抛物线的几何性质备考策略 主标题：抛物线的几何性质备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道. 关键词：抛物线的几何性质，知识总结备考策略
难度：4
重要程度：5
内容：1．抛物线的焦半径
抛物线上任意一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离称为焦半径．有以下结论(p >0)：
(1)对于抛物线y 2＝2px ，|PF |＝p 2＋x 0；
(2)对于抛物线y 2＝－2px ，|PF |＝p 2－x 0；
(3)对于抛物线x 2＝2py ，|PF |＝p 2＋y 0；
(4)对于抛物线x 2＝－2py ，|PF |＝p 2－y 0.
2．与焦点弦有关的常用结论
(以下图为依据)
(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p
24.
(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p
sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)． (3)1|AF |＋1
|BF |为定值2p .
(4)以AB 为直径的圆与准线相切．
(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．
思维规律解题：
考点一：已知抛物线方程应用
例1．(2014·安徽高考)抛物线y ＝14x 2
的准线方程是( )
A ．y ＝－1
B ．y ＝－2
C ．x ＝－1
D ．x ＝－2
解析：选A 抛物线y ＝14
x 2的标准方程为x 2＝4y ，所以其准线方程为y ＝－1. 考点二 抛物线的定义及应用 应用一：到焦点与定点距离之和最小问题
例2．已知抛物线的方程为x 2
＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|PA |的值最小．
解：∵(－2)2<8×4，∴点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部．
如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ . 由抛物线的定义可知|PF |＋|PA |＝|PQ |＋|PA |≥|AQ |≥|AB |，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时，|PF |＋|PA |取得最小值，即为|AB |.
∵A (－2,4)，∴不妨设|PF |＋|PA |的值最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2
＝8y ，得y 0＝12
. 故使|PF |＋|PA |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为?
????－2，12. 应用二：到点与准线的距离之和最小问题
例3．(2015·忻州联考)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________． 答案：17－1
解析：由题意知，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F (1,0)．根据抛物线的定义，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和即点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ |＋|PF |≥|PC |＋|PF |－1≥|CF |－1＝17－1. 答案：17－1
应用三：到定直线的距离最小问题
例4．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．
答案：43
解析：法一：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－
x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得
????? y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43
，所以切线方程为4x ＋3y －43
＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝
??????8－435＝43. 法二：对y ＝－x 2，有y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平
行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线
斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ? ????23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝
??????83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2
上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43. 应用四：焦点弦中距离之和最小问题
例5．已知抛物线y 2
＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．
答案：2
解析：由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时，为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.
备考策略：1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2．求抛物线方程应注意的问题
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线
《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23
2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ）
【最新】《平面解析几何》专题 一、选择题 1．若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP →→ g 的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C 【解析】 【分析】 设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ?u u u r u u u r 表示成为x 的二次函数，根 据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】 设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则 ()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则 22OP FP x x y ?=++u u u r u u u r ， 因为点P 为椭圆上，所以有：22143 x y +=即2 2334y x =-， 所以()2222 23132244 x x y x x x FP x OP =++=?++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤， 所以当2x =时，OP FP ?u u u r u u u r 的最大值为6 故选：C 【点睛】 本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题. 2．已知直线21y kx k =++与直线1 22 y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1 2 k > B ．16k <- 或1 2 k > C ．62k -<< D ．1162 k - << 【答案】D 【解析】 【分析】 联立21 1 22y kx k y x =++???=-+?? ，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线
20XX 届高三数学题型与方法专题七：解析几何1【基础知识梳理】 班级： 姓名： ［例1］已知直线1l 的斜率是3 3 ，直线2l 过坐标原点且倾斜角是1l 倾斜角的两倍，则直线2l 的方程为＿＿＿x y 3= . ［例2］已知直线l 的方程为)0(,0≠=++ab c by ax 且l 不经过第二象限，则直线l 的倾斜角大小为（ B ） A 、arctan a b ； B 、arctan(-a b )； C 、p +arctan a b ； D 、p -arctan a b . ［例3］与圆1)2()1(2 2=-+-y x 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有――（ B ） A 、2条； B 、3条； C 、4条； D 、5条. ［例4］过点)3,2(P 与坐标原点距离为2的直线方程是＿＿＿026125=+-y x 与2=x . ［例5］直线21,l l 斜率相等是21//l l 的――――――――――――――――――（ D ） A 、充分不必要条件；B 、必要不充分条件；C 、充要条件；D 、既不充分又不必要条件. ［例6］直线l 过点)3,2(P 与以)3,1(),2,3(--B A 为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围是＿＿＿＿＿＿.]4 3, 2[π arctg . ［例7］将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点)0,2(A 与点(0,6)B 重合，若点)0,3(C 与点D 重合，则点D 的坐标为 ＿；)5 28,51( D . ［例8］抛物线C 1：x y 22 =关于直线02=+-y x 对称的抛物线为C 2，则C 2的焦点坐标为＿＿＿＿.)2 5, 2(-. ［例9］已知点),(b a 是圆22 2 r y x =+外的一点，则直线2r by ax =+与圆的位置关系 是（ C ） A 、相离； B 、相切； C 、相交且不过圆心； D 、相交且过圆心. ［例10］若圆O ：22 2r y x =+上有且只有两点到直线01543:=-+y x l 的距离为2，则 圆的半径r 的取值范围是＿＿＿＿.51<
1．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程． 2．设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜 率为 2 2 ，求椭圆的方程． 3．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q， 证明：AQ⊥BQ . 4．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝20 3 ，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ，若圆与椭圆相交于A、B， 且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．
5．已知m 是非零实数，抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. （I ）若m=2，求抛物线C 的方程 （II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F AA 1?，F BB 1?的重心分别为G,H. 求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB | ＝8，动点P 满足AP u u u r ＝35 PB u u u r ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值． 7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系．
高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )
二轮复习——解析几何 一．专题内容分析 解析几何：解析几何综合问题（椭圆或抛物线）及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆+极坐标、参数方程+线性规划 二．解答策略与核心方法、核心思想 圆锥曲线综合问题的解答策略： 核心量的选择： 常见的几何关系与几何特征的代数化： ①线段的中点：坐标公式 ②线段的长：弦长公式；解三角形 ③三角形面积： 2 1底×高，正弦定理面积公式 ④夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式 ⑤面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比 ⑥三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比 ⑦垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式 ⑧点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称 ⑨直线与圆的位置关系 ⑩等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征 代数运算：设参、消参 重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化，学会把不同类型的几何问题转化成代数形式．
三．典型例题分析 1.（海淀区2017.4）已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12 . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上，直线BP 形APQM 为梯形？若存在，求出点P 解法1：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ AP MQ k k =. 设点0(4,)P y ，11(,)M x y ，06 AP y k =，114MQ y k x = -, ∴ 01164y y x =-① ∴直线PB 方程为0(2)2 y y x =-， 由点M 在直线PB 上，则0 11(2)2 y y x = -② ①②联立，0 101(2) 264y x y x -=-，显然00y ≠，可解得11x =. 又由点M 在椭圆上，211143y + =，所以132y =±，即3 (1,)2 M ±， 将其代入①，解得03y =±，∴(4,3)P ±. 解法2：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k =， 显然直线AP 斜率存在，设直线AP 方程为(2)y k x =+. 由(2)4y k x x =+??=? ，所以6y k =，所以(4,6)P k ，又(2,0)B ，所以632PB k k k ==. ∴直线PB 方程为3(2)y k x =-，由22 3(2) 34120 y k x x y =-?? +-=?，消y ， 得2222(121)484840k x k x k +-+-=.
解析几何专题二 1、已知点P (3，－4)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)渐近线上的一点，E ，F 是左、右两个焦点，若EP →·FP → ＝0， 则双曲线方程为( ) A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 216－y 2 9 ＝1 2、已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=，则该双曲线的离心率为（ 17 ）． 【解析】因为焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=，所以17,17,42 2===e a c a b 3、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲 线的离心率为 2 5 1+ . 【解析】因为直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，所以 2 1 5,1)(+=-=-?e c b a b 4、若双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线2 2y bx = 的焦点分成5 :7的两段，则此双曲线的离心率为（ C ） A ． 9 8 B ． 637 C ． 32 4 D ． 31010 【解析】因为线段21F F 被抛物线2 2y bx = 的焦点分成5:7的两段，所以 4 23,4036,436,622222====e c a c b c b 5、 已知F 是椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22 214 x y b +=相切 于点Q ，且→ → =QF PQ ，则椭圆C 的离心率为 3 5 ． 提示：设左焦点E ，连接PE ，由圆的切线可得OQ ⊥PF ，而OQ ∥PF ，故PF PE ⊥,2 2 2 4)2(c b a b =-+∴，
专题五平面解析几何
专题五平面解析几何 第14讲直线与圆 [云览高考] 二轮复习建议 命题角度：该部分主要围绕两个点展开命题．第一个点是围绕直线与圆的方程展开，设计考查求直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等问题，目的是考查平面解析几何初步的基础知识和方法，考查运算求解能力，试题一般是选择题或者填空题；第二个点是围绕把直线与圆综合展开，设计考查直线与圆的相互关系的试题，目的是考查直线与圆的方程在解析几何中的综合运用，这个点的试题一般是解答题． 预计2013年该部分的命题方向不会有大的变化，以选择题或者填空题的形式重点考查直线与圆的方程，而在解答题中考查直线方程、圆的方程的综合运用．复习建议：该部分是解析几何的基础，涉及大量的基础知识，在复习时要把知识进一步系统化，在此基础上，在本讲中把重点放在解决直线与圆的方程问题上． 主干知识整合
1.直线的概念与方程 (1)概念：直线的倾斜角θ的范围为[0°，180°)，倾斜角为90°的直线的斜率不存在，过 两点的直线的斜率公式k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2 )； (2)直线方程：点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1 ≠x 2，y 1≠y 2)，一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)； (3)位置关系：当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时，两直线平行l 1∥l 2?k 1＝k 2，两直线垂直l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1，两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点； (4)距离公式：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式． 2．圆的概念与方程 (1)标准方程：圆心坐标(a ，b )，半径r ，方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2＋E 2－4F >0)； (2)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 ，代数判断法与几何判断法； (3)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法. 要点热点探究 ? 探究点一 直线的概念、方程与位置关系 例1 (1)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( B ) A ．2x ＋y －12＝0 B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0 C ．x －2y －1＝0 D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0 (2)[2012·浙江卷] 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋ 1)y ＋4＝0平行”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 点评] 直线方程的四种特殊形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)都有其适用范围，在解题时不要忽视这些特殊情况，如本例第一题易忽视直线过坐标原点的情况；一般地，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1，垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 变式题 (1)将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得的直线方程为( A ) A ．y ＝－13x ＋13 B ．y ＝－13x ＋1 C ．y ＝3x －3 D ．y ＝13 x ＋1 (2)“a ＝－2”是“直线ax ＋2y ＝0垂直于直线x ＋y ＝1”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 ? 探究点二 圆的方程及圆的性质问题 例2 (1)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为( C ) A ．(x －1)2＋y 2＝6425 B ．x 2＋(y －1)2＝6425 C ．(x －1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1 (2)[2012·陕西卷] 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( A ) A ．l 与C 相交 B ．l 与 C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能 [点评] 确定圆的几何要素：圆心位置和圆的半径，求解圆的方程就是求出圆心坐标和
高考解析几何的万能解题套路 一个套路，几乎解决所有高考解析几何问题！ 在教学中，一直有一个难以解决的悖论：“题海战术”广遭诟病，但似乎要取得好成绩，除了“题海战术”又别无良策。这是因为，我们每次考试面对的题目都不可能一样，大家心照不宣的想法是——通过平时的“题海战术”，也许可以穷尽问题的各种可能。 显然如果我们要穷尽问题的各种可能，是不现实的。为了让学生能真正从题海战术中走出来，事实上，我们可以将以往大量的、零碎的、彼此之间也看似没有多少联系性的某些数学问题，却能通过高度一致的方法获得解决，本文以解析几何为例的一套与高考解析几何演绎体系相对应的“万能解题套路”，几乎把近几年贵州省高考解析几何问题基本上统一了起来！希望对同学有所启发。 一、解析几何万能解题套路 解析几何是法国数学家笛卡儿（1596年～1650年）创立的。笛卡儿在总结前人经验的基础上，创造性地提出了一个划时代的设想——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。正是在这一设想的指引下，笛卡儿创建了解析几何的演绎体系。 以高考解析几何为例： 1、很多高考问题都是以平面上的点、直线、曲线（如圆、椭圆、抛物线、双曲线）这三大类几何元素为基础构成的图形的问题； 2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方程、解方程的规则。 有了以上两点认识，我们可以毫不犹豫地下这么一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外乎做两项工作： 1、几何问题代数化。 2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。 至此，整理了近几年来贵州省高考解析几何试题后总结出一套统一的解题套路： 二、高考解析几何解题套路及各步骤操作规则 步骤一：（一化）把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来； 口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。 1、见点化点：“点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化； 2、见直线化直线：“直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化； 3、见曲线化曲线：“曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的曲线都要加以方程化； 步骤二：（二代）把题目中的点与直线、曲线从属关系用代数形式表示出来；如果某个点在某条直线或曲线上，那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。 口诀：点代入直线、点代入曲线。 1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程；
专题11平面解析几何大题强化训练(省赛试题汇编) 1．【2018年广西预赛】已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围． 2．【2018年安徽预赛】设O是坐标原点，双曲线C：上动点M处的切线，交C的两条渐近线于 A、B两点. ⑴求证：△AOB的面积S是定值； ⑵求△AOB的外心P的轨迹方程. 3．【2018年湖南预赛】已知抛物线的顶点，焦点，另一抛物线的方程为 在一个交点处它们的切线互相垂直.试证必过定点，并求该点的坐标. 4．【2018年湖南预赛】如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD.分别过点C、D作边BC、AD的垂线，设两条垂线的交点为P.过点P作与Q.求证：. 5．【2018年湖北预赛】已知为坐标原点，，点为直线上的动点，的平分线与直线 交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线，若直线与曲线恰好有一个公共点，求的取值范围. 6．【2018年甘肃预赛】已知椭圆过点，且右焦点为． （1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值． 7．【2018年吉林预赛】如图，已知抛物线过点P（-1，1），过点Q（，0）作斜率大于0的直线l 交抛物线与M、N两点（点M在Q、N之间），过点M作x轴的平行线，交OP于A，交ON于B.△PMA 与△OAB的面积分别记为，比较与3的大小，说明理由. 8．【2018年山东预赛】已知圆与曲线为曲 线上的两点，使得圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，求的值．9．【2018年天津预赛】如图，是双曲线的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点，求证：（1）；⑵、A、B四点在同一个圆上. 10．【2018年河南预赛】已知方程平面上表示一椭圆．试求它的对称中心及对称轴．
高考数学专题复习：解析几何专题 【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==． 故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.
平面解析几何 高考复习知识点 一、直线的倾斜角、斜率 1、直线的倾斜角： （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条及x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 及x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围[)π,0。 2、直线的斜率 （1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为 ()212 12 1x x x x y y k ≠--= ； （3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量及直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。 例题： 例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变 化范围； 思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围 解析： ∵， ∴． 总结升华： 在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用 在和上是增函
数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立. 类型二：斜率定义 例2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在 边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB及AC所 在直线的斜率. 思路点拨： 本题关键点是求出边AB及AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率. 解析： 如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30° ∴直线AB的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC的倾斜角为30°， ∴k AB=tan150°= k AC=tan30°= 总结升华： 在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角. 类型三：斜率公式的应用 例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．
第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1．直线的倾斜角 (1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式： 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2 x 1－x 2. 3．直线方程
1．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况． 2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误． 3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B . [试一试] 1．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12 D ．2或－1 2 解析：选D 当2m 2＋m －3≠0时，即m ≠1或m ≠－3 2时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝ 1，即2m 2－3m －2＝0， 故m ＝2或m ＝－1 2 . 2．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 解析：∵k MN ＝m －4 －2－m ＝1，∴m ＝1. 答案：1 3．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－4 3， 所以y ＝－4 3x ，即4x ＋3y ＝0. ②若直线不过原点． 设x a ＋y a ＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 1．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 2．求直线方程的一般方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应
专题55 平面解析几何专题训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若2222c b a =+(0≠c )，则直线0=++c by ax 被圆122=+y x 所截得的弦长为( )。 A 、 2 1 B 、22 C 、1 D 、2 【答案】D 【解析】∵圆心)00(，到直线0=++c by ax 的距离2 2 2 2= += b a C d ， 因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于2 2)22( 12=-，∴弦长为2，故选D 。 2．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。 A 、 59 B 、1029 C 、518 D 、5 29 【答案】B 【解析】∵ 5 12 8463-≠ =，∴两直线平行，将直线01243=-+y x 化为02486=-+y x ， 由题意可知||PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离，即 10 29 865242 2= +--，故选B 。 3．若圆4)()(22=-+-a y a x 上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围为( )。 A 、)022(， - B 、)220()022(，， - C 、)221()122(，， -- D 、)220(， 【答案】B 【解析】由题意已知圆与圆422=+y x 相交，∴222222+<+<-a a ， 解得2222<<-a 且0≠a ，故选B 。 4．双曲线122=-my x 的实轴长是虚轴长的2倍，则=m ( )。 A 、 41 B 、2 1 C 、2 D 、4 【答案】D 【解析】12 2 =-my x 可化为1122 =-m y x ，则12=a ，m b 12=，∵实轴长是虚轴长的2倍， ∴b a 222?=，即b a 2=，即224b a =，∴4=m ，故选D 。
平面解析几何 用代数方法研究几何图形的几何性质，体现着数形结合的重要数学思想．直线与圆的方程、圆锥曲线与方程是历年高考的必考内容，题量一般为一道解答题和两道填空题．江苏高考对双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质由原来的理解降为了解，圆锥曲线突出了直线与椭圆（理科有与抛物线）的位置关系，淡化了直线与双曲线的位置关系．直线与圆锥曲线的有关问题始终是命题的热点内容之一，必考一道解答题．直线与圆锥曲线所涉及的知识点较多，对解题能力的考查层次要求较高，所研究的问题是直线与圆锥曲线的位置关系、定点（定值）、最值以及参数的取值范围等． 第一课时 直线与圆 教学目标：在2013年的备考中，需要关注： （1）直线的基本概念，直线的方程，两直线的位置关系及点到直线的距离等基础知识； （2）活用圆的两类方程、直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系； （3）对数形结合的思想、转化与化归的思想熟练掌握。 一、基础回顾： 1、若直线(a 2＋2a )x －y ＋1＝0的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________． 2、经过2 2 2410x y x y +--+=的圆心，且倾斜角为 6 π 的直线方程为. 3、直线ax ＋2y ＋6＝0与直线x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，则a ＝________. 4、直线20x -=与圆2 2 4x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长度等于. 5、已知圆:C ()()22 212x y -++=，过原点的直线l 与圆C 相切，则所有切线的斜率之和为. 6、过点()0,6A 且与圆2 2:10100C x y x y +++=切于原点的圆的方程为. 二、典型问题 基本题型一：直线的概念、方程及位置问题 例1 过点P (3,2)作直线l ，交直线y ＝2x 于点Q ，交x 轴正半轴于点R ，当△QOR 面积最小时，求直线l 的方程． 解析： 方法一：设点Q 的坐标为(a,2a )，点R 的坐标为(x,0)，其中x >0. 当a ＝3时，△QOR 的面积S ＝9；
解析几何(4) 23.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分） 已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段 l 的距离，记作(,)d P l （1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ； （2）设l 是长为2的线段，求点的集合{(,)1}D P d P l =≤所表示的图形面积； （3）写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中 12,l AB l CD ==，,,,A B C D 是下列三组点中的一组. 对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分. ①(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --. ②(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---. ③(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D . 23、解：⑴ 设(,3)Q x x -是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点，则 ||5) PQ x ==≤≤，当 3 x =时 ， min (,)||d P l PQ == ⑵ 设线段l 的端点分别为,A B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系， 则(1,0),(1,0)A B -，点集D 由如下曲线围成 12:1(||1),:1(||1) l y x l y x =≤=-≤， 222212:(1)1(1),:(1)1(1)C x y x C x y x ++=≤--+=≥ 其面积为4S π=+。 ⑶① 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --，{(,)|0}x y x Ω== ② 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。 2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}x y x y x y y x y x y x y x Ω==≥=-≤<++=> ③ 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。
7.3 解析几何(压轴题) 命题角度1曲线与轨迹问题 高考真题体验·对方向 1.(2017全国Ⅱ·20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足. (1)求点P的轨迹方程; (2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0). 由得x0=x,y0=y. 因为M(x0,y0)在C上,所以=1. 因此点P的轨迹方程为x2+y2=2. F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n), 则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n), =(-3-m,t-n).
由=1得-3m-m2+tn-n2=1. 又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0. 所以=0,即. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ, 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 2.(2016全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C 于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ; (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程. F. 设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0, 且A,B,P,Q,R. 记过A,B两点的直线为l, 则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0. 由于F在线段AB上,故1+ab=0. 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2, 则k1==-b=k2. 所以AR∥FQ. l与x轴的交点为D(x1,0), 则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=.