第九编 解析几何
§9.1直线的倾斜角与斜率
1.设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则α的范围为 . 答案 0°＜α＜135°
2.（20082全国Ⅰ文）曲线y =x 3-2x +4在点（1，3）处的切线的倾斜角为 . 答案 45°
3.过点M （-2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为 . 答案 1
4.已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l 的斜率取值范围是 . 答案 （-∞,-1）∪［0，+∞）
5.若直线l 经过点（a -2，-1）和（-a -2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-3
2的直线垂直，则实数a 的值为 .
答案 -3
2
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例1 若α∈???
???2,6ππ
，则直线2x cos α+3y +1=0的倾斜角的取值范围是 .
答案 ??
??
??ππ,65
例2 （14分）已知直线l 1:ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a -1)y +a 2-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.
解 （1）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0, l 2:x =0,l 1不平行于l 2; 当a =0时，l 1:y =-3,
l 2:x -y -1=0,l 1不平行于l 2;
2
分
基础自测
当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y =-x
a 2-3,l 2:y =
x
a
-11-(a +1),
l 1∥l 2???
???+-≠--=-
)1(3112a a
a ，
解得a =-1,
5分
综上可知，a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6
分
方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a -1）-132=0， 由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a (a 2
-1)-136≠0, 2
分
∴l 1∥l 2??????≠?--=?--0
61)1(021)1(2
a
a a a
4
分
???
???≠-=--6)1(0
22
2a a a a ?
a =-1, 5
分
故当a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6
分
（2）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0, l 1与l 2不垂直，故a =1不成立. 8
分
当a ≠1时，l 1:y =-2
a x -3,
l 2:y =x
a
-11-(a +1),
12分 由??
?
??
-
2a 2
a
-11=-1?a =
3
2.
14分
方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0， 得a +2(a -1)=0?a =
3
2.
14分
例3 已知实数x ,y 满足y =x 2
-2x +2 (-1≤x ≤1).
试求：
23++x y 的最大值与最小值.
解 由2
3++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与
曲线段AB 上任一
点（x ,y )的直线的斜率k , 如图可知：k PA ≤k ≤k PB ,
由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴3
4≤k ≤8，
故2
3++x y 的最大值为8，最小值为
3
4.
1.直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的取值范围是 . 答案 ??
?
??????
???πππ,656,
2.已知两条直线l 1:(3+m )x +4y =5-3m ,l 2:2x +(5+m )y =8.当m 分别为何值时，l 1与l 2: （1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 解 m=-5时，显然，l 1与l 2相交；
当m ≠-5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为 k 1=-4
3m +，k 2=-
m
+52，
它们在y 轴上的截距分别为b 1=435m -，b 2=
m
+58.
（1）由k 1≠k 2,得-4
3m +≠-m
+52，
m ≠-7且m ≠-1.
∴当m ≠-7且m ≠-1时，l 1与l 2相交.
（2）由???≠=,,2121b b k k ,得??????
?+≠
-+-=+-m m m
m
584
355243，m =-7.
∴当m =-7时，l 1与l 2平行. （3）由k 1k 2=-1, 得-4
3m +2??
? ??
+-
m 52
=-1，m =-
3
13.
∴当m =-3
13时，l 1与l 2垂直.
3.若实数x ,y 满足等式(x -2)2+y 2=3，那么x
y 的最大值为 .
答案 3
一、填空题
1.直线x cos θ+y -1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是
.
答案 ??
???????
??
?πππ,434,
2.（20092姜堰中学高三综合练习）设直线l 1:x -2y +2=0的倾斜角为1α,直线l 2:mx -y +4=0的倾斜角为2α,且
2α=1α+90°,则m 的值为 .
答案 -2
3.已知直线l 经过A （2，1），B （1，m 2）（m ∈R ）两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是 . 答案 ??
?
???
??
???
πππ,24,
4.已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2与l 1关于直线y =x 对称，直线l 3⊥l 2，则l 3的斜率为 . 答案 -2
5.若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l 的斜率是 . 答案 -3
1
6.（20082浙江理，11）已知a ＞0,若平面内三点A （1，-a ），B （2，a 2），C （3，a 3）共线，则a = . 答案 1+2
7.已知点A （-2，4）、B （4，2），直线l 过点P （0，-2）与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 . 答案 （-∞，-3］∪［1，+∞）
8.已知两点A （-1，-5），B （3，-2），若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案
3
1
二、解答题
9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x +my +m =0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围.
解 方法一 直线x +my +m =0恒过A （0，-1）点.
k AP =1
011+--=-2，k AQ =
2
021---=
2
3，
则-m 1≥2
3或-m
1≤-2，
∴-3
2≤m ≤2
1且m ≠0.
又∵m =0时直线x +my +m =0与线段PQ 有交点， ∴所求m 的取值范围是-3
2≤m ≤
2
1.
方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 y -1=
1
212+-(x +1),即y =
3
1x +
3
4,
代入x+my +m =0, 整理，得x =-37+m m .
由已知-1≤-3
7+m m ≤2,
解得-3
2≤m ≤
2
1.
10.已知直线l 1:x +my +6=0,l 2:(m -2)x +3y +2m =0,求m 的值，使得： （1）l 1与l 2相交；（2）l 1⊥l 2;(3)l 1∥l 2;(4)l 1,l 2重合. 解 （1）由已知133≠m (m -2), 即m 2
-2m -3≠0, 解得m ≠-1且m ≠3.
故当m ≠-1且m ≠3时，l 1与l 2相交. （2）当12（m -2）+m 23=0，即m =2
1时，l 1⊥l 2.
(3)当
2
1-m =
3
m ≠
m 26,即m =-1时，l 1∥l 2. （4）当2
1-m =
3
m =
m
26，
即m =3时，l 1与l 2重合.
11.已知A （0，3）、B （-1，0）、C （3，0），求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列）.
解 设所求点D 的坐标为（x ，y ），如图所示，由于k AB =3，k BC =0， ∴k AB 2k BC =0≠-1，
即AB 与BC 不垂直，故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边. ①若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ， ∵k BC =0，∴CD 的斜率不存在，从而有x =3. 又k AD =k BC ，∴
x
y 3-=0，即y =3.
此时AB 与CD 不平行.
故所求点D 的坐标为（3，3）. ②若AD 是直角梯形的直角边， 则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ， k AD =
x
y 3-，k CD =
3
-x y . 由于AD ⊥AB ，∴
x y 3-23=-1.
又AB ∥CD ，∴
3
-x y
=3.
解上述两式可得???
???
?
==,59,5
18y x
此时AD 与BC 不平行. 故所求点D 的坐标为??
?
??59,518,
综上可知，使ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为（3，3）或??
?
??59,518.
12.已知两点A （-1，2），B （m ，3）. （1）求直线AB 的方程；
（2）已知实数m ∈????
???
?
---
13,133
，求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 解 （1）当m =-1时，直线AB 的方程为x =-1, 当m ≠-1时，直线AB 的方程为y -2=
1
1+m (x +1).
（2）①当m =-1时，α=2
π
;
②当m ≠-1时，m +1∈(]
3,00,3
3
????
???
?
-
， ∴k =
1
1+m ∈（-∞，-3］∪???
?
??
??+∞,33
，
∴α∈??
?
????????32,22,6ππππ .
综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈??
?
???32,6ππ
.
§9.2 直线的方程、直线的交点坐标与距离公式
1.下列四个命题中真命题的序号是 .
①经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y -y 0=k （x -x 0）表示
②经过任意两个不同点P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程（y -y 1)(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示 ③不经过原点的直线都可以用方程
1
=+b y a x 表示
④经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示 答案 ②
2.A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |=|PB |，若直线PA 的方程为x -y +1=0，则直线PB 的方程为 . 答案 x +y -5=0
3.（20082全国Ⅱ文）原点到直线x +2y -5=0的距离为 . 答案 5
4.过点P （-1，2）且方向向量为a =（-1，2）的直线方程为 . 答案 2x +y =0
5.一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 答案 x +2y -2=0或2x +y +2=0
例1 求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；
（2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线y =3x 的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a , 若a =0，即l 过点（0，0）和（3，2）， ∴l 的方程为y =
3
2x ，即2x -3y =0.
基础自测
若a ≠0，则设l 的方程为
1=+
b
y a x ，
∵l 过点（3，2），∴
123=+
a
a
，
∴a =5，∴l 的方程为x +y -5=0,
综上可知，直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0, 设直线方程为y -2=k (x -3), 令y =0，得x =3-k
2,令x =0,得y =2-3k ,
由已知3-k
2=2-3k ，解得k =-1或k =3
2,
∴直线l 的方程为： y -2=-（x -3）或y -2=
3
2(x -3),
即x +y -5=0或2x -3y =0.
（2）由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α=3,∴tan2α=
α
α2
tan 1tan 2-=-
4
3.
又直线经过点A （-1，-3）， 因此所求直线方程为y +3=-4
3(x +1),
即3x +4y +15=0.
例2 过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使：
（1）△AOB 面积最小时l 的方程； （2）|PA |2|PB |最小时l 的方程. 解 方法一 设直线的方程为1=+b
y a x (a ＞2,b ＞1),
由已知可得
112=+
b a
. （1）∵2b
a
12?
≤b
a
12+=1，∴ab ≥8.
∴S △AOB =
2
1ab ≥4.
当且仅当
a
2=
b
1=
2
1,即a =4,b =2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为
2
4
y x +
=1,即x +2y -4=0.
（2）由a
2+b
1=1,得ab -a -2b =0,
变形得(a -2)(b -1)=2, |PA |2|PB |
=22)01()2(-+-a 222)1()02(b -+-
=]4)1[(]1)2[(2
2+-+-b a
2
≥)1(4)2(2--b a . 当且仅当a -2=1,b -1=2,
即a =3,b =3时，|PA |2|PB |取最小值4. 此时直线l 的方程为x +y -3=0.
方法二 设直线l 的方程为y -1=k (x -2) (k ＜0), 则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于 A ??
?
??
-
0,12k 、B （0，1-2k ）.
（1）S △AOB =21??
? ??-k 12（1-2k ）
=
21
3???
??
?-+-+)1()4(4k k
≥2
1（4+4）=4.
当且仅当-4k =-k
1,即k =-2
1时取最小值，此时直线l 的方程为y -1=-
2
1(x -2),即x +2y -4=0.
（2）|PA |2|PB |=22441)1(k k
++ =
8
442
2
++k
k
≥4,
当且仅当
2
4k
=4k 2,即k =-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y -1=-(x -2),即x +y -3=0.
例3 （14分）已知直线l 过点P （3，1）且被两平行线l 1:x +y +1=0,l 2:x +y +6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程.
解 方法一 若直线l 的斜率不存在，
则直线l 的方程为x =3,此时与l 1,l 2的交点分别是 A （3，-4），B （3，-9），
截得的线段长|AB |=|-4+9|=5,符合题意. 4分
若直线l 的斜率存在时， 则设直线l 的方程为y =k (x -3)+1, 分别与直线l 1,l 2的方程联立， 由??
?=+++-=0
11)3(y x x k y ,
解得A ???
??+-+-141,1
23k k k k .
8分
由??
?=+++-=0
61)3(y x x k y ,解得B ???
??+-+-1911
73k k ，k k , 由两点间的距离公式，得
2
1731
2
3??? ??+--+-k k k k +2
1911
41???
??+--+-k k k k =25， 解得k =0,即所求直线方程为y =1.
12分 综上可知，直线l 的方程为x =3或y =1.
14分
方法二 设直线l 与l 1,l 2分别相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
2 2
则x 1+y 1+1=0,x 2+y 2+6=0, 两式相减，得(x 1-x 2)+(y 1-y 2)=5 ① 6分
又(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=25
② 联立①②可得??
?=-=-0
52121y y x x 或??
?=-=-5
02121y y x x ,
12分
由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x =3或y =1.
14分
例4 求直线l 1:y =2x +3关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程. 解 方法一 由??
?+=+=1
32x y x y
知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1）， ∴设直线l 2的方程为y +1=k (x +2), 即kx -y +2k -1=0.
在直线l 上任取一点（1，2），
由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得
2
2
11
22k
k k +-+-=
2
2
)
1(2
322-++-，
解得k =
2
1(k =2舍去)，
∴直线l 2的方程为x -2y =0.
方法二 设所求直线上一点P （x ,y ）,
则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称. 由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点 P 2???
?
??++2,
2
00
y y x x 在直线l 上. ∴???
????++=+-=?--1
22110
000x x y y x
x y
y ，变形得???+=-=1100x y y x ,
代入直线l 1:y =2x +3，得x +1=23(y -1)+3, 整理得x -2y =0.
所以所求直线方程为x -2y =0.
1.（1）求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程；
（2）过点A （8，6）引三条直线l 1,l 2,l 3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l 2的方程是y =4
3x ,求直
线l 1,l 3的方程.
解 （1）①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为y =kx
,
将（-5，2）代入y =kx 中， 得k =-5
2，此时，直线方程为y =-
5
2x ,
即2x +5y =0.
②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为
a
y a
x +2=1，
将（-5，2）代入所设方程， 解得a =-2
1，
此时，直线方程为x +2y +1=0.
综上所述，所求直线方程为x +2y +1=0或2x +5y =0. （2）设直线l 2的倾斜角为α,则tan α=
4
3.
于是tan
2
α
=
α
αsin cos 1-=
3
153541=-
,
tan2α=
724)
4
3(143
2tan
1tan 222
=-?
=
-α
α,
所以所求直线l 1的方程为y -6=3
1(x -8), 即x -3y +10=0,l 3的方程为y -6=7
24(x -8),
即24x -7y -150=0.
2.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程. 解 方法一 设直线l 的方程为1=+b
y a x （a ＞0,b ＞0）,
∴A (a ,0),B (0,b ),
∴???
??=+=.
123,
24b
a a
b 解得??
?==.4,6b a
∴所求的直线方程为4
6
y x +
=1,
即2x +3y -12=0.
方法二 设直线l 的方程为y -2=k (x -3), 令y =0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k
2,
令x =0,得直线l 在y 轴上的截距b =2-3k . ∴??
? ??
-
k 23(2-3k )=24.解得k =-
3
2.
∴所求直线方程为y -2=-3
2(x -3).
即2x +3y -12=0.
3.已知三条直线l 1：2x -y +a =0（a ＞0）,直线l 2:4x -2y -1=0和直线l 3:x +y -1=0,且l 1与l 2的距离是
5
10
7.
(1)求a 的值；
(2)能否找到一点P ,使得P 点同时满足下列三个条件: ①P 是第一象限的点;②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的
2
1;③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之
比是2∶5.若能,求P 点坐标;若不能,说明理由. 解 (1)l 2即为2x -y -2
1=0,
∴l 1与l 2的距离d =
10
57)
1(2)
21(2
2
=
-+-
-a ,
∴
5
2
1+
a =
10
57,∴2
1+
a =
2
7,
∵a ＞0,∴a =3.
(2)假设存在这样的P 点.
设点P (x 0,y 0),若P 点满足条件②,则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x -y +C =0上，
且5
3-C =
5
2
12
1+C ，即C =
2
13或C =
6
11，
∴2x 0-y 0+2
13=0或2x 0-y 0+6
11=0；
若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式5
3
200+-y x =5
232
1
00-+y x ，
即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|， ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0；
由于P 点在第一象限，∴3x 0+2=0不满足题意.
联立方程?????
=+-=+
-0
4202
1320000y x y x ，
解得??
???=-=,21,
30
0y x (舍去).
由?????
=+-=+
-,
042,0611200
00y x y x 解得???
????
==18379
100y x
∴假设成立，P ??
?
??1837,
91即为同时满足三个条件的点.
4.光线沿直线l 1:x -2y +5=0射入，遇直线l :3x -2y +7=0后反射，求反射光线所在的直线方程. 解 方法一 由???=+-=+-.
0723,052y x y x
得??
?=-=.
2,1y x
∴反射点M 的坐标为（-1,2）.
又取直线x -2y +5=0上一点P （-5，0），设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0,y 0)，由
PP ′⊥l 可知,k PP ′=-3
2=
5
00+x y .
而PP ′的中点Q 的坐标为???
?
?
?-2,
2
5
00y x , Q 点在l 上，∴32
2
50-x -22
2
0y +7=0.
由???????=+---=+.07)5(2
3,3250000y x x y 得???????
-=-=.1332,13
1700y x
根据直线的两点式方程可得l 的方程为 29x -2y +33=0.
方法二 设直线x -2y +5=0上任意一点P （x 0,y 0）关于直线l 的对称点为P ′(x ,y ),
则
3
200-
=--x
x y y ,
又PP ′的中点Q ???
?
?
?++2,
2
00
y y x x 在l 上， ∴33
2
0x x +-23
2
0y y ++7=0,
由???
??
??=++-+?-=--07)(2332
0000y y x x x
x y y
可得P 点的坐标为 x 0=
13
42
125-+-y x ，y 0=
13
28
512++y x ，
代入方程x -2y +5=0中， 化简得29x -2y +33=0,
即为所求反射光线所在的直线方程.
一、填空题
1.过点（1，3）作直线l ，若经过点（a ，0）和（0，b ），且a ∈N *，b ∈N *，则可作出的l 的条数为 . 答案
2
2.已知直线l 1的方向向量为a =(1,3),直线l 2的方向向量为b =(-1,k ),若直线l 2过点（0，5），且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是 . 答案 x +3y -15=0
3.若直线l 与两直线y =1,x -y -7=0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P （1，-1），则直线l 的斜率是 . 答案 -3
2
4.直线x -2y +1=0关于直线x =1对称的直线方程是 . 答案 x +2y -3=0
5.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为 . 答案 2x +y -6=0
6.点（1，cos θ）到直线x sin θ+y cos θ-1=0的距离是4
1(0°≤θ≤180°)，那么θ= .
答案 30°或150° 7.设l 1的倾斜角为α，α∈?
?
? ??
2,
0π，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为-2，l 2
绕P 沿逆时针方向旋转2
π
-α角得直线l 3：x +2y -1=0，则l 1的方程为 .
答案 2x -y +8=0
8.若直线l :y =kx -1与直线x +y -1=0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 . 答案 (1,+∞) 二、解答题
9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： （1）过定点A （-3，4）；（2）斜率为
6
1.
解 （1）设直线l 的方程是y =k (x +3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k
4-3，3k +4，
由已知，得（3k +4）（k
4+3）=±6，
解得k 1=-3
2或k 2=-
3
8.
直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0.
（2）设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程是y =6
1x +b ,它在x 轴上的截距是-6b ,
由已知，得|-6b 2b |=6，∴b =±1. ∴直线l 的方程为x -6y +6=0或x -6y -6=0.
10.一条光线经过P （2，3）点，射在直线l :x +y +1=0上，反射后穿过Q （1，1）. （1）求光线的入射方程； （2）求这条光线从P 到Q 的长度.
解 （1）设点Q ′(x ′,y ′)为Q 关于直线l 的对称点且QQ ′交l 于M 点，∵k l =-1，∴k QQ ′=1. ∴QQ ′所在直线方程为y -1=12（x -1） 即x -y =0.
由??
?=-=++,
0,01y x y x
解得l 与QQ ′的交点M 的坐标为??
? ?
?-
-
21,2
1.
又∵M 为QQ ′的中点，
由此得?
????
??-=+-=+212
12
1
21'
'y x .
解之得?????-=-=.
2,
2''y x ∴Q ′（-2，-2）.
设入射线与l 交点N ，且P ，N ，Q ′共线. 则P （2，3），Q ′（-2，-2），得入射线方程为
2
222
32++=++x y ，即5x -4y +2=0.
(2)∵l 是QQ ′的垂直平分线，因而|NQ |=|NQ ′|. ∴|PN |+|NQ |=|PN |+|NQ ′|=|PQ ′| =22)22()23(+++=41, 即这条光线从P 到Q 的长度是41.
11.已知正方形的中心为直线2x -y +2=0,x +y +1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x +3y -5=0,求正方形其他三边的方程.
解 设与直线l :x +3y -5=0平行的边的直线方程为l 1:x +3y +c =0. 由??
?=++=+-0
1022y x y x 得正方形的中心坐标P （-1，0），
由点P 到两直线l ,l 1的距离相等， 则
2
2
2
2
3
113
151++-=
+--c ,
得c =7或c =-5（舍去）.∴l 1：x +3y +7=0. 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直， ∴设另两边方程为3x -y +a =0,3x -y +b =0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴
2
2
1
3
3++-a =
2
2
3
151+--，得a =9或a =-3,
∴另两条边所在的直线方程为3x -y +9=0,3x -y -3=0. ∴另三边所在的直线方程为3x -y +9=0,x +3y +7=0,3x -y -3=0.
12.过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l 1：2x -y -2=0与l 2:x +y +3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程.
解 方法一 设点A （x ，y ）在l 1上，
由题意知???
???
?=+=+0232
B B
y y x x ，∴点B （6-x ，-y ），
解方程组??
?=+-+-=--0
3)()6(022y x y x ，
得???
???
?==316311y x ，∴k =
83
3
110
3
16
=--.
∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.
方法二 设所求的直线方程为y =k (x -3),
则???=---=022)3(y x x k y ,解得???????-=--=242
23k k
y k k x A A ,
由???=++-=03)3(y x x k y ,解得???
????
+-=+-=161
33k k
y k k x B B .
∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A +y B =0，即
2
4-k k +
1
6+-k k =0，
∴k 2-8k =0，解得k =0或k =8. 又∵当k =0时，x A =1,x B =-3, 此时
32
312
≠-=+B
A x x ,∴k =0
舍去，
∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.
§9.3 圆的方程
1.方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆，则a 的取值范围是 . 答案 -2＜a ＜
3
2
基础自测
2.圆x 2+y 2+2x -4y +1=0关于直线2ax -by +2=0（a 、b ∈R ）对称，则ab 的取值范围是 . 答案 ??
?
?
?
∞-4
1,
3.过点A （1，-1），B （-1，1），且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是 . 答案 （x -1）2+(y -1)2=4
4.以点（2，-1）为圆心且与直线3x -4y +5=0相切的圆的方程为 . 答案 (x -2)2+(y +1)2=9
5.直线y =ax +b 通过第一、三、四象限，则圆（x +a ）2+(y +b )2=r 2 (r ＞0)的圆心位于第 象限. 答案 二
例1 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x +4y +4=0与圆C 相切，则圆C 的方程为 . 答案 x 2
+y 2
-4x =0
例2 （14分）已知圆x 2+y 2+x -6y +m =0和直线x +2y -3=0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心 坐标及半径.
解 方法一 将x =3-2y , 代入方程x 2
+y 2
+x -6y +m =0, 得5y 2-20y +12+m =0.
4分
设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则y 1、y 2满足条件： y 1+y 2=4,y 1y 2=5
12m +.
6分
∵OP ⊥OQ ,∴x 1x 2+y 1y 2=0.
8
分
而x 1=3-2y 1,x 2=3-2y 2. ∴x 1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2. ∴m =3,此时Δ＞0,圆心坐标为??
?
??
-
3,21
，半径r =
2
5.
14分
方法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ， ∵O 1M ⊥PQ ，∴M O k
1=2. ∴O 1M 的方程为:y -3=2??
?
??
+
21x ,
即：y =2x +4. 由方程组??
?=-++=0
3242y x x y .
解得M 的坐标为（-1，2）.
则以PQ 为直径的圆可设为（x +1）2+（y -2）2=r 2.
6分
∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上. ∴（0+1）2+（0-2）2=r 2，即r 2=5,MQ 2=r 2. 在Rt △O 1MQ 中，O 1Q 2
=O 1M 2
+MQ 2
.
∴2
121??
? ??+-+（3-2）2
+5=
44)
6(12
m
--+. ∴m =3.∴半径为2
5,圆心为??
?
?
?-
3,21.
14分
方法三 设过P 、Q 的圆系方程为x 2+y 2+x -6y +m +λ(x +2y -3)=0. 由OP ⊥OQ 知，点O （0，0）在圆上. ∴m -3λ=0，即m =3λ.
3分
∴圆的方程可化为
x 2+y 2+x -6y +3λ+λx +2λy -3λ=0 即x 2+(1+λ)x +y 2+2(λ-3)y =0.
6分 ∴圆心M ??
?
??-+-
2)3(2,
2
1λλ，
7
分
又圆在PQ 上. ∴-2
1λ++2（3-λ）-3=0，∴λ=1，∴m =3.
12分 ∴圆心为??
?
??
-
3,21，半径为
2
5.
14分
例3 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0.
（1）求y -x 的最大值和最小值； （2）求x 2+y 2的最大值和最小值.
解 （1）y -x 可看作是直线y =x +b 在y 轴上的截距，当直线y =x +b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时
3
2
02=
+-b
，解得b =-2±6.
所以y -x 的最大值为-2+6，最小值为-2-6.
（2）x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
又圆心到原点的距离为22)00()02(-+-=2， 所以x 2+y 2的最大值是（2+3）2=7+43， x 2+y 2的最小值是（2-3）2=7-43.
1.（20082 山东文，11）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x -3y =0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 . 答案 (x -2)2+(y -1)2=1
2.已知圆C ：（x -1）2+(y -2)2=25及直线l :(2m +1)x +(m +1)y =7m +4 (m ∈R ). （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交； （2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程. （1）证明 直线l 可化为x +y -4+m (2x +y -7)=0,
即不论m 取什么实数，它恒过两直线x +y -4=0与2x +y -7=0的交点. 两方程联立，解得交点为（3，1），
又有（3-1）2
+（1-2）2
=5＜25,∴点（3，1）在圆内部， ∴不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交.
（2）解 从（1）的结论和直线l 过定点M （3，1）且与过此点的圆C 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长|AB |最短，由垂径定理得|AB |=22
2CM r -
=2])21()13[(2522-+--=45. 此时，k l =-CM
k 1,从而k l =-
3
1121--=2.
∴l 的方程为y -1=2(x -3),即2x -y =5.
3.已知点P （x ，y ）是圆(x +2)2+y 2=1上任意一点.
（1）求P 点到直线3x +4y +12=0的距离的最大值和最小值； （2）求x -2y 的最大值和最小值； （3）求
1
2--x y 的最大值和最小值.
解 （1）圆心C （-2，0）到直线3x +4y +12=0的距离为 d =
2
2
4
312
04)2(3++?+-?=
5
6.
∴P 点到直线3x +4y +12=0的距离的最大值为 d +r =
5
6+1=
5
11，最小值为d -r =
5
6-1=
5
1.
（2）设t =x -2y ,
则直线x -2y -t =0与圆（x +2）2+y 2=1有公共点. ∴
2
2
2
1
2+--t ≤1.∴-5-2≤t ≤5-2，
∴t max =5-2，t min =-2-5. （3）设k =
1
2--x y ，
则直线kx -y -k +2=0与圆（x +2）2+y 2=1有公共点， ∴
1232
++-k
k ≤1.∴
4
3
3-≤k ≤
4
3
3+,
∴k max =43
3+，k min =
4
3
3-.
一、填空题
1.圆x 2+y 2-2x +4y +3=0的圆心到直线x -y =1的距离为 .
答案 2
2.两条直线y =x +2a ,y =2x +a 的交点P 在圆（x -1）2+(y -1)2=4的内部，则实数a 的取值范围是 . 答案 -5
1＜a ＜1
3.已知A （-2，0），B （0，2），C 是圆x 2
+y 2
-2x =0上任意一点，则△ABC 面积的最大值是 . 答案 3+2
4.圆心在抛物线y 2=2x 上且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 . 答案 x 2+y 2-x ±2y +
4
1=0
5.若直线2ax -by +2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x -4y +1=0的周长，则b
a
11+
的最小值是 .
答案 4
6.从原点O 向圆：x 2
+y 2
-6x +4
27=0作两条切线，切点分别为P 、Q ，则圆C 上两切点P 、Q 间的劣弧长为 .
答案 π
7.（20082四川理，14）已知直线l ：x -y +4=0与圆C ：（x -1）2+（y -1）2=2，则C 上各点到l 距离的最小值为 . 答案 2
8.以直线3x -4y +12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 . 答案 （x +2)2
+2
23?
?? ?
?
-y =
4
25
二、解答题
9.根据下列条件求圆的方程：
（1）经过坐标原点和点P （1,1），并且圆心在直线2x +3y +1=0上；
（2）已知一圆过P （4,-2）、Q (-1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43,求圆的方程. 解 （1）显然，所求圆的圆心在OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为：
2
2
y
x
+=22)1()1(-+-y x ，即x +y -1=0.
解方程组??
?=++=-+0
13201y x y x ,得圆心C 的坐标为（4，-3）.
又圆的半径r =|OC |=5,
第七章空间解析几何 第一节作业 一、选择题(单选)： 1. 点M(2,-3,1)关于xoy平面的对称点是： (A)( -2,3,1 )；( B)( -2,-3,-1 )；(C)( 2,-3,-1 )；( D)( -2,-3,1 ) 答：() 2. 点M(4,-3,5)到x轴距离为： (A).. 42—(—3)2—52; (B) 3)2—52; (cr. 4252; (D) ： 4252. 答：() 、在yoz面上求与A(3,1,2),B(4,-2,-2) 和C(0,5,1)等距离的点。 第二节作业 设u a b c, v a b 2c.试用a, b, c表示2u 3v. 第三节作业 一、选择题(单选)： 已知两点M'2,2，?一2)和M2(1,3,0),则MM2的三个方向余弦为: 1 1 V 2 1 1 <2 1 1 42 1 1 V2 (A) , , ; (B) , , ; (C) —, , . (D) —，,. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 答：() 二、试解下列各题： 1. 一向量的终点为B( 2，-1，7),它在x轴，y轴，z轴上的投影依次为4, -4，4，求这向量的起点A的坐标。
2. 设m 3i 5 j 3k, n 2i j 4k, p 5i j 4k 求向量 a 4m 3n p 在x 轴 上的投影及在y 轴上的分向量. 3. 求平行于向量a 6,7, 6的单位向量 第四节作业 一、选择题（单选）： 1. 向量a 在b 上的投影为： 答:（） 2. 设a 与b 为非零向量，则a b 0是： （A ）a//b 的充要条件； （B ）a b 的充要条件； （C ） a b 的充要条件； （D ） a //b 的必要但不充分条件 答:（） 3.向量a,b,c 两两垂直，w —1- — a 1, b —1- J )2, C 3,则s a b c 的长度 为 (A)1 2 3 6; 2 2 2 (B)1 2 3 14; (C)J12 22 32 ; (D) J1 2 3 勺6. 答:（） (A) (B) -a a b (D)
曲线与方程 （2）求曲线方程的基本方法 直线 一、直线的倾斜角与斜率 1、倾斜角的概念：（1）倾斜角：当直线 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线 向上方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角。 （2）倾斜角的范围：当 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角 为0°因此0°≤ ＜180°。 2、直线的斜率 （1）斜率公式：K=tan （ ≠90°） （2）斜率坐标公式：K=12 1 2x x y y -- （x1≠x 2） （3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。当 =0°时，k=0；当0°＜ ＜90°时，k ＞0，且 越大，k 越大；当 =90°时，k 不存在；当90°＜ ＜180°时，k ＜0，且 越大，k 越大。 二、两直线平行与垂直的判定 1、两直线平行的判定： （1）两条不重合的直线的倾斜角都是90°，即斜率不存在，则这两直线平行； （2）两条不重合的直线，若都有斜率，则k1=k2 1 ∥2 2、两直线垂直的判定：
已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程. 已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为11 12122121(,) y y x x x x y y y y x x --=≠≠--， 由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式 已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程1 =+b y a x 叫做直线 的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距. 关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式. 已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则22122121()()PP x x y y =-+-. 特殊地：(,)P x y 与原点的距离为 22 OP x y =+. 直线名称 已知条件 直线方程 使用范围 点斜式 111(,),P x y k 11() y y k x x -=- k 存在 斜截式 b k ， y kx b =+ k 存在 两点式 ) ,(11y x （),22y x 11 2121 y y x x y y x x --= -- 12x x ≠ 12y y ≠ 截距式 b a , 1x y a b += 0a ≠ 0b ≠
巩固 1．下列说法正确的是( ) A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C ．数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1 k D ．数列0,2,4,6，…可记为{2n } 解析：选C.由数列的定义可知A 、B 错误；数列{n ＋1 n }的第k 项为k ＋1k ＝1＋1 k ，故C 正确；数列0,2,4,6，…的通项公式为a n ＝2n －2，故D 错．综上可知，应选C. 2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 2a n ＋3，则a 5＝( ) A ．108 B.1 108 C ．161 D.1 161 解析：选D.a 1＝1，a 2＝a 12a 1＋3＝15，a 3＝a 22a 2＋3＝117，a 4＝ a 3 2a 3＋3＝153，a 5＝a 42a 4＋3＝1161 . 3．(2008年高考江西卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1 n )，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 解析：选A.因为a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1 n )， 从而有a n ＝a n －1＋ln n n －1
a n －1＝a n －2＋ln n －1 n －2 ? ? a 2＝a 1＋ln2 累加得a n ＋1＝a 1＋ln(n ＋1n .n n －1.n －1n －2 (2) 1) ＝2＋ln(n ＋1)， ∴a n ＝2＋ln n ，故应选A. 4.数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：由已知，a n ＋1－a n ＝2n ，故a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n (n －1)． 答案：n (n －1) 5．数列53，108，17 a ＋ b ，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )可以是 ________． 解析：从上面的规律可以看出????? a ＋ b ＝15 a － b ＝26 ， 解上式得????? a ＝412 b ＝－11 2. 答案：(412，－11 2) 6．写出满足条件的数列的前4项，并归纳出通项公式： (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)； (2)a 1＝3，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)． 解：(1)由条件得a 1＝0，a 2＝0＋1＝1＝12， a 3＝1＋(2×2－1)＝4＝22， a 4＝4＋(2×3－1)＝9＝32， 归纳通项公式为a n ＝(n －1)2.
2021年高三数学零诊考试试题 理 新人教A 版 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题，满分50分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个 选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．已知集合{}{}()12,1R A x x B x x A C B =-≤≤=
5. 已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A ．若，， 则 B ．若，，则 C ．若，，则 D ．若，，则 6. 执行下面的框图，若输入的是，则输出的值是 A ．120 B ．720 C ．1440 D ．5040 7. 如图所示为函数的部分图像，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么 A ．-1 B ．1 C ． D ． 8. 若函数()()()01x x f x ka a a a -=->≠-∞+∞且在， 上既是奇函数又是增函数，则的图象是 A B C D 9. 某单位安排7位员工在星期一至星期日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在星期一，丁不排在星期日，则不同的安排方案共有 A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种 10. 定义函数，则函数在区间内的所有零点的和为 A ． B ．189 C ． D ． 第Ⅱ卷（非选择题，满分100分） 注意事项： 1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。
第七章空间解析几何与向量代数[作业No.40] 班级 §1空间直角坐标系§2向量及其加减法，向量与数的乗法姓名________ 一、概念题 1、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限。 (】，-2, 3) ________ (2，- 3，- 4) _________ (- 1，- 3，- 5) _________ (-1, 5,- 3)____________ (2, 3,- 4)____________ (- 2,- 3, ]) _______________ (-5 , 3 , 1) _________ (3 , 4 , 6) _______________ 2、指出下列各点的位置。 A(3,4,0) ___________ B(0,4,3) ________ C(3,0,0) ___________ D(0,—1,0) ________ 3、指出当点的坐标适合下列条件之一时，该点所在的卦限。 点)在__________________ 上的对称点是1 5、点A (—4,3,5 )在％0『平面上的投影点为_________________________ 在ZOX平面上的投影点为 _______________ 在0X轴上的投影点为 _________________ 在oy轴上的投影点为__________________ 6、点P (—3,2,— 1)关于yoz平面的对称点为_______________________ 关于ZOX 平面的对称点为 ______________ 关于oy轴的对称点为_______________ 关于ox轴的对称点为_______________ 7、在y轴上与点A (1,—3,7 )和点B (5,7,—5 )等距离的点 为_______________ 8、u a b 2 c, v a 3b c，用a, b, c 表示2u 3v = __________________ 二、计算题：
专题讲座 高中数学“立体几何初步”教学研究 袁京生北京市朝阳区教育研究中心 一、“立体几何初步”教学内容的整体把握 （一）“立体几何初步”内容的背景分析 1.从立体几何发展的历程看立体几何课程 （1）不同学段几何学习的特点 一个学生从小学的数学课中就接触到了空间图形，由于知识和年龄的限制，他们对空间图形的认识方法主要是大量的观察、操作，对空间图形形成一定的感性认识. 在初中，课程安排了简单几何体的概念及体积公式，三视图的基本知识，正方体的截面、展开问题，建立了长方体模型概念，已初步具有平面几何基础知识及推理论证能力， 总体上看，初中学生对空间图形的认识主要是直观感知，操作确认，但平面几何的学习又呈现出思辨论证等理性的特征. 总之，高中以前的学生对空间图形的认识主要是对图形的整体形象的直观感知，操作确认，这种基于直观和操作的认知的优点是简便、直观，不需要更多的知识作基础，但不足也是很明显的，即不能对空间图形及其内部的元素关系进行深入的分析，不能产生对空间图形本质的认识. 当学生进入高中以后，教材对空间图形的有了专门的介绍：立体几何.从历次的立体几何教材看，无论教材怎样变化，高中立体几何的最终目标都是要从学生可接受的理论高度来认识空间图形.除了传统的综合几何外，近几年的高中《大纲》或《课程标准》还引入了空间向量，空间向量进入几何，使几何有了更多代数的味道，因此现行的高中几何不完全是欧式几何. 当我们回顾大学的几何学习时，容易发现，大学的几何学习正是沿着几何代数化的方向展开，无论《空间解析几何》、《高等几何》、《微分几何》等无不是通过代数的手段对几何进行研究，通过代数的形式呈现几何结论. （2）几何研究方法的发展
2011年江苏省高考数学试卷
2011年江苏省高考数学试卷 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．（5分）（2011?江苏）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=_________． 2．（5分）（2011?江苏）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是_________． 3．（5分）（2011?江苏）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是_________． 4．（5分）（2011?江苏）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为_________． 5．（5分）（2011?江苏）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 _________． 6．（5分）（2011?江苏）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2= _________． 7．（5分）（2011?江苏）已知，则的值为_________． 8．（5分）（2011?江苏）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两 点，则线段PQ长的最小值是_________． 9．（5分）（2011?江苏）函数f（x）=Asin（ωx+?），（A，ω，?是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （0）=_________． 10．（5分）（2011?江苏）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若?=0，则 实数k的值为_________．
11．（5分）（2011?江苏）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为 _________． 12．（5分）（2011?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________． 13．（5分）（2011?江苏）设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_________． 14．（5分）（2011?江苏）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠?，则实数m的取值范围是_________． 二、解答题（共9小题，满分120分） 15．（14分）（2011?江苏）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c （1）若，求A的值； （2）若，求sinC的值． 16．（14分）（2011?江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是AP、AD的中点求证： （1）直线EF∥平面PCD； （2）平面BEF⊥平面PAD． 17．（14分）（2011?江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）． （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
遂宁市高中2019届零诊考试 数学（理科）试题 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题，满分60分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是 符合题目要求的。 1．设集合{}2,1,0,1,2--=A ，{ 0<=x x B 或}1≥x ，则=B A A ．{1，2} B ．{－1，2} C ．{－2，－1, 1, 2} D ．{－2，－1，0，2} 2．设i y ix +=（i 为虚数单位），其中y x ,是实数，则=-+i y x )1( A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3．函数x x y lg 1-= 的定义域为 A ．()1,0 B ．]1,0( C ．]1,(-∞ D ．)1,(-∞ 4．已知角α的终边与单位圆12 2=+y x 交于点 )2 1,(x P ， 则sin(2)2 π α+ 的值为 A ．2 3- B ．2 1- C ． 2 1 D ． 2 3
5．执行右边的程序框图，若输入 的b a ,的值分别为1和10，输 出i 的值,则=i 2 A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 6．设{}n a 是公比为q 的等比数列， 则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．变量x 、y 满足条件1011x y y x -+≤??≤??>-? ，则2 2)2(y x +-的最小值为 A ． 2 23 B ．5 C ．29 D ．5 8．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数cos(2)6 y x π =+ 的图象 A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平3 π 移个单位长度 C ．向左平移23π个单位长度 D ．向右平移23 π 个单位长度 9．数列{}n a 满足212n n n a a a ++=-，且20142016,a a 是函数 3 21()4613 f x x x x = -+-的极值点， 则22000201220182030log ()a a a a +++的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 10．已知函数2 || ()22019x f x x =+-，则使得(2)(2)f x f x >+成立的
第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ） A （-1,1,5）. B （-1,-1,5）. C （1,-1,5）. D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 213+= -=z y x 的距离是：（ A ） A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ?是：（ D ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ） A 2 B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ） A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01=-+y x ． 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）； A -+a b =a b ； B =a b ； C 0?a b =； D ?a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=-
2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： （1）样本数据12,,,n x x x …的方差()2 2 1 1n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑． （2）直棱柱的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 为高． （3）棱柱的体积V Sh =，其中S 为底面积，h 为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． ． 1．已知集合{1,1,2,4}A =-，{1,0,2}B =-，则A B =I ▲ ． 2．函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 ▲ ． 3．设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 为虚数单位），则z 的实部是 ▲ ． 4．根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值为 ▲ ． 5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 ▲ ． 6．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差2 s = ▲ ． 7．已知tan()24 x π + =， 则x x 2tan tan 的值为 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2 )(= 的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长 的最小值是 ▲ ． 9．函数()sin()f x A x ω?=+（A ，ω，?是常数， 0A >，0ω>） 的部分图象如图所示，则(0)f 的值是 ▲ ． 10．已知1e u r ，2e u u r 是夹角为π3 2 的两个单位向量，122a e e =-r u r u u r ，12b ke e =+r u r u u r ，若0a b ?=r r ，
成都市2017届高三摸底（零诊） 数学试题（文科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.某班50名学生中有女生20名，按男女比例用分层抽样的方法，从全班学生中抽取部分学生进行调查，已知抽到的女生有4名，则本次调查抽取的人数是（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．15 2.对抛物线212x y =，下列判断正确的是（ ） A ．焦点坐标是(3,0) B ．焦点坐标是(0,3)- C ．准线方程是3y =- D ．准线方程是3x = 3.计算0000sin 5cos55cos5sin 55+的结果是（ ） A ．12- B ．12 C ． D 4.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,m n αβ⊥⊥，且βα⊥，则下列结论一定正确的是（ ） A ．m n ⊥ B ．//m n C ．m 与n 相交 D ．m 与n 异面 5.若实数,x y 满足条件0222x y x y x y -≤??+≥-??-≥-? ，则2z x y =+的最大值是（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 6.曲线sin y x x =在点(,0)P π处的切线方程是（ ） A ．2y x ππ=-+ B ．2y x ππ=+ C ．2y x ππ=-- D ．2 y x ππ=- 7.已知数列{}n a 是等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
高中数学“圆锥曲线”教学研究 一、对“圆锥曲线”数学知识的深层次理解 （一）“圆锥曲线”知识结构 圆锥曲线的内容在新课标中安排在选修课程的选修系列1和选修系列2之中. 知识结构图： 圆锥曲线研究的图形对于学生来讲是比较陌生的图形. 虽然在初中阶段学习函数的时候，同学们听说过抛物线、双曲线的名词，当时的认识只是停留在直观的感受. 从二次函数的图像，经过教师的授课，知道二次函数的图像叫做抛物线；学习反比例函数时，教师告知反比例函数的图像是双曲线，并且是以坐标轴为渐近线的. 对于满足什么条件的点的轨迹是抛物线、双曲线学生的认识仍然是一片空白. 只有学习了本单元内容之后，学生才会对圆锥曲线有一个全面、准确的认识.本讲从轨迹方程的角度研究圆锥曲线.首先给出椭圆、双曲线、抛物线的定义，依据定义推导他们的方程，在此基础上，依据他们的方程研究三种曲线的几何性质. 虽然椭圆、双曲线、抛物线都属于平面图形，但是运用平面几何的知识和研究方法很难研究的透彻.解析几何学科的特点和优越性从这个研究过程中开始有强烈的显现.在此之前用代数的方法研究直线和圆的教学，从学习方法上来说，为本讲的学习奠定了基础.区别在于，尽管同样是研究几何图形的性质，在研究直线与圆的阶段，平面几何的知识得到充分的应用，利用了平面几何的相关知识，有时可以
使得运算过程得到简化. 选修系列1和选修2系列对于教学的要求上有所不同.主要体现在两点. 第一点：选修系列1中没有曲线与方程这一节的要求.这样安排教学要求的目的是，对于学习选修系列1的同学从理论的学习要求做了适当的降低.只要求直观的解决问题，直观的认识具体曲线的定义、性质.第二点是选修系列1中没有直线与圆锥曲线的教学内容，对于这一点的要求不同，我们建议教师还是应该予以适当的补充.从目前的考试要求以及高考试题看，在文科数学试卷中，对于这个内容还是有要求的.但是不会要求太高，教师在教学中可以侧重以直线与椭圆的位置关系的开展讨论，其他的曲线讨论可以轻描淡写的处理，体现出选修系列1和选修系列2的区别. （二）如何把握圆锥曲线的定义 圆锥曲线的定义有多种形式，教师应该尽量的了解和知道.椭圆的定义学生首先接触的都是到两个定点距离之和等于定长的点的集合（轨迹）. 为什么椭圆、双曲线、抛物线称为圆锥曲线？教科书中有详细的说明.建议教师不要忽视其中的原委.有些试题还是在考查该项定义. 当看到一个动点到两个定点距离之和为定长时，学生应该联想到椭圆的定义，学生能否做到这一点，教师的引导和适当的例题是关键. （三）圆锥曲线不同形式的方程 在选修系列4教学要求中，选修4-4是坐标系与参数方程.在部分的教学内容中，将增加圆锥曲线的参数方程的形式和极坐标形式.
2020成都市高三零诊考试 数学试题（理科） 第I卷（选择题，共60分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、复数z= 1i i+ （i为虚数单位）的虚部是（） A 1 2 B - 1 2 C 1 2 i D - 1 2 i 【解析】 【考点】①复数的定义与代数表示法；②虚数单位的定义与性质；③复数运算的法则与基本方法；④复数虚部的定义与确定的基本方法。 【解题思路】运用复数运算的法则与基本方法，虚数单位的性质，结合问题条件通过运算得到复数z的代数表示式，利用复数虚部确定的基本方法求出复数z的虚部就可得出选项。 【详细解答】Q z= 1i i+ = (1 (1(1 i i i i - +- ） ）） = 2 2 1 i i i - - = 1 2 i+ = 1 2 + 1 2 i，∴复数z的虚部为 1 2 ， ?A正确，∴选A。 2、已知集合A={1，2，3，4}，B={x|2x-x-6<0}，则A I B=（） A {2} B {1，2} C {2，3} D {1，2，3} 【解析】 【考点】①集合的表示法；②一元二次不等式的定义与解法；③集合交集的定义与运算方法。【解题思路】运用一元二次不等式的解法，结合问题条件化简集合B，利用几何交集运算的基本方法通过运算求出A I B就可得出选项。 【详细解答】Q B={x|2x-x-6<0}={x|-2 解析几何中的算法与算理——一堂研究课的听课观察记录与感悟 2.分析：求直线AB的方程，关键是确定求直线AB的斜率；而k AB可以由点A（或点B）的位置的确定而确定——引入点参；k AB也可以由直线P A（或直线PB）、直线AB的位置的确定而确定——引入k参、写方程；…… 用思维导图表达研究过程的思路、方法，使思维“视觉化”，进而帮助学生捋顺思路：结论： 3.板书计划： 4.学生展示、观摩、小组交流、评价： 学生甲的思路（1—1）的解法：由题意 F (1,0).因为直线AB 不经过点P ，故直线AB 的斜 率必存在. 可设AB ：y =k (x -1) 由? ??=+-=1243)1(2 2y x x k y 消去y ，整理得 1248)34(2 222=-+-+k x k x k 设点）（）（2211,,,y x B y x A . 由根与系数的关系，得??? ?? ? ??? +-= ?+=+>?34124348022212 221k k x x k k x x 由k P A +k PB =0得 01 23 1232211=--+-- x y x y ， 所以， 01 23 )1(123)1(2211=---+-- -x x k x x k ， 所以，0)2(2 3 )1)(1(22121=-+- --x x x x k 即0)2(2 3 ]1)([2212121=-+- ++-x x x x x x k 消去x 1和x 2，得)23 48(23)134834124( 222 2222-+=++-+-k k k k k k k 化简，得2 1 12= ?=k k . 所以，所求的直线AB 的方程为：.012)1(2 1 =--?-= y x x y 师问：本题消去x ，行吗？消去哪个更好？ 于是，引导学生继续探究： 思路（1—2）的解法：将算法“局部优化”为：由k P A +k PB =0得 01 23 1232211=--+-- x y x y ， 由?? ?=+-=12 43)1(2 2 y x x k y 消去x ，得 096)34(1243 2222222 =-++?=++k ky y k k y k k y ）（ 设点）（）（2211,,,y x B y x A . 由根与系数的关系，得??? ? ? ? ??? +-=?+=+>?34934602 2212 21k k y y k k y y 由k P A +k PB =0得 01 231232211=--+-- x y x y ， 所以，)(2320123 12321212211y y y y y k y y k y +=??=-+- ， 故2 1 34623349222 2=?+?=+-?k k k k k . 所以，所求的直线AB 的方程为：.012)1(2 1 =--?-= y x x y 学生丁的思路（1—3）的解法：由题意，直线AB 的斜率必存在且不等于0. 第七章 空间解析几何与向量代数 §7.1空间直角坐标系 一. 空间点的直角坐标 右手系 坐标轴，坐标面，卦限 空间点的直角坐标 横坐标，纵坐标和竖坐标 二.空间两点的距离 设M 1 X i , y i , z i ,M 2 X 2,y 2,Z 2 为空间两点 特殊地，点M X, y,z 与坐标原点O 0,0,0的距离 .向量的概念 1 .定义 3 .自由向量 4 .零向量 单位向量 零向量的方向可以看作是任意的 二.向量的加减法 (1 )交换律:a b b a 的负向量：记 a 大小相等，方向相 反 三.向量与数的乖法 1 .定义 2 .运算规律 (1 )结合律: (2 )分配律: (2 )结合律:(a b) c a (b c) 1. 2. 3. =J 2 X 2 X 1 y 2 2 y i Z 2 2 Z i D = J x 2 y 2 z 2 §7 .2向量及其加减法 向量与数的乘法 2 .向径：OM 叫点M 对于点O 的向径 定理1 .设向量a 0，那么，向量b//a 存在唯一的实数 ，使b a 注：(1 ). b 可以为零向量，此时 0 (2 ).规定零向量与任何向量都平行 3 .与a 同方向的单位向量：a 0 一. 向量在轴上的投影 1 .轴u 上有向线段 AB 的值.记AB 2.点A 在轴U 上的投影 * 3 .向量在.轴U 上的投影，记prj u AB 二. 向量的坐标 1 . P 1P 2 Q i Q 2 R i R 2 2 .向量a 的坐标 a a x , a y , a z a x ，a y , a z 为a 在x,y,z 轴上的投影 上式叫向量a 的坐标表示式 §7 .3 向量的坐标 AB * 4 .（性质1 ）投影T h 向量AB 在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 的余弦：prj u AB AB cos 5.（性质2 ） prj prj a prj b 6 .（性质3 ） prj prj a M 1M 2 M 1P M i Q M i R X 2 X 1 y 2 * j 上式称为向量基本单位向量的分解式 解析几何知识点 一、基本内容 （一）直线的方程 1、直线的方程 确定直线方程需要有两个互相独立的条件，而其中一个必不可少的条件是直线必须经过一已知点．确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围． 2、两条直线的位置关系 两条直线的夹角，当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·k2≠ 外注意到角公式与夹角公式的区别． (2)判断两直线是否平行，或垂直时，若两直线的斜率都存在，可用斜率的关系来判断．但若直线斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断． 3、在学习中注意应用数形结合的数学思想，即将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义． （二）圆的方程 (1)圆的方程 1、掌握圆的标准方程及一般方程，并能熟练地相互转化，一般地说，具有三个条件(独立的)才能确定一个圆方程．在求圆方程时，若条件与圆心有关，则一般用标准型较易，若 已知圆上三点，则用一般式方便，注意运用圆的几何性质，去简化运算，有时利用圆系方程也可使解题过程简化． 2、 圆的标准方程为(x －a )2+(y －b )2＝r 2；一般方程x 2+y 2+Dx+Ey +F =0,圆心坐标 (,)22D E -- 3、 在圆(x －a )2+(y －b )2＝r 2，若满足a 2+b 2 = r 2条件时，能使圆过原点；满足a=0，r ＞0条件时，能使圆心在y 轴上；满足b r =时，能使圆与x 轴相切；r =条件时， 能使圆与x －y ＝0相切；满足|a |=|b |=r 条件时，圆与两坐标轴相切． 4、 若圆以A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)为直径，则利用圆周上任一点P (x ，y )， 1PA PB k k =-求出圆方程(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)＝0 (2) 直线与圆的位置关系 ①在解决的问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算，讨论直线与圆的位置关系时，一般不用△＞0，△=0，△＜0，而用圆心到直线距离d ＜r ，d=r ，d ＞r ，分别确定相关交相切，相离的位置关系．涉及到圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，计算交弦长时，要用半径、弦心距、半弦构成直角三角形，当然，不失一般性弦长式 ③已知⊙O 1：x 2+y 2 = r 2，⊙O 2：(x -a )2+(y -b )2＝r 2；⊙O 3：x 2+y 2+Dx+Ey +F =0则以M (x 0，y 0)为切点的⊙O 1切线方程为xx 0+yy 0＝r 2；⊙O 2切线方程 条切线，切线弦方程：xx 0+yy 0=r 2． (三)曲线与方程 (1)在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对x 、y 表示，这就是动点的坐标(x ，y )．当点按某种规律运动而形成曲线时，动点坐标(x ，y )中的变量x ，y 存在着某种制约关系．这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x ，y 方程F (x ，y )＝0． 曲线C 和方程F (x ，y )＝0的这种对应关系，还必须满足两个条件： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，这时，我们才能把这个方程叫做曲线的方程， 2011届金台区高三质量检测 文科数学参考答案2010.11 、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分把答案填在答 题卡中对应题号后的横线上 11、【答案】-6 （必做题11——14题，选做题15题） 12、【答案】9 13、【答案】4 扎1十2 3 14、【答案】（-3,，：）【解析】即并乜「3 2 2 2 15、选做题（考生只能从A、B、C题中选作一题） A、（不等式证明选讲）【答案】（0, + ?） B、（几何证明选讲）【答案】4cm C （坐标系与参数方程）【答案】4 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16、（本小题满分12分） 解：（I）设等差数列:a/?的公差为d,由a3 *5=8, S5 =15 , （印 2d）（印 4d） =8 5X4 5a< —d=15 4 3d =4 a1 - 2d -3 解得31 卫=1 a n二印亠〔n T d =1 （n -1） = n , 故所求等差数列的通项公式为a*二n ...............................8?（「由（I）知bn = 2即=2n，由等比数列前n项和公式得T n = 2 2223... 2—如也=2n1-2 1 一2 ??? T n=2n 1 -2 ..................... 12? 分 17、（本小题满分12分） 解：（I）：在ABC 中，5b2? 5c2-8bc=5a2 222 .b 十c —a 4…cosA 2bc 5 6 ?分3 又??? 0 A二,? sin A . 5 8 .分 又甲的标准差的平方(即方差)目=15, 乙的标准差的平方(即方差)S ： ”14.33, S 甲 S 2 甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定， 3 4 (n)由(I)知 sin A , cosA - 5 5 ▼.. 兀 2兀 又?B , C A 3 3 3 八1 .八3 43 cosA sinA 2 2 ??? sinC 8 2 3 JI - A 10 12分 18、(本小题满分12分) 证明：(I)： AC 二 CB 二 PA 二 PB = 一 2 又0是AB 的中点，AB=2 ??? 0C 丄 AB , P0 丄 AB, 又 PO^OC =0 故AB 丄平面POC ................... 解: ( n ) ?/ AC 二 CB — 2 , 又0是AB 的中点，AB=2 ? 0C 丄 AB , 0C =1，同理 P0 =1. 又 PC 二 2 , 2 2 2 ?- PC 2 =0C 2 P0=2 ??? P0C =90：，即 P0丄 0C 1 …V p 4BC ■ S P0C AB 3 6?分 12分 19、(本小题满分12分) 解：(I)由茎叶图知甲乙两同学的成绩分别为 ： 甲:82 81 79 88 乙:85 77 83 85 记从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个 为(x, y), 用列举法表示如下： (82.85) (82,77)(82,83)(82,85) (79.85) (79,77)(79,83)(79,85) 4 ■甲的成绩比乙高的概率为 16 2.分 (81.85) (81,77)(81,83)(81,85) (88.85) (88,77)(88,83)(88,85) 4 分 4 (n)本小题的结论唯一但理由不唯一 合理解答即可得分. (1)派乙参赛比较合适， 理由如下： 甲的平均分X 甲=82.5,乙的平均分X 乙 7 ?分 ,只要考生从统计学的角度给出其 =82.5,甲乙平均分相同； 11分解析几何中的算法与算理
第七章空间解析几何与向量代数.
高中解析几何知识点
2011届高三文科数学会考试卷及答案
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