多项式的运算习题集
(一)填空
1．a8=(-a5)______．2．a15=()5．3．3m2·2m3=______．4．(x+a)(x+a)=______．5．a3·(-a)5·(-3a)2·(-7ab3)=______．6．(-a2b)3·(-ab2)=______．7．(2x)2·x4=()2．8．24a2b3=6a2·______．9．[(a m)n]p=______．10．(-mn)2(-m2n)3=______．
11．多项式的积(3x4-2x3+x2-8x+7)(2x3+5x2+6x-3)中x3项的系数是______．
12．m是x的六次多项式，n是x的四次多项式，则2m-n是x的______次多项式．
14．(3x2)3-7x3[x3-x(4x2+1)]=______．
15．｛[(-1)4]m}n=______．16．-｛-[-(-a2)3]4}2=______．
17．一长方体的高是(a+2)厘米，底面积是(a2+a-6)厘米2，则它的体积是______．18．若10m=a，10n=b，那么10m+n=______．
19．3(a-b)2[9(a-b)n+2](b-a)5=______(a-b)n+9．
20．已知3x·(x n+5)=3x n+1-8，那么x=______．
21．若a2n-1·a2n+1=a12，则n=______．
22．(8a3)m÷[(4a2)n·2a]=______．
23．若a＜0，n为奇数，则(a n)5______0．
24．(x-x2-1)(x2-x+1)n(x-x2-1)2n=______．
25．(4+2x-3y2)·(5x+y2-4xy)·(xy-3x2+2y4)的最高次项是______．
26．已知有理数x，y，z满足|x-z-2|+(3x-6y-7)2+|3y+3z-4|=0，
则x3n+1y3n+1z4n-1的值(n为自然数)等于______．
(二)选择
27．下列计算最后一步的依据是[]
5a2x4·(-4a3x)
=[5×(-4)]·a2·a3·x4·x(乘法交换律)
=-20(a2a3)·(x4x)(乘法结合律)
=-20a5x5．()
A．乘法意义；B．乘方定义；C．同底数幂相乘法则；D．幂的乘方法则．
28．下列计算正确的是[]
A．9a3·2a2=18a5；B．2x5·3x4=5x9；C．3x3·4x3=12x3；D．3y3·5y3=15y9．29．(y m)3·y n的运算结果是[]
B．y3m+n；C．y3(m+n)；D．y3mn．
30．下列计算错误的是[]
A．(x+1)(x+4)=x2+5x+4；B．(m-2)(m+3)=m2+m-6；
C．(y+4)(y-5)=y2+9y-20；D．(x-3)(x-6)=x2-9x+18．
31．计算-a2b2·(-ab3)2所得的结果是[]
A．a4b8；B．-a4b8；C．a4b7；D．-a3b8．
32．下列计算中错误的是[]
A．[(a+b)2]3=(a+b)6；B．[(x+y)2n]5=(x+y)2n+5；
C．[(x+y)m]n=(x+y)mn；D．[(x+y)m+1]n=(x+y)mn+n．
33．(-2x3y4)3的值是[]
A．-6x6y7；B．-8x27y64；C．-8x9y12；D．-6xy10．
34．下列计算正确的是[]
A．(a3)n+1=a3n+1；B．(-a2)3a6=a12；C．a8m·a8m=2a16m；D．(-m)(-m)4=-m5．35．(a-b)2n·(b-a)·(a-b)m-1的结果是[]
A．(a-b)2n+m；B．-(a-b)2n+m；C．(b-a)2n+m；D．以上都不对．
36．若0＜y＜1，那么代数式y(1-y)(1+y)的值一定是[]
A．正的；B．非负；C．负的；D．正、负不能唯一确定．
37．(-2.5m3)2·(-4m)3的计算结果是[]
A．40m9；B．-40m9；C．400m9；D．-400m9．
38．如果b2m＜b m(m为自然数)，那么b的值是[]
A．b＞0；B．b＜0；C．0＜b＜1；D．b≠1．
39．下列计算中正确的是[]
A．a m+1·a2=a m+2；
D．[-(-a)2]2=-a4．
40．下列运算中错误的是[]
A．-(-3a n b)4=-81a4n b4；B．(a n+1b n)4=a4n+4b4n；
C．(-2a n)2·(3a2)3=-54a2n+6；
D．(3x n+1-2x n)·5x=15x n+2-10x n+1.
41．下列计算中，[]
(1)b(x-y)=bx-by，(2)b(xy)=bxby，(3)b x-y=b x-b y，(4)2164=(64)3，(5)x2n-1y2n-1=xy2n-2．A．只有(1)与(2)正确；B．只有(1)与(3)正确；C．只有(1)与(4)正确；D．只有(2)与(3)正确．42．(-6x n y)2·3x n-1y的计算结果是[]
A．18x3n-1y2；B．-36x2n-1y3；C．-108x3n-1y；D．108x3n-1y3．
[]
44．下列计算正确的是[]
A．(6xy2-4x2y)·3xy=18xy2-12x2y；
B．(-x)(2x+x2-1)=-x3-2x2+1；
C．(-3x2y)(-2xy+3yz-1)=6x3y2-9x2y2z2-3x2y；
45．下列计算正确的是[]
A．(a+b)2=a2+b2；B．a m·a n=a mn；C．(-a2)3=(-a3)2；D．(a-b)3(b-a)2=(a-b)5．
[]
47．把下列各题的计算结果写成10的幂的形式，正确的是[]
A．100×103=106；B．1000×10100=103000；
C．1002n×1000=104n+3；D．1005×10=10005=1015．
48．t2-(t+1)(t-5)的计算结果正确的是[]
A．-4t-5；B．4t+5；C．t2-4t+5；D．t2+4t-5．
49．使(x2+px+8)(x2-3x+q)的积中不含x2和x3的p，q的值分别是[]
A．p=0，q=0；B．p=-3，q=-9；C．p=3，q=1；D．p=-3，q=1．
50．设xy＜0，要使x n y m·x n y m＞0，那么[]
A．m，n都应是偶数；B．m，n都应是奇数；
C．不论m，n为奇数或偶数都可以；D．不论m，n为奇数或偶数都不行．51．若n为正整数，且x2n=7，则(3x3n)2-4(x2)2n的值为[]
A．833；B．2891；C．3283；D．1225．
(三)计算
52．(6×108)(7×109)(4×104)．
53．(-5x n+1y)·(-2x)．
54．(-3ab)·(-a2c)·6ab2．
55．(-4a)·(2a2+3a-1)．
58．(3m-n)(m-2n)．
59．(x+2y)(5a+3b)．
60．(-ab)3·(-a2b)·(-a2b4c)2．
61．[(-a)2m]3·a3m+[(-a)5m]2．
62．x n+1(x n-x n-1+x)．
63．(x+y)(x2-xy+y2)．
65．5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5)．
67．(2x-3)(x+4)．
70．(-2a m b n)(-a2b n)(-3ab2)．
74．(m-n)(m5+m4n+m3n2+m2n3+mn4+n5)．75．(2a2-1)(a-4)(a2+3)(2a-5)．
76．2[(x+2)(x+1)-3]+(x-1)(x-2)-3x(x+3)．77．(0.3a3b4)2·(-0.2a4b3)3．
78．(-4xy3)·(-xy)+(-3xy2)2．
80．(5a3+2a-a2-3)(2-a+4a2)．
81．(3x4-2x2+x-3)(4x3-x2+5)．
83．(3a m+2b n+2)(2a m+2a m-2b n-2+3b n)．
86．[(-a2b)3]3·(-ab2)．
87．(-2ab2)3·(3a2b-2ab-4b2)．
91．(-2x m y n)3·(-x2y n)·(-3xy2)2．
92．(0.2a-1.5b+1)(0.4a-4b-0.5)．
93．-8(a-b)3·3(b-a)．
94．(x+3y+4)(2x-y)．
96．y[y-3(x-z)]+y[3z-(y-3x)]．
97．计算[(-a)2m]3·a3m+[(-a)3m]3(m为自然数)．(四)化简
(五)求值
104．先化简y n(y n+9y-12)-3(3y n+1-4y n)，再求其值，其中y=-3，n=2．
105．先化简(x-2)(x-3)+2(x+6)(x-5)-3(x2-7x+13)，再求其值，其中x=
106．光的速度每秒约3×105千米，太阳光射到地球上需要的时间约是5×102秒．问地球与太阳的距离约是多少千米？(用科学记数法写出来)
107．已知ab2=-6，求-ab(a2b5-ab3-b)的值．
108．已知a+b=1，a(a2+2b)+b(-3a+b2)=0.5，求ab的值．
110．已知(x-1)(x+1)(x-2)(x-4)≡(x2-3x)2+a(x2-3x)+b，求a，b的值．
111．多项式x4+mx2+3x+4中含有一个因式x2-x+4，试求m的值，并求另一个因式．112．若x3-6x2+11x-6≡(x-1)(x2+mx+n)，求m，n的值．
113．已知一个两位数的十位数字比个位数字小1，若把十位数字与个位数字互换，所得的新两位数与原数的乘积比原数的平方多405，求原数．
114．试求(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1的个位数字．
115．比较2100与375的大小．
116．解方程3x(x+2)+(x+1)(x-1)=4(x2+8)．
118．求不等式(3x+4)(3x-4)＞9(x-2)(x+3)的正整数解．
119．已知2a=3b=6c(a，b，c均为自然数)，求证：ab-cb=ac．
120．求证：对于任意自然数n，n(n+5)-(n-3)×(n+2)的值都能被6整除．
121．已知有理数x，y，z满足|x-z-2|+(3x-6y-7)2+|3y+3z-4|=0，求证：x3n y3n-1z3n+1-x=0．122．已知x=b+c，y=c+a，z=a+b，求证：
(x-y)(y-z)(z-x)+(a-b)(b-c)(c-a)=0．
123．证明(a-1)(a2-3)+a2(a+1)-2(a3-2a-4)-a的值与a无关．
124．试证代数式
(2x+3)(3x+2)-6x(x+3)+5x+16的值与x的值无关．
125．求证：(m+1)(m-1)(m-2)(m-4)=(m 2-3m)2-2(m 2
-3m)-8．
1、
2、若2x + 5y －3 = 0 则
=
3、已知a = 355 ,b = 444 ,c = 533则有( )
A ．a < b < c
B ．c < b < a
C ．a < c < b
D ．c < a < b 4、已知,则x =
5、2
1990
×31991
的个位数字是多少
6、计算下列各题 (1) (2)
(3)
(4)
7、计算(－2x －5)(2x －5) 8、计算
9、计算,当a 6
= 64时, 该式的值。
10、计算
11、计算
12、计算
13、的值是
A ．14
2
n
B ．
C ．2n －1
D ．22n
－1
14、若
, 求a 2
+ b 2
的值。
15、求证: 不讫x 、y 为何值, 多项式
的值永远大于或等于0。
16、若
求: M －N 的值是
A ．正数
B ．负数
C ．非负数
D ．可正可负 17、已知a = －2000 b = 1997 c = －1995那么
的值是多少。
18、已知
由此求的值为？
19、实数a 、b 、c 满足a = 6－b , c 2
= ab －9, 求证: a = b 20、用公式解题
化简
21、已知x + y = 5,
, 求x －y 之值
由此可以得到
① ②
22、已知 a + b + c = 2
求
的值
23、若a + b = 5, 24、已知求a 、b 的值 25、已知, 求xy 的值
26、已知
的值
27、已知
的值
《乘法公式》练习题（一） 一、填空题
1.(a +b )(a －b )=_____,公式的条件是_____，结论是_____.
2.(x －1)(x +1)=_____,(2a +b )(2a －b )=_____,(
3
1x －y )(
3
1x +y )=_____.
3.(x +4)(－x +4)=_____,(x +3y )(_____)=9y 2
－x 2
,(－m －n )(_____)=m 2
－n 2
4.98×102=(_____)(_____)=( )2－( )2=_____.
5.－(2x 2
+3y )(3y －2x 2
)=_____. 6.(a －b )(a +b )(a 2+b 2)=_____.
7.(_____－4b )(_____+4b )=9a 2－16b 2,(_____－2x )(_____－2x )=4x 2－25y 2 8.(xy －z )(z +xy )=_____,(
6
5x －0.7y )(6
5x +0.7y )=_____.
9.(
4
1x +y 2)(_____)=y 4
－
16
1x 2
10.观察下列各式：
(x －1)(x +1)=x 2
－1 (x －1)(x 2+x +1)=x 3－1 (x －1)(x 3
+x 2
+x +1)=x 4
－1 根据前面各式的规律可得 (x －1)(x n
+x n －1+…+x +1)=_____. 二、选择题
11.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( ) A.(x +y )(－x －y ) B.(2x +3y )(2x －3z ) C.(－a －b )(a －b )
D.(m －n )(n －m ) 12.下列计算正确的是( ) A.(2x +3)(2x －3)=2x 2－9
B.(x +4)(x －4)=x 2－4
C.(5+x )(x －6)=x 2－30
D.(－1+4b )(－1－4b )=1－16b 2 13.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( )
A.(－a －b )(－b +a )
B.(xy +z )(xy －z )
C.(－2a －b )(2a +b )
D.(0.5x －y )(－y －0.5x )
14.(4x 2－5y )需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( ) A.－4x 2
－5y
B.－4x 2
+5y C.(4x 2－5y )2
D.(4x +5y )2
15.a 4
+(1－a )(1+a )(1+a 2
)的计算结果是( ) A.－1 B.1
C.2a 4
－1 D.1－2a 4 16.下列各式运算结果是x 2－25y 2的是( ) A.(x +5y )(－x +5y ) B.(－x －5y )(－x +5y ) C.(x －y )(x +25y )
D.(x －5y )(5y －x )
三、解答题 17.1.03×0.97
18.(－2x 2+5)(－2x 2－5)
19.a (a －5)－(a +6)(a －6)
20.(2x －3y )(3y +2x )－(4y －3x )(3x +4y ) 21.(
3
1x +y )(
3
1x －y )(
9
1x 2+y 2)
22.(x +y )(x －y )－x (x +y )
23.3(2x +1)(2x －1)－2(3x +2)(2－3x ) 24.9982－4
25.2003×2001－2002
2
《乘法公式》练习题（二）
1．2
2
2
)(b a b a +=+--（ ） 2．2
2
2
2)(y xy x y x +-=----（ ）
3．2
2
2
2)(b ab a b a ++=----（ ） 4．2
2
2
9122)32(y xy x y x +-=-（ ） 5．2
2
94)32)(32(y x y x y x -=-+（ ）
6______________)3)(32(=-+y x y x ； 7．_______________)52(2=+y x ； 8．______________)23)(32(=--y x y x ； 9.______________)32)(64(=-+y x y x ；10________________)
22
1(2
=-y x
11．____________)9)(3)(3(2=++-x x x ；
12．___________1)12)(12(=+-+x x ； 13。4))(________2(2-=+x x ； 14．_____________)3)(3()2)(1(=+---+x x x x ；
15．____________)2()12(22=+--x x ；16．2
24)__________)(__2(y x y x -=-+；
17．______________)1)(1)(1)(1(42=++-+x x x x ； 18．下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是（ ）
（A ） ))((3333b a b a -+ （B ） ))((2222a b b a -+ （C ） )12)(12(22-+y x y x （D ） )2)(2(22y x y x +- 19．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ） （A ） ))((b a b a -+- （B ）)2)(2(x x ++ （C ） )3
1)(31
(x y y x -
+（D ） )1)(2(+-x x
20．下列计算不正确的是（ ）
（A ） 2
22)(y x xy = （B ） 2
2
2
1)
1(x
x x
x +
=-
（C ） 2
2))((b a a b b a -=+- （D ） 2
2
2
2)(y xy x y x ++=-- 21．化简：))(())(())((a c a c c b c b b a b a +-++-++-
22．化简求值：2
2)2()2()2)(12(+---+-x x x x ，其中2
11
-=x
23．解方程：)1)(1(13)12()31(2
2+-=-+-x x x x
24．(1)已知2)()1(2
-=---y x x x ， (2)如果22
15,6ab ab a b +=+=
求
xy y x -+2
2
2的值； 求2222
a b a b -+和的值
25.探索题：
(x-1)(x+1)=2
1x
- (x-1)2
3
(1)1x x
x ++=- (x-1)3
2
4(11)x
x
x
x
++-+=
(x-1)4325(1)1x x x x x ++++=-…… 试求654322122222++++++的值 判断200520042003...21222+++++的值末位数
1．计算：
(1)(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2
； (2)(x+y)4(x-y)4
；
(3)(a+b+c)(a 2+b 2+c 2
-ab-ac-bc)． 2．化简：
(1)(2x-y+z-2c+m)(m+y-2x-2c-z)；
(2)(a+3b)(a 2-3ab+9b 2)-(a-3b)(a 2+3ab+9b 2)；
(3)(x+y)2(y+z-x)(z+x-y)+(x-y)2
(x+y+z)(x+y-z)．
3．已知z 2=x 2+y 2，化简(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)． 4．已知,,a b c 满足0a b c ++=，8abc =，那么111a
b
c
+
+
的值是
（A ）正数； （B ）零 （C ）负数 （D ）正负不能确定
5．若实数,,a b c 满足2229a b c ++=，则代数式222()()()a b a c b c -+-+-的最大值是 （A ）27； （B ）18； （C ）15； （D ）12. 6．已知
2
1()()()4
b c a b c a -=--，且0a ≠，则
b c a
+=
7．已知2
2
2
3
3
3
6,14,36,a b c a b c a b c ++=++=++=求a b c 的值.
如何进行多项式除以多项式的运算 多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算)4()209(2+÷++x x x 规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x 解法步骤说明： （1）先把被除式2092 ++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好． （2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项． （3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面． （4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分． （5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式． （6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x 例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ． 规范解法
∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ． 注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2 245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ． 8．什么是综合除法？ 由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊． 如：计算)3()432(3 -÷-+x x x ． 因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）． 还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再
中国计量学院实验报告 实验课程：算法与数据结构实验名称：一元二项式班级：学号： 姓名：实验日期： 2013-5-7 一．实验题目： ①创建2个一元多项式 ②实现2个多项式相加 ③实现2个多项式相减 ④实现2个多项式相乘 ⑤实现2个多项式相除 ⑥销毁一元多项式 实验成绩：指导教师：
二．算法说明 ①存储结构：一元多项式的表示在计算机内可以用链表来表示，为了节省存储 空间，只存储多项式中系数非零的项。链表中的每一个结点存放多项式的一个系数非零项，它包含三个域，分别存放该项的系数、指数以及指向下一个多项式项结点的指针。创建一元多项式链表，对一元多项式的运算中会出现的各种可能情况进行分析，实现一元多项式的相加、相减操作。 ②加法算法
三．测试结果 四．分析与探讨 实验数据正确，部分代码过于赘余，可以精简。 五．附录：源代码#include<> #include<> #include<> typedef struct Polynomial { float coef; int expn; struct Polynomial *next; }*Polyn,Polynomial; 出多项式a和b\n\t2.多项式相加a+b\n\t3.多项式相减a-b\n"); printf("\t4.多项式相除a*b\n\t5.多项式相除a/b\n\t6.销毁多项式\n"); printf("\t7.退出
\n*********************************** ***********\n"); printf("执行:"); scanf("%d",&flag); switch(flag) { case(1): printf("多项式a：");PrintPolyn(pa); printf("多项式b：");PrintPolyn(pb);break; case(2): pc=AddPolyn(pa,pb); printf("多项式a+b：");PrintPolyn(pc); DestroyPolyn(pc);break; case(3): pd=SubtractPolyn(pa,pb); printf("多项式a-b：");PrintPolyn(pd); DestroyPolyn(pd);break; case(4): pf=MultiplyPolyn(pa,pb); printf("多项式a*b：");PrintPolyn(pf); DestroyPolyn(pf);break; case(5): DevicePolyn(pa,pb); break; case(6): DestroyPolyn(pa); DestroyPolyn(pb); printf("成功销毁2个一元二项式\n"); printf("\n接下来要执行的操作:\n1 重新创建2个一元二项式 \n2 退出程序\n"); printf("执行:"); scanf("%d",&i); if(i==1) { // Polyn pa=0,pb=0,pc,pd,pf;//定义各式的头指针，pa与pb在使用前付初值NULL printf("请输入a的项数:"); scanf("%d",&m); pa=CreatePolyn(pa,m);// 建立多项式a printf("请输入b的项
#include"stdio.h" #include"stdlib.h" #include"conio.h" typedef struct Item{ double coef;//系数 int expn;//指数 struct Item *next; }Item,*Polyn; #define CreateItem(p) p=(Item *)malloc(sizeof(Item)); #define DeleteItem(p) free((void *)p); /************************************************************/ /* 判断选择函数 */ /************************************************************/ int Select(char *str) { char ch; printf("%s\n",str); printf("Input Y or N:"); do{ ch=getch(); }while(ch!='Y'&&ch!='y'&&ch!='N'&&ch!='n'); printf("\n"); if(ch=='Y'||ch=='y') return(1); else return(0); } /************************************************************/ /* 插入位置定位函数 */ /**************************************************************/ int InsertLocate(Polyn h,int expn,Item **p) { Item *pre,*q; pre=h; q=h->next; while(q&&q->expn
数据结构课程设计实验报告 专业班级： 学号： 姓名： 2011年1月1日
题目：一元多项式的运算 1、题目描述 一元多项式的运算在此题中实现加、减法的运算，而多项式的减法可以通过加法来实现（只需在减法运算时系数前加负号）。 在数学上，一个一元n次多项式P n(X)可按降序写成： P n(X)= P n X^n+ P(n-1)X^(n-1)+......+ P1X+P0 它由n+1个系数惟一确定，因此，在计算机里它可以用一个线性表P来表示： P=(P n，P(n-1)，......，P1，P0) 每一项的指数i隐含在其系数P i的序号里。 假设Q m(X)是一元m次多项式，同样可以用一个线性表Q来表示： Q=(q m,q(m-1)，.....，q1，q0) 不是一般性，假设吗吗m 多项式各种运算的速算法和多项式方程 【摘要】本节主要写数与多项式相关运算的统一关系，把数的各种运算和数的各种方程的求根方法应用到多项式中来。多项式的各种算式及方程式是不定数 的式子， 而数的各种算式及方程式就是当x=10时，且系数是一位数的定数式 子。因而运算一一相关统一。如二元一次多项式方程组的解法，不仅有加减消元法，同样也有代入消元法；一元二次多项式方程的解法，不仅有公式法，同样还有配方法，十字乘法等。多项式的乘方开方运算及多项式方程，这是教科书上没有的，因此本节可以充实教科文，使多项式的计算领域得以拓展而完善。 【关键词】科学速算法多项式各种运算多项式方程充实教科文拓展完善 多项式的各种运算，教科书上只有加减法和乘除法，而乘方也按乘法一样计算，其速算法不像数的各种运算的速算法研究那么热，甚至几乎没有谈及。在乘法运算中，教科书上都是通过一一展开，然后合并同类项，算法相当繁琐，并且两个因式的项数多了，就很难计算。多项式的开方运算和多项式方程，教科书上一片空白。 中小学数学教材第八册《整式的运算》，这一章写整式的加减法、乘除法（及分解因式），没有写乘方开方，更没有写多项式方程。多项式的加减法和乘除法除了教科书上所写的方法之外，有没有更简捷的算法？多项式能不能开方？多项式方程能不能求解？这些都是本文要研究的问题。 (1)多项式加减法的快速运算； (2)多项式乘除法的快速运算； (3)多项式的乘方及开方的快速运算； (4)多项式方程的求解方法。 多项式的速算法也像数的速算法一样，采取同级（类）项科学速算法；多项式方程也像数的方程解法一样求解。 1.多项式的加减速算法 例1:已知：f（x）＝－6x 7＋5x 6－11x 4＋3x 2－10x＋6 ɡ（x）＝－4x 5－6x 4＋7x 3－9x＋5 如何进行多项式除以多项式的运算 多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算)4()209(2 +÷++x x x 规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x 解法步骤说明： （1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好． （2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项． （3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面． （4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42 +后的一部分． （5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式． （6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x 例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ． 规范解法 ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ． 注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2 245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余 29-x ． 8．什么是综合除法 由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊． 如：计算)3()432(3 -÷-+x x x ． 因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）． 还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形 多项式的运算 第一课时 多项式的加法和减法 教学目的： 1、进一步掌握整式的概念及单项式和多项式的概念。 2、会进行多项式的加法减运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。 教学重点：会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理。 教学难点：正确地去括号、合并同类项，及符号的正确处理。 教学方法：尝试法，讨论法，归纳法。 教学过程： 一、知识准备： 1、填空：整式包括 单项式 和 多项式 。 2、单项式的系数是、次数是 3 。 3、多项式是 3 次 4 项式，其中三次项系数是 3 常数项是 -5 。 二、探索练习： 1、如果用a 、b 分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 10a+b ,交换这个两位数的十位数字和个位数字后得到的两位数为 10b+a 。这两个两位数的和为 11a+11b 。 2、如果用a 、b 、c 分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字，那么这个三位数可以表示为 100a+10b+c ,交换这个三位数的百位数字和个位数字后得到的三位数为 100c+10b+a 。这两个三位数的差为 99a-99c 。 3、议一议：在上面的两个问题中，分别涉及到了多项式的什么运算？说说你是如何运算的？ 4、多项式的加减运算实质就是 合并同类项 。运算的结果是一个多项式或单项式。 三、动脑筋 1、提出问题 P85 给定两个多项式：与，如何求它们的和与差？ 2、独立思考问题 3、与同学交流解法 四、范例分析 3 22y x -32-23523m m m +--852-+x x 3322-+-x x 1、例1(P85) 求多项式 与的和与差 解：()+() 写出算式 = 去括号，注意符号 = 找出同类项将系数相加减 = 合并同类项 ()－() 写出算式 = 去括号，注意符号 = 找出同类项将系数相加减 = 合并同类项 例2求与的差。（师生合做） 解：（）－（） ＝ ＝ ＝ 五、练习与小结 1、练习P86 第1题 2、课堂小结：求多项式的和与差，解题的几个步骤：一是写出和或差的运算式；二是去括号；三是找出同类项，将系数写在一起；四是合并同类项。 六、布置作业：P87 习题4.1 A 组 1题 第二课时 多项式的加法和减法 教学目的： 1、 进一步掌握多项式的加法减运算，并能说明其中的算理。 2、 能化简多项式，再求值的运算，发展有条理的思考及数学语言表达 能力。 3、 会对多项式进行升幂或降幂排列。。 教学重点：会进行多项式加减的运算，多项式的升幂降幂排列。 教学难点：正确地进行多项式的加减运算及按同一字母进行多项式的排列。 教学过程： 一、知识准备 1、怎样进行多项式的加减运算的？ 2、说出下列多项式各项中的各个字母的次数： 3、计算： 852-+x x 3322-+-x x 852-+x x 3322-+-x x 852-+x x 3322-+-x x )38()35()21(2--+++-x x 1182-+-x x 852-+x x 3322-+-x x 852-+x x 3322+-+x x )38()35()21(2+-+-++x x 5232-+x x k k 742+132-+-k k k k 742+132-+-k k k k 742+132+-+k k 1)37()14(2+-++k k 1452++k k 7853322--+y xy y x 数据结构07082018 用链表实现多项式的四则运算 ——数据结构第二次上机作业 班级07082 姓名丁敏 学号07082018 上机时间2011年3月31日 报告时间：2011年4月5日 实验目的： 熟练使用指针，熟悉链表及其操作；利用链表解决实际问题要求： 能够实现任意项有理多项式的加、减、乘、除、求模以及幂运算 多项式的除法注意除不尽的处理 测试用例尽可能多，且说明用例的必要性 用例必须包含一个自己系数为自己的学号 摘要： 多项式的四则运算问题是个很有趣的问题，它类似于有理数的四则运算，但又不仅仅于此.本篇课程论文重点研究了数据结构中多项式的四则运算问题。本论文的程序是通过Microsoft Visual Studio 2010编译，来解决多项式的加、减、乘、除四则运算问题，从而达到了解数据结构的实用性及程序语言对于数学问题研究的重要性的目的。 正文： 0需求分析： 0.1问题描述 编写程序来实现多项式的四则运算。 0.2基本要求 ⑴输入多项式的系数与指数，输入值为float型，输出值为float型； ⑵能够完成多项式之间的四种计算方式（+、-、*、/）。 0.3函数说明 typedef struct PolyNode：结构体变量，定义 int型指数和float 系数； PolyList CreatePolyList()：创建多项式列表，返回头指针； DisplayPolyList(PolyList Poly)：显示多项式； DestroyPolyList(PolyList L)：释放链表所用存储空间； MergePoly(PolyList Poly)：将多项式合并同类项； SortPoly(PolyList Poly)：将多项式按升序排列； PolyList PolyAdd(PolyList PolyA , PolyList PolyB)：多项式相加，返回和多项式链表头指针； PolyList PolySub(PolyList polyA , PolyList polyB)：多项式相减，返回差多项式链表头指针; PolyList PolyMutiply(PolyList PolyA , PolyList PolyB)：多项式相乘，结果由Poly c返回； PolyList PolyDivide(PolyList PolyA , PolyList PolyB)：多项式相除，商和余数用系数为0的结点分开。 1程序执行结果及分析： 1.1执行结果 ⑴ *******多项式的创建******* 请输入多项式的第1项的系数和指数(用逗号分开)：3,2 请输入多项式的第2项的系数和指数：2,0 请输入多项式的第3项的系数和指数：0,0 输入的多项式A: 3.000000*x^2 + 2.000000*x^0 请输入多项式的第1项的系数和指数(用逗号分开)：2,2 请输入多项式的第2项的系数和指数：3,1 请输入多项式的第3项的系数和指数：0,0 输入的多项式B: 2.000000*x^2 + 3.000000*x^1 多项式的四则运算 回顾上节课的知识: （1）单项式：仅含有一些数和字母的乘法(包括乘法）运算的式子叫做单项式 注意:单纯的一个数字和字母也是单项式 练习1:下列单项式各是几次单项式？它们的系数各是多少？ ab -、53n 、22 0.75v t 、xyz 、2 310xy （2）同类单项式（同类项）：如果在几个单项式中,不管它们的系数是不是相同，只要它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同,那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项 注意：所有的常数都是同类项 练习2：（1）下列各组中的两个项是不是同类项,为什么？ 313 ab 和343b a - 4abc 和4ab 20.2x y 和20.2xy mn -和mn 32x 和22x 12和—6 把下列各单项式按同类项分组，能分出几组？ —7、6x 、312 x y 、xyz -、30.5yx -、35x y 、0.1x 、9yxz 、310yx （3)多项式：由有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式 项：多项式里的每个单项式叫做多项式的项 常数项：不含字母的项，叫做常数项 例如：230.52x x ++、3 3x x -、31xy x -++、22a ab b -+、 3322.138x y x z +-…………都是多项式 (4）合并同类项：把同类单项式的相加和相减.其法则是把同类单项式的系数相加和相减，而单项式中的字母及这些字母的乘方指数不变，合并同类项的根据是交换律、结合律以及分配律 由于单项式是一些数与具有数系运算通性的字母的方幂所组成的，就是说,单项式加、乘满足交换律、乘满足交换律、结合律以及分配律 练习3：合并下列同类项 （1）234x x x x +++ （222223xy xy xy -+ #include 实验一-一元多项式运算 实验一一元多项式的运算 1.问题定义及需求分析 1.1课题目的和任务 问题描述：设计一个一元多项式简单计算器。 实验要求： 1)采用顺序表或链表等数据结构。 2)输入并建立多项式。 3)输出运算结果的多项式。 1.2数据形式 输入数据形式：通过键盘输入。 输入值的范围：多项式的项数和指数的输入数据为int型，输入值范围 为-32768至32767；多项式系数的输入值范围为float型，范围为 1.2e-38至3.4e+38。 输出数据形式：输出到显示器。 1.3程序功能 实现两个一元多项式之间的加法、减法和乘法运算。 1.4测试数据 4 //第一个多项式的项数 1 4 //第一项的系数和指数 3 3 //第二项的系数和指数 -2 2 //第三项的系数和指数 6 0 //第四项的系数和指数 5 //第二个多项式的项数 -3 5 //第一项的系数和指数 2 2 //第二项的系数和指数 -6 0 //第三项的系数和指数 -1 -1 //第四项的系数和指数 1.2 -2 //第五项的系数和指数 2.概要设计 2.1抽象数据类型 需要定义一个多项式类型的数据类型，里面包含一个int型的指数和一个float型的系数，再定义一个多项式节点，里面包含一个多项式 类型的数据，和一个指向下一个节点的指针。通过对多项式节点的操作，实现对输入数据的运算。 2.2 开始 输入第一个 多项式的项 数 创建多项式 CreatPolyn() 输入第二个 多项式的项 数 创建多项式 CreatPolyn() 输出第一个 多项式 PrintPolyn() 选择操作 Menu() 加法运算AddPolyn() 减法运算 SubtractPolyn() 乘法运算 MultiplyPolyn() 输出运算后 的多项式 PrintPolyn() 结束 输出第一个 多项式 PrintPolyn() 1加法运算 2减法运算 3乘法运算 多项式的四则运算 回顾上节课的知识： （1）单项式：仅含有一些数和字母的乘法（包括乘法）运算的式子叫做单项式 注意：单纯的一个数字和字母也是单项式 练习1：下列单项式各是几次单项式？它们的系数各是多少？ ab -、5 3 n 、22 0.75v t 、xyz 、 2 310 xy （2）同类单项式（同类项）：如果在几个单项式中，不管它们的系数是不是相同，只要它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项 注意：所有的常数都是同类项 练习2：（1）下列各组中的两个项是不是同类项，为什么？ 3 13ab 和3 43 b a - 4abc 和4ab 20.2x y 和2 0.2xy mn -和mn 32x 和2 2x 12和-6 把下列各单项式按同类项分组，能分出几组？ -7、6x 、3 12 x y xyz -、3 0.5yx -、 3 5 x y 、0.1x 、9yxz 、310yx （3）多项式：由有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式 项：多项式里的每个单项式叫做多项式的项 常数项：不含字母的项，叫做常数项 例如：2 30.52x x ++、3 3x x -+ 、31xy x -++、22 a a b b -+、 332 2.1387 x y x z -+-…………都是多项式 （4）合并同类项：把同类单项式的相加和相减。其法则是把同类单项式的系数相加和相减，而单项式中的字母及这些字母的乘方指数不变，合并同类项的根据是交换律、结合律以及分配律 由于单项式是一些数与具有数系运算通性的字母的方幂所组成的，就是说，单项式加、乘满足交换律、乘满足交换律、结合律以及分配律 练习3：合并下列同类项 （1）234x x x x +++ （22 2 2 2 32 xy xy xy -+- 初一数学(整式的运算)单元测试题（二） 一、填空题：（每空2分，共28分） 1．把下列代数式的字母代号填人相应集合的括号内： A. xy+1 B. –2x 2 +y C.3 xy 2 - D.2 14- E.x 1- F.x 4 G .x ax 2x 8 123-- H.x+y+z133******** I. 3ab 2005 - J. )y x (3 1 + K.c 3ab 2+ (1)单项式集合 ｛ …｝ (2)多项式集合 ｛ …｝ (3)三次多项式 ｛ …｝ (4)整式集合 ｛ …｝ 2．单项式bc a 7 92-的系数是 ． 3．若单项式－2x 3y n-3是一个关于x 、y 的五次单项式,则n = ． 4．(2x+y)2=4x 2+ +y 2． 5．计算：-2a 2(2 1 ab+b 2)-5a(a 2b-ab 2) = ． 6．3 22 43b a 21c b a 43? ? ? ??-÷??? ??-= ． 7．-x 2与2y 2的和为A ，2x 2与1-y 2的差为B ， 则A －3B= ． 8．()()()()()=++++-884422y x y x y x y x y x ． 9．有一名同学把一个整式减去多项式xy+5yz+3xz 误认为加上这个多项式，结果答案为 5yz-3xz+2xy ，则原题正确答案为 ． 10．当a = ,b = 时，多项式a 2+b 2-4a+6b+18有最小值． 二、选择题（每题3分，共24分） 1．下列计算正确的是（ ） （A ）532x 2x x =+ （B ）632x x x =? （C ）336x x x =÷ （D ）62 3x x -=-）（ 2．有一个长方形的水稻田，长是宽的2.8倍，宽为6.5210?，则这块水稻田的面积是（ ） （A ）1.183710? （B ）510183.1? （C ）71083.11? （D ）610183.1? 3．如果x 2－kx －ab = （x －a ）（x ＋b ）, 则k 应为（ ） （A ）a ＋b （B ） a －b （C ） b －a （D ）－a －b 4．若（x －3）0 －2（3x －6）－2 有意义，则x 的取值范围是（ ） （A ） x >3 （B ）x ≠3 且x ≠2 （C ） x ≠3或 x ≠2 （D ）x < 2 单项式乘多项式练习题 一．解答题（共18小题） 1．先化简，再求值：2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣ab2﹣2，其中a=﹣2，b=2． 2．计算： （1）6x2?3xy （2）（4a﹣b2）（﹣2b） 3．（3x2y﹣2x+1）（﹣2xy） 4．计算： （1）（﹣12a2b2c）?（﹣abc2）2=_________； （2）（3a2b﹣4ab2﹣5ab﹣1）?（﹣2ab2）=_________． 5．计算：﹣6a?（﹣﹣a+2）6．﹣3x?（2x2﹣x+4） 7．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2 8．（﹣a2b）（b2 ﹣a+） 9．一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽（a+2b）米，坝高米． （1）求防洪堤坝的横断面积； （2）如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？ 10．2ab（5ab+3a2b）11．计算：． 12．计算：2x（x2﹣x+3）13．（﹣4a3+12a2b﹣7a3b3）（﹣4a2）=_________． 14．计算：xy2（3x2y﹣xy2+y）15．（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣4b2） 16．计算：（﹣2a2b）3（3b2﹣4a+6） 17．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？ 18．对任意有理数x、y定义运算如下：x△y=ax+by+cxy，这里a、b、c是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a=1，b=2，c=3时，l△3=1×l+2×3+3×1×3=16，现已知所定义的新运算满足条件，1△2=3，2△3=4，并且有一个不为零的数d使得对任意有理数x△d=x，求a、b、c、d的值． 课程设计（论文） 目录 一、问题分析 (1) 1.1 问题描述 (1) 1.2 问题的数学模型 (1) 1.3 构造数据结构 (1) 二、系统分析 (2) 2.1 可行性研究 (2) 2.2 系统结构与主要功能模块 (2) 三、系统设计 (4) 3.1系统设计目的与要求 (4) 3.2系统设计内容 (4) 3.3功能算法描述与数据结构说明 (4) 四、系统实现 (7) 五、调试及运行结果 (12) 六、收获和体会 (13) 附录 (14) 1 问题分析 1.1 问题描述 设计一个n元多项式程序，并完成多项式的乘法运算。从实际的角度出发，这里设计的程序是基于一元n次多项式的数学模型。 1.2 问题的数学模型 在数学上，一个一元多项式Pn(x)可按升幂写成：Pn(x)=a 0+a1 x+a2 x^2 +…+a n x^n-1 .它由n+1个系数惟一确定，因此，在计算机里，它可用一个线性表P来表示：Pn=(a0,a1,a2,…,an)每一项的指数i隐含在其系数ai的序号里。 多项式的乘法规则：多次运用单项式与多项式相乘的法则得到的．计算时(a+b)(m+n)，先把(m+n)看成一个单项式，(a+b)是一个多项式，运用单项式与多项式相乘的法则，得到(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n),然后再次运用单项式与多项式相乘的法则。 1.3 构造数据结构 通过分析多项式的特征，不难看出多项式是由单项式构成的，而每个单项式都具有系数和指数，当系数为0时，该项就失去了意义，在计算机内要表示一个多项式，至少以下数据信息：系数信息、指数信息和指向下一个单项式的指针。通过指针，我们就可以把多个单项式连接起来，形式一个多项式，需要说明的是从广义的角度讲，单项式也是一个多项式。基于以上的分析，我们定义多项式的数据结构为如下结构体形式： typedef struct Polynomial{ float coef;//系数 int expn;//指数 struct Polynomial *next;//指向下一个结点 }*Polyn,Polynomial; //Polyn为结点指针类型 多项式混合运算 一、填空 1..___________))((22=x a ax 2.3522)_)((_________y x y x -= 3..__________)()()3(343=-?-?-y x y x 4.._____________)2 1(622=?-abc b a 5._____________)(4)3(523232=-?-b a b a 6..______________21511=??--n n n y x y x 7.._____________)2 1()2(23=-?-?mn mn m 8.._______________)104)(105.2)(102.1(9113=??? 9.（﹣12a 2b 2c ）?（﹣abc 2）2 = _________. 10.（3a 2b ﹣4ab 2﹣5ab ﹣1）?（﹣2ab 2）= _________ 11.若(x ＋a)(x ＋2)＝x2－5x ＋b ，则a ＝__________，b ＝__________． 12. 若a 2＋a ＋1＝2，则(5－a)(6＋a)＝__________． 13. 当k ＝__________时，多项式x －1与2－kx 的乘积不含一次项． 14. 若(x 2＋ax ＋8)(x 2－3x ＋b)的乘积中不含x 2和x 3项，则a ＝_______，b ＝_______． 15. 如果三角形的底边为(3a ＋2b)，高为(9a 2－6ab ＋4b 2)，则面积＝__________． 二、解答 （1）)83(4322yz x xy -? （2）)3 12)(73(3323c b a b a - （3）)125.0(2.3322n m mn - （4）)5 3(32)21(322yz y x xyz -??- (5)（3x 2y ﹣2x+1）（﹣2xy ） （6）(x ＋2)(x ＋3)－(x ＋6)(x －1) (7)(3x 2＋2x ＋1)(2x 2＋3x －1) （8）(3x ＋2y)(2x ＋3y)－(x －3y)(3x ＋4y) 初一数学多项式的运算知识点总结： 同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 积的乘方 积的乘方，等于各因数乘方的积。 三个或三个以上因式的积的乘方，也具有这一性质。 (1)(abc)n＝(ab)n c n＝a n b n c n。 即(abc)n＝a n b n c n(n为正整数)。 同底数幂的除法 一般地，n m n m a a a -=÷（0≠a ，m 、n 都是正整数） 这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减. 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 即：(m ＋n)(a ＋b)=ma ＋mb ＋na ＋nb 。 平方差公式： ()()22b a b a b a -=-+ 完全平方公式： ()222 2b ab a b a +±=± 熟记并掌握以下乘法公式： 1、十字相乘公式：（x+a ）(x+b)= ; 2、平方差公式：(a+b)(a-b)= ; 3、完全平方公式：(a+b)2= ；（a-b ）2 = ; 三数和的完全平方公式：(a+b+ c)2 = ； 4、立方和公式：(a+b)(a 2-ab+b 2 ) = ; 立方差公式：(a-b)(a 2+ab+b 2 ) = . 课后练习 一、选择题（每题3分，共30分） 1、4 4 2 2 1625)(______)45(b a b a -=+-括号内应填（ ） A 、2245b a + B 、2245b a + C 、2245b a +- D 、2 245b a -- 2、下列计算正确的是（ ） A 、2 2 ))((y x x y y x -=-+ B 、2 2 2 44)2(y xy x y x +-=+- C 、2224 1 4)212(y xy x y x +-=- D 、2224129)23(y xy x y x +-=-- 3、在2 2 2 2 2 2 2 )())(3(,)()2(),5)(5()5()1(b a b a y x y x x x x +=--+=+-+=-+ #include #include 多项式各种运算的速算法和多项式方程
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