第一章矢量分析
电磁场是矢量场，矢量分析是学习电磁场性质的基本数学工具之一。本章中，我们主要介绍矢量场理论基本知识：矢量运算，标量场的梯度，矢量场的散度和旋度,以及对于矢量场运算有重要作用的称为戴尔（或那布拉）算符?的运算规则.稍后，将介绍狄拉克δ函数及一些重要的矢量场定理，它对我们今后学习电磁场理论有重要作用。1-1矢量运算
我们在电磁场中遇到的大多数量可分为两类：标量和矢量。
仅有大小的量称为标量。具有大小和方向的量称为矢量。一矢量A 可写成
A
A =A e 其中A 是矢量A 的大小，e A 是与A 同方向上的单位矢量。矢量的大小称为矢量的模，单位矢量的模为1。矢量A 方向上的单位矢量可以这样表示：
A A
=
A e 矢量将用黑斜体字母表示，单位矢量用e 来表示。
作图时，我们用一有长度和方向的箭头表示矢量，如图1-1-1所示。如果两矢量A 和B 具有同样的大小和方向，它们是相等的。如果两矢量A 和B 具有同样的物理的或几何的意义，则它们具有同样的量纲，我们可以对矢量进行比较。如果一个矢量的大小为零，我们称为零矢量或空矢量。这是唯一一个不能用箭头表示的矢量。
我们也可以定义面积矢量。如果有一面积为S 的平面，则面积矢量S 的大小为S ，它的方向按右手螺旋规则确定，如图1-1-2所示。
1矢量加和减
两矢量A 和B 可彼此相加，其结果给出另一矢量C ，C =A +B 。矢量三角形或矢量四边形给出了两矢量A 和B 相加的规则，如图1-1-3所示。
由此我们可得出：矢量加法服从加法交换律和加法结合律。
交换律：A +B =B +A (1-1-1)结合律：(A +B )+C =A +(B +C )(1-1-2)由C =A +B ，其也意味着一个矢量C 可以由两个矢量A 和B 来表示，即矢量C 可分解为两个分矢量A 和B （分量）。也可说，一个矢量可以分解为几个分矢量。
如果
B 是一矢量，则-B 也是一个矢量。它是与矢量B 大小相等，方向相反的一个矢量。因此，我们可以定义两矢量A 和B 的减法A -B 为：
D =
A +(–
B )
D 也是一个矢量。图1-1-4表示了的方法。
2矢量与标量乘
一标量k 乘一矢量A ，我们得到另一矢量B ：
B =k A
矢量B 的大小是矢量A 的?k ?倍。如果k >0，矢量B 的方向与矢量A 的方向一样；如果k <0，矢量B 的方向与矢量A 的方向相反。
3标量积
两矢量的的标量积也称为两矢量的点积或内积。两矢量A 和B 的的标量积写为：A ?B ，并读作“A 点乘B ”。它定义为两矢量的大小及两矢量夹角的余弦之积，即：
(1-1-3)cos AB θ=i A B 显然，标量积满足交换律：(1-1-4)
cos BA θ==i i A B B A
(1-1-3)式是两矢量标量积的代数表达式。它的几何意义是：两矢量A 和B 的标量积是A 矢量大小乘以B 矢量在A 矢量上的投影，如图1-1-5所示。或者也可说B 矢量大小乘以A 矢量在B 矢量上的投影。
由此，矢量A 的大小可由下式得到：
(1-1-5)A =标量积服从分配律：
(1-1-6)
()+=+i i i A B C A B A C
例1-1-1如果A 、B 、和C 构成一三角形的三条边，C 边所对夹角为θ。利用矢量证明△的余弦定理
C =[A 2+B 2–2AB cos θ]
1/2
解：由图1-1-6，我们得到
C =B –A
由(1-1-5)，我们得到
C =利用(1-1-6)和(1-1-4)，我们得到
22
22()()2cos B A A B AB θ
??=??+=+?B A B A B A A B i i i 因此，
C =[A 2+B 2–2AB cos θ]1/2
4矢量积
两矢量的的矢量积也称为两矢量的叉积或外积。两矢量A 和B 的的矢量积写为：A ×B ，并读作“A 叉乘B ”。矢量积是一个矢量，它垂直于包含A 、B 两矢量的平面，方向由右手螺旋规则确定，如图1-1-7所示。e n 是A ×B 方向上的单位矢量，θ是A 、B 两矢量间的夹角。矢量积的大小定义为两矢量的大小及两矢量夹角的正弦之积，即：
(1-1-7)
sin n AB θ
×=A B a 由图1-1-7，我们可以得到
(1-1-8)×=?×A B B A
我们同样可以得到
(1-2-9)
()×+=×+×A B C A B A C
两矢量A 、B 的叉积的几何意义：它是由A 和B 构成的平行四边形的面积矢量，如图1-1-8所示。
平行四边形的面积矢量由下式给出：
(1-1-10)
=×S A B
其大小为由A 和B 构成的平行四边形面积。例1-1-2如果A ，B ，和C 构成一三角形的三条边，如图1-1-9所示。利用矢量证明三角形的正弦定理。
解：由图1-1-9给出：
=?B C A 因为
()0
×=×?=B B B C A 由此得
×=×B C B A
或写成
sin sin BC BA αγ
=由此得出
sin sin A C
αγ
=
同样，我们可以得到
sin sin A B
αβ=
因此，
sin sin sin A B C
αβγ
==
5三矢量积
三矢量积分为标量三重积和矢量三重积。三矢量A 、B 和C 的标量三重积是一标量，其表示为
()×C A B i 若以e n 表示A ×B 方向上的单位矢量，则有()(sin )cos =sin cos C AB ABC θφθφ×=i C A B 其中，θ是A 和B 之间的夹角，φ是C 和e n 之间的夹角。如果一平行六面体由A 、B 和C 构成，如图1-1-10所示，则它的体积就是A 、B 、C 的标量三重积。
由图1-1-10，我们可以得到一个重要等式
(1-2-11)()()()×=×=×A B C A B C B C A i i i 三矢量A 、B 和C 的矢量三重积是一矢量，其表示为A ×(B ×C )。利用前面介绍的矢量运算方法和矢量图形表示法，可以证明（也可用后面介绍的坐标分量方法证明）下面一个很有用的等式
(1-2-12)()()()××=?A B C A C B A B C i i 明显地，A ×(B ×C )≠(A ×B )×C 。因此，式中的括号不能省略。
1-2坐标系
前面的讨论是很一般的且当运算矢量时用图形来表示。从数学的角度上，当矢量分解为三个沿三个相互正交方向的分量时，运算是非常方便的。本节中，我们将介绍曲线正交坐标系及最有用的三个正交坐标系：直角（笛卡儿）坐标系、柱坐标系和球坐标系。1曲线正交坐标系
电磁场定律和物理量并不随坐标变化。事实上，它们是坐标系来表达的。所选的坐标系适合于给定问题的几何形状。
在三维空间中，一个点P 的位置可由三个曲面的交点来确定。这三个曲面由u 1=常数、u 2=常数、和u 3=常数来表示。u 1、u 2、和u 3称为坐标变量。如果三个曲面相互正交，我们得到一个正交坐标系。我们不使用非正交坐标系，因为它会使问题复杂。
令e 1、e 2、和e 3分别表示三维正交坐标系中指向u 1、u 2和u 3独立正位移方向的基本矢量，称为单位矢量，如图1-2-1所示。在P 点，它们分别垂直相应u 1=常数、u 2=常数、和u 3=常数的曲面。由变量u 1、u 2和u 3组成，且其
相应单位矢量相互垂直建立起的坐标系称为正交曲线坐标系。
常数常数由于三个曲面在空间各点彼此正交，在右手正交坐标系中，三个单位矢量的关系为：
123231312×=×=×=e e e e e e e e e 及
i j ij
δ=e e i 其中，
i ,j =1,2,3及 1 0ij i j i j
δ=??
≠?=δij 称为Kronecker delta 符号。因此，在三维正交坐标系(u 1,u 2,u 3),中，空间某点的矢量A 可表达为：
(1-2-1)
112233A A A =++A e e e 其中，A 1、A 2、和A 3是矢量A 在该点沿相应
坐标曲线上的分量（简称坐标分量）。
在矢量分析中，我们常需要进行线、面、体积分。这些积分都需要微分线元。然而，有些坐标变量并不一定是长度。例如，稍后介绍的柱坐标中的坐标变量φ，球坐标中的坐标变量θ和φ，它们都表示角度。因此，我们需要有一个变换因子，将不表示长度的微分元d u i 转变为相应坐标变量方向的微分长度元d l i 。因此，微分长度元可写成：
d l i =h i d u i ，i =1,2,3(1-2-2)
其中，h i 称为度规系数，它可能是u 1,、u 2和u 3的函数。例如，二维极坐标中(u 1,u 2)=(r ,φ),沿e φ方向的微分长度元d l 2=r d φ(h 2=r =u 1)
是对应于坐标变量φ的微分元d φ(=d u 2)。由此，在曲线正交坐标系中，一个有向微分线元
(1-2-3)112233d d d d l l l =++l e e e 可表示为
(1-2-4)
111222333
d d d d h u h u h u =++l
e e e 同样，在u 1=常数的曲面上，大小为d S 1的有向面积元d S 1可以表示为
(1-2-5a)123123231d d d d d l l h h u u ==S e e 同理，在u 2=常数和u 3=常数的曲面上，大
小为d S 2和d S 3的有向面积元d S 2和d S 3分别表示为
(1-2-5b)213213132d d d d d l l h h u u ==S e e (1-2-5c)312312123d d d d d l l h h u u ==S e e 因此，空间中一个有向微分面积元d S 可表示
为
(1-2-5d)231132123
232311313212123d d d d d d d d d d d d d l l l l l l h h u u h h u u h h u u =++=++S e e e e e e 空间中的体积元d V 可表示为
d V =d l 1d l 2d l 3=h 1h 2h 3d u 1d u 2d u 3(1-2-6)在正交曲线坐标系中，两矢量A 和B 的点积表示为
(1-2-7)112233112233112233()()A A A B B B A B A B A B =++++=++A B e e e e e e i i
两矢量A 和B 的叉积表示为
(1-2-8)
112233112233123123
123
=()()
A A A
B B B A A A B B B ×++×
++=A B e e e e e e e e e 同理可以得到
(1-2-9)
123
123
123
()C A A A B B B C C ×=A B C i 事实上，有许多正交坐标系，但最常用的是三个正交坐标系：直角（笛卡儿）坐标系、柱坐标系和球坐标系。
2直角坐标
直角坐标系是由三条相互正交的直线构成，这三条直线称为x 、y 、z 轴，(u 1,u 2,u 3)=(x ,y ,z )。因坐标变量微元已是长度微元，因此直角坐标系度规系数是：
(h 1,h 2,h 3)=(1,1,1)(1-2-10)
这些轴的交点是原点，三个坐标变量的范围是从-∞到∞。相应的单位方向矢量是e x 、e y 和e z ，它们分别在x 、y 、z 轴的方向。三个单位矢量的关系为
，x y z y z x z x y
×=×=×=e e e e e e e e e i j ij δ=e e i 空间中一给定点P (x 0,y 0,z 0)是三个平面x =x 0，y =y 0，和z =z 0的交点，如图1-2-2所
示。
z 0
x =P 点的位置矢量r ，它是由坐标原点o 指向P 点的矢量，如图1-2-3所示。利用其坐标分量可以表达为
r =x e x +y e
y +z e z (1-2-11)
矢量A 可表达为
A =A x e x +A y e y +A z e z
(1-2-12)两矢量A 和B 的点积表示为
A ?
B =A x B x +A y B y +A z B z
(1-2-13)
两矢量A 和B 的叉积表示为
(1-2-14)
x y z
x y z
x y z
×ΑΑΑΒΒΒ=e e e A B 标量三重积表示为
(1-2-15)
()x
y
z
x y z
x y z
A A A ×
B B B
C C C =A B C i 在直角坐标系中，有向微线元d l 可表达为
(1-2-16)
d d d d x y z
x y z =++l e e e 一有向微面元d s 可表达为
(1-2-17)
d d d d d d d x y z
y z x z x y =++s e e e 体积微元可表达为
(1-2-18)
d d d d V x y z
=3柱坐标
柱坐标系由一个柱面、一个半无限大平面一个无限大平面构成。坐标变量半径r 、角度φ和高z ，(u 1
,u 2,u 3)=(r ,φ,z )，如图1-2-5所示。其相应的取值范围分别为
0,02π,r z φ≤∞≤≤?∞∞
<< 由于d r 和d z 是长度元，因此它们的度规系数为h 1=h 3=1。φ是角度，我们需要一个度规系数h 2将d φ(d u 2)转换成沿坐标变量φ增加方向上的长度微分元d l 2。由图1-2-5，d l 2=r d φ，我们得到h 2=r 。因此，柱坐标系的度规系数是： (h 1,h 2,h 3)=(1,r ,1)(1-2-19) 在柱坐标系中，矢量A 可表示为： (1-2-20) r r z z A A A φφ=++A e e e 有向长度微元d l 、有向面积微元d s 和体积元d V 分别表示为： (1-2-21)d d d d r z r r z φφ=++l e e e (1-2-22)d d d d d d d r z r z r z r r φφφ=++s e e e (1-2-23) d d d d V r r z φ=由图1-2-6，我们得到 cos ,sin sin ,cos x r x y r y φφφφφφ ==?==e e e e e e e e i i i i 以及 cos sin sin cos r x y x y φφφφφ =+=?+e e e e e e 由此，我们得到直角坐标和柱坐标之间单位矢 量的变换关系： (1-2-24) z z cos sin 0sin cos 00 01x r y φφφφφ????????????=??? ????????????????e e e e e e 其逆变换： (1-2-25) z z cos sin 0sin cos 0001x r y φφφφφ????? ????????=????????????? ?????e e e e e e 在柱坐标系中给出的矢量A ，其在直角坐 标系中x 轴分量 ()cos sin x x r r z z x r A A A A A A φφφφφ ==++=?A e e e e e i i 类似有： sin cos y r z z A A A A A φφφ=+=上面结果写成矩阵形式： (1-2-26) z z cos sin 0sin cos 0001x r y A A A A A A φφφφ φ??????????? ??=????????????? ?????其逆变换： 1 z z cos sin 0sin cos 00 01x r y A A A A A A φφφφφ??????????????=?? ????????????????(1-2-27) z cos sin 0sin cos 0001x y A A A φφφφ?? ??????=??? ?????????? 例1-2-1在柱坐标中，给定点P (2,π/6,3)的矢 量A =2e r +2e φ+e z ，给定点Q (4,π/3,5)的矢量B =e r +e φ-e z ，求出在给定点S (6,π/4,7)的矢量C =A +B 。解：单位矢量e r 及e φ的方向在空间各点并不一 样。因此，我们不能将两矢量直接相加。为发表，我们将其转换到直角坐标系中计算。 由(1-2-26)，在P (2,π/6,3)点的矢量A 可表示为 z cos30-sin30020.73sin30cos3002 2.7311001x y A A A ???????? ????????==???? ??????????????? ??????? ?? 同样地，对于矢量B 有 z cos60-sin60010.37sin60con6001 1.8710011x y B B B ???????? ????????==??????????????????? ????????? ?? 因此， C =A +B =1.10a x +4.60a y 由(1-3-27)，我们再将矢量C 转换成在柱坐标系中S (6,π/4,7)点的表达式 z cos45sin450 1.10-sin45con450 4.6000014.032.470r C C C φ?????? ??????=???? ????????? ??????? ??=?????? ?? ?? 因此， 4.03 2.47r φ =+C a a 这里要注意的是，一个矢量在坐标系转换 时，并不改变矢量的大小和方向。 4球坐标系 球坐标系是由一个球面、一个锥面和一个半无限大的平面构成。在球坐标系中，三个坐标标量是半径r 、角度θ和φ，(u 1,u 2,u 3)=(r ,θ,φ)，如图1-2-7所示。其域值范围： 0,0,02r θπφπ≤∞≤≤≤≤<在空间P 点，单位矢量e r 、e θ,和e φ.的方向分别是r 、θ和φ增加方向。显然，这三个单位矢量都是变矢量。对于空间中的给定点P (r 0,θ0,φ0)，它是三个面r =r 0、θ=θ0和φ=φ0的 交点，如图1-2-7所示。 r =r 0 由于d r 已是一长度微元，因此h 1=1。 而坐标变量θ和φ是角度，我们需要度规系数h 2和h 3将d θ(d u 2)和d φ(d u 3)转换为沿坐标变量θ和φ增加方向的长度元d l 2和d l 3。由图1-2-8，我们很容易得到h 2=r ，h 3=r sin θ。因此，球坐标系的度规系数是： (h 1,h 2,h 3)=(1,r ,r sin θ)(1-2-28) 在球坐标系中，矢量A 表达为 (1-2-29) r r A A A θθφφ =++A e e e 有向长度微元d l 、有向面积微元d s 和体积微元d V 分别表示为： (1-2-30) d d d sin d r r r r θφ θθφ=++l e e e 2d sin d d sin d d d d r r r r r r θφ θθφθφθ=++s e e e (1-2-31) (1-2-32) 2d sin d d d V r r θθφ =由图1-2-9，我们得到： sin cos sin sin cos r x r y r z θφθφθ ===e e e e e e i i i 同样我们可以得到： cos cos ,cos sin ,sin ,sin ,cos , x y z x y r z θθθφφθφθφθφφ===?=?==e e e e e e e e e e e e i i i i i i e y θ x 由此，我们得到球坐标系和直角坐标系之间单 位矢量的变换关系： z sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y θφθφθφθθφθφθφφ????????????=??????????????? ?????e e e e e e (1-2-33) 其逆变换： z sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos cos sin 0x r y θφθφθφφθφθφφθθ???? ???????? ?=???? ?????????? ??? ??e e e e e e (1-2-34) 按照前面的方法，我们可以得到： z sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y A A A A A A θφθφθφθθφθφθφφ????????????=??????????????? ?????(1-2-35) 及 z sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos cos sin 0x r y A A A A A A θφθφθφφθφθφ φθθ ????? ???????? ?=???? ????????? ??? ??(1-2-36) 同样，我们可以得到矢量A 在球坐标系和柱坐标系之间的变换关系： (1-3-37) sin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A θφφθθθθ????????????=?????????????? ?????或 (1-3-38) sin cos 0001cos sin 0r r z A A A A A A φθφθθθθ????????????=?? ????????? ? ???????例1-2-1在直角坐标系中P (3,4,5)点，矢量。写出其在球坐标系中 222x y z x y x y =++A e e e 的表达式。 解：见图1-2-10，P (3,4,5)点的位置矢量为 345x y z =++r e e e 。r 矢量在x y 平面上的 7.07r ==投影与x 轴的夹角为： 1 04 tan 53.133 φ?==r 矢量与z 轴的夹角为： 45θ==因此，P 点在球坐标系中的坐标为P (7.07, 53.130,450)。 因为，由(1-2-35)，316400x y z =++A e e e 293.12 272.48 7.48 r A A A θφ==?= 因此，在球坐标系中，矢量A 在P 点的表达式为 293.12272.487.48r φθ =?+A e e e 1-3标量场和矢量场 什么是场？它是空间各点数值的集合。在我们这里，它是空间各点物理量的集合，即它是一个空间的函数。若用?来表示物理量，则空间各点的物理量为?(r )，?(r )就是一个场。但是，物理量可以是标量或是矢量。因此，场可以是标量场或是矢量场。标量场是空间各点只有大小的物理量的集合；矢量场是空间各点既有大小又有方向的物理量的集合。 由于物理量不仅仅是空间坐标的函数，也可能是坐标和时间的函数。因此，一个场可以是与时间无关的场也可以是与时间有关的场。与时间无关的场称为时间不变场，或静态场、静场。与时间有关的场称为时变场。 在电磁场理论的学习中，我们必须处理所有关系到位置和时间的物理量。因此，我们遇到的标量场和矢量场是四个变量u 1、u 2、u 3和t 的函数。因此，场可随位置和时间变化。这里，我们首先讨论与时间无关的场。 由于场的概念比较抽象，研究场时，除了用数学上的函数来表述外，我们常用“场图”来描述场在空间各点变化情况。 对于一个标量场φ(r )，我们用等值面（也称等势面）来描述它，如图1-3-1 所示，它形象地描述了场在空间变化情况。在这些面上，每一个面上的标量场值是相等的。因此，等值面方程为： φ(r )=C (1-3-1) 其中C 是一常数。C 表示了由标量场值所决定 的等值面的特性，取不同的数值，给出不同的等值面。 对于矢量场E (r )，我们用一些有向曲线来 描述。这些有向曲线称为场线，或力线、流线。在场线上一点的矢量场方向与该点切线方向相同。因此，沿场线上某点的一小位移d l 在场线上该点与矢量场E 平行，如图1-3-2所示。因此有 (1-3-2) d 0×=l E 由于上式中d l 和E 包含了坐标和矢量场的信息，因此(1-3-2)就是描述矢量场E 的场线方程。 在曲线正交坐标系中，由(1-3-2)，我们得到： (1-3-3)312 123d d d ()()()l l l E E E ==r r r 这就是矢量场E 在曲线正交坐标系中的场线方程。如果矢量场E 给出，我们就可画出相应的场线。 我们也可从另一个角度来得到场线方程。由于小位移d l 平行与矢量场E ，有 (1-3-4) d k =l E 这里k 是一个有恰当量纲的比例常数。由此我们也可得到(1-3-3)式。(1-3-3)和(1-3-4)是场线方程的一般表达式。 例1-3-1画出位于坐标原点的电偶极子等势线和电场线。 解：位于坐标原点的电偶极子p 产生的电势和电场（见后）分别为： ，204p cos r θ?πε=3 5013()4r r πε??=??????p p r r E i 其中，p =p a z =ql a z 是一常矢量。因此，在球坐标系中，等势面满足下面方程 (1-3-5) 2 cos r θ =常数由(1-3-2)， 30d (d d sin d )1 (3cos )40 r r z r r r p p r θφθθφθπε×=++× ?=r E a a a a a 由此得出 sin d 2cos d 0 r r θθθ?=即，电场线方程为 (1-3-6) 2sin r θ =常数由(1-3-5)和(1-3-6)，画出的电偶极子等势线和电场线如下 1-4方向导数和梯度 在曲线正交坐标系中，如果标量函数f 是坐标变量u 1、u 2和u 3的可微函数，那么，f 在P 点l 方向上的方向导数为： (1-4-1a) 3 1212312312331 2123d d d d d d d d d d d d d d d d l l l l f f f f l l l l l l l f f f l l l l l l l l l l ???=++ ????? ???=+ +??????? ??++????==e e e e e e l G G e i i i 或 (1-4-1b) d d f =G l i 其中， e l =d l /d l 是在l 方向上的单位矢量，如图1-4-1所示。而 (1-4-2) 123123f f f l l l ???=++???G e e e 称为f 的梯度，有时记为grad f . 显然，f 的梯度是一个矢量。如果e l 的方向和f 的梯度方向一致，那么，方向导数d f /d l 有最大值。也就是说，在P 点，f 的梯度的大小是该点f 的最大方向导数（变化率），并且在梯度方向上f 的方向导数有最大值。而在垂直于f 的梯度方向上，f 的方向导数为零。由此推出，垂直于梯度方向上P 点周围f 值不变。也就是说，f 的梯度方向垂直于f 的等势面。 为方便，常将f 的梯度记为?f ，?称为戴尔或那布拉算符。在曲线正交坐标系中，由(1-4-2)，?的表达式为 (1-4-3) 1 23123 l l l ????=++???e e e 因此， (1-4-4) 123123grad f f f f f l l l ???=?= ++???e e e (1-4-1)可写成d d f f =?i l 由(1-2-2)， i i i f f l h u ??= ?? 因此，在曲线正交坐标系中，?的表达式为 (1-4-5) 312112233h u h u h u ????=++???e e e (1-4-4)表达为 (1-4-6) 312112233 f f f f h u h u h u ????=++ ???e e e 由上面看出，?是一个矢量微分算符。 在直角坐标系中，(h 1,h 2,h 3)=(1,1,1)，?表达式为 (1-4-7) x y z x y z ??? ?=++???e e e 而f 的梯度 (1-4-8) x y z f f f f x y z ????=++???e e e 在柱坐标系中，(h 1,h 2,h 3)=(1,r ,1)，?为 (1-4-9) 1r z r r z φφ????=++???e e e f 的梯度 (1-4-10) 1r z f f f f r r z φφ????=++???e e e 同样，在球坐标系中，(h 1,h 2,h 3)=(1,r , r sin θ)，有 (1-4-11)11sin r r r r θφθθφ????=++???e e e (1-4-12) 11sin r f f f f r r r θφθθφ ????=++???e e e 梯度的物理意义是：梯度方向指出了给定函数 随位置（坐标）变化最快的方向；梯度方向正交于给定函数的等势面；梯度的大小表示了函数在空间点最大的变化率。 例1-4-1在直角坐标系中，求标量函数在P (1,2,3)点的梯度。 22(,,)z f x y z x y e =++解：在直角坐标系中， 2 22 22 2()()()22z x z y z z z x y z f x y e x x y e y x y e z x y e ??= +++??+++??++?=++e e e e e e 因此，f 在P (1,2,3)点的梯度为 2420.09x y z f ?=++e e e 例1-4-2分别在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系中，求出某点的位置（或距离）矢量r 的梯度。 解：在直角坐标系中 r =x e x +y e y +z e z 及 2222 =++r x y z 由此我们得到 ,,r x r y r z x r y r z r ???===???由(1-4-8)， ()1 x y z x y z r r r r r x y z x y z r r ????=++???= ++==e e e e e e r e 为避免混淆，柱坐标的三个坐标变量写为(ρ,φ,z )。因此， z z ρρ=+r e e 其大小为 r =由此给出 ,r r z r z r ρρ??==??由(1-4-10)得 11()z z r r r r r z z r r ρ φρρρφρ????=++???=+==e e e r e e e 在球坐标系中 r =r e r 由(1-4-12)得 11sin r r r r r r r r r θφθθφ ????=++???=e e e e 由上面（或由梯度的意义）可得，在空间 给定点，对于矢量l ，一般有 (1-4-13)l l ?=e 其中，l 是矢量l 的大小，e l 是沿l 方向上的单 位矢量。 例1-4-3如果f =f (g )，g =g (u 1,u 2,u 3)，证明 (1-4-14) d d f f g g ?=?证：由(1-4-6)得 312112233 312112233f f f f h u h u h u f g f g f g h g u h g u h g u ????=++ ?????????=++ ??????e e e e e e 由于f 仅是g 得函数， d d f f g g ?=?因此， 312112233d ()d d d f g g g f g h u h u h u f g g ????= ++???= ?e e e 1-5矢量场散度 为了描述矢量场的特性，矢量穿过一个曲面的通量ψ是一个重要的概念。它是一矢量场F 在一有向曲面S 上的面积分计算值。即 (1-5-1) ?d S ψ=∫F S 此称为矢量F 通过曲面S 的通量。它是一个标量，仅有大小。 现在，我们考虑一封闭曲面，封闭曲面的方向定义为垂直封闭曲面向外。如果S 是一封闭曲面，(1-5-1)的积分给出通过封闭曲面的净通量。如果积分为正，有一个称为正源的“源”在封闭曲面S 内。如果积分为负，有一个称为负源的“汇”在封闭曲面S 内。如果积分为零，没有源在封闭曲面S 内。换句话说，无源区域没有源或汇。因为流出封闭曲面S 的通量等于流进的通量，通过封闭曲面S 的通量为零。通过封闭曲面S 的通量越大，在封闭曲面S 内的源越强。 上面讨论的通量仅给出了在封闭曲面S 内所有源的整体特性，但并不能详细地描述源分布的特性。为此，我们引进散度概念，它能描述源分布“强度”。下面的讨论将给出它的定义。 在空间中，体积为ΔV ，边界为S 所包围的某点P 。该点的一矢量场F 的散度是矢量场F 通过闭合曲面S 的通量与体积比值的极限，即 (1-5-2) Δ0 d div lim ΔS V V →=∫ F S F i ?明显地，矢量场F 的散度是一个标量，它也可看成通过单位体积内封闭曲面的通量，因此它也是一个强度量。散度描述了空间点的源的特性，散度越大，在该点的源越强，反之亦然。因此，在电磁场理论中，散度用于描述产生电磁场的源的分布特性。 为了在正交曲线坐标系中得到散度的表达式，我们考虑一包含点P 的微分体积元ΔV ，如图1-5-1所示。ΔV 六面体由封闭曲面S 包围。 我们首先计算出矢量F 通过六面体前面 和后面的通量。注意，计算是在e 2方向，封闭曲面的方向是垂直封闭曲面向外,以及六面体很小，矢量场F 在六面体各面上可看成常量。因此，通过六面体前面的通量是 21321313 d d d d f F l l F h h u u ψ?=?=?通过六面体后面的通量是 b f f ψψψ?=?+??当ΔV →0， 2 2 2131322 22213123 2 lim d (d d )d () d d d f f V l l F h h u u h u h u F h h u u u u ψψ?→????= ??=??= ?因此，矢量F 通过六面体前面和后面的通量是 21312302() lim ()d d d f b V F h h u u u u ψψ?→??+?=?同样方法，矢量F 通过六面体左右面和上下面的通量是 123123 1 () d d d F h h u u u u ??312123 3 () d d d F h h u u u u ??由(1-5-2)和(1-2-6)得 Δ0 1232133121231233 123 1123d div lim Δ()()()11()s V i i i i V F h h F h h F h h h h h u u u h h h F h h h u h →==?????=++??????? ?= ?∫∑F s F i ?(1-5-3) 散度的物理意义是：一矢量场的散度是单位体积向外的净流量。在源点向外净流量是正的，在汇点向外净流量是负的。如果矢量场是连续的，如一不可压缩的流体通过一根管子或者围绕一个磁铁的磁场线，没有向外净流量。在此情况下，F 的散度为零。我们说F 是一个管量场或连续矢量场。 在直角坐标系中，(h 1,h 2,h 3)=(1,1,1)，散度的表达式为 (1-5-4) div y x z F F F x y z ???= ++???=?F F i 由此，在曲线正交坐标系中，我们可将矢量场F 的散度一般地写成 (1-5-5)div =?F F i 同样地，在柱坐标系中，(h 1,h 2,h 3)=(1,r , 1)，及球坐标系中，(h 1,h 2,h 3)=(1,r ,rsinθ)，散度表达式为 (1-5-6) 11()z r F F rF r r r z φφ????=++???i F 22111()(sin )sin sin r F r F F r r r r φθ θθθθφ ????= ++???i F (1-5-7) 上面的讨论是在一体积微元区域，对于由曲面S 限定的体积V 区域内，如果矢量场F 在整个体积内连续可微，散度的定义可扩展到整个体积。为此，我们细分体积V 成n 个微元并将其全部趋于零，如图1-5-2所示。 在由小面积S i 包围的体积基元ΔV i 中的P i 点， 矢量场F 散度为 Δ0 d lim Δi i S V i V →?=∫ i F S F i i ?F i 是矢量场在P i 的矢量场。当ΔV i →0，上式 成为 i d i S V ??=∫i F F S i i ?将所有体积基元ΔV i 求和，并令n →∞，有 i 1 1 lim lim d i n n S n n i i V →∞ →∞ ==??=∑∑∫i F F S i i ?在上式求和中，等式右边由于相邻体积基元缘 故，V 内的积分相互抵消，非零项就是封闭曲面S 的积分。等式左边则成为体积分，即 (1-5-8) d d V S V ?=∫ ∫F F S i i ?上式称为散度定理。 例1-6-1求如下列矢量在P (1,1,2)点的散度值： ()23322,,x y z x y z xy z x z x y =++A e e e ()23,,cos sin r z r z r r φφφ=+B e e ()211 ,,sin sin cos r r r r r θ φθφθθθ=++C e e e 解：在直角坐标系中，由(1-5-4)，得 ()()2332223 ()xy z x z x y x y z y z ??? ?= ++???=A i 因此，在P 点的散度值为 ?A i 23128 ?=×=A i 在柱坐标系中，由(1-5-6) ，得 ()33 1(cos )sin 3cos r r r r z r φφφ ? ? ?= +??=B i 而 r ==cos x r φ= =因此，在P 点的散度值为 ?B i 3?=B i 在球坐标系中，由(1-5-7)，得 2322 11sin (cos )() sin 2cos 3cos r r r r r r θ θθθθ θ???= + ??=+ C i 而 ，r ==cos z r θ= =因此，在P 点的散度值为 ?C i 2.72 ?=C i 例1-6-2如果F =F (g )，g =g (u 1,u 2,u 3)，证明 (1-5-9) d d g g ?=?F F i 证：为简单，我们在直角坐标系中证明。因为(u 1,u 2,u 3)=(x ,y ,z )，我们有 y z y z ((d d y x z y x z y x z x x F F F x y z F F F g g g g x g y g z F F F g g g g g g x y z g g ????= ++?????????=++ ?????????=++??????++???=?F e e e e e e F i i 读者可以在曲线正交坐标系中证明上式。1-6矢量场旋度 在上节，我们讨论了矢量场的通量，即矢量场F 在一有向曲面S 上的面积分计算值。如果通过一闭合曲面的流量不为零，则在闭合 曲面内存在一个源。这个源可称为产生散度场的散度源。但是，在散度源为零的情况下，矢量场F 沿绕P 点的封闭曲线的积分 (1-6-1) d l Γ=∫i ?F l 不一定为零。这样的封闭曲线积分称为矢量场F 的环流或环量。它描述了另一种源，称为旋度源。旋度源产生环绕它的矢量场的环流。在空间中，如果散度为零，环流不一定为零。因此，我们需要用矢量场环量去描述旋度源的特性。 由(1-6-1)的定义，我们得到一结论：如果沿曲线l 的各点，矢量场F 的方向与线元d l 的方向一样，则矢量场F 的环流Γ>0，反之Γ<0。因此，环量可以描述旋度源的旋度特性。 然而，环量仅表征了整个被封闭曲线环绕的旋度源特性，它不能详细地描述旋度源的分布特性。由此，我们考虑空间某点P ，及围绕点P 的封闭曲线l ，由曲线l 包围的区域面积是?S 。令e n 为?S 的法向单位矢量以及其与有向闭合曲线l 的方向遵循右手规则，如图1-6-1所示。 我们可预计到环量Γ正比于面积?S 及对 于固定面积?S 决定的有向闭合曲线l 的方位。因此，我们定义对于e n 方向的矢量场F 的环量强度为 0d lim lim S S S S ?→?→Γ =??∫l F l i ?由于Γ也与有向闭合曲线l 的方位有关，对于P 点，有一特殊的方位将给出最大的值Γmax 。对矢量F ，我们引进旋度矢量，记为curl F (或rot F )。矢量旋度称为矢量场旋度。其方向是矢量F 的环流为最大的方向，而旋度矢量的大小等于此方向上最大的环流强度，即P 点单位面 积上最大的环流。由此，矢量场F 的旋度可定 义为 max 0curl lim n S S ?→Γ=?F e 其中e n 是?S 的法向单位矢量，其方向是F 的旋度最大的方向。 为了旋度的具体表达式，在曲线正交坐标系中，我们首先考虑在u 1=常数的曲面上一小四边形，绕行方向如图1-6-2所示。 为方便，四边形的上边和右边的线积分用带上标的撇“′”来表示。由于四边形非常小，矢量F 在各条边上的分量在各条边上各点处处可看成常数。由图1-7-2，我们得到 [][] 2 2 332233 33332222333333222222d d (d )(d )d (d )d (d )d ()d d ()d d F l F l F l F l F l F l F l F l F h u F h u F h u F h u =+′?′?=′??′?=′?? ′?∫l F l i ?在ΔS →0情况下给出 3322232323()() d d d d d F h F h u u u u u u ??==???∫i ?l F l 由此，我们得到了矢量F 的旋度在e 1方向上 的分量为 332212323()()1(curl )F h F h h h u u ?? ??= ??? ???? F 同样，矢量F 的旋度在e 2和e 3方向上的分量分别为 3311213 3 1()()1(curl )F h F h h h u u ?? ??= ???????F 221131212()()1(curl )F h F h h h u u ?? ??= ??? ???? F 因此， (1-6-3) 112233 123123 112233 1curl h h h h h h u u u h F h F h F ??? = ???e e e F 矢量场旋度的物理意义是：其大小是P 点单位面积上最大的环流，方向垂直于产生最大环流的闭合线所围密接面的平面。如果一矢量场在闭合线元的线积分不为零，我们说该矢量场是有旋的。如果矢量场的旋度为零，该矢量场是无旋的或保守的。 在直角坐标系中，(h 1,h 2,h 3)=(1,1,1)，矢量F 的旋度表达为 (1-6-4) curl x y z x y z x y z F F F ?? ? = =?×???e e e F F 由此，在曲线正交坐标系中，我们可将矢量场F 的旋度一般地写成 (1-6-5)curl =?×F F 在柱坐标系中，(h 1,h 2,h 3)=(1,r ,1)，矢 量F 的旋度表达为 (1-6-6) 1r z r z r r r z F rF F φφφ ? ???×= ???e e e F 同理，在球坐标系中，(h 1,h 2,h 3)=(1,r ,r sin θ)， (1-6-7) 2sin 1sin sin r r r r r r F rF r F θφ θφ θθφθθ? ???×= ???e e e F 对于面积为S 由封闭线l 包围的开放曲 面，我们将其分为n 个基面积元，如图1-6-3所示。 由于矢量场的旋度代表了矢量场的单位面积环流，因此有 11 lim ()d lim d i i n n i i l n n i i S →∞ →∞ ==??×=∑ ∑∫ ∫F S F l i i ?因此及图1-6-3，得出 (1-6-8) ()d d S l ?×=∫ ∫F S F l i i ?上式中S 是有封闭曲线l 所包围的面积，d S 和d l 的方向关系按照右手螺旋法则。方程(1-6-8)称为斯托克斯定理。其表明：一矢量场的旋度在一面积上的法向分量的积分等于此矢量场沿着包围此面积的曲线线积分。 矢量场的旋度有一个重要特性：它的散度恒等于零，即 (1-6-9)()0??×≡F i 为证明此结论，我们将上式左边对由S 包围的 体积V 进行体积分，并利用散度定理，我们得到 1 2 ()d ()d ()d ()d V S S S V ??×=?×=?×+?×∫ ∫∫∫F F S F S F S i i i i ?其意义是，我们将S 分为S 1和S 2两个面，如图1-7-4所示。由斯托克斯定理，我们得到 1 ()d d S l ?×=∫ ∫F S F l i i ? 2 ()d d S l ?×=?∫ ∫F S F l i i ? 因此， ()d 0 V V ??×=∫ i F 由于体积V 是空间中任意一体积，上式对空间各处成立，必是被积函数为零，因此证明了(1-7-9)式。 关于旋度还有另一个恒等式。标量场的梯度的旋度恒等于零，即 (1-6-10)()0f ?×?≡为证明此式，在空间取一有向曲面S ，并将左 边进行面积分。利用斯托克斯定理，我们得到 []()d d d 0 S l l f f f l l ?×?=??==?∫ ∫∫S l i i ??由于S 是空间中任一面积，上式中被积函数必为零，这就证明了(1-6-10)式。 方程(1-6-9)表明：一个无散场可以用另一个矢量的旋度来表示。或者说，旋度场必是无散场。 方程(1-6-10)表示：一个无旋场可用另一个标量场的梯度来表示。或者说，梯度场必是无旋场 由上面和前一节的讨论得知，一个矢量场的特性完全可以由矢量场的散度和旋度描述。因此，矢量场的散度和旋度方程是讨论矢量场的基本方程。这个问题后面我们还将叙述。例1-6-1求如下列矢量在P (1,1,2)点的旋度矢量： ()23322,,x y z x y z xy z x z x y =++A e e e ()23,,cos sin r z r z r r φφφ=+B e e ()211 ,,sin sin cos r r r r r θ φθφθθθ=++C e e e 解：在直角坐标系中，由(1-6-6)，得 23322 22223(21)(22)(32)x y z x y z x y z xy z x z x y y x xz x y x z xyz ????×= ???=?+?+?e e e A e e e 因此，在P 点的旋度矢量为 ?×A 610x y z ?×=+?A e e e 在柱坐标系中，由(1-6-6)，得 23321cos 0sin cos 3sin sin r z r z r r r z r r r r r φ φφ φφ φφφ ? ? ??×= ???=?+e e e B e e e 而 r = =cos x r φ= =sin y r φ= =因此，在P 点的旋度矢量为 ?×B 2r z φ?×=?+B e e e 在球坐标系中，由(1-6-7)，得 2223 3sin 1sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin r r r r r r r r r r θ φ θφθθ φθθθ θθ θθθθθ? ???×= ????=+?e e e C e e e 而 r == cos z r θ= =sin θ= =因此，在P 点的旋度矢量为 ?×C 118r θ?×=?C e e e 例1-6-2如果F =F (g )，g =g (u 1,u 2,u 3)，在曲线正交坐标系中证明 (1-6-11) d d f g ?×=?×F F 证：由(1-4-5)，我们有 312112233312112233 312112233 31211 2233d d h u h u h u h u h u h u g g g h g u h g u h g u g g g h u h u h u g f g ?? ????×=++×??????????=×+×+×?????????= ×+×+× ????????????=++×????????=?× e e e F F e e e F F F e e e F F F e e e F F 1-7拉普拉斯算符 标量场f 的梯度的散度可以写为 2()f f f ??=??=?i i 这里，?2称为拉普拉斯算符。它是一个二阶微 分算符。在曲线柱坐标系中，由(1-5-3)式和 ，标量场f 的拉普拉斯算符可以 1()i i i f f h u ??=?写成 (1-7-1) 32 12321123 1 )i i i i h h h f f h h h u u h =???= ??∑由此， (1-7-2) 3 21232 1 123 1 ( )i i i i h h h h h h u u h =?? ?= ??∑在直角坐标系中，(h 1,h 2,h 3)=(1,1,1)， 标量函数f 的拉普拉斯表达式为 (1-7-3) 2222 222 f f f f x y z ????=++???我们也可分别得到标量函数f 的拉普拉斯 在柱坐标系，(h 1,h 2,h 3)=(1,r ,1)，和球坐标系，(h 1,h 2,h 3)=(1,r ,r sin θ)，中的表达式 (1-7-4) 222 222 11()f f f f r r r r r z φ?????=++ ????2222222 2 1()11(sin sin sin f f r r r r f f r r θθθθθφ???= +?????+???(1-7-5) 如果标量场f 的拉普拉斯为零，则说标量场f 是谐和场。即，谐和场f 满足 (1-7-6) 20 f ?=此方程通常称为拉普拉斯方程。 拉普拉斯算符也适用于矢量场。然而，矢量场的拉普拉斯已失去了原来梯度的散度的意义，而仅表达是一个运算而已。 在直角坐标系中，矢量F 的拉普拉斯为(1-7-7) 2222()()()x x y y z z F F F ?=?+?+?F e e e 也就是说，矢量场的拉普拉斯可以分为三个标量场的拉普拉斯运算。 1-8戴尔算符运算法则 由戴尔算符的定义知，戴尔算符是一个矢量算符，具有矢量和求导的特性。因此，戴尔算符的运算规则必须同时满足矢量运算和求导运算的规则。等式(1-4-13)、(1-5-9)和(1-6-11)可立即看出满足此规则。 下面，我们给出一些例子，来说明如何掌握戴尔算符在运算中的微分性和矢量性二重性质。 例1-8-1利用算符的微分性和矢量性，证明 (1-8-1) ()?φ?φφ??=?+? 证：由导数求导规则 d d d ()d d d v u uv u v x x x =+我们得到 ()()() ?φ?φ?φ?φ?=?+?这里??表示算符仅对?求导，?φ仅对φ求导。 因此， ()()() ?φ?φφ??φ?=?+?上式中因为???和?φφ已表示了下标的意义，因此下标可去掉。所以 ()?φφ??φ?=?+?例1-8-2利用算符的微分性和矢量性，证明 (1-8-2)()φφφ?=?+?F F F i i i 证：由导数求导规则，我们得到 ()()() F φφφφ?=?+?F F F i i i 注意到等式左边是标量，因此右边也应保持标 量。由于标量场的梯度是矢量，矢量场的散度是标量，两矢量的点乘是标量。因此， ()()F F φφφφφφ?+?=?+?F F F F i i i i 上式中，下标可去掉。所以 ()φφφ?=?+?F F F i i i 例1-8-3利用算符的微分性和矢量性，证明 (1-8-3) ()()()()()?××=???+ ???A B B A A B B A A B i i i i 证：与前面一样，我们有 ()()()A B ?××=?××+?××A B A B A B 注意等式左边是矢量，右边也应保持是矢量。利用等式(1-1-11)，得到 ()()()A A A ?××=???A B B A A B i i ()()()B B B ?××=???A B B A A B i i 去掉下标后，得到 ()()()()()?××=???+ ???A B B A A B B A A B i i i i 同理，我们可以得到下面有用的等式 (1-8-4)()?φ???+=?+?(1-8-5)()?+=?+?A B A B i i i (1-8-6)()?×+=?×+?×A B A B (1-8-7)()????×=?×+?×A A B (1-8-8)()????×=?×+?×A A B (1-8-9) ()()()()() ?=?+?+ ×?×+×?×A B B A A B A B B A i i i (1-8-10) 2()?×?×=????A A A i 读者可在直角坐标系中证明以上等式。 例1-8-4如果，r ≠0，求x y z x y z =++r e e e ，，及。1r ?31r ?3r ?r i 3r ?×r 解：由等式(1-4-13)和(1-4-12)，我们得到 (1-8-11) 23 1 d 11d r r r r r r r ?=?=?=?r r (1-8-12) 3345 1 d 133d r r r r r r r ?=?=?=?r r 由(1-8-7)，得 33311r r r ?=?+?r r r i i i 因为 ()()3x y z x y z x y z x y z ????=++++=???r e e e e e e i i 所以， (1-8-13) 333 5311 330 r r r r r r ?=?+?=?+=r r r r i i i 由等式(1-8-11)和(1-6-10)，我们得到 (1-8-14) 3 1(0 r r ?× =??×?≡r 例1-8-5如果r 是一位置矢量，其大小r ≠0， P 和k 是常矢量。求，和()?P r i 3 r ? P r i 。 sin()?k r i 解：利用算符?在直角坐标系中的表达式，我们得到 (1-8-15) ()() ()x y z x y z x y z xP yP zP ??? ?=++???++=P r e e e P i 由?运算规则，我们得到 (1-8-16) 333 35 11 ()()3()r r r r r ?=?+?=?P r P r P r P P r r i i i i (1-8-17) d sin() sin()() d()cos() ?= ?=k r k r k r k r k k r i i i i i 例1-8-6证明(a) ()d d V S V ?×=×∫ ∫F S F ?(b)d d S l ??×?=∫∫S l ?其中V 是由S 包围的体积；S 是封闭曲线l 所 围面积。 解：(a)用一常矢量A 点乘得出 ()d V V ?×∫F ()d ()d V V V V ?×=?×∫∫A F A F i i I 由(1-1-11)，得 ()d ()d ()d ()d (d ) V V V S S V V V ?×=?×=?×=×=×∫∫∫∫∫A F A F F A F A S A S F i i i i i ??由于A 是一任意常矢量，因此 ()d d V S V ?×=×∫ ∫F S F ?(b)同样地，我们用一常矢量点乘d S ? ×?∫S 得到 d d d () d ()()S S S S d d ?? ????×?=×?=?×=?×==∫∫∫∫∫∫l l A S A S S A S A A l A l i i i i i i ??因此， d d S l ??×?=∫ ∫S l ?在后面的章节中，我们经常处理仅是相对位置矢量R 的函数，R =r –r ′。一般r 用来表示空间场点的位置矢量，r ′用来表示空间源点的位置矢量。下面，我们将得出一些有用的等式。 如果R =r –r ′及f 是R 的函数，f (R )=f (x –x ′,y –y ′,z –z ′)，我们有 ()()()f f x x f x x x x x x ????′?==???′???′及 ()()() f f x x f x x x x x x ????′?==??′??′?′??′所以， (1-8-18) ()() f f x x ??=???′ R R 对y 和z 同样有此类似结果。按照(1-4-7)，对 带撇坐标变量，我们定义算符?′ x y z x y z ????′=++?′?′?′ e e e 利用(1-8-18)，我们得到下列等式(1-8-19)()() f f ?=??′R R (1-8-20)()()?=??′F R F R i i (1-8-21) ()() ?×=??′×F R F R 1-9狄拉克δ函数 考虑一长度为l 的均匀带有总电荷Q 的绝 1矢量分析 1.在球面坐标系中，当?与φ无关时，拉普拉斯方程的通解为：（）。 2.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（），这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。 3. 矢量场在闭合面的通量定义为，它是一个标量；矢量场的（）也是一个标量，定义为。 4. 矢量场在闭合路径的环流定义为，它是一个标量；矢量场的旋度是一个（），它定义为。 5.标量场u（r）中，（）的定义为，其中n为变化最快的方向上的单位矢量。 6. 矢量分析中重要的恒等式有任一标量的梯度的旋度恒为（）。 任一矢量的旋度的散度恒为（）。 7. 算符▽是一个矢量算符，在直角坐标内，，所以 是个（），而是个（），是个（）。 8. 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手，（）方程和（）方程组成了矢量场的基本微分方程。 9. （）坐标、（）坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标 10. 标量：（）。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 等。 11. 矢量：（）。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 12. 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量（）地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。 13. 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量（）地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。 14. 旋度为零的矢量场叫做（） 15. 标量函数的梯度是（），如静电场 16．无旋场的（）不能处处为零 17. 散度为零的矢量场叫做（） 18. 矢量的旋度是（），如恒定磁场 19．无散场的（）不能处处为零 20．一般场：既有（），又有（） 21．任一标量的梯度的旋度恒为（） 第一章 矢量分析 1.1．试证明下列三个矢量： x y z 11e 9e 18e A =++ ，x y z 17e 9e 27e B =++ ，x y z 4e 6e 5e C =-+ 在同一平面上。 1.2．给定三个矢量A ，B 和C 如下： x y z e 2e 3e A =+- ，y z 4e e B =-+ ，x y 5e 2e C =- 求：1）A e （A e 表示矢量A 方向上的单位矢量）。 2）B A ? 3）A C ? 1.3．证明：如果C A B A ?=?且A B A C ?=? ，则B C = 。 1.4．如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确 定该未知矢量。设A 为一已知矢量，P A X = 而P A X =? ，P 和P 已知，试求X 。 1.5．设标量2 3 u xy yz =+，矢量x y z 2e 2e e A =+- ，试求标量函数u 在(2,1,1) -处沿矢量A 的方向上的方向导数。 1.6．设232(,,)3u x y z x y y z =-，求u 在点(1,2,1)M -处的梯度。 1.7．设23 x y z e e (3)e A x y z x =++- ，求A 在点(1,0,1)M -处的散度。 1.8．设324x y z e 2e 2e A xz x yz yz =-+ ，求A 在点(1,1,1)M --处的旋度。 1.9．求1 ()r ?。 1.10．设r =(,,)M x y z 的矢径r 的模，试证明：0r r r r ?= = 。 1.11．计算：1）矢量r 对一个球心在原点，半径为a 的球表面的积分。 2）??对球体积的积分。 1.12．求矢量22 x y z e e e A x x y z =+- 沿,x y 平面上的一个边长为2的正方形回 路的线积分，此正方形的两个边分别与x 轴和y 轴相重合。再求A ?? 对此回路 矢量分析与场论 矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。 第一章 矢量分析 一 内容概要 1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()ds d s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。（圆函 第一章矢量分析（修改） 第一章矢量分析 （说明：本章为07电本英语讲义的中译本） 电磁场是矢量场，矢量分析是学习电磁场性质的基本数学工具之一。本章中，我们主要介绍矢量场理论基本知识：矢量运算，标量场的梯度，矢量场的散度和旋度,以及对于矢量场运算有重要作用的称为戴尔（或那布拉）算符?的运算规则。稍后，将介绍狄拉克δ函数及一些重要的矢量场定理，它对我们今后学习电磁场理论有重要作用。 1-1 矢量运算 我们在电磁场中遇到的大多数量可分为两类：标量和矢量。 仅有大小的量称为标量。具有大小和方向的量称为矢量。一矢量A可写成 A?AeA 其中A是矢量A的大小，eA是与A同方向上的单位矢量。矢量的大小称为矢量的模，单位矢量的模为1。矢量A方向上的单位矢量可以这样表示： eA?A A矢量将用黑斜体字母表示，单位矢量用e来表示。 作图时，我们用一有长度和方向的箭头表示矢量，如图1-1-1所示。如果两矢量A和B具有同样的大小和方向，它们是相等的。如果两矢量A和B具有同样的物理的或几何的意义，则它们 具有同样的量纲，我们可以对矢量进行比较。如果一个矢量的大小为零，我们称为零矢量或空矢量。这是唯一一个不能用箭头表示的矢量。 我们也可以定义面积矢量。如果有一面积为s的平面，则面积矢量s的大小为s，它的方向按右手螺旋规则确定，如图1-1-2所示。 s A s 图1-1-2 面积矢量s 图1-1-1 矢量A 1-1-1 矢量加和减 两矢量A和B可彼此相加，其结果给出另一矢量C，C = A + B。矢量三角形或矢量四边形给出了两矢量A和B相加的规则，如图1-1-3所示。由此我们可得出：矢量加法服从加法交换律和加法结合律。 交换律： A + B = B + A (1-1-1) 结合律：(A + B) + C = A + (B + C) (1-1-2) 1 C A B B A C B 由C = A + B，其也意味着一个矢量C可以由两个矢量A和B 来表示，即矢量C可分解为两个分矢量A和B（分量）。也可说，一个矢量可以分解为几个分矢量。 如果B是一矢量，则-B也是一个矢量。它是与矢量B大小相等，方向相反的一个矢量。因此，我们可以定义两矢量A和B的减法A-B为： 第一章 矢量分析与场论基础 内容提要 1） 正交曲线坐标系： 设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义： ),,(11z y x q q = ),,(22z y x q q = ),,(33z y x q q = 在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为 i i i dq h dl = i i i i dq h q dl ?= k j k j i k j i dq dq h h q dl dl ds ?=?= k j i k j i k j i dq dq dq h h h dl dl dl dv =??= 式中i 、j 、k 代表循环量1、2、3，k j i q q q ????=，1???=??k j i q q q ，2 2 2 ??? ? ????+???? ????+???? ????= i i i i q z q y q x h 称拉梅系数。 三种坐标系中坐标单位矢量间的关系： ???? ?????????????? ??-=??????????z y x z e e e e e e ???10 0cos sin 0sin cos ????????ρ 柱坐标与直角坐标 ???? ?????????????? ? ?=??????????z e e e e e e ???01 0sin 0cos cos 0sin ???? ρ? θγθθθθ 球坐标与柱坐标 ???? ?????????????? ? ?--=??????????z y x e e e e e e ???0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin ???? θθ?θ?θθ?θ?θ? θγ 球坐标与直角坐标 2） 矢量及其运算： 直角坐标中算符?的定义：第一章矢量分析
第一章 矢量分析典型例题
矢量分析与场论讲义
第一章矢量分析(修改)
数学物理方程：第一章 矢量分析与场论基础
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