绝密★考试结束前
浙江省名校新高考研究联盟2018届第一次联考
数学试题卷
命题: 萧山中学 金东平、王芳 平阳中学 温仙仙、童彩棉
考生须知:
1. 本卷满分150分,考试时间120分钟;
2. 答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。
3. 答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范答题,在本试卷纸上答题一律无效。
4. 考试结束后,只需上交答题卷。 参考公式:
如果事件,A B 互斥,那么 柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =
如果事件
,A B 相互独立,那么 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高
()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率为
p ,那么n 1
3
V Sh =
次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 ()()10,1,2),,(k k n k n n P k C p p k n -==?- 球的表面积公式
台体的体积公式 2
4S R =π
121
()3
V S S h =
+ 球的体积公式 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积,
334
V R =
π
h 表示为台体的高 其中R 表示球的半径
选择题部分(共40分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的. 1.已知U R =,集合{}|11A x x =-<<,则U A =e
A .(1,1)-
B .(,1)
(1,)-∞-+∞ C .[1,1]- D .(,1][1,)-∞-+∞
2.复数
34i
i
+的模是 A .4
B .5
C .7
D .25
3.若,x y 满足约束条件0,30,20,y x y x y ??
???+--≥≤≥ 则2z x y =+的取值范围是
A .[4,)+∞
B .[0,6]
C .[0,4]
D .[6,)
+∞
4.已知互相垂直的平面,αβ交于直线l .若直线,m n 满足//m α,n β⊥,则 A .//l m B .//m n
C .n l ⊥
D .m n ⊥
5.函数cos sin 2x
x
y =
的大致图像为 A .
B .
C .
D .
6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的底层共有灯 A .186盏
B .189盏
C .192盏
D .96盏
7.安排4名志愿者完成5项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 A .1440种 B .720种 C .480种 D .240种 8.已知向量,a b 满足||4a b +=,||3a b -=,则||||a b +的范围是
A .[3,5]
B .[4,5]
C .[3,4]
D .[4,7]
9.设{}1,2,3,
,100U =,f 是U U →的映射,则“{}()U f x x U =∈”是“当12x x ≠时,
12()()f x f x ≠”的
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分又不必要条件
10.已知函数2()f x x ax b =++的两个零点12,x x ,满足1202x x <<<,则(0)(2)f f 的取值范
围是 A .(0,1)
B .(0,2)
C .(1,2)
D .(1,4)
非选择题部分 (共110分)
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。 11.抛物线2x y =的焦点坐标是 ,离心率是 . 12.已知随机变量X 的分布列是:
则m = ,()E X = . 13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ,
最长棱的长度是 .
14.在ABC △中,角,,A B C 所对的边
分别为,,a b c ,若2a =,4
B π
=
,tan 7C =,则sin A = ,ABC S =△ .
15.若二项式6
((0)ax a >的展开式中3x 的系数为A ,常数项为B ,若4A B =,则B = .
16.已知向量,,a b c 满足||1a =,||b k =,||2c k =-且0a b c ++=,则
b 与
c 夹角的余弦值的取值范围是 .
17.如图,已知正四面体D ABC -,P 为线段AB 上的动点(端点除外),
则二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是 .
三、解答题: 本大题共5小题,共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本题满分14分)已知向量(sin ,sin )a x x ωω
=,(sin ,cos )(0)b x x ωωω=>.函数()f x
a
b
=
?的图像相邻两条对称轴的距离为4
π
. (Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)当[0,]4
x π
∈时,求函数()f x 的值域.
19.(本题满分15分)如图,已知三棱锥D ABC -,
2DC DA AB BC ===,AC BC ⊥,
ABD CBD ⊥平面平面,M 是BD 中点.
(Ⅰ)证明:BC MAC ⊥平面;
(Ⅱ)求直线BD 与平面ABC 所成的角的正弦值.
20.(本题满分15分)已知函数()e (1)x f x a x =++. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;
(Ⅱ)当()f x 有最小值且最小值大于2a a +时,求a 的取值范围.
21.(本题满分15分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,
椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1
2
,焦距
为2.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)记斜率为k 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点,椭
圆C 上存在点p 满足OP OA OB =+,求四边形
OAPB 的面积.
22.(本题满分15分)数列{}n a 满足11a =,12
1
(1)(*)n n a a n n n
+=+∈+N .证明:当*n ∈N 时, (Ⅰ)1n n a a +>; (Ⅱ)2e 11
n n n
a n n ++≤≤
.
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数学参考答案
一、选择题:(共8小题,每小题4分,共40分)
1.答案:D
分析:(][),11,U C A =-∞-+∞
2.答案:B 分析:
34435i
i i
+=-== 3. 答案:B 4.答案:C 分析:因为l αβ=,所以l β?,又因为n β⊥,所以n l ⊥.
5. 答案:A 分析:cos sin 2x
x y =是奇函数,(0,)2
x π
∈时,0y >,故选A. 6. 答案:C.
分析:设塔的底层共有灯x 盏,则各层的灯数构成一个首项为x ,公比为
1
2
的等比数列. 71(1())
2381112
x -=-,解得192x =. 7. 答案:D
分析:完成一件事情:一人完成两项工作,其余三人每人完成一项工作23
53240C A =,
8. 答案:B
分析:{}
max ,4a b a b a b +≥+-=,
22
2()25a b a b a b +≤++-=,所以5a b +≤.
9. 答案:C .
分析:“{}()U f x x U =∈”等价于“()y f x =是一一映射”,故选C . 10. 答案:A.
分析:设函数2
12()()()f x x ax b x x x x =++=--,
则12(0)f x x =,12(2)(2)(2)f x x =--.
一方面:(0)(2)0f f >, 另一方面:
2
2
11221212112222(0)(2)(2)(2)(2)(2)(
)122x x x x f f x x x x x x x x +-+-???=--=--≤= ???
“=”的条件是121x x ==,但1202x x <<<,所以“=”取不到.
所以(0)(2)f f ?的取值范围是()0,1.
二、填空题:(共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分) 11. 答案:焦点坐标是1
(0,)4
F ,离心率是1.
12. 答案:
12 43
分析:1111632m m ++=∴=
1114
()0126323E x =?+?+?=
13. 答案:8
3
,分析:该几何体是四棱锥,体积为8
3
,最长棱的长度为方体的对角
线14. 答案:4sin 5A =,7
4
ABC S ?=
分析:4sin sin()45A B π=+=,由正弦定理知:sin sin a b
A B
=
,所以b =,
117sin 2
2244ab C =??= 15. 答案:60B = .
分析:36662
166(1)()(1)r r r r r r r r
r T C ax a C x ---+=-=- 令3632r -=得2r =,则424
615A a C a ==
令3602
r -=得4r =则4242
6(1)15B a C a =-=,
又由4A B =得4215415a a =?,则2a =,60B =.
16. 答案:1
[1,]2
--
分析:
法一:设b c 与的夹角为θ,由题b c a +=- ,2
2
21b c b c ∴++?=
即2222433
cos 1242(1)2
k k k k k θ-+==+---
||||||a b c b c =+≥- |22|1
k ∴-≤ 13
22
k ∴≤≤ 1
1cos 2
θ∴-≤≤-
法二:设,,a AB b BC c CA === |||2C A C B
+= ∴点C 的轨迹为以A B 、为焦点的椭圆.根据椭圆的对称性,当点C 在椭圆的顶点处取得最值.(注意向量夹角的定义)
17.答案:11
(,)33
-.
分析:当点P 从A 运动到B ,二面角D PC B --的平面角逐渐增大,二面角D PC B --的平面角最小趋近于二面角D AC B --的平面角,最大趋近于二面角D BC A --的平面角的补角,故余弦值的取值范围是
11
(,)33
-.
三、解答题:(本大题共5小题,共74分).
18. 本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。
(Ⅰ)2
111
()sin
sin cos sin 2cos 222
2f x x x x x x ωωωωω=+?=-+
……4分 由题知
24T π=,2,2
22T ππ
ωω∴==∴=
……7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得1()sin(4),02424f x x x ππ=-+≤≤
……10分 因为0,4x π??
∈????,34,444x πππ??-∈-????
,sin(),1442x π??-∈-????
……13分
所以1()0,2f x ??∈??
??
.
……14分
19. 本题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象
能力和运算求解能力。满分15 分。 (Ⅰ)由AD AB =得AM BD ⊥, 由ABD CBD ⊥平面平面得AM CBD ⊥平面,所以AM BC ⊥, 又因为AC BC ⊥,所以BC MAC ⊥平面. ……6分 (Ⅱ)过M 作ME AC ⊥且ME AC E =,连结EB .
由BC MAC ⊥平面得MAC ABC ⊥平面平面,
所以ME ABC ⊥平面,故MBE ∠为直线BD 与平面ABC 所成的角. ……10分 不妨设22DC DA AB BC ====.
A
由AC BC ⊥得AC .
由222AM MC AC +=,222AM MB AB +=,
22222()MC MB CD CB +=+得3
2
AM =
,MC =MB .
所以3
4
ME =
,sin MBE ∠=,
故直线BD 与平面ABC ……15分 20. 本题主要考查函数的最大(小)值,导数的运算及其应用,同时考查分析问题和解决问题的能
力。满分15分。
(Ⅰ)()f x 的定义域为R ,()x
f x e a '=+, ……2分
若0a ≥,则()0f x '>,)(x f 在R 上是单调递增的;……4分
若0a <,则当(,ln())x a ∈-∞-时,()0f x '<,()f x 在(,ln())a -∞-上是单调递减; 当(ln(),)x a ∈-+∞时,()0f x '>,()f x 在(ln(),)a -+∞上是单调递增;……7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知当0a ≥时()f x 在R 无最小值, ……8分
当0a <时()f x 在ln()x a =-取得最小值,
最大值为()()ln()ln()1ln()f a a a a a a -=-+-+=- ……9分
因此()2
ln()ln()10f a a a a a ->+?---<.
……11分
令()ln()1g a a a =---,则()g a 在(),0-∞是减函数(1)0g -=,于是,当10a -<<时,()0g a <,当1a <-时()0g a >,因此a 的取值范围是()1,0-.
……15分
21. 本题主要考查直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想
方法和运算求解能力。满分15分。
(Ⅰ)1,2,c a b ===C 的方程是:22
143
x y +=. ……4分 (Ⅱ)设1122(,),(,)A x y B x y ,00(,)P x y ,直线:AB y kx m =+
由2214
3y kx m x y =+???+=??联立,消去y ,可得222(34)84120k x kmx m +++-=
故2
2
48(43)0k m ?=+->且
1222
12283441234km x x k m x x k -?+=??+?-??=?+?
……7分 由OP OA OB =+,可得012
012
x x x y y y =+??
=+?,
且点P 在椭圆C 上.所以22
1212()()143x x y y +++=
……9分 其中122834km
x x k -+=+,
1212
26()234m y y k x x m k +=++=+ 代入2
21212()
()1
4
3
x x y y +++=可得22434m k =+.
……11分
12AB x =-=
,o l d -=
. ……13分
所以四边形AOBP
的面积22
1234o l m S AB d m -==
==. ……15分
22. 本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识,不等式及其应用,同时考查推理
论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分15分。 (Ⅰ)用数学归纳法证明0n a >.
(1)当1n =时,110a =>; (2)假设当n k =时,0k a >,
则1n k =+时,121
(1)0k k a a k k
+=+
>+. 由(1)(2)得,当*n ∈N 时,0n a >. 所以121
(1)(*)n n n a a a n n n
+=+
>∈+N ……5分
注:直接给出0n a >不扣分. (Ⅱ)用数学归纳法证明21n n
a n +≥
. (1)当1n =时,12
111a =+≥
; (2)假设当n k =时,21
k k
a k +≥
, 则1n k =+时,2122
12(1)2(1)
(1)(1)2
k k k k k a a k k k k ++++=++++≥≥. 由(1)(2)得,当*n ∈N 时,21
n n
a n +≥. ……10分
由121(1)n n a a n n +=+
+得1221111
ln ln ln(1)1
n n
a a n n n n n n +-=+=-+++≤, 所以11e ln 11ln(1)ln 1n n a n n n --+=+≤≤,所以e 1
n n
a n +≤.
综上,当*n ∈N 时,
2e 11
n n n
a n n ++≤≤
. ……15分
命题:萧山中学 金东平 电话:180********
王 芳 电话:180******** 平阳中学 温仙仙 电话:137******** 童彩棉 电话:137********