1)ln(21)ln 10;
(4)lim arcsin arcsin arcsin ;
23(5)lim (ln )(ln )1 1.
e e
e
πe x x x x x x x →→→
→==-=-========
习题2-8
1. 证明方程x 5-x 4-x 2-3x =1至少有一个介于1和2之间的根.
证: 令542
()31f x x x x x =----,则()f x 在[1,2]上连续,
且 (1)50f =-<, (2)50f =>
由零点存在定理知至少存在一点0(1,2),x ∈使得0()0f x =. 即 542
000031x x x x ---=,
即方程5
4
2
31x x x x ---=至少有一个介于1和2之间的根. 2. 证明方程ln （１＋e x ）-2x =0至少有一个小于1的正根.
证: 令()ln(1)2e x f x x =+-,则()f x 在(,)-∞+∞上连续,因而在[0,1]上连续, 且 0(0)ln(1)20ln 20e f =+-?=>
(1)ln(1)20e f =+-<
由零点存在定理知至少存在一点0(0,1)x ∈使得0()0f x =. 即方程ln(1)20e x
x +-=至少有一个小于1的正根.
3※
. 设f (x )∈C （-∞，+∞），且lim x →-∞
f (x )=A , lim x →+∞
f (x )=B , A ·B ＜0，试由极限及零点存在定
理的几何意义说明至少存在一点x 0∈（－∞,＋∞），使得f (x 0)＝０. 证: 由A ·B <0知A 与B 异号,不防设A >0,B <0
由lim ()0,lim ()0x x f x A f x B →-∞
→+∞
=>=<,及函数极限的保号性知,10X ?>,使当
1x X <-,有()0,f x >
20X ?<,使当2x X >时,有()0f x <.
现取1x a X =<-,则()0f a >,
2x b X =>,则()0f b <,且a b <,
由题设知()f x 在[,]a b 上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x =, 即至少存在一点0(,)x ∈-∞+∞使0()0f x =.
4.设多项式P n (x )＝x n +a 11
n x -+…+a n .，利用第3题证明： 当n 为奇数时，方程P n (x )=0
至少有一实根.
证: 122
()1n
n n n a a a P x x x
x
x ?
?
=+
+
++
??
?
()lim
10n n
x P x x
→∞
∴=>,由极限的保号性知.
0X ?>,使当X x >时有()0n n
P x x
>,此时()n P x 与n x 同号,因为n 为奇数,所以(2X )n
与
(-2X )n 异号,于是(2)n P X -与(2)n P X 异号,以()n P x 在[2,2]X X -上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(2,2)X X X ∈-,使0()0n P x =,即()0n P x =至少有一实根.
习题1—1解答 1． 设y x xy y x f + =),(，求) ,(1 ),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y x xy y x f + =--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f += +=+=2 2 2 ) ,(1; ),(;1)1,1( 2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++= ) ,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=?+?+?+?=++=?= 3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(2 2 -+ -= y x y x f （2）;) 1ln(4),(2 2 2 y x y x y x f ---= （3）;1),(2 22 22 2c z b y a x y x f - - -= （4）.1),,(2 2 2 z y x z y x z y x f ---+ + = 解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D （2） { y y x y x D ,10),(22<+<=
（3） ????++=),(2 2222b y a x y x D （4）{} 1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D 4．求下列各极限： （1）2 2 1 01lim y x xy y x +-→→= 11 001=+- （2）2ln 01)1ln(ln(lim 2 2 )0 1=++= ++→→e y x e x y y x （3）4 1) 42() 42)(42(lim 42lim 00 0- =++ +++- =+- →→→→xy xy xy xy xy xy y x y x （4）2)sin(lim )sin(lim 20 2=?=→→→→x xy xy y xy y x y x 5．证明下列极限不存在： （1）;lim 0y x y x y x -+→→ （2）2 2 2 2 20 0) (lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim 20 -=-+=-+→→=→x x x x y x y x x x y x ； 如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 20 ==-+→→=→y y y x y x y y x y
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3
1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限
0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题(10道题，每题２分或者3分）。 填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。 计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。 证明题(2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 １．考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求 （１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 （2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 １．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念 （2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 （5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 １．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 （1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3
三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+
第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1
高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5
D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4
数学试题 热工二班 温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种 似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。祝你成功！ 一、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 1、 求极限2 2lim (1)(1)......(1)n n x x x →∞ +++= (1x <) 2、 曲线y=（2x-1）e x 1 的斜渐近线方程是（ ） 3、 计算I=dx e x e x x ? -+2 2 41sin π π =（ ） 4、 设y=x e x 1si n 1t an ，则'y =（ ） 5、 已知()()() 100 2 1000 ln 1212x y x t t t ??=++-+? ?? ? ?dt ，求( ) ()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分） ６、设()0 ()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →? ?+ ? ? ?=>≠-求20 ()lim x f x x →＝（ ） Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ ７、函数 1.01 ().12 x x x f x e e x -≤
（ ） Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数 Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数 Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数 ９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） Ａ．2 0()x f t dt ? Ｂ．2 0()x f t dt ? Ｃ[]0 ()()x t f t f t - -?dt Ｄ．[]0 ()()x t f t f t + -?dt １０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且 () f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分 别为()f x 在点0 x 处的增量与微分，若x ＞０，则（ ） Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dy Ｃ．y ＜dy ＜０ Ｄ．dy ＜ y ＜０ 三、计算，证明题（共６０分） １１、求下列极限和积分 （１）222 22 sin cos (1)ln(1tan ) lim x x x x x x e x →--+（５分） （２）3 5 sin sin x xdx π -? （５分） （３）lim (cos 1cos x x x →∞ +-）（５分） １２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且 " (0)f （二阶）存在，(0) f
习题1—1解答 1． 设y x xy y x f + =),(，求) ,(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y x xy y x f + =--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1( 2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++= ) ,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=?+?+?+?=++=?= 3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f （2）;) 1ln(4),(222y x y x y x f ---= （3）;1),(22 2222c z b y a x y x f ---= （4）.1),,(2 2 2 z y x z y x z y x f ---++= 解（1） （2） （3） （4） 4（1）1 lim y x →→（2）lim 1→→y x
（3）41 )42()42)(42(lim 42lim 000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x （4）2) sin(lim )sin(lim 202=?=→→→→x xy xy y xy y x y x 5．证明下列极限不存在： （1）;lim 0 0y x y x y x -+→→ （2）22 22200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim 00 20-=-+=-+→→=→x x x x y x y x x x y x ； 如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 00 20==-+→→=→y y y x y x y y x y 所以极限不存在。 （2）证明 如果动点),(y x P 沿x y =趋向)0,0( 则1lim )(lim 44 022 2220 0==-+→→=→x x y x y x y x x x y x ； 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0(，则044lim )(lim 244 0222220 20=+=-+→→=→x x x y x y x y x x x y x 所以极限不存在。 6．指出下列函数的间断点： （1）x y x y y x f 22),(2-+=； （2）y x z -=ln 。 解 （1）为使函数表达式有意义，需022 ≠-x y ，所以在022 =-x y 处，函数间断。 （2）为使函数表达式有意义，需y x ≠，所以在y x =处，函数间断。 习题1—2 1．（1）x y y x z += ,21x y y x z -=??，2 1y x x y z -=??. (2) )]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy y xy xy y xy y x z -=-=?? )]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy x xy xy x xy x y z -=-=??
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
0201《微积分（上）》2015年06月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题（10道题，每题2分或者3分）。 填空题（5-10道题，每题2分或者3分）。 计算题（一般5-7道题，共40分或者50分）。 证明题（2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 1．考试内容 集合的定义，集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法，分段函数，反函数，复合函数，隐函数，函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2．考试要求 (1)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 (2)理解函数的概念。掌握函数的表示法，会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 1．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质，函数的左极限与右极限，无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限。 2．考试要求 (1)理解数列及函数极限的概念 (2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性)。掌握极限的四则运算法则。 (4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 (5)掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 1．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点，连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 (1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。
浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷 一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内） 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为 （A ） 2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为 （A ）100(,)dy f x y dx ?? （B ）1 00(,)dy f x y dx ?? （C ） 10 (,)dx f x y dy ? ? （D ）10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -= （A ） 12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3 4 -. [ ] ＜
安徽大学2011—2012 学年第一学期 《高等数学A（三）》考试试卷（A 卷） （闭卷时间120 分钟） 考场登记表序号 题号一二三四五总分 得分 阅卷人 一、选择题（每小题2 分，共10 分）得分 1.设A为n阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（）。 （A）(2A)?1 =2A?1 ；（B）(2A?1)T=(2A T)?1 ；（C） ((A?1)?1)T=((A T)?1)?1 ；（D）((A T)T)?1 =((A?1)?1)T。 2.若向量组1, 2 , , r ααα可由另一向量组 （）。 βββ线性表示，则下列说法正确的 是 1, 2 , , sβββ线性表示，则下列说法 正确的是 （A）r≤s；（B）r≥s； （C）秩( 1, 2 , , r1, 2 , , s1, 2 , , r ααα)≤秩(βββ)；（D）秩(ααα)≥ 秩( ββ β)。 1, 2 , , sββ β)。 3.设A, B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则下列说法正确的是（）。 （A）λE?A=λE?B； （B）A与B有相同的特征值和特征向量； （C）A与B都相似于一个对角矩阵； （D）对任意常数k，kE?A与kE?B相似。 4.设1, 2 , 3 ααα为R3 的一组基，则下列向量组中，（）可作为R3 的另一组基。 （A）1, 1 2 ,3 1 2 1, 2 ,2 1 2 α+αα+αα+α。 αα?αα?α；（B）ααα+α； （C） 1 2 , 2 3, 1 3 α+αα+αα?α；（D） 1 2 , 2 3, 1 3 5.设P(A) =0.8 ，P(B) =0.7 ，P(A| B) =0.8 ，则下列结论正确的是（）。
《微积分（1）》练习题 一．单项选择题 1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()()()0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B ．()()()0000lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C ．()()()0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()00002 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（ ） A ．201 sin lim x x x → B ．12lim 2+-+∞→x x x x C ． x x e 1 lim → D ．() x x x x +-∞ →63 2 21 3lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22-- 4．函数?? ? ??>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。 A ．跳跃间断点； B ．无穷间断点； C ．可去间断点； D ．振荡间断点 5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0电子科技大学微积分试题及答案
电子科技大学期末微积分 一、选择题(每题2分) 1、设x ?()定义域为（1,2），则lg x ?()的定义域为（） A 、（0,lg2） B 、（0，lg2] C 、（10,100） D 、（1,2） 2、x=-1是函数x ?()=() 22 1x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求02lim x x →等于（） A 、-1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=，求y '等于（） A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x =-的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、 __________ 2、、2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________
5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 2 1x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim β βαα =∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、1sin x y x =求函数 的导数 2、21 ()arctan ln(12 f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、 计算 6、2 1 lim(cos )x x x + →计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润 最大的情况下，总税额最大（8分） 2、描绘函数21 y x x =+ 的图形（12分） 六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01 lim (),lim ()x x f x A f A x +→+∞→==则
电子科技大学微积分试题及答案
电子科技大学期末微积分 一、选择题(每题2分) 1、设x ?()定义域为（1,2），则lg x ?()的定义域为（） A 、（0,lg2） B 、（0，lg2] C 、（10,100） D 、（1,2） 2、x=-1是函数x ?()=() 22 1x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求024 lim x x x →+等于（） A 、-1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=，求y '等于（） A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x = -的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、2 1x +__________ 2、、2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________ 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）