第一部分 历年高考题
2010年高考题
一、选择题
3.（2010重庆文）（8）若直线y x b =-与曲线2cos ,
sin x y θθ=+??=?（[0,2)θπ∈）有两
个不同的公共点，则实数b 的取值范围为
（A
）(2 （B
）[2 （C
）(,2(2)-∞+∞ （D
）(2 【答案】D
解析：2cos ,
sin x y θθ=+??=?化为普通方程22(2)1x y -+=，表示圆，
1,<
解得222b <法2
：利用数形结合进行分析得22AC b b =-=∴=
同理分析，可知22b <<+4.（2010重庆理）(8) 直线
y=
3
x 与圆心为D 的
圆c o s ,1s i n
x y θθ?=??
=??())0,2θπ?
∈?交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为
A. 76π
B. 54π
C. 43
π D. 53π
【答案】C 解析：数形结合
301-=∠α βπ-+=∠ 302
由圆的性质可知21∠=∠
βπα-+=-∴ 3030
故=
+βα43
π 5.（2010广东文）
6.（2010全国卷1理）（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，
A 、
B 为两切点，那么PA PB ?
的最小值为
(A) 4-3- (C) 4-+3-+
7.（2010安徽理）9、动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀
速旋转，12秒旋转一周。已知时间0t =时，点A
的坐标是1(22
，则当012
t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是 A 、[]0,1 B 、[]1,7
C 、[]7,12
D 、[]0,1和[]7,12
【答案】 D
【解析】画出图形，设动点A 与x 轴正方向夹角为α，则0t =时3
π
α=，每秒
钟旋转
6
π，在[]0,1t ∈上[,]32ππα∈，在[]7,12上37[,]23ππ
α∈，动点A 的纵坐标
y 关于t 都是单调递增的。
【方法技巧】由动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t 在[0,12]变化时，点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间. 二、填空题
3.（2010全国卷2理）（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ． 【答案】3
【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.
【解析】设E 为AB 的中点，则O ，E ，M ，N 四点共面，如图，∵4AB =
，所以
OE ==
，∴OM ME,ON NE ⊥⊥，∵3OM ON ==，所以MEO ?与NEO ?全等，所以MN
被OE 垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得，ME MO
MN=23OE
= 4.（2010全国卷2文）（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆
N 的公共弦，4AB =，若3O M O N ==
，则两圆圆
心的距离MN = 。
【解析】3：本题考查球、直线与圆的基础知识
∵ ON=3，球半径为4，∴小圆N N 中弦长AB=4，作NE
垂直于AB ，∴同理可得ME ，在直角三角形ONE 中，∵ON=3，∴
6EON π
∠=
，∴
3MON π
∠=
，∴ MN=3
5.（2010山东文）（16） 已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直
线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为，则圆C 的标准方程为 . 答案：
6.（2010四川理）（14）直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则
AB ∣∣= .
解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为
圆心到直线250x y -+=的距离为d
=
故|AB |2
22(
)+=2
得|AB |＝2 3 答案：2 3
7.（2010天津文）（14）已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切。则圆C 的方程为 。 【答案】22(1)2x y ++=
本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。
令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x 轴的交点为（-1.0）
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
r ==所以圆C 的方程为22(1)2x y ++=
【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。
10.（2010山东理）
【解析】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：
2
2+2=(a-1)
，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为x+y-3=0。
【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。
12.（2010江苏卷）9、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是___________ [解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2， 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，||
113
c <，c 的取值范围是（-13，13）。
2009年高考题
一、选择题 1.（辽宁理，4）已知圆C 与直线x －y =0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x +y =0上，则圆C 的方程为
A.22(1)(1)2x y ++-=
B. 22(1)(1)2x y -++=
C.22(1)(1)2x y -+-=
D. 22(1)(1)2x y +++=
【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B
2.（重庆理，1）直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离
【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=
的距离2d =
=
，而012
<
<，选B 。 【答案】B
4.（上海文，17）点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是 （ ）
A.22(2)(1)1x y -++=
B.22(2)(1)4x y -++=
C.22(4)(2)4x y ++-=
D.22(2)(1)1x y ++-=
【解析】设圆上任一点为Q （s ，t ），PQ 的中点为A （x ，y ）
解得：???+=-=224
2y t x s ，代入圆方程，得（2x －4）2＋（2y ＋2）2＝4，整理，得：
22(2)(1)1x y -++= 【答案】A
5. （上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ）
A. 1或3
B.1或5
C.3或5
D.1或2
【解析】当k ＝3时，两直线平行，当k ≠3
时，由两直线平行，斜率相等，得：
k －3，解得：k ＝5，故选C 。 C
6. (上海文，18)过圆22(1)(1)1C x y -+-=：的圆心，作直线分
别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB ?被圆分成四部分（如图）， 若这四部分图形面积满足|||,S S S S I ∏+=+￥则直线AB 有（ ） （A ） 0条 （B ） 1条 （C ） 2条 （D ） 3条 【解析】由已知，得：,IV II III I S S S S -=-，第II ，IV 部分的面 积是定值，所以，IV II S S -为定值，即,III I S S -为定值，当直线
AB 绕着圆心C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线 AB 只有一条，故选B 。 【答案】B 二、填空题
10. （天津文，14）若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则a =________.
【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为a
y 1
=
， 利用圆心（0，0）到直线的距离d 1
|1
|
a =为1322
2=-，解得a =1.
【答案】1
12.（全国Ⅱ理16）已知AC BD 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，垂
足为(M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为 。 【解析】设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222123d d OM ==+. 四边形ABCD
的面积22121
||||8()52
S AB CD d d =?=≤-+= 【答案】5
13.（全国Ⅱ文15）已知圆O ：522=+y x 和点A （1，2），则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
【解析】由题意可直接求出切线方程为y -2=2
1
-(x -1)，即x +2y -5=0,从而求出
在两坐标轴上的截距分别是5和25，所以所求面积为4
25
52521=??。
【答案】 25
4
14.（湖北文14）过原点O 作圆x 2+y 2-－6x －8y ＋20=0的两条切线，设切点分别
为P 、Q ，
则线段PQ 的长为 。
【解析】可得圆方程是22(3)(4)5x y -+-=又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得4PQ =. 【答案】4
15.（江西理16）．设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对于下列四个命题：
A ．M 中所有直线均经过一个定点
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形,其所有边均在M 中的直线上
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
【解析】因为cos (2)sin
1x y θθ+-=所以点(0,2)P 到M 中每条直线的距离
1d =
=
即M 为圆C :22(2)1x y +-=的全体切线组成的集合,从而M 中存在两条平行直线,
所以A 错误；
又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B 正确； 对任意3n ≥,存在正n 边形使其内切圆为圆C ,故C 正确；
M 中边能组成两个大小不同的正三角形ABC 和AEF ,故D 错误, 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】,B C
三、解答题
16.（2009江苏卷18）（本小题满分16分）
在平面直角坐标系x o y 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆
222:(4)(5)4C x y -+-=.
（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为
求直线l 的方程；
（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。 解 (1)设直线l 的方程为：(4)y k x =-，即40kx y k --= 由垂径定理，得：圆心1C 到直线l
的距离1d ==，
1,=
化简得：272470,0,,24
k k k or k +===- 求直线l 的方程为：0y =或7
(4)24
y x =-
-，即0y =或724280x y +-= (2) 设点P 坐标为(,)m n ，直线1l 、2l 的方程分别为：
1(),()y n k x m y n x m k -=--=--，即：11
0,0kx y n km x y n m k k
-+-=--++=
因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等。
由垂径定理，得：：圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等。
41|5|
n m --++=
化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或
关于k 的方程有无穷多解，有：20,30m n m n --=????
--=??m-n+8=0
或m+n-5=0 解之得：点P 坐标为313(,)22
-或51(,)2
2
-。
2005—2008年高考题
一、选择题
1.（2008年全国Ⅱ理11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与
x-7y-4=0,
原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为
（ ）.
A ．3
B ．2
C ．1
3
-
D ．12
-
答案 A
解析 1,02:11-==-+k y x l ，7
1,047:22=
=--k y x l ，设底边为kx y l =:3 由题意，3l 到1l 所成的角等于2l 到3l 所成的角于是有
3
71
711112211+-=-+?+-=+-k k k k k k k k k k k
再将A 、B 、C 、D 代入验证得正确答案 是A 。
2.（2008年全国Ⅱ文3）原点到直线052=-+y x 的距离为
（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．5
答案 D 解析 52
152
=+-=
d 。
3.（2008四川４）将直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位长度，所得到的直线为
( )
A.11
33
y x =-+
B.1
13y x =-+
C.33y x =-
D.1
13
y x =+
答案 A
4.（2008上海15）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称
P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这
样的点Q 组成的集合是劣弧 （ ） Ａ． B ．
C ．
D ．
答案 D
5.（2007重庆文）若直线 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°（其中O 为原点），则k 的值为
（ ） A.-3或3 B.3
C.-2或2
D.2
答案 A
6.（2007天津文）“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的 （ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 C
7．（2006年江苏）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是 （ ）
A.x －y ＝0
B.x ＋y ＝0
C.x ＝0
D.y ＝0
答案 C
8. （2005湖南文）设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数
中每次取两个不同的数作为A 、 B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ）
A ．20
B ．19
C ．18
D ．16 答案 C
9. (2005全国Ⅰ文)设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是 工
（ ）
A.1±
B.2
1±
C.3
3± D.3±
答案 C
10.（2005辽宁）若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后与圆522=+y x 相
切，
则c
的
值为
（ ） A ．8或－2
B ．6或－4
C ．4或－6
D ．2或－8
答案 A 11.（2005北京文）“m=
2
1
”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 ( )
A.充分必要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件 答案 B 二、填空题
12. （2008天津文15，）已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线y=x+1对称，直
线3x+4y-11=0
与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为_______. 答案 22(1)18x y ++=
13.（2008四川文14）已知直线:40l x y -+=与圆()()22
:112C x y -+-=，则C
上各点到l 的距离的最小值为_______. 答案 2
14.（2008广东理11）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直
的直线
程是 ． 答案 10x y -+=
15.（2007上海文）如图，A B ，是直线l 的动圆分别与l 相切于A B ，点，C 与线段AB 围成图形面积S 答案 ?? ??-22,0π 16.（2007湖南理）圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是 ．
答案 (x-1)2+(y-1)2
=2
17. ( 2006重庆理)已知变量x,y 满足约束条件1≤x +y ≤4,-2≤x -y ≤2.若目标函
数z=ax+y(其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为___. 答案 a ＞1
18.（2005江西）设实数x,y 满足的最大值是则x y y y x y x ,0
320420
2??
?
??≤-≥-+≤-- .
答案
23
第二部分 四年联考汇编
2010年联考题 题组二（5月份更新）
1.（马鞍山学业水平测试）如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是 A. (0,+∞)
B. (0,2)
C. (1,+∞)
D.
(0,1) 答案 D
2.（池州市七校元旦调研）已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( )
(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 答案 B
解:设切点00(,)P x y ，则0000ln 1,()y x a y x =+=+,又0'
01
|1x x y x a
==
=+ 00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案选B
3.曲线21
x
y x =-在点()1,1处的切线方程为 （ ）
A. 20x y --=
B. 20x y +-=
C.450x y +-=
D. 450x y --=
答案 B 解：111
222121
||[]|1(21)(21)
x x x x x y x x ===--'=
=-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B.
4.（昆明一中三次月考理）),(y x P 是圆1)1(22=-+y x 上任意一点，若不等式
0≥++c y x 恒成立，则c 的取值范围是
A ．]12,21[---
B ．),12[+∞-
C ．),21[+∞-
D ．)12,21(---
答案：B
5.（岳野两校联考）若直线4mx ny +=和圆O ：42
2=+y x 没有交点，则过点(,)
m n 的直线与椭圆22
194x y +=的交点个数为（ ）
A ．至多一个
B ．2个
C ．1个
D ．0个 答案 B
6．（昆明一中四次月考理）已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 、B 两点，O
是坐标原点，向量OA 、OB 满足||||OA OB OA OB +=-
，则实数a 的值是（ ） （A ）2 （B ）2- （C
或 （D ）2或2- 答案：D 7．（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）圆C 的方程为
22(2)4x y -+=，圆M 的方程为22(25cos )(5sin )1x y θθ--+-=()R θ∈，过圆
M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则PE PF
?
的最小值是 （ ）
A ．12
B ．10
C ．6
D ．5
答案C
8.（马鞍山学业水平测试）如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线
322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是 .
答案 )4
13,(-
-∞. 9．
（安庆市四校元旦联考）已知点M （－3，0），N （3，0），B （1，0），圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为 .
答案 )1(18
2
2
>=-x y x 10. （安庆市四校元旦联考）设直线1l 的方程为022=-+y x ，将直线1l 绕原点
按逆时针方向旋转 90得到直线2l ，则2l 的方程是 。
答案 022=+-y x
11．（安庆市四校元旦联考）（本题满分16分）如图，在矩形ABCD 中，
1AB BC =，以A 为圆心1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部分）
（Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分矩形ABCD 的面积； （Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DC 都相切，试确定M 的位置，使圆M 为矩形内部面积最大的圆．
解（Ⅰ）以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．
设()00,y x P ，()
0,3B ，()1,0D ，圆弧DE 的方程()0,0122≥≥=+y x y x 切线l 的方程：100=+y y x x （可以推导：设直线l 的斜率为k ，由直线l 与圆弧DE 相切知：l AP ⊥，所以0
y x k -
=，从而有直线l 的方程为()00
0x x y x y y --
=-，化简即得100=+y y x x ）． 设l 与CD AB 、交于G F 、可求F （0
1
,0x ），
G （001
,1y x -）， l 平分矩形ABCD
面积，
∴0
0000
1120y FB GN y x x -=?=
?+-= ……① 又
22
001x y +=……② 解①、②得：0011
,()2222
x y P =
=∴． （Ⅱ）由题（Ⅰ）可知：切线l 20y +-=，
当满足题意的圆M 面积最大时必与边BC 相切，设圆M 与直线l 、
DC BC 、分别切于T Q R 、、，则r MQ MT MR ===（r 为圆M 的半径）．
∴
M ,1)r r -，
1(),r r r =?==
舍． ∴M
点坐标为3(
,33
． 注意：直线与圆应注意常见问题的处理方法，例如圆的切线、弦长等，同时应
注重结合图形加以分析，寻找解题思路。
题组一（1月份更新）
一、选择题
1、（2009金华十校3月模拟）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是
A 10x y ++=
B 10x y +-=
C 10x y -+= D
10x y --=
答案 C 2、（2009临沂一模）已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 A
、2
C
、、2 答案 D
3、（2009嘉兴一中一模）“2=m ”是“直线m x y +=与圆122=+y x 相切”的（ ）
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 答案 A
4、（2009日照一模）已知圆222410x y x y ++-+=关于直线
220(,a x b y a b R -
+=∈对称，则
ab 的取值范围是 A ．1(,]4-∞ B ．1(0,)4 C ．1(,0)4- D ．1
[,)4
-+∞
答案 A
5、（2009青岛一模）已知直线2x =及4x =与函数2log y x =图像的交点分别为
,A B ，与函数lg y x =图像的交点分别为,C D ，则直线AB 与CD
A.相交，且交点在第I 象限
B.相交，且交点在第II 象限
C.相交，且交点在第IV 象限
D.相交，且交点在坐标原点 答案 D
6、（20009泰安一模）若PQ 是圆22x 9y +=的弦，PQ 的中点是（1,2）则直线PQ 的方程是
（A ）230x y +-= （B ）250x y +-= （C ）240x y -+= （D ）20x y -= 答案 B
7、（2009金华一中2月月考）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）.
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D 430x y ++= 答案 A
8、（2009潍坊一模）若PQ 是圆22x 9y +=的弦，PQ 的中点是（1,2）则直线PQ 的方程是
（A ）230x y +-= （B ）250x y +-= （C ）240x y -+= （D ）20x y -= 答案 B
9、（2009枣庄一模）将圆x y x 沿122=+轴正方向平移1个单位后得到圆C ，若
过点（3，0）的直线l 和圆C 相切，则直线l 的斜率为
（ ）
A ．3
B ．3±
C ．
3
3
D ．3
3±
答案 D
10、（2009上海十校联考）圆2286160x y x y +-++=与圆2264x y +=的位置关系是 ( )
(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外
切 答案 C
11、（2009滨州一模）已知直线422=+=+y x a y x 与圆交于A 、B 两点，且
||||-=+，其中O 为原点，则实数a 的值为
A ．2
B ．－2
C ．2或－2
D 或
答案 C
二、填空题 1、（2009上海十四校联考）
若直线c y x c y x 则相切平移后与圆按向量,5)1,1(0222=+-==+-的值为 答案 －2或8
2、（2009上海卢湾区4月模考）若点00(,)M x y 是圆222x y r +=内异于圆心的点，则直线
200x x y y r +=与该圆的位置关系是 答案 相离
3、（2009杭州高中第六次月考）已知直线422=+=+y x a y x 与圆交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB 满足||||OB OA OB OA -=+，则实数a 的值是_____________． 答案 ±2
4、（2009上海八校联考）已知实数0a >，直线l 过点22P -(,)，且垂直于向量
(3,3)m =-
，若直线l 与圆02222=-+-+a a ax y x 相交，则实数a 的取值范围是________________。 答案 82< 5、（2009上海青浦区）直线013=+-y x 的倾斜角为 ． 答案 3 π 6、（2009上海奉贤区）设实数y x ,满足1)1(22=-+y x ，若对满足条件y x ,，不等式0≥++c y x 恒成立，则c 的取值范围是 答案 1,)+∞ 7、（2009滨州一模）如果直线y ＝kx ＋1与圆0422=-+++my kx y x 交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，若),(b a P 为平面区域 ??? ??≥≤-≥+-0 00 1y m y kx y kx 内任意一点，则 11-+a b 的取值范围是 . 答案 ] 21 ,1[-- 三、解答题 1、（2009金华一中2月月考）设点)23,0(F ，动圆P 经过点F 且和直线2 3 - =y 相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线w . （1） 求曲线w 的方程 （2） 过点F 作互相垂直的直线1l 、2l ，分别交曲线w 于A 、C 和B 、D 四个点，求四边形ABCD 面积的最小值。 解：（1）W ：x 2=6y （2）设AC ：223(0)692 6y kx k x kx x y ? =+≠? ?--??=? 设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2） |AC|=6（k 2+1） 同理|BD|=621 (1)k + S ABCD =2222111||||6(1)6(1)221 18(2)18(22)72 AC BD k k k k =?+?+=++≥+= 当k=±1时取等号 2009年联考题 一、选择题 1.(西南师大附中高2009级第三次月考)“a = 3”是“直线210ax y --=与直线 640x y c -+=平行”的（ ）条件 A ．充要 B ．充分而不必要 C ．必要而不充分 D ．既不充分也不必 要 答案 C 2.(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)直线x+y+1=0与圆 ()2122=+-y x 的位置关系是 （ ） A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定 答案 C 3.(西南师大附中高2009级第三次月考)两圆32cos 3cos 42sin 3sin x x y y θθ θθ=-+=??? ?=+=?? 与的位置 关 系 是 （ ） A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 答案 B 4. (西南师大附中高2009级第三次月考)已知点P （x ，y ）是直线kx +y +4 = 0（k > 0）上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 （ ） A ．3 B C ． D ．2 答案 D 5. (福建省南安一中、安溪一中、养正中学2009届高三期中联考)已知实系数 方程x 2+ax+2b=0, 的一个根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则2 1 b a --的取值范围是 （ ） 高一数学归纳法分析及解题步骤 当我第一遍读一本好书的时候，我仿佛觉得找到了一个朋友;当我再一次读这本书的时候，仿佛又和老朋友重逢。我们要把读书当作一种乐趣，并自觉把读书和学习结合起来，做到博览、精思、熟读，更好地指导自己的学习，让自己不断成长。让我们一起到一起学习吧! 高一数学归纳法 《2.3数学归纳法》教学设计 青海湟川中学刘岩 一、【教材分析】 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2(人教A 版)》第二章第三节《2.3数学归纳法》。在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的问题。 二、【学情分析】 我校的学生基础较好，思维活跃。学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是从骨牌游戏原理启发得到数学方法的 过程有困难;二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。 三、【策略分析】 本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究的学习方式;注重提高学生的数学思维能力;体验从实际生活理论实际应用的过程;采用教师引导学生探索相结合的教学方法，在教与学的和谐统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合。 四、【教学目标】 (1)知识与技能目标： ①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤; ②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。 (2)过程与方法目标： 努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。 (3)情感态度与价值观目标： 通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。 五、【教学重难点】 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) （7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ =，则cos2α= (A) （B ） (C) (D) （8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)1 4（B） 3 5 (C) 3 4 (D) 4 5 （9）已知x=lnπ，y=log52， 1 2 z=e，则 (A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x (10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 （11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （A）12种（B）18种（C）24种（D）36种 （12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝7 3。动点P从 E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为 （A）16（B）14（C）12(D)10 二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若x，y 满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。 （14）当函数取得最大值时，x=___________。 （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。 （16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c。 归纳法基本步骤 （一）第一数学归纳法： 一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。 （二）第二数学归纳法： 对于某个与自然数有关的命题P(n)， （1）验证n=n0时P(n)成立； （2）假设n0≤n 历年高考真题（数学文化） 1.（2019湖北·理）常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数， 如他们研究过图1中的1， 3， 6， 10， …， 由于这些数能表示成三角形， 将其称为三角形数；类似地， 称图2中的1， 4， 9， 16…这样的数为正方形数， 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.（2019湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337 升 3.（2019湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 升. 4.（2019?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之， 九而一， 所得开立方除之， 即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V ， 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π =3.14159…..判断， 下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.（2019?湖北）在平面直角坐标系中， 若点P （x ， y ）的坐标x ， y 均为整数， 则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点， 则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ， 其内部的格点数记为N ， 边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形， 对应的S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的S ， N ， L 分别是________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a ， b ， c 为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18， 则S=________（用数值作答）． 6.（2019?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周， 令相乘也， 又以高乘之， 三十六成一， 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ， 计算其体积 §数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在 由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力． 5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n 2015年江苏省高考数学试卷 一、填空题 1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A B U 中元素的个数为_______. 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________. 5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量()21a =r ，，()2a =-r 1，， 若()()98ma nb mn R +=-∈r r ，，则m-n 的值为______. 7.不等式224x x -<的解集为________. 8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+= ，则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为。 10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。 11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{ n a 的前10项和为。 12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。若点P 到直线 01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为。 13.已知函数|ln |)(x x f =，? ? ?>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为。 14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos Λ=+=k k k k a k πππ，则∑=+?1201)(k k k a a 的值为。 15.在ABC V 中，已知2,3,60.AB AC A ===o 2015年高考数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．（5分）（2015?原题）复数i（2﹣i）=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．（5分）（2015?原题）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（） A．0 B．1 C．D．2 3．（5分）（2015?原题）执行如图所示的程序框图输出的结果为（） A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8） 4．（5分）（2015?原题）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5分）（2015?原题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（） A．2+B．4+C．2+2D．5 6．（5分）（2015?原题）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 7．（5分）（2015?原题）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（） A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2} 8．（5分）（2015?原题）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（） A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 数学归纳法经典练习及 解答过程 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 第七节数学归纳法 知识点数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立． (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．易误提醒运用数学归纳法应注意： (1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值． (2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． [自测练习] 1．已知f(n)＝1 n ＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 n2 ，则( ) A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 解析：从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项，且f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 ，故选D. 答案：D 2．(2016·黄山质检)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1 n ＋1 ＝ 2? ???? 1n ＋2＋1n ＋4 ＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立( ) A ．k ＋1 B ．k ＋2 C ．2k ＋2 D ．2(k ＋2) 解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n ＝k (k ≥2为偶数)下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B 考点一 用数学归纳法证明等式| 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)． 当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·2k ·(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2·(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1) ＝2·2k ·1·3·5·…·(2k －1)·(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)． 这就是说当n ＝k ＋1时，等式成立． 根据(1)，(2)知，对n ∈N *，原等式成立． 1．用数学归纳法证明下面的等式： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n ?n ＋1? 2 . 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0 ·1×?1＋1? 2 ＝1， ∴原等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立， 历年高考数学真题全国 卷版 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24 y =1 D 212x +2 4y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项 和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 参考公式：如 果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A B ) P(A)P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立，那么P(A B)P(A)P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么V 3 4 R3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 P(k)C n k n p k(1p)n k(k 0,1,2,…n) 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、复数 13i 1i = A2+I B2-I C1+2i D1-2i 2、已知集合A＝{1.3.m}，B＝{1，m},A B＝A,则m= A0或3B0 或3C1或3D1或3 3椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为x2y2x2y2 A+=1 B+=1 1612128 x2y2x2y2 C+=1D+=1 84124 4已知正四棱柱ABCD-A B C D中，AB=2，CC= 11111与平面BED的距离为22E为CC的中点，则直线AC 1 1 A2B3C2D1 （5）已知等差数列{a}的前n项和为S，a =5，S=15，则数列 n n55 的前100项和为 (A)100 101 (B) 99 101 (C) 99101 (D) 100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) 3 （7）已知α 为第二象限角，sin α ＋sin β = ，则 cos2α = (A) - 5 3 （B ） - 5 5 5 9 9 3 （8）已知 F1、F2 为双曲线 C ：x 2-y 2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则 cos ∠F1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 （B ） 5 (C) 4 (D) 5 1 （9）已知 x=ln π ，y=log52， ，则 (A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x (10) 已知函数 y ＝x 2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝ （A ）-2 或 2 （B ）-9 或 3 （C ）-1 或 1 （D ）-3 或 1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同， 则不同的排列方法共有 （A ）12 种（B ）18 种（C ）24 种（D ）36 种 7 （12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE ＝BF ＝ 。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入 射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若 x ，y 满足约束条件 （14）当函数 则 z=3x-y 的最小值为_________。 取得最大值时，x=___________。 （15）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 _________。 （16）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求 c 。 3 (C) (D) z=e 2 3 全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A = “数学归纳法”教学设计 一、教材与内容解析 （一）内容与内容解析 数学归纳法是人教B版普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第三节的内容。本节课的主要内容是介绍数学归纳法的原理。 由于正整数具有无穷无尽的特点，有些关于正整数n的命题,难以对n进行一一的验证，从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论，这是数学归纳法产生的根源。 数学归纳法是一种证明与正整数n有关命题的重要方法。它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目的的工具就是递推思想。 数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推。递推是实现从有限到无限飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上。 数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法，是归纳法与演绎法的完善结合．这也许是数学归纳法不是归纳法但又叫“数学归纳法”的原因． （二）地位与作用解析 从应用上看，数学归纳法是解决与正整数有关命题的一种推理方法，它将无限多个归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的重要工具。数学归纳法本质是归纳递推，但它与归纳法有着一定程度的关联。在数学结论的发现过程中，不完全归纳法发现结论，最终利用数学归纳法证明解决问题。 从思想方法上看，数学归纳法蕴含了无限转化为有限的思想，体现了奠基、递推、总结一体的整体思想。 从美学上看，数学归纳法展现了无限与有限的统一美；揭示了有限推证无限，把无限“沦为”有限的思维美；数学归纳法的发展历程展现了数学文化美。 二、教学问题诊断 1．学生已有的经验和基础：(1)学生已有数学归纳法的萌芽和相关经验．虽然学生没有正式学过数学归纳法，但小学的数数、找一列数的规律、高中等差数列和等比数列通项公式的推导过程等等，都蕴含着数学归纳法的萌芽和基础．(2)学生已经有用具有代表性的元素来代替任意的、无穷多的元素的经验．如在线面垂直的定义和证明中，用“平面内 教材背景： 归纳是一种由特殊事例导出一般规律的思维方法．归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种．不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的．完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来．数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种推理方法，在数学问题的解决中有着广泛的应用． 教学课题：数学归纳法 教材分析： “数学归纳法”既是高中代数中的一个重点和难点容，也是一种重要的数学方法。它贯通了高中代数的几大知识点：不等式，数列，三角函数……在教学过程中，教师应着力解决的容是：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤（特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用）。只有真正了解了数学归纳法的实质，掌握了证题步骤，学生才能信之不疑，才能用它灵活证明相关问题。本节课是数学归纳法的第一节课，有两大难点：使学生理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中归纳假设的利用。不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。这会对以后的学习造成极大的阻碍。根据本节课的教学容和学生实际水平，本节课采用“引导发现法”和“讲练结合法”。通过课件的动画模拟展示，引发和开启学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深层实质。 教学目标 1、知识和技能目标 (1)了解数学推理的常用方法（归纳法） (2)了解数学归纳法的原理及使用围。 (3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。 (4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题。 2、过程与方法目标 通过对归纳法的复习，说明不完全归纳法的弊端，通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。 参考公式： 如果事件 A、 B互斥，那么球的表面积公式P(A B) P(A) P(B)S 4R2 如果事件 A、 B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A B) P( A) P( B)球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p ，那么V 3 R3 4 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生k次的概率其中R表示球的半径P n (k ) C n k p k (1 p)n k (k0,1,2, ? n) 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 13i 1、复数 i = 1 A 2+I B2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合 A ＝{1.3.m }，B＝{1，m} ,A B ＝ A, 则 m= A0或3 B 0或3C1或3 D 1或3 3椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为 x=-4 ，则该椭圆的方程为 A x2y2 =1B x2y2 =1 16 ++ 12128 C x2y2 =1D x2y2 8 + 12 +=1 44 4已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C1D1中，AB=2 ，CC1= 2 2 E 为 CC1的中点，则直线 AC 1与平面 BED 的距离为 A2B3C2D1 （5）已知等差数列{a n} 的前 n 项和为 S n， a5=5， S5=15，则数列的前100项和为 10099 (C)99101 (A)(B)(D) 100 101101100 （6）△ ABC 中， AB 边的高为 CD ，若a· b=0， |a|=1， |b|=2，则(A)（B）(C)(D) 3 （7）已知 α 为第二象限角， sin α ＋ sin β = 3 ，则 cos2α = - 5 - 5 5 5 (A) 3 （ B ） 9 (C) 9 (D) 3 （8）已知 F1、 F2 为双曲线 C ： x2-y2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上， |PF1|=|2PF2|，则 cos ∠ F 1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 （B ） 5 (C) 4 (D) 5 1 （ 9）已知 x=ln π ， y=log52 ， z=e 2 ，则 (A)x ＜ y ＜ z （ B ） z ＜ x ＜ y (C)z ＜ y ＜ x (D)y ＜ z ＜ x (10) 已知函数 y ＝ x2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝ （A ）-2 或 2 （B ）-9 或 3 （C ）-1 或 1 （D ）-3 或 1 （ 11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列， 要求每行的字母互不相同， 梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （ A ）12 种（ B ）18 种（ C ）24 种（ D ）36 种 7 （12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上， AE ＝ BF ＝ 3 。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹， 反弹时反射等于入 射角，当点 P 第一次碰到 E 时， P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ） 16（ B ） 14（ C ） 12(D)10 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若 x ， y 满足约束条件 则 z=3x-y 的最小值为 _________。 （14 ）当函数 取得最大值时， x=___________ 。 （15 ）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 _________。 （16 ）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=50 ° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 ____________。 三.解答题： （17 ）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，已知 cos （ A-C ）＋ cosB=1 ， a=2c ，求 c 。 历届高考中的“指数函数和对数函数”试题精选 一、选择题：（每小题6分，计102分。请将正确答案的代号填入下表） 1．（2008北京文）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） （A ）a>b >c （B ）b>a >c （C ）c>a >b （D ）b>c >a 2．(2008辽宁文、理)将函数21x y =+的图象按向量a 平移得到函数1 2x y +=的图象，则（ ） A ．(11)=--，a B ．(11)=-，a C ．(11)=，a D ．(11)=-，a 3．(2008江西文)若01x y <<<，则（ ） A ．33y x < B ．log 3log 3x y < C ．44log log x y < D ．11()()44 x y < 4（2007天津文）设12 log 3a =，0.2 13b ?? = ???，1 32c =，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c << 5.（007全国Ⅱ文、理）以下四个数中的最大者是（ ） (A) (ln2)2 (B) ln(ln2) (C) ln 2 (D) ln2 6、（2006广东）函数2 ()lg(31) f x x = ++的定义域是（ ） A.1 (,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3 -∞- 7．（2006陕西文）设函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0，a ≠1)的图象过点（0，0），其反函数过点（1，2）， 则a +b 等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．(2005天津文)已知c a b 2 1212 1log log log <<，则( ) A ．c a b 222>> B ．c b a 222>> C ．a b c 222>> D ．b a c 222>> 9．（2005山东文、理）下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（ ） （A ）()sin f x x = (B) ()1f x x =-+ 数学归纳法 2015高考会这样考 1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力． 复习备考要这样做 1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数学归纳法的证题步骤． 一、知识梳理 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0 (n 0∈N *)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫作数学归纳法． [难点正本 疑点清源] 1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n ＝n 0的n 0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． 小试牛刀 1．凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 答案 π 解析 易得f (k ＋1)＝f (k )＋π. 2．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋1 2n －1 备课 时间 教学 课题 教时 计划 1 教学 课时 1 教学 目标 1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力． 2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤． 3．抽象思维和概括能力进一步得到提高． 重点难点 重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一 些与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题。 难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作 用，不易根据归纳假设作出证明； 2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。 教学过程 （一）创设情景 对于数列{an}，已知11=a ， a a a n n n +=+11(n=1,2,…), 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式为n a n 1= 。这个猜想是否正确需要证明。 一般来说，与正整数n 有关的命题，当n 比较小时可以逐个验证，但当n 较大时，验证就很麻烦。特别是n 可取所有正整数时逐一验证是不可能的。因此，我们需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数都成立。 （二）研探新知 1、了解多米诺骨牌游戏。 可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 思考：你认为条件（2）的作用是什么？ 可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系： 当第k 块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。 这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证（1）（2）成立。 2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。 思考：你认为证明数列的通过公式是n a n 1= 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能 类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 分析： 多米诺骨牌游戏原理 通项公式 n a n 1= 的证明方法 （1）第一块骨牌倒下。 （1）当n=1时a1=1，猜想成立 （2）若第k 块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。 （2）若当n=k 时猜想成立，即 k a k 1= ，则当n=k+1时猜想也成立，即 111+=+k a k 。高一数学归纳法分析及解题步骤
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