八年级数学上册 全等三角形单元测试卷附答案 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________．
【答案】5(0,5),(0,4),0,
4?? ???
【解析】
【分析】
有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可．
【详解】
有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=；
∴D （0，5）；
②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4，
∴P （0，4）；
③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，
由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-，
∴OC ＝54
， ∴C （0，54
）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0,
4?
? ???．
【点睛】
本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．
2．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形
（1）如图，在ABC
?中，25,105
A ABC
∠=?∠=?，过B作一直线交AC于D，若BD 把ABC
?分割成两个等腰三角形，则BDA
∠的度数是______．
（2）已知在ABC
?中，AB AC
=，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC
?分割成两个等腰三角形，则A
∠的最小度数为________．
【答案】130?
180
7
?
??
?
??
【解析】
【分析】
（1）由题意得：DA=DB，结合25
A
∠=?，即可得到答案；
（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD，CD=AD，②当AD=BD，AC=CD，
③AB=AC，当AD=BD=BC，④当AD=BD，CD=BC，分别求出A
∠的度数，即可得到答案．
【详解】
（1）由题意得：当DA=BA，BD=BA时，不符合题意，
当DA=DB时，则∠ABD=∠A=25°，
∴∠BDA=180°-25°×2=130°．
故答案为：130°；
（2）①如图1，∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠BAC=90°．
②如图2，∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，
∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠BAC=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°．
③如图3，∵AB=AC，当AD=BD=BC，
∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=2∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°．
④如图4，∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，
∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=3∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴7∠BAC=180°，
∴∠BAC=
180 ()
7
?．
综上所述，∠A的最小度数为：
180 ()
7
?．
故答案是：
180 ()
7
?．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．
3．如图，△ABC 是等边三角形，高AD 、BE 相交于点H ，BC=43，在BE 上截取BG=2，以GE 为边作等边三角形GEF ，则△ABH 与△GEF 重叠（阴影）部分的面积为_____．
【答案】53 【解析】
试题分析：如图所示，由△ABC 是等边三角形，BC=43，得到AD=BE=32
BC=6，∠ABG=∠HBD=30°，由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°，由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°，由BG=2，得EG=BE ﹣BG=6﹣2=4．由GE 为边作等边三角形GEF ，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE 是等边三角形；
S △ABC =12AC?BE=12AC×EH×3EH=13BE=13
×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE ﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=3．S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣
S △FIN =223314231442
?-?-??=53，故答案为53．
考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．
4．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．
【答案】30
【解析】
【分析】
根据轴对称得出OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，根据线段垂直平分线性
质得出
1
2
COA AOP COP，
1
2
POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，
PF=FD，OP=OD=5cm，求出△COD是等边三角形，即可得出答案．【详解】
解：如图示：连接OC，OD，
∵点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，∴OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，
∵OP=5cm，
∴
1
2
COA AOP COP，
1
2
POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，
OP=OD=5cm，
∵△PEF的周长是5cm，
∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，∴CD=OD=OD=5cm，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴
111
222
30 AOB AOP BOP COP DOP COD，
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．
5．在锐角三角形ABC中．BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．
【答案】4
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN 的最小值，再根据BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．
【详解】
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，
则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC?cos45°=32×2
=4．
∴CM+MN的最小值为4．
【点睛】
本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
6．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出下列四个结论：
①AE=CF；
②△
EPF 是等腰直角三角形；
③EF=AB ；
④12
ABC AEPF S S ?=
四边形，当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).
【答案】①②④
【解析】
试题分析：∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，
∴∠APE=∠CPF ，
∵AB=AC ，∠BAC=90°，P 是BC 中点，
∴AP=CP ，
∴∠PAE=∠PCF ，
在△APE 与△CPF 中，
{?PAE PCF
AP CP
EPA FPC ∠=∠=∠=∠
，
∴△APE ≌△CPF （ASA ），
同理可证△APF ≌△BPE ，
∴AE=CF ，△EPF 是等腰直角三角形，S 四边形AEPF =
12S △ABC ，①②④正确； 而AP=12
BC ，当EF 不是△ABC 的中位线时，则EF 不等于BC 的一半，EF=AP ， ∴故③不成立．
故始终正确的是①②④．
故选D ．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．
7．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内的两点，AE 平分∠BAC ，
∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm ，DE=3cm ，则BC 的长是 ______cm ．
【答案】8．
【解析】
【分析】
作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．
【详解】
解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，作EF∥BC于F，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠DBC=∠D=60°，
∴△BDM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BD=5，DE=3，
∴EM=2，
∵△BDM为等边三角形，
∴∠DMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠ENM=90°，
∴∠NEM=30°，
∴NM=1，
∴BN=4，
∴BC=2BN=8（cm），
故答案为8．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
8．如图，△ABC 中， AB=11 ， AC= 5 ，∠ BAC 的平分线 AD 与边 BC 的垂直平分线 CD 相交于点 D ，过点 D 分别作 DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为 E 、F ，则 BE 的长为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
连接CD ，BD ，由∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD ，DF=DE ，继而可得AF=AE ，易证得Rt △CDF ≌Rt △BDE ，则可得BE=CF ，继而求得答案．
【详解】
如图，连接CD ，
BD ，
∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，
∴AE=AF ，
∵DG 是BC 的垂直平分线，
∴CD=BD ，
在Rt △CDF 和Rt △BDE 中，
CD BD DF DE ???＝＝
，
∴Rt △CDF ≌Rt △BDE （HL ），
∴BE=CF ，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，
∵AB=11，AC=5， ∴BE=
12
（11-5）=3． 故答案为：3．
【点睛】 此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________．
【答案】9 2
【解析】
【分析】
首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【详解】
延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝1
4
S△ABH，S△CDH＝
1
4
S△ABH，
∵S△OBD?S△AOE＝S△ADB?S△ABE＝S△ADH?S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为1
2
×3×3＝
9
2
．
故填：9
2
．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
10．已知，∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，
△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A7B7A8的边长为______．
【答案】64a
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到A2B2=2B1A2，进而得出A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2…从而得到答案．
【详解】
∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°．
∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°．
又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°．
∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=a，∴A2B1=a．
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．
∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，
∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，
A5B5=16B1A2=16a，以此类推：A7B7=64B1A2=64a．
故答案为：64a．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题的关键．
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11．如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（ ）．
A ．PA P
B =
B ．PO 平分APB ∠
C ．OA OB =
D ．AB 垂直平分OP
【答案】D
【解析】
【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．
【详解】
解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥
∴PA PB =，选项A 正确；
在△AOP 和△BOP 中，
PO PO PA PB =??=?
， ∴AOP BOP ?
∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；
由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误． 故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关
键．
12．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC=AB，②若BC=BA，③若CA=CB）讨论，通过画图就可解决问题．
【详解】
①若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；
②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；
③若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上．
∵A（0，0），B（2，2），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点．
综上所述：符合条件的点C的个数有8个．
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（）
A．32°B．64°C．65°D．70°
【答案】B
【解析】
【分析】
此题涉及的知识点是三角形的翻折问题，根据翻折后的图形相等关系，利用三角形全等的性质得到角的关系，然后利用等量代换思想就可以得到答案
【详解】
如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置
∠B=∠D=32° ∠BEH=∠DEH
∠1=180?-∠BEH-∠DEH=180?-2∠DEH
∠2=180?-∠D-∠DEH-∠EHF
=180?-∠B-∠DEH-(∠B+∠BEH)
=180?-∠B-∠DEH-（∠B+∠DEH）
=180?-32°-∠DEH-32°-∠DEH
=180?-64°-2∠DEH
∴∠1-∠2=180?-2∠DEH-(180?-64°-2∠DEH)
=180?-2∠DEH-180?+64°+2∠DEH
=64°
故选B
【点睛】
此题重点考察学生对图形翻折问题的实际应用能力，等量代换是解本题的关键
14．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )
A．
3
2
B．
33
2
C．
3
2
D．不能确定
【答案】B
【解析】
已知，如图，P为等边三角形内任意一点，PD、PE、PF分别是点P到边AB、BC、AC的距离，连接AP、BP、CP，过点A作AH⊥BC于点H，已知等边三角形的边长为3，可求得高
线AH=3
3
2
，因S△ABC=
1
2
BC?AH=
1
2
AB?PD+
1
2
BC?PE+
1
2
AC?PF，所以
1 2×3×AH=
1
2
×3×PD+
1
2
×3×PE+
1
2
×3×PF，即可得PD+PE+PF=AH=
3
3
2
，即点P到三角形三边
距离之和为3
3
2
．故选B.
点睛：本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．
15．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
以O点为圆心，OA为半径作圆与x轴有两交点，这两点显然符合题意．以A点为圆心，OA为半径作圆与x轴交与两点（O点除外）．以OA中点为圆心OA长一半为半径作圆与x 轴有一交点．共4个点符合，
16．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）
A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．③④
【答案】C
【解析】
【分析】 根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．
【详解】
选取①②:
在ADF ? 和BEF ? 中
1=2
{12
AFD BFE
AD BE
ADF BEF
AF BF
FAB FBA
CAB CBA
AC BC
∠∠∠=∠=∴???∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=
选取①④:
在ADF ? 和BEF ? 中 1=2
{12
AFD BFE
FD FE
ADF BEF
AF BF
FAB FBA
CAB CBA
AC BC
∠∠∠=∠=∴???∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=
选取③④:
在ADF ? 和BEF ? 中
{12
AFD BFE
FD FE
ADF BEF
AF BF
FAB FBA
CAB CBA
AC BC
∠=∠=∴???∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．
17．点A 的坐标是（2，2），若点P 在x 轴或y 轴上且△APO 是等腰三角形，这样的点P 共有（ ）个
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，要使△AOP 是等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA 是底边时，作OA 的垂直平分线，和坐标轴出现2个交点；当OA 是腰时，则分别以点O 、点A 为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现6个交点，这样的点P 共8个．
【详解】
如图，分两种情况进行讨论：
当OA 是底边时，作OA 的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；
当OA 是腰时，以点O 为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A 为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现2个交点；
∴满足条件的点P 共有8个，
故选：C ．
本题考查了等腰三角形的定义，坐标与图形的性质，解题的关键是根据OA 为腰或底两种情况分类讨论，运用数形结合的思想进行解决．
18．如图所示，△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形，且PA ⊥PD ，有下列四个结论：①∠PBC ＝15°，②AD ∥BC ，③PC ⊥AB ，④四边形ABCD 是轴对称图形，其中正确的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据周角的定义先求出∠BPC 的度数，再根据对称性得到△BPC 为等腰三角形，∠PBC 即可求出；根据题意：有△APD 是等腰直角三角形；△PBC 是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD 是轴对称图形，进而可得②③④正确．
【详解】
根据题意，BPC 36060290150∠=-?-= ， BP PC =，
()
PBC 180150215∠∴=-÷=，①正确；
根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形，④正确；
∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴AD//BC ，②正确；
∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°，
∴PC ⊥AB ，③正确，
所以四个命题都正确，
故选D ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.
19．如图，ABC ?中，AB 的垂直平分线DG 交ACB ∠的平分线CD 于点D ，过D 作DE AC ⊥于点E ，若10AC =，4CB =，则AE =（ ）
A．7B．6C．3D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=AD，DE=DF，依据HL定理可判断出Rt△AED≌Rt△BFD，根据全等三角形的性质即可得出BF=AE，再运用AAS定理可证得Rt△CED≌Rt△CFD，证出CE=CF，设AE的长度为x，根据CE=CF列方程求解即可．
【详解】
如图,连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F.
的平分线CD于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，
∵AB的垂直平分线DG交ACB
∴BD=AD，DE=DF．∴Rt△AED≌Rt△BFD．
∴BF=AE．
又∵∠ECD=∠FCD，∠CED=∠CFD，CA=CA，∴Rt△CED≌Rt△CFD，
∴CE=CF，
设AE的长度为x，则CE=10-x，CF=CB＋BF= CB＋AE= 4＋x,
∴可列方程10-x=4＋x，x=3，∴AE=3；
故选C.
【点睛】
本题涉及到线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形解答．
20．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形．若△ABC是特异三角形，∠A=30°，∠B为钝角，则符合条件的∠B有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
如下图，当30°角为等腰三角形的底角时有两种情况：∠B=135°或90°，当30°角为等腰三角形的顶角时有一种情况：∠B=112.5°，所以符合条件的∠B有三个.
又因为∠B为钝角，则符合答案的有两个，
故本题应选B.
点睛：因为不确定这个等腰三角形的底边，所以应当以点A为一个确定点进行分类讨论：①当以B为顶点时，即以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于点D，构成等腰△BAD；②当以点A为顶点时，即以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点D，构成等腰
△ABD；或作线段AB的垂直平分线交AC于点D构成等腰△DAB.
八年级数学上册全等三角形单元测试卷（含答案解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________． 【答案】10 【解析】 【分析】 由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果． 【详解】 解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ， ∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ， ∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ， ∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ， ∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠， ∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ， 过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152 DE BD ==，12 BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠= ∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠， 在△BCF 和△CDE 中，∵BCF CDE ∠=∠，∠BFC =∠CED =90°，CB=CD ， ∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴CF=DE =5， ∴11451022 ABC S AB CF =?=??=． 故答案为：10．
八年级上册全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在锐角△ABC 中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】 作BH ⊥AC ，垂足为H ，交AD 于M 点，过M 点作MN ⊥AB ，垂足为N ，则BM+MN 为所求的最小值，再根据AD 是∠BAC 的平分线可知MH=MN ，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】 如图，作BH ⊥AC ，垂足为H ，交AD 于M 点，过M 点作MN ⊥AB ，垂足为N ，则BM+MN 为所求的最小值． ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴MH=MN ，∴BH 是点B 到直线AC 的最短距离（垂线段最短）． ∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH== 5． ∵BM+MN 的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5． 故答案为5． 【点睛】 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 2．如图，ABC ?中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，
AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则 ∠C=12 ∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于 ∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误． 【详解】 ∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ， ∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°， ∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ， 故①正确； 若∠EBC=∠C ，则∠C= 12 ∠ABC ， ∵∠BAC=90°， 那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°， 故②错误； ∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线， ∴∠ABF=∠EBD ， ∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ， 又∵∠BAD=∠C ， ∴∠AFE=∠AEF ， ∴AF=AE ， 故③正确； ∵AG 是∠DAC 的平分线，AF=AE ， ∴AN ⊥BE ，FN=EN ， 在△ABN 与△GBN 中，
八年级数学上册全册全套试卷测试卷附答案 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，在ABC ?中，A α∠=．ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠： 1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠； ；2019A BC ∠与2019A CD ∠的平分线 相交于点2020A ，得2020A ∠，则2020A ∠=________________． 【答案】2020 2 α 【解析】 【分析】 根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知 21211112222a A A A A a ∠=∠=∠=∠=，，…，依此类推可知2020A ∠的度数． 【详解】 解：∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1， ∴111 18022 A ACD AC B AB C ∠=?- ∠-∠-∠ 11 18018022ABC A A ABC ABC =?-∠+∠-?-∠-∠-∠（）（） 1122 a A = ∠=， 同理可得221122 a A A ∠=∠=， … ∴2020A ∠=2020 2α ． 故答案为：2020 2α . 【点睛】 本题是找规律的题目，主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时也考查了角平分线的定义． 2．如图，ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，点,E F 分别在线段BD 、CD 上，点G 在EF 的延长线上，EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称，若 60,84,A BEH HFG n ???∠=∠=∠=，则n =__________.
【答案】78. 【解析】 【分析】 利用ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D 得到∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=1 2 (∠A+∠ABC)，根据三角形的内角和得到∠D= 1 2 ∠A=30?，利用外角定理得到∠DEH=96?，由EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称得到∠DEG=∠HEG=48?，根据外角定理即可得到∠DFG=∠D+∠DEG=78?. 【详解】 ∵ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ∴∠DBC= 12∠ABC ，∠ACD=1 2 (∠A+∠ABC)， ∵∠DBC+∠BCD+∠D=180?，∠A+∠ABC+∠ACB=180?， ∴∠D= 1 2 ∠A=30?， ∵84BEH ?∠=, ∴∠DEH=96?, ∵EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称， ∴∠DEG=∠HEG=48?，∠DFG=∠HFG n ?=, ∵∠DFG=∠D+∠DEG=78?， ∴n=78. 故答案为：78. 【点睛】 此题考查三角形的内角和定理、外角定理，角平分线性质，轴对称图形的性质，此题中求出∠D= 1 2 ∠A=30?是解题的关键. 3．△ABC 的两边长为4和3，则第三边上的中线长m 的取值范围是_______． 【答案】 1722 m << 【解析】 【分析】 作出草图，延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE ，利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全
八年级数学上册全等三角形单元测试卷 （word 版，含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=120°，AB=10cm ，点P 是这个菱形内部或边上的一点．若以P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，A （P ，A 两点不重合）两点间的最短距离为______cm ． 【答案】10310- 【解析】 解：连接BD ，在菱形ABCD 中， ∵∠ABC =120°，AB =BC =AD =CD =10，∴∠A =∠C =60°，∴△ABD ，△BCD 都是等边三角形，分三种情况讨论： ①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P 与点D 重合时，PA 最小，最小值PA =10； ②若以边PB 为底，∠PCB 为顶角时，以点C 为圆心，BC 长为半径作圆，与AC 相交于一点，则弧BD （除点B 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在AC 上时，AP 最小，最小值为10310-； ③若以边PC 为底，∠PBC 为顶角，以点B 为圆心，BC 为半径作圆，则弧AC 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点A 重合时，PA 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； 综上所述，PA 的最小值为10310-（cm ）． 故答案为：10310-． 点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 2．在ABC ?中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=?，
八年级全等三角形单元测试卷（解析版）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1 2 BC，则△ABC的顶角的度数为 _____． 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC，
∴AD=BD=CD， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD， ∴∠BAD+∠CAD=1 2 ×180°=90°， ∴顶角∠BAC=90°， 综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°． 故答案为30°或150°或90°． 点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标为_____________． 【答案】 5 4),0, 4 ?? ? ?? 【解析】 【分析】 有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，求出OA即可；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，根据勾股定理求出OC即可． 【详解】 有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，则OA＝OD＝ = ∴D（0）； ②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，OP＝2×y A=4， ∴P（0，4）； ③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC， 由勾股定理得：OC＝AC， ∴OC＝5 4 ， ∴C（0，5 4 ）； 故答案为： 5 4),0, 4 ?? ? ?? ．
人教版八年级上册数学全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______． 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可； 【详解】 解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45° ∵∠C＝45° ∴∠AME＝∠C 又∵∠AME＞∠C ∴这种情况不成立； ②若AE＝EM ∵∠B＝∠AEM＝45° ∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠MEC 在△ABE和△ECM中， B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△ABE≌△ECM（AAS）， ∴CE＝AB6， ∵AC＝BC2AB＝3
∴BE＝23﹣6； ③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45° ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE＝45° ∴AE平分∠BAC ∵AB＝AC， ∴BE＝1 BC＝3． 2 故答案为23﹣6或3． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 2．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】 作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】 如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最
人教版八年级数学上册全册综合测试题 一、选择题(本大题共7小题，每小题3分，共21分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意) 1．计算(－12)0 －4的结果是( ) A ．－1 B ．－32 C ．－2 D ．－5 2 2．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是( ) A ．9，15，8 B ．4，9，6 C ．15，20，8 D ．3，8，4 3．下列计算正确的是( ) A ．(－x 3)2 ＝x 5 B ．(－3x 2)2 ＝6x 4 C ．(－x )－2＝1x 2 D ．x 8÷x 4＝x 2 4．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量为30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为( ) －错误!＝10 －错误!＝10 －30 x ＝10 ＋错误!＝10 5．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，有下列结论：①BD ＝DC ；②DE ＝DF ；③AD 上任意一点到AB ，AC 的距离相等；④AD 上任意一点到点B 与点C 的距离不等．其中正确的是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②③ D ．①②③④ 图1 6．如图2①是长方形纸带，∠DEF ＝30°，将纸带沿EF 折叠成图②，再沿BF 折叠成图③，则图③中∠CFE 的度数为( ) A ．60° B ．90°
C ．120° D ．150° 图2 7．如图3，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，当△AMN 的周长最小时，∠AMN ＋∠ANM 的度数为( ) A ．130° B ．120° C ．110° D ．100° 图3 二、填空题(本大题共7小题，每小题3分，共21分) 8．用科学记数法表示为__________． 9．在平面直角坐标系中，将点A (－1，2)向右平移3个单位长度得到点B ，则点B 关于 x 轴的对称点C 的坐标是________． 10．已知a ＋b ＝3 2 ，ab ＝1，则(a －2)(b －2)＝________． 11．一个多边形的内角和是四边形内角和的4倍，则这个多边形的边数是________． 12．如图4，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E .已知∠BAE ＝16°，则∠C 的度数为________． 4 13．如图5，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，BD 平分∠ABC ，若AD ＝6，则CD ＝________．
全等三角形单元测试 一、选择题 1．下列三角形不一定全等的是（ ） A ．有两个角和一条边对应相等的三角形 B ．有两条边和一个角对应相等的三角形 C ．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形 D ．三条边对应相等的两个三角形 2．下列说法： ①所有的等边三角形都全等 ②斜边相等的直角三角形全等 ③顶角和腰长对应相等的等腰三角形全等 ④有两个锐角相等的直角三角形全等 其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.如图，AB 平分∠CAD ，E 为AB 上一点，若AC=AD ，则下列结论错误的是（ ） A.BC=BD B.CE=DE C.BA 平分∠CBD D.图中有两对全等三角形 4.AD 是△ABC 的角平分线，自D 向AB 、AC 两边作垂线，垂足为E 、F ，那么下 列结论中错误的是 ( ) A.DE=DF B.AE=AF C.BD=CD D.∠ADE=∠ADF 5.在△ABC 中，∠B=∠C ，与△ABC 全等的三角形有一个角是130°，那么△ABC 中与这个 角对应的角是（ ）． A ．∠A B ．∠B C ．∠C D ．∠B 或∠C 6.如图所示，BE ⊥AC 于点D ，且AD=CD ，BD=ED ，若∠ABC=54°，则∠E=（ ）． A ．25° B ．27° C ．30° D ．45° 7.如下左图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，且AB ＝10 cm ， D A C E B
F E D C B A 则△BED 的周长为 ( ) A ．5 cm B ．10 cm; C ．15 cm D ．20 cm 8．如上右图，AB=AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，则①△ABE ≌△ACF ；②△BOF ≌△COE ；③ 点O 在∠BAC 的角平分线上，其中正确的结论有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 9.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过B 作BE ⊥AD 于E ，过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，则( ) A 、AF=2BF; B 、AF=BF; C 、AF>BF; D 、AF 八年级上册全等三角形专题练习（word版 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm． - 【答案】10310 【解析】 解：连接BD，在菱形ABCD中， ∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论： ①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10； ②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP -； 最小，最小值为10310 ③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； -（cm）． 综上所述，PA的最小值为10310 -． 故答案为：10310 点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． ∥，2．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC PF AC ∥，若ABC 的周长为12cm ，则PD PE PF ++=____cm ． 【答案】4 【解析】 【分析】 先说明四边形HBDP 是平行四边形，△AHE 和△AHE 是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可． 【详解】 解：∵PD AB ，PE BC ∥ ∴四边形HBDP 是平行四边形 ∴PD=HB ∵ABC 为等边三角形,周长为12cm ∴∠B=∠A=60°,AB=4 ∵PE BC ∥ ∴∠AHE=∠B=60° ∴∠AHE=∠A=60° ∴△AHE 是等边三角形 ∴HE=AH ∵∠HFP=∠A=60° ∴∠HFP=∠AHE=60° ∴△AHE 是等边三角形， ∴FP=PH ∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm 故答案为4cm ． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键． 3．已知A 、B 两点的坐标分别为 （0，3），（2，0），以线段AB 为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，使∠BAC ＝90°，如果在第二象限内有一点P （a ， 12 ），且△ABP 和△ABC 的面积相等，则a ＝_____． 【答案】-8 3． 八年级数学上册 全册全套试卷测试卷（含答案解析） 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，ABC ?的面积为1，第一次操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点111,,A B C ，使 111,,A B AB B C BC C A CA ===，顺次连接111,,A B C ，得到111A B C ?；第二次操作：分别 延长111111,,A B B C C A 至点222,,A B C ，使2111A B A B =，2111B C B C =，2111C A C A =，顺次连接222,,A B C ，得到222A B C ?，…；按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少需经过__________次操作. 【答案】4 【解析】 【分析】 连接111,,AC B A C B ，根据两个三角形等底同高可得 111111111,C A B C AB A B C A BC B C A B CA ABC S S S S S S S ======从而得出第一次操作： 11177A B C ABC S S ??==＜2020；同理可得第二次操作22211127749A B C A B C S S ??===＜ 2020……直至第四次操作4443334 772401A B C A B C S S ??===＞2020，即可得出结论． 【详解】 解：连接111,,AC B A C B ∵111,,A B AB B C BC C A CA === 根据等底同高可得： 111111111,,C A B C AB ABC A B C A BC ABC B C A B CA ABC S S S S S S S S S ====== ∴111111111,C A B C AB A B C A BC B C A B CA ABC S S S S S S S ====== ∴第一次操作：11177A B C ABC S S ??==＜2020 全等三角形单元练习（Word版含答案） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______． 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可； 【详解】 解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45° ∵∠C＝45° ∴∠AME＝∠C 又∵∠AME＞∠C ∴这种情况不成立； ②若AE＝EM ∵∠B＝∠AEM＝45° ∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠MEC 在△ABE和△ECM中， B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△ABE≌△ECM（AAS）， ∴CE＝AB6， ∵AC＝BC2AB＝3 ∴BE ＝ 23﹣6； ③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45° ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAE ＝45° ∴AE 平分∠BAC ∵AB ＝AC ， ∴BE ＝ 1 2 BC ＝3． 故答案为23﹣6或3． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 2．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形 （1）如图，在ABC ?中，25,105A ABC ∠=?∠=?，过B 作一直线交AC 于D ，若BD 把ABC ?分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______． （2）已知在ABC ?中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ?分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________． 【答案】130? 1807? ?? ??? 【解析】 【分析】 （1）由题意得：DA=DB ，结合25A ∠=?，即可得到答案； （2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD ，CD=AD ，②当AD=BD ，AC=CD ，③AB=AC ，当AD=BD=BC ，④当AD=BD ，CD=BC ，分别求出A ∠的度数，即可得到答 八年级上册数学全等三角形单元测试卷（word版，含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____． 【答案】AD的中点 【解析】 【分析】 【详解】 分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出 AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短. 详解：如图，过AD作C点的对称点C′， 根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD ∴△ABP≌△DC′P ∴AP=PD 即P为AD的中点. 故答案为P为AB的中点. 点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键． 2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标为_____________． 【答案】5(0,5),(0,4),0, 4?? ??? 【解析】 【分析】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可． 【详解】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝ 22125+=； ∴D （0，5）； ②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4， ∴P （0，4）； ③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ， 由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-， ∴OC ＝54 ， ∴C （0，54 ）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0, 4? ? ???． 【点睛】 本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键． 3．如图所示，ABC 为等边三角形，P 是ABC 内任一点，PD AB ，PE BC ∥， 数学八年级上册全等三角形（篇）（Word版含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形 （1）如图，在ABC ?中，25,105 A ABC ∠=?∠=?，过B作一直线交AC于D，若BD 把ABC ?分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______． （2）已知在ABC ?中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ?分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________． 【答案】130? 180 7 ? ?? ? ?? 【解析】 【分析】 （1）由题意得：DA=DB，结合25 A ∠=?，即可得到答案； （2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD，CD=AD，②当AD=BD，AC=CD， ③AB=AC，当AD=BD=BC，④当AD=BD，CD=BC，分别求出A ∠的度数，即可得到答案． 【详解】 （1）由题意得：当DA=BA，BD=BA时，不符合题意， 当DA=DB时，则∠ABD=∠A=25°， ∴∠BDA=180°-25°×2=130°． 故答案为：130°； （2）①如图1，∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD， ∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴4∠B=180°， ∴∠BAC=90°． ②如图2，∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD， ∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA， ∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B， ∴∠BAC=3∠B， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴5∠B=180°， 人教版八年级数学上册 全册全套试卷测试卷（解析版） 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，点,E F 分别在 线段BD 、CD 上，点G 在EF 的延长线上，EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称，若 60,84,A BEH HFG n ???∠=∠=∠=，则n =__________. 【答案】78. 【解析】 【分析】 利用ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D 得到∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=1 2 (∠A+∠ABC)，根据三角形的内角和得到∠D= 1 2 ∠A=30?，利用外角定理得到∠DEH=96?，由EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称得到∠DEG=∠HEG=48?，根据外角定理即可得到∠DFG=∠D+∠DEG=78?. 【详解】 ∵ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ∴∠DBC= 12∠ABC ，∠ACD=1 2 (∠A+∠ABC)， ∵∠DBC+∠BCD+∠D=180?，∠A+∠ABC+∠ACB=180?， ∴∠D= 1 2 ∠A=30?， ∵84BEH ?∠=, ∴∠DEH=96?, ∵EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称， ∴∠DEG=∠HEG=48?，∠DFG=∠HFG n ?=, ∵∠DFG=∠D+∠DEG=78?， ∴n=78. 故答案为：78. 【点睛】 此题考查三角形的内角和定理、外角定理，角平分线性质，轴对称图形的性质，此题中求出∠D= 1 2 ∠A=30?是解题的关键. 2．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是_____度． 【答案】45 【解析】 【分析】 根据题意画出符合条件的图形，然后根据直角三角形的两锐角互余和角平分线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可. 【详解】 如图所示 △ACB为Rt△，AD，BE，分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，AD，BE相交于一点F． ∵∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90° ∵AD，BE，分别是∠CAB和∠ABC的角平分线， ∴∠FAB+∠FBA=1 2∠CAB+1 2 ∠ABC=45°． 故答案为45. 【点睛】 此题主要考查了直角三角形的两锐角互余和三角形的外角的性质，关键是根据题意画出相应的图形，利用三角形的相关性质求解. 3．一机器人以0.3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为__s． 【答案】160. 【解析】 试题分析：该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度即可求得所需时间． 试题解析：360÷45=8， 则所走的路程是：6×8=48m， 则所用时间是：48÷0.3=160s． 考点：多边形内角与外角． 姓名: 得分: 一、选择（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）（2009?海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（） 72°60°58°50° D C．．A．B． ）CE=3.5EFD且AB=EF，，CD=3，则AC=（2．（3分）如图，△ABC≌△ 3 3.5 6.5 5 A．B．C．D． 3．（3分）如图，△ABC≌△CDA，并且AB=CD，那么下列结论错误的是（） AC=CA AC=BC ∠1=∠2 ∠D=∠B A．B．C．D． 4．（3分）对于下列各组条件，不能判定△ABC≌△A′B′C′的一组是（） A．∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′B．∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′C．∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′D．AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′ 5．（3分）（2007?锦州一模）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，则判定△OAB ≌△OA′B′的理由是（） A．边边边B．角边角C．边角边D．角角边 6．（3分）（2005?广元）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配 一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（） A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去 ）上，则图中全等三角形有（AE在C，点BAD平分∠AE，AB=AD分）如图， 3．（7． 对．5．4对D3A．2对B．对C ）CD=2，则△ABD的面积是（，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=58．（3分） 如图， 0 210 2 5 D．．．C A．B 24分）8小题，每小题3分，共二、填空题.（本题共度．_________，∠O=70°C=25°，则∠AEB=OAD9．（3分）（2008?南通）已知：如图，△≌△OBC，且∠ ，可补充的一个条件ABDABC≌△∠DAB，要使△上，∠200610．（3分）（?浙江）如图，点B 在AECAB= ．（答案不唯一，写一个即可）是：_________ ，那么的周长为ACD24BC于D，△AD32宁夏）如图，311．（分）（2009?△ABC的周长为，且 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图，在ABC 中，45ABC ∠=,AD ,BE 分别为BC ,AC 边上的高，连接DE ,过点 D 作DF D E ⊥与点 F ， G 为BE 中点，连接AF ，DG ． （1）如图1，若点F 与点G 重合，求证：AF DF ⊥； （2）如图2，请写出AF 与DG 之间的关系并证明． 【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF ⊥DG,证明详见解析. 【解析】 【分析】 (1) 利用条件先△DAE ≌△DBF,从而得出△FDE 是等腰直角三角形,再证明△AEF 是等腰直角三角形,即可. (2) 延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, 先证明△BGM ≌△EGD,再证明△BDM ≌△DAF 即可推出. 【详解】 解:（1）证明:设BE 与AD 交于点H..如图， ∵AD,BE 分别为BC,AC 边上的高, ∴∠BEA=∠ADB=90°. ∵∠ABC=45°, ∴△ABD 是等腰直角三角形. ∴AD=BD. ∵∠AHE=∠BHD, ∴∠DAC=∠DBH. ∵∠ADB=∠FDE=90°, ∴∠ADE=∠BDF. ∴△DAE ≌△DBF. ∴BF=AE,DF=DE. ∴△FDE 是等腰直角三角形. ∴∠DFE=45°. ∵G 为BE 中点, ∴BF=EF. ∴AE=EF. ∴△AEF 是等腰直角三角形. ∴∠AFE=45°. ∴∠AFD=90°,即AF ⊥DF. （2）AF=2DG,且AF ⊥DG.理由:延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, ∵点G 为BE 的中点,BG=GE. ∵∠BGM ∠EGD, ∴△BGM ≌△EGD. ∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE. ∴∠MBE=∠EFD,BM=DF. ∵∠DAC=∠DBE, ∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE. ∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF, ∴∠BDF=45°-∠DBE. ∵∠ADE=∠BDF, ∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD. ∵BD=AD, ∴△BDM ≌△DAF. ∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM. ∵∠BDM+∠MDA=90°, ∴∠MDA+∠FAD=90°. ∴∠AHD=90°. ∴AF ⊥DG. ∴AF=2DG,且AF ⊥DG 【点睛】 本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质. 2．取一副三角板按图()1拼接，固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=，将三角板 全等三角形[知识要点] 一、全等三角形 一般三角形直角三角形 判 定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等 （HL） 性 质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 ②全等三角形面积相等． 2．证题的思路： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ） 找任意一边（ ） 找两角的夹边（ 已知两角 ） 找夹已知边的另一角（ ） 找已知边的对角（ ） 找已知角的另一边（ 边为角的邻边 ） 任意角（ 若边为角的对边，则找 已知一边一角 ） 找第三边（ ） 找直角（ ） 找夹角（ 已知两边 AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 例1在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是( ) A．1 3．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请 在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两 个全等图形． 4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a的度数为 5．如图，已知0A=OB，OC=0D，下列结论中：①∠A=∠B；②DE=CE；③连OE，则0E平分∠0，正确的是( ) A．①② B。②③ C．①③ D．①②③ 6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠l=∠2=∠3，则DE的长等于( )． A：DC B．BC C．AB D．AE+AC 7．如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于0，AE⊥BC．于E，DF⊥BC于F，那 么图中全等的三角形有( )对 A．5 B．6 C．7 D．8 8.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35度，得到△A′B′C, A′B′交AC乎点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数 9..如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB=AC；②AD=AE③AM=AN④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程 已知： 求证： 数学测评题(八年级上册) 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷微选择题，满分50分。第Ⅱ卷为填空题和解答题，满分50分。本试卷共20道题，满分100分，考试时间70分。 第Ⅰ卷选择题(共50分) 一、选择题：（每题5分，共10分） 1.下列能构成直角三角形三边长的是（） A. 1、2、3 B. 2、3、4 C. 3、4、5 D. 4、5、6 2. 在下列各数中是无理数的有( ) -0.333…, 4, 5, π -, 3π, 3.1415, 2.010101…(相邻两个1之间有1 个0),76.0123456…(小数部分由相继的正整数组成). A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 3. 若规定误差小于1,那么50的估算值是( ) A. 7; B. 7.07; C. 7或8; D. 7和8. 4．10名初中毕业生的中考体育考试成绩如下：25，26，26，27，26，30，29，26，28，29，这些成绩的中位数是（） A. 25 B. 26 C. 26.5 D. 30 5. 一个多边形每个外角都等于300, 这个多边形是( ) A.六边形; B.正八边形; C.正十边形; D.正十二边形. 6．以下五家银行行标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7．下列说法错误的是( ) A. 1)1(2=- B. ()1133 -=- C. 2的平方根是2± D. ()232)3(-?-=-?- 8．一根蜡烛长20cm ，点燃后每时燃烧5cm ，燃烧时剩下的高度h （厘米）与时间t （时）之间的关系图是（ ） h h h h 0 t 0 t 0 t 0 t A. B. C. D. 9．已知：如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则图中全等三角形共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 10．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图2）。如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么（a+b ）2的值为（ ） A. 13 B. 19 C. 25 D. 169 图1 图2 O D C B A八年级上册全等三角形专题练习(word版
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