第六章 定积分
定积分的有关理论是从17世纪开始出现和发展起来的，人们对几何与力学中某些问题的研究是导致定积分理论出现的主要背景．尽管其中某些问题早在公元前就被古希腊人研究过，但直到17世纪有了牛顿(Newton)和莱布尼兹(Leibnitz)的微分思想后，才使这些问题统一到一起，并且与求不定积分的问题联系起来．下面我们先从几何与力学问题出发引进定积分的定义，然后讨论它的性质、计算方法及其应用．
第一节 定积分概念
一、 定积分问题举例
１． 曲边梯形的面积
设f (x )是定义在区间［a ,b ］上的非负连续函数，由曲线y =f (x )及直线x =a ,x =b 和y =0所围成的图形称为曲边梯形，下面我们讨论如何求这个曲边梯形的面积．
图6-1
为了利用已知图形(比如说矩形)的面积公式，可以先在［a ,b ］内任意插入n 个分点 a =x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n ＝b ．
这样整个曲边梯形就相应地被直线x =x i (i =1,2,…,n -1)分成n 个小曲边梯形，区间［a ,b ］分成n 个小区间［x 0,x 1］,［x 1,x 2］,…，［x n -1,x n ］,第i 个小区间的长度为Δx i =x i -x i －１（i =1,2,…，n )．对于第i 个小曲边梯形来说，当其底边长Δx i 足够小时，其高度的变化也是非常小的，这时它的面积可以用某个小矩形的面积来近似．若任取ξi ∈［x i -1,x i ］,用f (ξi )作为第i 个小矩形的高(图6-1)，则第i 个小曲边梯形面积的近似值为
ΔA i ≈f (ξi )Δx i ．
这样，整个曲边梯形面积的近似值就是
1
1
()n
n
i
i i i i A A
f x ξ===
?=
?∑∑
．
从几何直观上看，当分点越密时，小矩形的面积与小曲边梯形的面积就会越接近，因而和式
1
()n
i i i f x ξ=?∑
与整个曲边梯形的面积也会越接近，记{}1max i i n
x λ≤≤=?，当λ→0时，和式
1
()n
i i i f x ξ=?∑
的极限如果存在，则这个极限值即为曲边梯形的面积A ，即
1
lim
()n
i i i A f x λξ→==?∑
．
2． 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度v =v (t )是时间间隔［Ｔ１，Ｔ２］上t 的连续函数，且v (t )?0，计算在这段时间内物体所经过的路程s ． 我们知道，对于匀速直线运动，有公式：
路程＝速度×时间．
但是在我们的问题中，速度不是常量而是随时间变化着的变量，因此所求路程s 不能直接按匀速直线运动的路程公式来计算．然而，物体运动的速度函数v =v (t )是连续变化的，在很短的时间内，速度的变化很小．因此如果把时间间隔分小，在小段时间内，以等速运动近似代替变速运动，那么就可算出各部分路程的近似值，再求和得到整个路程的近似值．最后，通过对时间间隔无限细分的极限过程，求得物体在时间间隔［Ｔ１，Ｔ２］内的路程．对于这一问题的数学描述可以类似于上述求曲边梯形面积的做法进行，具体描述为：
在区间［Ｔ１，Ｔ２］内任意插入n -1个分点
Ｔ１＝t 0＜t 1＜t 2＜…＜t n -1＜t n =T 2, 把区间［Ｔ１，Ｔ２］分成n 个小区间
［t 0,t 1］,［t 1,t 2］,…，［t n －１，t n ］，
各小区间的长度依次为Δt 1,Δt 2,…，Δt n ,在时间段［t i －１，t i ］上的路程的近似值为
v (τi )Δt i (i =1,2,…，n )，
整个时间段［Ｔ１，Ｔ２］上路程的近似值为
s ≈v (τ1)Δt 1+v (τ2)Δt 2+…+v (τn )Δt n
1
()n
i
i i v t τ
==
?∑ ．
当分点越密时，1
()n
i i i v t τ=?∑就会与s 越接近，因此记{}1max i i n
t λ≤≤=?,当λ→0时，和式
1
()n
i
i i v t τ
=?∑的极限如果存在，则这个极限值即为物体在时间间隔［Ｔ１，Ｔ２］内所走过的
路程．即
1
lim
()n
i
i i s v t λτ
→==?∑．
二、 定积分定义
从上面的两个例子可以看到，尽管所要计算的量，即曲边梯形的面积A 及变速直线运动的路程s 的实际意义不同，前者是几何量，后者是物理量，但计算这些量的方法与步骤都是相同的，它们都可归结为具有相同结构的一种特定和的极限，如
面积0
1
lim ()n
i i i A f x λξ→==?∑,
路程0
1
lim ()n
i i i s v t λτ→==?∑.
抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量上共同的本质与特性加以概括，我们可以抽象出下述定积分的概念．
定义 设函数f (x )在［a ,b ］上有界，在［a ,b ］中任意插入n -1个分点
a =x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n =
b , 把区间［a ,b ］分成n 个小区间
［x 0,x 1］,［x 1,x 2］,…，［x n －１，x n ］, 各小区间的长度依次为
Δx 1=x 1-x 0,Δx 2=x 2-x 1,…，Δx n =x n -x n -1,
在每个小区间［x i －１，x i ］上任取一点ξi ,作乘积f (ξi )Δx i (i =1,2,…,n )，再作和式
lim ()i i S f x λξ→=?． （6-1-1）
记λ=max ｛Δx 1,Δx 2,…，Δx n ｝,如果不论［a ,b ］怎样分法，也不论［x i －１，x i ］上点ξi 怎
样取法，当λ→0时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间［a ,b ］上的定积分(简称积分)，记作()d b
a f x x ?,即
()d lim ()b i i a
f x x f x I λξ→=?=?
， (6-1-2)
其中f (x )叫做被积函数，f (x )d x 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，［a ,b ］叫做积分区间．
注 当和式1
()n
i i i f x ξ=?∑的极限存在时，其极限值仅与被积函数f (x )及积分区间［a ,b ］
有关，而与积分变量所用字母无关，即
()d ()d ()d b b b a
a
a
f x x f t t f u u =
=
?
?
?
．
读者容易由定积分的定义或下面介绍的定积分的几何意义得到这一结论．
如果f (x )在［a ,b ］上的定积分存在，我们就说f (x )在［a ,b ］上可积．由于这个定义是由黎曼
(Riemann)首先给出的，所以这里的可积也称为黎曼可积，相应的积分和式1
()n
i i i f x ξ=?∑也称
为黎曼和．
对于定积分，有这样一个重要问题：函数f (x )在［a ,b ］上满足怎样的条件，f (x )在［a ,b ］ 上一定可积?这个问题我们不作深入讨论，而只给出以下两个充分条件．
定理1 设f (x )在区间［a ,b ］上连续，则f (x )在［a ,b ］上可积．
定理2 设f (x )在区间［a ,b ］上有界，且只有有限个间断点，则f (x )在［a ,b ］上可积． 利用定积分的定义，前面所讨论的实际问题可以分别表述如下：
曲线y =f (x ) (f (x )?0)、x 轴及两条直线x =a 、x =b 所围成的曲边梯形的面积A 等于函数f (x )在区间［a ,b ］上的定积分．即
()d b a
A f x x =
?
．
物体以变速v =v (t )［v (t )?0］作直线运动，从时刻t =T 1到时刻t =T 2,这物体经过的路程
s 等于函数v (t )在区间［Ｔ１，Ｔ２］上的定积分，即
1
2
()d T T s v t t =
?
．
三、 定积分的几何意义
在［a ,b ］上f (x )?0时，我们已经知道，定积分()d b
a f x x ?在几何上表示曲线y =f (x )、两
条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积；在［a ,b ］上f (x )?0时，由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分
图6-2
()d b a
f x x ?
在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在［a ,b ］上f (x )既取得正值又取得负值
时，函数f (x )的图形某些部分在x 轴上方，而其他部分在x 轴的下方(图6-2)．如果我们对面积赋以正负号，在x 轴上方的图形面积赋以正号，在x 轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分()d b
a f x x ?的几何意义为：它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、
x =b 之间的各部分面积的代数和．
图6-3
例1 利用定积分的几何意义，计算
x ?
．
解 显然，根据定积分的定义来求解是比较困难的，根据定积分的几何意义
知，0
x ?
就是图6-3所示半径为1的圆在第一象限部分的面积，所以
2
14
4
x ππ=
?=
?
．
四、 定积分的性质
为了以后计算及应用方便起见，我们先对定积分作以下两点补充规定：
(1) 当a =b 时，()d b
a
f x x ?=0;
(2) 当a ＞b 时，()d b a
f x x ?= -()d a
b
f x x ?．
由上式可知，交换定积分的上下限时，绝对值不变而符号相反．
下面我们讨论定积分的性质．下列各性质中积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制；并假定各性质中所列出的定积分都是存在的．
性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)，即
[()()]d ()d ()d b b b a
a
a
f x
g x x f x x g x x ±=
±
?
?
?
．
证
1[()()]d lim
[()()]n
b i
i i a
i f x g x x f g x λξ
ξ→=±=±?∑?
1
1
lim
()lim
()n
n
i i i
i i i f x g x λλξξ
→→===?±?∑
∑
()d ()d b b a
a
f x x
g x x =
±
?
?
．
性质1对于任意有限个函数都是成立的．类似地，可以证明： 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即
()d ()d b b
a
a
kf x x k f x x =?? (k 是常数)．
性质3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设a ＜C ＜b ，则
()d ()d ()d b c b a
a
c
f x x f x x f x x =
+
?
?
?
．
证 因为函数f (x )在区间［a ,b ］上可积，所以不论把［a ,b ］怎样分，积分和的极限总是不变的．因此，我们在分区间时，可以使c 永远是个分点．那末，［a ,b ］上的积分和等于［a ,c ］上的积分和加［c ,b ］上的积分和，记为
[,]
[,]
[,]
()()()i i i i i i a b a c c b f x f x f x ξξξ?=
?+
?∑
∑
∑
．
令λ→0，上式两端同时取极限，即得
()d ()d ()d b c b a
a
c
f x x f x x f x x =
+
?
?
?
．
这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性．
按定积分的补充规定，不论a ,b ,c 的相对位置如何，总有等式
()d ()d ()d b c b a
a
c
f x x f x x f x x =
+
???
成立．例如，当a ＜b ＜c 时，由于
()d ()d ()d c b c
a
a
b
f x x f x x f x x =
+
?
?
?
,
于是得
()d ()d ()d b c c
a
a b
f x x f x x f x x =
-?
??
()d ()d c
b
a
c
f x x f x x =
+
?
?
．
性质4 如果在区间［a ,b ］上f (x )≡1，则
1d d b b a
a
x x b a =
=-?
?
．
这个性质的证明请读者自己完成．
性质5 如果在区间［a ,b ］上，f (x )?0，则
()d 0b a
f x x ≥?
(a ＜b )．
证 因为f (x )?0，所以f (ξi )?0(i =1,2,…，n )．又由于Δx i ?0(i =1,2,…，n ),因此
1
()n
i i i f x ξ=?∑
?0,
令λ=max ｛Δx 1,…，Δx n ｝→0，便得到要证的不等式．
推论1 如果在区间［a ,b ］上，f (x )?g (x ),则
()d ()d b b a
a
f x x
g x x ≤
?
?
(a ＜b )．
证 因为g (x )-f (x )?0，由性质5得
[()()]d b a
f x
g x x -?
?0．
再利用性质1，便得到要证的不等式．
推论2
()d ()d b b a
a
f x x f x x ≤
?
?
(a ＜b )．
证 因为
-︱f (x )︱?f (x )?︱f (x )︱,
所以由推论1及性质2可得
()d ()d ()d b b
b a
a
a
f x x f x x f x x -≤≤
?
??
，
即
()d ()d b b a
a
f x x f x x ≤
?
?
．
注 ︱f (x )︱在［a ,b ］上的可积性可由f (x )在［a ,b ］上的可积性推出，这里我们不作证明． 性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间［a ,b ］上的最大值及最小值，则
m (b -a )?()d b
a f x x ??M (
b -a ) (a ＜b )．
证 因为m ?f (x )?M ,所以由性质5推论1得
d ()d d b b b a
a
a
m x f x x M x ≤
≤
?
?
?
．
再由性质2及性质4，即得到所要证的不等式．
这个性质说明，由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围．
例2 估计定积分2
2
1
d +1
x x x ?的值．
解 因f (x )=
2
+1
x
x 在［１，２］上连续，所以在［１，２］上可积，又因为
22
2
1()0(+1)
x
f x x -'=
≤ (1?x ?2)，
所以f (x )在［１，２］上单调减少，从而有
21()5
2
f x ≤≤
，
于是由性质6有
2
1
21()d 52
f x x ≤
≤
?
．
性质7 (定积分中值定理)如果函数f (x )在闭区间［a ,b ］上连续，则在积分区间［a ,b ］上至少存在一点ξ，使下式成立：
()d ()()b a
f x x f b a ξ=-?
（a ?ξ?b ）
． 这个公式叫做积分中值公式．
证 把性质6中的不等式各除以b -a 得
1()d b a
m f x x M b a
≤
≤-?
．
这表明，确定的数值
1()d b a
f x x b a
-?
介于函数f (x )的最小值m 及最大值M 之间．根据闭区
间上连续函数的介值定理，在［a ,b ］上至少存在一点ξ，使得函数f (x )在点ξ处的值与这个确定的数值相等，即应有
1()d ()b a
f x x f b a
ξ=-?
(a ?ξ?b )．
两端各乘以b -a ，即得所要证的等式．
图6-4
积分中值公式有如下的几何解释：在区间［a ,b ］上至少存在一点ξ，使得以区间［a ,b ］为底边、以曲线y =f (x )为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f (ξ)的一个矩形的面积(图6-4)．
显然，积分中值公式
()d ()()b a
f x x f b a ξ=-?
（ξ在a 与b 之间）
不论a ＜b 或a ＞b 都是成立的．
例3
求1
20
lim
n
n x →+∞
?
．
解 由于当0?x ?1/2时，有
n
?x n
,
所以
?1
2
n
x ??1
20
d n
x x ?．
又由积分中值定理，有
1
20
1lim
d lim
02
n
n
n n x x ξ→+∞
→+∞
==?
（０?ξ?1/2)，
故
1
20
lim
0n
n x →+∞
=?
．
习题6-1
1． 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1,直线x =a ，x =b 及x 轴所围成的图形的面积． 2． 利用定积分的几何意义求定积分： (1)
10
2d x x ?;
(2)
a
x ?
（a ＞0）
． 3． 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1)
12
d x x ?与1
3
d x x ?； (2)
1
e d x
x ?
与1
(1)d x x +?．
4． 估计下列各积分值的范围： (1)
4
2
1
(1)d x x +?
；
(2)
arctan d x x x ;
(3)
2
e
d a x
a
x --?
（a ＞0)； (4)
2
02
e
d x x
x -?
．
第二节 微积分基本公式
在第一节中，我们介绍了定积分的定义和性质，但并未给出一个有效的计算方法，当被积函数较复杂时，难以利用定积分直接计算．为了解决这个问题，自本节开始将介绍一些求定积分的方法．
一、 积分上限函数
设函数f (t )在［a ,b ］上可积，对于x ∈［a ,b ］，则函数f (t )在［a ,x ］上可积．定积分()d x
a
f t t
?对每一个取定的x 值都有一个对应值，记为
F (x )= ()d x
a f t t ?, a ?x ?
b ,
F (x )是积分上限x 的函数，称为积分上限函数，或称变上限函数或变上限积分．
积分上限函数具有下述重要性质．
定理1(原函数存在定理) 设函数f (x )在［a ,b ］上连续，则积分上限函数()()d x a
F x f t t
=?
就是f (x )在［a ,b ］上的一个原函数，即
d
()()d ()d x a
F x f t t f x x
'=
=?,a ?x ?b ．
证 我们只对x ∈(a ,b )来证明(x =a 处的右导数与x =b 处的左导数也可类似证明)． 取｜Δx ｜充分小，使x +Δx ∈(a ,b )，则
ΔF =F (x +Δx )-F (x )= ()d ()d x x x
a
a f t t f t t +?-?
?
()d ()d ()d x x x x a
x
a
f t t f t t f t t -?=
+
-??
?
()d x x x
f t t -?=
?
．
因f (x )在［a ,b ］上连续，由积分中值定理，有
ΔF =f (ξ)Δx ,
ξ在x 与x +Δx 之间，即
ΔF/Δx =f (ξ)．
由于Δx →0时，ξ→x ，而f (x )是连续函数，上式两边取极限有
lim
lim ()lim ()()x x x
F f f f x x
ξξξ?→?→→?===?,
即
F ′(x )=f (x )．
另外，若f (x )在［a ,b ］上可积,则称函数
ψ(x ) ()d b x
f t t =
?
, x ∈［a ,b ］
为f (x )在［a ,b ］上的积分下限函数，它的有关性质及运算可直接通过关系式
()d ()d b x
x
b
f t t f t t =-?
?
转化为积分上限函数而获得．
例1 设f (x )∈C （（-∞,+∞））,且满足方程
16
18
12
()d ()d 8
9
x x
x
f t t t f t t =
+
+
?
?
，
求f (x )．
解 在方程两端对变量x 求导得
2
15
17
()()22f x x f x x
x =-++，
即 (1+x 2
)f (x )=2x １５
(1+x 2
), 故
f (x )=2x １５．
例2 计算下列导数： (1)
sin 0
d ()d d x f t t x
?
; (2)
3
2
d e d d x t
x
t x
-?
． 解 (1)
()
sin sin 0
d d dsin ()d ()d d dsin d x x x f t t f t t
x
x
x
=
?
?
(sin )cos f x x = ．
(2)
3
3
2
200
d d
e d e d e d d d x x t
t
t
x
x t t t x
x ---??=+
??
?
?
??
2
3
d
d
e d e d d d x x t
t
t t x
x
--=-
+
??
2
3
2
e 2e
3x
x
x x --=-+
2
3
2
2e 3e
x
x
x x --=-+．
对于一般情形，我们有下述结论：
设f (x )∈C (［a ,b ］),u (x )和v (x )为可导函数，且u (x )∈［a ,b ］,v (x )∈［a ,b ］，则有
()()
d
()d (())()(())()d u x v x f t t f u x u x f v x v x x
''=-?．
读者可利用复合函数求导法则证明此结论．
例3 求2
1cos 2
e d lim
t
x
x t
x
-→?．
解 易知这是一个0
型的未定式，我们用洛必达法则来计算
()
2
2
cos 11
cos 2
2
e
d e d lim
lim
()x
t
t
x
x
x x t
t
x
x --→→'
-='
??
2
cos 0
e
sin 1lim
22e
x
x x
x
-→==
．
例4 求0
2
()()d lim
x x f t x t t
x
→-?,其中f (x )是(－∞，＋∞)内的连续函数．
解 由于0
()()d ()d ()d x
x
x
f t x t t x f t t tf t t -=-???,
且 0
l i m ()d 0
x
x f t t →=
?
故 ()
2
2
0()d ()d ()()d lim
lim
()x
x x x
x x x f t t tf t t
f t x t t
x
x →→'
-
-='
??
?
()d ()()
lim 2x x f t t xf x xf x x
→+-=?
()d ()1lim
lim
(0)22
2
x x x f t t f x f x
→→===
?．
二、 微积分基本公式
现在我们用定理1来证明一个重要定理，它给出了用原函数计算定积分的公式． 定理2设函数f (x )在［a ,b ］上连续，F (x )是f (x )在［a ,b ］上的一个原函数，则
()d ()()b a
f x x F b F a =-?
． (6-2-1)
证 因为F (x )与()d x a
f t t ?都是f (x )在［a ,b ］上的原函数，所以它们只能相差一个常数C ，即
()d ()x a
f t t F x C =-?
．
令x =a ,由于()d 0a a
f t t =?，得C = -F (a ),因此
()d ()()x a
f t t F x F a =-?
．
在上式中令x =b ，得
()d ()()b a
f t t F b F a =-?
．
为方便起见，以后把F (b )-F (a )记成()b F x a
，于是(6-2-1)式又可写成
()d ()
b a
b f x x F x a
=?
．
通常称公式(6-2-1)为微积分基本公式或牛顿-莱布尼茨公式，它表明：一个连续函数在［a ,b ］上的定积分等于它的任意一个原函数在［a ,b ］上的改变量．这个公式进一步揭示了
定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系，给定积分提供了一个有效而简便的计算方法．
下面我们举几个应用公式(6-2-1)来计算定积分的简单例子． 例5 计算1
2
0d x x ?．
解 由于3
1
3
x 是x 2
的一个原函数，故由公式(6-2-1)有
1
12
3
11d 3
3
x x x
=
=
?
．
例6 计算．
解
x x =
?
20sin cos d x x x π
=
-?
220
4
(sin cos )d (sin cos )d x x x x x x π
π
π=
-+
-?
?
2
40
4
(sin cos )
(sin cos )
x x x x ππ
π=++--
2=．
习题6-2
1． 求下列导数： (1)
2
d
d x t x
?; (2)
53ln 2
d
e
d d x t
t t x
-?；
(3) cos 2sin cos()d x x t t '??π?????; (4) 2
2d sin d d x
t t x
t
π?
(x ＞0)．
2． 求下列极限：
(1) 02
arctan d lim
x
x t t x
→?; (2) 2
20
sin 3d lim
e d x x
x t
t t
t t
→-?
?
; (3) ()
2
2
2
00
20
e d lim
e
d x t
x
x t
t t t
→?
?
．
3． 求由方程0
e d cos d 0y
x
t
t t t +
=??
所确定的隐函数y =y (x )的导数．
4． 当x 为何值时，I (x )= 2
e
d x
t
t t -?有极值?
5． 计算下列定积分：
(1)
3
x ?; (2)
22
1
d x x x --?
;
(3)
()d f x x π
?
,其中,0,2
()sin ,2
x x f x x x π?
≤≤??=?π?≤≤π;??
(4) {}2
2
2
max 1,d x
x -?．
6． 已知f (x )连续，且f (2)=3,求22
2
2
()d d lim
(2)
x t x f u u t x →??????-?
?． 第三节 定积分的换元法
由上节知道，计算定积分()d b
a f x x ?的简便方法是把它转化为求f (x )的原函数的增量，
在第五章中，我们知道用换元法可以求出一些函数的原函数．因此，在一定条件下，可以用换元法来计算定积分．我们有下面的定理．
定理 假设f (x )在［a ,b ］上连续，函数x =φ(t )满足条件： (1) 当t ∈［α，β］时，a ?φ(t )?b ，且φ(α)=a ,φ(β)=b ， (2) φ(t )在［α，β］上具有连续导数，则有
()d (())()d b a
f x x f t t t β
α
??'=
?
?． （6-3-1）
公式(6-3-1)叫做定积分的换元公式．
证 由假设知，上式两边的被积函数都是连续的，因此不仅上式两端的定积分都存在，而且由上节定理1知，被积函数的原函数也都存在．所以(6-3-1)式两边的定积分都可用牛顿莱布尼茨公式计算．现假设F (x )是f (x )的一个原函数，则
()d ()()b a
f x x F b F a =-?
,
又由复合函数的求导法则知Φ(t )=F (φ(t ））(t ∈（α，β））是f (φ(t ））φ′(t )的一个原函数，
所以
(())()d (())(())()()f t t t F F F b F a β
α
???β?α'=-=-?,
故 ()d (())()b a
f x x f t t t β
α
??'=
?
?．
这就证明了换元公式．
应用换元公式时有两点值得注意：(1) 用x =φ(t )把原来变量x 代换成新变量t 时，原积分限也要换成相应于新变量t 的积分限；(2) 求出f (φ(t ））φ′(t )的一个原函数Φ(t )后，不必像计算不定积分那样把Φ(t )变换成原来变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限分别 代入Φ(t )中，然后相减就行了．
例1
计算0
a x ?
（a ＞0）．
解 设x =a sin t ,则d x =a cos t d t ,且 当x =0时，t =0;当x =a 时，t =
2
π．
于是
222
220
cos d (1cos 2)d 2
a a
x a
t t t t π
π
==
+?
?
?
2
2
20
1sin 2224
a a t t ππ??
=+=
????
．
换元公式也可反过来使用．为使用方便起见，把换元公式中左右两边对调位置，同时把
t 改记为x ，而x 改记为t ，得
(())()d ()d f x x x f t t β
β
α
α
??'=
??．
于是，我们可用t =φ(x )来引入新变量t ,而α=φ(a ),β=φ(b )．
例2
计算40
x ?
．
解 设t
,则x =2
12
t x -=
,d x =t d t ,且当x =0时，t =1;当x =4时，t =3,于是
343
2
1
1
1
1(3)d (3)
2
23
t
x t t t =
+=+?
?
127122
(9)(3)2333??=
+-+=????
． 例3 计算5
20
cos sin d x x x π
?．
解 设t =cos x ,则d t = -sin x d x ,且当x =0时，t =1;当x =2π
时，t =0，于是
1
60
15
5
5
201
1cos sin d d d 66
t x x x t t t t π
??
=-===
??
??
?
?
?．
在例3中，如果我们不明显地写出新变量t ,那末定积分的上、下限就不要变更．
55
2200
cos sin d cos d (cos )x x x x x π
π
=-?
?
2
6
cos 11(0)666x π
??=-=--=??
??． 例4设f (x )∈C (［－a ,a ］)，试证： (1)
[]0
()d ()()d a a
a
f x x f x f x x -=
--
?
?； (２) 当f (x )为奇函数时，()d 0a a
f x x -=?；
(3) 当f (x )为偶函数时，0()d 2()d a a
a
f x x f x x -=??．
证 (1) 由于
00
()d ()d ()d a a
a
a
f x x f x x f x x --=
+
?
?
?
，
在0()d a
f x x -?
中，设x = -t ，则
00
()d ()d ()d a
a a
f x x f t t f x x -=--=
?
??
．
故
[]00
()d ()d ()d ()()d a a
a
a
a
f x x f x x f x x f x f x x -=
-+
=
-+
-?
?
?
?．
(2) 当f (x )是奇函数时，f (-x )+f (x )=0,因此
()d 0a a
f x x -=?．
(3)当f (x )是偶函数时，f (-x )+f (x )=2f (x ),因此
()d 2()d a a
a
f x x f x x -=?
?．
利用例4的结论，常可简化在对称区间上的定积分的计算． 例5 求下列定积分44
d 1sin x x
π
π
-+?．
解 由于被积函数为非奇非偶函数，由例4(1)知
40
2
4440
4
d 11(
)d 2sec d 2tan 21sin 1sin 1sin x x x x x
x
x
x
π
π
π
π
π-=
+
===+-+?
?
?．
例6 设函数f (x )在［０，１］上连续，试证
(1)
2200
(sin )d (cos )d f x x f x x π
π
=
?
?
;
特别地，2
2
00
sin d cos d n
n
x x x x π
π=
??
(n 为非负整数)； (2)
(sin )d (sin )d 2
xf x x f x x πππ=
?
?
,并由此计算2
sin d 1cos x x x x π+?
．
证 (1) 设x =2
t π-,则d x = -d t ,且当x =0时，t =
2
π; x =2
π时，t = 0,于是
202(sin )d (sin(
))d 2
f x x f t t π
ππ=--?
?
220
(cos )d (cos )d f t t f x x π
π
=
=
?
?
．
特别地，取f (x )=x n
在［０，１］上连续，由上述证明有
220
sin d cos d n
n
x x x x π
π
=
?
?
.
(2) 设x =π-t ，则d x = -d t ,且当x =0时，t =π；x =π时，t =0;于是
00
(sin )d ()(sin())d ()(sin )d xf x x t f t t t f t t π
π
π
=-π-π-=
π-?
??
(sin )d (sin )d (sin )d (sin )d f t t tf t t f x x xf x x π
π
π
π
=π-=π-????．
因此
(sin )d (sin )d 2
xf x x f x x πππ=
?
?
．
利用结论(2)得
2
2
2
sin sin d cos d d 1cos 2
1cos 2
1cos x x x x x x x
x
x
πππππ=
=-
+++?
?
?
2
arctan(cos )
2
4
x πππ
=-
=
．
例7 设f (x )是(-∞，+∞)内的连续函数，且满足
()d 1cos x
tf x t t x -=-?
,
求f (x )．
解 由u =x -t ,故t =x -u ,d t = -d u ,且当t = 0时，u = x ;t = x 时，u =0．于是
()d ()()d ()()d x
x
x tf x t t x u f u u x u f u u -=--=
-?
??
()d ()d x
x
x f u u uf u u =-??,
因此f (x )满足
()d ()d 1cos x
x
x f u u uf u u x -=-??．
上式两边对x 求导，得
()d sin x f u u x =?
．
两边对x 求导，得
f (x )=cos x ．
例8 设函数f (x )= 2
1,101cos e ,0x x x x x -?
-≤≤?
+??≥?
,求41(2)d f x x -?．
解 设u =x -2,则当x =1时，u =-1;当x =4时，u =2．于是
4
21
1(2)d ()d f x x f u u --=
?
?
2
02
1
0d e
d 1cos u
u
u u u
--=
+
+??
2
02
4
1
1111tan e tan e
22
222
u u ---=-=-+
．
习题 6-3
1． 计算下列积分： (1)
3
sin()d x x πππ+
3
?
; (2) 3
2
d (115)
x x 1-+?
;
(3)
1x -?; (4)
3
20
sin cos d ???π
?
;
(5)
2
2cos d u u π
π6
?
;
(6)
2
e
1
?
;
(7)
1
(8)
x ;
(9)
ln 3ln 2
d e e
x
x
x
--?
; (10) 32
2
d 2
x
x x +-?
;
(11)
2
1
x ?
; (12)
22
x π
π-?
．
2． 利用被积函数的奇偶性计算下列积分值：
(1)
ln(a
a
x x -+?
(a 为正常数)； (2)
3
2
54
2
5
sin d 21
x x x x x -++?
; (3)
4
22
4cos d θθπ
π-?
．
3． 证明下列等式： (1)
2
32
1
1
()d ()d 2
a a
x f x x xf x x =
?
? (a 为正整数)；
(2)证明：1
12
2
1
d d 11x
x
x x x
x
=
++?
?
(x ＞0)；
(3) 设f (x )是定义在(-∞，+∞)上的周期为T 的连续函数，则对任意a ∈［－∞，＋∞），有
()d ()d a T T
a
f x x f x x +=
?
?
．
4． 若f (t )是连续函数且为奇函数，证明0
()d x
f t t ?是偶函数；若f (t )是连续函数且为偶函数，
证明0
()d x
f t t ?是奇函数．
5． 设f (x )在(-∞，+∞)内连续，且F (x )= 0
(2)()d x
x -t f t t ?,试证：若f (x )单调不减，则F (x )
单调不增．
第四节 定积分的分部积分法
利用不定积分的分部积分法及牛顿莱布尼茨公式，即可得出定积分的分部积分公式．
设函数u =u (x )，v =v (x )在区间［a ,b ］上具有连续导数u ′(x )，v ′(x )，则有 (uv )′＝u ′v +uv ′．
分别求等式两端在［a ,b ］上的定积分，并注意到
()d b b a
a
uv x uv
'=?
,
便得
d d b b b a
a
a
uv
u v x uv x ''=
+
?
?
,
移项，就有
d d b b
b a
a
a
uv x uv
vu x ''=-?
?,
或简写为 d d b b b a
a
a
u v uv
v u =-
?
?
．
这就是定积分的分部积分公式．
例1 计算1
20
arcsin d x x ?．
解
1
2
1
1
220
arcsin d arcsin x x x x
x =-
?
?
1
12
2
22
11(1)
d(1)262
x x -π=+--?
1
20
112
12
2
ππ=
+=
+
-．
例2 计算2
e 2
e
ln d (1)
x x x -?
．
解
2
2
2
2
e e
e e
e
2e
e e
l n 1l n d
d l n d ()(1)11
(
1)
x
x
x x x x x x x x =-=-+
---
-?
??
2
e e
11
1d e +11x x x ??=+
- ?-??
?
[]2
e e
1ln(1)ln e +1x x =+--
1ln(e +1)1e +1
=
+-．
例3 计算0
x 1
?．
解 先用换元法．令t 则x =t 2
,d x =2t d t ,且当x =0时，t =0;当x =1时，t =1,于是
02e d t
x t t 1
1
=?
?．
再用分部积分法计算上式右端的积分：
110
00e d de e
e d e e
1t
t
t t
t t t t t t 1
1
1
=
=-=-=?
?
?．
因此
2e d 212t
x t t 1
1
==?=?
?．
例4 设f (x )在［a ,b ］上可导，且f (a )=f (b )=0, 2
()d 1b
a
f x x =?,试求()()d b
a
xf x f x x '?． 解
[]2
1
()()d ()d
()d
()2
b b b a
a
a
x f x f x x x f x f x x f x '??==?
?
?
?
?
2
2
11
()()d 2
2
b b a
a
xf x f x x =
-
?
11012
2
=-
?=-
．
例5 证明2200
sin d cos d n
n
x x x x π
π
=
??
;并求20
sin d n
n I x x π
=
?
．
证 令x =
2
t π-，则当x =0时，t =
2
π;当x =
2
π时，t =0．故
2200
2
sin d sin (
)d cos d 2
n n
n
x x t t x x π
π
ππ=--=
?
??
．
1
2200
sin d sin
d cos n
n n I x x x x π
π
-=
=-?
?
20
1
2
20
sin
cos cos (1)sin cos d n n x x
x n x x x π
π
--=-+
-?
2
2
20
(1)sin
(1sin )d n n x x x π
-=--?
2(1)(1)n n n I n I -=---,
由此得到递推公式：
21n n n I I n
--=
．
又易求得
200
d 2
I x π
π=
=
?
,210
sin d 1I x x π
=
=?
,
故当n 为偶数时
13312422n n n I n n --π
=
- , 当n 为奇数时
1342
253
n n n I n n --=
- ． 习题6-4
1． 利用分部积分公式证明：
()
()()d ()d d x x u f u x u u f x x u -=
?
??
．
2． 计算下列定积分： (1)
10
e d x
x x -?
; (2)e
1
ln d x x x ?;
(3)
4
1
x ?; (4)
32
4
d sin x x x
π
π?
;
(5)
220
e
cos d x
x x π
?
; (6) 2
21log d x x x ?;
(7) π
20
(sin )d x x x ?; (8) e 1
sin(ln )d x x ?；
(9)
2
30
e d x
x x ; (10)
1
20
1ln
d 1x x x x
+-?
．
3． 已知f (2)=
12
,f ′(2)=0, 20
()d 1f x x =?,求1
20
()d x f x x ''?．
第五节 定积分的应用
本节中，我们将运用前面学过的定积分理论来分析和解决一些实际问题．
一、 建立定积分数学模型的微元法
由定积分定义可知，若f (x )在［a ,b ］上可积，则对于［a ,b ］的任一划分a =x 0＜x 1＜…＜x n =b 及［x i -1,x i ］中任一点ξi ，有
1
()d lim
()n
b i i a
i f x x f x λξ→==?∑
?
， （6-5-1）
这里Δx i =x i -x i -1(i =1,2,…，n ),λ={}1max i i n
x ≤≤?，此式表明定积分的本质就是某一特定和式的极
限．基于此，我们可以将一些实际问题中有关量的计算问题归结为定积分的计算．例如，前面我们所介绍过的曲边梯形面积的计算问题就是归结为定积分来计算的，其归结过程概括地说就是“划分作近似，求和取极限”，也就是将整体化成局部之和，利用整体上变化的量局部上近似于不变这一辩证关系，局部上以“不变”代表“变”，这就是我们建立定积分数学模型的基本方法，也是我们利用定积分解决实际问题的基本思想．
根据定积分的定义，如果某一实际问题中的所求量Q 符合下列条件：
(1) 建立适当的坐标系和选择与Q 有关的变量x 后，Q 是一个与定义在某一区间［a ,b ］上的可积函数q (x )有关的量；
(2) Q 对于区间［a ,b ］具有可加性，即如果把区间［a ,b ］任意分成n 个部分区间［x i -1,x i ］
(i =1,2,…，n ),则Q 相应地分成n 个部分量ΔQ i ,而Q =1
n
i i Q ?=∑．
(3) 部分量ΔQ i 可近似表示为q (ξi )Δx i (ξi ∈［x i -1,x i ］)，且ΔQ i -q (ξi )Δx i =o (Δx i )． 那么，我们即可获得所求量Q 的定积分数学模型：
1
lim
()()d n
b i
i a
i Q q x q x x λξ
?→===
∑?
,
其中λ={}1max i i n
x ≤≤?,Δx i =x i -x i -1．
江夏学院成教院2011春专科《经济数学基础》试题 级 专业 姓名 成绩 一、 单项选择(2×5分) 1.函数2 4 2--= x x y 的定义域就是( ) A.),2[+∞- B.),2()2,2[+∞?- C.),2()2,(+∞-?--∞ D.),2()2,(+∞?-∞ 2、若函数4 cos )(π =x f ,则x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim =( )。 A.0 B. 22 C.4sin π- D. 4 sin π 3.下列函数中,( )就是2 sin x x 的原函数。 A. 2cos 2 1 x B.2cos 2x C.2cos 2x - D.2cos 21x - 4.设A 为m×n 矩阵,B 为s×t 矩阵,且B AC T 有意义,则C 就是( )矩阵。 A.m×t B.t×m C.n×s D.s×n 5.用消元法解线性方程组123233241 02x x x x x x +-=?? +=??-=? 得到的解为( )。 A.123102x x x =??=??=-? B.1237 22x x x =-?? =??=-? C.1231122x x x =-??=??=-? D.123 1122x x x =-?? =-??=-? 二、填空题:(3×10分) 6.已知生产某种产品的成本函数为C(q)=80+2q,则当产量q=50单位时,该产品的平均成本为 。 7.函数23 ()32 x f x x x -= -+ 的间断点就是= 。 8.1 1 (cos 1)x x dx -+? = 。 9.矩阵111201134-????-??-???? 的秩为 。 10.若线性方程组1212 0x x x x λ-=?? +=? 有非0解,则λ= 。 11、已知函数21 ()1 x f x x -=-,则点1x =就是函数()f x 的 间断点; 12、设0()()()f x x x x ?=-,()x ?在点0x 连续,则'0()f x =________; 13、若()()f x dx F x c =+?,则2()f x xdx =?______________; 14、设0k >,函数()ln x f x x k e =-+在(0,)+∞内有 个零点; 15、已知函数ln()y x π=,则dy =_________; 16、若某国人口增长的速率为()t μ,则2 1()T T t dt μ?表示_____________ 三、微积分计算题(10×2分) 17.设1ln(1) 1x y x +-=-,求(0)y '。 解: 18.ln 2 20 (1)x x e e dx +? 。 解: 四、代数计算题(10×2分) 19.设矩阵A=1113115,()121I A --?? ??-+??--???? 求。 解 20.设齐次线性方程组123123123 3202530380x x x x x x x x x λ-+=?? -+=??-+=? ,问λ取何值时方程组有非0解,并求一般解。 解
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，学科网只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M=｛0,1,2｝，N= ，则 =（） A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk ，则（） A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 3.设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则a．b= （） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC＝（） A. 5 B. C. 2 D. 1 5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良学科网的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）
7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9.设x,y满足约束条件，则的最大值为（） A. 10 B. 8
C. 3 D. 2 10.设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（） 11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM 与AN所成的角的余弦值为（） 12.设函数，则m 的取值范围是（） 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，学科网每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题 13.的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案) 14.函数的最大值为_________. 15.已知偶函数，则 的取值范围是__________. 16.设点上存在点N，使得zxxk∠OMN=45°，则的取值范围是________. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 已知数列
经济数学-微积分模拟试题-按模块分类 一、单项选择题（每小题3分，） 1.下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等． A. x x g x x f ==)(,)()(2 B. 1)(,1 1)(2 +=--= x x g x x x f C. x x g x x f ln 2)(,ln )(2== D. 1)(,cos sin )(2 2 =+=x g x x x f 2.已知1sin )(-= x x x f ，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量． A. 0→x B. 1→x C. -∞→x D. +∞→x 3. ? ∞+1 3 d 1x x （ C ）． A. 0 B. 2 1- C. 2 1 D. ∞+ 1.下列函数中为奇函数的是（ ）．B (A) x x y sin = (B) x x y -=3 (C) x x y -+=e e (D) x x y +=2 2.下列结论正确的是（ ）．C (A) 若0)(0='x f ，则0x 必是)(x f 的极值点 (B) 使)(x f '不存在的点0x ，一定是)(x f 的极值点 (C) 0x 是)(x f 的极值点，且)(0x f '存在，则必有0)(0='x f (D) 0x 是)(x f 的极值点，则0x 必是)(x f 的驻点 3.下列等式成立的是（ ）．D (A) x x x d d 1= (B) )1d( d ln x x x = (C) )d(e d e x x x --= (D) )d(cos d sin x x x =- 1．若函数x x x f -= 1)(， ,1)(x x g +=则=-)]2([g f ( )．A A ．-2 B ．-1 C ．-1.5 D ．1.5
微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3
三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+
电大历年试题——经济数学基础 微积分 一、单项选择题： 1、设，则=))((x f f （ ）. A. x 1 B.21 x C.x D.2x 2、下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等. A. x x g x x f ==)(,()(2 B. x x g x x f ==)(,)()(2 C. x x g x y ln 3)(,ln 3== D. x x g x y ln 2)(,ln 2== 3、下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等. A.x x g x x f ==)(,)()(2 B.1)(,1 1 )(2+=--= x x g x x x f C.x x g x y ln 2)(,ln 2== D.1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f 4、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调增加的是（ ）. A.x sin B.x e C.2x D.x -3 5、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调下降的是（ ）. A.x sin B. x 3 C.2x D. 5-x 6、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调增加的是（ ）. A.x sin B.x 2 1 C.x 3 D.21x - 7、函数的定义域是（ ）. A. [-2,+ ∞) B. [-2,2)),2(+∞? C. （-∞,-2)),2(+∞-? D. （-∞,2)),2(+∞? 8、函数的定义域是（ ）. A.(-2,4) B. (-2,4)),4(+∞? C.)4,(-∞ D.),2(+∞- 9、函数的定义域是（ ）. A.1->x B.0>x C.0≠x D. 1->x 且0≠x 10、下列函数中为奇函数的是（ ）.
经济数学基础(一) 微积分统考试题(B)(120分钟) 一、 填空题（20102=?分） 1、 设()?? ?≥-<=0 20 2 x x x x x f ，则()[]=1f f 。 2、 ( ) =--∞ →x x x x 2lim 。 3、 为使()x x x x f 111?? ? ??-+=在0=x 处连续，需补充定义()=0f 。 4、 若()()x f x f =-，且()21'=-f ，则()=1'f 。 5、 已知()x x f 22cos sin =，且()10=f ，则()=x f 。 6、 设)(x y y =由y y x =所确定，则=dy 。 7、 设某商品的需求函数为p Q 2.010-=，则需求弹性分析()=10E 。 8、 设()?? ?>+≤=0 10 x ax x e x f x ，且()x f 在0=x 处可导，则=a 。 9、 () dx x x ?+2 11 = 。 10、 =?xdx ln 。 二、 单项选择（1052=?分） 1、若0→x 时，k x x x ~2sin sin 2-，则=k （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、若(),20'-=x f 则()() =--→000 2lim x f x x f x x （ ） A 、 41 B 、41 - C 、1 D 、1- 3、?=+-dx x x x 5 222 （ ）
A 、() C x x x +-++-21 arctan 252ln 2 B 、() C x x x +-++-21 arctan 52ln 2 C 、() C x x x +-++-41 arctan 252ln 2 D 、() C x x x +-++-41 arctan 52ln 2 4、1 2 -= x x y 有（ ）条渐近线。 A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4 5、下列函数中，（ ）不能用洛必达法则 A 、x x x x x sin sin lim 0+-→ B 、()x x x 10 1lim +→ C 、x x x cos 1lim 0-→ D 、??? ? ?--→111 lim 0x x e x 三、 计算题（一）（1535=?分） 1、()x x x 3sin 21ln lim 0-→ 2、() (),0ln 22>+++=a a x x xa y x 求()x y ' 3、求?+dx x x ln 11
经济数学--微积分期末测试及答案(A)
经济数学--微积分期末测试 第一学期期末考试试题 ( A ) 一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共 30分） 1.函数1 ()x f x += Ａ）； ()(1,1)(1,) ()(1,) ()(1,) ()(1,1) A B C D -+∞-+∞+∞-U 2.下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是 （Ａ）； 33 3 3()()()()A y x B x y C y x D x y = ==-=- 3.函数2 14y x = -的渐近线有（Ａ）； 3（A ）条 （B ）2条 （C ）1条 （D ）0条 4.若函数()f x 在(,)-∞+∞有定义，下列函数中必是奇 函数的是（Ｂ）； 32()() ()() ()()() ()() A y f x B y x f x C y f x f x D y f x =--==+-= 5.0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的 试题号 一 二 三 四 总分 考 分 阅卷人
11 00 1()lim (1) ()lim (1) ()lim(1) ()lim (1) x x x x x x x x A x B x C D x x +→∞ →∞ →→++++ 13.若ln x y x = ，则dy ＝（Ｄ）； 2 2 2 ln 11ln ln 1 1ln () () () () x x x x A B C dx D dx x x x x ---- 14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日 中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）； 1 121() () () () 4 3 3 2 A B C D 15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2 ()x f x dx ' ? ?= ???（Ｄ）． 2222()[2()()]()2()() ()()()() A xf x x f x dx B xf x x f x C x f x dx D x f x ''++ 二.计算题（每小题7分，共 56分） 1. 2arccos 1y x x x =-y ' 解：1 22 2 2 (arccos )[(1) ]arccos arccos 121y x x x x x x x '''=--==-- 2. 求2(cos sin 32)x x x x e dx -+++? 解：原式＝3 sin cos 2x x x x e x c +++++ （其中c 是任意常数） 3. 求曲线51001y x x y -+= 在0x =对应的点处的切线 方程． 解：0x =时，代入方程得 1 y =；方程两边对x 求导 ６７ ７ ５
《经济数学基础--微积分》复习提纲 一、第一章：函数 1、函数概念，表达式，初等函数，定义域等。 例如：（1）函数21)(x x x f -+= 的定义域是x=[0，1]； （2） f(x)＝522-+x x ,得f(x －1)＝5)1(2)1(2--+-x x ＝…； （3）22)1(2+-=+x x x f ，即)(x f ＝2212)1(2+---+x x x ＝…＝542+-x x ； （4）设==))((,1)(x f f x x f 则)1(x f ＝…= 21x ； （5）在下列函数中与||)(x x f =表示相同函数的是（ B ） A ．2)(x B.2x C ．33 x D ．x x 2 (6) 设???>+≤+=0 5402)(2x x x x x f ，则9)1(=f ，2)0(=f ，17)3(=f ，3)1(=-f ； 二、第二章：极限与连续 1、概念理解，无穷大＋∞，无穷小－∞，极限运算等。 能代即代……只看最高次……因式分解、分子分母有理化、公式化简等；2个重要极限中的=→x x x sin lim 01。 例如：（1）4 43222lim ++∞→x x x ＝（只看最高次）＝1/2； （2）3923 lim --→x x x ＝（因式分解）＝…＝3； （3）102 7776664999888222lim 2323++-+-+∞→x x x x x x x ＝只看最高次＝ 1/4 （4）4 586224+-+-→x x x x im l x ＝（因式分解）＝…＝32 （5）x x im l x 110 -+→＝（分子有理化）＝…＝21 （6）但是=∞→x x x sin lim 0，=→x x x sin lim 01。 （7）已知122=+y x ，即y '＝y x - （课本61页例题2.13） （8）课本35－37页有关例题。
经济数学--微积分大一下期末复习资料 考试题型： 1.求偏导数5*8’=40’ 2.求偏弹性1*6’=6’ 3.条件极值1*6’=6’ 4.二重积分2*6’=12’ 5.微分方程与差分方程4*6’=24’ 6.无穷级数2*6’=12’ a.判断正项级数敛散性 判断交错级数敛散性及条件或绝对收敛 b.求和函数（收敛半径、收敛域） 求和函数展开式 一.求偏导 类型1：展开式形式，如：xy z = 求解：将求的看做变量，另一个看做常数。求二阶时，只要对相应的一阶再求一次即可。 Eg ：设133 2 3 +--=xy xy y x z ，求22x z ??、x y z ???2、y x z ???2、22y z ?? 解： y -y 3-y x 3x z 322=?? x -x y 9-y x 2y z 23=?? 2 2x z ??= 2x y 6 x y z ???2=1-y 9-y x 622 y x z ???2=1-y 9-y x 62 2 22y z ??=x y 18-x 23 类型2:），（y x z f =
求解：画链式法则进行求解 Eg ：）（z ，，xy y x f w ++=，求z x w x w ?????2， 解：设u=x+y+z ，v=xyz ，，（v u f w = 则 链 式 法 则 如右图所示 参考资料：课本练习册7-16页 二.求偏弹性 经济数学-微积分P310 例8 u w v x z y x y
PS ：例8 参考资料：练习册21-22页 三.条件极值 求解：找出目标函数与约束条件，设出拉格朗日函数，解方程组，得出答案。 参考资料：练习册19-20页 四.二重积分 类型1.直角坐标系下 型 先积x 再积y 型 先积y 再积x 类型2.极坐标系下 ?? ?==θ θrsin y rcos x θσrdrd d =：PS 求解：1.做出积分区间 2.判断适合用直角坐标解答还是极坐标 3.如果适合用直角坐标系解答，判断是X 型还是Y 型。 4.如果需要，要考虑交换积分次序。 参考资料：练习册23-26页 五.微差分方程 微分方程： （一）)x (y x dx dy Q P =+）（
经济数学--微积分期末测试 第一学期期末考试试题 ( B ) 一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分） 1. 函数?????<<-≤-=4 393 9)(22x x x x x f 的定义域是（A ）； (A) )4,3[- (B) )4,3(- (C) ]4,3(- (D) )4,4(- 2. 函数2 1 4y x = -的渐近线有（Ａ）； 3（A ）条 （B ）2条 （C ）1条 （D ）0条 3. 设函数)1,0()1(log 2≠>++=a a x x y a ,则该函数是(A ) (A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 既奇又偶函数 4. 下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（A ）； 33()()()()A y B x C y x D x y = ==-=- 5. 若()f x =，则点2x =是函数()f x 的（Ｂ）； ()A 左连续点 ()B 右连续点 ()C 驻点 ()D 极值点 6. 已知点（1，3）是曲线23bx ax y +=的驻点，则b a ,的值是（B ） （A ） 9,3=-=b a （B ） 9,6=-=b a （C ） 3,3=-=b a （D ） 3,6=-=b a 7. 当0x →时，下列函数极限不存在的是（C ）； 1sin 11() ()sin () ()tan 1 x x A B x C D x x x e + 8. 极限 =-→x x x 1ln lim 0 （C ）；
()1()0()1()A B C D -不存在 9.下列函数中在［－３，３］上满足罗尔定理条件的是（C ）； 22 2 1 ()() ()2()(3)A x B C x D x x -+ 10．若函数()f x 在点0x 处可导，则极限x x x f x x f x x ??--?+→2) 2()2(lim 000 ＝（C ）； 00001 ()4() ()3()()2() () ()2 A f x B f x C f x D f x '''' 11. 0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的函数是（C ） (A) x tan (B) )1ln(x + (c) x x sin - (D) x sin 12.下列极限中，极限值为e 的是（Ｄ）； 11 00 1()lim (1) ()lim (1) ()lim(1) ()lim (1) x x x x x x x x A x B x C D x x +→∞ →∞ →→++++ 13. 若ln x y x = ，则dy ＝（D ）； 2 2 2 ln 11ln ln 1 1ln ()() () () x x x x A B C dx D dx x x x x ---- 14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）； 1 121() () () () 4 3 3 2 A B C D 15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2 ()x f x dx '??=?? ?（Ｄ）． 2222()[2()()]()2()() ()()()() A xf x x f x dx B xf x x f x C x f x dx D x f x ''++ 二.计算题（每小题7分，共56分） 1.x e x x y -+-=11 2 1，求y ' 解：)11 ( )1(1)()1(112 2112 '-+'-+-='+'-='--x e x x x e x x y x x 2112 2112 2 2)1(1)1(1221x e x x e x x x x x --+ -=--+ --+ -=-- ２分 7分
微积分考试复习题 一、单项选择题1．函数() 1lg += x x y 的定义域是（ D ）D ．1->x 且0≠x 2．下列各函数对中，D ）中的两个函数相等 D x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g 3．设x x f 1 )(=，则=))((x f f （ C ）． C ．x 4．下列函数中为奇函数的是 （ C ）．C ．1 1ln +-=x x y 5．已知1tan )(-= x x x f ，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量. A. x →0 6．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ． x x sin 7．函数sin ,0 (),0x x f x x k x ?≠?=? ?=? 在x = 0处连续，则k = ( C )．C ．1 8．曲线1 1+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ） A ．21 - 9．曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为（ A ）．A. y = x 10．设y x =l g 2，则d y =（ B ）． B ．1 d x x ln10 11．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）．B ．e x 12．设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（ B ）B ． - -p p 32 二、填空题1．函数???<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域[-5，2] 2．函数x x x f --+=21 )5ln()(的定义域是 (-5, 2 ) ． 3．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ． 4．设2 1010)(x x x f -+=，则函数的图形关于 y 轴 对称． 5．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为 3.6 6．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = 45q – 0.25q 2 ．
经济数学基础练习题——微积分部分 一、填空题 1．函数x x x f -- +=21)5ln()(的定义域是 ． 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ． 3．设函数x x x f -= 1)(，则)1 (x f = 。 4．函数2 )(x x a a x f --=是_____________函数。 5．设3e )21(lim -∞→=+ kx x x ，则=k _____________． 6．=+∞→x x x x sin lim ． 6．若函数3ln =y ，则y '= ． 7．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0) = ． 8．曲线x y = 在点（4, 2）处的切线方程是 ． 9．函数y x =-312 ()的单调增加区间是 . 10．函数y x =-312 ()的驻点是 . 11．设某产品的需求量q 为价格p 的函数，且p q 5.0e 1000-=，则需求对价格的弹性为 . 12．过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程是y = ． 13．已知)(x f 的一个原函数为x -e ，则)(x f = ． 14．若)(x f '存在且连续，则='? ])(d [x f ． 15．若 c x F x x f +=?)( d )(，则x f x x )d e (e --?= . 二、单项选择题 1．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）． A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3 2．下列函数中，（ ）不是基本初等函数． A ． x y )e 1(= B ． 2 ln x y = C ． x x y cos sin = D ． 35x y =
经济数学微积分学习讲义 合川电大兰冬生 知识点一：5个基本函数 1，常数函数，c y = （c 是常数） 例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。 2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数， 注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此 3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23?=不是指数函数。 4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域” 这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写， e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是 x y 10log =的简写。 5，三角函数x y sin =，x y cos =， 特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。 ● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。 ● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成 632-+=x x y 。 知识点二：极限 1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数
列。数学符号记为：}{n a 例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 2 1 变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限 学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值） 例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001 ， 100000000 1 ，……，最后，这个无限数列趋近于0， 这里，我们简单描述这个变化， ∞→n 01 →n 分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。是指数轴 的最远端。 用极限式写为： 1=n 例如： 1，21，41，81，……，这个数列由n 21 ，n 取0,1,2,3,4，……得到， ∞→n ∞→n 2 021 →n 分母越大，分数越小 用极限式写为
0tan lim sin x x x x x →-- 1、若222lim 22 x x ax b x x →++=--，则a = ，b = 3、若函数2 (2)1f x x x +=++，则(1)f x -= 6、数列极限lim [ln(1)ln ]n n n n →∞--=（ ） A 、1 B 、-1 C 、∞ D 、不存在但非∞ 7、极限1lim (1)x x x e →∞-=（ ） A 、1 B 、-1 C 、0 D 、不存在 8、若函数1sin 0()10x x f x x k x ?≠?=??+=?在点0x =处连续，则k =（ ） A 、1 B 、0 C 、-1 D 、不存在 六、讨论函数()sin x f x x =的间断点及其类型. 2、设函数()y f x =由方程2cos()1x y e xy e +-=-所确定，求曲线()y f x =在点(0,1)处 的法线方程. 3、已知()f u 为可导，[ln(y f x =，求y '. 6、设sin (0)x y x x =>，求dy . 7、试确定常数,a b 的值，使(1sin )2, ()1, 0ax b x a x f x e x +++≥?=?-
《经济数学基础》微积分部分复习 第一篇 微分学 第一章 函数 一、本章考核点 1、掌握函数奇偶性的判定，掌握总成本、平均成本、收入、利润函数的概念及表达式，掌握五个基本初等函数的概念及表达式。 2、熟练掌握函数定义域、求函数值、复合函数的复合与分解的计算。 二、基本概念 基本初等函数、函数的奇偶性、总成本、平均成本、收入、利润函数 奇偶性：若f(-x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数 若f(-x)=－f(x)，则函数f(x)为奇函数 若f(x)不满足上述两式，则函数f(x)为非奇非偶函数 总成本函数：10C C C += 隐含条件： )0(C C = 平均成本：q C C = 总收入函数：pq R = 隐含条件：0)0(=R 总利润函数：C R L -=
基本初等函数： 常数：y=C 幂函数：α x y = 指数函数：x a y = 对数函数：x y log = 自然对数：x y ln = 三角函数：正弦函数 y=sinx 余弦函数 y=cosx 正切函数 y=tanx 余切函数 y=cotx 三、计算 1、求函数的定义域 重点是已知函数的解析式求函数的定义域——四个限制 已知函数的解析式求定义域，有以下几个限制： ①分式的分母不为零； ②对数的真数大于零； ③开偶次方的被开方数非负； ④2 tan π π+ ≠=k x x y 中 πk x x y ≠=中c o t 其中k=0, ±1,2,3,…… 2、求函数值 3、复合函数的分解
第二章 极限、导数与微分 一、本章考核点 1、熟练掌握极限的计算、导数微分的计算。 2、掌握函数间断点的求法，判断分段函数分段点是否有极限、是否连续。 二、计算 1、极限——数列的极限、函数的极限 方法：利用四则运算性质、利用两个重要极限公式 2、导数和微分 方法：利用导数的四则运算法则和导数基本公式； 复合函数的导数；隐函数的导数；高阶导数 3、求函数的间断点——两种类型 初等函数：初等函数在其定义域内连续 ——函数无定义的点即为初等函数的间断点； 分段函数：分段函数的间断点存在于分段点中。 4、判断分段函数分段点是否有极限 根据性质：A x f x f A x f x x x x x x ==?=-+→→→)(lim )(lim )(lim 0 5、判断分段函数分段点是否是否连续 根据性质：A x f x f A x f x x x x x x ==?=-+→→→)(lim )(lim )(lim 0 及函数连续的定义) ()(lim 00 x f x f x x =→
一、填空题 1..答案：1 2.设，在处连续，则.答案1 3.曲线+1在的切线方程是.答案:y=1/2X+3/2 4.设函数，则.答案 5.设，则.答案: 二、单项选择题 1.当时，下列变量为无穷小量的是（D） A．B．C．D． 2.下列极限计算正确的是（B ） A. B. C. D. 3.设，则（ B ）． A．B．C．D． 4.若函数f(x)在点x0处可导，则(B)是错误的． A．函数f(x)在点x0处有定义B．，但 C．函数f(x)在点x0处连续D．函数f(x)在点x0处可微5.若，则（B ）. A．B．C．D． 三、解答题 1．计算极限 本类题考核的知识点是求简单极限的常用方法。它包括： ⑴利用极限的四则运算法则； ⑵利用两个重要极限； ⑶利用无穷小量的性质(有界变量乘以无穷小量还是无穷小量) ⑷利用连续函数的定义。 （1）
分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。 具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则限进行计算解：原式=== （2） 分析：这道题考核的知识点主要是利用函数的连续性求极限。 具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用函数的连续性进行计算解：原式== （3） 分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。 具体方法是：对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则进行计算 解：原式==== （4） 分析：这道题考核的知识点主要是函数的连线性。 解：原式= （5） 分析：这道题考核的知识点主要是重要极限的掌握。 具体方法是：对分子分母同时除以x，并乘相应系数使其前后相等，然后四则运算法则和重要极限进行计算 解：原式= （6） 分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则和重要极限的掌握。 具体方法是：对分子进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则和重要极限进行计算 解：原式= 2．设函数， 问：（1）当为何值时，在处极限存在？ （2）当为何值时，在处连续. 分析：本题考核的知识点有两点，一是函数极限、左右极限的概念。即函数在某点极限存在
经济数学-微积分期末测试及答案(B)
经济数学--微积分期末测试 第一学期期末考试试题 ( B ) 一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共 30分） 1. 函数 ?????<<-≤-=4 393 9)(2 2x x x x x f 的定义域是（A ）； (A) ) 4,3[- (B) ) 4,3(- (C) ] 4,3(- (D) )4,4(- 2. 函数2 14y x = -的渐近线有（Ａ）； 3（A ）条 （B ）2条 （C ）1条 （D ）0条 3. 设函数)1,0()1(log 2≠>++=a a x x y a ,则该函数是(A ) (A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 既奇又偶函数 4. 下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是 （A ）； 333 3()()()()A y x B x y C y x D x y = ==-=- 试题号 一 二 三 四 总分 考 分 阅卷人
12.下列极限中，极限值为e 的是（Ｄ）； 11 00 1 ()lim (1) ()lim (1)()lim(1)()lim (1) x x x x x x x x A x B x C D x x +→∞ →∞ →→++++ 13. 若ln x y x =，则dy ＝（D ）； 2 2 2 ln 1 1ln ln 1 1ln () () () () x x x x A B C dx D dx x x x x ---- 14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日 中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）； 1 121() () () () 4 3 3 2 A B C D 15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2 ()x f x dx '??=?? ?（Ｄ）． 2222()[2()()]()2()() ()()()() A xf x x f x dx B xf x x f x C x f x dx D x f x ''++ 二.计算题（每小题7分，共 56分） 1.x e x x y -+-=11 21，求y ' 解：)11( )1(1)()1(112 2112 '-+'-+-='+'-='--x e x x x e x x y x x 2 112 2112 22)1(1)1(1221x e x x e x x x x x --+ -=--+ --+ -=-- 2. 求极限 x x x 1 2)1(lim +∞ >- 解：1lim )1(lim 012lim )1ln(lim ) 1ln(12 2 22=====++++∞ →∞ →∞→∞→e e e e x x x x x x x x x x x x 3. 求曲线120 4 =+-y x x y 在1=x 对应的点处的切线方 程． ２ ２ 5 77
经济数学基础12 试题 A 卷及答案 一、单项选择题（共20题，每题2分，共40分） 1．下列函数中为偶函数的是（ ）． (A) sin y x x = (B) 2y x x =+ (C) 22x x y -=- (D) cos y x x = 2．下列函数中为奇函数的是（ ）． (A) sin y x x = (B) 1ln 1 x y x -=+ (C) e e x x y -=+ (D) 2y x x =- 3．下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等． A.2(),()f x g x x == B. 21(),()11 x f x g x x x -==+- C. 2()ln ,()2ln f x x g x x == D. 22()sin cos , ()1f x x x g x =+= 4．下列结论中正确的是（ ）． (A) 周期函数都是有界函数 (B) 基本初等函数都是单调函数 (C) 奇函数的图形关于坐标原点对称 (D) 偶函数的图形关于坐标原点对称 5．下列极限存在的是（ ）． A ．2 2lim 1 x x x →∞- B ．01lim 21x x →- C ．lim sin x x →∞ D ．10 lim e x x → 6．已知()1sin x f x x =-，当（ ）时，)(x f 为无穷小量． A. 0x → B. 1x → C. x →-∞ D. x →+∞ 正确答案：A
7．当x →+∞时，下列变量为无穷小量的是（ ） A ．ln(1)x + B ．2 1x x + C ．21 e x - D ．x x sin 8 ．函数0(),0 x f x k x ≠=?=? 在x = 0处连续，则k = ( )． A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 9.曲线sin y x =在点)0,π(处的切线斜率是（ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 21 (D) 1- 10 ．曲线y =在点（0, 1）处的切线斜率为（ ）。 A ．21 B ．12- C ．- 11．若()cos 2f x x =，则()2f π ''=（ ）． A ．0 B ．1 C ． 4 D ．-4 12．下列函数在区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ ）． (A) x cos (B) 2x - (C) x 2 (D) 2x 13．下列结论正确的是（ ）． (A) 若0()0f x '=，则0x 必是)(x f 的极值点 (B) 使()f x '不存在的点0x ，一定是)(x f 的极值点 (C) 0x 是)(x f 的极值点，且0()f x '存在，则必有0()0f x '= (D) 0x 是)(x f 的极值点，则0x 必是)(x f 的驻点 14．设某商品的需求函数为2()10e p q p -=，则当6p =时，需求弹性为（ ）．