化二次型为标准形的方法探讨
刘墨德
（三明学院 数学与计算机科学系，福建 三明 365004）
摘要：文章提供了四种化二次型为标准形的方法，即配方法、正交变换法、合同变换法、
Jacobi 方法.
关键词：对称矩阵; 二次型; 正交变换;合同变换
Some Discusses of Turn Quadratic Form Into Standard Form
LIU Mo-de
（Department of Mathematics & Computer Scince,Sanming College, Sanming 365004,China ）
Abstract ：This paper provides four kinds of methods for the transforming quadratic
form into standard form ，namely,the method of completing square ，orthogonal transformation method ,contragradient transformation method and Jacobi method. Key words: symmetry matrix ；quadratic form ；orthogonal transformation ；contragradient transformation
任何一个二次型都可以通过非退化的线性变换化为标准形,这个问题不仅在数学上,而且在物理学、工程学、经济学等领域中都是一个重要的问题.本文将探讨化二次型为标准形的常用方法.
1 预备知识
定义 1.1[1] 设P 是数域,系数属于P 的n 个未知量12,,,n x x x 的二次齐次多项式
222
1211112121122222(,,,)222n n n n n nn n
f x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++
,1
n
ij i j i j a x x ==∑ ()ij ji a a =称为数域P 上的n 元二次型.
任何一个二次型
12,1
(,,,)n
n ij i j i j f x x x a x x ==∑ ()ij ji a a = (11)-
都可以写成如下形式
1211111221(,,,)()n n n f x x x x a x a x a x =++++ 22112222()n n x a x a x a x +++
++ 1122()n n n nn n x a x a x a x +++ ，f 的系数可以确定一个n 阶矩阵
1112121
22
212
n n n n nn a a a a a a A a a a ??
?
?
= ?
?
??
，由于ij ji a a =(,1,2,)i j n = , 所以T
A A =,即矩阵A 是对称矩阵.
定义1.2[4]
矩阵111212122212
n n n n nn a a a a a a A a a a ??
?
?
= ?
?
??
称为二次型 12,1
(,,,)n
n ij i j i j f x x x a x x ==∑ ()ij ji a a =的矩阵，A 的秩叫做二次型12(,,,)n f x x x 的秩.
由于n 阶对称矩阵()ij n n A a ?=与二次型12,1
(,,,)n
n ij i
j
i j f x x x a x x
==∑ ()ij ji a a =
一一对应,因此可以通过对二次型的矩阵的研究来研究二次型.
若记()12,,,T
n x x x X = ，则式(11)-可用矩阵的记号写成如下形式：
1111221211222212121122(,,,)(,,,)n n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x f x x x x x x a x a x a x +++?? ?+++ ?= ? ?+++?? 12(,,,)n x x x = 11
12
121
2221
2n n n n nn a a a a a a a a a ?? ?
? ? ??? 12n x x x ??
?
?
?
?
??
T X AX =
在本文中，将一个n 元二次型表为12(,,,)n f x x x = T
X AX 时,都要求A 是对称矩阵.
定义1.3[4] 二次型2221122n n f y y y λλλ=+++ (12)-
叫做数域P 上n 元二次型的标准形.
显然标准形(12)-的矩阵是对角矩阵
1212(,,,)n n diag λλλλλλ?? ?
?= ? ?
?
? 定义1.4[4] P 是数域,12,,,n x x x 和12,,,n y y y 是两组未知量,线性关系式
11111221221122221122n n n n
n n n nn n
x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++??=+++??
??=+++? (13)- 叫做由未知量12,,,n x x x 到12,,,n y y y 的一个线性变换.系数矩阵
1112
12122
212
n n n n nn c c c c c c C c c c ??
?
?
= ?
?
??
称为变换(13)-的矩阵.如果0C ≠,那么称(13)-式为非退化线性变换.
利用矩阵相乘与相等的概念,变换(13)-可写作
12n x x x ?? ? ? ? ??? =111212122212
n n n n nn c c c c c c c c c ??
? ? ?
???
12n y y y ?? ? ?
? ??? 或X CY =
其中X 12n x x x ?? ? ?= ? ??? ,Y =12
n y y y ?? ? ? ? ??? ,C =111212122212
n n n n nn c c c c c c c c c ?? ?
?
? ???
研究如何通过非退化线性变换X CY =将二次型12(,,,)n f x x x 化为标准形
2221122n n y y y λλλ+++ 是本文主旨.
引理1.1[16] 设12(,,,)n f x x x T X AX =是数域P 上一个n 元二次型.那么,二次型
12(,,,)n f x x x 经非退化线性变换(13)-后,可化为关于12,,,n y y y 的二次型
12(,,,)T n g y y y Y BY = 并且T
B C AC =
定义1.5[1] 设A ,B 是数域P 上两个n 阶方阵,如果存在P 上一个n 阶可逆矩阵C ,
使B =T
C AC ,那么称A 合同于B .
引理1.2[1] (1)A 合同于A .
(2)如果A 合同于B ,那么B 合同于A .
(3)如果A 合同于B ,B 合同于C ,那么A 合同于C .
(4)如果A 合同于B ,那么秩()A =秩()B .
定义1.6[2]
如果矩阵A 经一系列初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 是等价的. 引理 1.3[2] 矩阵A 与B 等价的充要条件是有一系列初等矩阵12,,,s P P P 与
12,,,r Q Q Q ,使得2112s r P P PAQQ Q B = .
引理1.4[2] n 阶方阵A 为可逆矩阵的充要条件是A 可表为有限个初等矩阵的乘积.
引理1.5[2] 设,P Q 是可逆矩阵,A 是任一矩阵,,PA AQ 有意义,那么
秩()PA =秩()AQ =秩()A .
由引理1.4可知,任何可逆矩阵都可表为初等矩阵的乘积.因此,合同关系是矩阵间的等价关系，经过非退化线性变换,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.下面讨论用非退化线性变换化二次型为标准形的方法问题.
2 用配方法化二次型为标准形
定理2.1[2] 数域P 上的任一个n 元二次型12(,,,),T n f x x x X AX = ()ij n n A a ?=均
可以经过非退化线性变换化为标准形.
证明 对二次型的变量个数n 作数学归纳法.
当1n =时,二次型21111()f x a x =即为标准形,假设结论对1n -成立,下面证明结论对
n 也成立.分三种情况来证明:
(1) (1,2,)ii a i n = 中至少有一个不为0,不妨设0ii a ≠,则
12(,,,)n f x x x 2
111
112
22
2n
n
n
j j ij i j j i j a x a x x a x x ====++∑∑∑
21111
1
1112
22
(2)n
n n
j
j ij i j j i j a x x a
a x a x x -====++∑∑∑
12
1
2
11111111
12
2
22
()()n
n
n n
j
j j j ij i j j j i j a x a
a x a
a x a x x --=====+-+∑∑∑∑
令
1111112
22
n
j j j n n
y x a a x y x y x -=?=+?
??
=???=??∑ 即
1111112
22
n j j j n n
x y a a x x y x y -=?=-?
??
=???=??∑ 或
11221
n n x y x y C x y ???? ? ? ? ?= ? ? ? ?????
(14)-
其中
11111211111010001n a a a a C --??
-- ?
?= ?
? ???
. 这是一个非退化线性变换,它使得21211112(,,,)(,,)n n f x x x a y f y y =+ 其中
1
2
1211
12
22
(,,)()n n n
n j j ij i j j i j f y y a
a y a y y -====-+∑∑∑
是关于2,,n y y 的一个1n -元二次型,
由归纳假设,存在非退化线性变换 222n n y z C y z ???? ? ?
= ? ? ? ?????
使二次型12(,,)n f y y 变为标准形2222233n n d z d z d z +++ . 从而非退化线性变换
11222100n n y z y z C y z ???? ? ??? ? ?= ? ? ??? ? ?????
(15)-
可将12(,,,)n f x x x 变为标准形22221112233n n a z d z d z d z ++++
由于线性变换(14)-,(15)-均非退化,故从12,,,n x x x 到12,,,n z z z 的线性变换
11222100n n x z x z C x z ???? ? ??? ? ?= ? ? ??? ? ?????
也非退化,结论成立.
(2) (1,2,)ii a i n = 均为0,但至少有一个10(0)j a j ≠>,不妨设120a ≠,
令11221233n n
x y y x y y x y x y =+??=-??
=???
=??
,即1X C Y =,其中111
00110000
100001C ??
?
- ? ?= ?
? ???
.
它是非退化线性变换,并且使得12(,,,)n f x x x 化为关于12,,,n y y y 的二次型
11,2(,,)n f y y y ,且21y 的系数1220a ≠,由情形(1)可得,经过非退化线性变换
11222
n n y z y z C y z ???? ? ? ? ?= ? ? ? ?????
化11,2(,,)n f y y y 为标准形2221122n n d z d z d z +++ ,从而非退化线性
112212
n n x z x z C C x z ???? ? ? ? ?= ? ? ? ?????
可将12(,,,)n f x x x 化为标准形2221122n n d z d z d z +++
(3) 110,0(1,2,;1,2,)i j a a i n j n ==== 此时
1222
(,,,)n n
n ij i j i j f x x x a x x ===∑∑
是一个关于12,,,n x x x 的n 元二次型,由归纳假设,可得经过非退化线性变换可将
12(,,,)n f x x x 化为标准形.
综上所述,数域P 上的任一个n 元二次型均可以经过非退化线性变换化为标准形.定理得证.
定理2.1中化二次型为标准形的方法称为配方法.
例 2.1[8] 把二次型222(,,)24262f x y z x y z xy yz zx =+++++化为标准形. 解 在f 中2x 的系数不为零,可先集中含x 的项,利用配方法把f 改写为
2
2
2
2
2
2()()()246f x y z x y z y z y z yz =++++-++++ 222()43x y z y yz z =+++++
再在剩下的项中集中含y 的项,配方后得到2
2
2
()(2)f x y z y z z =++++-
于是, 线性变换
''2'x x y z y y z z z =++??
=+??=?
或
''''2''x x y z y y z z z =-+??
=-??=?
把二次型f 化为标准形2
2
2
'''f x y z =+-
例 2.2[12] 化二次型123121323(,,)226f x x x x x x x x x =+-为标准形,并写出所用的非
退化线性变换.
解 由于123(,,)f x x x 中没有平方项，故作非退化线性变换1122123
3x y y x y y x y
=+??
=-??=?
即
112233*********x y x y x y -????
?? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?
?
?????. 则 123(,,)f x x x 221122232428y y y y y y =---
2221322332()282y y y y y y =---- 222132332()2(2)6y y y y y =--++.
令113213332z y y z y y z y =-??=+??=?, 即1132233
32y z z y z z y z =+??=-??=?. 或112233*********y z y z y z ????
?? ? ? ?=- ? ? ? ? ? ?
??????. 则123(,,)f x x x 的标准形为222123226z z z -+. 所用的非退化线性变换为
112233110101110012001001x z x z x z -???????? ? ?????=- ? ????? ? ?????????????123113111001z z z -????
???=- ??? ???????
. 对于一般的二次型,当平方项的系数ii a 不全为零时,可用例1中的方法;当二次型中不含有平方项,这时ij a 不全为零,可用例2中的方法,先作一变换,把二次型化为含有平方项的情形,然后再用例1中的配方法,这样继续下去就可以把任何一个二次型化为标准形.
3 用正交变换方法化二次型为标准形
定义3.1[1] 设A 为实n 阶方阵,如果1T A A -=,则称A 为正交矩阵.
定义3.2[1] 若变换(13)-的矩阵C 是正交矩阵,则称这个线性变换是正交变换. 定义3.3[2] 设,A B 为数域P 上两个n 阶矩阵,如果可以找到数域P 上的n 阶可逆矩阵
X ,使得1B X AX -=,就说A 相似于B .
定义 3.4[2] 设A 为n 阶方阵, λ是一个数,如果存在非零向量α,使得A αλα=成立,则称λ是A 的一个特征值,α为A 的属于特征值λ的特征向量.含有未知量λ的矩阵
E A λ-称为A 的特征矩阵,其行列式E A λ-为λ的n 次多项式,称为A 的特征多项式,
0E A λ-=称为A 的特征方程.
定义3.5[2] 设向量12(,,,)n a a a α= ,12(,,,)n b b b β= ,数量
1122n n a b a b a b +++ 1
n
i i i a b ==∑称为向量α与β的内积,记为(,)αβ.
定义 3.6[2] 如果两个向量α与β的内积等于0,即(,)0αβ=,则称向量α与β是正交
的.
定义3.7[1] 若非零向量组12,,,s ααα 两两正交,即(,)0i j αα=,(,,i j i j ≠=
1,2,)s .则称该向量组为一个正交向量组.若一个正交向量组的每一个向量都是单位向量,
则称该向量组为一个正交单位向量组.
引理3.1[1] 设12,,,s ααα 是一个线性无关向量组(2)s ≥,令
1121221
11
323133
212211111
11111,,,,,,,,,,s s s s s s s s βααββαβββαβαββαββββββαβαββαββββββ----=???=-??
?
=--??
??
?=---??
（）（）（）（）（）（）（）（）（）（） (3-1). 则12,,,s βββ 是一个正交向量组,并且向量组12,,,s βββ 与12,,,s ααα 等价. 由式(3-1)生成正交向量组的方法称为施密特正交化方法.
定理 3.1[4] n 阶矩阵C 是正交矩阵的充分必要条件为C 的n 个列向量是两两正交的
单位向量.
证明 由定义3.1 有
T C C E = (3-2),
比较式(3-2)两边的对应元素,知T
C C E =成立的充分必要条件为C 的元素ij C 满足关系式
1
n
ki
kj
ij k C C
δ==∑,(,1,2,i j n = ), (3-3)
其中0,1,ij i j
i j
δ≠?=?
=?,而式(3-3)表示矩阵C 的n 个列向量是两两正交的单位向量.
定理3.2[2] 如果n 阶矩阵A 与B 相似,则,A B 有相同的特征值. 证明 因为A 与B 相似,所以存在n 阶可逆矩阵P ,使得1B P AP -=,而
E B λ-()11E P AP P E A P λλ--=-=-1P E A P λ-=?-?E A λ=-,所以A 与B
有相同的特征多项式,于是A 与B 有相同的特征值.
定理3.3[4] 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量必正交.
证明 设A 是实对称矩阵, 12,X X 分别是A 的属于不同特征值12,λλ的特征向量,
由题设知 111AX X λ=,222AX X λ=.于是
112T X X λ11212()()T T X X AX X λ==
1212()T T T X A X X AX == 122212()T T X X X X λλ==.
移项,得1212()0T X X λλ-=,但120λλ-≠, 所以120T X X =,即12(,)0X X =.所以1X 与
2X 正交.
定理3.4[9] 对于任意一个n 阶实对称矩阵A ,都存在一个n 阶正交矩阵C ,使得
121T n C AC C AC λλλ-?? ?
?== ? ?
?
? ,其中12,,,n
λλλ 是A 的全部特征值. 证明 利用数学归纳法证明. 当1n =时,定理结论显然成立.
假设对1n -阶实对称矩阵定理已经成立,下面证明对n 阶实对称矩阵也成立.
令A 是一个n 阶实对称矩阵,设1X 是A 的属于特征值1λ的一个单位特征向量,现选1n -个非零向量23,,n Y Y Y ,使得123,,,n X Y Y Y 两两正交.由施密特正交化方法得到n 个两两正交的单位向量12,,n X X X ,再以12,,n X X X 为列向量构成矩阵12(,,)n P X X X = ,P 是一个正交矩阵,即1
T
P P -=.由于1X 是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,于是
1212(,,)(,,)n n AP A X X X AX AX AX == 12(,,)n X AX AX λ=
记2233,,,n n AX b AX b AX b === .那么
112(,,)n AP X b b λ= .
12112(,,,)T T T n T n X X
P AP X b b X λ?? ? ?= ? ? ???
=11112112122
211
2
T T T n T T T n T T T n n n n X X X b X b X X X b X b X X X b X b λλλ?? ? ? ? ? ??? 1121222200n n n nn b b b b b b λ??
?
?
= ? ?
?
?
.
又由于T
P AP 是对称矩阵,所以121310,0,,0n b b b === ,
且22
2323233312
3n n n n n nn b b b b b b B b b b -??
?
?
= ? ?
??
是一个1n -阶对称矩阵,由归纳假设,存在一个1n -阶正交矩阵1n Q -,使得
121111111T n n n n n n n Q B Q Q B Q λλλ-------?? ?
?== ? ?
?
? . 于是
1111
01000T n n P AP Q Q ---???? ? ????
? 11111
0010000T n n n Q B Q λ---??????= ??
?????????111110000T n n n Q B Q λλ---????= ????
??? 1
11100
T
n n n Q B Q λ---??= ???
12n λλλ?? ?
?= ? ?
?
? .
令1100n Q Q -??
=
??
?.容易看出Q 是一个n 阶正交矩阵,又,P Q 是两个正交矩阵的乘积仍是正
交矩阵.记C PQ =,得
121T n C AC C AC λλλ-??
?
?== ? ?
?
? 由于1
C
A C -与A 相似,由定理 3.2, 它们有相同的特征值,因而,主对角线上的元素
12,,n λλλ 就是A 的全部特征值,定理得证.
定理3.5[17] 实二次型必可由正交变换X CY =化为标准形
2221122n n y y y λλλ+++
即
12(,,,)n f x x x T
X AX
=X CY
==
()T T Y C AC Y
12T n Y Y λλλ?? ? ?= ? ?
?
? 21n i i i y λ==∑,其中12,,n λλλ 为A 的特征值.
证明 由于实二次型对应的矩阵A 是实对称矩阵,根据定理3.4存在n 阶正交矩阵C ,
使T
C AC 成对角形.设
12T n C AC λλλ?? ?
?= ? ?
?
? 注意到
()T
T C
E A C E C AC λλ-=-
=12n λλλλλλ-??
?
-
? ? ?
-?
? 两边取行列式,即得
()()()12n E A λλλλλλλ-=--- 可见,12,,,n λλλ 正是A 的
全部特征值.
现在,令X CY =,那么
12(,,,)n f x x x T
X AX
=X CY
==
()T T Y C AC Y
12T n Y Y λλλ?? ?
?= ? ?
?
? 2221122n n y y y λλλ+++= 至此,定理得证.
从定理 3.5我们可以知道:如果实对称矩阵A 有n 个两两正交的单位特征向量
12,,,n C C C .分别对应于特征值12,,,n λλλ ,那么，把12,,,n C C C 作为矩阵C 的列
向量,由定理 3.1知矩阵C 就是正交矩阵,从而知道正交变换
X CY =可以使二次型
T X AX 化为标准形2221122n n y y y λλλ+++ .
下面把用正交变换将二次型T
X AX 化为标准形的步骤归纳如下: (1) 首先求出实对称矩阵A 的全部特征值12,,,n λλλ (可能有相同的)
(2) 求出矩阵A 的属于每一个特征值的线性无关的特征向量(总的个数为n ),即对于各个不
同的特征值λ,求出齐次线性方程组()0E A X λ-=的基础解系.
(3)因为属于不同特征值的特征向量是相互正交的(定理3.3).所以对于每个重数为1的那些特征值的特征向量只需将其单位化.对于每个重数为(1)r r >的特征值,先求出r 个线性无关的特征向量,然后应用施密特正交化方法,得到属于这r 重特征值的r 个相互正交的单位特征向量.
(4)把这n 个相互正交的单位特征向量作为矩阵的列,得到一个正交矩阵C ,X CY =就是使二次型T
X AX 化为标准形2221122n n y y y λλλ+++ 的正交变换.
例 3[12] 用正交变换化二次型22
123121223(,,)244f x x x x x x x x x =+--为标准形.
解 (1)写出此二次型的矩阵
220212020A -??
?=-- ? ?-??
.
(2)求出A 的特征值 由
(1)(2)(4)0E A λλλλ-=-+-=,得1231,2,4λλλ==-=为A 的特征值.
(3)求出相应的特征向量
当1λ=时,由()0E A X -=,即解齐次线性方程组121223
20
22020x x x x x x -+=??
+=??+=?,
解得基础解系(即为特征向量)
1(2,1,2)T α=-.
当2λ=-时,由()0E A X -=,即解齐次线性方程组12123234202320220
x x x x x x x -+=??
-+=??-=?
,
解得基础解系(即为特征向量)
2(1,2,2)T α=.
当4λ=时,由(4)0E A X -=,即解方程组1212323220
2330240
x x x x x x x +=??
++=??+=?
,
解得基础解系(即为特征向量)
3(2,2,1)T α=-.
(4) 正交单位化
由于123,,ααα为对应于不同特征值的特征向量，123,,ααα∴正交,只需单位化即可, 令
1112311323βαα?? ? ? ?== ? ? ?- ???,2221312323βαα?? ? ? ?=
= ? ? ? ???,3332312313βαα??
? ? ?==- ? ? ? ???
,则123(,,)C βββ=为正交矩阵.
(5)作正交变换化标准形 作正交变换X CY =,即
1122332123331223332213
3
3x y x y x y ??
????? ? ? ? ?=- ? ? ? ? ? ????? ?-
???
,那么222123123(,,)24f x x x y y y =-+ 例4[16] 试求一个正交变换,将二次型121314232434222222f x x x x x x x x x x x x =+--++化
为标准形.
解 (1)求出A 的特征值
f 的矩阵0111101111011110A -?? ?-
?= ?- ?-??，A 的特征方程为1111110111111E A λλλλλ--?? ?- ?-== ?-- ?---??.将上面行列式的第二,三,四列加到第一列上,得到1111111(1)111111E A λλλλλ--??
?-
?-=- ?- ?--??
， 然后将第二,三,四行各减去第一行,得到
E A λ-11
110122(1)02120
001λλλλ--?? ?+- ?=- ?+- ?
-??22(1)[(1)4]λλ=-+-3(1)(3)λλ=-+， 故特征值为12341,3λλλλ====-. （2）求出标准正交特征向量
对应于1231λλλ===,解齐次线性方程组()0E A X -=,即
12341234
123412340
000
x x x x x x x x x x x x x x x x --+=??-++-=??
-++-=??--+=? 求得基础解系: 123101100
,,010011ααα??????
? ? ? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ?-??????
.施密特正交化后,得到方程组解空间的一个
标准正交基,也就是A 的对应于1λ=的三个两两正交的单位特征向量
1T η=
, 2T η=, 31111(,,,)2222T η=--.
对应于43λ=-,解齐次线性方程组(3)0E A X --=或(3)0E A X +=即
12341234
1234123430
303030
x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=??+-+=??
-++=??-+++=?，此方程组的基础解系只含有一个解向量4(1,1,1,1)T λ=--,单位化以后对应于3λ=-的单位特征向量41111(,,,)2222
T
η=--.
（3）结论
因为对应于不同特征值的特征向量是正交的,所以1234,,,ηηηη是两两正交的单位特征向量,把它们作为矩阵的列,就得到正交矩阵
12341102211022(,,,)11022110
22C ηηηη?
??
?
--??== ?- ?
? ?-
??
?，容易验证111
3T C AC ?? ?
?= ? ?-??， 故通过正交变换X CY =,即
1134
2134
3234
4234
1122112211221122x y y y x y y y x y y y x y y y ?=++???=--????=+-???=-+??
可将原二次型化为标准形222212343f y y y y =++-.
4 用初等变换方法化二次型为标准形
定义4.1[1]
对单位矩阵E 施行一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.
因为初等变换有3种,所以初等矩阵也有3类,每个初等行变换都有一个初等矩阵与之对应.
(1)单位矩阵E 的第i 行与第j 行互换后,得(,)P i j . (2)用非零常数c 乘单位矩阵E 的第i 行 ,得(())P i c .
011
(,)11
P i j ???????
?=?
????????
?
,11
(())11P i c c ??
?
? ? ?= ? ? ?
? ???
. (3)把单位矩阵的第j 行的k 倍加到第i 行上,得
11(,())11P i j k k ?? ?
? ? ?
= ? ? ?
? ???
.
同样可以得到与列变换相应的初等矩阵.并且容易看出对E 作一次初等列变换所得到的矩阵也包括在上述这三类矩阵中,其中(,())P i j k 即是把E 的第i 列的k 倍加到第j 列上而得到的矩阵 ,因此上述三类矩阵也就是全部的初等矩阵.
定义4.2[4]
数域P 上矩阵的下列初等变换称为矩阵合同变换.
(1)换法合同变换:交换矩阵的第,i j 列,再交换所得矩阵的第,i j 行.
(2)倍法合同变换:用P 中的非零数k 乘矩阵的第i 列 ,再用k 乘所得矩阵的第i 行. (3)消法合同变换:把第i 列的k 倍加到第j 列,再把所得矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行.
引理4.1[16] 初等矩阵具有以下性质:
(1)三类初等矩阵的行列式: (,)1,(())0,(,())1P i j P i c c P i j k =-=≠=. 由此可见三种初等矩阵均可逆,并且易知其逆为:
111
(,)(,),(())[()],P i j P i j P i c P i c
--==1(,())(,())P i j k P i j k -=-.
(2)三类初等矩阵的转置矩阵:
(,)(,),(())(()),T T P i j P i j P i c P i c ==(,())(,())T P i j k P j i k =
由此可见,三种初等矩阵的逆及其转置还是初等矩阵,并且其类型也不变.
引理 4.2[8] 对一矩阵A 施行初等行变换,相当于用相应的初等矩阵左乘A ;而对A 施
行初等列变换,相当于用相应的初等矩阵右乘A .
引理4.3[8] n 阶方阵可逆的充分必要条件是A 可表示称若干个初等矩阵之积.
由于二次型与其标准形等价,而标准形的矩阵是对角矩阵,从而用矩阵语言可将定理
2.1表述为：
引理4.4[3] 数域P 上的任一个n 阶对称矩阵均合同于一个对角矩阵.
下面讨论利用矩阵的初等变换将二次型化为标准形的方法.
设A 是数域P 上的一个n 阶对称矩阵,由引理 4.4可知,存在一个n 阶可逆矩阵C ,使
12(,,,)T n C AC diag d d d = .由C 可逆,故C 可以表示成一些初等矩阵12,,,t P P P 的乘积,
即12t C PP P = ,故
1212()()T t t PP P A PP P 2112T T T t t P P P APP P = 12(,,,)n diag d d d = . (41)-
这说明,A 经过一系列初等变换可化成对角矩阵12(,,,)n diag d d d .由于初等矩阵有三种类型(,),(()),(,())P i j P i c P i j k ,且(,)(,),(())(()),T T P i j P i j P i c P i c ==
(,())(,())T P i j k P j i k =，于是我们有(,)(,)(,)(,)T P i j AP i j P i j AP i j =,这相当于把A 的
第,i j 列互换 ,再把所得矩阵的第,i j 行互换；而(())(())(())(())T P i k AP i k P i k AP i k =， 相当于把A 的第i 列乘上非零数k ,再把所得矩阵的第i 行乘上数k .又
(,())(,())(,())(,())T P i j k AP i j k P i j k AP i j k =，相当于把A 的第i 行的k 倍加到第j 行,再把所得矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行.
综上所述,若i P 是一个初等矩阵,则式(41)-相当于对A 进行一次初等列变换,再对所得矩阵进行一次同样类型的初等行变换.
定理 4.1[3] 设A 为数域F 上的n 阶矩阵,若对2n n ?阶矩阵A E ??
???
的前n 行,n 列进行
合同变换化为B C ??
???
,则C 可逆,且T
B C AC =. 证明 由条件可知,存在n 阶可逆矩阵12,,...,t P P P ,且令12t P PP P = ,使
.T
T T A B P O P A P AP P P E C O E E P ????????
??=== ? ? ? ? ?????
?????? 故T
B P AP =,且
C P =可逆.
由定理 4.1可知,若A 为二次型的矩阵,用合同变换将A E ??
???化为D C ??
???
,其中12(,,...,)n D diag d d d =,则相当于用非退化线性变换X C Y =,将二次型
12(,,...,)T n f x x x X AX =,化成标准形222
1122
...n n d y d y d y +++. 这种方法我们称为化二次型为标准形的初等变换方法.
操作方法是：将二次型矩阵A 写在单位矩阵E 的上面，构成分块矩阵2n n
A E ???
???，先对分
块矩阵2n n
A E ???
???的列作初等变换，然后对A 的行作相同内容的初等行变换，当二次型的矩阵A 化为对角矩阵时，单位矩阵E 就化为可逆矩阵C .
例 5[16] 用初等变换方法化二次型
222
123123121323(,,)364410f x x x x x x x x x x x x =++--+为标准形,并写出所用的
非退化线性变换.
解 123(,,)f x x x 的矩阵为122235256A --??
?
=- ? ?-??
,构造分块矩阵63A E ??? ???，先对此矩阵作初
等列变换，然后对A 的行作相同内容的初等行变换：
12210
010
010
010
023521
101101001025621
201201300310012
212212412401001001001101100100
1001001001A E --????????? ? ?
?
?
------ ? ? ? ? ? ? ? ? --??=→→→→
? ?
?
?
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????
????? ? ? ??
.
故123(,,)f x x x 的标准形为222
123
3y y y -+,所作的非退化线性变换为X CY =, 其中124011001C ??
?
= ? ???
.
注：此例题的第一次初等列变换是先把矩阵的第一列乘2，然后分别加到第二列、第三
列上，相同内容的行变换也就是把第一行乘2然后分别加到第二行、第三行上；第二次初等列变换是先把矩阵的第二列乘1，然后加到第三列上，相同内容的行变换也就是把第二行乘1然后加到第三行上.
5 Jacobi 方法
引理5.1[18]
设二次型12,1
(,,,)n
n ij i j i j f x x x a x x ==∑ 矩阵的1n -个顺序主子式
11121,121212,111
12
1112121
22
1,1
1,21,1
,,,n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a -------?=?=
?=
均不为零 ，则二次型可化
为标准形22
22121121121
n n n n n n f y y y y ----???=?+
+++??? .
例 6[18] 用Jacobi 方法化二次型
22
123412121323(,,,)8228f x x x x x x x x x x x x =--+-为标准形.
解 二次型的矩阵111184140A -??
?
=--- ? ?-??
，A 的顺序主子式
1231
1
1
1
1
1,9,184018
140--?=?=
=-?=---=---， 222
223211221212
9f y y y y y ??∴=?+
+=-?? 6 讨论
在实际应用中，我们要根据要求选用不同的方法解题，配方法的优点是方法初等，易于
接受，但是当元数较多时，由于计算过于复杂，往往不被采用；矩阵初等变换法比较简单而实用，且适用于元数较多情形；正交变换法算法科学、有序、稳定，最大的优点是某个问题经正交变化为标准形后，其几何图形保持不变；Jacobi 方法简单，易于操作，但没有给出相应的非奇异线性变换.
对于二次型的标准形我们还要注意两点：1）：一个二次型的标准形不是唯一的；2）：任何一个二次型的标准形中含的总项数就是该二次型的秩数，而且，当限定变换为实可逆线性变换时，标准形中的正系数的个数与负系数的个数不变.
参考文献
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§2 标准形 一、二次型的标准型 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 2 222211n n x d x d x d +++ . （1） 定理1 数域P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1）的形式. 易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵， ().000000 ,,,212 1212 222211?????? ? ????????? ??=+++n n n n n x x x d d d x x x x d x d x d 反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理1可以叙述为： 定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理2也就是说，对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C 使 AC C ' 成对角矩阵. 二次型),,,(21n x x x f 经过非退化线性替换所变成的平方和称为 ),,,(21n x x x f 的标准形. 例 化二次型 32312121622),,,(x x x x x x x x x f n -+= 为标准形. 二、配方法 1.,011≠a 这时的变量替换为
????? ????==-=∑=-. , , 222 11 1111n n n j j j y x y x y a a y x 令 ??? ? ? ? ? ? ?--=--100010 111 11121111 n a a a a C , 则上述变量替换相应于合同变换 11AC C A ' → 为计算11AC C '，可令 ()??? ? ? ??==nn n n n a a a a A a a 22221112,,,α. 于是A 和1C 可写成分块矩阵 ??? ? ??-=???? ? ?' =--11 1111111,n E O a C A a A ααα, 这里α'为α的转置，1-n E 为1-n 级单位矩阵.这样 .111 1 1111111 11 11111111 1111111 1111??? ? ??'-=???? ??-???? ? ?'-=???? ??-???? ??'? ??? ??'-=' --------αααααααααa A O O a E O a a A O a E O a A a E a O AC C n n n 矩阵αα'--1 111a A 是一个)1()1(-?-n n 对称矩阵，由归纳法假定，有 )1()1(-?-n n 可逆矩阵G 使 D G a A G ='-'-)(1 111αα 为对角形，令 ??? ? ??=G O O C 12,
化二次型为标准形的方法 内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。它以线性空间为背景，以 线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法 关键词：二次型线性替换矩阵标准形 导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。二次型是学中 的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。 化二次型为标准形的方法 一． 配方法 配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像 ()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。 定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和 222 1122...n n d x d x d x +++的形。 1.如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i x 的乘积项集中，然后再配方，再对 其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。 例1.上述所给出的方法化二次型23(,,)f x x x =22 1122 23224x x x x x x +++为标准形，写出所用的变换矩阵。
化二次型为标准型的方法 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 2 2 ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方 向转轴） '' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ?=-??=+?? （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式 22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++?? =++???=++?? （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 ij ji a =a ，i 化二次型为标准型的方法 二、二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程 ax 2 +2bxy+ cy 2 = f . 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度。，作转轴（反时针方 把方程（1）化成标准方程,在二次曲面的研究中也有类似的情况. （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几 何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最 基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的X“X2，...,Xn 的二次齐次多项式 f （X],x^,???,Xn ） = a.eX.2 +2a“X]X, +... + 2a.x.x n +... + 2a. x ?x n +... + a n x n 2 J x n ii I i i * in i n 匕 .n 二 n nil n 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设x p x 2,...,x n ； y,,y 2，…,yn 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 x 1=c I1y I +c 12y 2+...c ln y n x 2=c 2iyi +c 22y 2+-c 2nyn X 3=C 3iyi +C 32y2+-C 3ny n （4） /n =C niy2+C n2y2+-C nnyn 称为由X|,X2，...,Xn 到力必，…,yn 的一个线性替换，。如果|cJ #。，那么线性替换（4）就 称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 , i 化二次型为标准形的几种方法 摘要 二次型是代数学要研究的重要容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方． 关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法 reduce the quadratic forms to the standard forms Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method 第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n ),,,(21 在线性变换CY X 下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,222 2211n n y b y b y b 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理 3 4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点： 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量 进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; (2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ,则先作可逆变换 ),,,2,1(j i k n k y x y y x y y x k k j i j j i i 且 化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方. 注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A 的特征值无关. 因为二次型f 与它的对称矩阵A 有一一对应的关系，由定理1即得: 定理2 对任一实对称矩阵A ，存在非奇异矩阵C ，使 B AC C T 为对角矩阵. 即任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同. 二、用初等变换化二次为标准型 设有可逆线性变换为CY X ，它把二次型AX X T 化为标准型BY Y T ，则 B AC C T . 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵s P P P ,,,21 ，使 s P P P C 21 , 于是 s P P EP C 21 s T T T s T P P AP P P P AC C 2112. 由此可见, 对n n 2矩阵 E A 施以相应于右乘s P P P 21的初等列变换, 再对A 施以相应于左乘T s T T P P P ,,,21 的初等行变换, 则矩阵A 变为对角矩阵B , 而单位矩阵E 就变为所要求的可 逆矩阵C . 三、用正交变换化二次型为标准形 定理 2 若A 为对称矩阵，C 为任一可逆矩阵,令,AC C B T ,则B 也为对称矩阵,且).()(A r B r 注: (1) 二次型经可逆变换CY X 后,其秩不变,但f 的矩阵由A 变为;AC C B T (2) 要使二次型f 经可逆变换CY X 变成标准形,即要使AC C T 成为对角矩阵, 即 .),,,(2 222211212121n n n n n T T y b y b y b y y y b b b y y y ACY C Y 2015届本科毕业论文 题目：二次型化为标准型方法 所在学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学11-2班 学生姓名：赵江南 指导教师：艾合买提 答辩日期：2015年5月5日 目录 1 引言.............................................. 错误!未定义书签。 2 关于二次型定义 ................................... 错误!未定义书签。 3 二次型化为标准型的方法 ........................... 错误!未定义书签。 正交变换法 ...................................... 错误!未定义书签。 . 配方法 ......................................... 错误!未定义书签。 . 初等变换法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 雅可比方法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 偏导数法 ....................................... 错误!未定义书签。 4. 小结 ............................................ 错误!未定义书签。参考文献 .......................................... 错误!未定义书签。致谢 .............................................. 错误!未定义书签。 化二次型为标准型的方法 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程 ax" + 2bxy+ cy' =f . (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度作转轴（反时针方 X = X cos&-y sin& ? ? y = X sin0+y cos0 把方程（1）化成标准方程。在二次曲而的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几 何中出 现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最 基本的性质。 向转轴） (2) 设P 杲一数感，一个系数在数域P I ：的X|.X2，?…Xn 的二次齐次多项式 f(XpXx ???,Xn)= a…xf +2apX]X 》+???+ 2d]nX]Xn +a"X 分2 +??? + 2a*nXjXn +??? + annXn2 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设X|,X2■…,x…： y^y, y…是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 X| =勺』|+匂汙2+???5 人 X2=C2.yi+c…y,+...c,…y… X3=C3y +。32『2+…(3"九 (4) 1/"=5』2+%九+…5肌 称为由XpX2 x…到yid?人的一个线性替换八如果 G H0,那么线性替换（4）就 称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 那二ivj ?由于XjXj=XjXi ,所以 f(X|,X2，???,x…) = a]]X/ + 2di2X|X2+??? + 2a]nX|Xn +3,2X2"+... + 2a2…X2Xj, + n n =工工a/iXj i —1 它的系数排成一个n*n 矩阵 莆田学院数学与应用数学系 “高等代数选讲”课程论文 题目：用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 姓名：廖丹 学号：410401141 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级 2007年6月20日 用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 041数本 410401141 廖丹 摘要：本文介绍两种特殊方法：一种是用正交变换化实二次型为标准形，另一种是连续用第三种初 等行变换快速将二次型化为标准形. 关键词：初等变换 第三种初等阵 非异阵 实二次型标准形 1．数域下任意一个实二次型X AX ',总可以经过非奇异变换X PY =使得21n i i i X AX d y ='=∑,其中i d 为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法 最大的缺点是不易求矩阵P .下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形，一举求出非异阵P . 定义1.1以()ij k T 表示将单位矩阵的j 行（列）的k 倍加到i 行（列）,所得到的第三种初等阵. 定理1.2设A 是n 阶实对称阵,P 是有限个第三种初等阵()ij k T ,1i >的乘积.且 1 10d a P A A ??'= ???其中a 是1n -维行向量,1A 是1n -阶阵,则必有100d P AP A ?? '= ??? . 证明：由于P 是()ij k T 的乘积，且1i >,根据矩阵的乘法规则，用P 右乘P A '时,P A '的 第一列元素不变,从而1 10 d P AP A β?? '= ??? ,即A 是实对称的. ∴ P AP '亦为实对称阵 ∴ 0β= 这个定理实质上就给出矩阵A 化标准形,求出变换矩阵P 的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A 化为上三角形.现作矩阵(),A E 找出P '使 化二次型为标准型公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b +++ 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n =),,,(21 在线性变换CY X =下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 ? ?????????? ?=n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,2222211n n y b y b y b +++ 其标准形中的系数恰好为 对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ?4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点： 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; 编号2009011146 毕业论文 （2013 届本科） 论文题目：化二次型为标准形的方法 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级： 2009级本科（1）班 作者姓名：王瑜 指导教师：完巧玲职称：副教授 完成日期： 2013 年 05 月 07 日 目录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (1) ０引言 (1) 1矩阵及二次型的相关概念 (1) 1．1矩阵的相关概念 (1) 1．2二次型的相关概念 (2) 2化二次型为标准形的方法 (3) 2．1配方法 (3) 2．2初等变换法（合同变换法） (5) 2．3正交变换法 (6) 2．4雅可比法 (8) 2．5MATLAB法 (12) 3 小结 (14) 参考文献 (15) 英文摘要 (15) 致谢 (16) 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二O一年月日 化二次型为标准形的方法 王瑜 完巧玲 （陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000 ） 摘 要：化二次型为标准形的方法通常有配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法，这五种方法各有长处.本文通过对这些方法的归纳整理，使人们在解题时根据其特点和要求选取最佳方法，以达到简明快速的目的． 关键词：二次型；标准形；初等变换；正交变换；雅可比. ０ 引言 二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是化二次型为标准形．二次型化为标准形的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论应用也非常广泛．将二次型化为标准形往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在各个领域都有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准形的方法有重要的理论与应用价值． 实数域P 上的二次型可通过配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法将其化为标准形．对于配方法或初等变换法即用非奇异变换 py x =将其化为2 1i n i i y d ∑=（d i 为实数）的形式，然而这种方法不易求出矩阵P ，下 面将介绍几种特殊方法，能够快速将原二次型化为标准形，并求出P ，使问题简化．下面首先介绍有关概念，再分别讨论二次型化为标准形的方法． 1 矩阵及二次型的相关概念 1．1 矩阵的相关概念 定义]1[1.1.1 设V 是数域F 上的一个向量空间，V 中满足下列两个条件的向量组{n ααα,,,21 }叫做V 的一个基． i ) n ααα,,,21 线性无关； ii ) V 的每个向量都可以由n ααα,,,21 线性表示． 定义]1[2.1.1 设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维向量空间V 的两个基．那么向量β j ，n j ,,2,1 =，可以由n ααα,,,21 线性表示．设 §2 化二次型为标准形●用配方法化二次型为标准形 ●用正交变换法化二次型为标准形 6.2.1用配方法化二次型为标准形 定理6.2.1任何一个二次型都可以通过非退化线性变换化为标准形。 定理6.2.2对任意一个n 阶实对称矩阵A ，都存在可逆矩阵C ，使得 C T AC =diag(d 1, d 2, ¨, d n )例6.2.1 用配方法把三元二次型 化为标准形，并求所用的线性变换X=CY 及变换矩阵C 。()2221231 2 3 121323 ,,23448f x x x x x x x x x x x x =+++--解先按及含有x 1的混合项配成完全平方，即 ()()()22 123112323,,22f x x x x x x x x x ?? =+-+-?? 21 x ()222 232323 238x x x x x x --++-()2 221232 3 23 24x x x x x x x =+-+-- ()()2 221231232 3 23 ,,24f x x x x x x x x x x =+-+--在上式中，再按22 234x x x -配成完全平方，于是 ()()()22 2 123123233 ,,225f x x x x x x x x x =+-+--令 11232233 32y x x x y x x y x =+-?? = -??=?代入上式中，得到二次型的标准形 ()2221231 2 3 ,,25f x x x y y y =+- 由 11232233 32y x x x y x x y x =+-?? = -??=?解得 112233*********x y x y x y --???? ?? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ?????上式是化二次型为标准形所做的线性变换X=CY ，其中 111012001C --?? ?= ? ??? 化二次型为标准型的方法 一、 绪论 高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景, 以线性变换为方法, 以矩阵为工具, 着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数, 其内容本应属于函数讨论的范围, 然而二次型用矩阵表示之后, 用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确, 二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形, 也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。 二次型是高等代数的重要内容之一, 二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项, 即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、 二次曲面的化简问题, 其理论也在网络、 分析、 热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题, 而且它在物理学、 工程学、 经济学等领域有非常重要的应用, 因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。 我们知道, 任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定, 而任一实对称矩阵都能够化成一对角矩阵, 相应的任一实二次型都能够化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法: 配方法和正交变换法; 另外, 由于任意矩阵能够利用初等变换化为对角矩阵, 因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。 经过典型例题, 更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性, 我们应熟练掌握各种方法。 以下就是几种方法的简单介绍, 而且又提出了一种新的方法: 雅可比喻法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中, 我们看到, 当坐标原点与中心重合时, 一个有心二次曲线 的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. 密级： JINING UNIVERSITY 学士学位论文 THESIS OF BACHELOR 题目化二次型为标准型的方法 系别：数学系 专业年级：数学与应用数学专业 2012级(3+2) 学生姓名：邢桃桃学号： 2012063331 指导教师：唐庆晨职称：副教授 起讫日期： 2014年3月7日至2014年5月27日 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1 配方法 (2) 1.1解题步骤 (2) 1.2 典型例题 (3) 2 初等变换法 (4) 2.1 解题步骤 (5) 2.2 典型例题 (5) 3正交变换法 (6) 3.1解题步骤 (6) 3.2 典型例题 (7) 4 雅克比法 (8) 4.1解题思路 (8) 4.2典型例题 (8) 5偏导数法 (9) 5.1 解题思路 (9) 5.2典型例题 (10) 6 总结 (12) 参考文献 (13) 致谢 (13) 化二次型为标准形的方法 数学与应用数学专业学生邢桃桃 指导教师唐庆晨 摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点．本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法和偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。 关键词：配方法初等变换法正交变换法雅可比方法偏导数法 Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard Student majoring in mathematics and applied mathematics xingtaotao Tutor Tang Qingchen Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Keywords: orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method 引言二次型是代数学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形，本文介绍了五种化二次型为标准形的方法，各种方法的解题思路步骤及依据在正文部分都有详细的说明，并且每种方法后面配有例题这样理解起来就会 莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文 题目：用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 姓名：廖丹 学号：410401141 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级 2007年6月20日 用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 041数本 410401141 廖丹 摘要：本文介绍两种特殊方法：一种是用正交变换化实二次型为标准形，另一种是连续用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形. 关键词：初等变换 第三种初等阵 非异阵 实二次型标准形 1．数域下任意一个实二次型X AX ',总可以经过非奇异变换X PY =使得21n i i i X AX d y ='=∑,其中i d 为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法 最大的缺点是不易求矩阵P .下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形，一举求出非异阵P . 定义1.1以()ij k T 表示将单位矩阵的j 行（列）的k 倍加到i 行（列）,所得到的第三种初等阵. 定理1.2设A 是n 阶实对称阵,P 是有限个第三种初等阵()ij k T ,1i >的乘积.且 1 10d a P A A ??'= ???其中a 是1n -维行向量,1A 是1n -阶阵,则必有100d P AP A ?? '= ??? . 证明：由于P 是()ij k T 的乘积，且1i >,根据矩阵的乘法规则，用P 右乘P A '时,P A '的第一列元素不变,从而1 10 d P AP A β?? '= ??? ,即A 是实对称的. ∴ P AP '亦为实对称阵 ∴ 0β= 这个定理实质上就给出矩阵A 化标准形,求出变换矩阵P 的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A 化为上三角形.现作矩阵(),A E 找出P '使 化二次型为标准型的办法 二、 令狐采学 三、 二次型及其矩阵暗示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个 有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针标的目的转轴）'' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ?=-??=+?? （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不单在几何中呈现，并且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多 项 式 222 12n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++?? =++???=++?? （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来暗示。另ij ji a =a ，i 02第二节化二次型 为标准型 第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b +++ 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n =),,,(21 在线性变换CY X =下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 ? ?????????? ?=n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,222 2211n n y b y b y b +++ 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 -4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点： 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; (2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ≠≠,则先作可逆变换化二次型为标准型的方法
化二次型为实用标准形地几种方法
02 第二节 化二次型为标准型
二次型化为标准形的几种方法
化二次型为标准型的方法
用初等变换化二次型为标准规定型
化二次型为标准型
化二次型为标准形的方法
6.2化二次型为标准形(全)
化二次型为标准型的方法样本
_化二次型为标准形的方法
用初等变换化二次型为标准型
化二次型为标准型的方法
02 第二节 化二次型为标准型学习资料
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