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复变函数答案 钟玉泉 第五章习题全解

复变函数答案 钟玉泉 第五章习题全解
复变函数答案 钟玉泉 第五章习题全解

复变函数经典例题

第一章例题 例1.1试问函数二-把」平面上的下列曲线分别变成 ].;平面上的何种曲线? (1) 以原点为心,2为半径,在第一象项里的圆弧; (2) 倾角 二的直线; (3) 双曲线''■='。 解 设Z = x + =r(cosfi + ι SiIl θ)7 = y + jv = Λ(cos

0 特别,取 - ,则由上面的不等式得 ∣∕(z)∣>l∕(z o )∣-^ = M>0 因此, f ② 在匚邻域 内就恒不为0。 例1.3 设 /⑵ 4C ri ) (3≠o) 试证一 在原点无极限,从而在原点不连续。

证令变点匚—…:弓仁门 1 F ,则 而沿第一象限的平分角线 故「匚在原点无确定的极限,从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1 北)= 匚在二平面上处处不可微 证易知该函数在二平面上处处连续。但 Δ/ _ z+?z -z _ ?z ?z ?z ?z 零时,其极限为一1。故匚处处不可微。 证因UaJ )二倆,呛J ) = C I 。故 但 /(?) - /(0) _ λj?j ?z ? + i?y 从而 (沿正实轴。一 H ) 当I: 「时,极限不存在。因 二取实数趋于O 时,起极限为1 ,二取纯虚数而趋于 例2.2 在了 — 1满足定理 2.1的条件,但在_ I.不可微。 M (ΔJ 7O)-?(O,O) = 0 = v∕0,0) (O f O) = Ii(Q i Ly)-Ii(Ofi) Ay

复变函数经典习题及答案

练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是( A ); A 1212()Arg z z Argz Argz =+; B 1212()arg z z argz argz =+; C 1212()ln z z lnz lnz =+; D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是( B ); A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件; B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件; C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件; D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=( 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ), 主值为( 4 5(arctan )3 ln i π+- ). 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =( 0 ). 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛,那么该级数在45 z i =处的敛散性为( 绝对收敛 ). 6、 311z -的幂级数展开式为( 30n n z ∞=∑ ),收敛域为( 1z < ); 7、 sin z z -在0z =处是( 3 )阶的零点; 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是( 4 )阶的极点; 二、计算下列各值 1.3i e π+; 2.tan()4i π -; 3.(23)Ln i -+; 4 . 5.1i 。 解:(略)见教科书中45页例2.11 - 2.13

复变函数习题及解答

第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部;模和辐角以及辐角的主值;并分别写成代数形式,三角形式和指数形式.(其中,,R αθ为实常数) (1)1-; (2) ππ2(cos isin )33-; (3)1cos isin αα-+; (4)1i e +; (5)i sin R e θ ; (6)i + 答案 (1)实部-1;虚部 2;辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ;主辐角为4π 3; 原题即为代数形式;三角形式为 4π4π2(cos isin )33+;指数形式为4π i 32e . (2)略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + (3)略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα (4)略为 i ;(cos1isin1)ee e + (5)略为:cos(sin )isin(sin )R R θθ+ (6)该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1)() 10 3 i 1+-;2)()3 1i 1+-; 答案 1)3512i 512+-;2) ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=; 计算下列复数 (1 (2 答案 (1 (2)(/62/3) i n e ππ+ 已知x

【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈,即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+,根据复数相等,所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值,即为±值. 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=,所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根,则b a i -一定也是该方程的根. 证 因为0a ,1a ,… ,n a 均为实数,故00a a =,11a a =,… ,n n a a =.且()() k k z z =, 故由共轭复数性质有:()() z P z P =.则由已知()0i ≡+b a P .两端取共轭得 即()0i ≡-b a P .故b a i -也是()0=z P 之根. 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证.此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识.特别地,奇次实系数多项式至少有一个实零点. 证明: 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义. 若 (1)(1)n n i i +=-,试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 (1) cos5θ; (2)sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明:如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根,但是1≠w 即不是主根,则必有 对于复数 ,k k αβ,证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式:

复变函数习题答案第3章习题详解

第三章习题详解 1. 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段; 解:连接自原点至i +3的直线段的参数方程为:()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332 3 30 2 33 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至i +3; 解:连接自原点沿实轴至3的参数方程为:t z = 10≤≤t dt dz = 33 0330 2 3 2 33 131=??? ???==?? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为:it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 0233 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ,再由i 沿水平方向向右至i +3。 解:连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为:it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 202 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为:i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02 32 3113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 2 30 2 13 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2. 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解:x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i

复变函数课后习题答案全

习题一答案 1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数: (1) 1 32i + (2) (1)(2) i i i -- (3)13 1 i i i - - (4)821 4 i i i -+- 解:(1) 132 3213 i z i - == + , 因此: 32 Re, Im 1313 z z ==-, 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ (2) 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- , 因此, 31 Re, Im 1010 z z =-=, 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- (3) 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - , 因此, 35 Re, Im 32 z z ==-, 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= (4)821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此,Re1,Im3 z z =-=, arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2.将下列复数化为三角表达式和指数表达式: (1)i(2 )1 -+(3)(sin cos) r i θθ + (4)(cos sin) r i θθ -(5)1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解:(1)2 cos sin 22 i i i e π ππ =+=

(2 )1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= (3)(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= (4)(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= (5)2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3. 求下列各式的值: (1 )5)i - (2)100100(1)(1)i i ++- (3 )(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- (4) 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- (5 (6 解:(1 )5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ (2)100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- (3 )(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- =

复变函数习题解答(第3章)

p141第三章习题 (一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5.由积分 C1/(z+ 2)dz之值证明 [0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d= 0,其中C取单位圆周|z| = 1. 【解】因为1/(z+ 2)在圆|z内解析,故 C1/(z+ 2)dz= 0. 设C: z()= ei ,[0, 2]. 则 C1/(z+ 2)dz= C1/(z+ 2)dz= [0, 2]iei /(ei + 2)d = [0, 2]i(cos+isin)/(cos+isin+ 2)d =

[0, 2]( 2 sin+i(1 + 2cos))/(5 + 4cos)d = [0, 2]( 2 sin)/(5 + 4cos)d+i [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d. 所以 [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0. 因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)以2为周期,故 [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0;因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)为偶函数,故[0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0. 7. (分部积分法)设函数f(z),g(z)在单连通区域D内解析,,是D内两点,试证 [,]f(z)g’(z)dz= (f(z)g(z))| [,] [,]g(z)f’(z)dz. 【解】因f(z),g(z)区域D内解析,故f(z)g’(z),g(z)f’(z),以及(f(z)g(z))’都在D 内解析.因区域D是单连通的,所以f(z)g’(z),g(z)f’(z),以及(f(z)g(z))’的积分都与路径无关.[,]f(z)g’(z)dz+ [,]g(z)f’(z)dz= [,](f(z)g’(z)dz+g(z)f’(z))dz

复变函数论第四版答案钟玉泉

复变函数论第四版答案钟玉泉 (1)提到复变函数,首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根,极坐标与 xy 坐标的转换,复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。 (2)复变函数自然是在复平面上来研究问题,此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到 复平面里面,从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓 的Cauchy—Riemann 公式,这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。 (3)明白解析函数的定义以及性质之后,就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中,定义几乎 是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后,就会有出现复分析中的重要的定理:Cauchy 积分公式。这 个是复分析的第一个重要定理。 (4)既然是解析函数,那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数,也可 以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在,奇点根据性质分成可去奇点,极 点,本性奇点三类,围绕这三类奇点,会有各自奇妙的定理。(5)复变函数中,留数定理是一个重要的定理,反映了曲线积分和

零点极点的性质。与之类似的幅角定理 也展示了类似的关系。 (6)除了积分,导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外,正规族里面有一个非常重要的定理,那就是Arzela 定理。 (7)以上都是从分析的角度来研究复分析,如果从几何的角度来说,最重要的定理莫过于Riemann 映照 定理。这个时候一般会介绍线性变换,就是Mobius 变换,把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。 (8)椭圆函数,经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论,是研究Weierstrass 函数的,有经典的 微分方程,以及该函数的性质。 以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍,如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。

复变函数练习题及答案

复变函数卷答案与评分标准 一、填空题: 1.叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件: (1)(,)u x y ,(,)v x y 在D 内可微, (2)(,)u x y ,(,)v x y 满足C R -条件。(3分) 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件: (1),,,x y x y u u v v 在D 内连续, (2)(,)u x y ,(,)v x y 满足C R -条件。(3分) 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件:()f z 在区域D 内连续,若闭曲线C 及内部包含于D ,则()0C f z dz =? 。 (3分) 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件:()f z 在区域D 内每一点a ,都能展成x a -的幂级数。(3分) 2.叙述刘维尔定理:复平面上的有界整函数必为常数。(3分) 3、方程2z e i =+的解为:11ln 5arctan 222 i k i π++,其中k 为整数。(3分) 4、设()2010sin z f z z +=,则()0Re z s f z ==2010。(3分) 二、验证计算题(共16分)。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数,并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。(8分) 解:(1)22u x x ?=+?,222u x ?=?;2u y y ?=-?,222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??,所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。(4分) (2)因为()f z 为解析函数,则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程,则有 22v u x y x ??==+??,所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ,所以 ()0C x '=,即()C x 为常数。

复变函数习题集(1-4)

第一章 复数与复变函数 一、选择题: 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π= -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2 32 1+ - (D )i 2 12 3+ - 3.复数z -3(cos -isin )5 5 π π =的三角表示式为( ) A .44-3(cos isin )5 5 ππ+ B . 443(cos isin )55ππ- C . 443(cos isin )5 5 ππ+ D .44-3(cos isin )5 5 ππ- 4.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) (A )),(y x u 在),(00y x 处连续 (B )),(y x v 在),(00y x 处连续 (C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 二、填空题 1.设) 2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ,则=z 2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg 3.设4 3)arg(,5π=-=i z z ,则=z 4.方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线. 5.=+++→)21(lim 4 2 1z z i z 三.求方程z 3+8=0的所有复根. 第二章 解析函数 一、选择题:

复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)

《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题(一) 一、 判断题(20分): 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛,则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析,且 0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分) 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________,其中n 为自然数.

复变函数经典例题

第一章例题 例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线? (1)以原点为心,2为半径,在第一象项里的圆弧; (2)倾角的直线; (3)双曲线。 解设,则 因此 (1)在平面上对应的图形为:以原点为心,4为半径,在上半平面的半圆周。(2)在平面上对应的图形为:射线。 (3)因,故,在平面上对应的图形为:直线 。 例1.2设在点连续,且,则在点的某以邻域内恒不为0. 证因在点连续,则,只要,就有 特别,取,则由上面的不等式得 因此,在邻域内就恒不为0。 例1.3设 试证在原点无极限,从而在原点不连续。

证令变点,则 从而(沿正实轴) 而沿第一象限的平分角线,时,。 故在原点无确定的极限,从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1在平面上处处不可微 证易知该函数在平面上处处连续。但 当时,极限不存在。因取实数趋于0时,起极限为1,取纯虚数而趋于零时,其极限为-1。故处处不可微。 例 2.2函数在满足定理2.1的条件,但在不可微。 证因。故 但

在时无极限,这是因让沿射线随 而趋于零,即知上式趋于一个与有关的值。 例2.3讨论的解析性 解因, 故 要使条件成立,必有,故只在可微,从而,处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性 解因, 故 要使条件成立,必有,故只在直线上可微,从而,处处不解析。 例2.5讨论的可微性和解析性,并求。 解因, 而 在复平面上处处连续且满足条件,从而在平面上处处可微,也处处解析。且 。 例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且,试求 之值。 解设,则

由代入得 解得:,从而 。 例2.7设则 且的主值为。 例2.8考查下列二函数有哪些支点 (a) (b) 解(a)作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即 从而 故的终值较初值增加了一个因子,发生了变化,可见0是的支点。同理1 也是其支点。 任何异于0,1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0,1的简

复变函数积分(练习题)

基本要求 1. 正确理解复变函数积分的概念;01()lim ()n k k C k f z dz f z λζ→==?∑? 2. 掌握复变函数积分的一般计算法;()()()(())()C C f z dz u iv dx idy f z t z t dt βα '=++=??? 3. 掌握并能运用柯西—古萨基本定理和牛顿—莱布尼茨公式来计算积分; ()0C f z d z =? ,10 10()()()z z f z dz G z G z =-? 4. 掌握闭路变形定理、复合闭路定理,并能运用其计算积分; 1()()C C f z dz f z dz =?? ,1()()k n C C k f z dz f z dz ==∑?? 5. 掌握并能熟练运用柯西积分公式;00 ()2()C f z dz if z z z π=-? 6. 掌握解析函数的高阶导数公式,理解解析函数的导数仍是解析函数,会用高阶导数公式计算积分。 0102()()()! n C if z f z dz z z n π+=-? 一、填空题 1.2||122z dz z z ==++? ( ) ; 2.22|1|111z z dz z -=+=-? ( ) ; 3.2||1cos ()z z dz z π==-? ( ) ; 4.设()f z 在单连通域D 内解析且不为零,C 为D 内任一条简单闭曲线,则()2()1() C f z f z dz f z '''++=? ( ); 5.解析函数()f z 的导函数仍为( ),且()()n f z =( )。 二、计算下列各题 1.计算积分2(2)C iz dz +?,C 是由(1,0)A 到(0,1)B 的直线段; 111.33 i -+ 2.计算积分22z C e dz z z +? ,:||2C z =; 22(1).i e π--

复变函数论文

复变函数论文复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用 姓名:何缘鸽学号:092410101 学院(系):电气与电子工程系 专业:自动化 指导教师:秦志新 评阅人:

复变函数与积分变换在自动控制原理中的 应用 【摘要】: 复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用,是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展,丰富了它的内容。我们在学习的过程中,要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法,逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。文中简单地介绍了该门课程在自动控制理论中的应用。 【关键词】:线性系统 Z变换卷积拉普拉斯变换 【正文】: 提出问题: 众所周知,复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展,因而它们之间有许多相似之处。但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同,特别是当它引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。 随着教育事业的不断发展与更新,一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。当然复变函数在自动控制原理方面的应用也更大的加快了自动化的发展,自动控制与信号处理也更加离不开一套有效的处理方法。但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的,如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了

我们的首要问题。 分析问题: 虽然常规的Fourier 变换的运算的范围是有限的,,但Laplace 变换、Z 变换等填补了Fourier 变换的不足之处,究竟其有什么好处呢?下面就介绍一些例子,从中就能看出。 例1: 如图1所示电路,原处于稳态,开关S 于t=0时由1端转向 2端,R=10 Ω ,L=1H,C=0.004F,求换路后电流i(t)。 解:因换路前电路已达稳态,故可知 ()=-0i 0, ()V u c 20=- 换路后,电路的微分方程为 ()()()+ ++-0c u dt t di L t Ri ?- t d i C 0)(1ττ=10)(t ε 对上式进行拉普拉斯变换,得

复变函数习题及解答

第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部;模和辐角以及辐角的主值;并分别写成代数形式,三角形式和指数形式.(其中,,R αθ为实常数) (1)1--; (2) ππ2(cos isin )33-; (3)1cos isin αα-+; (4)1i e +; (5)i sin R e θ; (6)i + 答案 (1)实部-1;虚部 2;辐角为 4π 2π,0,1,2,3 k k +=±±; 主辐角为 4π3 ;原题即为代数形式;三角形式为 4π4π2(cos isin )33+;指数形式为 4π i 3 2e . (2)略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + (3)略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα (4)略为 i ;(cos1isin1)ee e + (5)略为:cos(sin )isin(sin )R R θθ+ (6)该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθθθθθθθ+==+==+ 1.2 计算下列复数 1)() 10 3i 1+-;2)()3 1i 1+-; 答案 1)3512i 512+-;2)()1 3π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=; 1.3计算下列复数 (1 (2 答案 (1

(2)(/62/3)i n e ππ+ 1.4 已知x 为实数,求复数的实部和虚部. 【解】 令i ,(,)p q p q R =+∈,即,p q 为实数域(Real).平方得 到 22 12()2i x p q xy +=-+,根据复数相等,所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值,即为±值. 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=,所以 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根,则b a i -一定也是该方程的根. 证 因为0a ,1a ,… ,n a 均为实数,故00a a =,11a a =,… ,n n a a =.且 ()()k k z z =,故由共轭复数性质有:()()z P z P =.则由已知()0i ≡+b a P .两端 取共轭得 即()0i ≡-b a P .故b a i -也是()0=z P 之根. 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证.此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识.特别地,奇次实系数多项式至少有一个实零点. 1.7 证明:2222 12 1212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义. 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-,试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=-

复变函数习题解答(第3章)

p141第三章习题(一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5. 由积分?C1/(z + 2) dz之值证明?[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = 0,其中C取单位圆周| z | = 1. 【解】因为1/(z + 2)在圆| z | < 3/2内解析,故?C1/(z + 2) dz = 0. 设C : z(θ)= e iθ,θ∈[0, 2π]. 则?C1/(z + 2) dz = ?C1/(z + 2) dz = ?[0, 2π] i e iθ/(e iθ + 2) dθ = ?[0, 2π] i (cosθ + i sinθ)/(cosθ + i sinθ + 2) dθ = ?[0, 2π] (- 2 sinθ + i (1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ) dθ = ?[0, 2π] (- 2 sinθ)/(5 + 4cosθ) dθ+ i ?[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ. 所以?[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0. 因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)以2π为周期,故?[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0;因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)为偶函数,故 ?[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = (1/2) ?[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0. 7. (分部积分法)设函数f(z), g(z)在单连通区域D内解析,α, β是D内两点,试证 ?[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -?[α, β] g(z) f’(z)dz. 【解】因f(z), g(z)区域D内解析,故f(z)g’(z),g(z) f’(z),以及( f(z)g(z))’都在D 内解析.因区域D是单连通的,所以f(z)g’(z),g(z) f’(z),以及( f(z)g(z))’的积分都与路径无关. ?[α, β] f(z)g’(z)dz + ?[α, β] g(z) f’(z)dz = ?[α, β] ( f(z)g’(z)dz + g(z) f’(z))dz = ?[α, β] ( f(z)g(z))’dz. 而f(z)g(z)是( f(z)g(z))’在单连通区域D内的一个原函数,所以 ?[α, β] ( f(z)g(z))’dz = f(β)g(β) -f(α)g(α) = ( f(z)g(z))|[α, β]. 因此有?[α, β] f(z)g’(z)dz + ?[α, β] g(z) f’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β], 即?[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -?[α, β] g(z) f’(z)dz. 13. 设C : z = z(t) (α≤t≤β)为区域D内的光滑曲线,f(z)于区域D内单叶解析且f’(z) ≠ 0,w = f(z)将曲线C映成曲线Γ,求证Γ亦为光滑曲线. 【解】分两种情况讨论. (1) 当z(α) ≠z(β)时,C不是闭曲线.此时z(t)是[α, β]到D内的单射,z(t)∈C1[α, β],且在[α, β]上,| z’(t) |≠ 0. 因Γ是曲线C在映射f下的象,所以Γ可表示为w = f(z(t)) (α≤t≤β). ?t∈[α, β],z(t)∈D.因f于区域D内解析,故f在z(t)处解析, 因此f(z(t))在t处可导,且导数为f’(z(t))z’(t). 显然,f’(z(t))z’(t)在[α, β]上是连续的,所以f(z(t))∈C1[α, β]. 因为f(z)于区域D内是单叶的,即f(z)是区域D到 的单射,而z(t)是[α, β]到D 内的单射,故f(z(t))是[α, β]到 内的单射. 因在D内有f’(z) ≠ 0,故在[α, β]上,| f’(z(t))z’(t) |= | f’(z(t)) | · |z’(t) |≠ 0. 所以,Γ是光滑曲线. (2) 当z(α) = z(β)时,C是闭曲线.此时z(t)∈C1[α, β];在[α, β]上,有| z’(t) |≠ 0;z’(α) = z’(β);?t1∈[α, β],?t2∈(α, β),若t1 ≠t2,则z(t1) ≠z(t2).

《复变函数与积分变换》习题册

第一章 复数与复变函数 本章知识点和基本要求 掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算; 熟悉复平面、模与辐角的概念; 熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式; 了解区域的概念;理解复变函数的概念; 理解复变函数的极限和连续的概念。 一、填空题 1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立,则=x ______, =y _______. 2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-,则x = ,y = 3、若1231i z i i +=--,则z = 4、若(3)(25) 2i i z i +-= ,则Re z = 5、若4 21i z i i +=- +,则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+,则arg z = 7复数1z i =-的三角表示式为 ,指数表示式为 。 8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________,指数表示式为 _________________. 9、设i z 21=,i z -=12,则)(21z z Arg = _ _____. 10、设4 i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。z = 11、.方程0273=+z 的根为_________________________________. 12、一曲线的复数方程是2z i -=,则此曲线的直角坐标方程

为 。 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数1 2 +-= z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________. 15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的部。 16 二、判断题(正确打√,错误打?) 1、复数7613i i +>+. ( ) 2、若z 为纯虚数,则z z ≠. ( ) 3、若 a 为实常数,则a a = ( ) 4、复数0的辐角为0. 5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在 00(,)x y 点连续。 ( ) 6、设21,z z 为复数,则2121z z z z ?=。 ( ) 7、1212z z z z +=+ ( ) 8、参数方程2 z t ti =+ (t 为实参数)所表示的曲线是抛物线2y x =. ( ) 三、单项选择题 1、下列等式中,对任意复数z 都成立的等式是 ( ) A.z·z =Re(z·z ) B. z·z =Im(z·z ) C. z·z =arg (z·z ) D. z·z =|z| 2、方程3z =8 的复根的个数为 ( ) A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. 0个 3、当11i z i +=-时,1007550z z z ++的值等于 ( ) A i B i - C 1 D 1- 4、方程23z i +-= ( ) A 中心为23i -的圆周

第三章 复变函数的积分习题与解答

第三章 复变函数的积分习题与解答 3.1 如果函数()f z 是在【1】单连通区域;【2】复通区域中的解析函数,问其积分值与路径有无关系? 【答案 单连通 无关,复连通 有关】 3.2 计算积分 3||21z z =-?的值 【答案 0】 3.3 计算积分 22d L z z a -?:其中0a >.设 L 分别为 (1)(1)||/2; ||; (3)||z a z a a z a a =-=+= 【答案 (1)0;(2)πi a ; (3)πi a -】 3.4 计算积分 Im d C z z ?,其中积分曲线C 为 (1)从原点到2i +的直线段; (2)上半圆周 ||1z =,起点为1,终点为1-; (3)圆周|| (0)z a R R -=>的正方向(逆时针方向) 【答案 2(1)1i /2;(2)π/2;(3)πR +--】 3.5 计算积分 d ||C z z z ?的值, (1)||2; (2)||4;z z == 【答案(1)4πi;(2)8πi 】 3.6 计算积分的值 π2i 0 cos d 2z z +? 【答案 1/e e +】 3.7计算下列积分的值 (1) ||1d cos z z z =?;(2)2||2 d z z e z =?21||1||12i d d (3); (4)24()(2)z z z z z z z z ==++++?? 【答案(1)0;(2) 0;(3) 0;(4) 4πi 4i +】 3.8 计算 2||2||232|i|1||1522||1|i|2(1)d ; (2)d ;3(1)(21) cos (3)d ; (4)d (i)(2) d (5)d ; (6)(4)z z z z z z z z z e z z z z z z z e z z z z z e z z z z z ==-===-=--+--+?????? 【答案 (1)0;(2)0;(3)πicosi -;(4)3πi 2-;(5)πi 12(6)π8-】 3.9 计算积分 (1)π61i i 000(1)sin d ; (2)ch3d ; (3)(1)d z z z z z z z e z --??? 【答案 13(1)s i n 1c o s 1; (2)i ; (3)1c o s 1i [s i n (1)1]--+-】

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