二○○一年全国高中数学联合竞赛
试题参考答案及评分标准
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．
1．已知a 为给定的实数，那么集合M ={x | x 2-3x -a 2+2=0，x ∈R}的子集的个数为
（A ）
1
（B ）
2
（C ）
4
（D ）
不确定 【答】（
C
）
【解】
方程x 2-3x -a 2+2=0的根的判别式Δ=1+4a 2>0，方程有两个不相等的实数根．由M 有2
个元素，得集合M 有22=4个子集．
2． 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;
命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点; 命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有
（A ） 0个 （B ） 1个 （C ） 2个 （D ） 3个
【答】（
B
）
【解】
只有命题1对．
3．在四个函数y =sin|x |，y =cos|x |，y =|ctg x |，y =lg|sin x |中以π为周期、在(0，2
π
)上单调递增的偶函数是
（A ）y =sin|x |
（B ）y =cos|x |
（C ）y =|ctg x |
（D ）y =lg|sin x |
【答】（
D
）
【解】
y =sin|x |不是周期函数．y =cos|x |=cos x 以2π为周期．y =|ctg x |在（0，
2
π）上单调递减．只有y =lg|sin x |满足全部条件．
4．如果满足∠ABC =60°，AC =12， BC =k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是
（A ） k =38
（B ）0 【答】（ D ） 【解】 根据题设，△ABC 共 有两类如图． k C 12 k C 易得k =38 或0 、（B ）、（C ）． 5．若10002)1(x x ++的展开式为2000 20002210x a x a x a a ++++ ， 则1998963 0a a a a a +++++ 的值为 （A ）333 3 （B ） 6663 （C ） 9993 （D ） 20013 【答】（ C ） 【解】 令x =1可得1000 3 =2000321 0a a a a a +++++ ； 令x =ω可得0=20002000332 210ωωωωa a a a a +++++ ； （其中i 2 321+- =ω，则3ω=1且2ω+ω+1=0） 令x =2 ω可得0=4000200063422 10ωωωωa a a a a +++++ ． 以上三式相加可得1000 3=3（1998963 0a a a a a +++++ ） ． 所以1998963 0a a a a a +++++ =9993． 6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）． （A ）2枝玫瑰价格高 （B ）3枝康乃馨价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定 【答】（ A ） 【解】 设玫瑰与康乃馨的单价分别为x 、y 元/枝． 则6x +3y >24,4x +5y <22.令6x +3y =a >24,4x +5y =b <22,解出x = )35(18 1 b a -,y =)23(91a b -. 所以2x -3y = )22122411(9 1 )1211(91?-?>-b a =0，即2x >3y ． 也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究． 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上． 7．椭圆θρcos 21-= 的短轴长等于3 32． 【解】 .31)(, 1)0(=-==+=c a c a πρρ故3 331,32= ?==b c a ．从而3322=b ． 8．若复数z 1，z 2满足| z 1|=2，| z 2|=3，3z 1-2z 2= i -23，则z 1·z 2=i 13 721330+-． 【解】 由3z 1-2z 2= 2111222131z z z z z z ??-??=)32(6 1 1221z z z z - 可得=+-?-=--=--=i i z z z z z z z z z z 2 323 632)23(632)23(61 22112212 1i 13721330+-．本题也可设三角形式进行运算． 9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则直线A 1C 1与BD 1的距离是6 6 ． 【解】 作正方体的截面BB 1D 1D ，则A 1C 1⊥面BB 1D 1D ．设A 1C 1与B 1D 1交于点O ，在面BB 1D 1D 内作OH ⊥BD 1，H 为垂足，则OH 为A 1C 1与BD 1的公垂线．显然OH 等于直角三角形BB 1D 1斜边上高的一半，即OH = 6 6 ． 10. 不等式 2 32log 12 1> +x 的解集为),4()2,1()1,0(7 2+∞ ． 【解】 23 2l o g 12 1>+x 等价于 232log 121>+x 或232log 12 1-<+x ． 即 21 log 11->x 或 27log 11- ． 此时2log 2 1 - 1>x 或0log 7 2 21<<- x ． ∴解为x >4或0 7 2 2 ． 即解集为),4()2,1()1,0(72 +∞ ． 1 1 1 1 H O D C B A D C B A 11．函数232+-+=x x x y 的值域为),2[)2 3 ,1[+∞ ． 【解】 232+-+=x x x y ?0232≥-=+-x y x x ． 两边平方得2)32(2 -=-y x y ，从而23 ≠y 且3 222--=y y x ． 由03222≥---=-y y y x y ?2 3 1032232<≤?≥-+-y y y y 或2≥y ． 任取2≥y ，令3222--=y y x ，易知2≥x ，于是0232 ≥+-x x 且232+-+=x x x y ． 任取231<≤y ，同样令3 22 2--=y y x ，易知1≤x ， 于是0232 ≥+-x x 且232+-+=x x x y ． 因此，所求函数的值域为),2[)2 3 ,1[+∞ ． 12． 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有 732 种栽种方案． 【解】 考虑A 、C 、E 种同一种植物，此时共有4×3×3×3=108种方法． 考虑A 、C 、E 种二种植物，此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法． 考虑A 、C 、E 种三种植物，此时共有P 43×2×2×2=192种方法． 故总计有108+432+192=732种方法． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且b 1=a 12，b 2=a 22，b 3=a 32（a 1 12)(lim 21+=++++∞ →n n b b b ．试求{a n }的首项与公差． 【解】 设所求公差为d ，∵a 10．由此得 A B C D E F a 12(a 1+2d )2=(a 1+d )4 化简得2a 12+4a 1d +d 2=0 解得d =(22±-) a 1.………………………………………………………………5分 而22± -<0，故a 1<0． 若d =(22--) a 1，则2 21 22)12(+==a a q ； 若d =(22+-)a 1，则22 1 22 )12(-==a a q ；…………………………………………10分 但 12)(lim 21+=++++∞ →n n b b b 存在，故|q |<1．于是2)12(+=q 不可能． 从而 2)12)(222(12)12(1212 2 1=+-=?+=--a a ． 所以a 1=2-，d =(22+-) a 1=(22+-)(2-)=222-．……………………20分 14．设曲线C 1：12 22=+y a x （a 为正常数）与C 2：y 2=2（x +m ） 在x 轴上方仅有一个公共点P ． ⑴ 求实数m 的取值范围（用a 表示）； ⑵ O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0 1 时，试求ΔOAP 的面积的最大值（用a 表 示）． ⑴ 【解】 由?????+==+) (2, 12222 m x y y a x 消去y 得，x 2+2a 2x +2a 2m -a 2=0． ① 设f (x )= x 2+2a 2x +2a 2m -a 2，问题⑴转化为方程①在x ∈(-a ，a )上有唯一解或等根． 只须讨论以下三种情况： 1? Δ=0得 m =2 12+a ．此时 x p = -a 2，当且仅当-a <-a 2 2? f (a )·f (-a )<0当且仅当–a 3? f (-a )=0得m =a ．此时 x p =a -2a 2，当且仅当-a < a -2a 2 此时 x p =-a -2a 2，由于-a -2a 2<-a ，从而m ≠-a ． 综上可知，当0 1 2+a 或-a 当a ≥1时，-a 【解】 ΔOAP 的面积S = 2 1ay p ． ∵0 2 1，故-a a m a a a <-++-<21022，由唯一性得 x p =m a a a 212 2 -++-．显然当m =a 时，x p 取值最小．由于x p >0，从而2 21a x y p p - =取值最大， 此时y p =2 2 a a -，∴S =a 2 a a -． 当m =2 12+a 时，x p =-a 2，y p =2 1a -，此时S = 2 1a 2 1a -． 下面比较a 2 a a -与 2 1a 2 1a -的大小： 令a 2 a a -= 2 1a 2 1a -，得a = 3