第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形
第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1. 角α的终边过点P(－1，2)，则sin α＝________．
答案：255
解析：sin α＝y r ＝25
＝25
5.
2. 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上
一点，且sin θ＝－25
5
，则y ＝________．
答案：－8
解析：因为sin θ＝y 42＋y 2
＝－255，所以y ＜0，且y 2
＝64，所以y ＝－8. 3. 已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值
范围是__________．
答案：(－2，3]
解析：由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有?
????3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a≤3.
4. 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2
，则扇形的中心角的弧度数是________． 答案：1或4
解析：设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则?????2r ＋l ＝6，12
rl ＝2，解得?????r ＝1，l ＝4或?????r ＝2，
l ＝2，从而α
＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝2
2
＝1. 5. 已知角α的终边过点P(－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－4
5
，则m ＝________．
答案：12
解析：因为r ＝64 m 2
＋9，所以cos α＝－8m 64 m 2
＋9＝－45，所以m>0，所以4m 2
64m 2＋9＝125，故m ＝1
2
.
6. 若点P 在角2π
3
的终边上，且|OP|＝2，则点P 的坐标是________．
答案：(－1，3)
解析：23π的终边在第二象限，设P(x ，y)，则sin 23π＝y 2，∴ y ＝3；cos 23π＝x 2
，x
＝－1.
7. 若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sin α2cos α＝
3
4
，则a ＝________．
答案：－43或－43
3
解析：∵ sin α2cos α＝
3
4
>0，∴ sin α、cos α同号，∴ 角α在第三象限，即P(－4，a)在第三象限，∴ a<0.根据三角函数的定义a 16＋a
2
2－416＋a
2
＝3
4
，解得a ＝－43或－433
.
8. 点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2
＝1按逆时针方向运动2π3
弧长到达点Q ，则点Q
的坐标为________．
答案：? ??
??－1
2，32
解析：由弧长公式l ＝|α|r ，l ＝2π3，r ＝1得点P 按逆时针方向转过的角度为α＝2π
3，
所以点Q 的坐标为? ????cos 2π
3，sin 2π3，即? ??
??－12，32.
9. (改编题)若α的终边落在x ＋y ＝0上，求出在[－360°，360°]之间的所有角α.
解：若角α的终边落在第二象限，则{α|α＝3π
4
＋2k π，k ∈Z }；若角α的终边落在
第四象限，则{α|α＝7π4＋2k π，k∈Z }，∴ α终边落在x ＋y ＝0上角的集合为{α|α＝
3π
4＋2k π，k ∈Z }∪{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z }＝{α|α＝3π4＋k π，k ∈Z }．令－2π≤3π
4
＋
k π≤2π，∴ k ∈{－2，－1，0，1}，∴ 所求α∈{－5π4，－π4，3π4，7π
4
}．
10. 已知角θ的终边经过点P(－3，m )(m≠0)且sin θ＝2
4
m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．
解：由题意得，r ＝3＋m 2
，∴ sin θ＝
m
3＋m
2
＝24m. ∵ m ≠0，∴ m ＝± 5.故角θ是第二或第三象限角．
当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，
∴ cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－15
3；
当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角． ∴ cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝15
3.
综上可知，cos θ＝－
64，tan θ＝－153或cos θ＝－64，tan θ＝15
3
. 11. 如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A ，与钝角α的终边OB 交于点B(x B ，y B )，设∠BAO＝β.
(1) 用β表示α；
(2) 如果sin β＝4
5
，求点B(x B ，y B )的坐标；
(3) 求x B －y B 的最小值.
解：(1) ∠AOB＝α－π2＝π－2β，所以α＝3π
2－2β.
(2) 由sin α＝y B r ，r ＝1，得y B ＝sin α＝sin ? ??
??3π2－2β＝－cos2β＝2sin 2
β－1＝
23? ????452－1＝725.由α为钝角，知x B ＝cos α＝－1－sin 2
α＝－2425.所以B ? ??
??－2425，725.
(3) x B －y B ＝cos α－sin α＝2cos ?
????α＋π4. 又α∈? ??
??π2，π，则α＋π4∈? ????3π4，5π4， cos ? ????α＋π4∈????
??－1，－22. 所以x B －y B 的最小值为－ 2.
第2课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1. 计算：sin930°＝________．
答案：－1
2
解析：sin930°＝sin210°＝－sin30°＝－1
2
.
2. 如果sin(π＋A)＝12，那么cos ? ??
??32π－A ＝__________． 答案：12
解析：∵ sin(π＋A)＝12，∴ －sinA ＝12.∴ cos ? ??
??32π－A ＝－sinA ＝12. 3. 已知sin ? ????π12－α＝1
3，且－π＜α＜－π2，则cos(π12－α)＝________．
答案：－22
3
解析：∵ sin ? ????π12－α＝13，又－π＜α＜－π2，∴ 7π12＜π12－α＜13π12，∴ cos ? ????π12－α＝－
1－sin 2? ??
??π
12－α＝－223.
4. 已知cos ? ????π6－α＝23，则sin ?
????α－2π3＝________． 答案：－2
3
解析：sin ? ????α－2π3＝sin ??????－π2－? ????π6
－α ＝－sin ??????π2＋? ????π6
－α＝－cos ? ????π6－α＝－23. 5. 已知f(α)＝sin （π－α）2cos （2π－α）cos （－π－α）2tan （π－α），则f ?
????－25π3＝________．
答案：12
解析：∵ f(α)＝sin αcos α－cos α2（－tan α）＝cos α，∴ f ? ????－25π3＝cos ?
????－25π3＝cos ?
????8π＋π3＝cos π3＝12. 6. (20142南京三模)已知tan α＝－2，π
2
＜α＜π，则cos α＋sin α＝________．
答案：
55
解析：∵ tan α＝sin αcos α＝－2，∴ sin α＝－2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得5cos
2
α＝1，cos 2
α＝15.又π2＜α＜π，∴ cos α＝－55.于是sin α＝255，∴ cos α＋sin α
＝5
5
.
7. 若sin ? ????π6－α＝13，则cos ? ???
?2π3＋2α＝________．
答案：－7
9
解析：∵ ? ????π3＋α＋? ????π6－α＝π
2
，
∴ sin ? ????π6－α＝sin[π2－(π3＋α)]＝cos(π3＋α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝2cos 2? ??
??π
3＋α－1＝－79.
8. 若3sin α＋cos α＝0，则1
cos 2α＋sin2α
＝________．
答案：103
解析：由已知得tan α＝－13，则1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2
α＋2sin αcos α＝tan 2
α＋1
1＋2tan α
＝19＋11＋23? ??
?
?－13＝10
3. 9. 已知α为第三象限角，且f(α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan （－α＋π）
sin （π＋α）tan （2π－α）
.
(1) 化简f(α)；
(2) 若cos ?
????α－3π2＝15，求f(α)的值；
1.已知函数f（x）=sin（ωx）﹣2sin2+m（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0． （1）求函数f（x）的表达式； （2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值． 解：（Ⅰ）． 依题意：函数． 所以． ， 所以f（x）的最小值为m．依题意，m=0． ． （Ⅱ）∵，∴ ．． 在Rt△ABC中，∵， ∴． ∵0＜sinA＜1，∴． 2.已知函数（其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为． （I）求y=f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c?cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状． 【解答】解：（Ⅰ）∵ ， =， ∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为，
∴T=π，∴，∴ω=1，∴． ∵得：， ∴函数f（x）单调增区间为； （Ⅱ）∵（2b﹣a）cosC=c?cosA，由正弦定理， 得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC?cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）， ∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB， ∴sinB（2cosC﹣1）=0，∴，∵0＜C＜π，∴，∴， ∴．∴， 根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值y max=1， 此时，即，∴，∴△ABC为等边三角形． 3.已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π： （1）求函数f（x）的解析式； （2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0，?=，且a+c=4，试求b的值． 【解答】解：（1）f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1 ==． ∵T=，∴ω=2． 则f（x）=2sin（2x）﹣1； （2）由f（B）==0，得． ∴或，k∈Z． ∵B是三角形内角，∴B=． 而=ac?cosB=，∴ac=3．
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? ， 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?， 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈，() 32 61g t t t =--+为减函数，且102g ??= ??? ， 所以当03 x π <<时， ()1 1,02 t g t <<<，从而()'0f x <； 当 3 2 x π π << 时，()1 0,02 t g t << >，从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题. 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离 是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα== ， ()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 222 1 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换
4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 5.特殊角的三角函数值
三角函数、解三角形 1.弧长公式：r l α= 扇形面积公式：22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式： 平方关系：1cos sin 2 2 =+αα 商数关系：sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式（把角写成απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如： x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径） 8.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，2 2 2 2cos b a c ac =+-B ，2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=．
学思堂教育个性化教程教案 数学科教学设计 学生姓名教师姓名刘梦凯班主任日期时间段年级课时教学内容 教学目标 重点 难点 教学过程 命题点二解三角形 难度：高、中、低命题指数：☆☆☆☆☆ 1.(2015·安徽高考)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则 AC＝________. 2．(2015·广东高考改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c.若a＝2，c＝2 3，c os A＝ 3 2 且b＜c，则b＝________. 3．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝ 2π 3 ，则∠B＝ ________. 4．(2015·福建高考)若△ABC中，A C＝3，A＝45°，C＝75°，则 BC＝________. 5．(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边， sin2B＝2sin A sin C. (1)若a＝b，求cos B；[来源:学科网ZXXK] (2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积． 教 学 效 果 分 析
教学过程 6．(2015·山东高考)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知cos B＝ 3 3 ，sin(A＋B)＝ 6 9 ，ac＝23，求sin A和c的值． 7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝ 2DC. (1)求 sin B sin C ； (2)若∠BAC＝60°，求∠B. 8．(2015·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，已知tan ? ? ?? ? π 4 ＋A＝2. (1)求 sin 2A sin 2A＋cos2A 的值； (2)若B＝ π 4 ，a＝3，求△ABC的面积．[来源:学科 教 学 效 果 分 析
数学《三角函数与解三角形》复习知识要点(1) 一、选择题 1．已知sin α，sin()10 αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ． 512 π B ． 3 π C ． 4 π D ． 6 π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22 π π αβ- <-< ，利用三角函数的基本关系式，分别求得 cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解. 【详解】 由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2 π. 又sin(α－β)，∴cos(α－β). 又sin α＝ 5，∴cos α＝5 ， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝5×10 －5×10??- ? ??? ＝2.∴β＝4π. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．将函数()()sin 0,π2f x x ?ω?ω? ?=+>< ?? ?的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关 于y 轴对称，且1π2f ω?? =- ??? ，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ） A ．()sin 26f x x π? ? =+ ?? ? B ．()sin 2π6f x x ? ?=- ??? C ．()sin 4π6f x x ? ?=+ ?? ? D ．()sin 4π6f x x ? ?=- ?? ? 【答案】C 【解析】
专题一 三角函数与解三角形 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式： 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式 角的弧度数公式 r =α 角度与弧度的换算 ①rad 180 1π=? ② 弧长公式 扇形面积公式 2、任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 第一定义：设是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则 第二定义：设 是任意角，它的终边上的任意一点 P(x,y)，则 . 考点1 三角函数定义的应用 例1 .已知角α的终边在直线043=+y x 上，则=++αααtan 4cos 5sin 5 . 变式：（1）已知角α的终边过点)30sin 6,8(? --m P ，且5 4 cos - =α，则m 的值为 . （2）在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________． （3）4tan 3cos 2sin 的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 考点2 扇形弧长、面积公式的应用 例 2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为? 120，则扇形的弧长为 面积为 . 变式：已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，则弦AB 所对的圆心角α的大小 为 ，α所在的扇形弧长 为 ，弧所在的弓形的面积S 为 .
二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1、1cos sin 2 2=+αα α αcos tan = 2、三角函数的诱导公式 例1.已知α是三角形的内角，且.5 cos sin =+αα (1)求αtan 的值； (2)把α α22sin cos 1 +用αtan 表示出来，并求其值. 变式：1、已知α是三角函数的内角，且3 1 tan -=α，求ααcos sin +的值. 2、已知.34tan -=α（1）求α αααcos 2sin 5cos 4sin +-的值；（2）求αααcos sin 2sin 2 +的值. 3.若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.
课程标题三角函数与解三角形 求三角函数得定义域实质就就就是解三角不等式(组)、一般可用三角函数得图象或三角函数线确定三角不等式得解、列三角不等式,既要考虑分式得分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零;对数得真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身得定义域; 求三角函数得值域得常用方法:１、化为求得值域; ，引入辅助角,化为求解方法同类型。 ２、化为关于(或)得二次函数式; ,设，化为二次函数在上得最值求之; 周期问题一般将函数式化为(其中为三角函数，)、 ) ②y=taｎx图象得对称中心(，0) （二)主要方法: 1、函数得单调增区间可由 解出,单调减区间可由解出; 周期 2、函数得单调减区间可由 解出,单调增区间呢。(自己导出）周期 ３、函数得单调增区间可由 解出。(无增区间，重点掌握) 周期 课堂练习: 1.已知函数得定义域为，值域为，求常数得值 (化为求得值域)、 2、函数得单调递减区间就就是 ３、函数得单调增区间为 2、函数,、 (Ⅰ）求函数得最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上得最小值与最大值、(化为求得值域)、 3、函数得一个单调增区间就就是 ???? 4、若函数,则就就是 最小正周期为得奇函数最小正周期为得奇函数 最小正周期为得偶函数最小正周期为得偶函数 5、函数得最大值 6、当函数得最大值为时,求得值、
7、函数得最大值就就是 8、已知函数,、 (1)求得最大值与最小值;(2)f(x）得最小正周期。 (3)若不等式在上恒成立,求实数得取值范围、 解三角形 正弦定理:, 余弦定理: 推论:正余弦定理得边角互换功能 ① ,， ②，， ③== ④ (4)面积公式:S=ab*siｎC=bc＊siｎA＝cａ＊sinB 课堂练习: １、在中，角得对边分别为,已知,则（ ) Ａ、1 ?Ｂ.2 Ｃ、???D、 2、在△ABＣ中，AB=3，BＣ=，AC=4,则边AＣ上得高为( ) Ａ、Ｂ、 C、Ｄ、 ３、在ΔＡＢC中,已知a=,b=,Ｂ=45°,求角A,角C得大小及边ｃ得长度。 4、得内角A、B、C得对边分别为a、ｂ、c,若a、b、c成等比数列，且,则（) A、 B、 C、D、 【填空题】 5、在中,分别就就是、、所对得边。若,，,则___＿＿___＿_ 6、在锐角△ABＣ中,边长a=1,b=2,则边长c得取值范围就就是_＿____＿、 7、已知锐角得面积为,,则角得大小为( ) ?Ａ、75°?Ｂ、60° ?C、４5°Ｄ、30° 8、在△中，若，则等于、 9、在中,已知，则得大小为 ( ) ??? 【解答题】 １0、在中,分别就就是三个内角得对边、若,,求得面积、 11、如图,就就是等边三角形，就就是等腰直角三角形,∠=，交于,、 ?（1)求∠得得值; （2)求、 12、在中,角A、B、Ｃ所对得边分别为ａ,ｂ,ｃ,且满足
必修四三角函数与解三角形综合测试题 （本试卷满分150分，考试时间120分） 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若点P 在3 2π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(- 2.已知=-=-ααααcos sin ,4 5cos sin 则（ ） A ．47 B ．169- C ．329- D ．32 9 3.下列函数中，最小正周期为 2 π的是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)32tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x y D ．)6 4tan(π+=x y 4.等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=（ ） A ．924- B ．924 C ．9 7- D ．97 5．函数y ＝sin （π4 －2x )的单调增区间是 （ ） A.［kπ－3π8 ，kπ＋π8 ］(k ∈Z ) B.［kπ＋π8 ，kπ＋5π8 ］(k ∈Z ) C.［kπ－π8 ，kπ＋3π8 ］(k ∈Z ) D.［kπ＋3π8 ，kπ＋7π8 ］(k ∈Z ) 6.将函数x y 4sin =的图象向左平移12 π个单位，得到)4sin(?+=x y 的图象，则?等于( ) A ．12π- B ．3π- C ．3 π D ．12π 7.οοοο50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A ．3 B ．33 C ．33- D ．3- 8．在△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.ABC ?中，π= A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ）
三角函数与解三角形专项练习 1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-． （1）求角C ； （2）若D 是边BC 的中点，11cos 14 B =，21AD =，求AB C 的面积S ． 2．如图，四边形OACB 中，,,a b c 为ABC ?的内角,,A B C 的对边，且满足sin sin tan 2cos cos A B C B C =--+ （1）证明：2b c a +=；
（2）若22OA OB ==，且b c =，设()0AOB θθπ∠=<<，当θ变化时，求四边形OACB 面积的最大值. 3．一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．记AOE θ∠=， （1）用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ； （2）当小球从A 到F 所用的时间最短时，求cos θ的值． 4．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边.在①(2)cos cos a c B b C -=；①3=2ABC BA BC S →→?△；①sin sin 33B B π? ?++= ??? 这三个条件中任选一个，作出解答.
（1）求角B 的值； （2）若ABC 为锐角三角形，且1b =，求ABC 的面积的取值范围. 5．已知ABC 的面积为 （Ⅰ）b 和c 的值； （Ⅱ）sin()A B -的值. 条件①:6a =,1cos 3 =- C ；条件②:A C =,7cos 9B =-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 6．在ABC 中，7cos 8 A =，3c =，且b c ≠，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求： （1）b 的值；
三角函数与解三角形 一、 y=Asin （ωx+φ）函数的图像与性质重难点突破 二、经验分享 【知识点1 用五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象】 用“五点法”作sin()y A x ω?=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ω?=+，由z 取3 0,,,,222 π πππ来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 【知识点2 由y=sinx 得图象通过变换得到y=Asin （ωx+φ）的图象】 1.振幅变换： sin y A x x R =∈，(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短 (0 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 解析（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有 sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ= 或3π2 ． （2）2 2 22ππππsin sin 124124y f x f x x x ? ???????????=+++=+++ ? ? ? ???????????? ????? ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ??? ?-+-+ ? ? ??????=+=-- ? ??? π123x ? ?=+ ?? ?． 因此，函数的值域是[1- +． 27．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4 tan 3 α= ，cos()5αβ+=-． (1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值． 【解析】(1)因为4tan 3α= ，sin tan cos ααα=，所以4 sin cos 3 αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29 cos 25 α= ， 因此，27cos22cos 125 αα=-=- ． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为cos()αβ+=，所以sin()αβ+=， 因此tan()2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24 tan 21tan 7 ααα==--， 因此，tan 2tan()2 tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+． 28．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过 点3 4(,)55 P --． (1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5 sin()13 αβ+= ，求cos β的值． 【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4 sin 5α=-， 所以4 sin()sin 5απα+=-=． (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3 cos 5 α=-， 由5sin()13αβ+=得12 cos()13 αβ+=±． 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16 cos 65 β=-． 29．（2017浙江）已知函数22 ()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ． （Ⅰ）求2( )3 f π 的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间． 【解析】（Ⅰ）由2sin 32π=，21 cos 32 π=-， 高中数学专题练习-三角函数及解三角形 1．【高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为 A．B． C．D． 【答案】D 【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论: ①f(x)是偶函数②f(x)在区间（，）单调递增 ③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④B．②④ C．①④D．①③ 【答案】C 【解析】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误． 当时，，它有两个零点:；当时， ，它有一个零点:，故在有个零点:，故③错误．当时，；当时， ，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④正确，故选C． 【名师点睛】本题也可画出函数的图象（如下图），由图象可得①④正确． 3．【高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D； 因为，周期为，排除C； 作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确； 作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，故选A． 图1 图2 图3 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论:①函数的周期是函数周期的一半； ②不是周期函数. 4．【高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα= A． B． C．D． 【答案】B 【解析】，， ，又，，又，，故选B． 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 5．【高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论: ①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点 1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x, y ）是〉的终 边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin ： cos ： tan ： 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式（把角写成2 …形式，利用口诀：奇变偶不变，符 （2）商数关 系： tan-E 屮一、 cos 。（用于切化弦） （1）平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限） sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanx sin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan （-x ） - - tanx m ） |sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一 sin （— -〉）= cos ..z sin （二：）=cos ： V ） -?） = sin : 专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断； 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形； 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数； 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式； 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式； 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数. （1）.求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）.当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】（1）π, （2） 【解析】 （1） ,π=T , 单调递增区间为； （2） ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知 中,角 所对的边分别是 , 且,其中是的面积,. （1）求的值； （2）若,求的值. 【答案】 （1）；（2）. （2）,所以,得①, 由（1）得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f（x）的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数． （1）求f（x）的解析式并写出单增区间； （2）当x∈,f（x）+m-2<0恒成立,求m取值范围． 【答案】 （1）,单调递增区间为； （2）． 题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.(优质试题浙江,18)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P. (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值. 2.(优质试题北京,理15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-. (1)求A; (2)求AC边上的高. 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为. (1)求sin B sin C; (2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长. 4.已知函数f(x)=4tan x sin cos. (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间上的单调性. 5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形. (1)求ω与a的值; (2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值. 6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值. 题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.解(1)由角α的终边过点P, 得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α= (2)由角α的终边过点P,得cos α=-, 由sin(α+β)=,得cos(α+β)=± 由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β= 2.解(1)在△ABC中,∵cos B=-,∴B, ∴sin B= 由正弦定理,得, ∴sin A= ∵B,∴A,∴A= (2)在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos A= 如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D. ∵sin C=,∴h=BC·sin C=7, ∴AC边上的高为 3.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B= 由正弦定理得sin C sin B= 故sin B sin C= (2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-, 即cos(B+C)=- 所以B+C=,故A= 由题设得bc sin A=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c= 故△ABC的周长为3+ 专题四 三角函数与解三角形 第十二讲 解三角形 答案部分 1．A 【解析】因为2 13 cos 2cos 121255 =-=?-=-C C ，所以由余弦定理， 得222 32cos 251251()325 =+-?=+-???-=AB AC BC AC BC C ， 所以=AB A ． 2．C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知222 1sin 24 a b c ab C +-=， 所以222sin cos 2a b c C C ab +-= =，所以在ABC ?中，4 C π =．故选C ． 3．A 【解析】由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+， 得sin 2sin cos sin cos sin B B C A C B +=+， 即2sin cos sin cos B C A C =，所以2sin sin B A =，即2b a =，选A ． 4．A 【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++?=,选A. 5．C 【解析】设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得 1sin 342a c π== ，则2 a c =．在△ABC 中，由余弦定理可得 222222295 322 b a c c c c c =+-= +-= ，则b =． 由余弦定理，可得22 22 2 2 59cos 2c c c b c a A bc +-+-===C ． 6．B 【解析】 11 sin 22 AB BC B ??= ，∴sin 2B =，所以45B =或135B =． 当45B = 时，1AC = =， 此时1,AB AC BC ===90A =与“钝角三角形”矛盾； 当135B = 时，AC = =． 三角函数与解三角形 1.已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间??????0，2π3上的最小值. 2.(2019·济南调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2). (1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值. 3.已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期； (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝1 7，求△ABC 中线AD 的长. 4.(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x ). (1)求f (x )的最小值； (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝334，c ＝7，求△ABC 的周长. 5.已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2B 2－1)，B 为锐角且m ∥n . (1)求角B 的大小； (2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值. 6.(2019·信阳二模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小； (2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值.最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
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