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第27卷 第7期 无 机 材 料 学 报
Vol. 27
No. 7
2012年7月
Journal of Inorganic Materials Jul., 2012
收稿日期: 2011-08-16; 收到修改稿日期: 2011-10-05
基金项目: 广西省自然科学基金(2010GXNSFD013007); 广西信息材料重点实验室主任基金(桂科能0710908-15-Z)
Natural Science Foundation of Guangxi Province(2010GXNSFD013007); The Information Materials Key Laboratory Foundation of Guangxi (0710908-15-Z)
作者简介: 崔业让(1986?), 男, 硕士研究生. E-mail: cuicui612@https://www.doczj.com/doc/60867280.html, 通讯作者: 刘心宇, 教授. E-mail: yyxyl@https://www.doczj.com/doc/60867280.html,
文章编号: 1000-324X(2012)07-0731-04 DOI: 10.3724/SP.J.1077.2012.11517
Sm 2O 3掺杂(Ba 0.7Ca 0.3)TiO 3-Ba(Zr 0.2Ti 0.8)O 3无铅压电陶瓷的 制备与性能
崔业让1, 刘心宇1,2, 袁昌来1,2, 翟 霞1, 胡耀斌1, 李若雯1
(1. 桂林电子科技大学 广西信息材料重点实验室, 桂林 541004; 2. 中南大学 材料科学与工程学院, 长沙 410083)
摘 要: 采用固相合成法制备了Sm 2O 3掺杂的(Ba 0.7Ca 0.3)TiO 3-Ba(Zr 0.2Ti 0.8)O 3(BCZT)无铅压电陶瓷. 借助XRD 、SEM 等手段对该陶瓷的显微结构与电性能进行了研究. 结果表明, Sm 2O 3的掺杂降低了BCZT 无铅压电陶瓷的烧结温度并使居里温度点T c 从85℃提高到95℃. 当Sm 2O 3掺杂量为0.02wt%~0.1wt%时, 样品具有典型ABO 3型钙钛矿结构. Sm 2O 3掺杂量为0.02wt%时, 所得陶瓷样品具有最优综合电性能, 其压电常数d 33、机电耦合系数k p 、机械品质因子Q m 、介电损耗tan δ和介电常数εr 分别为590 pC/N 、0.52、43、1.3%和3372. 关 键 词: 无铅压电陶瓷; Sm 2O 3; 压电性能; 钙钛矿 中图分类号: TQ174 文献标识码: A
Preparation and Properties of Sm 2O 3 Doped (Ba 0.7Ca 0.3)TiO 3-Ba(Zr 0.2Ti 0.8)O 3
Lead-free Piezoelectric Ceramics
CUI Ye-Rang 1, LIU Xin-Yu 1,2, YUAN Chang-Lai 1,2, ZHAI Xia 1, HU Yao-Bin 1, LI Ruo-Wen 1
(1. Guangxi Key Laboratory of Information Materials, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China; 2. College of Material Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)
Abstract: Sm 2O 3 doped (Ba 0.7Ca 0.3)TiO 3-Ba(Zr 0.2Ti 0.8)O 3 (BCZT) lead-free piezoelectric ceramics were prepared
by solid state synthesis method. The microstructure and electrical properties of prepared ceramics were investigated by XRD, SEM and other techniques. The results demonstrate that Sm 2O 3 doping reduces sintering temperature of BCZT lead-free piezoelectric ceramics and increases the Curie temperature T c from 85℃ to 95℃. BCZT ceramics doped with 0.02wt %–0.1wt% Sm 2O 3 possess a typical ABO 3 type perovskite structure.With the doping of 0.02wt% Sm 2O 3, the BCZT ceramics show the optimum electrical properties, and its piezoelectric constant d 33, electrome-chanical coupling factor k p , mechanical quality factor Q m , dielecteic loss tan δ and relative dielectric constant εr reach 590 pC/N, 0.52, 43, 1.3% and 3372, respectively.
Key words: lead-free piezoelectric ceramics; Sm 2O 3; piezoelectric property; perovskite
压电陶瓷可以实现机械能和电能相互转换, 广泛应用于机械、电子、通讯等领域[1]. 长期以来, 锆钛酸铅(PZT)材料在压电陶瓷的发展与应用过程中
一直占主导地位, 但PZT 基陶瓷是一种环境污染严重的材料. 随着全社会对环保问题的重视, 寻找能够代替PZT 的无铅压电材料成为电子材料领域的紧
732 无机材料学报第27卷
迫任务之一[2-3].
钙钛矿结构无铅压电陶瓷因具有相对较好的压电性能已成为人们研究的焦点之一[4-7], 其中由REN等[6]发现的(Ba0.7Ca0.3)TiO3-x Ba(Zr0.2Ti0.8)O3无铅压电陶瓷体系因其d33高达620 pC/N以上、介电损耗小、介电常数高等优点, 受到广泛关注[6-13]. 但是, 用传统工艺烧结的BCZT陶瓷烧结温度高达1540℃[11], 如何提高致密度,改善压电性能成为(Ba0.7Ca0.3)TiO3-x Ba(Zr0.2Ti0.8)O3体系改性研究的重要内容.
大量研究表明, 稀土元素的掺杂能够很好地提高压电陶瓷的致密度和改善其压电性能. Gao等[14]采用CeO2对KNN基无铅压电陶瓷掺杂的研究表明, CeO2的引入提高了KNN基陶瓷体系的致密度和压电性能. 郑严艳[15]采用Sm2O3对BNT基压电陶瓷掺杂的研究表明, Sm2O3掺杂不仅能够降低陶瓷试样的介电损耗, 而且能提高陶瓷试样的致密度和压电性能. 本工作采用Sm2O3掺杂(Ba0.7Ca0.3)TiO3- Ba(Zr0.2Ti0.8)O3(BCZT)制备无铅压电陶瓷, 并研究了Sm2O3的引入对BCZT陶瓷的晶相、显微结构和压电、介电等性能的影响.
1实验
用固相合成法制备(Ba0.7Ca0.3)TiO3- Ba(Zr0.2Ti0.8)O3-x Sm2O3无铅压电陶瓷, 以充分干燥的分析纯BaCO3(≥99.0%)、CaCO3(≥99.0%)、TiO2(≥99.0%)、ZrO2(≥99.0%)为原料. 按化学式(Ba0.7Ca0.3)TiO3-Ba(Zr0.2Ti0.8)O3的理论组成计算配方. 原料以无水乙醇为球磨介质球磨24 h; 干燥后过147 μm筛, 在1200~1250℃下保温2 h. 合成好的粉料掺入Sm2O3(0.02wt%、0.04wt%、0.06wt%、0.08wt%、0.1wt%后再次球磨8 h, 烘干后加入适量的聚乙烯醇(PV A)溶液进行造粒; 然后, 干压成型为φ15 mm×1.5 mm的圆片备用. 烧结时样品在600℃排胶2 h, 然后以200℃/h速度升温至1350℃保温烧结 4 h, 随炉冷却. 样品被银电极, 在30~50℃的硅油内按3~4 kV/mm加直流电压极化10 min, 放置24 h后测量其性能.
采用ZJ-3AN型准静态d33测量仪测量样品的压电常数d33; 采用 D8-2-ADV ANCED型X衍射仪(BRUKER AXS, German)测定样品的XRD图谱; 采用JSM-5610 LV型SEM(JEOL, Japan)观察样品的微观形貌; 采用 Agilent 4294A精密阻抗分析仪测量陶瓷的介电容量、径向模谐振频率、反谐振频率、阻抗和介电温谱等.
2结果分析与讨论
2.1物相分析
图1为掺杂不同Sm2O3的BCZT陶瓷样品的XRD图谱. 从图l(a)可以看到, 各组分样品均形成了典型的ABO3型钙钛矿结构, 没有明显的第二相生成. 表明Sm2O3完全扩散固溶进入BCZT陶瓷晶格中. 图1(b)显示了2θ为45°附近的XRD图谱, 由衍射峰(002)/(200)可以得出, 该体系陶瓷样品由四方结构向准立方结构转变[6], 在0.02wt%~0.04wt%范围内出现准同型相界(MPB). 此外, 随着Sm3+含量的增加到0.1wt%时, 陶瓷样品的衍射峰明显向高角度移动. Sm3+半径为0.096 nm、A位的Ca2+半径0.134 nm、B位的Zr4+半径0.072 nm. 从离子半径相近角度看, Sm3+更容易进入B位与Zr4+发生取代反应. 由于Sm3+半径比Zr4+半径大, 导致晶格膨胀, 引起BCZT陶瓷样品四方、准立方相界转变和衍射峰的偏移. 当Sm3+含量增加到0.1wt%时出现异常. 其引起原因有待于进一步研究.
2.2显微结构分析
图2为掺杂不同Sm2O3的BCZT陶瓷样品的
图1 掺杂不同Sm2O3的BCZT陶瓷样品的XRD图谱Fig. 1 XRD patterns of BCZT ceramic samples doped with different contents of Sm2O3
第7期崔业让, 等: Sm2O3掺杂(Ba0.7Ca0.3)TiO3-Ba(Zr0.2Ti0.8)O3无铅压电陶瓷的制备与性能 733
图2 掺杂不同Sm2O3的BCZT陶瓷样品的SEM照片 Fig. 2 SEM images of BCZT ceramic samples doped with different contents of Sm2O3
(a) 0.02wt%; (b) 0.04wt%; (c) 0.06wt%; (d) 0.08wt%; (e) 0.1wt%
SEM照片, 从图中可以看出, 随着Sm2O3掺杂量的增加, 样品的晶粒逐渐细化. 掺杂量x=0.02wt%时,晶粒大小较均匀, 而当掺杂量继续增加到0.1wt%时,出现许多尚未充分生长的小晶粒. 这是因为添加少量Sm3+增加了晶格中的氧空位, 促进烧结使晶粒增大. 但加入过量的Sm2O3会使Sm3+堆积在晶界处则会阻止晶粒的长大.
2.3压电性能分析
图3为掺杂不同Sm2O3的BCZT陶瓷样品的压电性能, 从图中可以看出, 随着Sm2O3掺杂量的增加, 压电常数d33和机电耦合系数k p大致都下降. 当掺杂量为0.02wt%时, 压电常数d33和机电耦合系数k p达到最优值, 分别为590 pC/N和0.52. 而机械品质因子Q m则相反, 随着Sm2O3掺杂量增加不断上升, 从43增加到89. 根据图1(b)可知, Sm2O3掺杂量在0.02wt%~0.04wt%范围内出现准同型相界(MPB), 当少量的Sm3+取代Zr4+时, 由于价态不同而产生氧空位, 有利于晶格内电畴的转向, 进而提高压电性能, 随着Sm2O3的不断增加, Sm3+进入晶界, 阻止晶粒的生长使晶粒生长不均匀; 晶粒变小会使畴壁运动困难, 恶化压电性能, 表现为压电系数d33和k p降低. 这说明Sm2O3的引入对BCZT陶瓷体系的压电性能的影响很大
. 图3 掺杂不同Sm 2O3的BCZT陶瓷样品的压电性能
Fig. 3 Piezoelectric properties of BCZT ceramic samples doped with different contents of Sm 2O3
2.4介电温谱分析
图4为掺杂不同Sm2O3的BCZT陶瓷样品在10 kHz下的介电温谱, 由图看出, 随着Sm2O3掺杂量的增加, 陶瓷样品的居里温度T C从85℃[11]提高到95. Sm
℃3+半径(0.096 nm)和B位的Zr4+半径(0.072 nm)相近,发生取代反应, 由于Sm3+半径比Zr4+半径大,导致晶格膨胀, 加上Sm3+取代Zr4+产生氧空位, 氧空位浓度的增加使居里温度T C提高. 这说明掺杂Sm2O3可以提高BCZT陶瓷的居里温度.
2.5介电常数和介电损耗分析
图5为掺杂不同Sm2O3的BCZT陶瓷样品在1 kHz下的介电常数和介电损耗. 从图中可以看出陶瓷样品的介电损耗tanδ和介电常数εr随着Sm2O3掺杂量增加先增加后减小, 并在掺杂量为0.02wt%时达到最优值, 分别为1.3%和3372. 结合图2可以看出, Sm2O3的引入具有促进晶粒生长的作用, 使陶瓷内部空隙减少, 结构更加致密, 可以有效降
图4 掺杂不同Sm 2O3的BCZT陶瓷样品在10 kHz下的介电温谱
Fig. 4 Dielectric temperature spectra of BCZT ceramic sam-ples doped with different contents of Sm 2O3 at 10 kHz
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图5 掺杂不同Sm 2O3的BCZT陶瓷样品在1 kHz下的介电常数和介电损耗
Fig. 5 Dielectric constant and dieelectric loss of BCZT ce-ramic samples doped with different contents of Sm 2O3 at 1 kHz 低本体系陶瓷样品的介电损耗和提高其介电常数. 3结论
1) 采用固相合成法制备了致密的Sm2O3掺杂(Ba0.7Ca0.3)TiO3-Ba(Zr0.2Ti0.8)O3无铅压电陶瓷.
2) 陶瓷样品组成均具典型的ABO3型钙钛矿结构; Sm2O3的掺杂对陶瓷显微组织影响较大, 总体上随着Sm2O3掺杂量的增加, 陶瓷晶粒随之细化.
3) 引入Sm2O3使BCZT陶瓷样品烧结温度从1540℃降到1350;
℃居里温度点T c从85℃提高到了95℃.
4) 陶瓷样品的综合电性能在x=0.02wt％时达到最优: d33 =590 pC/N, k p =0.52, Q m=43, tanδ=1.3%, εr=3372.
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欧几里得几何学的公理体系. 欧几里得几何（Euclid geometry）起源于古 埃及，当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要 进行丈量. 因此他们用geometry一词，其原意就是 “丈量土地”. 自此就开始了对图形的研究. Euclid 《原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理 出来，而成为一个逻辑体系. 由于这个《原本》中包 含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接 研究图形的部分最多，因此，中文译本将书名译成为 《几何原本》. （“几何”来自“geo”的音译） 几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在 这一阶段，几何学就意味着数学的全部，古代数学家 把萌芽中的代数学也包括在几何学中. “数”与“形”的结合，是17世纪开始的，由于 代数学、分析学的发展，并形成了几何学、代数学、 分析学等独立的数学分支，数学家R.Descartes首先 建立了解析几何学，他利用坐标系，将图形问题转化 为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何 问题. 于是，相对于解析几何学来说，不用坐标而直接 研究图形的几何学，称之为纯粹几何学. 纯粹几何学 的进一步发展，就是射影几何学. 十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否 定了欧几里得几何中的平行线公理. 在n维向量空间建立后，几何体系就综合成了 n维欧几里得几何、n维射影几何、n维非欧几何. 把几何学用“群”的观点统一起来加以论述，也就是 “埃尔兰根纲领（Erlangen program, 1872）”，德国 数学家F.Klein的一篇不朽论文）：每种几何学视为 由一个点集组成的“空间”S，以及“由S到S的变 换群G”所确定的，研究S的子集（图形）性质中对 于G来说不变的性质，这就是几何学. 在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天，几何学 的发展日新月异，微分几何学及其发展Riemann几何 学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世 瞩目.
希尔伯特的23个问题 希尔伯特（Hilbert D,1862.1.23~1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的希尔伯特23个问题。 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。 1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。
下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况： 1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔 集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。 1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。 3．两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。 4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973
《推理与证明》单元测试题 考试时间120分钟 总分150分 一．选择题（共50分） 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1 an －1 )(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y | ＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ） A ．01 B ．43 C ．07 D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ） 1> ② ③lg 2>A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.如图，椭圆的中心在坐标原点， F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有 ()()() 2 2 2 2 2 c b b a c a +++=+ ，从而得其离心率为 ，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ） A ． 12 B ．12+ C 6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰 是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。 第2件 第3件 第1件
2012高考真题分类汇编：推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 ： 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即 21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝ 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断，下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B ．d C ．d D ．d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由，得设选项中常数为则；中代入得， 中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<，
数学的公理化 十九世纪末到二十世纪初，数学已发展成为一门庞大的学科，经典的数学部门已经建立起完整的体系：数论、代数学、几何学、数学分析。数学家开始探访一些基础的问题，例如什么是数？什么是曲线？什么是积分？什么是函数？……另外，怎样处理这些概念和体系也是问题。 经典的方法一共有两类。一类是老的公理化的方法，不过非欧几何学的发展，各种几何学的发展暴露出它的许多毛病；另一类是构造方法或生成方法，这个办法往往有局限性，许多问题的解决不能靠构造。尤其是涉及无穷的许多问题往往靠逻辑、靠反证法、甚至靠直观。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是无法断定的。 对于基础概念的分析研究产生了一系列新领域—抽象代数学、拓扑学、泛函分析、测度论、积分论。而在方法上的完善，则是新公理化方法的建立，这是希尔伯特在1899年首先在《几何学基础》中做出的。 十九世纪八十年代，非欧几何学得到了普遍承认之后，开始了对于几何学基础的探讨。当时已经非常清楚，欧几里得体系的毛病很多：首先，欧几里得几何学原始定义中的点、线、面等不是定义；其次，欧几里得几何学运用许多直观的概念，如“介于……之间”等没有严格的定义；另外，对于公
理系统的独立性、无矛盾性、完备性没有证明。 在十九世纪八十年代，德国数学家巴士提出一套公理系统，提出次序公理等重要概念，不过他的体系中有的公理不必要，有些必要的公理又没有，因此他公理系统不够完美。而且他也没有系统的公理化思想，他的目的是在其他方面——想通过理想元素的引进，把度量几何包括在射影几何之中。 十九世纪八十年代末期起，皮亚诺和他的学生们也进行了一系列的研究。皮亚诺的公理系统有局限性；他的学生皮埃利的“作为演绎系统的几何学”，由于基本概念太少而把必要的定义和公理弄得极为复杂，以致整个系统的逻辑关系极为混乱。 希尔伯特的《几何学基础》的出版，标志着数学公理化新时期的到来。希尔伯特的公理系统是其后一切公理化的楷模。希尔伯特的公理化思想极深刻地影响其后数学基础的发展，他这部著作重版多次，已经成为一本广为流传的经典文献了。 希尔伯特的公理系统与欧几里得及其后任何公理系统的不同之处，在于他没有原始的定义，定义通过公理反映出来。这种思想他在1891年就有所透露。他说：“我们可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面”。当然，他的意思不是说几何学研究桌、椅、啤酒怀，而是在几何学中，点、线、
世界数学十大未解难题 （其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决 的问题”） 一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数 13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。 二：霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。 三：庞加莱(Poincare)猜想
高二数学选修2-2第二章推理与证明 1、 下列表述正确的是（ ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤. 2、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“ a b a b c c c +=+ （c ≠0） ” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ?/平面α，直线a ≠ ?平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的， 这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。 (A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度； (C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。 5、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1=a a n --+112 ， (a ≠1，n ∈N)”时，在验证n=1 成立时，左边应该是 （ ） (A)1 (B)1＋a (C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 3 7、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时
推理与证明 1.（2019全国II 文5）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙 2．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若 11a >，则 A ．13a a <，24a a < B ．13a a >，24a a < C ．13a a <，24a a > D ．13a a >，24a a > 3．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则 A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈ B ．对任意实数a ，(2,1)A ? C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ? D ．当且仅当3 2 a ≤ 时，(2,1)A ? 4．（2017新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说， 你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A ．乙可以知道两人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 5．(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B U 的所有元 素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得 112n n S a +>成立的n 的最小值为 ． 6．（2017北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
欧几里德几何 简称“欧氏几何”。几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。 欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。 欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。高维的情形请参看欧几里德空间。 数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。 公理描述 [编辑本段] 欧几里德几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。 欧几里德几何的五条公理是： 任意两个点可以通过一条直线连接。 任意线段能无限延伸成一条直线。 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。 所有直角都全等。 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。 第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。 平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。） 从另一方面讲，欧几里德几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。 欧几里德还提出了五个“一般概念”，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。
服务器文件共享权限设置方法说明 随着企业的发展，利用计算机进行信息化管理变得越来越重要。员工进行计算机协同工作时，很多文件、资料需要共享。然而普通的共享方式对于很多信息是不安全的，因此我们需要对共享的权限进行控制，让不同身份的用户对文件夹、文件具有不同的访问权限。 下面就是设置权限访问的具体实施方法： 一、需求分析 1、为每个部门建立一个文件夹，文件夹允许对应部门的人员进行完全权限的访问，领导可进行只读访问，其他人员不能访问。 2、建立“常用软件”文件夹，计算机管理人员可以进行完全权限访问，其他人员进行只读访问。 3、建立“公司发文”文件夹，发文人员进行读写访问，其他人员进行只读访问。 4、建立“中转站”文件夹，用于人员之间的资料互换，所有人员具有读写权限。 5、建立“常用报表”文件夹，其中设立各类报表的子文件夹，并对子文件夹设立权限。 需要修改其中内容的人员具有读写权限，只需查看的人员具有只读权限，其他人员无权访问。（具体人员和相关访问权限另附） 二、设备配置 1、购买一台服务器计算机，并建好局域网。 2、服务器上安装Windows服务器操作系统，如Windows Server 2003。 3、安装文件服务器，文件服务器是Windows Server的一个组件。 4、服务器上至少有一个NTFS格式的磁盘分区，用于存放共享的资源。 三、文件夹建立 1、在NTFS格式的分区上建立一个文件夹作为共享根目录。 2、在根目录下建立各个分目录文件夹。如常用软件、常用报表、中转站、人力部、技术部、进出口部等。 3、在分目录下建立子目录文件夹。如常用报表下的生产日报表、船期表、纸样图等。 四、建立用户和组
2018高考文科数学推理与证明专项100题（WORD版含答案）1. 下列说法中正确的是（） A．当a＞1时，函数y=a x是增函数，因为2＞1，所以函数y=2x是增函数，这种推理是合情推理 B．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此．这种推理是演绎推理 C．命题的否定是￢P：?x∈R，e x＞x D．若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小 2. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”． 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（） A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×22014 3. 用反证法证明命题：“若a，b∈R，则函数f（x）=x3+ax﹣b至少有一个零点”时，假设应为（） A．函数没有零点B．函数有一个零点 C．函数有两个零点D．函数至多有一个零点 4. 分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a＜b＜c，且a+b+c=0，求证：b2﹣ac＜ 3c2，则证明的依据应是（） A．c﹣b＞0 B．c﹣a＞0 C．（c﹣b）（c﹣a）＞0 D．（c﹣b）（c﹣a）＜0 5. 有一段演绎推理是这样的“所有边长都相等的多边形为凸多边形，菱形是所有边长都相等的凸多边形，所有菱形是正多边形”结论显然是错误的，是因为（） A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误 6.
我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（） A．B．C．D．a 7. 定义：“回文”是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等．在数学中也有这样一类数字有这样的特征，称为回文数．设n是一任意自然数．若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等，则称n 为一回文数．例如，若n=1234321，则称n为一回文数；但若n=1234567，则n不是回文数．则下列数中不是回文数的是（） A．187×16 B．1112C．45×42 D．2304×21 8. 学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧，每天一部．受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演；《茶馆》不能在周一和周三上演；《天籁》不能在周三和周四上演；《马蹄声碎》不能在周一和周四上演．那么下列说法正确的是（） A．《雷雨》只能在周二上演 B．《茶馆》可能在周二或周四上演 C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D．四部话剧都有可能在周二上演 9. 小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时， 小赵说：我没去过； 小钱说：小李去过； 小孙说；小钱去过； 小李说：我没去过． 假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（） A．小赵B．小李C．小孙D．小钱 10. 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）
希尔伯特的二十三个数学问题 1900年，德国数学家D.希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题 》的著名讲演，其中对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了精辟的见解，而整个 讲演的核心部分则是希尔伯特根据19世纪数学研究的成果与发展趋势而提出的23个问题。 ①连续统假设1963年，P.J.科恩证明了：连续统假设的真伪不可能在策梅洛－弗伦克尔公理系统内判明。 ②算术公理的相容性1931年,K.哥德尔的“不完备定理”指出了用希尔伯特“元数学”证明算术公理相容性之不可能。数学相容性问题尚未解决。 ③两等高等底的四面体体积之相等M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。 ④直线作为两点间最短距离问题希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。 ⑤不要定义群的函数的可微性假设的李群概念A.M.格利森、D.蒙哥马利和L.齐平等于1952年对此问题作出了最后的肯定解答。 ⑥物理公理的数学处理公理化物理学的一般意义仍需探讨。至于希尔伯特问题中提到的概率论公理化，已由А.Н.柯尔莫哥洛夫(1933)等人建立。 ⑦某些数的无理性与超越性1934年,A.O.盖尔丰德和T.施奈德各自独立地 解决了问题的后半部分，即对于任意代数数□≠0，1，和任意代数无理数□证明了□□的超越性。 ⑧素数问题包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想最佳结果属于陈景润(1966)，但离最终解决尚有距离。 ⑨任意数域中最一般的互反律之证明已由高木□治(1921)和E.阿廷(1927)解决。 ⑩丢番图方程可解性的判别1970年，□.В.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的一般算法不存在。 11 系数为任意代数数的二次型H.哈塞(1929)和C.L.西格尔(1936，1951)在这问题上获得重要结果。 12 阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域尚未解决。 13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程连续函数情形于1957年由В.И.阿诺尔德解决。解析函数情形则尚未解决。 14 证明某类完全函数系的有限性1958年,永田雅宜给出了否定解决。 15 舒伯特计数演算的严格基础代数几何基础已由B.L.范·德·瓦尔登(1938～1940)与A.韦伊(1950)建立，但舒伯特演算的合理性仍待解决。 16 代数曲线与曲面的拓扑对该问题的后半部分，И.Г.彼得罗夫斯基曾声明证明了□=2时极限环个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例(1979)。
选修1 2推理与证明 选修1 2推理与证明选修1 2推理与证明 考纲导读 （一）合情推理与演绎推理 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。 2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 （二）直接证明与间接证明 1.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。 2.了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。 （三）数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。高考导航 1.推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。 2.推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。 1、由数列1，10，100，1000，……猜测该数列的第n项可能是( ) A.10n; B.10n-1; C.10n+1; D.11n.
2、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( ) ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A.①; B.①②; C.①②③; D.③。 3、下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。 A.①②③; B.②③④; C.②④⑤; D.①③⑤。 4、演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法( ) A.一般的原理原则; B.特定的命题; C.一般的命题; D.定理、公式。 5、实数a、b、c不全为0的条件是( ) A.a、b、c均不为0; B.a、b、c中至少有一个为0; C.a、b、c至多有一个为0; D.a、b、c至少有一个不为0。 6、设m≠n，x=m4-m3n，y=n3m-n4，则x与y的大小关系为( ) A.x>y; B.x=y; C.x 来源网络搜集整理，仅作为学习参考，请按实际情况需要自行编辑
课时规范练 A组基础对点练 1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根” 时，要做的假设是() A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b ＝0没有实根”． 答案：A 2．(2019·重庆检测)演绎推理“因为对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)是增函数，而 函数y＝log 1 2x是对数函数，所以y＝log 1 2x是增函数”所得结论．错误的原因 是() A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误 解析：因为当a>1时，y＝log a x在定义域内单调递增，当0 4．已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，观察下列运算： a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2； a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·…·log 78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg 8lg 7＝3；…. 若a 1·a 2·a 3·…·a k (k ∈N *)为整数，则称k 为“企盼数”，试确定当a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2 016时，“企盼数”k 为( ) A ．22 016＋2 B ．22 016 C ．22 016－2 D ．22 016－4 解析：a 1·a 2·a 3·…·a k ＝lg (k ＋2)lg 2＝2 016，lg(k ＋2)＝lg 22 016，故k ＝22 016－2. 答案：C 5．(2019·丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)， (2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为( ) A ．(3,9) B ．(4,8) C ．(3,10) D ．(4,9) 解析：因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．故选D. 答案：D 6．下列结论正确的个数为( ) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确． (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理． (3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的． (4)平面内，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：(1)不正确．(2)(3)(4)正确． 答案：D 数学分支之欧氏几何 欧氏几何的建立 欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。后又被译成多种文字，共有二千多种版本。它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。 一座不朽的丰碑 欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。这部划时代的著作共分13卷，465个命题。其中有八卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。 在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如同学们所学的“两点确定一条直线”等即是。同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里德采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题。然后又以此为基础，来证明第二个命题，如此下去，证明了大量的命题。其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系统。因而在数学发展史上，欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。正是从这层意义上，欧几里德的《几何原本》对数学的发展起到了巨大而深远的影响，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。 欧氏几何的完善 公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域，对数学的发展产生了不可估量的 希尔伯特23个数学问题及其解决情况 已有 95 次阅读2011-10-3 21:02|个人分类:Mathematics&Statistics|系统分类:科研笔记|关键词:数学世纪亚历山大希尔伯特全世界 希尔伯特（HilbertD.，1862.1.23～1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。 1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪 的数学家们去研究，这就是著名的“希尔伯特23个问题”。 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。 1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项 就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。 下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况： （1）康托的连续统基数问题。 1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF 集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。 （2）算术公理系统的无矛盾性。 欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。 根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的 共享文件夹权限整理 1.权限简介 1.1 用户组简介 Administrators,管理员组，默认情况下，Administrators中的用户对计算机/域有不受限制的完全访问权。分配给该组的默认权限允许对整个系统进行完全控制。所以，只有受信任的人员才可成为该组的成员。 Power Users，高级用户组，Power Users 可以执行除了为 Administrators 组保留的任务外的其他任何操作系统任务。分配给 Power Users 组的默认权限允许 Power Users 组的成员修改整个计算机的设置。但Power Users 不具有将自己添加到 Administrators 组的权限。在权限设置中，这个组的权限是仅次于Administrators的。 Users:普通用户组，这个组的用户无法进行有意或无意的改动。因此，用户可以运行经过验证的应用程序，但不可以运行大多数旧版应用程序。Users 组是最安全的组，因为分配给该组的默认权限不允许成员修改操作系统的设置或用户资料。Users 组提供了一个最安全的程序运行环境。在经过 NTFS 格式化的卷上，默认安全设置旨在禁止该组的成员危及操作系统和已安装程序的完整性。用户不能修改系统注册表设置、操作系统文件或程序文件。Users 可以关闭工作站，但不能关闭服务器。Users 可以创建本地组，但只能修改自己创建的本地组。 Guests:来宾组，按默认值，来宾跟普通Users的成员有同等访问权，但来宾帐户的限制更多。 Everyone:顾名思义，所有的用户，这个计算机上的所有用户都属于这个组。 其实还有一个组也很常见，它拥有和Administrators一样、甚至比其还高的权限，但是这个组不允许任何用户的加入，在察看用户组的时候，它也不会被显示出来，它就是SYSTEM组。系统和系统级的服务正常运行所需要的权限都是靠它赋予的。由于该组只有这一个用户SYSTEM，也许把该组归为用户的行列更为贴切。 推理与证明 一、核心知识 1.合情推理 （1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 （2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式：三段论 “三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 3.直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 （1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 （2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 4反证法 （1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 （2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。 （3）反证法的思维方法:正难则反 5．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤 (1)证明：当 n 取第一个值 n0（n0∈N*）时命题成立； 1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)． 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式：欧氏几何介绍
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