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2003年工程硕士入学考试网上辅导
王飞燕数学部分
线性代数部分考试范围
及典型题解
注：面授无讲义，以课本为依据，此文本为考试范围
模拟练习典型例题内容综述基本内容样题考试要求线性代数
[考试要求]
行列式：行列式的概念和性质，行列式按行展开定理，行列式的计算。（了
解行列式的概念，掌握行列式的基本性质；会用行列式的性质和行列式按行展开定理计算行列式。）
矩阵：矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵，矩阵的初等变换。（理解矩阵的
概念；了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵及它们的性质；掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆；掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。）
向量：n 维向量，向量组的线性相关和线性无关，向量组的秩和矩阵的秩。
（理解n 维向量的概念、向量的线性组合和线性表示；理解向量组的线性相关和线性无关的定义，了解并会用有关向量组的线性相关和线性无关的性质；了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组和向量组的秩；了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。）（了解维向量空间、子空间、基、维数及坐标等概念；掌握基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。） n
线性方程组：线性方程组的克莱姆法则，线性方程组解的判别法则，齐次和
非齐次线性方程组的求解。（掌握克莱姆法则；理解齐次线性代数方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性代数方程组有解的充分必要条件；理解齐次线性代数方程组的基础解系、通解及解空间的概念；理解非齐次线性代数方程组
解的结构及通解的概念；掌握用初等行变换求线性代数方程组通解的方法。）
特征值问题：特征值和特征向量的概念，相似矩阵，特征值和特征向量的计
算，n 阶矩阵可化为对角矩阵的条件和方法。（了解特征值和特征向量的概念和性质，掌握特征值和特征向量的计算。） [样题]
1．设，若
?=30
511
132
a A 2)(=A r ，则的值为[ ] a (A)a (B)a (C)6?=6=0=a (D)1=a 2．设是一个阶方阵，且的行列式A n A 0≠=a A ，则=*A [ ] (A)a
(B)a
1
(C)a
(D)n a
1?n 3．维向量组n s ααα,,,21Λ线性无关的充分是[ ]
(A)
s ααα,,,21Λ都不是零向量 (B)
s ααα,,,21Λ中任意两个向量都不成比例 (C)
s ααα,,,21Λ中任一个向量都不能由其余向量线性表出 (D) s
n <4．当a [ ]时，方程组有非零解。
=
=++=++=++0
3020
321
321321x x x x x x x ax x (A)1 (B)0 (C)6 (D)6?
5．向量是矩阵的属于特征值T
x }1,0,3{=
?=21
0010
321A =λ[ ]的特征向量。
(A)? (B)0 (C)1 (D)2
16．设行列式3
11112022
210
0121
???=
D ，第2行各元素的代数余子式之和
=+??24232221A A A A [ ]
B A ,n 11{1?=α，，1α21αα，21ββ，0=Ax 11212
1
αββk ++?）（(A)1
(B)0 (C)1? (D)2? 7．设都是n 阶非零矩阵，且0=AB ，则和A B 的秩[ ] (A) 必有一个等于零
（B)都小于
n (C)一个小于，一个等于 (D)都等于
n n 8．设向量组，向量组的一个极大线性无关组是[ ] T T T T }0,2,2,2{,}1,1,3,2{,}1,1,1,0{,}01432?=?==ααα，(A)
(B)41αα，
(C) (D) 321ααα，，
9．设是线性方程组b Ax =的两个不同的解，21αα，是方程组导出组
的基础解系，则程组b Ax =的通解是[ ]
(A)22αk (B) )(212121ααββ++?k ）（
(C) ）（）（2
12112121ββαββ?+++k k (D) 22112121ααββk k +++）（ 其中k 是任意常数。
21,,k k 10．设，，其中彼此相似的矩阵是[ ]
??=00
0110
121
A
?= ?=01
011
001,00
001
001
C B (A) (B) (C)A (D)B A
B A ，
C B ,C ,C ,,[内容综述]
一、 行列式的概念
1． 定义 2． 特殊行列式 二、 行列式的性质
1． 行列互换 2． 行行互换
3． 行（列）因子 4． 按行（列）拆开 5． 一行的倍数加到另一行 6． 有零行
7． 两行对应元素相等（或成比例） 三、 行列式的计算
1． 用定义
2． 按行（列）展开
余子式、代数余子式、代数余子式的性质
3． 先作变换
初等变换、逐行相加（减）、拆项、递推关系等
四、 矩阵的概念
矩阵、零矩阵、同型阵、矩阵相等、对角阵、数量阵、单位阵、三角
阵、对称阵、反对称阵 n m ×五、 矩阵的运算
1． 加法 （1） 定义 （2） 性质 2． 数乘 3． 乘法 4． 转置 六、 逆矩阵
1． 定义 2． 充要条件 3． 逆矩阵的性质 4． 伴随矩阵 5． 逆矩阵的求法
（1） 利用伴随矩阵 （2） 利用定义
（3）利用性质
七、初等变换
1．初等变换、初等阵
2．等价矩阵、等价标准型
3．利用初等行变换求逆矩阵
八、矩阵的秩
1．定义
2．性质
九、维向量的概念与运算
n
1．n维向量
2．向量相等
3．向量加法
4．向量数乘
5．向量点积
6．向量叉积
7．向量运算的性质
十、向量组的线性相关与线性无关
1．概念
（1）线性表出
（2）线性相关与线性无关
2．常用结论
十一、向量组的秩
1．向量组的等价性
2．极大线性无关组与向量组的秩
（1）定义
（2）性质
3．向量组的秩与极大线性无关组的求法4．矩阵的秩与向量组的秩的关系
十二、克莱姆法则
十三、 齐次线性代数方程组
1． 基本概念 2． 解的性质 3． 解空间
（1） 有非零解的充分必要条件 （2） 基础解系 （3） 求解方法
十四、 非齐次线性代数方程组
1． 基本概念
2． 有解的充分必要条件 3． 解的性质与解的结构 4． 求解方法
十五、 特征值和特征向量
1． 概念 2． 性质 3． 计算 [典型例题] 一、行列式
例1 计算9
876543
21=D 。
例2 计算4
11114111141
1114=
D 。 例3 证明：
11212
)1(1
1
21)
1(n n n n n n n n
a a a a a a ΛΝ
????=。
二、矩阵
例1 已知，求。
?= = ?=101101,111111,101101C B A C AB ABC T )(,例2 已知，求
?= 024*******X X 。 例3 已知，求I AB A A =+
=2
,110101B 。
例4 已知X AB B XA +=+，，求
?= ?=100000001,101020201B A 99X 。
例5 已知n n R A ×∈，0,<=A I AA T ，求I A +。 例6 已知3,2,,?==∈×B A R B A n n ，求1*2?B A 。
例7 求逆矩阵 （1），（2）。
=103012201A
=100110211B 例8 已知，证明0222=+?I A A I A +可逆，并求。 1)(?+I A 例9 已知n 阶方阵满足 则矩阵[ ]
A ,0223=?+A A A (A)A 可逆。
(B) I A ?可逆。 (C) I A +可逆。 (D) I A 2+可逆。
例10 已知B A B A +,,都可逆，证明11??+B A 也可逆，并求。 111)(???+B A
三、向量
例 1 已知，试将T T T T )6,3,3(,)1,4,2(,)3,1,1(,)3,1,3(321?==??=?=βαααβ用
321,,ααα线性表出，表法是否惟一？
例2 已知321,,ααα线性相关，432,,ααα线性无关，证明：
（1）1α可由32,αα线性表出； （2）4α不能由321,,ααα线性表出。
例 3 设向量组321,,ααα线性无关，133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，证明321,,βββ线性无关。
例4 已知，当取何值时，T T T t t t )1,1,(,)1,,1(,),1,1(321??=?==αααt 321,,ααα线性相关？
例5 已知，求向量组T T T T )1,3,0,1(,)4,4,1,3(,)3,6,2,0(,)0,1,4,1(4321??=??=?==αααα432,,1,αααα的极大线性无关组和秩。 例
6 已知321,,ααα及313212113,2,ααβααβαβ+=+==，证明
),,321(),,(321βββαααr r =。
例7 已知，当如何取值时，
?=71
53432110
1111a b A b a ,3)(=A r 。 例8 设，证明I AB n m R B R A m n n m =<∈∈××,,,B 的列向量组线性无关。
四、线性代数方程组
例1 k 为何值时，齐次线性方程组 只有零解？
=+??=?+=+=++0
20200
332132121321x x x x kx x x x kx x x 例 2 设321,,ξξξ是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系，试证明
311212,32,ξξξξξξξ+?++也是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系。
例3 求齐次线性方程组 的一个基础解系。 =?+++=??+?=?+++=?+++0
7653023055320
3454321543215
432
154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
例4 设方程组
（1） ，（2），
=?=+00
4221x x x x =+?=+?0
0432421x x x x x x 求方程组（１）和方程组（２）的公共解。
例5 设为n 阶方阵，且，A A A =21)(=A r ，求)(I A r ?。
例6 设为m 阶方阵，A B 为m n ×矩阵，m B r =)(，B BA =，证明为单位阵。
A 例7 设线性方程组，求通解。
=+?+=+???=?++?0
233252432143214321x x x x x x x x x x x x 例8 已知方程组 有无穷多个解，求的值, 并求方程组的
通解。
?=+?=++?=++4
2432
12321321x x x a x ax x ax x x a 例9 已知s ξξξ,,,21Λ是的一个基础解系，0=AX η是0≠=b AX 的一个解，证明
（1）,ηs ξξξ,,,21Λ线性无关；
（2）,ηs ξηξηξη+++,,,21Λ线性无关。 五、特征值和特征向量
例1 求矩阵的特征值和特征向量。
?????=02
2242
220
A 例2 设矩阵的属于特征值A λ的特征向量是x ，求矩阵的特征值和特征向量。 I A A A 3223+++
[模拟练习]
书上典型例题与模拟试题。