第十二节
导数的应用(一)
[知识能否忆起]
1．函数的单调性
在(a ，b )内可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.
f ′(x )≥0?f (x )在(a ，b )上为增函数． f ′(x )≤0?f (x )在(a ，b )上为减函数．
2．函数的极值 (1)函数的极小值：
函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其它点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值
(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)若函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
解析：选D ∵f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋3，f ′(－3)＝0， ∴a ＝5.
2．(2012·辽宁高考)函数y ＝12x 2
－ln x 的单调递减区间为( )
A ．(－1,1]
B ．(0,1]
C ．[1，＋∞)
D ．(0，＋∞)
解析：选B 函数y ＝12
x 2
－ln x 的定义域为(0，＋∞)，
y ′＝x －1x
＝
x －1x ＋1x
，令y ′≤0，则可得0 3．(2012·陕西高考)设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 解析：选D 求导得f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，令f ′(x )＝e x (x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点． 4．函数f (x )＝x 3 3＋x 2 －3x －4在[0,2]上的最小值是________． 解析：f ′(x )＝x 2 ＋2x －3，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]， 得x ＝1.比较f (0)＝－4，f (1)＝－17 3 ， f (2)＝－10 3.可知最小值为－173 . 答案：－17 3 5．已知a >0，函数f (x )＝x 3 －ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________． 解析：f ′(x )＝3x 2 －a 在x ∈[1，＋∞)上f ′(x )≥0， 则f ′(1)≥0?a ≤3. 答案：3 1.f ′(x )>0与f (x )为增函数的关系：f ′(x )>0能推出f (x )为增函数，但反之不一定．如函数f (x )＝x 3 在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0，所以f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分 不必要条件． 2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即 f ′(x 0)＝0是可导函数f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y ＝x 3 在x ＝0 处有y ′|x ＝0＝0，但x ＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点． 3．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数 的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较． 典题导入 [例1] (2012·山东高考改编)已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间． [自主解答] (1)由f (x )＝ ln x ＋k e x ， 得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x ，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝ 1 x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)， 当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x >0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． 由题悟法 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )，令f ′(x )＝0，求出它在定义域内的一切实数根； (3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间； (4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小开区间内的增减性． 以题试法 1．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2 ＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间； (2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x， ∴f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x. 令f′(x)＞0，即(－x2＋2)e x＞0， ∵e x＞0，∴－x2＋2＞0，解得－2＜x＜ 2. ∴函数f(x)的单调递增区间是(－2，2)． (2)若函数f(x)在R上单调递减， 则f′(x)≤0对x∈R都成立， 即[－x2＋(a－2)x＋a]e x≤0对x∈R都成立． ∵e x＞0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立． ∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的． 故不存在a使函数f(x)在R上单调递减． 典题导入 [例2] (2012·江苏高考)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点． (1)求a和b的值； (2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点． [自主解答] (1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0， f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2. 当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点． 所以g(x)的极值点为－2. 由题悟法 求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格； (4)由f ′(x )＝0根的两侧导数的符号来判断f ′(x )在这个根处取极值的情况． 以题试法 2．设f (x )＝2x 3 ＋ax 2 ＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－1 2 对称，且f ′(1)＝0. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值． 解：(1)因为f (x )＝2x 3 ＋ax 2 ＋bx ＋1， 故f ′(x )＝6x 2 ＋2ax ＋b ， 从而f ′(x )＝6? ?? ??x ＋a 62 ＋b －a 2 6， 即y ＝f ′(x )关于直线x ＝－a 6 对称． 从而由题设条件知－a 6＝－1 2 ，即a ＝3. 又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0， 得b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝2x 3 ＋3x 2 －12x ＋1， 所以f ′(x )＝6x 2 ＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0， 即6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x ＝－2或x ＝1， 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－∞，－2)上单调递增； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )<0， 即f (x )在(－2,1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 从而函数f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝21， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－6. 典题导入 [例3] 已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间； (2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． [自主解答] (1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1. f (x )与f ′(x )的情况如下： 所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)． (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0 由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1 ； 当k －1≥1时，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 本题条件不变，求f (x )在区间[0,1]上的最大值． 解：当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增． 所以f (x )在[0,1]上的最大值为f (1)＝(1－k )e. 当0 由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最大值为f (0)和f (1)较大者．若f (0)＝f (1)，所以－k ＝(1－k )e ，即k ＝e e －1 . 当1 e －1≤k <2时，函数 f (x )的最 大值为f (0)＝－k ， 当k －1≥1时，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减． 所以f (x )在[0,1]上的最大值为f (0)＝－k . 综上所述，当k e －1时， f (x )的最大值为f (1)＝(1－k )e. 当k ≥ e e －1 时，f (x )的最大值为f (0)＝－k . 由题悟法 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )； (3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 以题试法 3． (2012·重庆高考)已知函数f (x )＝ax 3 ＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值； (2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值． 解：(1)因f (x )＝ax 3 ＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2 ＋b ， 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16， 故有? ?? ?? f ′2＝0，f 2＝c －16， 即????? 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16， 化简得??? ? ? 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8， 解得a ＝1，b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝x 3 －12x ＋c ； f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数． 由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 1＝2处取得极小值f (2)＝c －16. 由题设条件知16＋c ＝28，得c ＝12. 此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3， f (2)＝－16＋c ＝－4， 因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4. 1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)和(0，＋∞) D ．R 解析：选A 函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋e x >0，故单调增区间是(0，＋∞)． 2．(2012·“江南十校”联考)已知定义在R 上的函数f (x )，其导 函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( ) A ．f (b )>f (c )>f (d ) B ．f (b )>f (a )>f (e ) C ．f (c )>f (b )>f (a ) D ．f (c )>f (e )>f (d ) 解析：选C 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0； 当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞， c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a f (b )>f (a )． 3．(2012·陕西高考)设函数f (x )＝2 x ＋ln x ，则( ) A ．x ＝1 2为f (x )的极大值点 B ．x ＝1 2为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点 解析：选D 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2 x 2，当x ＝2时，f ′(x )