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解分式方程的特殊方法与技巧

解分式方程的特殊方法与技巧
解分式方程的特殊方法与技巧

分式方程意义及解法

一、内容综述:

1.解分式方程的基本思想

在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程“转化”为整

式方程.即分式方程整式方程

2.解分式方程的基本方法

(1)去分母法

去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根。所以,必须验根。

产生增根的原因:

当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解.

检验根的方法:

(1)将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等。

(2)为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根。必须舍去.注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公分母为0.

用去分母法解分式方程的一般步骤:

(i)去分母,将分式方程转化为整式方程;

(ii)解所得的整式方程;

(iii)验根做答

(2)换元法

为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程.

用换元法解分式方程的一般步骤:

(i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式;

(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;

(iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值;

(iv)检验做答.

注意:

(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简,把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。

(2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般,即先考虑能否用换元法解,不能用换元法解的,再用去分母法。

(3)无论用什么方法解分式方程,验根都是必不可少的重要步骤。

二、例题精析:

例1.解分式方程:。

分析:解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。

解:方程两边都乘以x(x+2),约去分母,得

x+4-x=2(x+2)+x(x+2)

整理后,得x2+4x=0

解这个方程,得x1=0, x2=-4,

代入公分母检验:

当x1=0时,x(x+2)=0×(0+2)=0, ∴x=0是增根;

当x2=-4时,x(x+2)=-4×(-4+2)≠0, ∴ x=-4是原方程的根。

故原方程的根是x=-4。

例2.解方程:。

分析:本题中各个分式的分子与分母是同次多项式,故从中析出一个整数来(用

拆分分式的方法),;考虑方程中有四个分式,可以移项后利用公式

把分式拆项,将方程化简。

解:

即,

移项,整理,得,

即,

亦即

去分母,得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8),去括号,整理,得x=7.

经检验,x=7是原方程的根。

∴原方程的根是x=7。

解法1:方程两边都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3),去分母,得(x+3)2(x+5)(x+2)-(x+4)2(x+2)(x+3)

=(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2)2(x+4)(x+5)

即4x+14=0, ∴,

经检验知是原方程的解。

解法2:方程两边分别通分,得

即,

∴ (x+5)(x+4)=(x+2)(x+3)

解得。

解法3:利用拆分分式的方法将原来的方程变形。

原方程可化为

即:,

两边分别通分,得,

解之,得。

解:设,则原方程变形为y2-5y+6=0,

解得y1=2, y2=3,

由=2,解得x1=4;

由,解得x2=3.

经检验x1=4, x2=3,都是原方程的根。

例5.用换元法解方程.

解:设2x2+3x=y,于是原方程变为,

整理,得y2-4y-5=0

解得y1=5, y2=-1.

当y=5时,即2x2+3x=5,

解得x1=1, ,

当y=-1时,2x2+3x=-1,解得x3=-1, ,

经检验,都是原方程的根。

∴原方程的根为。

例6.解方程。

分析:利用方程左边结构特点,构造一元二次方程来解。

解:设,所以原方程变形为:y+=7,

整理得:y2-7y+10=0

解得y1=2, y2=5,

当y1=2时,即,

∴x1=0, x2=2;

当y2=5时,,

即x2-5x+9=0 (Δ<0,此方程无实根)

经检验,x1=0, x2=2是原方程的解。

例7.解方程.

分析:此方程初看起来容易把,,而实际上,

所以.但是,就是说原方程可变形为

, 变形后才可用换元法解此方程。

解:原方程可化为

即,

设, 则原方程可化为:2y2-3y-5=0

解得y1=-1, y2=,

当y=-1时,,

去分母整理,得x2+x+1=0

解这个方程,∵Δ<0, ∴方程无解。

当y= 时,, 去分母整理,得2x2-5x+2=0

解得x1=2, ,

经检验,x1=2, 都是原方程的根。

∴原方程的根是x1=2, 。

注意:切勿把。

例8.若分式方程有增根x=2,求a的值。

分析:将方程的两边同乘以最简公分母(x+2)(x-2),

得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0,若分式方程有增根x=2,则x=2一定是整式方程a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0的根,代入之即可求出a。

解:原分式方程去分母,得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0

把x=2代入所得方程,得4a+1+0=0, a=-,

∴当 a=-时, x=2是原分式方程的增根。

测试

选择题

1.方程x- =2-的根的情况是()

A、只有一解x=2

B、任意实数都是解

C、无解

D、解为x≠2

2.用换元法解方程+ =,下列变形正确的是()

A、设=y,原方程变形为y+ = ,去分母得2y2+5y+2=0

B、设=y,原方程变形为y+ -1=,去分母得2y2-7y+2=0

C、设=y,原方程变形为+ = ,去分母得y2-5y+3=0

D、设=y,原方程变形为+ =,去分母得y2-5y+6=0

3.如果设y= -5,则对于方程( -5)2+-13=0,下面变形正确的是()A、y2-2y-8=0 B、y2+2y-3=0

C、y2+2y-13=0

D、y2-2y-23=0

4.若x=1是方程的增根,则m的值为(c )

A、1

B、 -1

C、-3

D、3

5.方程会产生增根,则a的值为(c )

A、1

B、-2

C、1或-2

D、以上都不对。

6.方程=0的根是()

A、-1

B、2

C、-1或2

D、1或-2

7.使分式方程产生增根的k的值是()

A、0

B、0或2

C、1

D、2

8.用换元法解方程, 设,则方程变形为()。

A、6y2+5y-38=0

B、6y2+5y-40=0

C、6y2+5y-26=0

D、6y2+5y-50=0

9.方程的根为()

A、x=2

B、x=

C、x=3

D、x=-5,或x=3

10.某项工程,甲独做需a天,乙独做需b天,甲、乙合做完成任务需要的天数是()。

A、 B、 C、a+b D、

答案与解析

答案:1、C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、B 7、A 8、D 9、D 10、D

解析:

1、答案:选C。

移项,整理得x=2,但当x=2时,分母x-2=0,则x=2为增根,原方程无解。

2、答案:2.选D。

3、答案:选B。

原方程

整理得:,

设原方程变为:y2+2y-3=0。

4.答案:选C。

原方程两边乘以(x-1)(x-2)得:

x2-4+x2+2x-3=m即: 2x2+2x-7-m=0

则x=1是方程2x2+2x-7-m=0的根,代入x=1得:

∴ 2+2-7-m=0, m=-3.

5.答案:选C。

两边乘以x(x-1) 得x2+2x-2-a=0,

若原方程有增根,则有增根x=1或x=0,而x=1或x=0是整式方程x2+2x-2-a=0的两根,将x=1或x=0代入整式方程得a=1或a=-2,选C。

6.答案:选B。

由,去分母得(x+1)(x-2)=0 得x=-1或x=2,经检验,x=-1是增根,则原方程的根为x=2。

7.答案:选A。

分式方程的增根为x=2或x=-2,

而x=2或x=-2,一定是去分母得到的整式方程的解。

原方程两边乘以(x-2)(x+2)得x2-2x-x2+4=k2x+2k2

整理得:(k2+2)x=4-2k2,

∴,

则:,

解得:k=0.

8.答案:选D。

分析:原方程变形为,则原方程变形为

6(y2-2)+5y-38=0,整理得:6y2+5y-50=0.

9.答案:选D。

方程两边乘以x2-4 得15=2x+4+x2-4 即:x2+2x-15=0,

解得:x1=-5或x2=3,经检验,x=-5或x=3都是原方程的根。

10.答案:选D。

整个工程看成整体1,则甲,乙的工作效率分别为,则合作工作效率为

,则甲,乙合作用的时间为。

中考解析

分式方程

考点讲解

1.解分式方程的基本思想方法是:把分式方程通过去分母或换元转化成整式方程,然后用解整式方程的方法去求解,但在转化过程中,可能会使分式方程增根,所以最后一定要验根。

2.去分母法解分式方程的步骤:(1)去分母,即方程两边同乘以各分母的最简公分母,约去分母,得到一个整式方程;(2)解这个整式方程;(3)验根。

3.用换元法解分式方程的步骤:(1)根据分式方程中的特点设某一分式为另一未知字母;(2)写出符合原方程式的用新字母表示的变形方程;(3)解换元所得新方程,求得未知字母的值;(4)把新未知字母值代入第一步所设的分式,求得原方程未知数的值;(5)验根。

4.分式方程验根的方法:(1)将解得整式方程的根代入原方程,使方程左右两边相等的未知数的值是原方程的根,否则是增根;(2)将解得整式方程的根代入最简公分母中,如果不使最简公分母等于0,就是原方程的根,反之则为增根。

考题评析

1.(甘肃省)一组学生去春游,预计共需费用120元,后来又有2人参加进来,总费用不变,于是每人可少分摊3元,原来这组学生的人数是()

(A)8 (B)10 (C)12 (D)30

考点:分式方程的应用

评析:该题是一列方程解的应用题,解决应用题的关键是找到等量关系,本题的等量关系有两个:一个是人数变化,前后的总费用不变,二是增加2人后,每人少分摊3元。根据条件,依据第二个等量关系列方程比较容易解得此题,设原来这组学生的人数x人,所以列方程为:,解得x=8,经检验x=8是原方程的根。

答案:A

说明:所列方程是一个分式方程,求出结果后必须检验。

2.(杭州市)(本题8分)解方程:

考点:分式方程的解法

评析思路:此题可用去分母、化分式方程为整式方程的方法,来解此方程注一定要检验。

答案:x=2

3.(重庆市)方程的解是__________。

考点:分式方程的解法

评析:思路:本题运用等式的性质两边乘以x(x-1)化分式方程为整式方程,然后求解。

说明:右边的1必须乘以x(x-1)同时要进行验根。

答案:x=2

4.(吉林省)解方程:。

考点:分式方程。

评析思路,根据方程的形式可知用换元法解本方程,设,方程变为关于y

的整式方程,然后求解。

说明:分式方程一定要检验。

答案:x=2 或x=

5.(辽宁省)用换元法解方程.

考点:分式方程的解法——换元法

评析思路:设,原方程可变为关于y的一元二次方程是y2-5y-6=0.

该题用换元法变为整式方程将用y代替即可。

答案:x= 或x=

6.(安徽省)解方程+ = 时,设y=, 则原方程可化为:()

A、5y2+5y-26=0

B、5y2+y-26=0

C、5y2-y-26=0

D、5y2-26y+5=0

考点:换元法解分式方程

评析:原方程是一个分式方程,其中两个分式互为倒数,当设y=时,原方程变为y+ = 化简得5y2–26y+5=0,所以正确选项是D

分式方程(组)的特殊解法

吴行民王爱灵

同学们已经知道,把分式方程的两边同乘以各分母的最简公分母,化为整式方程,是解分式方程的基本思路。而对于一些特殊的分式方程(组),我们还可以根据它的特征,采取灵活多变的方法求解。下面以课本习题、中考题和竞赛题为例,介绍解分式方程(组)的若干特殊方法与技巧。

一、观察法

例1、解关于x的方程:

精讲与解:由限制条件和方程两边a,b及x的“对称”关系不难看出,当x=ab时等式成立。而该方程是一个可化为一元一次方程的分式方程,最多只有一个解,故原方程的解是x=ab。

二、拆项法

例2、解方程:。

精讲与解:先注意,将左边第一个分式“一分为二”,就可以避开“去分母”而另辟新路。

原方程可化为,即1=8,这是不可能的,故原方程无解。

试一试:解方程:。

提示:将拆成。

三、添项法

例3、解方程:。

精讲与解:原方程可化为

即。

∴。

解之,得x=7。

经检验,x=7是原方程的解。

试一试:用拆项法来解此题。

四、消去常数法

例4、解方程组:

精讲与解:两个方程左边的分母都是x+y和,右边的常数都是3,因此,消去常数就能得到x、y之间更为明显的数量关系。

,得。

去分母、整理,得x=6y。代入②,解之得。故x=18。

经检验,是原方程组的解。

五、整体消元法

例5、解方程组:

精讲与解:常规方法是通过换元化为二元一次方程组求解。如果把“”看成一个整体,代入消元,则更加简捷。

将①代入②,得,解之,得x=18。

把x=18代入①,得y=9。

经检验,是原方程组的解。

六、倒数法

例6、解方程组:

精讲与解:对每一个方程进行取倒数处理,原方程组可化为

④+⑤+⑥,整理,得⑦

⑦分别减去④、⑤、⑥,可得

经检验,它们是原方程组的解。

该题应用两个数相等(0除外),这两个数的倒数也相等这一关系,对原方程组进行简化,从而找到了解题的简捷方法。

分式方程解法的标准

分式方程解法的标准 一,内容综述: 1.解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程.即 分式方程整式方程 2.解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根. 产生增根的原因: 当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解. 检验根的方法: 将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等. 为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去. 注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公 分母为0. 用去分母法解分式方程的一般步骤: (i)去分母,将分式方程转化为整式方程; (ii)解所得的整式方程; (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程. 用换元法解分式方程的一般步骤: (i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数 式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值; (iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值; (iv)检验做答. 注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊

解分数方程方法总结

解分数方程 方程:含有未知数的等式叫方程。 方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 解方程:求方程解的过程叫做解方程。 解方程的依据:1、等式的性质 (1)等式两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立; (2)等式两边同时乘以或除以同一个数,等式仍然成立; 2、加减乘除法的变形 加法:加数1 + 加数2 = 和加数1 = 和—加数2 加数2 = 和—加数1 减法:被减数—减数 = 差被减数 = 差 + 减数 减数 =被减数—差乘法:乘数1 ×乘数2 = 积乘数1 = 积÷乘数2 乘数2 = 积÷乘数1 除法:被除数÷除数= 商被除数= 商×除数 除数= 被除数÷商 解方程的步骤:1、去括号。(没有括号时,先算乘、除,再算加、减) 2、去分母。 3、移项。 4、合并同类项。 5、系数化为1。 1、去括号(先去小括号,再去大括号)注意乘法分配律的应用加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:a×b=b×a 乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c 减法的性质:a-b-c=a-(b+c) 除法的性质:a÷b÷c=a÷(b×c)

(注意:去括号时,括号前面是减号的,去掉括号,括号里的每一项 要变号,也就是括号里的加号要变减号,减号要变成加号。这是运用 了减法的性质) 例如: 30x-10(10-x)=100 解:30x-(10×10-10×x )=100——(乘法分配律) 30x-(100-10x)=100 30x-100+10x=100——(去括号,括号前是减 号,去掉括号,括号里的每一项要变号,加号变减号,减号变加号) 40x-100=100——(合并同类项) 40x=100+100——(移项,变号) 40x=200——(合并同类项) X=5——(系数化为1) 2、去分母:找分母的最小公倍数,等式两边各项都要乘以分母最小公 倍数(去分母的目的是,把分数方程化成整数方程) 例如:12235-+=-x x 3、移项:“带着符号搬家”从等式左边移到等式的右边,加号变减号, 减号变加号。( 移项的目的是,把未知项移到和自然数分别放在等式 的两边) (加号一边省略不写例:2X-3=11 其中2X 前面的加号就省略了,3 前面是减号,移到等式右边要变成加号) 例如:4x-10=10 解:4x=10+10——(-10从等式左边移到等式右边变成+10) 4x=20

分式方程的解题方法

【知识精读】 1、解分式方程得基本思想:把分式方程转化为整式方程。 2、解分式方程得一般步骤: (1)在方程得两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程; (2)解这个整式方程; (3)验根:把整式方程得根代入最简公分母,瞧结果就就是否等于零,使最简公分母等于零得根就就是原方程得增根,必须舍去,但对于含有字母系数得分式方程,一般不要求检验。 3、列分式方程解应用题与列整式方程解应用题步骤基本相同,但必须注意,要检验求得得解就就是否为原方程得根,以及就就是否符合题意。 下面我们来学习可化为一元一次方程得分式方程得解法及其应用。 【分类解析】 例1、解方程: 分析:首先要确定各分式分母得最简公分母,在方程两边乘这个公分母时不要漏乘,解完后记着要验根 解:方程两边都乘以,得 例2、解方程 分析:直接去分母,可能出现高次方程,给求解造成困难,观察四个分式得分母发现得值相差1,而分子也有这个特点,因此,可将分母得值相差1得两个分式结合,然后再通分,把原方程两边化为分子相等得两个分式,利用分式得等值性质求值。 解:原方程变形为: 方程两边通分,得 经检验:原方程得根就就是 例3、解方程: 分析:方程中得每个分式都相当于一个假分数,因此,可化为一个整数与一个简单得分数式之与。 解:由原方程得: 即

例4、解方程: 分析:此题若用一般解法,则计算量较大。当把分子、分母分解因式后,会发现分子与分母有相同得因式,于就就是可先约分。 解:原方程变形为: 约分,得 方程两边都乘以 注:分式方程命题中一般渗透不等式,恒等变形,因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点,用特殊方法解分式方程。 5、中考题解: 例1、若解分式方程产生增根,则m得值就就是( ) A、?? B、 C、?D、 分析:分式方程产生得增根,就就是使分母为零得未知数得值。由题意得增根就就是:化简原方程为:把代入解得,故选择D。 例2、甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动,已知乙班每小时比甲班多种2棵树,甲班种60棵所用得时间与乙班种66棵树所用得时间相等,求甲、乙两班每小时各种多少棵树? 分析:利用所用时间相等这一等量关系列出方程。 解:设甲班每小时种x棵树,则乙班每小时种(x+2)棵树, 由题意得: 答:甲班每小时种树20棵,乙班每小时种树22棵。 说明:在解分式方程应用题时一定要检验方程得根。 6、题型展示: 例1、轮船在一次航行中顺流航行80千米,逆流航行42千米,共用了7小时;在另一次航行中,用相同得时间,顺流航行40千米,逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中得速度与水流速度 分析:在航行问题中得等量关系就就是“船实际速度=水速+静水速度”,有顺水、逆水,

六年级上专题复习题及知识归纳(分数乘除、比、百分数应用、简便运算、解方程)

一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。 2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数,结果写为百分数形式。 3、已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的百分之几是多少,数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:(1)百分率前是“的”:单位“1”的量×百分率=百分率对应量 (2百分率前是“多或少”的数量关系: 单位“1”的量×(1±百分率)=百分率对应量 4、未知单位“1”的量(用除法),已知单位“1”的百分之几是多少,求单位“1”。方法与分数的方法相同。 解法: (1)方程:根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。 (2)算术(用除法):百分率对应量÷对应百分率= 单位“1”的量 5、求一个数比另一个数多(少)百分之几的方法与分数的方法相同。只是结果要写为百分数形式。看百分率前有没有比多或比少的问题; 百分率前是“多或少”的关系式: (比少):具体量÷(1-百分率)= 单位“1”的量; (比多):具体量÷(1+百分率)= 单位“1”的量 6、求一个数比另一个数多百分之几的方法:方法与分数的方法相同。 用两个数的相差量÷单位“1”的量=百分之几 即①求一个数比另一个数多百分之几:用(大数–小数)÷另一个数(比那个数就除以那个数),结果写为百分数形式。 ②求一个数比另一个数少几分之几: 用(大数–小数)÷另一个数(比那个数就除以那个数),结果写为百分数形式。 说明:多百分之几不等于少百分之几,因为单位一不同。 7、如果甲比乙多或少a﹪,求乙比甲少或多百分之几, 用a﹪÷(1±a﹪) 8、求价格先降a﹪又上升a﹪后的价格:1×(1-a﹪)×(1+a ﹪)(假设原来的价格为“1”。求变化幅度(求降价后的价格是涨价后价格的百分之几)用1-降价后又上升的百分率。1、星期日小明做50道口算题,做对40道。求正确率? 2、小军家上月费50元,本月费38元。本月是上月的百分之几? 3、食堂九月份用煤25吨,十月份比九月份节约2吨。十月份比九月份节约百分之几? 4、食堂七月份用煤21吨,比六月份节约3吨。七月份比六月份节约百分之几? 5、某厂去年计划产值80万元,实际增产20万元。实际比计划增产百分之几? 6、某厂去年产值100万元,比计划增产20万元。实际比计划增产百分之几? 7、四年级有学生490人,其中男生256人达标,女生194人达标。求达标率? 8、(1)一本书500页,已读了20%,还剩下多少页未读? (2)一袋米,吃去37.5%,还剩下15千克,这袋米原来有多少千克? 9、学校九月份用煤16吨,十月份比九月份多用10%,十月份用煤多少吨?

分式方程的解法与技巧_知识精讲

分式方程的解法与技巧 【典型例题】 1. 局部通分法: 例1. 解方程:x x x x x x x x -----=-----34456778 分析:该方程的特点是等号两边各是两个分式,相邻两个分式的分子与分子,分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1,象这类通常采取局部通分法。 解:方程两边分别通分并化简,得: 145178()()()() x x x x --=-- 去分母得:()()()()x x x x --=--4578 解之得:x =6 经检验:x =6是原分式方程的根。 点拨:此题如果用常规法,将出现四次项且比较繁,而采用局部通分法,就有明显的优越性。 但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项,组合后再进行局部通分。 2. 换元法: 例2. 解方程: 7643165469222x x x x x x ----+=--+ 分析:此方程中各分式的分母都是含未知数x 的二次三项式,且前两项完全相同,故可考虑用换元法求解。令或或或k x x k x x k x x =--=-+=-+222646569 k x x =-26均可。 解:设,则原方程可化为:k x x =-+265 793144k k k --=-+ 去分母化简得:20147111602k k --= ∴()()k k -+=1220930 ∴,k k ==-129320 当时,k x x =--=126702 ()()x x -+=710 解之得:,x x 1217=-=

当时,k x x =--+=-93206593202 2012019302x x -+= 解此方程此方程无解。 经检验:,是原分式方程的根。x x 1217=-= 点拨:换元法解分式方程,是针对方程实际,正确而巧妙地设元,达到降次,化简的目的,它是解分式方程的又一重要的方法,本题还有其它的设法,同学们可自己去完成。 3. 拆项裂项法: 例3. 解方程: 12442212x x x x ++-+-= 分析:这道题虽然可用通分去分母的常规解法,但若将第二项拆项、裂项,则更简捷。 解:原方程拆项,变形为: ()()()()12222222221x x x x x x ++++-+---= 裂项为: 122222221x x x x ++-++--= 化简得:321x += 解之得:x =1 经检验:x =1是原分式方程的解。 4. 凑合法: 例4. 解方程:x x x x 4143412 +-=--- 分析:观察此方程的两个分式的分母是互为相反数,考虑移项后易于运算合并,能使运算过程简化。 解:部分移项得: x x x x 4143412=--+--- ∴x x x x 4143412=------ ∴x 412= ∴x =2 经检验:x =2是原分式方程的根。

分式方程的解题方法

【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤: (1)在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程; (2)解这个整式方程; (3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否等于零,使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去,但对于含有字母系数的分式方程,一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同,但必须注意,要检验求得的解是否为原方程的根,以及是否符合题意。 下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】 例1. 解方程:x x x --+=121 1 分析:首先要确定各分式分母的最简公分母,在方程两边乘这个公分母时不要漏乘,解完后记着要验根 解:方程两边都乘以()()x x +-11,得 例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 分析:直接去分母,可能出现高次方程,给求解造成困难,观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1,而分子也有这个特点,因此,可将分母的值相差1的两个分式结合,然后再通分,把原方程两边化为分子相等的两个分式,利用分式的等值性质求值。 解:原方程变形为: x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分,得 经检验:原方程的根是x =- 92 。 例3. 解方程:121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 分析:方程中的每个分式都相当于一个假分数,因此,可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解分式方程的特殊方法与技巧

分式方程意义及解法 一、内容综述: 1.解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程“转化”为整式方程.即分式方程整式方程 2.解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根。所以,必须验根。 产生增根的原因: 当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解. 检验根的方法: (1)将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等。 (2)为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根。必须舍去.注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公分母为0.

用去分母法解分式方程的一般步骤: (i)去分母,将分式方程转化为整式方程; (ii)解所得的整式方程; (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程. 用换元法解分式方程的一般步骤: (i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值; (iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值; (iv)检验做答. 注意: (1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简,把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。 (2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般,即先考虑能否用换元法解,不能用换元法解的,再用去分母法。 (3)无论用什么方法解分式方程,验根都是必不可少的重要步骤。

解分数系数方程

解分数系数方程 教学目的:通过将分数系数方程转化为整数系数方程来实现分数 系数方程的求解(化归思想),然后学会将这种方法运用到应用题中. 教学重点:熟悉整系数方程的解方程基本步骤和注意事项,和分 数系数方程转化成整系数方程的方法(“去”分母的过程)注意: 这里的去加引号就是因为不是直接去掉,而是用约分的方法把它 约去. 教学难点:学生们对去分母不是很理解,过程不是很熟悉,对 “项”的概念,对“合并同类项”的了解不是很深刻. 基础复习过程: T 同学们,咱们已经学过方程了,那什么是方程呀? S 等式,有未知数 T 很好,首先方程是个什么?对,是个等式,然后呢?不是一般的 等式,里面含有什么?含有什么? 对,有未知数.所以方程就是 含有未知数的等式. T 老师板书一个方程 6x+3=15那方程既然给出来了,我们是 不是通过一定顺序来求解这个未知数呀?很好.那大家回忆一 下,你是怎么求解方程的呢? 来,这位同学你说一下,拿到这个方程,你第一步做什么了? S 把3挪过去 T 很好,然后呢? S 然后6x=15-3 6x=12 x=2 T 非常棒,一个小印章,这位同学给我们展示了咱们求解方程 的一般方法的中几个很重要的步骤。大家看黑板,老师总结 一下,首先他做什么了呀?对,移项,把等号左边的留下了都

是含有未知数的式子,右边呢,都是不含有未知数的式子。对不对?好,有谁知道咱们能这样做的根据是什么? S …… T 是不是等式的其中一条性质呀?等式……两边……同时加上或者减去同一个数或者同一个式子,等式仍然成立。对不对?对不对? S 对,是 T 很好,那第二步呢,他做什么了?是不是把未知数x的系数化成1了?他怎么化成1的?对,把前面的系数除过去!这又是根据什么?想想等式的另外一个性质 S 同时除以或者乘以一个相同的数或者式子,等式仍然 成立 T 非常棒,你们都很厉害。做到这里,做完了么?宝贝们?是不是咱们还得把结果带进原方程中进行下检验啊?确保我们忙活半天是正确的啊?很好 T 刚才老师写的方程形式比较简单,相信大家一眼就能 看出来结果。如果遇到复杂的整系数方程,我们的解答 步骤是: 首先,移项,目的是什么!是让等号一边都是含有未知数的项,另外一边呢?都是不含有未知数的 然后呢,开始合并同类项。有的同学可能对这个概念不是很明白,老师简单的说一下。什么是同类?咱们俩是不是同类?是吧,都是人。你说篮球和足球是不是同类?是吧,都是球。方程里的同类项就是指含有的未知数一样,只是系数有所区别的项。比如4x和9x 你们说是不是同类? 是吧都含有x,那4x和4y是不是同类?不是吧,因为 他们压根儿含有的什么? S 未知数 T 不同是不是?一个是含有未知数x的项,一个是含有未知数y的项。然后那些不含有未知数的项,我们叫他们

如何解分式方程

如何解分式方程 解分式方程的方法很多,怎样选择合适的方法去解,从而简化运算呢?下面结合一些例题,向同学们介绍一些解法技巧。 1.一般法 所谓一般法,就是先去分母,将分式方程转化为一个整式方程。然后解这个整式方程。 解原方程就是 方程两边同乘以(x+3)(x-3),约去分母,得4(x-3)+x(x+3)=x2-9-2x。 2.换元法 换元法就是恰当地利用换元,将复杂的分式简单化。 分析本方程若去分母,则原方程会变成高次方程,很难求出方程的 解设x2+x=y,原方程可变形为 解这个方程,得y 1=-2,y 2 =1。 当y=-2时,x2+x=-2。 ∵Δ<0,∴该方程无实根;当y=1时,x2+x=1,

∴1x 2 -± = 经检验,1x 2 -± = 是原方程的根,所以原方程的根是1x 2 -± = 。 3.分组结合法 就是把分式方程中各项适当结合,再利用因式分解法或换元法来简化解答过程。 4.拆项法 拆项法就是根据分式方程的特点,将组成分式方程的各项或部分项拆项,然后将同分母的项合并使原方程简化。特别值得指出的是,用此法解分式方程很少有增根现象。 例4 解方程 解 将方程两边拆项,得 即x=-3是原方程的根。 5.因式分解法 因式分解法就是将分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式,从而简化解题过程。

解将各分式的分子、分母分解因式,得 ∵x-1≠0,∴两边同乘以x-1,得 检验知,它们都是原方程的根。所以,原方程的根为x 1=-1,x 2 =0。 6.配方法 配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边,再把左边配成一个完全平方式,进而可以用直接开平方法求解。 ∴x2±6x+5=0, 解这个方程,得x=±5,或x=±1。 检验知,它们都是原方程的根。所以,原方程的根是x 1=5,x 2 =-5,x 3 =1,x 4 =-1。 7.应用比例定理 上述例5,除了用因式分解法外,还可以应用合比和等比定理来解。下面以合比定理为例来说明。

解分式方程的特殊方法与技巧

解分式方程的特殊方法与技巧 分式方程意义及解法 一、内容综述: 1(解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程“转化”为整式方程(即分式方程整式方程 2(解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程(但要注意,可能会产生增根。所以,必须验根。 产生增根的原因: 当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解( 检验根的方法: (1)将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等。 (2)为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根。必须舍去( 注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公分母为0( 用去分母法解分式方程的一般步骤: (i)去分母,将分式方程转化为整式方程;

(ii)解所得的整式方程; (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决(辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法(换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程( 用换元法解分式方程的一般步骤: (i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值; (iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值; (iv)检验做答( 注意: (1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简,把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。 (2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般,即先考虑能否用换元法解,不能用换元法解的,再用去分母法。 (3)无论用什么方法解分式方程,验根都是必不可少的重要步骤。 二、例题精析: 例1(解分式方程:。 分析:解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。 解:方程两边都乘以x(x+2),约去分母,得

解分式方程的方法

解分式方程的方法 一、分式方程: 1、识别一个方程是分式方程的关键是方程分母中有未知数。 2、解分式方程的基本思想是:“把分式方程的分母去掉,使分式方程化为整式方程,就可以利用整式方程的解法求解”。这就是“转化思想”。 3、将分式方程转化为整式方程,转化的条件是“去分母”。其方法是在分式的两边同乘以分式方程中各分式的最简公分母。 4、在方程变形中,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的“增根”。应当舍去。因此,解得整式方程的根后,要代入原分式方程检验,适合原方程即为分式方程的根,不适合,就说明原方程无解。也可以代入最简公分母中,使公分母≠0时为原方程的解,使公分母=0时为增根舍去。 二、解分式方程时注意以下几个问题: 1、方程两边同乘以最简公分母时,每一项都要乘,特别是以一个数或一个整式为一项时,这一项不能漏乘; 2、两边都乘以最简公分母去掉方程中的分母,若分式的符号是“-”,去掉分母后,分子应加括号; 3、由于分式方程两边同乘以一个含有未知数的整式,方程可能会产生增根,故必须对求得的根进行检验,这一步必不可少; 4、当分式方程的分母是多项式,为了找最简公分母,需把分母分解因式。 补充讲解: 一、含有字母系数一元一次方程及简单的公式变形。 1、含有字母系数的一元一次方程的解法与一元一次方程的解法相同。方程的同解原理(即:等式的性质)与恒等变形的方法同样适用。 2、解含有字母已知数的一元一次方程要注意以下几点: (1)要分清哪些是已知数,哪个字母是未知数; (2)明确了哪个是未知数后,再采用解数学已知数的方程的方法,去解方程; (3)解到最后将方程已化为ax=b时,对于最简方程ax=b的系数化为1时,应进行讨论:当a≠0时,则方程有唯一解x=;当a=0,b≠0时,方程无解;当a=0, b=0时,方程有无数解。 二、简单的公式变形: 1、在数理化等学科的学习中,都遇到有关的公式的推导,公式的变形问题。 2、公式的变形问题,实际上就是解含有字母系数的方程。 3、教材规定公式中的字母均为正数,在变形的最后一步,按字母是正数进行讨论。 三、解分式方程确定最简公分母的方法: (1)如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂,所有不同字母都写在积里。 (2)如果各分母都是多就可以将各个分母因式分解,取各分母数字系数的最小公倍数,凡出现的字母(或含字母的整式)为底数的幂的因式都要取最高次幂。 项式取各分母系数的最小公倍数; (3)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式; (4)同底数幂取次数最高的,得到的因式的积就是最简公分母.

解分式方程方法汇总

解分式方程方法汇总 一、解分式方程的基本思想 解分式方程的基本思想就是设法将分式方程“转化”为整式方程。 二、解分式方程的基本方法——去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程,但要注意,可能会产生增根,所以,必须验根。 例1 1x 21x 1 2 -=- 解:方程两边都乘()()1x 1x -+,约去分母, 得:1x ,21x ==+。 检验:当1x =时,()()01x 1x =-+。 所以:1x =是增根,即:原方程无解。 小结:用去分母法解分式方程的一般步骤: (1)去分母,将分式方程转化为整式方程; (2)解所得的整式方程; (3)验根; (4)得结论。 三、解分式方程的其它方法 1. 拆项法 例2 解方程:8x 6x 6x 4x 5x 3x 9x 7 x --+--=--+--。 解: 8x 28x 6x 26x 5x 25x 9x 29x -+-+-+-=-+-+-+-, 即8x 216x 215 x 219x 2 1-++-+=-++-+, 移项,整理,得5x 16x 1 8x 19x 1---=---, ()()()()5x 6x 6x 5x 8x 9x 9x 8x --+--=--+--, ()()()()5x 6x 18x 9x 1--= --, 去分母,得()()()()8x 9x 5x 6x --=--, 解得:7x =。 经检验,7x =原方程的根。 ∴原方程的根是7x =。 2. 通分法 例3 解方程:3x 2x 2x 1x 5 x 4x 4x 3 x ++-++=++-++。 方程两边分别通分,得

解分数方程方法总结

解分数方程 方程:含有未知数的等式叫方程。 方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 解方程:求方程解的过程叫做解方程。 解方程的依据: 1、等式的性质 (1)等式两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立; (2)等式两边同时乘以或除以同一个数,等式仍然成立; 2、加减乘除法的变形 加法:加数1 + 加数2 =和加数1 = 和—加数2 加数2 =和—加数1 减法:被减数—减数 = 差被减数=差+减数减数 =被减数—差 乘法:乘数1 ×乘数2 = 积乘数1= 积÷乘数2 乘数2 = 积÷乘数1 除法:被除数÷除数= 商被除数= 商×除数除数=被除数÷商 解方程的步骤: 去括号。(没有括号时,先算乘、除,再算加、减) 去分母。 移项。 合并同类项。 系数化为1。 1.去括号(先去小括号,再去大括号)注意乘法分配律的应用 加法交换律:a+b=b+a加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:a×b=b×a乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c 减法的性质:a-b-c=a-(b+c) 除法的性质:a÷b÷c=a÷(b×c) (注意:去括号时,括号前面是减号的,去掉括号,括号里的每一项要变号,也就是括号里的加号要变减号,减号要变成加号。这是运用了减法的性质)

例如: 30x-10(10-x )=100 解:30x-(10×10-10×x )=100——(乘法分配律) 30x -(100-10x )=100 30x-100+10x=100——(去括号,括号前是减号,去掉括 号, 括号里的 每一项要变号,加号变减号,减号变加号 ) 40x-100=100——(合并同类项) 40x=100+100——(移项,变号) 40x=200——(合并同类项) X=5——(系数化为1) 2、去分母:找分母的最小公倍数,等式两边各项都要乘以分母最小公倍数(去分母的目的是,把分数方程化成整数方程) 3、移项:“带着符号搬家”从等式左边移到等式的右边,加号变减号,减号变加号。(移项的目的是,把未知项移到和自然数分别放在等 式的两边) (加号一边省略不写例:2X-3=11 其中2X前面的加号就省略了,3前面是减号,移到等式右边要变成加号) 例如:4x -10=10 解: 4x=10+10——(-10从等式左边移到等式右边变成+10) 4x=20 X=20÷4 X=5 4、合并同类项:含有未知数的各个项相加减,自然数相加减 (也可以先把等式两边能够计算的先算出来,再移项) 例如:6X + 7 + 5X = 18 解:11X + 7 = 18 ——(先把含有未知数的量相加减) 11X = 18- 7 ——(把+7移到等式右边变成 -7) 11 X = 11 X = 1 ——(系数化为1)

解分式方程的特殊方法与技巧

分式方程意义及解法 一、容综述: 1.解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程“转化”为整式方程.即分式方程整式方程 2.解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根。所以,必须验根。 产生增根的原因: 当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解. 检验根的方法: (1)将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等。 (2)为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根。必须舍去.注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公分母为0.

用去分母法解分式方程的一般步骤: (i)去分母,将分式方程转化为整式方程; (ii)解所得的整式方程; (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程. 用换元法解分式方程的一般步骤: (i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值; (iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值; (iv)检验做答. 注意: (1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简,把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。 (2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般,即先考虑能否用换元法解,不能用换元法解的,再用去分母法。 (3)无论用什么方法解分式方程,验根都是必不可少的重要步骤。

分式方程概念及解法

分式方程的概念,解法 知识要点梳理 要点一:分式方程的定义 分母里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释: 1.分式方程的三个重要特征:①是方程;②含有分母;③分母里含有未知量。 2.分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数),分母中含有未知数的方程是分式方程,不含有未知数的方程是整式方程,如:关于的方程和 都是分式方程,而关于的方程和都是整式方程。 要点二:分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想 把分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,将分式方程转化为整式方程,然后利用整式方程的解法求解。 2.解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母,即在方程的两边都乘以最简公分母,把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。 (3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不等于零的根是原方程的根,使最简公 分母等于零的根是原方程的增根。 注:分式方程必须验根;增根一定适合分式方程转化后的整式方程,但增根不适合原方程,可使原方程的分母为零。 3. 增根的产生的原因: 对于分式方程,当分式中,分母的值为零时,无意义,所以分式方程,不允许未知数取那些使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的值范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值,那么就会出现增根。 规律方法指导 1.一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解,否则,这个解不是原分式方程的解. 经典例题透析: 类型一:分式方程的定义 1、下列各式中,是分式方程的是() A.B.C.D. 举一反三:

小学六年级-列方程解应用题方法归纳

小学六年级列方程解应用题专项复习 1 列方程解应用题的意义 ★正向思维,把未知量当已知量。 2、方法总结.列方程解应用题的步骤是: (1)审题:弄清题意,确定已知量、未知量及它们的关系; (2)设元:选择适当未知数,用字母表示; (3)列代数式:根据条件,用含所设未知数的代数式表示其他未知量; (4)列方程:利用列代数式时未用过的等量关系,列出方程; (5)解方程:正确运用等式的性质,求出方程的解; (6)检验并答题。 3列方程解应用题的方法 ★综合法:先把应用题中已知数(量)和所设未知数(量)列成有关的代数式,再找出它们之间的等量关系,进而列出方程。这是从部分到整体的一种思维过程,其思考方向是从已知到未知。 ★分析法:先找出等量关系,再根据具体建立等量关系的需要,把应用题中已知数(量)和所设的未知数(量)列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程,其思考方向是从未知到已知。 4列方程解应用题的范围 a一般应用题;b和倍、差倍问题;c几何形体的周长、面积、体积计算; d 分数、百分数应用题; e 比和比例应用题。 5.常见的一般应用题 一、以总量为等量关系建立方程 例题两列火车同时从距离536千米的两地相向而行,4小时相遇,慢车每小时行60千米,快车每小时行多少小时? 解法一:快车4小时行的+慢车4小时行的=总路程 解设:快车小时行X千米 4X+60×4=536 4X+240=536 4X=296 X=74 解法二: 解设:快车小时行X千米 (X+60)×4=536 X+60=536÷4 X=134一60 X=74 答:快车每小时行驶74千米。 练一练 ①降落伞以每秒10米的速度从18000米高空下落,与此同时有一热汽球从地面升起,20 分钟后伞球在空中相遇,热汽球每秒上升多少米? ②甲、乙两个进水管往一个可装8吨水的池里注水,甲管每分钟注水400千克,要想在8 分

解分式方程及增根_无解的典型问题含答案

分式方程 1. 解分式方程的思路是: (1) 在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程。 (2) 解这个整式方程。 (3) 把整式方程的根带入最简公分母,看结果是不是为零,使最简公分母为零的根是原 方程的增根,必须舍去。 (4) 写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 例1:解方程 214111x x x +-=-- 例2:解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+有增根,则常数a 的值。 解:化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根,把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10,解得6a = 所以4a =-或6a =时,原方程产生增根。 方法总结:1.化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。 例3:解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解,则常数a 的值。 解:化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时,整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。 当10a -≠时,整式方程有解。当它的解为增根时原分式方程无解。 把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。 综上所述:当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。 方法总结:1.化为整式方程。 2.把整式方程分为两种情况讨论,整式方程无解和整式方程的解为增根。 例4:若分式方程212 x a x +=--的解是正数,求a 的取值范围。 解:解方程的23a x -=且2x ≠,由题意得不等式组:2-a 032-a 23 >≠解得2a <且4a ≠- 思考:1.若此方程解为非正数呢?答案是多少? 2.若此方程无解a 的值是多少? 方程总结:1. 化为整式方程求根,但是不能是增根。 2.根据题意列不等式组。

列方程解分数应用题 十套

列方程解分数应用题(一) 1、一个人抄一篇稿件,第一次抄1500个字,第二次抄2000个字,还剩下 8 3没有抄,这篇稿件共有多少个字? 2、某机器厂七月份上半月完成月计划的 52,下半月完成月计划的4 3 ,结果超额完成机器6台,原计划生产机器多少台? 3、某筑路队修一条公路,第一天修了全长的 41,第二天修了余下的5 1,这时距中点6千米,这条公路长多少千米? 4、步行者走完2千米及所余路程的一半后,还剩全程的3 1 又2千米,全程共有多少千米? 5、某厂要运走一批化工原料,上午运了52吨,下午运了余下的8 3 ,这一天共运走这批原料的2 1,这批化工原料共有多少吨? 6、一筐苹果,筐占苹果重量的 25 2 ,苹果卖掉48千克后,苹果的重量相当于筐重的 2 1 ,问原来苹果有几千克? 7、一个班早晨到校时缺席人数是出席 人数的 6 1 ,后来一个同学因病请假了,这时缺席的人是出席人数的5 1 。问这个 班有多少名学生? 8、商店运进一批香蕉,第一天卖出全 部的 92,第二天卖出剩下的7 1 ,第三天补进第二天剩下的2 1 ,这时还有香蕉 305千克,问原来有香蕉多少千克?

列方程解分数应用题(二) 1、五年一班有54名学生,女生人数的 52 等于男生人数的2 1,男女生各有多少人? 2、五年级与六年级共有学生270人,五年级学生人数的 52 比六年级学生的4 1 多4人,这两个年级的学生相差多少人? 3、饲养场有牛和羊980头,牛的头数比羊的 5 2 还多28头,问饲养场牛羊各多少头? 4、两根钢筋共长18米,如果把第一根截去 5 1 ,把第二根接长0.9米,那么两根钢筋就一样长了,两根钢筋原来各长几米? 5、一只布袋中装有黑、白、花三种球,黑球的 32与白球同样多,白球的3 2再加3只与花球一样多,黑球比花球多 32只。布袋中有多少只球? 6、某厂共有职工152人,选出男职工的 11 1 和5名女职工去修理厂房,剩下的男女工人数相等,问这个厂男、女职工各多少人? 7、两个仓库共有水泥84吨,如果从甲 仓库取出 5 1 放入乙仓库,那么甲仓库的水泥就比乙仓库的水泥多3 1 ,求两个仓 库原来各有水泥多少吨? 8、一批货物重1000吨,由三个运输队运送到某地,第一队运了这批货物的 52 ,第三队运的是第一、二队运的3 1,三个队各运货物多少吨?

分式方程的几种特殊解法

分式方程的几种特殊解法 白云中学:孙权兵 解分式方程的一般步骤:(1)去分母,化分式方程为整式方程; (2)解整式方程;(3)检验,判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。但在具体求解时却不能死搬硬套,尤其是在解某些特殊的分式方程时,应能根据方程的特点,采用灵活多变的解法,并施以适当的技巧,才能避繁就简,巧妙地将题目解出。下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。 一、加减相消法。 例1、解方程:2017 2018112017201811222++-=++-+x x x x x 。 分析:若直接去分母固然可以求出该题的解,但并不是最佳解题方法。如果我们发现方程两边都加上分式 2017201812++x x ,则可以通过在方程两边都加上分式 2017201812++x x ,就将原方程化简成11 2=+x ,从而轻松获解。 解:原方程两边都加上2017201812++x x ,则可得:112=+x 去分母,得:12+=x 解得:1=x 经检验,1=x 是原分式方程的解。 二、巧用合比性质法。 例2:解方程:7 81222++=++x x x x 。

分析:若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话,则可以利用合比性质将分子化为1,从而可以轻易将方程的解求出。 解:由合比性质可得:7 7-811-2222+++=+++x x x x x x )()()()( ∴ 7 1112+=+x x 去分母并化简得:062=--x x ,即 0)2)(3=+-x x ( 解得:23-==x x 或 经检验,23-==x x 或是原分式方程的解。 三、巧用等比性质法。 例3、解方程:1 3242344++=++x x x x 。 分析:该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数,故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。 解:由等比性质可得: 1324)13()23(2444++=+-++-+x x x x x x )()(。 ∴ 1 3242++=x x 化简得: 02=x ∴ 0=x 经检验,0=x 是原分式方程的解。 四、分组化简法。 例4、解方程:4 1315121+++=+++x x x x 。 分析:此方程若直接通分将会出现高次方程,并且运算过程十分复杂,做法不可取。此题可采用分组组合后各自通分的方法来求解。

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