教学准备
1. 教学目标
（1）用导数定义,求函数的导数.
（2）能用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数.
（3）理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题，培养学生的应用意识.
2. 教学重点/难点
【教学重点】：
能用导数定义,求函数的导数.
【教学难点】：
能用基本初等函数的导数公式和导数加减运算法则求简单函数的导数.
3. 教学用具
多媒体
4. 标签
1.2.1几个常见函数的导数
教学过程
课堂小结
导数的四则运算法则
§4 导数的四则运算法则 主讲：陈晓林时间：2012-2-23 一、教学目标： 1．知识与技能 掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法 通过用定义法求函数f（x）=x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观 培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。 二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用 教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导函数的概念和导数公式表。 1.导数的定义：设函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?处附近有定义，如果?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的比?Skip Record If...?（也叫函数的平均变化率）有极限即?Skip Record If...?无限趋近于某个常
数，我们把这个极限值叫做函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?处的导数，记作?Skip Record If...?，即?Skip Record If...? 2. 导数的几何意义：是曲线?Skip Record If...?上点（?Skip Record If...?）处的切线的斜率因此，如果?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?可导，则曲线 ?Skip Record If...?在点（?Skip Record If...?）处的切线方程为?Skip Record If...?3. 导函数(导数):如果函数?Skip Record If...?在开区间?Skip Record If...?内的每点处都有导数，此时对于每一个?Skip Record If...?，都对应着一个确定的导数 ?Skip Record If...?，从而构成了一个新的函数?Skip Record If...?, 称这个函数 ?Skip Record If...?为函数?Skip Record If...?在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数?Skip Record If...?的导数的一般方法： （1）求函数的改变量?Skip Record If...?2）求平均变化率?Skip Record If...?（3）取极限，得导数?Skip Record If...?＝?Skip Record If...??Skip Record If...?5.常见函数的导数公式：?Skip Record If...?；?Skip Record If...? （二）、探析新课 两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即 ?Skip Record If...? 证明：令?Skip Record If...?， ?Skip Record If...??Skip Record If...?， ∴?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 即?Skip Record If...?． 例1：求下列函数的导数：
课时授课计划
教师活动 教学过程： 一?创设情景 2 1 四种常见函数y=c、y = x、y =x、y —的导数公式及应用 :■?新课讲授 学生活动学生自行预习
(二)导数的运算法则导数运算法则 1. 〔f(X)土g(x)i = f'(x) ±g'(x) 2. [f(x) g(x)]' = f'(x)g(x)±f(x)g'(x) I f (x) I f (x) g (x) - f (x) g (x) / . . 3. = ——(g(x)HO) ]g(x) 一[g(x)f (2)推论:lcf(x) I - Cf'(x) (常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数) 三.典例分析 例1 .假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5% ,物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系p(t) = p0(1 - 5%亍，其中p0 为t = 0时的物价.假定某种商品的p0 = 1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 解：根据基本初等函数导数公式表，有p'(t) =1.0“ In 1.05 所以p (10) =1.0510|n1.05 ： 0.08 (元/年) 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨. 例2?根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数. (1) y = x3 -2x 3 (2) y 1 1 (3) y = x sin x ln x; (4)y (5)y (6)y 4x 1 -ln x 1 l n x (2 x2—5 x + 1) e x / 、sin x—xcosx (7) y =-------------------------- cosx +xsin x 通过预习自行完成 在老师的指导下独立完成后面几道题
1.2导数的计算 【课题】：1.2.3导数的运算法则 【教学目标】： （1）知识与技能：掌握一个函数的和、差、积、商的求导法则并能求某些简单函数的导数；通过实例，理解复合函数的求导法则。 （2）过程与方法：利用学生已掌握的导数的定义，得出一个简单的两个函数的和的导数，从而提出问题，引入新课，通过学生的猜想，尝试探究出函数的和、差、积、商的求导法则，使学生加深对求导法则的理解. （3）情感、态度与价值观：通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神. 【教学重点】：掌握函数的和、差、积、商的求导法则以及复合函数的求导法则. 【教学难点】：学生对积和商的求导法则的理解和运用以及复合函数的求导法则. 【课前准备】：课件 这种商品的价格上涨的速度大约是多少？根据上一节课的内容，我们知道，求在第)()]g x f ='')()]f x g =
u. x ．求下列函数的导数： ；（2）y
练习与测试： A ．基础题 1．函数2 (1)y x x =+的导数是（ ） (A)2 1x + (B)2 3x (C)2 31x + (D)2 3x x + 答案：C 2．函数1()2 x x y e e -=+的导数是（ ） (A)1()2x x e e -- (B)1()2 x x e e -+ (C)x x e e -- (D)x x e e -+ 答案：A 3．若2 ' ()(2),(2)20,f x x a f a =+==且则 . 答案：1 4．某汽车启动阶段的路程函数为3 2 ()2(1)10s t t t =+-，则汽车在1t =秒时的瞬时速度为 . 答案：4 5．求下列函数的导数： （1）3 cos y x x =- (2)( )()2325y x x =+- (3)sin x y x = (4)()8 57y x =- 答案：(1)' 2 3sin y x x =+ (2) ' 2 9302y x x =-+ (3) ' 2 cos sin x x x y x -= (4) '7 40(57)y x =- B ．难题 1．已知曲线4 3 2 :3294C y x x x =--+ （1）求曲线C 在点()1,4-的切线方程； （2）对于（1）中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，说明理由.
课题：导数的运算法则 1、 求下列函数的导数 （1 ）y = （2 ）y = （3）12x y ??= ??? （4）12 =log y x （5）212sin 2x y =- 2、已知直线1l 为曲线2+-2y x x =在点(1,0)处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥，（1）求直线2l 的方程；（2）求由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形面积。 例1 求下列函数的导数 （1） )11)(1(x x y +- = ； （2） x x y 2= （3） x x x y +=s i n ； 例2 已知曲线Ｃ：x x x y 2323+-=，直线ｌ：kx y =，且ｌ与Ｃ切于点),(00y x )0(0≠x ，求直线ｌ的方程及切点的坐标。 例3设)(x f 、)(x g 分别是定义在),0()0,(+∞?-∞上的奇函数和偶函数，当0
⑾ x x e )(e =' ⑿ x 1 )(lnx = ' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －=' 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。 2、例题探析 例1、求下列函数导数。 （1）5-=x y （2）x y 4= （3）x x x y = （4）x y 3log = （5）y=sin( 2π+x) (6) y=sin 3 π （7）y=cos(2π－x) （8）y=(1)f ' 例2、已知点P 在函数y=cosx 上，（0≤x ≤2π），在P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围。 例3、若直线y x b =-+为函数1 y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. 变式1、求曲线y=x 2 在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题：找切点 求导数 得斜率 变式2、求曲线y=x 2 过点(0,-1)的切线方程 变式3、求曲线y=x 3过点(1,1)的切线方程 变式4、已知直线1y x =-,点P 为y=x 2 上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短. （三）、课堂小结：（1）基本初等函数公式的求导公式（2）公式的应用 导数公式表 （四）、课堂练习：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与
3.1.1平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题． 1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________． 2．函数y＝f(x)的平均变化率Δy Δx＝ f(x2)－f(x1) x2－x1 的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象 上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________． 一、填空题 1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号) ①在[x0，x1]上的平均变化率； ②在x0处的变化率； ③在x1处的变化率； ④以上都不对． 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________. 3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝ ________. 4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________． 5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________． 6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________． 7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______． 8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________． 二、解答题 9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
导数的计算（复习课） 【学习目标】 1.掌握基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则； 2.会求含有加、减、乘、除运算的函数导数； 3.会求简单复合函数的倒数. 【知识回顾】 1.基本初等函数的导数公式： （1）c '=___________（c 为常数）； （2）)('α x =________（α为常数）； （3）)('x a =________（0a ＞且1a ≠）； （4）)(log 'x a =______（0a ＞且1a ≠）； （5）)('x e =_____________； （6）)(ln 'x =_____________； （7）=')(sin x ___________； （8）)(cos 'x =____________． 2.设两个函数分别为f(x)和g(x), （1）=')]([x f c _____________; （2）[]='±)()(x g x f ___________； （3）[]='?)()(x g x f __________________; （4）='?? ????)()(x g x f ____________)0)((>x g ． 3. 复合函数()[]x f y ?=，设u φ＝(x ), 则))((x f ?'=_________________. (复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代) 【典例精析】 例1. 求曲线2 y x ＝过下列点的切线方程：（1）P （-1,1）；（2）Q(0，－1).联合例5后置处理
例2.求下列函数的导数： （1）y=3x ·lnx ； （2）y=lgx- 2x 1； （3）y= x x -1cos ； （4）2)2(-=x y .
§4 导数的四则运算法则 一、教学目标： 1．知识与技能 掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法 通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2 的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观 培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。 二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用 教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导函数的概念和导数公式表。 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即 x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0 / x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 )(()(00/0x x x f x f y -=-
3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数， 4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=?（2）求平均变化率 x x y ?= ?? （3）取极限，得导数/ y ＝()f x '=x y x ??→?0lim 5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x （二）、探析新课 两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即 证明：令)()()(x v x u x f y ±==， )] ()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-?+±?+=?v u x v x x v x u x x u ?±?=-?+±-?+=)]()([)]()([， ∴ x v x u x y ??±??=??，x v x u x v x u x y x x x x ??±??=? ?? ????±??=??→?→?→?→?0000lim lim lim lim 即 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±． 例1：求下列函数的导数： （1）x x y 22 +=； （2）x x y ln -= ； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4） 2 2 1x x x y +-= 。 解：（1）2ln 22)2()()2(2 2 x x x x x x y +='+'='+='。 （2）x x x x x x y 121)(ln )()ln (- = '-'='-='。 （3） [] 123)1()()()()1()1)(1(223232+-='-'+'-'='-+-=' -+='x x x x x x x x x x y 。 例2：求曲线x x y 1 3- =上点（1，0）处的切线方程。
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（两课时） 学习目标 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数； 2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数. 3.复合函数的分解，求复合函数的导数. 一、预习与反馈（预习教材P 14~ P 19，找出疑惑之处） 复习1：常见函数的导数公式： (1) '____C =(C 为常数)；(2)()'________n x =, n ∈N +；(3)(sin )'_______x =； (4)(cos )'_______x =; (5)()'________x e =; (6)()'_________x a =; (7)(ln )'______x =; (8) e x x a a log 1)'(log = 复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数 （1）6y x = （2 ）y = （3）21y x = （4 ）y = 新知 1.可导函数的四则运算法则 法则1 '[()()]____________.u x v x ±=(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2 [()()]____________u x v x '=. (口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号) 法则3 ()[]_______________(()0)() u x v x v x '=≠(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)
例1. 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数3123y x x x =-++导数. 变式：（ 1）2log y x =； （2）2x y e =； （3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =- 例2求下列函数的导数： （1）32log y x x =+； （2）n x y x e = （3）y=2e -x 2. 复合函数： 1.定义：一般地，对于两个函数y =f (u )和()u g x =，如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数，那么这个函数为函数 和 的复合函数，记住 2.复合函数的求导法则 复合函数(())y f g x =的导数和函数y =f (u )，()u g x =的导数间的关系式为 ，即y 对x 的导数等于 的乘积。 例。3 求下列函数的导数： （1）2(23)y x =+； （2）1x y e -+=； （3）sin()y x π?=+
导数的计算 一、考点热点回顾 教学目标： 1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2 y x =、1 y x =的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2 y x =、1 y x = 的导数公式； 教学难点：四种常见函数y c =、y x =、2 y x =、1y x =的导数公式． 几个常见函数的导数 探究1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为 ()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===??? 所以00 lim lim 00x x y y ?→?→?'=== 0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间 的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 探究2．函数()y f x x ==的导数 因为 ()()1y f x x f x x x x x ?+?-+?-===?所以00lim lim11x x y y x ?→?→?'=== 1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间 的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
探究3．函数2 ()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-==???222 2()2x x x x x x x x +?+?-==+?? 所以00 lim lim(2)2x x y y x x x x ?→?→?'==+?=? 2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化， 切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2 y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2 y x =增加得越来越快．若 2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度 为2x ． 探究4．函数1 ()y f x x == 的导数 因为11 ()()y f x x f x x x x x x x - ?+?-+?== ???2() 1()x x x x x x x x x x -+?==-+??+?? 所以220011 lim lim()x x y y x ?→?→? '==-=-? 探究5．函数()y f x == 的导数 因为 ()()y f x x f x x x x ?+?-== ?? ? = = 所以0lim lim x x y y x ?→?→?'===?
20XX 年高中数学一轮复习教学案 第二章 函数、导数及其应用 第11节 变化率与导数、导数的计算 一．学习目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义； 2．能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1 x 的导数； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 二．学习重、难点： 1．学习重点：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数； 2．学习难点：理解导数的几何意义. 三．学习方法：讲练结合 四．自主复习： 1．导数的概念 (1)函数在x ＝x 0处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是__________________________＝lim Δx →0 Δy Δx ， 称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 . (2)导函数：当上式中的x 0看作变量x 时，函数f ′(x )为f (x )的________． (3)导数的几何意义：f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的________，相应的切线方程是_____________________．
2．基本初等函数的导数公式 3.运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝_________________； (2)[f(x)·g(x)]′＝________________________； (3)[f(x) g(x) ]′＝_______________________ (g(x)≠0)．五．复习前测： 1．已知函数f(x)＝sin x＋ln x，则f′(1)的值为() A．1－cos1 B．1＋cos1 C．cos1－1 D．－1－cos1
变化率与导数、导数的计算 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义：f ′(x 0)是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 二、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝lo g a x f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1x 三、导数的运算法则 1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.????f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0)． 1.函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 1．用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x 2. [自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2 Δx
1.2.2 导数的运算法则（一） 知识要点 1，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的 ， 即()()'u x v x ±=???? 2，两个函数的积的导数，等于 ，加上 ， 即()()'u x v x ?=???? 。特别地，()'cu x =???? （其中c 为常数）。 3，两个函数的商的导数，等于 减去 ，再除以 。即
知识点一，直接求导 例1，求下列函数的导数 （1）2 3cos y x x x =+ （2）1x y x = + （3）tan y x = （4）lg x y x e =- 变式训练1，求下列函数的导数 (1)23y x = (2)5314353 y x x x =-++(2)2sin cos y x x x =+ (4)ln 1 x y x =+ 知识点二，先变形再求导 例2，求下列函数的导数 （1） y =（2）cos 2sin cos x y x x = + （3）)22sin cos 22x x y =- 变式训练2，求下列函数的导数 (1)2311y x x x x ??=+ + ??? (2)44sin cos 44 x x y =+ 知识点三，导数的综合应用 例3，已知函数21n x y x ??= ?+??过点11,9P ?? ??? ，求函数在点P 处的切线方程。 变式训练3，某质点的运动规律是322s t t t =-+，求其最小速度m v
水平基础题 1．已知物体的运动方程是s ＝14 t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( ) A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒 2．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x －2 3．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 4．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________． 5．求下列函数的导数： (1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x . 水平提升题 6．曲线y ＝x sin x 在点??? ?－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( ) A.π2 2 B ．π2 C ．2π2 D.12 (2＋π)2 7．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x 8．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( ) A ．f (x )＝g (x ) B ．f (x )－g (x )为常数 C ．f (x )＝g (x )＝0 D ．f (x )＋g (x )为常数 9．曲线y ＝cos x 在点P ????π3，12处的切线的斜率为______． 10．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________． 11．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存有这两条曲线的一个公共点，使在这个点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 12．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程． 提升拓展题 13．求满足下列条件的函数f (x )： (1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. 14,求下列函数()f x 的导数（其中是可导函数） 1(1)(2)y f y f x ??== ???
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目标： 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x = 的导数公式及应用 二．新课讲授 （一）基本初等函数的导数公式表 )
（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三．典例分析 例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单 位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的 01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年） 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝x x --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ； （4）y ＝ x x 4； （5） y ＝x x ln 1ln 1+-．
（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x （7） y ＝x x x x x x sin cos cos sin +- 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为 5284()(80100)100c x x x =<<- 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数． '' ' '252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ?--?-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ?--?-=-25284(100) x =- （1） 因为' 25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨． （2） 因为'25284(98)1321(10090) c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨． 函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
2014年高中数学一轮复习教学案 第二章 函数、导数及其应用 第11节 变化率与导数、导数的计算 一．学习目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义； 2．能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1 x 的导数； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 二．学习重、难点： 1．学习重点：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数； 2．学习难点：理解导数的几何意义. 三．学习方法：讲练结合 四．自主复习： 1．导数的概念 (1)函数在x ＝x 0处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是__________________________＝lim Δx →0 Δy Δx ， 称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 . (2)导函数：当上式中的x 0看作变量x 时，函数f ′(x )为f (x )的________． (3)导数的几何意义：f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的________，相应的切线方程是_____________________．
2．基本初等函数的导数公式 3.运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝_________________； (2)[f(x)·g(x)]′＝________________________； (3)[f(x) g(x) ]′＝_______________________ (g(x)≠0)．五．复习前测： 1．已知函数f(x)＝sin x＋ln x，则f′(1)的值为() A．1－cos1 B．1＋cos1 C．cos1－1 D．－1－cos1
§则 教学目标： 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x = 的导数公式及应用 二．新课讲授 （一）基本初等函数的导数公式表 （二）导数的运算法则 导数运算法则 1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]' ''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 3．[] ' ''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三．典例分析 函数 导数 函数 导数
例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的 01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01） 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年） 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝x x --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ； （4）y ＝ x x 4 ； （5）y ＝x x ln 1ln 1+-． （6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x （7） y ＝x x x x x x sin cos cos sin +- 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数． （1） 因为'2 5284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨． （2） 因为'2 5284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨． 函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越