【基础知识】
一、判断两圆的位置关系一般有两种：
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；
⑤外离：4条．
(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．
题型1圆与圆位置关系的判定、公共弦、切线、交点问题
1.圆C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0的位置关系为()
A．外离B．外切C．相交D．内切
解析∵圆C1：x2＋y2－2y＝0的圆心为：C1(0,1)，半径r1＝1，
圆C2：x2＋y2－23x－6＝0的圆心为：C2(3，0)，半径r2＝3，
∴|C1C2|＝(3)2＋1＝2，又r1＋r2＝4，r2－r1＝2 ∴|C1C2|＝r2－r1＝2，∴圆C1与C2内切．
2．(2014·湖南)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于(C)
A．21 B．19 C．9 D．－11
解:圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.
又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m，解得m＝9.
3.两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线的条数为( )
A．1条B．2条 C．3条D．4条
解：C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4.圆心距d＝|C1C1|＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13. |r1－r2| 4.已知两圆的半径分别为R和r（R>r），圆心距为d ，若关于x的方程x2-2rx+(R-d)2=0有两个 相等的实数根，那么两圆的位置关系为（） A、外切 B、内切 C、外离 D、外切或内切 解:根据题意，得r2-(R-d)2=0，即（r+R-d）(r-R+d)=0，所以d＝R+r或d=R-r.选D． 5.已知两圆046:221=-++x y x C 和圆0286:222=-++y y x C ，求两圆的交点坐标。 解：联立2222 6406280 x y x x y y ?++-=? ?++-=??解之得1632x x y y =-=-????==-??或 6.已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是_____ x －2y ＋4＝0___________________． 7．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0 (a >0)的公共弦长为23，则a ＝________. 1 解:方程x 2 ＋y 2 ＋2ay －6＝0与x 2 ＋y 2 ＝4.相减得2ay ＝2，则y ＝1 a .由条件 22 －(3)2 ＝1 a ，即a ＝1. 8．(2013·山东)过点P (3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( A ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0 解:如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝1 2，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为 y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0. 题型2轨迹问题 1.已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，若由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是___ 解：⊙O 的圆心为(0,0)，半径为2，⊙O ′的圆心为(4,0)，半径为6，设点P 为(x ，y )，由已知条件和圆切线性质得x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，化简得x ＝3 2._____． 2.圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2，1)． (1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程，并求内公切线方程； (2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 题型3.圆中最值问题 1.设M＝{(x，y)|y＝2a2－x2，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－3)2＝a2，a>0}，且M∩N≠?，求a 的最大值和最小值． 解M＝{(x，y)|y＝2a2－x2，a>0}，即{(x，y)|x2＋y2＝2a2，y≥0}，表示以原点O为圆心，半径等于2a的半圆(位于横轴或横轴以上的部分)．N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－3)2＝a2，a>0}，表示以O′(1，3)为圆心，半径等于a的一个圆．再由M∩N≠?，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切．当半圆和圆相外切时，由|OO′|＝2＝2a＋a，求得a＝22－2； 当半圆和圆相内切时，由|OO′|＝2＝2a－a，求得a＝22＋2， 故a的取值范围是[22－2,22＋2]，a的最大值为22＋2，最小值为22－2. 2.【2012高考江苏12】在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为228150 +-+=，若直线2 x y x =- y kx 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．
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