湖北师范学院文理学院
本科毕业论文（设计）
论文题目
中心极限定理在保险中的应用
作者姓名 冯玉良 指导老师 屈小妹 讲师 所在院系 数学系 专业名称 数学与应用数学 完成时间
2014年5月
编号 2014110238 研究类型
理论研究 分类号 21O
本科毕业论文（设计）诚信承诺书
目录
1.前言 (1)
2.中心极限定理的几种形式 (1)
2.1辛钦中心极限定理 (1)
2.2李雅普诺夫中心极限定理 (2)
2.3林德贝尔格定理 (3)
2.4 De Moivre-Laplace中心极限定理 (3)
3.中心极限定理在保险方面的应用 (5)
4.结论 (11)
5.参考文献 (12)
中心极限定理在保险中的应用
冯玉良（导师：屈小妹）
(湖北师范学院文理学院数学与应用数学中国黄石 435002)
摘要：中心极限定理与我们的现实生活有着紧密的联系.本文首先介绍了四种常见的中心极限定理，突出了De Moivre-Laplace中心极限定理的重要地位，然后利用De Moivre-Laplace中心极限定理解决了保险业中的一些问题，通过对“保险公司为什么对中老年人保险总是会提高门槛”及“保险公司盈亏”
这两个问题介绍了中心极限定理在保险中的实际应用.
关键词：中心极限定理；De Moivre-Laplace；保险；盈亏.
中国分类号：21
O
Central Limit Theorem in Application of Insurance
Feng Yuliang (Instructor: Qu Xiaomei)
(College of Arts & Science of Hubei Normal University, Huangshi ,Hubei,435002) Abstract: The central limit theorem with our real life is closely linked paper introduces the four common central limit theorem, highlighting t h e i m p o r t a n t position of De Moivre-Laplace central limit theorem, then use De Moivre-Laplace central limit theorem to solve some problems in the insurance industry, through the " why the insurance company always raising the threshold of insurance in elderly " and " profit and loss in insurance company " these two issues central limit theorem introduced the practical application in the insurance.
Keywords:central limit theorem; Dermot Buddha - Laplace; Insurance; gains and losses.
中心极限定理在保险中的应用
冯玉良（指导教师，屈小妹）
（湖北师范学院文理学院 中国 黄石 435002）
1.前言
在生活的实际问题中，经常要考虑许多随机因素产生的影响，比如测量中的误差、炮弹在射击过程中的落点和目标的偏差等等.同时，大量的事实也表明：如果一个随机变量是由大量相关独立的随机因素的综合影响所构成的，而其中每一个随机因素的单独作用是微小的，则这样的随机变量通常服从或近似服从正态分布.
在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成的，而每一个因素在总体的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景.概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理（ Central Limit Theorem )，现介绍几个常用的中心极限定理，并对其中应用得比较广泛的De Moivre-Laplace 中心极限定理以及该中心极限定理在保险业的应用加以研究说明.
2.中心极限定理的几种形式
中心极限定理从提出到今天，其内容是非常丰富的.在概率论中，中心极限定理就是研究在什么条件下，大量独立、随机变量和正态分布作为极限的定理.但是常用的却是下面几个定理. 2.1辛钦中心极限定理
设随机变量1,23,,
n x x x x 相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a 和方差
2
σ，则随机变量i x x n
∑=，在n 无限增大时，服从参数为a 和2n σ的正态分布即n →∞
时，x 2
~(,
)N a n
σ将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论【1】：如果抽样总体的数
学期望a 和方差2σ是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n 的样本时，只
要n 足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a ，方差为2
n σ的正态分布.
2.2李雅普诺夫中心极限定理
当随机变量i x 独立，但不一定同分布时，中心极限定理也成立. (李雅普诺夫（Liapunov ）定理)【2】设随机变量1,2,x x 相互独立，它们具有数学期
望和方差：
()k k E x μ=,2()0k k D x σ=≠ (1,2,)k =.
记221n
n
k k B σ==∑，若存在正数σ，使得当n →∞时，
{
}221
10n
k k
k n
E x B δ
δμ++=-→∑,
则随机变量n Z =
n
n
k k
n k k
n
k k n
k n
k k k
B X X D X E X
∑∑∑∑∑=====-=
-1
1
1
1
1)
()
(μ
的分布函数()n F x 对于任意x ，满足
?∑∑∞--==∞→∞→=??
?
????
???????≤-=x t n n
k k n k k n n n t x B X P x F d e π21lim )(lim 21
12μ. (5.9)
这个定理说明，随机变量
n Z =
n
n
k k
n k k
B X ∑∑==-1
1
μ
当n 很大时，近似地服从正态分布(0,1)N .因此，当n 很大时,
∑∑==+=n
k k n n n
k k
Z B X
1
1
μ
近似地服从正态分布???
??∑=21,n n k k B N μ.这表明无论随机变量(1,2,)k x k =具有怎样的
分布，只要满足定理条件，则它们的和∑=n
k k X 1当n 很大时，就近似地服从正态分布.而在
许多实际问题中，所考虑的随机变量往往可以表示为多个独立的随机变量之和，因而它们常常近似服从正态分布.
该定理的含义是：如果一个量是有大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布.
中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本均值总是近似地服从正态分布.正是这个结论使得正态分布在生活中有着广泛的应用.
2.3林德贝尔格定理
定理【2】 设1,2,
,n x x x 是独立同分布随机变量，()k k E x μ= ，2()(1,2,)
k k D x k σ==
则22lim n t i x n x n P x dt μ-→∞
??
-???
≤=??
???
∑?
它表明当n 充分大时，n 个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。定理1也称为林德伯格定理或列维——林德伯格定理。
n
i
x
n μ
-∑n ，分子中有
1
n
i
i x
n
=∑，其在数理统计中可表示样本的均值，
可见独立同分布的样本均值近似地服从正态分布。 2.4 De Moivre-Laplace 中心极限定理
De Moivre-Laplace 中心极限定理【2】在历史上是最早得到中心极限定理问题研究的成果.其内容【2】是：设n μ是n 次独立试验中事件A 发生的次数，事件A 在每次试验中发
生的概率为p ，则当n 无限大时，频率设
n n
μ趋于服从参数为(1),p p p n -的正态分布。即：
(1)
~(,
)n
p p N p n
n
μ-. 其实定理可以简单地说：二项分布渐近正态分布，所以n 足够大时，就可以利用本定理来计算二项分布.
该定理其实是辛钦中心极限定理的特例.在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n 充分大，那么频率就近似服从正态分布.
定理5.7 设随机变量X 服从参数为,n p (01)p <<的二项分布，则 （1）（拉普拉斯定理）局部极限定理【3】 当n →∞时
2
()2{}k np npq
P x k --
??
=≈
=
， (5.10)
其中2
2
1,0,1,2
,,()x p q k n x ?-+===.
(2)（De Moivre-Laplace 定理）【3】
积分极限定理 对于任意的X ，恒有
?∞--∞→=??
????????≤--x t
n t x p np np X P d e π22
21)1(lim . （5.11）
该定理是林德伯格-莱维中心极限定理的特殊情况，是最早的中心极限定理.大约在
1733年，棣莫弗对1
2
p =证明了上述定理，后来拉普拉斯把它推广至p 是任意一个小于
1的正数上去.
它表明，n 充分大时，npq
np
S Y n n -=
*分布近似服从与标准正态分布，常称为“二项分布收敛于正态分布”，正态分布是二项分布的极限分布，当n 充分大时，我们可以利用该定理的结论来计算二项分布的概率.
例1 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率. 解 500发炮弹中命中飞机的炮弹数目X 服从二项分布，500,0.01n p ==,
则
2,2np =≈.下面用三种方法计算并加以比较;
(1) 用二项分布公式计算:
5
5495500{5}0.010.990.17635P X C ==??=.
(2) 用泊松公式计算，直接查表可得：
55,5,(5)175467np k P λ===≈.
(3) 用拉普拉斯局部极限定理计算：
{5}0.1793P X
??
==
≈. 可见后者不如前者精确.
通过这个例题说明拉普拉斯具有一定的局限性，虽然做题时比较快但是其精确度却不尽人意，不过也从侧面说明了中心极限定理在炮弹的射击过程中的落点和目标的偏差上有一定的误差，虽然总体来说有误差但是其中的某一个随机因素的单独作用是微小的，则我们可以把这样的随机变量通过用中心极限定理近似地表示出来.
3.中心极限定理在保险方面的应用
随着经济建设的高速发展，火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋势，风险事故【4】是否发生具有不确定性，风险事故引发的损失即损失的程度也具有不确定性，正是由于这种不确定性，导致了危险的产生，从而产生了对保险的需求.从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法.其目的是补偿风险事故所造成的损失以确保参保人的生活安定.可以说，没有风险就没有保险.保险人为了分散风险、减少损失，一般是通过集合大量的具有相同性质的经济单位或个人来实现，进行投保的，所以现在社会上才能出现大量有关保险的问题，譬如：中国人寿保险，买车要买车保等等，都是为了减少自己的需要承担的风险.一个深层次的问题是，为什么保险人通过这种风险汇聚的方式能够实现减少自己的损失、降低风险的目的，其理论依据是什么?
保险经营机制
【5】
是将分散的，不确定性的损失集中起来，转化为大致的确定性的分
摊损失．故保险公司最关心的是实际损失与预期损失之间的偏差．在保险新产品开发之前，必须通过大量的损失统计资料对风险损失进行估算,这个偏差服从中心极限定理，即：含有n 个风险单位的随机样本的平均损失符合正态分布．保险公司在费率厘定时和对附加保费，安全系数等计算精确，可使保险公司有足够的资金赔付保险期限内发生的所有索赔，从而使保险公司的运营更为平稳，也更有利于投保人和被投保人．
一般来说，在概率中，独立分布的随机事件的个数超过50个时，我们就认为它们在
计算损失、厘定保费时服从中心极限定理.
既然可以利用中心极限定理合理地厘定保险费率【6】，那为何老年人的投保一再要被提高门槛呢？京江晚报正在3月28日报道“拿保险公司来说，高风险人群就是老年人，人在年龄较大时，不确定因素比较多，发生医疗费用支出、意外事故的风险比年轻人大得多。所以，站在赔付率的角度上考虑，保险产品在推出前一代会经过精密测算，从而去设置出相应的年龄门槛以及不同的缴费标准”。
现在以最简单的一年定期寿险为例，来说明保险公司为什么对中老年人保险总是会提高门槛，使老年人的投保寿险与年轻人有所区别.如下表所示，选取25至29岁作为年轻人代表，61至65岁为老年人代表，将这两个年龄段进行比较。
表一
（保费单位：元/每万元基本保额） 现假设每个年龄各有1000个人投保，
总保费=1000?单个人的保费（元）=0.1?单个人的保费（万元），
赔付额=4101000i i i E E E i ξξξ?=(
元)（万元），为个年龄为岁的个体在一年内死亡的期望. 从上面公式得出：不同年龄的总保费
表二
（单位：万元）
由于计算中假定每个年龄的投保数相同，而老年人的死亡率比年轻人高，则导致赔付额的基数较大，所以还不能很好的解释问题，这里再引入赔付率（赔付率=赔付额/总
保费），得出表
各年龄的赔付率表三
从表三可知，呈下降趋势的是2529
-岁总体的赔付率
-岁总体的赔付率，而6165
呈上升趋势且赔付率处于较高水平。那么对于一个保险公司，她的经营主要是以盈利为目的，老年人身体状况较差，是疾病、死亡的多发群体，面临的风险大，所以为老年承保寿险时保险公司的赔付率相对较高.因此老年人投保寿险一再被提高门槛.同时，老年人寿险的保费若定价较高，但老年人收入相对偏低，可能买不起，而定价过低，保险公司也承受不起，从而更加影响公司的盈利.因此，寿险公司更愿意把目光投向年轻人群体.因此保险公司为了更大的盈利，喜欢向年轻人推销保险，而避免向年纪大的人推销.
目前，保险我国是一个热点话题.其存在的意义为：保险人可以据此向潜在的被保险人收取一定价格保费.而且保险公司中的各种险种的交费标准都是经过精密的计算，按照银行的利率来制定的，在这个基础上尽可能多地去承保风险单位，这样也就可能有充足的资金来赔付保险期内被保人发生的所有索赔，使保险公司的运营更平稳，对投保人、被保险人更加有利.我们已经知道保险公司的经营是为了盈利，而一个保险公司的盈亏，是否破产，我们也可以运用中心极限定理的知识来做到估算和预测【7】.
下面以中心极限定理说明它在这一方面的应用.
例1 某市保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年交付保险费160元，若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获2万元赔金.已知该市人员一年内发生重大
人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险，问保险公司一年内从此项业务所得到总收益在20万到40万之间的概率?保险公司亏本的概率?
解 设一年中发生重大事故的人数为X ，发生重大事故概率为0.005p =，于是()~5000,0.005X B ，
则25,(1)24.875n p n p p =-=，总收益为0.01650002802X X ?-=-
由De Moivre-Laplace 中心极限定理得,
(2080240)(2030)
P X P X P ≤-≤=≤≤=≤≤
(1.0025)( 1.0025)0.6839φφ≈--= 保险公司亏本的概率为 (0.01650002)(40)P X P X ?<=<
P =>
1(3.0075)φ=- 10.99870.0013=-=
通过例1我们知道利用中心极限定理可以解决在保险业中关于保险公司的赢利以及盈亏问题.
例2 已知在某人寿保险公司2500有个人参加保险,在一年里这些人死亡的概率为
0.001,每人每年的头一天向保险公司交付保险费12元,死亡时家属可以从保险公司领取2000元保险金,求:(1)保险公司一年中获利不少于10000元的概率;(2)保险公司亏本的
概率.
分析 首先，我们先设一年内死亡的人数为随机变量X ，保险公司亏本的概率为P 。因为题中人和人之间是独立的，而且死亡的概率都一样为0.001，因此比较容易看出，此题中的X 是服从二项分布的，我们也可用二项分布的方法把P 具体地求出来，但要想
求出()k
k k k X P -?
??? ??==2500)999.0(002.02500绝非易事，更何况还要算上几千个呢？为此我们不妨用中心极限定理来求解它。
解 设一年中死亡的人数为X ,死亡率为0.001p =,把考虑2500人在一年里是否死亡看成2500重Bernoulli 试验【1】,则 2.5np =,(1)25000.0010.999 2.4975np p -=??=
保险公司每年收入为25001230000?=,付出2000X 元,
则根据De Moivre-Laplace 中心极限定理得, (1)所求的概率为
(30000200010000)(02)P X P X -≥=≤≤
P =≤≤
(0.32)( 1.58)φφ=---
(1.58)(0.32)φφ=- 0.94290.62550.3174=-=
(2)所求的概率为
(300002000)(15)P X P X <=>
1(7.91)0
P φ=>=-≈
以上结果说明，保险公司几乎不可能亏本．
据以上计算可知保险公司亏本的概率为0，不过，关键之处是对死亡率的估计必须正确，如果所估计的死亡率比实际低，甚至低得多，那么，情况就会不同.这也是保险公司之所以开展业务，吸收大量的客户一个原因，即使有时候会因为什么情况而赔钱，但是出现这样的情况毕竟是少数.在保险市场的竞争过程中，在保证相同收益的前提下有两个策略可以采用，一是降低保险费，另一个是提高赔偿金【7】，而采用提高赔偿金比降低保险费更能吸引投保户.所以社会上的保险事业发展得越来越迅速，因为人的欲望是无限的.
在上面的两个例题中我们可以发现，我们算出来的保险公司亏本的概率基本上都为
0，在题目中主要都是通过De Moivre-Laplace 中心极限定理算出来的.
那我们想一想，要使保险公司不亏本，在参保人中每年大约死亡多少人？ 例如 设ξ表示一年内参保人的死亡数，对参保的人进行随机抽样，分析平均每年死亡的人数.我们进行n 次抽样调查，得到样本值，设每人每年付保险费b 元，死亡时期家属可以向保险公司领取a 元的补偿金，试设计一个程序计算出保险公司在有N 个参保人的情况下，要使保险公司不亏本，在这些参保人中死亡的人数不超过多少.
我们进行n 次抽样，得到样本值(,),1,2,3i i N i n ξ=L ，其中满足：i i bN a ξ≥的次数为m 次，则我们可以计算出N 个参保人数中死亡的个数（见附录）.
在这里我们可以利用这一个简单的程序解决保险业中为了保证保险公司不会亏本，参保人中大约死亡的人数，在这里也是反复地利用中心极限定理.
例3 在一家保险公司里有10000人参加保险,每人每年付12元保险费,通过调查发现一年之后这些人死亡数为60人，死亡时其家属可向保险公司领得1000元,问:1)保险公司亏本的概率有多大? 2)保险公司一年的利润不少于40000元、60000元、80000元的概率各为多大?
解 1）设ζ表示一年内参保人的死亡数，则~(10000,0.006)B ζ.已知ζ和保险公司盈利近似服从正态分布：（补充说明：~(,),50B n p n ζ>时，可以 用中心极限定理计算()p a b ζ≤≤的近似值）要使保险公司亏本， 必须满足121000010000ζ?-< ∴ 120ζ>
本题中(),()E np D npq ζζ==，化为标准正态分布：
φ?? (120)1(0120)P P ζζ>=-≤≤
≈11200
φφ????----?? ????
1[2(7.722)1]φ=-- 220=-=
∴即公司会亏本的概率为0.
2）当保险公司一年的利润不少于400006000080000、
、元时，必须满足： 1210000-100040000ζ?≥（或60000或80000）∴ 80ζ≤（或60或40）
(080)800
P ζφφ??≤≤≈-- ??
(2.59)(7.77)10.9951φφ=+-≈
(060)600
P ζφφ??≤≤≈- ??
(0)(7.77)10.5φφ=+-≈
(040)400
P ζφφ??≤≤≈--- ??
( 2.59)(7.77)(7.77)(2.59)0.0048φφφφ=-+-=-≈
∴即保险公司一年的利润不少于40000元、60000元、80000元的概率分别为
0.9951,0.5,0.0048.
这个例题我们可以反复地用中心极限定理来解决问题，说明了中心极限定理在保险中的重要性.
总之，保险公司是一个从事对损失进行理赔的行业,它的经营机制是将分散的不确定性集中起来,转变为大致的确定性以分摊损失,将投保人的损失降到最低.为了确保其公司的利润，在之前都会关心实际损失与预期损失概率的偏差.在开展新的业务前,需要通过大量的损失统计资料对风险损失概率进行精确地估算,而实际损失与预期损失概率的偏差又影响到保险公司的服务稳定和经营效益.因此,保险公司在根据大量的损失统计资料精算出预期损失概率并制定出合理的保险费率的基础上应尽可能地多承保风险单位,也就越可能有足够的资金赔付保险期内发生的所有索赔,从而使保险公司运营更加平稳.
4.结论
中心极限定理是我们学习概率论时所接触到的，在我们的生活中具有重要的作用.中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本的均值总是近似地服从正态分布.如果一个随机变量能够分解为独立同分布的随机变量序列之和，则可以直接利用中心极限定理进行解决.本文是在中心极限定理中最常用的德莫弗——拉普拉斯中心极限定理的基础上讨论了它在保险业中的应用.总之，恰当地使用中心极限定理解决实际问题有着极其重要意义.
5.参考文献
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【10】卢仿先，曾庆五．寿险精算数学[M]．天津：南开大学出版社，2001．
附录Function yy=simu(n,a,b);
m=0,
while b*N i>=ξi*a
m=m+1;
WEND
p=m/n;
Print p;
If ξ=normmd(N,p) then
ξ=N*p
End if
End
致谢
在此论文撰写过程中，首先感谢我的导师屈老师.论文从选题、结构安排、文字处理直至最终定稿的全过程无一不是在屈老师的悉心指导、严格要求和亲切关怀下完成的.没有老师的帮助也就没有今天的这篇论文.希望借此机会向屈老师表示最衷心的感谢！
求学历程是艰苦的，但又是快乐的.感谢我的班主任徐老师，谢谢他在这几年中为我们全班所做的一切，他不求回报，无私奉献的精神很让我感动，再次向他表示由衷的感谢.在这四年的学期中结识的各位生活和学习上的挚友让我得到了人生最大的一笔财富.在此，也对他们表示衷心感谢.
谢谢的父母，没有我他们辛勤的付出也就没有我的今天，在这一刻，将最崇高的敬意献给你们！
本文参考了大量的文献资料，在此，向各学术界的前辈们致敬！
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本科毕业论文（设计）评审表
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本科毕业论文（设计）任务书
注：所有相关表格内的填写内容中文字体为小四号宋体，英文为小四号Times New Roman，行距1.25。