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常微分方程习题

常微分方程习题《李立康》

习题

1.用Euler 方法求初值问题

?=-='0)0(21u tu

u 在1=t 时的近似解（取4

h ）。 2.初值问题

????

=='0

)0(1

u u u b

有解???? ??=t t u 32)(。但若用Euler 方法求解，对一切N T ,和H T

h =,都只

能得到N t u t ,...,2,1,0==，试解释此现象产生的原因。 3.用Euler 方法计算

?=='1

)0(u u

u 在1=t 处的值，取16

和41=

h ，将计算结果与精确值e =）1（u 相比较。 4.设),(u t f 满足定理2.1的条件，对改进Euler 法（2.10）式证明：（1）其局部截断误差为)()(12

h O t u h -'''-

；

（2）当1

)1(22--

≤Lt n lT m e hL

e εε （3）方法具有二阶收敛速度且稳定。 5.导出用改进Euler 法求解

?=='1

)0(u u

u 计算公式

h h u ???

? ??-+=22 取4

h 计算)1(u 的近似值，并与习题3的结果比较。 6.就初值问题

?=+='0

)0(u b

at u 分别导出用Euler 方法和改进Euler 法求近似解的表达式，并与真解

bt t a

u +=

相比较。

7.证明改进Euler 法的绝对稳定区域是整个左半平面0)Re(

?=-='1

)0(2

u u u 用41=

h 的Euler 方法求解，求出实际计算值t u 与真解t

u +=11在)1(u 处的误差，并将它与定理2.3的估计式（2.22）式相比较。 9.证明：Runge-Kutta 方法中);,(h u t ?关于u 或t 满足Lipschitz 条件的充分条件是),(u t f 关于t 或u 满足Lipschitz 条件。 10.证明定理2.6.

11.证明定理2.7的推论（推论2.1）：“N 级Runge-Kutta 方法相容的充分必要条件是∑==N

i i c 11”。

12.Runge-Kutta 方法并不是导出高阶单步方法的唯一途径，如令

u t ff f u t f u t g +='=),(),(，则可将);,(h u t ?取为

)),(3

),();,(u t f h

u h

t g h

u t f h u t +

=?，

证明这是一个二阶的单步方法。

[提示：利用Taylor 展开后比较相当项的系数的方法。] 13.证明三阶Runge-Kutta 方法

???

??????? ??++=???? ??++==+-+=+231213211

43,432,2),()432(9k h

u h t f k k h u h t f k u t f k k k k h

u u m m 对于求解微分方程

t u u -='

与三阶Taylor 级数法的计算格式的形式完全相同。

14.对Heun 二阶方法（2.10）式作出如图2.3那样的几何解释。 15.用Taylor 级数法求方程

?=='1

)0(u u

u 的)2,0(),1,0(u u 的近似值（取4=q ），并说明近似值精度情况。

16.求线性三步四阶显示方法的计算格式。（取0α为参数） 17.求具有最高阶的三步方法的计算格式。

18.设)(),(λσλρ无公因子，证明线性多步方法至少二阶相容的充分必要条件是)1(2)1(),1()1(,0)1(σρρσρρ'='+''='=

19.证明：与算子]);([h t u L 相应的线性多步方法q 阶相容的充分必要条件是

,,...,1,0,0];[q n h t L n ==

而.0];[1≠+h t L q 此时误差常数为

.)!

1(]

;[111

+--++q h h t cL c q q q 20.讨论最高阶的两步方法（Milne 方法（2.69）式）和最高阶的三步方法（习题17）的稳定性。 21.检验四步方法

)848(3

12+++-+

=m m m m f f f h

u u

是否收敛。 22.证明：方法

m m m m m f h f f h

u u 6

)42(6

11+

=++

的阶为二

23.推到计算格式

?+'''+'''+?+?='+'+?+?=+++++++22112112

2112112~,~m m m m m m m m

m m m u h u h u h u u u u h u h u u u γββββ 的系数,,,,,2121γββαα使方法有尽可能高的阶数，并讨论它的稳定性。 24.讨论最高阶三步方法（习题17）的绝对稳定性。 25.讨论多步方法

))(3(2

)(12121-+-++-+=

--+m m m m m m f f a h

u u u a u

当a 取那些值时是稳定的；当a 取那些值时有绝对稳定区域非空。

26.在两步三阶方法

f f f h

u u u m m m m m m ]5)12(4)2[(5

)112(5

1)13(54010200102βββββ+++-=

+--+

++++

中，讨论当0β在什么范围种变化才能使算法绝对稳定。设此时的绝对稳定区域在实轴上的范围是],[b a ，求b a ,的值。 27.用公式（2.101）推到3=k 和4时的Gear 方法。

28.用公式（2.101）求下列计算公式的截断误差阶和各项系数：（1）11+++=m m m hf u u （向后Euler 公式）；（2）m m m m hf u u u 23412--=++；

（3）2=k 和3时的Adams 外插公式和内插公式。

29.证明：一步Gear 方法（习题28之（1））和两步Gear 方法（2.102）式都是A-稳定的。

30.求一级、二级隐式Runge-Kutta 方法（2.116）式、（2.117）式局部的截断误差项。

31.证明：（2.116）式（2.117）均为A-稳定的方法。

计算实习

1.编一个用Euler 方法解

?=='a t u u t f u )()

,(0

T t t ≤<0 的程序，使之适用于任意右端函数f ，任意步长h 和任意区间],[0T t 。用16

,81,41=

h 分别计算初值问题

??==∈+='...06666666.0151

)0(]4,0(,u t u u u t 在结点

)16,...,1,0(1

=i i

上打印出问题的精确解（真解为

e t u -=

16)(）。计算近似解、绝对误差、相对误差、先验误差界，

分析输出结果（这与获得输出结果同样重要）。

2.编一个与上题同样要求的改进Euler 法的计算程序，1+m u 的初值用Euler 方法提供，迭代步数s 为输入参数。用它求解上题的问题，并将两个结果加以比较。

3.编一个程序用Taylor 级数法求解问题

?=≤<='.

1)0(1

0,u t tu u 取Taylor 级数法的截断误差为)(21h O ，即要用)(),...,(),()20(t u t u t u '的值。

[提示：可用一个简单的地推公式来获得,...3,1,)(=n u n 。] 4.用四阶古典Runge-Kutta 方法（或其他精度不低于四阶的方法），对0≥x 时的标准正态分布函数：

∞<≤+

Φr

t x dt e x 0

20,2

21)(2

产生一张在[0,5]之间的80个等距结点（即16

h ）处的函数值表。 [提示：寻找一个以)(x Φ为解的初值问题。]

5.（一个“刚性”的微分方程）用四阶古典Runge-Kutta 方法阶初值问题：

?=≤<--+=',

0)0(,

30,1511102u t t t u u 取.81

=h 每隔8步打印出数值解与真解的值???

? ??-=t t t u 2)(2，画出它们的大致图像，并对产生的结果做出解释。

[提示：当初值ε=)0(u 时，方程的真解变为t t t t u -+=2

)(2

ε。]

6.分别用Adams 三步和四步外插公式，用16

h 求解 ??

?=≤<--+-='1

)0(3

0,17482u t t t u u 将计算结果与真解2

)(0

t e t u += t 进行比较，并对所产生的现象进

行理论分析。

7.用Adams 三步内插公式预测、Adams 四步外插公式校正次的预-校算法重新求解上题的方程，将结果与上题作比较，并解释产生差异的原因。

8.对（1.3）式所示的Lotka-Volterra “弱肉强食”模型，令

,5,3],5,0[,3,1,2,400==∈=+===-y x t k d l e k r 即

??==-='

-='.5)0(,3)0(,3)(,

24)(y x y xy t y xy x t x 50≤

h ，用任意一种精度不低于三阶的方法求解，要求结果至少有三位有效数字。作出)(),(t y t x 的图像及y 关于x 的图像。

（2）对5.2,2,5.1,

1)0(=y 解这同一个模型，分别画出y 关于x 的函数图像。

（3）讨论所获得的结果并分析原因。

[提示：注意xy 平面上的点（3,2），它被称为平衡点。]

习题抛物方程习题

1.推导扩散方程的三层差分格式：

θu

u -+)

1( 的截断误差，并证明当r

12121+=

θ时，截断误差的阶达到最高，为)(42h O -τ。

2.求Richardson 格式的改进形式Dufort Frankel 格式：

u u u a u u -----τ2 的截断误差。

3.讨论双向加权对称格式：

]22[2121651212

u u h u u u a u u u u u u --+--=-+-+-τττ 的截断误差。

4.用分离变量法求古典隐格式（

5.36）的差分真解。

5.用分离变量法对六点对称格式（3.38）推导其差分方程的真解。

6.利用题4和题5的结果，用分离变量法证明古典隐格式和六点对称格式是绝对稳定的。

7.列出求解：

????

????===∈∈≤≤

(],0(),1,0(),))(0(,)(1022t u t o u x x u T t x a x a a x u

x a t u ? 的古典显格式，并证明当

1≤h

a τ时格式是稳定的。 8.用直接法证明求解扩散方程的两层加权平均格式（5.25）：（1）当

≤≤θ时，是绝对稳定的。（2）当210<

≤θ时，稳定条件为)

21(21θ-≤r 。 9.证明：题3所给出的双向加权对称格式是绝对稳定的。 10.证明：题1所给出的三层差分格式是绝对稳定的。 11.证明：用最大模方法和传播因子法证明题8的结论。 12.证明半隐格式：

???????+--=-+--=-+++-+-++++是偶数是奇数j h u u u u a u u j h u u u u a u u j

i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i ,,2111112

111τ

τ 是绝对稳定的。

13.证明（Von Neumann 条件为充分条件的）定理5.14中的情况（6）的情况（7）。

14.证明：DuFort-Frankel 格式（5.86）绝对稳定。 [提示：利用上题的结果]

15.用分离变量法证明求解波动方程的三层加权格式（5.123）（1）当

41≤≤θ，格式是绝对稳定的。

（2）当4

≤θ，格式稳定的条件是θ

411-≤r 。

16.将“跳蛙”格式（5.118）推广到求解线性双曲型方程组（5.136），请写出相应的计算格式，并讨论其稳定性。 [提示：利用定理5.14中的情况（6）]

17.导出F-L 格式（5.140）和L-W 格式（5.141）的增长矩阵，从而说明4.4中所给出的稳定性条件是正确的。

18.建立求解二维扩散方程的DuFort-Frankel 格式，并证明其绝对稳定性。

19.用直接法证明：阶二维扩散方程的六点对称格式是绝对稳定的。

20.将局部一维格式推广到三维情形，并证明他的绝对稳定性。 [提示：此时，延拓后的),,(z y x u '的特解可取为e a )(σ这里

ττσσσσ),,(,),,(321z y x x ==。]

21.写出空间变量时三维情形时对应于格式（5.158）的计算格式。 22.对格式（5.158）和（5.159）导出类似于题8的稳定性条件。

计算实习

1. 对定解问题：

????

????===∈∈??=??0)0,(,

0),1(),0(],,0(),1,0(,22x u t u t u T t x x u

t u 若在)0,

(u 处有一个扰动10

，取,21,161==r h 分别用古典显格式和

Richardson 格式计算8层：

（1）打印出第8层上个结点处的计算值。（2）预测继续算下去计算值的变化趋势。（3）分析上述趋势产生的原因。 2.用古典显格式求解定解问题：

????

????+===∈∈??=??.)12sin()0,(0

),1(),0(],,0(),1,0(,22x k x u t u t u T t x x u

t u π 分别取5

t 和53，取161

=h ，计算10~20层：（1）对固定的k ，比较52=

r 和5

=r 时计算值的差别；（2）k 分别取,5,4,3,2,

1观测稳定和不稳定格式的计算值随初始函数变化的情况。

3.改用DuFort-Frankel 格式（5.86）算出实习题1在第8层上的值，并与Richardson 格式的计算值作比较。

4.任选一种差分方法求自由振动问题

???

????

?==??=>∞<<-∞??=??).,2(),0(,sin )0,(,0)0,(,0,,2

222t u t u x x t u x u t x x u t

u π 的周期解，求出1=t 处一个周期的计算值。 5.对定解问题：

???

???????==???????∈-∈=∈∈=??+??-??0),1(),0(]1,21[,1]21

,0[,)0,

(],,0(),1,0(,022t u t u x x x x x u T t x x u

a x u t u 分别用表5.13的左偏显式和中心显式，取r h ,161=

分别为53和a ,5

分别为)3,2,1,0(24=n n 计算10层，并分析所得到的计算结果，说说从中可获得什么规律性的东西。 6.用r h ,161=

分别为5

4和56

的古典显格式计算 ???

????

?==+=??=∈∈??=??0),1(),0(,)12sin()0,(,0)0,(],,0(),1,0(,2

222t u t u x k x t u x u T t x x u

u π )5,4,3,2,1(=k ，比较计算结果间的差别。

习题椭圆型

1.用二阶Gear 公式导出区间左端的第三类边界条件：

αγ=+')()(a u a u

的类似（3.8）式的差分形式。

2.用极值原理证明：当差分方程组（

3.13）的两个边界条件都是第一类或都是第三类时，相应的差分方程组的解仍存在且唯一。 3.用“不可约对角占优矩阵必定非奇”的结论证明第2题。

4.证明：若将差分方程组（3.13）左端点的条件也改为第三类边界

条件，则差分解收敛于原微分方程的解，且收敛速度亦是)(2h O 。 5.证明：采用差分格式（3.31），（3.32）求解微分方程（3.20）时，其截断误差满足估计式（3.33）。

6．对九点差分格式（3.34）证明余项（3.35）式。

7.用积分守恒公式在矩形网格或三角形网格上构造逼近方程：

G y x y x f y

p y x u p x u p ∈=????-????-

=??-),(),,()()()( 的五点差分格式，这里.0),(0>≥=p y x p p

8.证明：当取所有三角形单元为相同的直角三角形时，在内点上按§2.3的方法导出的差分格式恰为§2.1中的污点差分格式。 9.对边长为h 的正三角形组成的网格的内点证明公式（3.47）。 10.对正六边形（边长为h ）网格的内点导出Poisson 方程相应的差分格式。

11.证明：三角形网格上的Poisson 方程的第一或第三边值问题的差分格式的系数矩阵对称。 12.对Laplace 方程：

???=±=±<<-=?,)1,

(,),1(1

,1,02

2x x u y y u y x u 取2

h 做矩形部分，请用五点差分格式求出内点处),(y x u 的近似值。 13.记Ω是XY O -平面上以)0,3(),32,1(±±±为顶点的六边形区域，Γ是其边界，以边长为2的正三角形对Ω做剖分，将4个内点从（1,0）起按顺时针方向依次编为1,2,3,4用差分法求方程

???Γ

∈+=Ω

∈=?),(,2),(,02

2y x y x y x u x u 在结点i 处的近似解)4,3,2,1(=i u i 14.对方程

???==∈=1)1()0(),1,0(,122u u x dx

d 取2.0=h ，令i u 为)()(ih u x u i ≡的差分解5,...,2,1,

0=i ，求出i u 。同时求出方程的精确解在i x 处的值，比较i u 与)(i x u 的误差情况并分析产生这种情况的原因。

15.验证矩形网格上的五点差分格式（3.25）和三角形网格上的差分方程（3.45）满足条件（3.19）式和（3.50）式。 16.证明：椭圆型差分方程的极值原理（定理3.1）。

17.利用“不可约对角占优矩阵必定非奇”证明差分方程（3.48）的解存在且唯一。

18.证明：当h 充分小时，第三类边值问题的差分方程的解存在且唯一。

19.证明：若G d ∈>,00则方程

的解满足

≤v max

(当i ?在h G '上恒为零时，本命题就是定理3.3)

20.对非正则内点采用（3.40）式处理的五点差分格式，试仿照定

理3.5的证明过程导出其收敛速度的阶。 21.证明（3.57）式。

计算实习

1.取641=

h 和128

1，计算以下两点边值问题的差分解，并与精确（1）??

???==<<++-=5.0)1(,1)0(10,)

1(1

)1(2

22u u x x u x dx u d 精确解：x

u +=

；（2）??

???+==<<-'=+-

,3)(,2)0(0,sin 322πππe u u x x e u dx

dx u d 精确解：;cos 3x e u -=

（3）??

???==<<+-=+-πππ)(,0)0(0,cos 222u u x x x x u dx du

x dx

u d 精确解：x x u sin 2+=；

并分析差分解与精确解的误差之所以会有些大有些小的原因。 2.设G 是以原点为中心的单位正六边形的内部，用8

=h 的正方形网格作剖分，用五点差分格式求方程：

?Γ

∈=∈=?-),(,0),(,1y x u G

y x u 的数值解。

3.对方程：

?Γ

∈=∈=?),(,),(,0y x x u G

y x u

G 的形状如图3.11所示，其中曲线部分为单位圆的4

1。取41

=h ，求

出所有内结点上的差分解。

4.考虑图3.12所示的不规则区域上的热的分布问题：

?????

??=??===?在两侧。,0u 在底部，

,100u 在顶部，,0在内部，

,0γ

u u

决定相应的线性方程组并求出10个内部结点处的温度

)10,...,2,1(u i i

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

常微分方程试题库

常微分方程试题库二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'；选题说明：每份试卷选2道题为宜。

二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解，（2分）当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ，（2分）积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分）（分）（22 3. 解方程：解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t

2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.5 2．ydy x xdy ydx 2=- 。解： 2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+2 2 1 4． xy x y dx dy -= 解：两边同除以x ，得 x y x y dx dy - =1 令u x y = 则dx du x u dx dy += 即 dx du x u dx dy +=u u -=1 得到 ()2ln 2 1 1y c u -=，即2 ln 21?? ? ??-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。 6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydx x d x y x d y y d x -=-2 得到c x y x d +-=??? ? ??2 21

即 c x y x =+2 2 1 另外0=y 也是方程的解。 8. 32 x y x y dx dy += 解：令 u x y = 则： 21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2 1u x dx du x = 得到22x dx u du = 故c x u +-=-11 即 21 1x x c y += 另外0=y 也是方程的解。 10． 2 1?? ? ??+=dx dy dx dy x 解：令 p dx dy = 即p p x 2 1+= 而 p dx dy =故两边积分得到 c p p y +-=ln 2 12 因此原方程的解为p p x 21+=，c p p y +-=ln 212 。 12.x y xe dx dy e =?? ? ??+-1 解： y x xe dx dy +=+1

3.1 常微分方程课后答案

习题3.1 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解；解：取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解；解：令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题求初值问题： ?????=-=0 )1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；解：因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;

)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解；解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续；而312 3y 在y 0 σ≥上连续由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解；故方程的解为：y =?????≥00023 x x x 或 y=0; 6题证明格朗瓦耳不等式：设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）

四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3）（4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*）说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导）分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2，代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

常微分方程习题集

常微分方程习题集 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 -。二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间 a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:(t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>

《常微分方程》测试题2 一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的微分方程是. 2、方程的通解中含有任意常数的个数为. 3、方程有积分因子的充要条件为 . 4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件． 5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是． 6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们(有或无)共同零点． 7、设是方程的通解，则. 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一解. 9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于的K个线性无关解是. 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%）

常微分习题解答

《常微分方程》习题解答东北师范大学微分方程教研室(第二版) 高等教育出版社

习题 1 求下列可分离变量微分方程的通解： (1) xdx ydy = 解：积分，得 12 22 121c x y += 即 c y x =-22 (2) y y dx dy ln = 解： 1, 0==y y 为特解，当1, 0≠≠y y 时， dx y y dy =ln ，积分，得0ln ,ln ln 11≠=±=+=c ce e e y c x y x x c ，即x ce e y = (3) y x e dx dy -= 解：变形得 dx e dy e x y =积分，得c e e x y =- (4) 0cot tan =-xdy ydx 解：变形得 x y dx dy cot tan = ，0=y 为特解，当0≠y 时，dx x x dy y y cos sin sin cos =. 积分，得11cos sin ln ,cos ln sin ln c x y c x y =+-=, 即0,cos sin 1 ≠=±=c c e x y c 2．求下列方程满足给定初值条件的解： (1) 1)0(),1(=-=y y y dx dy 解： 1, 0==y y 为特解，当1, 0≠≠y y 时，dx dy y y =--)1 11( ，积分，得 0,1 ,1 ln 11≠=±=-+=-c ce e e y y c x y y x x c 将1)0(=y 代入，得 0=c ，即1=y 为所求的解。 (2) 1)0(,02)1(2 2 ==+'-y xy y x 解： 0,1 222 =--=y x xy dx dy 为特解，当0≠y 时， dx x x y dy 1 222--=，积分，得 c x y +--=- 1ln 1 2

常微分方程试题

一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.

4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,

其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).

A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,

常微分方程习题及答案.[1]

第十二章常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是。 ③x y y dx dy x ln ?=是。 ④x x y y x sin 2+='是。 ⑤02=-'+''y y y 是。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是阶微分方程。

7．x y 1 =所满足的微分方程是。 8．x y y 2='的通解为。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为。三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=

常微分方程复习习题集

《常微分方程》复习习题集一．求解下列一阶微分方程 1． 3(ln )0y dx y x dy x ++= 2．tan sec dy y x x dx += 3．tan dy y x y x dx x -= 4． 2(cos sin )dy y y x x dx +=- 5．222()2dy x dy y x dx dx =++ 6．(2)0y y e dx y xe dy ---+= 7． 2(cos cos 2)dy x y dx = 8．2dy y x dx x =- 9．()ln dy x y x y x y dx x +-=+ 10． 411 (12)33 dy y x y dx +=- 11．(2)0y y e dx x xy e dy -+= 12．(1)y y y e ''=- 13．(2)(2)0x y dx x y dy ++-= 14． dy x y e dx =+ 15．tan dy y y dx x x -= 16．2 ()0ydx y x dy -+= 17．22 ()1y y '+= 二．求解下列微分方程组 1. 234dx x y dt dy x y dt ?=+????=+?? 3. ???????-=-=y x dt dy y x dt dx 232 2. 5445dx x y dt dy x y dt ?=+????=+?? 4. ???????+=+=y x dt dy y x dt dx 2543 三．求下列微分方程的通解 1. x y y xe -''+= 2. 65x y y y e '''++=3. 33x y y y y xe -''''''+++= 4. 265x y y y e '''++=四．叙述“皮卡存在唯一性定理”，并求下列初值问题

常微分方程第三版课后习题答案#(精选.)

习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y

常微分方程试题库.

常微分方程一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o

8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^=

常微分方程自学练习题

常微分方程自学习题及答案一填空题: 1 一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线. 2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________. 3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________. 4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间. 5 方程 21y dx dy -=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______ 7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解. 10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程 y x dx dy /-=的解是( ). 13已知(0)()32 2 2 =+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________. 14 ?????=+=0 )0(22y y x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程0652 =+-??? ??y dx dy dx dy 的通解是( ). 16方程5 34 y x y dx dy =++?? ? ??的阶数为_______________. 17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y 在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组 Y =)(x A dx dy 的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19、一般而言，弦振动方程有三类边界条件，分别为：第一类边界条件u(0,t)=g 1(t), ；第二类边界条件)(),0(t u t x u =??，；第三类边界条件F )(),0(),0(0t u t u t x u k =-??， T )(),(),(1t v t L u t L x u k =-??，其中k 0,k 1,T 都是大于零的常数，u(t),v(t)为给定的函数。 20、在偏微分方程组中，如果方程个数未知函数的个数，则方程组为不定的。反之，如果方程的个数未知函数的个数，则方程组称为超定的。（选填“多于”、“少于”或“等于”） 21、一般2个自变量2阶线性偏微分方程有如下形式：

常微分方程习题集

常微分方程习题集Last revision on 21 December 2020

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 -。二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间 a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:(t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>

1、 2、 3、 4、 5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解.（10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题

(完整版)常微分方程习题及解答

常微分方程习题及解答一、问答题： 1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义? 答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。 2．举例阐述常数变易法的基本思想。答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。例：求 ()()dy P x y Q x dx =+的通解。首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dx y c ?=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dx y c x ? =l ，微分之，得到 ()()()()()P x dx P x dx dy dc x c x P x dx dx ?? =+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()() P x dx P x dx P x dx dc x c x P x dx c x P x Q x ??+?=+l l l 即 ()() ()P x dx dc x Q x dx -? =l 积分后得到()()()P x dx c x Q x dx c -?=+? %l 进而得到方程的通解 ()()(()) P x dx P x dx y Q x dx c -? ?=+?%l l 3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题 ()(1) 11(1) 01020()...()()()(),(),....()n n n n n n x a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a t b ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈， 12,,...,n ηηη是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题

常微分方程第三版答案2.2[1]1

习题2.2 求下列方程的解 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 21 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = d x d y =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*）将x y u =带入（*）中得：3433cx x y =-是原方程的解.

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《常微分方程》测试题 1 、填空题30% 1、形女口_______________________________ 的方程，称为变量分离方程，这里丿⑴?（刃分别为x.y的连续函数。 2、形如___________________________________ -的方程，称为伯努利方程，这里戸⑴珈的连续函数.n= 0 1是常数。引入变量变换---------- ,可化为线性方程。 3、如口果存在常数匸AQ便得不等式 _________________________ -对于所有都成立?￡称为利普希兹常数录函数八丿）称为在R上关于尸满足利普希兹条件。 4、形如_____________________________________________ -的方程，称为欧拉方程，这里眄4,杲常数° 典）是* =卫伽+ /?的某一解，则它的任 5、设姬是宀加的基解矩阵，一解叫）可表为________________________________________________ 。、计算题40% 或=6艺-烟的通解° 1、求方程必x 或+出二界 2、求方程必乂的通解。 3、求方程汀我*+^ = 0的隐式解。或二工+y型过点@6的第三次近似解。 4、求方程

三、证明题30% 「上 1 o r 1- —1] 1.试验证①0 ）= ￡ L 2t 1 是方程组x = 2 2 L ? d x,x= ，在任何不包含原点的区间a 曲壬&上的基解矩阵。 2?设①°）为方程x =Ax （A 为* n 常数矩阵）的标准基解矩阵（即 ①（0） =E ），证明:①? ①"（□）=◎ （t-初）其中to 为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2 一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的微分方程是 ____________________________ . 2、方程y - " i 的通解中含有任意常数的个数为 __________________ . 3、方程皿（心刃肚+朋兀刈如=°有积分因子）的充要条件为 _________ r 4、「连续是保证-■- 对匸满足李普希兹条件的条件. d 畀 ——=so X- cos^y 5、方程血 _______________________________________ 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 . 6、若厂曲"是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们（有或无）共同零点.

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