一部分数与式一知识要点
实数的分类
实数
有理数
整数
正整数
零
负整数
分数
正分数
负分数
无理数——无限不循环小数
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当然还可以分为：正实数、零、负实数。
有理数还可以分为：正有理数，零，负有理数
（一）整数
1.整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.737373…，，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－-，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数．
2.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0.
3.有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.
4.有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
5有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.
6有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同零相乘都得零；
（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.
7 有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；
（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .①(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2．②(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2
．③-(a ＋b )(a 2
－ab ＋b 2
)＝a 3
＋b 3
．④(a －b )(a 2
＋ab ＋b 2
)＝a 3
－b 3
；a 2
＋b 2
＝(a ＋b )2
－2ab ，(a －b )2
＝(a ＋b )2
－4ab ．
8有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0
a
. 9有理数乘方的法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n
=-a n
或(a
-b)n
=-(b-a)n
, 当n 为正偶数时: (-a)n
=a
n
或 (a-b)n =(b-a)n
（3）幂的运算性质：①a m ×a n ＝a m ＋n ．②a m ÷a n ＝a m －n ．③(a m )n ＝a mn ．④(ab )n ＝a n b n ．⑥a －n ＝
1n a
，特别：()－n ＝()n ．⑦a 0＝1(a ≠0)．如：a 3×a 2＝a 5，a 6÷a 2＝a 4，(a 3)2＝a 6，(3a 3
-)3＝27a 9，(－3)－1＝－，5－2＝
＝
，()－2＝()2＝，(－3.14)o＝1，(
－
-
)0＝1．
10．乘方的定义：
（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；
（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； （3）a 2
是重要的非负数，即a 2
≥0；若a 2
+|b|=0 ? a=0,b=0；
（4）据规律 ????
????
???????????===100101101.01.022
2底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.
（二）绝对值
a ≥0丨a 丨＝a ；a ≤0丨a 丨＝－a ．绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数
轴上的对应点到原点的距离。如：丨－丨＝
；丨3.14－π丨＝π－3.14．
(三) 数轴
数轴是研究实数的重要工具，是在数与式的学习中，实现数形结合的载体，数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，实数与数轴上的点是一、一对应的，这种一一对应关系是数学中数形结合的重要基础，我们还可以利用这种一、一对应关系来比较两个实数的大小。 （四）相反数、倒数
实数的相反数记为－，非零实数的倒数记为，零没有倒数。a a a 1
a
若a 、b 两个数为互为相反数，则a+b=0。若m 、n 两个数互为倒数，则m ·n=1。乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1
；倒数是本身的数是
±1；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数.
（五）一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0． （六）把一个数写成±a ×10n
的形式(其中1≤a ＜10，n 是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07×105
，0.000043＝4.3×10－5
． （七）二次根式：①(
)2＝a (a ≥0)，②
＝丨a 丨，③
＝
×，④＝
-(a ＞0，b ≥0)．如：①(3)2＝45．②
＝6．③a ＜0时，
＝－a
．④
的
平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念） 三种非负数：||()a a a a ，，都表示非负数。2
0≥
“几个非负数的和（积）仍是非负数”与“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简，求值。 （八）代数式
1代数式有意义的条件：
分式有意义的条件是分母不为零
分式的值为零的条件是分母不为零，分子为零二次根式有意义的条件是被开方数（式）非负，由实际应用中得到的代数式还要符合实际意义。
代数式：用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式. 2代数式的几个注意事项：
（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写； （2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号； （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a ×5应写成5a ； （4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a ×211应写成2
3
a ；
（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成a
3
的形式；
（6）a 与b 的差写作a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，
则应分类，写做a-b 和b-a . 3.几个重要的代数式：（m 、n 表示整数）
（1）a 与b 的平方差是： a 2
-b 2
； a 与b 差的平方是：（a-b ）2
；
（2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c ；
（3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；
三个连续整数是： n-1、n 、n+1 ；
（4）若b ＞0，则正数是:a 2
+b ，负数是： -a 2
-b ，非负数是： a 2
，非正数是：-a 2
.
4整式的加减
（1）．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.
（2）．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. （3）．多项式：几个单项式的和叫多项式.
（4）．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：（若a 、b 、c 、p 、q 是常数）ax 2
+bx+c 和x 2
+px+q 是常见的两个二次三项式.
（5）．整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为：??
?多项式
单项式整式 .
（6）．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. （7）．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.
（8）．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.
（9）．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并. （10）.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列.
（九）分解因式
1把一个多项式分解成几个整式之积的形式叫做多项式的因式分解。因式分解是多项式乘法的逆向变形。因式分解的常用方法：提取公因式，公式法，十字相乘法，分组分解法，配方法。 常用公式：
； 2
22)(2b a b ab a ±=+±；
； 2222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++；
))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++；
；
=
+n n b a
2因式分解简单应用
利用因式分解解决计算、求值、解方程及证明问题，解题时主要是把所研究的问题转化为因式分解问题。对于较复杂的数值计算可利用字母代换的方法加以简化。 【例题】
1. 提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，把这个因式提出来，作为多项式
的一个因式，再用这个因式去除这个多项式，把所得的商作为另一个因式，这种因式分解的方法叫做提取公因式。提公因式法是因式分解中的首选方法，不能提公因式或者提公因式后再选择其它方法。公因式的取法为：①系数取各项整数系数的最大公约数（第一项系数为负，一般提出负号）。②字母取各项的相同字母（有时为多项式）。③字母的指数取相同字母的最低指数。
例1、 分解下列因式：（1）ma+mb; (2)m(a-b)+n(b-a); (3) 34
23
22
2102a b a b a b --+。 解析: (1)m(a+b); (2)(m-n)(a-b) ;(3) ()
34232222
2
2102251a b a b a b a b ab b --+=-+-。
例2、分解下列各式：
（1）3
2
2
2
2
2
)(18)(24)(12a b xy a b y x b a xy -+--- ； （2）)()()(2
2
2
cb ca c bc b ab ac ab a --+-++-+。 解析：（1）
)
3342()(6)(18)(24)(122
322222b a xy y b a xy a b xy a b y x b a xy +---=-+---
（2）2
222)
()()()(c b a cb ca c bc b ab ac ab a -+=--+-++-+。
2. 公式法：由于整式乘法和因式分解是互逆的过程，把乘法公式反过来用，就可以把某些多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法。用此法分解因式时，首先要分析该多项式是否具有可用公式的特点。例如，如果多项式是二项式，就可以考虑运用两数和乘以两数差的公式，即2
2
()()a b a b a b -=+-
；如果多项式是三项式，就可以考虑运用两
数和的平方公式，即222
2()a ab b a b ++=+。 例3、把下列各式分解因式：
（1） 2
(1)(1)x b x -+-； （2）2
22236369m a m a m +- ；（3）2
9()6()1p q p q ---+。
解析：（1）2(1)(1)x b x -+- （3） 2
9()6()1p q p q ---+
222
(1)(1)(1)(1)
(1)(1)(1)(1)(1)
x b x x b x b x b b =---=--=--=-+-
[][]
()
2
2
2
3()23()1
3()1331p q p q p q p q =-+?-+=-+=-+
（2）2
2
2
222)2(936369-=+-a m m a m a m 。
3. 十字相乘法：对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。二次三项式c bx ax ++2
的因式分解问题，只要把二次项系数a 分解成两个因数1a 和2a 的积，常数项c 分解成两个因数1b 和2b 的积，且使1a 2b +2a 1b =b ，则有))((22112
b x a b x a
c bx ax ++=++。因为一个整数分解成两个因数积得形式不唯一，且要满足上述条件，故常用十字相乘的形式进行试算，最后确定分解的结果。具体看下面例题：
pq x q p x q x p x +++=++)())((2；反之))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++。
例4、将下列各式分解因式：（1）652
++x x ； （2）652
+-x x ； （3）1032
--x x 。
例5、填写下列各式： （1）))(()(2x x ab x b a x =---； （2）))(()(2x x ab x b a x =--+； （3）))(()(2x x ab x b a x =+--； （4）))(()(2x
x
ab x b a x =+-+。
4. 分组分解法：对于一个多项式，它的各项没有公因式，也不能直接使用公式来分解，这时一般采用分组分解法来进行因式分解。其分组的原则是：分组后的各组变形后能有公因式可提；分组后可利用公式或十字相乘法继续分解因式。
（1）如果多项式是四项式，则考虑二二分组或者三一分组。其中二二分组中的两项能运用两数和乘以两数差的公式或提公因式；三一分组中的三项一般能运用两数和的平方公式，一项是常数。
例6、把下列各式分解因式：（1）2
x y xy x +--； （2）22
494a ab b --+ 解： 2
x y xy x +-- 22494a ab b --+
()()()()()2(1)x x y y x
x x y x y x y x =-+
-=--
-=--
222
(44)9
(2)9(23)(23)a ab b a b a b a b =-+-=--=-+-- （２）如果多项式是五项式，则考虑三二分组。其中的三项一般能运用两数和的平方公式，
两项则能提公因式。
例7、把2
2
6926x xy y x y -+-+因式分解。 解：2
2
6926x xy y x y -+-+
222
(69)(26)
(3)2(3)
(3)(32)
x xy y x y x y x y x y x y =-+--=---=---
（３）如果多项式是六项式，则考虑三三分组或者三二一分组。其中三三分组中的三项能运用两数和的平方公式，然后再用两数和乘以两数差的公式因式分解；三二一分组中的三项一般能运用两数和的平方公式，两项则能提公因式，一项是常数，再考虑运用两数和的平方公式因式分解。 例8、把下列各式分解因式：
（1）2
2
2
4469a ab b x x -+---；（2）2
2
88216m n m n mn +-+-+ 解： （1） 2
2
2
4469a ab b x x -+--- （2）2
2
88216m n m n mn +-+-+
()()
()()
222
22
(44)(69)
232323a ab b x x a b x a b x a b x =-+-++=--+=-++--- ()()()
222
2
(2)(88)16
816
4m mn n m n m n m n m n =-+--+=---+=--
例9、将xyz y z x y z x x z z y y x 22
2
2
2
2
2
-++-+-因式分解。
解析：（y-z ）（x+y ）（x-z ）.
5. 配方法：配方法是二次三项式进行因式分解的重要方法。配方法的基本步骤是①二次三项式的二次项系数化为一，②加上并减去一次项系数一半的平方。
例10、把下列各式分解因式1）223x x --；（2）4224
m m n n ++；（3）2
21y y +-.
解：（1）223x x -- （2）4224m m n n ++ （3）2
21y y +-
()()()()222
2
232113
214
141212(1)(3)
x x x x x x x x x x x =--=-+--=-+-=--=-+--=+- 422422
22222
22222()()()
m m n n m n m n m n m n mn m n mn =++-=+-=+++-
()()()
2211
2()22111122161621924161313244441212121y y y y y y y y y y y =+-?
?=++-- ?
????
??=+- ???
?
?????
????=+++- ?????
???????
?=+- ?
?
?=+-
6. 因式分解的简单应用 例11、计算：
(1) 1002008.294.898.2008.20008.20?-?+?;
(2) )18
1
1()411)(311)(211(2222---- ; (3) 3
3331003200510022005++. 解析：（1）20080；（2）19/36；（3）设a=2005,b=1002，则1003=a-b ，再利用因式分解，得
原式=3007/3008。
例12、已知a+b=1,求ab b a 33
3
++的值。
解析：1)(33))((32
2
2
2
2
3
3
=+=++-=++-+=++b a ab b ab a ab b ab a b a ab b a 。
二 典型例题
例1. 在在，，，，，中，无理数的个数为-203130801017
4. .()π
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
分析：应当知道，只有无限不循环的小数才是无理数，有限小数0.80108，无限循环小
数和分数都是有理数，还应当知道，并非含有根号的数就是无理数，如031
17
4. =24，所以不是无理数，而是有理数，故本题应选正确。()B
例2. 已知下列5个命题 （1）零是最小的实数
（2）数轴上所有的点都表示实数 （3）两个无理数的和仍然是无理数 ()412713
-
的立方根是± （5）任何实数都有两个互为相反数的平方根 其中正确命题的个数是（ ） A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
分析：（1）要正确区分实数的最小值和实数绝对值最小值的意义 （2）要正确区分平方根和立方根的相同点和不同点
（3）“任何数……”就意味着没有例外，因此若能举出一个反例便可证明原命题是假命题。
因此可以得出5个命题中只有（2）是真命题，故选A 。 例
3.
已知、、是实数，且满足，求的值。x y z x y z z x yz ()||-+-+-=+42102
解：010|2|0)4(2≥-≥-≥-z z y x ，，
∵ 又()||x y z z -+-+-=42102
∴()||x y z z -=-=-=???
??
402010
2 即
x y z z -=-=-=???
?
?402010 ∴，，x y z ===421
当，，时，×x y z x yz ===+=+=4214216
注意：这是一个条件求值问题，利用非负数的性质可以求出x 、y 、z 的值，从而使问题得解。
例4. 计算：×
()
()()13
200422116121
1
02--++-+- 解：原式×=-++
+-+31414
21
21212
()()()
=+++-241421
2122
×
()=+++2121=+24 归纳：()()111注意负指数的意义：或a a a a
P P P P --== 其中a ≠0，P 是正整数，在本题中， ()
13
1
13
31
-=
= ()()2012004202004210
任何非零实数的次方等于，在本题中，≠，故++= 例5. x px qx x px qx =++=-++112001113
3
时，代数式的值为，则当时，代数式 的值为（ ）
解：当时，代数式的值为：x px qx =++113 p q p q ()()++++=++=111120013
故当时，的值为：x px qx =-++113
p q p q ()()()-+-+=-++11113
=-++-[()]p q 12 =--=-()200121999
例6. 计算÷·x x x x x x x x x x x xy y
222222244234299
22+-+++--++--+
解：原式÷·=
-+++-+-++--()()()
()()()()()()
()()x x x x x x x x x x y x 1222312232322
=
-+++-+-(+)+--()()()
()()()()()()()x x x x x x x x x x y x 1222223132322
··=+-x x y 3
归纳：对分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先将每个多项式分解因式，然后将除法统一成乘法，最后再进行约分化简。
三 实战演练 （一）、选择题：
1. 下列各组数中，相等的是_________ A. ()-13
和1
B. ()-12和－1
C. ()-12
和－1
D. ---()||11和
2. 设a ，b 为两实数，则下列命题中是假命题的是_________ A. 若a+b=0，则|a|=|b| B. 若|a|+|b|=0，则a=b=0 C. 若a 2
+b 2
=0，则a=b=0 D. 若|a+b|=0，则a=b=0 3. 一天的时间共86400秒，用科学记数法表示应为_________ A. 864104
.×秒 B. 864103
.×秒 C. 864102
.×秒
D.
864105.×秒
4. 如果2（x+3）的值与3（1－x ）的值互为相反数，那么x 等于_________ A. 9 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知x
a x
b m
n ==，，（其中x ≠0，m 、n 为正整数），则x m n
32-的值等于______
A. 32a b -
B. a b 33
-
C. a b 32
D. a b
3
2
6. 若a<0，代简||a a -2
的结果正确的是_________
A. 0
B. 2a
C. －2a
D. 2a 或－2a
7. 化简()π-+-320
1
的结果为： A.
12
B. －2
C. π-1
D.
32
8. 如果表示a 、b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简||()a b a b -++2
的结果等于__________
b a
A. 2a
B. 2b
C. －2a
D. －2b
9. 已知||||x y x y x y ==<+320，，且·，则的值等于_________ A. 5或－5 B. 1或－1
C. 5或1
D. －5或－1
10. 数轴上表示-1
2
的点到原点的距离是_________ A. -
12
B. 1
2
C. －2
D. 2
11. 已知二次三项式22
x bx c ++分解因式为231()()x x -+，则b 、c 的值为________ A. b c ==-31， B. b c =-=62， C. b c =-=-64，
D. b c =-=-46，
12. 已知a+b=3，ab=1，则a b 4
4
+的值是________ A. 7
B. 47
C. 49
D. 81
13. 将a ab ac bc 2
-+-分解因式，结果正确的是________ A. ()()a b a c +-
B. ()()a b a c --
C. ()()a b a c ++
D.
()()a b a c -+
14. 已知xy<0，则x y 2
化简后为_________ A. x y
B. -x y
C. x y -
D. --x y
（二）、填空题：
1. 若实数m ，n 满足()m n -++=1302
，则m=_________，n=________ 2. 将207670保留三个有效数字，其近似值是_________ 3. x 平方的3倍与－5的差，用代数表示为___________ 4. 如果a ma 2
9++是一个完全平方式，则m=________ 5. 如果分式
x x +-3
2
无意义，则x=______ 6. 如果分式x x x 278
1
--+的值为0，则x=___________
7. 计算：x x x --=111
÷()________ 8. 若代数式x x -+2
2
的值等于零，则x=________；
若代数式()()x x -+21的值等于零，则x=________
9. 已知
113x y -=，则分式
2322x xy y
x xy y
+---的值为__________ 10. 已知a a a a
+
=+=131
22，则_________ （三）、解答题：
1. 计算：x x x x x x 221121
2
+-----÷
2. 已知a a a a a a a a =
-+--
-+-1
3
12121
222，求的值。 3. 若a b a b ab -=+-22
22
，求的值。
4. 若346942
<<-++-a a a a ，化简：||
5. 已知多项式x kx 2
7++能分解成两个一次因式的乘积，求k 的值。 6. 计算：()()()(.)23112231
2
15222×÷----
- 7. 若x 、y 满足x y x y 2
2
4250+--+=， 则代数式：32
x y x -的值是多少？ 8．实数P 在数轴上的位置如图所示： 化简
()()=
-+-2
221p p 。
9．计算：()(
)
=
-++--
??
?
??+--30
3
1
2
85
12211。
10．当a= 时，式子
a a a a 182
8++的值为整数（只需填一个符合题目要求的数）。 11．计算：
()
()
236101
227
83
230
2
3--++
--
?+。
12．若x 2
=25,y 3
=(-5)3
, 求x+y 的值。
13．在数轴上表示下列各数:A:-1.5; B:－4 C:－33
21??? ??-D:()
23-E: 0 F:??
?
??--311
14.比较① 26622--与；② 3235+-与；③12131314--和的大小。
第二部分 方程与不等式
一、一元一次方程
（一）知识要点
在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量。可以取不同数值的量叫做变量。 一般地，如果在一个变化的过程中有两个变量x 和y ，并且对于变量x 的每一个值，变量y 都有惟一的值与它对应，那么我们称y 是x 的函数。其中，x 是自变量，y 是应变量。
通常，表示两个变量之间的关系可以用3种方法：表格、图形和数学式子。表示两个变量之间关系的式子通常称为函数关系式。
在直角坐标系中，如果描出以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标的点，那么所有这样的点组成的图形叫做这个函数的图像。
一般地，如果两个变量x 与y 之间的函数关系，可以表示为y=kx+b （k 、b 为常数，且k ≠0）的形式，那么称y 是x 的一次函数。它的图象是一条直线。
特别地，当b=0时，y 叫做x 的正比例函数。
一般地，正比例函数y=kx 的图象是经过原点的一条直线，一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx 的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的一条直线。
一般地，一次函数y=kx+b 图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的一个解；以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b 的图象上。
一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。
用一次函数的图象解二元一次方程组的方法称为二元一次方程组的图象解法。
（二） 典型例题
例1.一个一元一次方程的解为2，请写出这个一元一次方程 . (答案不唯一)
例2.若关于x 的一元一次方程2313
2
x k x k ---=的解是1x =-,则k 的值是（ ）
A ． 27
B ．1
C ．1311
- D ．0
例3. 23{32[1
2
(x-1)-3]-3}=3
例4.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐． （1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．
例5.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
二、二元一次方程组
（一）知识要点
1、 二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解
注意：一般情况下，一个二元一次方程组只有惟一一个解，但实际上，二元一次方程组的解还有另外两种情况：无解或有无数个解.
2、 二元一次方程组的解法
（1）代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.
（2）加减法：通过将方程组中两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法
3、列二元一次方程组解应用题的一般步骤： ⑴设出题中的两个未知数； ⑵找出题中的两个等量关系；
⑶根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，并组成方程组； ⑷解这个方程组，求出未知数的值.
⑸检验所得结果的正确性及合理性并写出答案.
（二）典型例题
例1．若一个二元一次方程的一个解为则这个方程可以是________．
21x y =??
=-?
，
，
例2．下列方程组中,是二元一次方程组的有( )个
①② ③④ ⑤
Ａ．个
Ｂ．个
Ｃ．个
Ｄ．个
例3．解方程组：
例4．已知代数式
与是同类项，那么的值分别是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
例5．二元一次方程的正整数解是 ．
例6．关于x 、y 的方程，当时，；当时，，则 ，b= ．
例7．某同学在A 、B 两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同，英语学习机和书包单价之和是452元，且英语学习机的单价比书包单价的4倍少8元． （1）求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打7.5折销售；超市B 全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包，那么在哪一家购买更省钱？
三、一元二次方程
（一）知识要点
1．灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:2
0(0)ax bx c a ++=≠ 四种解法：直接开平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法：
12,x x =
(2
4b ac -≥0) 2．根的判别式及应用(2
4b ac ?=-)： (1)一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠根的情况：
①当0?>时，方程有两个不相等的实数根；
???=-+=9432b a b a 25
27x y x y ?+=???+=?
，．???-==1
1b a 1x y xy x y +=??-=?2,9;x y y z -=??+=?12342622x y x y -=??+=-?
①②13
12
a x y -23
b a b x y -+-a b ，21a b =??=-?，21a b =??=?，
21a b =-??=-?，
21a b =-??=?
，
420x y +=y kx b =+2x =1y =-1x =-5y =k =
②当0?=时，方程有两个相等的实数根； ③当0?<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。
3．根与系数的关系(韦达定理)的应用：
韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a
+=-
，12c x x a
?=
适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数； (5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)； （6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt ?的两直角边求斜边等情况.
注意：（1）2
2
2
121212()2x x x x x x +=+-?
（2）22
121212()()4x x x x x x -=+-?；
12x x -=
（3）①方程有两正根，则1212000x x x x ?≥??+>???>?； ②方程有两负根，则1212
000x x x x ?≥??
+? ；
③方程有一正一负两根，则120
x x ?>??
?
12
(1)(1)0x x ?>??
--
例：用配方法解2
4610x x -+= 第一步，将二次项系数化为1：231
024
x x -+=，
（两边同除以4） 第二步，移项： 231
24
x x -
=- 第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：2223313
()()2444
x x -+=-+ 第四步，完全平方：23
5()416
x -=
第五步，直接开平方：344x -=±，即:1344x =++,23
44
x =-+
（二）典型例题
1、关于x 的一元二次方程2
(1)(2)26ax ax x x --=-+中，求a 的取值范围.
2、已知：关于x 的方程22
6350x x m m -+--=的一个根是1-，求方程的另一个根及m 的值。
3、用配方法解方程:2
210x x --=
4已知关于x 的方程2(2)2(1)10m x m x m ---++=，当m 为何非负整数时：
(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根. 5.已知,,a b c 是三角形的三条边，求证：关于x 的方程222222
()0b x b c a x c ++-+=没有实数根.
（三）实战练习
1、关于x 的一元二次方程22
(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ） A. 1 B.1- C.1或1- D.1
2
2、解方程23(121)4(121)x x -=-的最适当的方法（ ）
A. 直接开平方法
B. 配方法
C. 因式分解法
D. 公式法 3、若0a b c -+=，则一元二次方程2
0ax bx c ++=有一根是（ ）
A. 2
B. 1
C. 0
D. －1
4、当k __________时，22(9)(5)30k x k x -+--=不是关于x 的一元二次方程.
5、已知方程23214x x -+=，则代数式21283x x -+=_____________.
6、解下列方程：
（1）2
(1)4x -=; (2)2230x x --= (3)2
2740t t --=（用配方
法）
7、一元二次方程
的根的情况为（ ）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
8、已知关于x 的一元二次方程22x m x -=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）
A.1m >-
B. 2m <-
C. m ≥0
D.0m <
9、一元二次方程2
(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是__________. 10、求证：关于x 的方程2
(21)10x k x k +++-=有两个不相等的实数根。
一、填空题
1、关于x 的方程2
(3)20m x x --=是一元二次方程，则m 的取值范围
是 ____ .
2、若(0)b b ≠是关于x 的方程220x cx b ++=的根，则2b c +的值为 ____ .
3、方程2
310x x -+=的根的情况是_______________________________.
4、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是_______________.
5、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为)(b a a b a -=*,根据这个规则，方程
(2)50x +*=的解为_________________.
6、如果关于x 的一元二次方程2
210kx x --=有两个实数根，则k 的取值范围是_____________。
7、设12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则代数式
3322
121212()()()0a x x b x x c x x +++++=的值为___________.
8、 a 是整数，已知关于x 的一元二次方程01)12(2
=-+-+a x a ax 只有整数根，则a =__________. 二、选择题
1、关于x 的方程2
20x kx k -+-=的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.不能确定 2、已知方程有一个根是
，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
3、方程23270x +=的解是（ ） A.
B.
C.
D. 无实数根
4、若关于x 的一元二次方程22(4)60x kx x --+=没有实数根，那么k 的最小整数值是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D.
5、如果a 是一元二次方程2
30x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程2
30x x m +-=的一个根，那么a 的值是（ ）
A 、1或2
B 、0或3-
C 、1-或2-
D 、0或3
6、设m 是方程250x x +=的较大的一根，n 是方程2320x x -+=的较小的一根，则
m n +=（ ）
A.
B.
C. 1
D. 2
三、解答题
1、用配方法解下列方程：
2314x x -= 220(0)ax abx a +-=> 2()0(0)a x b c a -+=≠
2、已知方程2
2
2(9)(34)0x k x k k +-+++=有两个相等的实数根，求k 值，并求出方程的根。
中考数学代数选择题 (08北京市卷)1．6-的绝对值等于（ A ） A ．6 B ． 16 C ．16 - D ．6- (08北京市卷)2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（ D ） A ．5 0.21610? B ．3 21.610? C ．3 2.1610? D ．4 2.1610? (08北京市卷)4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（ C ） A ．50，20 B ．50，30 C ．50，50 D ．135，50 (08北京市卷)6．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（ B ） A ． 1 5 B ． 25 C ． 12 D ． 35 (08北京市卷)7．若230x y ++-=，则xy 的值为（ B ） A ．8- B ．6- C ．5 D ．6 (08天津市卷)1．ο60cos 的值等于（ A ） A ． 2 1 B ． 2 2 C ． 2 3 D ．1 (08天津市卷)4．纳米是非常小的长度单位，已知1纳米=610-毫米，某种病毒的直径为100纳米，若将这 种病毒排成1毫米长，则病毒的个数是（ B ） A ．210个 B ．410个 C ．610个 D ．810个 (08天津市卷)5．把抛物线22x y =向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（ A ） A ．522+=x y B ．522-=x y C ．2)5(2+=x y D ．2)5(2-=x y (08天津市卷)6．掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面朝上的概率等于（ C ）
2018年中考数学真题知识分类汇编：代数式（含答案）一、单选题 1．下列运算：①a2?a3=a6，②（a3）2=a6，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3，其中结果正确的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【来源】山东省滨州市2018年中考数学试题 【答案】B 2．计算的结果是（） A. B. C. D. 【来源】江苏省南京市2018年中考数学试卷 【答案】B 【解析】分析：根据幂的乘方的性质和同底数幂的乘法计算即可. 详解： = = 故选：B. 点睛：本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键. 3．下列计算结果等于的是（） A. B. C. D. 【来源】2018年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题 【答案】D 4．下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题 【答案】D 【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的法则逐项进行计算即可得. 【详解】A. ，故A选项错误，不符合题意； B. ，故B选项错误，不符合题意；
C. ，故C选项错误，不符合题意； D. ，正确，符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的运算法则是解题的关键. 5．下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【来源】山东省德州市2018年中考数学试题 【答案】C 6．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为（） A. 84 B. 56 C. 35 D. 28 【来源】山东省德州市2018年中考数学试题 【答案】B 7．下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【来源】安徽省2018年中考数学试题 【答案】D 【解析】【分析】根据幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方的运算法则逐项进行计算即可得. 【详解】A. ，故A选项错误； B. ，故B选项错误；
初中数学中考试题研究 《代数综合试题》 Ⅰ、综合问题精讲： 代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题．主要包括方程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法、配方法等．解代数综合题要注意归纳整理教材中的基础知识、基本技能、基本方法，要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破．注意知识间的横向联系，从而达到解决问题的目的． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（丽水，8分）已知关于x 的一元二次方程x 2 －(k ＋1) x －6=0的一个根是2，求方程的另一根和k 的值． 解：设方程的另一根为x 1，由韦达定理：2 x 1=－6， ∴ x 1=－3.由韦达定理：－3+2= k ＋1，∴k=－2. 【例2】（嘉峪关，7分）已知关于x 的一元二次方程（k+4）x 2 ＋3x+k 2 －3k －4=0的一 个根为0，求k 的值． 解：把x=0代入这个方程，得k 2 －3k －4=0，解得k 1＝l ，k 2＝－4．因为k+4≠0．所以k ≠－4，所以k ＝l 。 点拨：既然我们已经知道方程的一个根了，那么我们就可以将它代入原方程，这样就可以将解关于x 的方程转化为解关于k 的方程．从而求出b 的解．但应注意需满足k+4的系数不能为0，即k ≠－4。 【例3】（自贡，5分）已对方程 2x 2 +3x －l ＝0．求作一个二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数． 解：设2 x 2 +3x －l ＝0的两根为x 1、x 2 则新方程的两根为12 11, x x 得12123212 x x x x ? +=-????=-?? 所以 121 2 12 11= =3 x x x x x x ++所以新方程为y 2 －3y －2=0· 点拨：熟记一元二次方程根与系数的关系是非常必要的
-x – 2019-2020年中考数学二模试题汇编代数综合题 【xx 昌平二模】 27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左 侧）. （1）求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴； （2）过点B 的直线l 与y 轴交于点C ，且，直接写出直线l 的表达式； （3）如果点和点在函数的图象上，PQ=2a 且，求的值. 【xx 房山二模】 27. 对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当-1≤x ≤1时， -1≤y ≤1，则称这个函数为“闭函数”. 例如：y =x ，y =-x 均是“闭函数”(如右图所示). 已知是“闭函数”，且抛物线经过点A (1，-1)和点 B (-1， 1) . （1）请说明a 、c 的数量关系并确定b 的取值； （2）请确定a 的取值范围. 【xx 通州二模】 27．已知：二次函数，与x 轴的公共点为A ，B . （1）如果A 与B 重合，求m 的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点； ①当时，求线段AB 上整点的个数； ②若设抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）整点的个数 为，当时，结合函数的图象，求的取值范围.
【xx朝阳二模】 27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+2(m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且与点B的距离都为2，若该抛物线与线段CD有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值 范围． 【xx海淀二模】 27．抛物线与轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴为x=1． （1）求抛物线的表达式； （2）若CD∥x轴，点D在点C的左侧，，求点D的坐标；
中考数学代数---选择题 (08北京市卷)1．6-的绝对值等于（ A ） A ．6 B ． 16 C ．16 - D ．6- (08北京市卷)2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（ D ） A ．5 0.21610? B ．3 21.610? C ．3 2.1610? D ．4 2.1610? (08北京市卷)4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（ C ） A ．50，20 B ．50，30 C ．50，50 D ．135，50 (08北京市卷)6．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（ B ） A ． 1 5 B ． 25 C ． 12 D ． 35 (08北京市卷)7．若230x y ++-=，则xy 的值为（ B ） A ．8- B ．6- C ．5 D ．6 (08天津市卷)1．ο60cos 的值等于（ A ） A ． 2 1 B ． 2 2 C ． 2 3 D ．1 (08天津市卷)4．纳米是非常小的长度单位，已知1纳米=610-毫米，某种病毒的直径为100纳米，若将这 种病毒排成1毫米长，则病毒的个数是（ B ） A ．210个 B ．410个 C ．610个 D ．810个 (08天津市卷)5．把抛物线22x y =向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（ A ） A ．522+=x y B ．522-=x y C ．2)5(2+=x y D ．2)5(2-=x y (08天津市卷)6．掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面朝上的概率等于（ C ）
2019年中考数学练习题：代数综合题 概述： 代数综合题是中考题中较难的题目，要想得高分必须做好这类题，?这类题主要以方程或函数为基础进行综合．解题时一般用分析综合法解，认真读题找准突破口，仔细分析各个已知条件，进行转化，发挥条件整体作用进行解题．解题时，?计算不能出差错，思维要宽，考虑问题要全面． 典型例题精析 例．已知抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A （x 1，O ），B （x 2，0）（x 1 2019-2020年中考数学压轴题分类练习代数计算推理专题无答案 1．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①抛物线过原点； ②4a+b+c=0； ③a﹣b+c＜0； ④抛物线的顶点坐标为（2，b）； ⑤当x＜2时，y随x增大而增大． 其中结论正确的是（） A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤ 2如图9，平面直角坐标系中是原点，的顶点的坐标分别是，点把线段三等分，延长分别交于点，连接，则下列结论： ①是的中点；②与相似；③四边形的面积是；④；其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号） 3．如图，在平面直角坐标系中，已知直线（）分别交反比例函数和在第一象限的图象于点，，过点作轴于点，交的图象于点，连结．若是等腰三角形，则的值是． 4．如图，某日的钱塘江观测信息如下： 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示.其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数：s=，（是常数）刻画. （1）求值，并求出潮头从甲地到乙地的速度； （2）11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为千米/分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度）. 5．已知函数，，k、b为整数且. (1)讨论b,k的取值. (2)分别画出两种函数的所有图象.(不需列表) (3)求与的交点个数. 6．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，直线与轴交于点，点是抛物线上的一动点，过点作轴，垂 2015年中考数学专题代数应用题 一．计算题 1．请你先化简，再选取一个使．．． 原式有意义，而你又喜爱的数代入求值． 112 2 23+----x x x x x x ． 2．分别解不等式2x －3≤5（x －3）和13 1 61>+--y y ，并比较x ，y 的大小． 3、化简：)9(32 2 -?-x x x x ; 4、解方程组：??? ??=-+=+. 11)1(2,231 y x y x 5 ．计算：2007 (1)12sin 60-+°． 6．化简：242 14a a a +??+ ?-??· 7．先化简，再求值： (2)(1)(1)x x x x +-+-， 其中1 2 x =-． 8．计算：()()()2 235423----+?-． 9．先化简，再求值： 2 32224 x x x x x x ??-÷ ?-+-??，其中3x =． 10，解方程：x －2x ＋2 ＋4 x 2－4 ＝1． 11.先化简，再求值：2()11a a a a a +÷--，其中2 1.a =+ 12.解不等式组?? ?>-+≥+, 33)3(2, 12x x x 并将解集在数轴上表示出来． 13．先化简，再求值： 122442 22+-÷+-x x x x x x ，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值． 二．方程不等式 1．有一个只许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人．一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校． （1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？ （2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？ 2. 有三把楼梯，分别是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步阶梯上升的高度是一致的。每把楼梯的扶杆长（即梯长）、顶档宽、底档宽如图所示，并把横档与扶杆榫合处称作联结点（如点A ）。 （1） 通过计算，补充填写下表： 4.先化简，再求值：（）÷（x+1），其中x=tan60°+1． 5．今年四、五月份我国西南地区遭遇历史罕见的旱灾，我国最大淡水湖鄱阳湖水位下降到历史同期最低点．某村有1 200亩稻田急需灌溉，为了提高灌溉效率，当地政府增派灌溉车辆，使得效率是原来的倍，结果提前10天完成任务，求原计划每天灌溉稻田多少亩 6．根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长300米的盲道.铺设了60米后，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果共用了8天完成任务，该工程队改进技术后每天铺设盲道多少米 7．某商场购进一批单价为50元的商品，规定销售时单价不低于进价，每件的利润不超过40%.其中销售量y(件)与所售单价x(元)的关系可以近似的看作如图12所表示的一次函数. (1)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围； (2)设该公司获得的总利润(总利润=总销售额-总成本)为w元，求w与x之间的函数关系式.当销售单价为何值时，所获利润最大最大利润是多少 8．如图，小明站在窗口向外望去，发现楼下有一棵倾斜的大树，在窗口C处测得大树顶部A的俯角为45°，若已知∠ABD=60°，CD=20m，BD=16m，请你帮小明计算一下，如果大树倒在地面上，其顶端A与楼底端D的距离是多少米（结果保留整数，参考数据：≈，≈）． 9. 如图，一次函数y=k x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象 1 限内的交点为M，若△OBM的面积为2． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 9．如图14，抛物线与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1＞x2，与y轴交于点C(0,4)，其中x1,x2是方程x2-2x-8=0的两个根. (1)求这条抛物线的解析式； (2)点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标； (3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 广东中考数学专题训练（三）：代数与几何综合题（动态压轴题） 例题训练 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 为正方形，点A (0，2)．点D 为OB 边上一动点，连接AD ，向上作DE ⊥AD 并在DE 上取DE=AD 交BC 于点F ，连接CD 、CE 和BE ，设点D 的坐标为(x ，0)． （1）填空：点C 的坐标为____； （2）设y=S ?CDE ，求y 关于x 的关系式，并求y 的最小值； （3）是否存在这样的x 值，使?CBE 为等腰三角形？若存在，求出对应的x 值；若不存在， 请说明理由． 2．如图，Rt ?ABC 和Rt ?CDE 全等（点B 、C 、E 共线），∠B=∠E=90°，AB=CE=6cm ，∠ACB=∠CDE=30°，连接CE ，并取CE 中点F ．点M 、N 分别为BC 、CD 边上动点， 和2cm/s 的速度以点B →C ，点C →D 的方向运动，连接FM 、MN 和FN ，设运动的时间为t (s )(0≤t≤2)． （1）填空：∠CAD =____°； （2）设S=S ?FMN (cm 2)，求S 关于t 的关系式，并求S 的最大值； （3）是否存在这样的t 值，使FN 与CD 的夹角为75°？若存在，求出对应的t 值；若不存 在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点 0)，点C (0，2)．点D 为BC 边上一动点，将COD 沿OD 对折成EOD ，将点B 沿点O 和BA 边上一点F 的连线对折使其落在射线DE 上的点G 处． （1）填空：∠ODF =____°； （2）设点D (x ，2)，点F ( y )，求y 关于x 的关系式，并求出当x 从0增大到 点F 的运动路程； （3）在（2）的条件下，当点G 落在x 轴上时： ①求证：CD=AG ； ②求出此时x 的值． 图（1） 图（2） 1.如图，已知A （﹣4，n ），B （2，﹣4）是一次函数y=kx+b 和反比例函数y=的图象的两个交点． x m （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出方程kx+b ﹣=0的解； x m （3）求△AOB 的面积； （4）观察图象，直接写出不等式kx+b ﹣＜0的解集． x m 解：（1）∵B （2，﹣4）在y=上， ∴m=﹣8． ∴反比例函数的解析式为y=﹣． ∵点A （﹣4，n ）在y=﹣上， ∴n=2． ∴A （﹣4，2）． ∵y=kx+b 经过A （﹣4，2），B （2，﹣4）， ∴．解得：． ∴一次函数的解析式为y=﹣x ﹣2． （2）：∵A （﹣4，n ），B （2，﹣4）是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数 y=的图象的两个交点， x m ∴方程kx+b ﹣=0的解是x 1=﹣4，x 2=2． x m （3）∵当x=0时，y=﹣2． ∴点C （0，﹣2）． ∴OC=2． ∴S △AOB =S △ACO +S △BCO =×2×4+×2×2=6； （4）不等式kx+b ﹣＜0的解集为﹣4＜x ＜0或x ＞2．x m 2.如图，反比例函数y ＝的图象与一次函数 y ＝kx+b 的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为(2，6)，点B 的坐标为m x (n ，1)．(1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝10，求点E 的坐标． 解：(1)把点A(2，6)代入y ＝，得m ＝12，则y ＝． m x 12 x 把点B(n ，1)代入y ＝，得n ＝12，则点B 的坐标为(12，1)． 12 x 由直线y ＝kx+b 过点A(2，6)，点B(12，1)得，解得， 26 121k b k b 1 27k b 则所求一次函数的表达式为y ＝x+7． 1 2(2)如图，直线AB 与y 轴的交点为P ，设点E 的坐标为(0，m)，连接AE ，BE ， 则点P 的坐标为(0，7)．∴PE ＝|m －7|． ∵S △AEB ＝S △BEP －S △AEP ＝10，∴×｜m －7|×(12－2)＝10． 1 2∴|m －7|＝2．∴m 1＝5，m 2＝9． ∴点E 的坐标为(0，5)或(0，9)． 3.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABO 的边AB 垂直与x 轴，垂足为点B ，反比例函数y=（ x ＞0）的图象经过AO 的中点C ，且与AB 相交于点D ，OB=4，AD=3， （1）求反比例函数y=的解析式； （2）求cos ∠OAB 的值； （3）求经过C 、D 两点的一次函数解析式． 解：（1）设点D 的坐标为（4，m ）（m ＞0），则点A 的坐标为（4， 3+m ）， ∵点C 为线段AO 的中点， ∴点C 的坐标为（2，）． 初中数学代数式经典测试题及答案 一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A ．a?a 2＝a 2 B ．（a 2）2＝a 4 C ．3a+2a ＝5a 2 D ．（a 2b ）3＝a 2?b 3 【答案】B 【解析】 本题考查幂的运算． 点拨：根据幂的运算法则． 解答：2123a a a a +?== ()22 224a a a ?== 325a a a += () 3263a b a b = 故选B ． 2．如果多项式4x 4+ 4x 2+ A 是一个完全平方式，那么A 不可能是（ ）． A ．1 B ．4 C ．x 6 D ．8x 3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据完全平方式的定义，逐一判断各个选项，即可得到答案． 【详解】 ∵4x 4+ 4x 2+1=（2x+1）2， ∴A=1，不符合题意， ∵4x 4+ 4x 2+ 4不是完全平方式， ∴A=4，符合题意， ∵4x 4+ 4x 2+ x 6=（2x+x 3）2， ∴A= x 6，不符合题意， ∵4x 4+ 4x 2+8x 3=（2x 2+2x ）2， ∴A=8x 3，不符合题意． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查完全平方式的定义，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． 3．已知：1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，1+3+5+7+9＝25＝52，…，根据前面各式的规律可猜测：101+103+105+…+199＝（ ） A ．7500 B ．10000 C ．12500 D ．2500 【答案】A 【解析】 【分析】 用1至199的奇数的和减去1至99的奇数和即可. 【详解】 解：101+103+10 5+107+…+195+197+199 ＝22119919922++????- ? ????? ＝1002﹣502， ＝10000﹣2500， ＝7500， 故选A ． 【点睛】 本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 4．下列运算正确的是( ) A ．232235x y xy x y += B ．()323626ab a b -=- C ．()22239a b a b +=+ D ．()()22339a b a b a b +-=- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据合并同类项的法则、积的乘方，完全平方公式以及平方差公式分别化简即可． 【详解】 A ．22x y 和3xy 不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意； B ．()323628ab a b -=-，故该选项计算错误，不符合题意； C ．()2 22396a b a ab b +=++，故该选项计算错误，不符合题意； D ．()()22339a b a b a b +-=-，故该选项计算正确，符合题意． 故选D ． 【点睛】 本题主要考查了合并同类项、幂的运算性质以及乘法公式，熟练掌握相关公式及运算法则是解答本题的关键． 5．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，……，按此规律，则第几个图形中面积为1的正方形的个数为2019个（ ） 第3讲 代数式 一级训练 1．某省参加初中毕业学业考试的学生约有15万人，其中男生约有a 万人，则女生约有 ( ) A ．(15＋a )万人 B ．(15－a )万人 C ．15a 万人 D.15a 万人 2．(2010年湖南怀化)若x ＝1，y ＝12 ，则x 2＋4xy ＋4y 2的值是( ) A ．2 B ．4 C.32 D.12 3．(2011年湖北襄阳)若x ，y 为实数，且||x ＋1＋y －1＝0，则????x y 2 011的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－2 011 4．(2011年江苏盐城)已知a －b ＝1，则代数式2a －2b －3的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－5 D ．5 5．(2010年浙江嘉兴)用代数式表示“a ，b 两数的平方和”，结果为__________． 6．一筐苹果的总重量为x 千克，筐本身的重量为2千克，若将苹果平均分成5份，则每份苹果的重量为________千克． 7．(2010年江苏苏州)若代数式2x ＋5的值为－2，则x ＝__________. 8．已知代数式2a 3b n ＋1与－3a m ＋2b 2是同类项，2m ＋3n ＝________. 9．(2011年广东湛江)多项式2x 2－3x ＋5是________次__________项式． 10．(2011年广东广州)定义新运算“?”，规定：a ?b ＝13 a －4 b ，则12? (－1)＝______. 11．(2011年浙江宁波)先化简，再求值：(a ＋2)(a －2)＋a (1－a )，其中a ＝5. 二级训练 12．如图1－3－5，点A ，B 在数轴上对应的实数分别为m ，n ，则A ，B 两点间的距离是________(用含m ，n 的式子表示)． 图1－3－5 13．(2011年山东枣庄)若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝________. 14．若将代数式中的任意两个字母交换后代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a . 其中是完全对称式的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 15．(2011年浙江丽水)已知2x －1＝3，求代数式(x －3)2＋2x (3＋x )－7的值． 三级训练 16．(2012年安徽)计算：(a ＋3)(a －1)＋a (a －2)． 代数与几何综合题 类型一动点型探究题 1. 如图①，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2 cm/s.以AQ、PQ为边作四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E.设运动的时间为t(单位：s)(0＜t≤4)，解答下列问题： (1)用含有t的代数式表示AE＝____； (2)如图②，当t为何值时，四边形AQPD为菱形； (3)求运动过程中，四边形AQPD的面积的最大值． 第1题图 解：(1)5－t； 【解法提示】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，∴由勾股定理得：AB＝10 cm，∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2 cm/s，∴BP＝2t cm，∴AP＝AB－BP＝10－2t，∵四边形AQPD为平行四边形，∴AE ＝1 2AP＝5－t. (2)如解图①，当四边形AQPD 是菱形时，DQ ⊥AP ，则cos ∠BAC ＝AE AQ ＝AC AB ， 即5－t 2t ＝810，解得t ＝2513， ∴当t ＝25 13时，四边形AQPD 是菱形； (3)如解图②，作PM ⊥AC 于M ，设平行四边形AQPD 的面积为S . ∵PM ∥BC ， ∴△APM ∽△ABC ， ∴AP AB ＝PM BC ，即10－2t 10＝PM 6， ∴PM ＝6 5(5－t )， ∴S ＝AQ ·PM ＝2t ·65(5－t )＝－125t 2＋12t=15255122 +?? ? ??--t (0＜t ≤4)， ∵－125＜0，∴当t ＝5 2时，S 有最大值，最大值为15 cm 2. 第1题解图 中考数学代数几何综合题 I 、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的 综合题大多以代数几何综合题的形式出现， 其解题关键点是借助几何直观解题， 运用方程、 函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解 题. n 、典型例题剖析 【例1】(2005，温州，12分)如图，已知四边形 ABCD 内接于O O, A 是BDC 的中点， AELAC 于A 与OO 及CB 的延长线分别交于点 F 、E ,且BF 二AD , EM 切OO 于M 1 ⑴ △ AD SA EBA;⑵ AC2 = j BC- CE ⑶如果 AB= 2, EM= 3,求cot / CAD 的值。 解：⑴???四边形 ABCD 内接于O O, ???/ CDA=Z ABE ?/ BF =AD ，?/ DCA=Z BAE ? △ CA SA AEB ⑵过A 作AH L BC 于H(如图) 1 TA 是 BDC 中点，? HC= HB= BC , 0 2 1 ???/ CAE = 90 , ? AC = CH- CE= BC- CE ⑶TA 是 BDC 中点，AB= 2,二 AC= AB= 2, ?/ EM 是OO 的切线，? EB- EC= EM ① T ACf = 2 BC- CE BC- CE= 8 ① + ②得：EC(EB + BC)= 17,二 EC 2= 17 T ECf = AC + Ah ,： AE = 17 — 22= ,13 ?/△ CA SA ABE ?/ CAD=Z AEC 点拨：此题的关键是树立转化思想， 将未知的转化为已知的. 此题表现的非常突出. 如, 将Z CAD 转化为Z AEC 就非常关键. 【例2】(2005，自贡)如图2 — 5— 2所示，已知直线y=2x+2分 别与x 轴、y 轴交于点A 、B,以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰直角△ ABC Z BAC=98。过C 作CE L x 轴，D 为垂足. | 二丄 (1) 求点A 、B 的坐标和AD 的长； (2) 求过B A 、C 三点的抛物线的解析式。 ? cot / CAD= cot ZA EC = AE AC = ""2- 图 2-5-2 A M 图 2-5-1 中考数学专题复习代数式含答案 一、单选题 1．下列运算：①a2?a3=a6，②（a3）2=a6，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3，其中结果正确的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【来源】山东省滨州市2018年中考数学试题 【答案】B 2．计算的结果是（） A. B. C. D. 【来源】江苏省南京市2018年中考数学试卷 【答案】B 【解析】分析：根据幂的乘方的性质和同底数幂的乘法计算即可. 详解： = = 故选：B. 点睛：本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键. 3．下列计算结果等于的是（） A. B. C. D. 【来源】2018年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题 【答案】D 4．下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题 【答案】D 【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的法则逐项进行计算即可得. 【详解】A. ，故A 选项错误，不符合题意； B. ，故B 选项错误，不符合题意； C. ，故C 选项错误，不符合题意； D. ，正确，符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的运算法则是解题的关键. 5．下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【来源】山东省德州市2018年中考数学试题 【答案】C 6．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为（ ） A. 84 B. 56 C. 35 D. 28 【来源】山东省德州市2018年中考数学试题 【答案】B 7．下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【来源】安徽省2018年中考数学试题 【答案】D 【解析】【分析】根据幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方的运 中考数学复习专题 11 代数综合题2019-2020年中考数学压轴题分类练习代数计算推理专题无答案
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概述： 代数综合题是中考题中较难的题目，要想得高分必须做好这类题，?这类题主要以方程
或函数为基础进行综合．解题时一般用分析综合法解，认真读题找准突破口，仔细分析各个 已知条件，进行转化，发挥条件整体作用进行解题．解题时，?计算不能出差错，思维要宽， 考虑问题要全面． 典型例题精析
例．已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A（x1，O），B（x2，0）（x1
方程
x1 x1x2
x2
2(m m2 7
1)
① ②
多出一个 m 还应再找一个 x12+x22=10 ③，用配方法处理
先算 m． 由③：（x1+x2）2-2x1x2=10 ④将①②代入④， 得 4（m2-2m+1）-2m2+14=10， 2m2-8m+8=0， m2-4m+4=0， m=2． 且当 m=2 时，△=4-4×（-3）>0 合题意． 将 m=2 代入①②，得
x1 x1
x2
x2
2, 3,
x12-2x1=3
x1 x2
3, 1,
或
x1 x2
1, 3.
∵x1
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