2018高考数学异构异模复习考案第八章立体几何课时撬分练8.3
直线、平面平行的判定与性质文
时间:45分钟
基础组
1.[2016·武邑中学预测]已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列为真命题的是( )
A.m∥n,m⊥α?n⊥α
B.α∥β,m?α,n?β?m∥n
C.m⊥α,m⊥n?n∥α
D.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β
答案 A
解析选项A中,如图①,n∥m,m⊥α?n⊥α一定成立,选项A正确.选项B中,如图②,α∥β,m?α,n?β,m与n互为异面直线,∴选项B不正确.选项C中,如图③,m⊥α,m⊥n,n?α,∴选项C不正确.选项D中,如图④,m?α,n?α,m∥β,n∥β,但α与β相交,∴选项D不正确.
2.[2016·衡水二中模拟]直线m,n均不在平面α,β内,给出下列命题:
①若m∥n,n∥α,则m∥α;②若m∥β,α∥β,则m∥α;③若m⊥n,n⊥α,则m ∥α;④若m⊥β,α⊥β,则m∥α.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 D
解析对命题①,根据线面平行的判定定理知,m∥α;对命题②,如果直线m与平面α相交,则必与平面β相交,而这与α∥β矛盾,故m∥α;对命题③,在平面α内取一点A,设过A,m的平面γ与平面α相交于直线b.因为n⊥α,所以n⊥b,又m⊥n,所以m ∥b,则m∥α;对命题④,设α∩β=l,在α内作m′⊥β,因为m⊥β,所以m∥m′,从而m∥α.故四个命题都正确.
3.[2016·枣强中学期末]已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题中错误的是( )
A.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
B.若α∥γ,β∥γ,则α∥β
C.若m?α,n?β,m∥n,则α∥β
D.若m,n是异面直线,m?α,m∥β,n?β,n∥α,则α∥β
答案 C
解析由线面垂直的性质可知A正确;由两个平面平行的性质可知B正确;由异面直线的性质易知D也是正确的;对于选项C,α,β可以相交、可以平行,故C错误,选C.
4.[2016·衡水二中仿真]平面α∥平面β,点A,C∈α,B,D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是( )
A.AB∥CD B.AD∥CB
C.AB与CD相交D.A,B,C,D四点共面
答案 D
解析充分性:A,B,C,D四点共面,由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.
5.[2016·枣强中学期中]如图,在正四棱柱A1C中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件________时,就有MN∥平面B1BDD1.(注:请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况)
答案M位于线段FH上
解析连接HN,FH,FN,则FH∥DD1,HN∥BD,∴平面FHN∥平面B1BDD1,只要M∈FH,则MN?平面FHN,∴MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)
6.[2016·冀州中学期末]给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题:
①若l与m为异面直线,l?α,m?β,则α∥β;
②若α∥β,l?α,m?β,则l∥m;
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.
其中真命题为________.
答案③
解析①中当α与β不平行时,也能存在符合题意的l、m.
②中l 与m 也可能异面.
③中
?
???
?l ∥γ
l ?ββ∩γ=m ?l ∥m , 同理l ∥n ,则m ∥n ,正确.
7.[2016·衡水中学预测]如图所示,四棱锥P -ABCD 的底面是一个直角梯形,AB ∥CD ,
BA ⊥AD ,CD =2AB ,PA ⊥底面ABCD .若E 为PC 的中点,则BE 与平面PAD 的位置关系是________.
答案 平行
解析 取PD 的中点F ,连接EF ,AF .在△PCD 中,EF ∥CD ,且EF =1
2CD .∵AB ∥CD ,且CD
=2AB ,∴EF ∥AB ,且EF =AB ,∴四边形ABEF 为平行四边形,∴EB ∥AF .又∵EB ?平面PAD ,
AF ?平面PAD ,∴BE ∥平面PAD .
8.[2016·枣强中学热身]如图,四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD ,且PA =2,E 是侧棱PA 上的中点.
(1)求证:PC ∥平面BDE ; (2)求四棱锥P -ABCD 的体积.
解 (1)证明:连接AC 交BD 于点O ,连接OE ,如图:
∵四边形ABCD 是正方形, ∴O 是AC 的中点.
又E 是PA 的中点,∴PC ∥OE . ∵PC ?平面BDE ,OE ?平面BDE , ∴PC ∥平面BDE . (2)∵PA ⊥平面ABCD ,
∴V P -ABCD =13S 正方形ABCD ·PA =13×12
×2=23,
∴四棱锥P -ABCD 的体积为2
3
.
9.[2016·衡水中学猜题]已知三棱柱ABC -A ′B ′C ′中,平面BCC ′B ′⊥底面ABC ,
BB ′⊥AC ,底面ABC 是边长为2的等边三角形,AA ′=3,E ,F 分别在棱AA ′,CC ′上,且AE =C ′F =2.
(1)求证:BB ′⊥底面ABC ;
(2)在棱A ′B ′上找一点M ,使得C ′M ∥平面BEF ,并给出证明.
证明 (1)如图,取BC 中点O ,连接AO ,因为三角形ABC 是等边三角形,所以AO ⊥BC ,
又平面BCC′B′⊥底面ABC,AO?平面ABC,平面BCC′B′∩平面ABC=BC,
所以AO⊥平面BCC′B′,
又BB′?平面BCC′B′,
所以AO⊥BB′.
又BB′⊥AC,AO∩AC=A,AO?平面ABC,AC?平面ABC,
所以BB′⊥底面ABC.
(2)如图,显然M不是A′,B′,棱A′B′上若存在一点M,使得C′M∥平面BEF,过M 作MN∥AA′交BE于N,连接FN,MC′,所以MN∥C′F,即C′M和FN共面,所以C′M∥FN,
所以四边形C′MNF为平行四边形,
所以MN=2,
所以MN是梯形A′B′BE的中位线,M为A′B′的中点.
10.[2016·衡水中学一轮检测]如图所示,在棱长均为4的三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分别是BC和B1C1的中点.
(1)求证:A1D1∥平面AB1D;
(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1,∠B1BC=60°,求三棱锥B1-ABC的体积.
解(1)证明:如图所示,连接DD1,
在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,因为D ,D 1分别是BC 与B 1C 1的中点, 所以B 1D 1∥BD ,且B 1D 1=BD .
所以四边形B 1BDD 1为平行四边形,所以BB 1∥DD 1,且BB 1=DD 1.又因为AA 1∥BB 1,AA 1=BB 1,所以AA 1∥DD 1,AA 1=DD 1,
所以四边形AA 1D 1D 为平行四边形, 所以A 1D 1∥AD .
又A 1D 1?平面AB 1D ,AD ?平面AB 1D ,故A 1D 1∥平面AB 1D . (2)在△ABC 中,因为AB =AC ,D 为BC 的中点,所以AD ⊥BC .
因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ,交线为BC ,AD ?平面ABC ,所以AD ⊥平面B 1C 1CB ,即AD 是三棱锥A -B 1BC 的高.
在△ABC 中,因为AB =AC =BC =4,得AD =2 3. 在△B 1BC 中,B 1B =BC =4,∠B 1BC =60°, 所以△B 1BC 的面积S △B 1BC =12×4×4×3
2
=43,
所以三棱锥B 1-ABC 的体积即三棱锥A -B 1BC 的体积,V =13S △B 1BC ·AD =1
3×43×23=
8.
11.[2016·冀州中学模拟]如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,S 是B 1D 1的中点,E 、F 、
G 分别是BC 、DC 、SC 的中点,求证:
(1)直线EG ∥平面BDD 1B 1; (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1. 证明 (1)如图,连接SB ,
∵E 、G 分别是BC 、SC 的中点, ∴EG ∥SB .
又∵SB ?平面BDD 1B 1,EG ?平面BDD 1B 1,∴直线EG ∥平面BDD 1B 1.
(2)连接SD ,∵F 、G 分别是DC 、SC 的中点,∴FG ∥SD . 又∵SD ?平面BDD 1B 1,FG ?平面BDD 1B 1,∴FG ∥平面BDD 1B 1,
又EG ?平面EFG ,FG ?平面EFG ,EG ∩FG =G ,∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.
12.[2016·衡水二中周测]如图所示的多面体中,ABCD 是菱形,BDEF 是矩形,ED ⊥平面
ABCD ,∠BAD =π3
,AD =2.
(1)求证:平面FCB ∥平面AED ;
(2)若二面角A -EF -C 为直二面角,求直线BC 与平面AEF 所成的角θ的正弦值. 解 (1)证明:在矩形BDEF 中,FB ∥ED , ∵FB ?平面AED ,ED ?平面AED , ∴FB ∥平面AED , 同理BC ∥平面AED ,
又FB ∩BC =B ,∴平面FBC ∥平面EDA .
(2)取EF 的中点M .连接AM ,CM .连接AC 交BD 于点N .由于ED ⊥平面ABCD ,ED ∥FB , ∴ED ⊥AD ,ED ⊥DC ,FB ⊥BC ,FB ⊥AB . 又ABCD 是菱形,BDEF 是矩形,
∴△ADE ,△EDC ,△ABF ,△BCF 是全等三角形, ∴AE =AF ,CE =CF ,
∴AM ⊥EF ,CM ⊥EF ,∠AMC 就是二面角A -EF -C 的平面角.
延长CB 到G ,使BC =BG ,由已知可得,ADBG 是平行四边形,又BDEF 是矩形,∴AEFG 是平行四边形,即A ,E ,F ,G 共面,由此可知,AM ⊥MC ,CM ⊥EF ,EF ,AM 相交于M ,
∴CM ⊥平面AEFG ,∠CGM 为所求. 由AD =2,∠DAB =60°,得AC =23,
等腰Rt △AMC 中,AC =23,可得MC =6,Rt △GMC 中,sin ∠CGM =CM
CG =
64
. 能力组
13.[2016·枣强中学仿真]已知m ,n ,l 1,l 2表示直线,α,β表示平面.若m ?α,n ?α,l 1?β,l 2?β,l 1∩l 2=M ,则α∥β的一个充分条件是( )
A .m ∥β且l 1∥α
B .m ∥β且n ∥β
C .m ∥β且n ∥l 2
D .m ∥l 1且n ∥l 2
答案 D
解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平行”可知,选项D 可推知α∥β.
14.[2016·衡水二中月考]平面α∥平面β的一个充分条件是________(填写正确的序号).
①存在一条直线a ,a ∥α,a ∥β; ②存在一条直线a ,a ?α,a ∥β;
③存在两条平行直线a ,b ,a ?α,b ?β a ∥β,b ∥α; ④存在两条异面直线a ,b ,a ?α,b ?β, a ∥β,b ∥α. 答案 ④
解析 根据两平面平行的条件,只有④符合.
15. [2016·武邑中学热身]在如图所示的多面体中,四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形. (1)若AC ⊥BC ,证明:直线BC ⊥平面ACC 1A 1;
(2)设D ,E 分别是线段BC ,CC 1的中点,在线段AB 上是否存在一点M ,使直线DE ∥平面
A 1MC ?请证明你的结论.
解 (1)证明:因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形,所以AA 1⊥AB ,AA 1⊥AC . 因为AB ,AC 为平面ABC 内两条相交直线, 所以AA 1⊥平面ABC .
因为直线BC ?平面ABC ,所以AA 1⊥BC .
又AC ⊥BC ,AA 1,AC 为平面ACC 1A 1内两条相交直线,所以BC ⊥平面ACC 1A 1. (2)取线段AB 的中点M ,连接A 1M ,MC ,A 1C ,AC 1,设O 为A 1C ,AC 1的交点. 由已知可知O 为AC 1的中点.
连接MD ,OE ,则MD ,OE 分别为△ABC ,△ACC 1的中位线,所以MD 綊12AC ,OE 綊1
2AC ,因
此MD 綊OE .
连接OM ,从而四边形MDEO 为平行四边形,则DE ∥MO . 因为直线DE ?平面A 1MC ,MO ?平面A 1MC , 所以直线DE ∥平面A 1MC ,
即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点),使直线DE ∥平面A 1MC .
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 (2008年第16题) 在四面体ABCD 中, CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点, 求证:(1)直线EF ∥平面ACD (2)平面EFC ⊥平面BCD 证明:(1) ??? E , F 分别为AB ,BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ,EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD (2)? ?????CB =CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD , 所以平面EFC ⊥平面BCD
B C? (2009年第16题) 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C . 求证:(1)EF∥平面ABC (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明:(1)由E,F分别是A1B,A1C的中点知EF∥BC, 因为EF?平面ABC,BC?平面ABC,所以EF∥平面ABC (2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1, 又A1D?平面A1B1C1,故CC1⊥A1D, 又因为A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C,又A1D?平面A1FD, 故平面A1FD⊥平面BB1C1C
P A B C D D P A B C F E (2010年第16题) 如图,在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD =DC =BC =1,AB =2,AB ∥DC , ∠BCD =90°. (1)求证:PC ⊥BC ; (2)求点A 到平面PBC 的距离. 证明:(1)因为PD ⊥平面ABCD , BC ?平面ABCD ,所以PD ⊥BC . 由∠BCD =90°,得CD ⊥BC , 又PD ∩DC =D ,PD 、DC ?平面PCD , 所以BC ⊥平面PCD . 因为PC ?平面PCD ,故PC ⊥BC . 解:(2)(方法一)分别取AB 、PC 的中点E 、F ,连DE 、DF ,则: 易证DE ∥CB ,DE ∥平面PBC ,点D 、E 到平面PBC 的距离相等. 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍. 由(1)知:BC ⊥平面PCD ,所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC , 因为PD =DC ,PF =FC ,所以DF ⊥PC ,所以DF ⊥平面PBC 于F . 易知DF = 2 2 ,故点A 到平面PBC 的距离等于2. (方法二)等体积法:连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h . 因为AB ∥DC ,∠BCD =90°,所以∠ABC =90°. 从而AB =2,BC =1,得△ABC 的面积S △ABC =1. 由PD ⊥平面ABCD 及PD =1,得三棱锥P —ABC 的体积V =13S △ABC ×PD = 1 3 . 因为PD ⊥平面ABCD ,DC ?平面ABCD ,所以PD ⊥DC . 又PD =DC =1,所以PC =PD 2+DC 2=2. 由PC ⊥BC ,BC =1,得△PBC 的面积S △PBC = 2 2 . 由V A ——PBC =V P ——ABC ,13S △PBC ×h =V = 1 3 ,得h =2, 故点A 到平面PBC 的距离等于2.
4 42 立体几何 热点一空间点、线、面的位置关系及空间角的计算 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明,一般出现在解答题的第(1)问,解答题的第(2)问常考查求空间角,求空间角一般都可以建立空间直角坐标系,用空间向量的坐标运算求解. π 【例1】如图,在△ABC中,∠ABC=,O为AB边上一点,且3OB=3OC=2AB,已知PO⊥平面ABC,2DA=2AO=PO,且DA∥PO. (1)求证:平面PBD⊥平面COD; (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值. (1)证明∵OB=OC,又∵∠ABC= π 4 , ππ ∴∠OCB=,∴∠BOC=. ∴CO⊥AB. 又PO⊥平面ABC, OC?平面ABC,∴PO⊥OC. 又∵PO,AB?平面PAB,PO∩AB=O, ∴CO⊥平面PAB,即CO⊥平面PDB. 又CO?平面COD, ∴平面PDB⊥平面COD. (2)解以OC,OB,OP所在射线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
? →·n ? 则 sin θ=? ?|PD||n|? PD BC BD BC BD =? ?= 02+(-1)2+(-1)2× 12+12+32 ? 11 1×0+1×(-1)+3×(-1) 设 OA =1,则 PO =OB =OC =2,DA =1. 则 C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,-1,1), ∴→=(0,-1,-1),→=(2,-2,0),→=(0,-3,1). 设平面 BDC 的一个法向量为 n =(x ,y ,z), ??n·→=0, ?2x -2y =0, ∴? ∴? ??n·→=0, ?-3y +z =0, 令 y =1,则 x =1,z =3,∴n=(1,1,3). 设 PD 与平面 BDC 所成的角为 θ, ? PD ? → ? ? ? ? 2 22 . 即直线 PD 与平面 BDC 所成角的正弦值为 2 22 11 . 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步:建立空间直角坐标系. 第二步:确定点的坐标. 第三步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步:计算向量的夹角(或函数值). 第五步:将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【对点训练】 如图所示,在多面体 A B D DCBA 中,四边形 AA B B ,ADD A ,ABCD 均为正方 1 1 1 1 1 1 1 形,E 为 B D 的中点,过 A ,D ,E 的平面交 CD 于 F. 1 1 1 1 (1)证明:EF∥B C. 1 (2)求二面角 EA D B 的余弦值. 1 1 (1)证明 由正方形的性质可知 A B ∥AB∥DC,且 A B =AB =DC ,所以四边形 A B CD 为平行 1 1 1 1 1 1
A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1.如图正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点, P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点, (1)求证:D 、B 、F 、E 四点共面; (2)若A 1C 与面DBFE 交于点R ,求证:P 、Q 、R 三点共线 2.已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β. 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系. ①求EF 和点G 的坐标; ②求异面直线EF 与AD 所成的角; ③求点C 到截面AEFG 的距离. 4. 如图,三棱锥P —ABC 中, PC ⊥平面ABC ,PC=AC=2,AB=BC ,D 是PB 上一点,且CD 平面PAB . (I) 求证:AB ⊥平面PCB ; (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小; (III )求二面角C-PA-B 的余弦值. 5. 如图,直二面角D —AB —E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AE=EB ,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ; (2)求二面角B —AC —E 的余弦值. 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A
(Ⅰ)若P 为AC 的中点,M 为BB 1的中点,求证BP//平面AMC 1; (Ⅱ)若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο,试求BM 的长. 7. 如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,PA =AB =1,BC =2. (1)求证:平面PDC ⊥平面PAD ; (2)若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值; 8. 已知:在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB = a ,AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证: (Ⅰ)求证:平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1; (Ⅱ)求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值. 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,且60DAB ∠=,1AD AA =F 为 棱1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点. (Ⅰ)求证:直线MF //平面ABCD ; (Ⅱ)求证:直线MF ⊥平面11ACC A ; (Ⅲ)求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体,P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点,满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E