例1 (E01) 问
()
?
dx x f dx
d
)( 与 ?'dx x f )(是否相等?
解 不相等.设),()(x f x F ='则
()?dx x f dx
d )())((C x F dx d
+=0)(+'=x F )(x f =
而由不定积分定义?'dx x f )(C x f +=)(，所以()?dx x f dx
d
)(.)(?'≠dx x f
例3 (E03) 检验下列不定积分的正确性：
（1）?+=C x x xdx x sin cos ；（2）?
++=C x x x xdx x cos sin cos ; 解 （1）错误. 因为对等式的右端求导，其导函数不是被积函数：
()x x x x x C x x cos 0sin cos sin ≠++='+.
（2）正确. 因为
()x cos x x sin x sin x cos x C x cos x sin x =+-+='++0.
1．填空题
（1）若)(x f 的一个原函数为2ln x ，则=)(x f 。 解：因为c x dx x f +=?2ln )( 所以=
)(x f x
x x 2
22= （2）若?+=c x x x f 2sin d )(，则=)(x f ． 解：=)(x f x 2cos 2
（3）若c x x x x f +=?ln d )(，则=')(x f ． 解：=)(x f 1ln +x ，=')(x f x
1 （4）=?-x x d e d 2
．
解：=?-x x d e d 2dx e x 2
- （5）='?x x d )(sin
．
解：='?x x d )(sin c x +sin
例2 设)(x F 为x
x e
22-的一个原函数,且满足0)(=o F ，求
?
1
)(dx x F
x
x
e 22
-本身是一个不可积的函数，我们根本不能把)(x F 表达成初等函数的形式，这
个时候唯一的办法就是利用变上限积分
?
-x
a
t
t
dt e 22
解 设?
-=
x
t
t dt e
x F 0
22)(它是t
t e
22-的一个原函数，又显然满足0)0(=F ，于是
dtdx e dx x F x
t
t
?
?
?
-=1
00
21
2
)(由于双重积分里面t
t
e 22
-关于t 的原函数不可积,所以用交换
积分次序的办法
2
2
2
2
22111
1
222100
00
1
1222
021
()1(12)(2)2
1112
22x
t
t
t
t
t
t
t t
t
t
t t t t
e dtdx e dxdt e x dt
e t dt e d t t e
e
------===
-=-
-=-=
-??
?
?
??
?
第21讲 理函数的不定积分
讲授内容
一、有理函数的不定积分
有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为
m
m m n
n n x x x x x Q x P x R βββααα++++++=
=-- 110110)()()(，
(1)
其中n ，m 为非负整数，n ααα,,,10 与m βββ ,,10都是常数，且00≠α，00≠β． 若
n m >，则称它为真分式；若n m ≤，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能
化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式．
根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)：
第一步 对分母()x Q 在实系数内作标准分解： ()()()
()
()
t
t t s q p x q x p x
a x a x x Q μμλλ
++++--=21
12
11
2
1 ，
（2） 其
中
()
t i j i ,,2,1,1,0 ==μλβ均为自然数，而且
.,,2,1,04;221
1
t j q p m j j s
i t
j j i
=-=+∑∑==μλ
第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()k
a x -的因式，它所对应的部分分式是
()()
;22
1k
k a x A a x A a x A -++-+- 对每个形如(
)
k
q px x ++2
的因式，它所对应的部分分式是
()
()
.2
2
222211k
k
k q
px x
C x B q
px x C x B q px x C x B ++++
+++++
+++
把所有部分分式加起来，使之等于()x R ．(至此，部分分式中的常数系数i i i C B A ,,尚为待定的.)
第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母()x Q ，而其分子亦应与原分子()x P 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．
例1 对()8
42510
9422345234-+--+-++-=x x x x x x x x x x R 作部分分式分解
解
按
上
述
步
骤
依
次执行如下：
()=x Q 84252345-+--+x x x x x ()()().12222
+-+-=x x x x
部分分式分解的待定形式为()().1
2222
2210+-++++++-=
x x C
Bx x A x A x A x R
（3）
用()x Q 乘上式两边，得一恒等式
()()
12109422
2
02
3
4
+-+≡-++-x x x A x x x x
+()()()()()
121222
22
1+--++-+-x x x A x x x x A
+
()()()222+-+x x C Bx
（4）
然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：
?????
????-=---=--+=+----=+++-=++常数项
的系数，的系数，
的系数，的系数 .1082449483442433123,22102122103210410C A A A x C B A A x C B A A A x C B A A A x B A A 求出它的解：1,1,1,2,1210=-=-===C B A A A ，并代人(3)式，这便完成了)(x R 的部分分式分解：
.1
1
)2(12221)(2
2+---+-++-=
x x x x x x x R 上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将x 的某些特定值(如0)(=x Q 的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用2=x 和2-=x 代人(4)式，立即求得1120-==A A 和，于是（4）式简化成
为
)1)(2)(2(161232134+-+-=-+-x x x x A x x x .)2)(2)((2+-++x x C Bx
为继续求得C B A ,,1，还可用x 的三个简单值代人上式，如令1,1,0-=x ，相应得到
???
??=+-=++=+.83,233,
421
11C B A C B A C A 由此易得1,1,21=-==C B A ．这就同样确定了所有待定系数． 一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：
?-I k
a x dx )()
(； ()?<-+++II )04()(2
2q p dx q px x M Lx k ．
对于()I ，已知()()??
?
??>+--=+-=--?.1,11,
1,ln )(1
k C a x k k C a x a x dx k k 对于()II ，只要作适当换元(令2
p
x t +=)，便化为 ()
??++=+++dt
r t N
Lt dx q px x M Lx k k 222)(??
+++=,)()(2222k k
r t dt
N dt r t t L （5）
其中.2
,422
L p
M N p q r -=-=．
当1=k 时，（5）式右边两个不定积分分别为
?++=+C r t dt r t t )ln(2
1222
2， .arctan 122C r
t
r r t dt +=+? （6）
当2≥k 时，（5）式右边第一个不定积分为
C r t k dt r t t k k
++-=+?-12222)
)(1(21
)(. 对于第二个不定积分，记 ,)(122?-+=
k k r t dt
I 可用分部积分法导出递推公式如下：
dt r t t r t r I k
k ?+-+=)()(1222222
?+-=-dt r t t r I r k k )(1
1222
2
12
????
? ??+-+=
--122212)(1)1(211k k r t td k r I r .)()1(2111122212??
????-+-+=
---k k k I r t t
k r I r 经整
理
得
到
.)
1(23
2))(1(212
1222----++-=
k k k I k r k r t k r t I （7）
重复使用递推公式(7)，最终归为计算1I ，这已由(6)式给出. 把所有这些局部结果代回(5)式，并令2
p
x t +
=，就II ）的计算．
例2
求.)
22(1
2
2
2dx x x x ?+-+ 解：在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为
2
22222)22()
12()22()22(1+--++-=+-+x x x x x x x x .)
22(12221222+--++-=x x x x x 现分别计算部分分式的不定积分如下：
.)1arctan(1)1()
1(22122C x x x d x x dx +-=+--=+-??
dx x x x dx x x x ??+-+-=+--2222)22(1
)22()22(12+
+-+-=?222)22()22(x x x x d []
?+--2
2
1
)
1()
1(x x d
.)1(2212
22?+++--=
t dt
x x
由
递
推
公
式
（
7
）
,
求
得
其
中
??+++=+121)1(2)1(2222t dt t t t dt .)1arctan(21
)22(2122C x x x x +-++--= 于是得到 .)1arctan(23
)
22(23)22(12
22
2C x x x x dx x x x +-++--=+-+? 二、三角函数有理式的不定积分
?dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定积分。一般通过变换2
tan x
t =，可把它化为有理函数的不定积分。这是因为,122
tan
12tan
22cos 2sin 2cos 2sin 2sin 2222t t x x x x x x x +=+=+=
（8）
,112
t a n
12t a n 12c o s 2s i n 2s i n 2c o s
c o s 2
2
2
22222t t x x x x x x x +-=+-=+-=
,12
2
dt t
dx +=
(9)
所以??+???
? ?
?+-+=dt t t t t t R dx x x R 22
2
21211,12)cos ,(sin ． 例3 求
?++dx x x x
)cos 1(sin sin 1
解 令2
tan
x
t =，将(8)、(9)、代人被积表达式， ??+?
???? ?
?+-++++
=++dt t t t t t t
t dx x x x 2
2
2
2212
11112121)cos 1(sin sin 1
.2tan ln 212tan 2tan 41ln 2221122122C x x x C t t t dt t t +++=+???
? ??++=??? ??++=?
例4 求
).0(cos sin 2222≠+?ab x
b x a dx
解：由于???+=+=+22222222222tan )
(tan tan sec cos sin b
x a x d dx b x a x x b x a dx , 故令x t tan =,就有
???+=+=+222222222)()
(1cos sin b at at d a b t a dt x b x a dx C b at ab +=
arctan 1.tan arctan 1C x b a ab +??
?
??= 三、某些无理根式的不定积分
1.????
? ??++dx d cx b ax x R n ,型不定积分)0(≠-bc ad ．对此只需令n d cx b ax t ++=，就可化
为有理函数的不定积分．
例5求
?-+dx x x x 2
2
1. 解：令,22-+=
x x t 则有,)
1(8,1)1(22
222dt t t
dx t t x --=-+= ??+-=-+dt t t t dx x x x
)1)(1(4221
222???
? ??+--=dt t t 221212
C t t t +--+=arctan 211ln
C x x x x x x +-+--+--++=22arctan 2)
2/()2(1)2/()2(1ln 例6 求
?-++.2)
1(2
x
x x dx
解：由于
x
x
x x x x -++=
-++21)1(1
2)1(1
2
2
，故令x
x
t -+=21，则有
,)1(6,1122
222dt t t dx t t x +=+-=
?
?-++=-++dx x
x
x x
x x dx 21)1(1
2)
1(22
??++--=+-==+??+=C x x C t dt t dt t t t t t 12323232)1(69)1(2
2
2422
第四章 不定积分
一、知识网络图
二、内容与要求
内容与要求：
1. 原函数的概念：如果在区间
内，可导函数
的导函数为，即对任一，都有
，那么
就称为
在区间
上的原函数。
2. 不定积分的定义：在区间内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的
不定积分，即, 式中为任意常数。
理解和掌握不定积分的基本性质，基本积分表和各种积分方法，如凑微分法、变量替换法、分部积分法、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分。
重点：各种基本积分方法。 难点：分部积分法。
三、概念、定理的理解与典型错误分析
正确理解原函数与不定积分的关系是十分重要的。
例1 设，求.
解由原函数的定义得：，解得故
.
例2 设是的一个原函数，当时，且又
，求.
解因是的一个原函数，故. 由已知条件得
，改写成微分形式: ，两边积分得
，由解得，所以
不定积分的典型错误常见有下列几种情况：
（1）该加绝对值的时候没有加；（2）任意常数忘了加上；（3）被积函数出现绝对值时处理错误；（4）分段函数的积分常常搞错。下面一一举例加以说明。
例3 求.
典型错误：
分析：题目给出的的定义域是，而上述做法只考虑了的情形，还须考虑的情形。当时，
正确做法是：把两种情形合并起来得
例4 求
典型错误：
故
分析：移项之后，任意常数好象没有了。事实上，利用分部积分公式，前面已有不定积分积出来
了，没加的原因是指望最后一个积分积出后再添，而现在要把最后一个积分移到左边去，移项之后，就应该把加上。正确答案为
例5 求
典型错误：由得
错误原因：是连续函数的原函数，故在任一点都是连续可导的，当然在
处也连续。显然所给出的函数在点的左右极限不相等，正确的答案为：
因在点的左右极限相等，推出，即，
故
例6 设及，求
典型错误：设，则
积分得由，得
错误原因：因为被积函数是连续的，原函数必定连续可导，所以，对于的不同的取值范围，任意常数应该是不一样的，否则连续性得不到保证。正确的答案为：
由假定，得再由在的连续性得，从而得
. 故
四、解题方法与题例
首先要记住教材中列出的十几个不定积分公式，还要记住下列重要的不定积分公式：
1．；
2．；
3．；
4．；
5．；
6．；
7．；
8．；
9．；
其次要理解和掌握求不定积分的四种基本方法。
1. 直接积分法：直接或将被积函数恒等变形后利用基本积分公式和不定积分的性质求不定积分。
2. 换元积分法：
（1）第一类换元法（凑微分法）：
设具有原函数可导，那么是的原函数，
即有换元公式：
（2）第二类换元法（变量置换法）：
设是单调、可导的函数，并且，又设具有原函数，则
是的原函数（其中是的反函数），即有换元公式：
=
=
=
注意：求出后，必须用的反函数代回去，故要求
存在且是单值可导的，为此，在t的某一区间（该区间与的积分区间相对应）上应该是单调、可导的函数，且
3. 分部积分法
设函数及具有连续导数,则有分部积分公式：。
4. 特殊类型函数的不定积分
（1）有理函数的积分：，其中与为多项式；
（2）三角函数有理式的积分：；
（3）简单无理函数的积分。
不定积分最重要的方法与技巧是凑微分法和分部积分法，下面举例加以说明。
（1）型
例1 求
解原式=
例2 求.
解原式=
.
（2）凑微分法和分部积分法结合起来解题。
例3 求
解原式=
（3）有的函数的原函数不是初等函数，但是通过分部积分能抵消这一积分，此方法很重要。例4 求
解原式=
例5 求.
解（降幂法）
注：适合应用“降幂法”的不定积分有如下一些类型：
，，，其中为某一次多项式. 例6 求.
解（升幂法）令，，于是，，因而
.
例7 求.
解（升幂法）
而
，
. 注：适合应用“升幂法”的不定积分有如下一些类型：
，，，
，（为正整数）.
例8 求.
解（循环法）
，
于是得到
.
例9 求.
解（循环法）
，
同理得到
注：适合应用“循环法”的不定积分有如下一些类型：
，，或类似于例8，例9那样的积分.
例10 求.
解由于分母与分母的导数以及分子
同为与的线性组合，因此设想：若能求得、，使得
，
从而有
所以即
于是有
.
注：本题也可化为有理式的积分，具体过程留给读者.
例11 求
解原式=
例12 求
解原式= ==+C 例13 求
解原式=
=
例14 求
解原式=
=
=
例15 求，其中均为常数。
解原式=
=
例16 求
解原式=
=
例17 求
解原式=
=
例18 求
解令,则于是
原式=
例19 求
解令, 则于是
原式=
例20 求
解原式= ，令，化简后得
上式=
总结：利用第一类换元法（凑微分法）求不定积分，必须牢记基本积分公式，这样就不
会被复杂的式子所迷惑，同时为提高凑微分技巧，应熟悉常见的微分类型。
例21 求（为常数）
解当时，原式= ；
当时，原式=
注意：对于含有参数的积分，当参数取不同值时，要先进行讨论，需采取不同的积分方法。例22 求
解（1）=
令，则
故上式== =
=
例23 求
解令，则，于是
= = =
==
例24 求不定积分
解 =
=
=
=
例25 求.
解为了把被积函数的根号去掉，可令
于是被积函数化为
又由，所以
例26 求
解令（在的其他单调区间上也可同样讨论）.于是
其中，故有
例27 求
解令所以
总结：第二类换元法常用代换有：根式代换、三角代换、倒代换。其中三角代换可使被积函数消去根号而有理化，尤为多用，使用第二类换元法求出原函数后一定要将变量代回。
常用第二类换元法积分类型：
《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。
7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。
目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (4) 6、初等函数 (4) 7、双曲函数及反双曲函数 (5) 8、数列的极限 (6) 9、函数的极限 (6) 10、函数极限的运算规则 (7)
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 即C U A＝｛x|x∈U，且x?A｝。 集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题：
大学高等数学教材 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
高等数学（1）课程导学 一、课程性质任务 《高等数学（1）》是广播电视大学理工科各专业的一门必修的重要基础课。它是为培养适应四个现代化需要的、符合社会主义市场经济要求的大专应用型人才服务的。 通过本课程的学习，使学生获得微积分的基本知识，培养学生的基本运算能力，增强学生用定性与定量相结合的方法处理实际问题的初步能力。 通过本课程的学习，要为学习理工科各专业的后继课程和今后工作需要打下必要的数学基础。 二、课程的教学目的与要求 使学生对极限的思想和方法有初步认识，对具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系有初步的了解，初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，建立变量的思想，培养辩证唯物主义观点，并受到运用变量数学方法解决简单实际问题的初步训练。 三、课程内容简介 课程内容包括： 第一章函数 主要内容有：函数概念、函数的简单性质、反函数、基本初等函数、复合函数、初等函数、以及常见的简单经济函数。 第二章极限与连续 本章的主要内容有：数列极限、函数极限、无穷小量及无穷大量、无究小量的运算性质、极限的四则运算法则、两个重要极限、函数的连续性与间断点。 第三章导数与微分 本章的主要内容有：导数概念及其几何意义、导数的基本公式及运算法则（导数的四则运算法则、复合函数求导法则，以及反函数、隐函数、取对数求导方法的举例）、高阶导数的概念及计算；微分的概念及计算、微分与导数的关系；导数在实际问题中的简单应用。 第四章导数的应用 本章的主要内容有：中值定理、洛必达法则、函数单调性及函数凹凸性的判别、极值的概念及判别、极值应用──求某些实际问题或几何问题中的最值。 第五章不积分学 本章的主要内容有：原函数与不定积分的概念、不定积分性质、基本积分公式、换元积分法和分部法，以及不定积分的简单经济应用。 第六章定积分及其应用 本章的主要内容有：定积分的概念及其性质、微积分基本定理、牛顿──菜布尼兹公式、定积分的换元积分法和分部积分法、广义积分的概念及计算、定积分在几何问题中的应用──求平面图形的面积、旋转体体积、定积分在日常生活中的应用。常微分方程简介（常微分方程的一般概念、可分离变量微分方程和一阶线性微分方程及其解法）。 第七章无穷级数
高等数学教材
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12)
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集：
有哪些好的高等数学、微积分的读物？修改 本人已大学毕业，大一的时候学过数学分析，大四的时候又重温了一遍。由于是理工科，数分学了不怎么用基本就忘了，而且要命的是，学了这么多数学课，对数学没有一个良好的感觉。 想好好研究一下最基础的微积分（以及概率论），请问有没有好的书推荐？谢谢^^ 最好是那种深入浅出，能够让我把以前学的东西融会贯通的读物，而不是普通的大学教材。有点像物理里面的《费曼物理学讲义》这样的性质修改 举报 4 条评论分享?邀请回答 按投票排序 按时间排序 12 个回答
傅渥成，《写在物理边上》https://www.doczj.com/doc/5a17668532.html,/RZlARNm… 风枫、王礼宏、piyou chen等人赞同 ?《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》这一本的好处就在于它比一般那种最基本的科普书要稍稍难一点，从标题里提到了“勒贝格” 就能看出来，但是这本书又并不太难，例如比《重温微积分》等书要简单很多。 ?概率论的话，推荐《趣味随机问题》，但是这个有点像习题集，看的时候得自己边做边看才能有用。反而是一些统计相关的书读起来对提高概率论的思维有奇效，例如可以参考《女士品茶》《统计数字会撒谎》《赤裸裸的统计学》等书，这些里面也有许多关于概率的讨论。 ?如果觉得自己已经忘了大半了，想从实用的角度重新回顾一遍微积分，那么国内我其实推荐龚昇先生的《简明微积分》，这本书的特点就是先从实用的角度讲，最后再严格地讲，这个适合那些 结合着看一看能提高一下自己对微积分的理解，当然里面引用马克思的东西太多，老谈“主要矛盾”。 ?类似的短课程还有Gilbert Strang 的微积分讲座，时间很短可以稍稍看那个回顾一遍。如果时间长，可以看看臺大開放式課程
关于清华大学高等数学期 末考试 This manuscript was revised on November 28, 2020
清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 9分 ） 1、若在) ,(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。
2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题，每小题6分，总计24分 ） 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。
高等数学：同济大学编写的高等数学第6版高等教育出版社（绿色）最好别用第5版的，因为第6版的总复习题和考研题很接近，有的就是考研的真题，所以对你的前期复习有帮助。 线性代数：同济大学编写的线性代数第4版或第5版高等教育出版社（紫色） 或清华大学居于马编写的线性代数第2版清华大学出版社（黄色） 这两本都是教育部推荐的，同济的比较薄，内容紧凑；清华的比较厚，内容完整。建议你水平高的选同济的，水平一般的选清华的。另外线代的书，同济4版和5版都无所谓。 概率论与数理统计：浙江大学盛骤编写的概率论与数理统计第4版浙江大学出版社（蓝色） 还有一本是经济数学吴传生的概率论，虽说是经济数学但内容也不错，你可以实地考察一下，一般的书店都有。主要是吴传生这本书的习题，曾经有考题根据它改编过。 另外复习中还需要全书和题目，这个建议你去一些考研论坛看看别人的经验贴，我这里帮你把所有的辅导书列出来也没意思是吧，你根据自身的情况选一些适合自己的就可以了。 数学主要用李永乐的书，陈文灯的可以辅助一下。 高等数学：同济五版 线性代数：同济六版 概率论与数理统计：浙大三版 推荐资料： 1、李永乐考研数学3--数学复习全书+习题全解(经济类) 2、李永乐《经典400题》 3、《李永乐考研数学历年试题解析（数学三）真题》 考研数学规划： 课本+复习指导书+习题集+模拟题+真题= KO
复习资料来说：李永乐的不错，注重基础；陈文灯的要难一些。 经济类一般都用李永乐的（经济类数学重基础不重难度），基础好的话可以考虑下陈文灯的书。 李永乐的线性代数很不错陈文灯的高等数学很不错 文都考研 《高等数学》（上下册）第六版，同济大学数学系编，高等教育出版社出版;《高等数学过关与提高》（上下册），原子能出版社出版，适合理工类考生使用。 《微积分》吴传生主编，高等教育出版社出版;《微积分过关与提高》（上下册），原子能出版社出版，适合经济类考生使用。 《线性代数》第四版，同济大学数学系编，高等教育出版社出版;《线性代数过关与提高》，原子能出版社出版，适合所有考生使用。 《概率论与数理统计》第三版，盛骤等主编，高等教育出版社出版;《概率论与数理统计过关与提高》，原子能出版社出版;适合除数学二之外的其他考生使用。 数学复习必须打好第一步的基础，因为每年考研数学试题中有60%以上的题目都在考查考生对基础知识的理解与掌握，所以基础牢则数学赢，数学赢则考研胜！ 考研, 用书, 英语: 1、《考研英语词汇词根+联想记忆法》作者 :俞敏洪出版社:群言出版社出
高等数学教材完整 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数一 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12)
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
... 清华大学 2010- 2011 学年第一学期期末考试试卷（ A 卷）考试科目：高等数学A（上）考试班级：2010 级工科各班 考试方式：闭卷命题教师： 大题一二三四五六总分 得分 得分评卷人 一 . 填空题（将正确答案填在横线上。本大题共 3 小题，每小题 3 分，总计 9 分） 1、若在( a, b)内，函数f ( x)的一阶导数 f (x)0 ，二阶导数 f ( x) 0 ,则函数 f (x) 在此区间内单调，曲线是的。 x t 22t 2确定函数 y d 2 y 2、设 2t 3 3t y(x) ，求2。 y dx 3、12cos 1 dx。 x x 得分评卷人 二. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号 中。本大题共 3 小题，每小题 3 分，总计 9 分）
... x 3 ax 2 x 4 1、设 lim x 1 A ，则必有 x 1 ( A)a 2， A 5 ; (B)a 4， A 10 ; (C )a 4， A 6 ; (D ) a 4，A 10 . 答 ( ) 2、设 f ( x) 1 ，则 f (x) 的一个原函数为 2 1 x ( A) arcsin x (B) arctanx 1 1 x 1 1 x (C ) ln 1 x (D) ln x 2 2 1 答 ( ) e x 3、设 f 为连续函数，又， F ( x) x 3 f (t) dt 则 F (0) ( A) e (B) f (1) (C)0 (D ) f (1) f (0) 答 ( ) 得分 评卷人 三 . 解答下列各题（本大题共 2 小题，每小题 5分，总计 10分） 1、求极限 lim e x e x 2 。 x 0 1 cos x 2、 y 1 ln 2 x , 求 y 。
目录 一、函数与极限 ·······························································································错误!未定义书签。 1、集合的概念 ·························································································错误!未定义书签。 2、常量与变量 ·························································································错误!未定义书签。 2、函数 ·····································································································错误!未定义书签。 3、函数的简单性态 ·················································································错误!未定义书签。 4、反函数 ·································································································错误!未定义书签。 5、复合函数 ·····························································································错误!未定义书签。 6、初等函数 ·····························································································错误!未定义书签。 ] 7、双曲函数及反双曲函数 ·····································································错误!未定义书签。 8、数列的极限 ·························································································错误!未定义书签。 9、函数的极限 ·························································································错误!未定义书签。 10、函数极限的运算规则 ·······································································错误!未定义书签。
清华大学高等数学A 期末考试试卷 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2．求极限 (,)(0,0)lim x y →= （ ） A ． 14 B ．12- C ．1 4 - D ．12 3 ．直线: 327 x y z L ==-和平面:327 80x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上
C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤， 则D σ= （ ） A ．33()2 b a π - B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D ．1 n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y ??+??。
高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲 第一章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限 第二章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算 第三章微分中值定理与导数的应用：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式 第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型 第五章定积分：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算 第六章定积分的应用：掌握定积分的实际应用 第七章空间解析几何和向量代数：熟练掌握本章的实际应用 高等数学（1）期末复习要求 第一章函数、极限与连续函数概念
理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质 知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数 了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系 会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限 知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算 掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量 了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限 了解两个重要极限，会用两个重要极限求函数极限。 9．函数的连续性 了解函数连续性的定义、函数间断点
的概念； 会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型； 知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质 （最大值、最小值定理和介值定理）。 第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。 理解导数概念； 了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算 熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。 掌握隐函数的求一阶导及二阶导。 会求参数表示的函数的一阶导及二阶导 会用对数求导法：解决幂指函数的求
清华大学高等数学期 末考试
清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 3小题，每小题3分，总计9分 ） 1、若在),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=?dx x x 1cos 12 。 中。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有
. 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(=-=-==-====A a D A a C A a B A a A ， ，， ， 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 x x D x x C x B x A -++-11ln 21)(11ln 21)(arctan )(arcsin )( 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F ) 0()1()( 0)()1()( )(f f D C f B e A - 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。 2、x y 2ln 1+=,求y '。
3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论?????=≠ =0 ,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。
“高等数学1”课程教学大纲 教研室主任：任洲鸿执笔人：马凤明连淑君 一、课程基本信息 开课单位：经济学院 课程名称：高等数学1 课程编号：201001 英文名称：Advanced Mathematics 课程类型：学科基础课 总学时： 72 理论学时：72 实验学时：0 学分：3 开设专业：经济学 先修课程：无 二、课程任务目标 （一）课程任务 本课程是理科院校管理类专业的一门专业基础课，又是全国硕士研究生入学考试统考科目。通过本课程的学习，要使学生掌握一元函数微积分学、空间解析几何与向量代数的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。 （二）课程目标 在学完本课程之后，学生能够： 基本了解一元函数微积分学、空间解析几何与向量代数的基础理论；充分理解一元函数微积分学、空间解析几何与向量代数的背景及数学思想。掌握微积分学及空间解析几何与向量代数的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力和空间想象能力。能较熟练地应用微积分学及空间解析几何与向量代数的思想方法解决应用问题。 三、教学内容和要求 第一章函数与极限 1．内容概要
函数，初等函数，数列的极限，函数的极限，无穷小与无穷大，极限运算法则，极限存在准则及两个重要极限，无穷小的比较，函数的连续性与间断点，连续函数的运算与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。 2．重点与难点 重点：函数的概念、性质；极限的概念，无穷大、无穷小的概念；极限的运算；连续的概念。 难点：函数的记号及所涉及到的函数值的计算；极限的ε—Ν，ε—δ定义；极限中一些定理的论证方法；极限存在性的判定，连续性的判断。 3．学习目的与要求 （1）了解函数的概念、函数的单调性，反函数和复合函数的概念，熟悉基本初等函数的性质及其图形，能列出简单实际问题中的函数关系。 （2）了解极限的ε—Ν，ε—δ定义；能根据定义证明本课程内容中有关极限的简单定理（对于给出的ε，求Ν或δ不作过高要求），在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。 （3）掌握极限的四则运算法则，了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会使用两个重要极限。 （4）理解无穷大、无穷小的概念，掌握无穷小的比较。 （5）理解函数在一点连续的概念，会判断间断点的类型。 （6）了解初等函数的连续性，知道在闭区间上连续函数的性质。 第二章导数与微分 1．内容概要 导数的概念，函数的求导法则，高阶导数，隐函数及由参数方程所确定的函数的导数，相关变化率，函数的微分。 2．重点和难点 重点：导数和微分的概念；复合函数微分法。 难点：微分的概念；隐函数及参数式二阶导数。 3．学习目的与要求 （1）理解导数和微分的概念，了解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系，用导数描述一些物理量（如速度）。 （2）熟悉导数和微分的运算法则（包括微分形式不变性）和导数的基本公式，了解高阶导数概念，能熟练的求一阶、二阶导数。