隆刚等：Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换在图像处理中的应用综述
Ｒｉ妇ｅｌｅｔ变换．其中包括二维傅氏变换、直角坐标转换成极坐标、在各角度对应直线上分别作一维傅氏逆变换和一维小波变换等几个中间步骤．
数字Ｃｕｒｖｅｌｅｔ逆变换的实现只需将上述步骤逆序进行即可．
３Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换的应用
由前述的Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换基本思想及其特性可知，它相对于小波变换的最大特点是具有高度的各向异性，因此具有更强的表达图像中“沿”边缘信息的能力．在图像处理中，边缘往往是最重要的特征，它对于进一步的处理和分析有着至关重要的意义．而在实际情况中，图像边缘又常被其他因素削弱，比如为噪声所掩盖，等等．在这种环境下，Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换所表达的沿边缘信息对于恢复图像主要结构的视觉特征的优势是不言而喻的．下面主要介绍Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换在图像去噪、增强、融合、恢复等几个方面的应用方法及其效果．
３．１利用Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换抑制图像噪声
３．１．１去除加性噪声
传统的图像随机噪声消除或抑制的方法可分为频域滤波方法和空域平滑方法，其缺点是都要损失大量的图像信息．目前较新而且有效的去噪方法是小波域滤波．但是小波算法用于图像去噪有内在的局限性，因为对图像进行二维小波变换以后，重要边缘上的系数即使在很精细的尺度下也很大，这意味着要重建图像边缘，就必须保留大量的小波系数．根据统计原理，数据的精简与其精确性之间有矛盾，即便取二者之间最好的折衷，仍将导致较高的均方误差．由于Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换能用极少的非零系数精确表达图像边缘，因此可以在保证较低的均方误差基础上，达到较理想的图像数据的精简性与精确性的平衡，从而体现出它在噪声环境下优于小波的表达图像的能力．
基于Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换的去噪算法【６Ｊ概要：对图像进行Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换，然后对每个子带的变换系数做硬阈值处理，最后进行Ｃｕｒｖｅｌｅｔ逆变换得到去噪图像．在阈值的选取上，是保留较大的系数，舍弃较小的系数，因为根据Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换理论，较大的Ｃｕｒｖｅｌｅｔ系数对应于较强的边缘，反之为噪声．图１是我们在实验中截取的Ｌｅｎａ图像去噪的部分结果，其中图１（ａ）为高斯噪声污染的原图，图１（ｂ）为非抽样小波去噪结果，图１（ｃ）为Ｃｕｒｖｅｌｅｔ去噪结果．
Ｆｉｇ．１Ｔｈｅｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｄｅｎｏｉｓｉｎｇｒｅｓｕｌｔｓｂａｓｅｄｏｎｗａｖｅｌｅｔｖｅｒｓｕｓｃｕｒｖｅｌｅｔ．（ａ）ｏｒｉｇｉｎａｌｉｍａｇｅ；（ｂ）Ｗａｖｅｌｅｔ—ｄｅｎｏｉｓｅｄｉｍａｇｅ；ａｎｄ（ｃ）Ｃｕｒｖｅｌｅｔ—ｄｅｎｏｉｓｅｄｉｍａｇｅ．
图１基于小波和ｃｕｒｖｅｌｅｔ的图像去噪比较．（ａ）原图；（ｂ）小波去噪；（ｃ）ｃｕｒｖｅｌｅｔ去噪
通过对几幅内嵌高斯白噪声的标准图像进行实验，结果显示Ｃｕｒｖｅｌｅｔ算法的峰值信噪比（ＰＳＮＲ）高于多数基于小波的方案，而且Ｃｕｒｖｅｌｅｔ重建的图像不会产生像小波重建图像的沿边缘的走样（ａｎｉ：ｆａｃｔ）．如抽样小波算法会产生边界扭曲现象并损失大量细节；非抽样小波的边界效果虽然略好，但有时仍忽略了某些脊（ｒｉｄｇｅ），还会显示出一些小尺度的嵌入污点．可见即使只是简单的取硬阈值，Ｃｕｒｖｅｌｅｔ去噪算法的ＰＳＮＲ与较复杂的小波去噪算法相当甚至更高．在中等程度或高噪声背景下，Ｃｕｒｖｅｌｅｔ算法的结果图在视觉上更清晰，特别对于恢复边缘和微弱的线性及曲线结构非常有效．
上述去噪方案仍有不足，由于采用的Ｒｉｄｇｅｌｅｔ变换有环绕（ｗａｒｐａｒｏｕｎｄ）现象，影响了Ｒｉｄｇｅｌｅｔ变换以直线为单位分析图像的性质．肖小奎等人［７］的解决方案是对一咒×咒图像补零至２咒×２７ｚ个点后再进行离散傅里叶变换，从而避免了进行一维傅里
叶反变换时所出现的混迭现象．此外，由于Ｓｔａｒｃｋ
１３３４计算机研究与发展２００５，４２（８）
等人在去噪时采用了硬阈值，对小波系数的衰减又在频域中进行，所以去噪后的图像中呈现出一定的振铃效应．对此，肖小奎等人将频域中小波系数变换到时域中再进行硬阈值去噪，同时改进了ｘｕ等人Ｌ８ｊ提出的子带相关去噪法，将其与硬阈值法进行了结合．实验证明去除了环绕现象，去噪后的图像ＰＳＮＲ值和视觉效果都有所改进．
３．１．２去除ＳＡＲ图像斑点噪声
由于ＳＡＲ图像上相干斑点噪声的存在严重地影响了图像的解读和应用，所以从２０世纪８０年代起就出现了许多针对ＳＡＲ图像斑点噪声的去噪方法，但是处理效果都不太好．由于小波分析具有很好的时频局部化特性，它被成功运用于去除斑点噪声．实验结果表明其处理效果好于传统方法，但阈值的设置往往存在着对小波系数的“过扼杀”，在边缘和纹理细节的保持方面，效果仍不理想．
ｕｌｆａｒｓｓｏｎ等人针对ｓＡＲ图像的斑点噪声问题，利用Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换良好的表达边缘的特性提出了新的解决方案旧ｊ．算法首先对原图像进行对数变换，这时斑点噪声变为近似的高斯加性噪声．对预处理后的图像进行Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换，然后进行硬阈值处理，最后进行Ｃｕｒｖｅｌｅｔ反变换及指数变换得到去噪图像．图２是我们在实验中截取的一幅ＳＡＲ图像的去噪结果，其中图２（ａ）为原图，图２（ｂ）为小波去噪结果，图２（ｃ）为Ｃｕｒｖｅｌｅｔ去噪结果．
Ｆｉｇ．２ＴｈｅｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｄｅｎｏｉｓｉｎｇｒｅＳｕｌｔｓｏｆＳＡＲｉｍａｇｅｂａｓｅｄｏｎｗａｖｅｌｅｔｖｅｒＳｕｓｃｕｒｖｅｌｅｔ．（ａ）０ｒｉｇｉｎａｌｉｍａｇｅ；（ｂ）ｗａｖｅｌｅｔ—ｄｅｎｏｉｓｅｄｉｍａｇｅ；ａｎｄ（ｃ）Ｃｕｒｖｅｌｅｔ—ｄｅｎｏｉｓｅｄｉｍａｇｅ．
图２基于小波和Ｃｕｒｖｅｌｅｔ的ＳＡＲ图像去噪比较．（ａ）原图；（ｂ）小波去噪；（ｃ）Ｃｕｒｖｅｌｅｔ去噪
实验表明这种去噪方案明显地减少了斑点噪声，同小波去噪相比，图像的清晰度更高，保持了更多原有图像中的结构，可以为进一步的图像分类和识别提供有效帮助．
Ｃｕｒｖｅｌｅｔ域的硬阈值方案虽然能很好地处理边缘问题，但是在处理平滑区域和奇异点区域时并非最佳选择．由于小波域隐Ｍａｒｋｏｖ树算法（ＨＭＴ）能较好地处理平滑区域和奇异点区域，于是Ｓａｅｖａｒｓｓｏｎ等人结合二者的优势，对平滑区域和奇异点用ＨＭＴ处理，边缘区域则用ＣｕⅣｅｌｅｔ处理，得到了一种自适应的联合算法【ｌ０｜．实验证明其效果优于单独采用上述２种方案的效果．
３．２利用ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换实现图像增强
鉴于边缘在图像分析和理解中的重要地位，增强边缘是一种很好的增强对比度的方法．传统的边缘增强方法大致可划分为频域的高通滤波方法和空间域基于模板的方法，其处理效果都不够理想．小波变换由于其多分辨率和去相关性等特点成功运用于边缘增强，但是基于小波的增强方法有其局限性，因为它并不太适合于检测各向异性的图像元素，而且小波增强会平滑掉图像的部分细节．相反，对新的多尺度体系Ｒｉｄｇｅｌｅｔ和Ｃｕｒｖｅｌｅｔ而言，由于它们的基函数本身就对方向敏感，属于高度各向异性的变换，因此在边缘很重要的图像的增强中具有很大的优势．
基于Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换的图像增强算法Ｌ１“概要：先对原图像进行Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换，然后根据各子带的噪声水平分别进行分段非线性增强，最后进行反变换得到增强图像．其中的关键是处理Ｃｕｒｖｅｌｅｔ系数的增益函数，必须确保对应于噪声的系数不被增强．图３是我们对某天文图像进行增强的实验结果，其中图３（ａ）为原图，图３（ｂ）为小波增强结果，图３（ｃ）为Ｃｕｒｖｅｌｅｔ增强结果．可见经Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换增强的图像边缘更加平滑，纹理也更为清晰．
更好的增强方法应该使图像分割或边缘检测之
类的处理产生更好的结果．分别用小波和Ｃｕｒｖｅｌｅｔ对
隆刚等：Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换在图像处理中的应用综述
含噪的原图像进行增强，然后都用Ｃａｎｎｙ边缘检测算
子进行处理，结果表明用Ｃｕｒｖｅｌｅｔ增强过的图像检测
出的边缘最多．而且输入图像的信噪比越低，效果越
明显．对直方图均衡、小波变换和ＣｕⅣｅｌｅｔ变换处理
（ｂ）过的图像分别用同样方法进行图像分割，结论同样是Ｃｕｒｖｅｌｅｔ的效果最佳．可见在噪声环境中的轮廓提取上，Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换的作用最突出．对于无噪声图像，基于Ｃｕｒｖｄｅｔ变换的增强相对小波增强无明显优势．
Ｆｉｇ．３ＴｈｅｃｏｍｐａｒｉＳｏｎｏｆｅｎｈａｎｃｅｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓｂａｓｅｄｏｎｗａｖｅｌｅｔｖｅｒｓｕｓｃｕｒｖｅｌｅｔ．（ａ）ｏｒｉｇｉｎａｌｉｍａｇｅ；（ｂ）ｗａｖｅｌｅｔ—ｅｎｈａｎｃｅｄｉｍａｇｅ；ａｎｄ（ｃ）Ｃｕｒｖｅｌｅｔ—ｅｎｈａｎｃｅｄｉｍａｇｅ．图３基于小波和Ｃｕｒｖｅｌｅｔ的图像增强比较．（ａ）原图；（ｂ）小波增强；（ｃ）Ｃｕｒｖｅｌｅｔ增强
３．３利用Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换实现图像融合
在卫星遥感成像系统中，要同时获得光谱、空间和时间的高分辨率是很难的，因此往往通过多传感器、多分辨率遥感数据融合方法来获得更全面的信息．传统的基于Ｂｒｏｖｅｙ，ＨＩｓ和ＰＣＡ的融合方法可‘以达到较高的空间分辨率，融合图像在视觉上比较清晰，但是其光谱分辨率往往达不到要求．相反，基于小波变换的融合方法可以达到较高的光谱分辨率，然而其融合图像的空间分辨率不高，容易丢失一些结构的细节信息．与小波变换一脉相承的Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换由于其优秀的边缘表达能力，有助于改善小波变换融合图像的视觉清晰度，并有效地提高其空间分辨率．
ｃｈｏｉ等人对高光谱、低空间分辨率的多光谱图像以及低光谱、高空间分辨率的全色卫星图像的融合问题进行了研究，提出了基于Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换的图像融合算法１１２｜．融合后的图像跟原始的全色图像比有近似的细节，因为Ｃｕｒｖｅｌｅｔ能比小波更好的表达边缘；同时由于算法中将小波融合结果用做了中间结果，因此相对于原始多光谱图像的光谱信息保持度也相当好．实验证明，同基于小波和ＩＨＳ的融合结果相比，该算法的融合结果有更佳的视觉效果．此外基于联合熵、平均梯度、相关系数等几个指标同小波融合和ＨＩｓ融合的结果进行了量化比较，结果同样显示了Ｃｕｒｖｅｌｅｔ融合算法的优越性．
３．４利用ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换实现图像恢复
当成像系统是线性且平移不变的时候，图像降
质模型可表示为
ｆ（ｚ，ｙ）＝（Ｐ＊ｏ）（ｚ，ｙ）＋Ｎ（ｚ，ｙ），
其中，Ｎ为加性噪声．恢复目标是根据降质图像Ｊ和点扩展函数Ｐ求原图像ｏ．
由于点扩展函数的截止频率问题和加性噪声问题的存在，这样的求逆问题有很多困难．现有的基于小波的非迭代求解法如ｗａｖｅｌｅｔ—ｖａｇｕｅｌｅｔｔｅ分解ｕ３］等，虽然速度快，同一般的线性恢复方法相比有优势，但是仍然存在着根据点扩展函数划分频域常常不当，未考虑到非高斯噪声等缺陷．
基于小波的迭代恢复算法可以较好地解决上述问题．鉴于Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换在噪声环境下强有力的边缘恢复能力，Ｓｔａｒｃｋ等人参考基于小波的迭代算法，提出了一种基于Ｃｕｒｖｅｌｅｔ和小波的联合迭代算法¨４｜．这种解卷积算法是Ｃｕｒｖｅｌｅｔ去噪解决方案的延伸，算法中使用了两种不同的变换，将能同时最优地检测由小波表达的各向同性图像特征和由Ｃｕｒｖｅｌｅｔ表达的边缘特征，此外增加了总变化（ｔｏｔａｌｖａｒｉａｔｉｏｎ）惩罚函数约束以避免多尺度变换造成的边缘附近的振荡现象．实验证明其效果优于单纯基于小波的恢复算法，主要特色是使恢复图像的边缘及纹理等细节更为清晰．
４Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换研究展望
综上所述，虽然Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换诞生的时间不长，
对它的研究还远不如小波成熟，但是由于其崭新的
１３３６计算机研究与发展２００５，４２（８）
理论面貌和独到的应用特点，已经得到了相关研究人员的高度重视，也取得了相当多的研究成果．可以预见，Ｃｕｒｖｅｌｅｔ在理论和应用上的研究还有很大的潜力．
在ｃｕｒｖｅｌｅｔ理论及其实现方面，目前普遍采用的数字Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换算法１６ｏ仍然有较高的冗余度，可以改进的地方包括更好的插值方案，改进的空域分割中的重叠策略（ｆｏｌｄｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｙ）等．比如，Ａｖｅｒｂｕｃｈ等人【”Ｊ的笛卡儿坐标系下基于斜栈（ｓｌａｎｔｓｔａｃｋ）的Ｒａｄｏｎ变换实现方法，可以实现更精确的插值．Ｄｏ等人¨６Ｊ利用金字塔形有向滤波器组近似实现Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换，大大减小了冗余度．此外，Ｃａｎｄ色ｓ等人¨７Ｊ提出的更为先进的Ｃｕｒｖｅｌｅｔ体系，既遵守了原ｃｕｒｖｅｌｅｔ的基本思想，又大大简化了其结构，因此为实现上的简化提供了有力的帮助．目前基于它的应用研究还处于试验阶段．
图像去噪方面，虽然在效果上，基于Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换的简单阈值法就能与近年米研究的基于小波的复杂阈值法相当，但是仍存在改进余地．比如，现有的数字Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换仍然是非正交的，因此有较多冗余，噪声系数之问有相关性，有必要设计出考虑到这种相互依赖性的阈值方案．父子Ｃｕｒｖｅｌｅｔ系数之间明显存在树结构，应加以有效利用．此外，目前在非高斯分布情况下的去噪研究也不足．
作为图像处理中一个重要部分，图像压缩领域迄今尚未出现基于Ｃｕｒｖｅｌｅｔ的算法的实质性报道．其主要障碍仍然是数字Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换的冗余度较高．由于图像边缘在人的视觉中的重要地位，而Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换在理论上又是边缘的稀疏表示，因此这方面的研究还是有潜力的．
另外，边缘检测也是图像分析中的重要问题．鉴于Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换高效的边缘表达能力，研究如何利用它快速检测边缘和提取目标轮廓也是富有价值的．
最后，如何将（九ｒｖｅｌｅｔ跟现有的较为成熟的图像处理技术，尤其是小波变换联合运用也是目前非常活跃的研究方向．除了上文提及的个别例子如文献［１０，１２，１４］外，下面几篇文献也对包含ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换的联合算法进行了研究．Ｓｔａｒｃｋ等人１１副认为目前几个典型的信号变换都各具优势：傅里叶变换最适合分析静态过程，ａｔｒｏｕｓ小波变换适合分析各向同性特征，双正交小波变换适合于小程度的各向异性特征，Ｒｉｄｇｅｌｅｔ变换适合有固定长度（如固定块尺寸）的各向异性特征，ｃｕⅣｅｌｅｔ变换适合长度为宽度平方的各向异性特征．为此，基于非统计性的形态成分分析（ＭＣＡ）提出了一种自适应图像表达的联合算法，可以自动分割图像中不同类型的形态特征，然后分别由对应的最优变换来处理它们．ｓｔａｒｃｋ等人¨引还利用ＤＣＴ适于表达纹理及Ｃｕｒｖｅｌｅｔ适合表达边缘的特性，成功地联合二者实现了图像中纹理与分段平滑内容的分离．ｚｈａｎｇ等人【２０＿针对用分块ＤｃＴ变换进行图像压缩时的块效应问题，在小波变换和边缘流导引的滤波（ｅｄｇｅｆｌｏｗ—ｄｉｒｅｃｔｅｄｆｉｌｔｅｒｉｎｇ）处理基础上，利用Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换实现了降低边缘和纹理损失的块效应抑制算法，取得了较好的效果．以上几个典型的例子说明ＣｕⅣｅｌｅｔ与其他算法的联合应用是非常值得研究的．类似的例子可参考文献［２１，２２］．
５结束语
本文介绍了从小波变换发展而来的Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换．它的显著特征是多尺度和高度各向异性，非常适合于图像中边缘的表达及合成．研究表明，Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换在图像去噪、增强、融合、恢复等方面显示出了它优于其他相应的算法的特点．虽然经过几年的发展，Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换已经取得了很多研究成果，但是在理论、实现和应用上它还有许多可以进一步完善的地方．作为新生的小波时代的后继者之一，Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换还有更多的应用领域去开拓．鉴于其目前良好的发展态势，我们相信该领域的研究有着光明的前景．
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隆刚，１９８１年生，硕士研究生，主要研究方向为数字图像分析、智能信息处理、模式识别．
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ｉｎｔｅｒｅｓｔｓ
ｉｎｃｌｕｄｅ
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肖磊，１９８１年生，硕士研究生，主要研究方向为图像去噪、小波分析．
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ｉｍａｇｅ
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ａｎｄｒｅｍｏｔｅ
ｓｅｎｓｉｎｇ
ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍｓ．
陈学俭，１９４３年生，教授，硕士生导师，主要研究方向为图像信息处理与分析、遥感及空间信息系统．
ＲｅｓｅａｒｃｈＢａｃｋｇｒｏｕｎｄ
ＴｈｅＣｕｒｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｓ
ｏｎｅ
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ｔｒａｎｓｆｏｍ．ｓｉｎｃｅ
Ｃｕｒｖｅｌｅｔｉｓｅｘｈｉｂｉｔｉｎｇｍｏｒｅａｎｄｍｏｒｅａｄｖａｎｔａｇｅｓｉｎｖａｒｉｏｕｓｋｉｎｄｓｏｆａｒｅａｓ，
ｉｔｈａｓｒａｐｉｄｌｙｂｅｃｏｍｅｔｈｅｆｏｃｕｓｏｆｍａｎｙｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓｆｒｏｍ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｃｏｕｎｔｒｉｅｓａｎｄ１０ｔｓｏｆｐｒｏｇｒｅｓｓ
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ｓｅｎｓｅ．
ＥｓｐｅｃｉａＵｙｉｎＣｈｉｎａ，ｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈ
ｏｎ
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ｉｓｓｔｉｌｌｉｎｔｈｅｅｌｅｍｅｎｔａｒｙｐｈａｓｅ．Ｈｅｎｃｅ
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ｄｏｍａｉｎｃｏｕｌｄｂｅｅｘｐｅｃｔｅｄ．
Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｅｘｐｌｉｃａｔｅｄｔｈｅｋｅｒｎｅｌｏｆＣｕｒｖｅｌｅｔ
ｔｈｅｏｒｙ，
ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｔｓｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍａｎｄｍａｄｅ
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ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅｓ，ｗｅａｌｓｏａｔｔｅｍｐｔｅｄｔｏ
ｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｐｒｏｓｐｅｃｔｏｆ
Ｃｕｒｖｅｌｅｔｂｏｔｈｉｎｔｈｅｏｒｙａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．ｏｕｒｗｏｒｋｉｓｓｕｐｐｏｒｔｅｄｂｙｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆ
Ｃｈｉｎａ（６０３７２０５９）．
Curvelet变换在图像处理中的应用综述
作者：隆刚， 肖磊， 陈学佺， Long Gang， Xiao Lei， Chen Xuequan
作者单位：中国科学技术大学电子工程与信息科学系,合肥,230027
刊名：
计算机研究与发展
英文刊名：JOURNAL OF COMPUTER RESEARCH AND DEVELOPMENT
年，卷(期)：2005，42(8)
被引用次数：17次
参考文献(22条)
1.D.L. Donoho.M. R. Duncan Digital curvelet transform:Strategy, implementation and experiments 2000
2.E.J. Candès Ridgelets: Theory and applications 1998
3.E.J. Candès.F. Guo New multiscale transforms, minimum total variation synthesis: Applications to edge-preserving image reconstruction 2002(11)
4.E.J. Candès.D. L. Donoho Curvelet-A surprisingly effective non-adaptive representation for objects with edges 2000
5.E. J. Candès.D. L. Donoho Curvelets, multiresolution representation, and scaling laws 2000
6.J.L. Starck.E. J. Candès The Curvelet transform for image denoising 2002(06)
7.肖小奎加强边缘保护的Curvelet图像去噪方法[期刊论文]-通信学报 2004(02)
8.Y. Xu Wavelet transform domain filters: A spatially selective noise filtration technique 1994(11)
9.M.O. Ulfarsson Speckle reduction of SAR images in the curvelet domain 2002
10.B.B. Saevarsson Speckle reduction of SAR images using adaptive curvelet domain 2003
11.J.L. Starck.F. Murtagh Gray and color image contrast enhancement by the Curvelet transform
2003(06)
12.M. Choi.R. Y. Kim The Curvelet transform for image fusion 2004
13.D.L. Donoho Nonlinear solution of linear inverse problems by wavelet-vaguelette decomposition 1995(01)
14.J.L. Starck.M. K. Nguyen Deconvolution based on the curvelet transform 2003
15.A. Averbuch.D. L. Donoho Fast slant stack: A notion of radon transform for data on a cartesian grid which is rapidly computable, algebraically exact, geometrically faithful, and invertible 2004
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17.E.J. Candès.D. L. Donoho New tight frames of Curvelets and optimal representations of objects with C2 singularities 2002
18.J. L. Starck.E. J. Candès Astronomical image representation by the Curvelet transform 2002
19.J.L. Starck.M. Elad.D. L. Donoho Image decomposition via the combination of sparse representations and a variational approach 2004
20.Z.M. Zhang A novel deblocking algorithm using edge flow-directed filter and curvelet transform 2004
21.B. Saevarsson Combined wavelet and curvelet denoising of SAR images 2004
22.J. L. Starck.E. J. Candès Very high quality image restoration by combining wavelets and Curvelets 2001
相似文献(10条)
1.期刊论文王小军.何同弟.WANG Xiaojun.HE Tongdi基于对偶树复小波-Curvelet变换的自适应多传感图像融合
算法-信息与控制2010,39(3)
提出了基于对偶树复小波-Curvelet变换的自适应多传感图像融合新算法.算法将伞色图像和多光谱图像进行对偶树复小波-Curvelet变换分解后,针对不同的频率域特点选择不同的融合规则.对低频系数选取区域能量的加权系数自适应融合规则,对高频系数特性选用了区域特征自适应的融合规则.最后通过重构得到融合图像.将其他的融合算法和本文所提算法进行对比,结果表明,基于对偶树复小波-Curvelet变换的区域特征自适应的图像融合算法是一种有效可行的图像融合算法.
2.学位论文王莹小波纹理与颜色直方图相结合的图像检索技术2010
基于内容的图像检索(CBIR)是图像处理领域的一个研究热点。该技术的主要目的是为了客观的查找到用户所要查找的图像。在商业领域和科研领域对基于内容的图像检索都有广泛的研究。其中的关键是图像中的特征提取，特征数据提取的准确与否，直接会影响到图像检索的准确程度。
论文主要对小波纹理和颜色直方图相结合的图像检索算法作了深入研究，主要研究成果如下：
1.研究了融合Gabor变换和颜色直方图的图像检索算法，分析了此算法在图像检索系统中提取图像的纹理特征和颜色特征的应用，并对此算法进行了MATLAB仿真。
2.研究了Curvelet变换提取图像纹理特征的方法，在此基础上，提出了一种融合Curvelet变换和颜色直方图的图像检索算法，并对Curvelet变换和融合Curvelet变换和颜色直方图的算法进行了MATLAB仿真，对融合Curvelet变换和颜色直方图的算法与融合Gabor变换和颜色直方图的算法性能作了分析比较。仿真结果表明，在相同的仿真条件下，融合Curvelet变换和颜色直方图的算法的查准率更高一些。
3.对图像检索系统的各个模块进行了设计，使用VC++和MSSQL数据库完成了基于内容的图像检索系统的实现。
3.期刊论文孙晓东.张朝柱.杨莘元.Sun Xiao-dong.Zhang Chao-zhu.Yang Shen-yuan基于小波和Curvelet变换联
合去噪的含噪盲源分离-黑龙江大学自然科学学报2007,24(6)
独立分量分析(ICA)是一种仅依据信号间的统计独立的性质,对多路观测到的信号进行盲源分离的方法.现有的独立分量分析算法大都假设在无噪声情况或噪声很小可以忽略不计的情况,而在强噪声背景下,这些算法都无法获得理想的分离效果.在含噪信号盲源分离一般模型的基础上,提出了一种小波和Curvelet变换联合去噪的含噪信号盲分离算法.通过对高斯噪声背景下的混合图像的仿真研究,表明该方法能有效的提高图像的信噪比,减轻了噪声对经典ICA算法分离性能的影响,很好的实现了含噪混合图像的分离.
4.期刊论文肖磊.隆刚.陈学佺.XIAO Lei.LONG Gang.CHEN Xuequan基于Curvelet变换抑制SAR图像斑点噪声的方
法-计算机工程2006,32(9)
提出了一种基于Curvelet变换来抑制合成孔径雷达(SAR)图像中噪声的方法,Curvelet是一种新的多尺度变换理论,具有各向异性的特征,克服了小波在处理大于一维的高维信号时的不足.该文在介绍Curvelet变换理论及其实现的基础上,引出了SAR图像斑点噪声的去除方法,并改进了Curvelet算法,降低了其运算复杂度,讨论了SAR图像噪声方差的估计,最后和其它的SAR图像去噪方法作了对比和分析.
5.期刊论文张九龙.张志禹.焦妍.夏春丽.ZHANG Jiu-long.ZHANG Zhi-yu.JIAO Yan.XIA Chun-li Curvelet域流形
学习人脸识别算法研究-光电工程2010,37(11)
Curvelet是一种多尺度多方向的图像变换工具,能有效克服小波在表达图像沿边缘奇异特征时的冗余,形成特征的稀疏表达.进一步考虑高维图像可能存在于一个低维流形上,所以提出将曲波提取到的特征应用流形学习处理以发现其低维结构应用于人脸识别.实验表明Curvelet提取到的特征经LLE处理后能找到优于LLE下的流形结构.和已有Gabor结合流形学习人脸识别的比较研究说明,曲波结合流形学习的方法获得了高于Gabor结合流形学习的识别率,在Essex表情库和YaleB光照库上的实验证明了这一点.
6.期刊论文蒋年德.王耀南.毛建旭.JIANG Nian-de.WANG Yao-nan.MAO Jian-xu基于2代Curvelet改进IHS变换的
遥感图像融合-中国图象图形学报A2008,13(12)
Curvelet变换是继小波变换之后,能更适合于图像处理的一种新的多尺度变换分析方法,它比小波变换更加适合分析2维图像巾的曲线或直线状的边缘特征,同时也具有很强的方向性.为了将该变换应用于图像融合,首先对第2代Curvelet变换理论进行了综述,然后在对基于第2代Curvelet变换的遥感图像融合方法进行研究的基础上,提出了一种与IHS变换结合的融合方法.最后用高分辨率全色图像与低分辨率多谱图像进行了融合实验,实验结果表明,将Curvelet变换引入图像融合,能够更好地提取原始遥感图像的特征,不仅可为融合图像提供更多的信息,而且融合图像能在较好地保留光谱信息的同时,使空间细节信息也得到增强.
7.学位论文阎永基于Curvelet变换的自适应去噪方法的研究2006
图像处理和图像通信是信号处理和现代通信的重要组成部分，与人们的关系日益密切。在图像中总存在噪声干扰，这种干扰在图像分析和图像通信中是不可忽略的因素。为了便于进一步的图像分析和图像通信，在图像预处理中必须减小图像中的噪声。
图像滤波既可以在空间域中进行，也可以在频率域中进行。在空间域，最常见的是中值滤波和均值滤波。但均值滤波对椒盐噪声的去噪效果不是很理想，基于均值滤波的思想，人们提出了加权均值滤波。在频率域中，小波理论已经广泛应用到信号处理和分析中。小波收缩去噪是图像处理和图像通信的重要内容。但在高维情况下,小波分析并不能充分利用研究对象的几何特征,比如二维图像的主要特征边缘轮廓,三维物体的重要特征丝状物(filaments)和管状物 (tubes)，而这些特征是人们最感兴趣的地方。小波主要适用于表示具有各向同性(isotropic)奇异性的对象,对于各向异性(anisotropic)的奇异性,如数字图像中的边界等线状特征,小波并不是最好的表示工具。
过去几年里，在小波理论的基础上，出现了一种特别适合于表示各向异性奇异性的多尺度方法——Ridgelet变换。由于Ridgelet变换本质上是通过在小波基函数中引入方向特征的参数得到的,所以它不但和小波一样具有局部时频分析能力,而且还具有很强的方向选择和辨识能力,可以非常有效地表示信号中具有方向性的奇异特征,这恰好是小波不能做到的。
基于以上分析，本文的研究工作主要分以下几个方面的内容：其一是改进了加权均值滤波的算法；其二是对小波收缩去噪算法进行自适应阈值研究；最后本论文改进了基于有限Ridgelet变换的图像去噪算法，并把改进算法应用到Curvelet变换去噪中。
均值滤波对椒盐噪声的去噪效果不是很理想，基于均值滤波的思想，人们提出了加权均值滤波，其中图像象素间的相关性和位置信息对权植的影响很大，很多算法中没能综合考虑到这两个因素，本文针对克服均值滤波算法的这种缺点，提出了一种基于均值滤波的新型滤波算法。实验结果表明，新的滤波算法对被脉冲噪声污染的图像的滤波效果相对于均值滤波来说，滤波后的图像在信噪比上有所提高。
自适应理论是现代信号处理中强有力的工具。将自适应理论和传统的小波收缩算法相结合，本文提出了基于图像局域特性的自适应收缩去噪算法
，并详细地阐明了该方法的基本原理。传统的小波收缩去噪算法采用单一的阈值，其没有考虑到小波系数的类聚性。该算法根据图像局部的奇异性大小，选择适当的阈值进行去噪。实验表明，该算法比传统的单一阈值算法有更好的去噪效果。
本论文把自适应理论推广应用到Ridgelet变换，根据各个尺度下Ridgelet系数子矩阵的奇异特性，选择适当的阈值，提出了一种新的自适应阈值算法，并将其应用到有限Ridgelet变换(FRIT)，相对于全局阈值来说，取得了较好的图像去噪效果。然后把Ridgelet变换局部化和多尺度化，得到Curvelet变换。应用Curvelet变换对图像进行去噪，相对于小波来说，取得了更好的去噪效果。
应用研究-电子测量技术2008,31(7)
Curvelet变换由小波变换发展而来,克服了小波变换在表达图像边缘的方向特性等方面的内在缺陷.本文阐述了Curvelet变换的基本原理,并结合实例采用改进的Curvelet变换阈值去噪算法进行了图像的去噪研究.采用的新阈值函数不但整体上连续性好,而且克服了硬阈值函数的不连续以及软阈值函数在处理较大Curvelet系数时总存在恒定偏差的不足,同时又保留了软、硬阔值函数原有的优点.实验结果表明本文算法无论是视觉效果还是客观标准上都优于传统算法.
9.期刊论文冷洪超.倪林Curvelet变换及其在图象处理中的应用-中国图象图形学报A辑2003,8(z1)
根据小波变换在图象处理中的缺陷,我们提出了基于Ridgelet变换的Curvelet变换的图象处理方法.Curvelet变换对于含有曲线不连续性的图象的表示满足稳定、有效、接近最优等性质.我们采用基于Ridgelet变换的方法实现Curvelet变换,试验证明对变换后的系数进行简单的阈值处理就可以获得很好的去噪和边缘增强效果.我们相信Curvelet变换在图象处理中的潜力是巨大的.
10.学位论文安冉Curvelet变换在SAR图像斑点噪声抑制和多源遥感图像融合中的应用2007
遥感图像处理主要包括校正处理、变换与增强处理以及特征分析提取与识别分类处理等过程，它对于遥感技术的应用有着重要的意义。小波变换作为图像变换处理的方法之一，目前在遥感图像处理领域中得到了广泛的应用。而近年来一种新的图像变换处理方法——Curvelet变换凭借其相比于小波变换对图像边缘更强的表达能力受到人们的关注，并被尝试引入了遥感图像处理领域。本论文主要针对Curvelet变换在遥感图像处理的部分领域——SAR图像斑点噪声抑制和多源遥感图像融合中的应用进行了研究和探索。
本论文完成的工作如下：
首先对Curvelet变换的理论和实现算法进行了研究；
其次深入研究了SAR图像斑点噪声的成因和模型；以小波变换去噪法，Curvelet变换去噪法和Curvelet与小波的自适应联合去噪法(ACM)为重点研究和分析了已有斑点噪声抑制方法；在ACM的基础上提出了一种Curvelet与小波的模糊自适应联合去噪法(FACM)，并通过实验证明了该方法可以比小波变换去噪法，Curvelet变换去噪法和ACM更好地抑制SAR图像斑点噪声：
随后研究了多源遥感图像融合的概念和意义；以小波变换融合法，Curvelet变换融合法为重点研究和分析了已有的多源遥感图像像素级融合方法
；提出了一种小波变换和Curvelet变换联合的多源遥感图像像素级融合方法，并通过实验证明了该方法比单独使用的小波变换融合法和Curvelet变换融合法实现了更好的融合效果；
最后对本论文所做工作进行总结，并对Curvelet变换在遥感图像处理中的应用前景进行了展望。
引证文献(15条)
1.毕杨.肖军基于快速曲波变换和独立分量分析的有噪图像盲分离算法[期刊论文]-自动化技术与应用 2010(1)
2.闫河.李刚.张小川复数Curvelet变换域复数高斯尺度混合图像降噪[期刊论文]-信息与控制 2009(6)
3.王相海.孙强.宋传鸣.刘丹基于多尺度几何分析的图像编码研究进展[期刊论文]-辽宁对外经贸学院学报
2009(1)
4.田申.胡勇.廖俊必.黄丹平快速Curvelet变换在实时机器视觉系统中的应用[期刊论文]-电子科技大学学报
2009(4)
5.闫河.潘英俊.刘加伶.赵明富抗混叠Curvelet变换非高斯双变量模型图像降噪[期刊论文]-光学精密工程
2009(7)
6.高越.赵丹培.姜志国基于小波变换的空间目标图像去噪方法[期刊论文]-电子器件 2009(3)
7.彭才.常智.朱仕军基于曲波变换的地震数据去噪方法[期刊论文]-石油物探 2008(5)
8.蒋年德.王耀南.毛建旭基于2代Curvelet改进IHS变换的遥感图像融合[期刊论文]-中国图象图形学报A 2008(12)
9.肖羽.王相海基于Contourlet的中低码率图像质量可分级编码算法[期刊论文]-计算机研究与发展 2008(6)
10.廖世鹏.廖俊必.李彬彬快速Curvelet变换在机器视觉系统图象边缘增强中的应用[期刊论文]-四川大学学报（工程科学版） 2008(3)
11.李国砚.刘晓玫.李金莲基于多尺度分析的遥感影像融合研究[期刊论文]-测绘科学 2008(1)
12.蒋年德.王耀南.毛建旭基于Curvelet变换的遥感图像融合研究[期刊论文]-仪器仪表学报 2008(1)
13.张志禹.毕杨基于曲波变换和独立分量分析的有噪图像盲分离[期刊论文]-计算机应用 2007(2)
14.刘西成随机噪声滤除及运动模糊图像复原技术研究[学位论文]硕士 2006
15.汪奇MPEG-4视频编/解码的研究与DSP优化[学位论文]硕士 2006
本文链接：https://www.doczj.com/doc/5118483815.html,/Periodical_jsjyjyfz200508008.aspx
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