数学解题中的思考
------分类讨论思想的应用
【摘要】解数学问题往往可以有众多的思想方法，如转化化归，数形结合，分类讨论，数学建模等等，而在这些思想方法中分类讨论是一种重要的数学思想，学习数学的过程经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的分类，代数式的分类等等，在研究数学问题中常常需要通过分类讨论解决问题，本文从渗透在教材中的分类思想出发，结合例题阐述了分类讨论的思想，分类的原则，分类讨论的应用，从而体现分类讨论思想在初中数学解题中的作用和地位。
【关键词】分类讨论的思想分类的原则分类讨论的应用
数学课程标准明确提出数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，数学教学中如何挖掘课本中所蕴含的数学思想方法，如何有效的进行数学思想方法教学，如何培养和发展学生的数学思想已经成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一项重要课题。在新课程中，分类思想在教材中的体现是丰富多彩的，在整个初中阶段很多问题都用了分类的思想，将不同的事物分为不同的种类，寻找它们各自的共同点及内在的规律性。一．分类讨论的思想
所谓分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思，数学中的分类过程就是对事物共性的抽象过程，解题时要使学生体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程如何认识事物的属性，如何区分不同事物的不同属性，通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想，它体现了化整为零，化零为整与归类整理的思想，它:揭示着数学事物之间的内在规律，学会分类有助于学生总结归纳所学的知识，使所学的知识条理化，提高思维的概括性，从而提高分析问题和解决问题的能力。
我们在运用分类讨论的思想解决问题时，首先要审清题意，认真分析可能产生的不同因素，进行讨论时要确定分类的标准，每一次分类只能按照一个标准来分，不能重复也不能遗漏，另外还要逐一认真解答。我们平时在解决问题时还经常碰到这样的情况，当问题解答到某一步骤后，需要按一定的标准来分为若干个子问题进行讨论，这样常常可以使问题化繁为简，更清楚地暴露事物的属性。
案例1：某服装厂生产一种西装和领带。西装每套定价200元，领带每条定价40元，厂方在开展促销活动期间向顾客提供两种优惠方案。方案一：买一套西装送一条领带，方案二：西装领带均按定价打9折（两种优惠方案不可同时采用）某店老板要去厂里购买20套西装和若干条领带（超过20条）请帮店老板选择一种较省钱的购买方案？
分析：因为已知条件中未明确购买领带的数量，因而较省钱的购买方案也是不确定的，而是由不同的领带购买数量决定的
解：设店老板需购买领带x条
方案一购买需要付款200×20＋（x－20）×40＝40x＋3200（元）
方案二购买需要付款（200×20＋40x）×0.9＝36x＋3600（元）
假设y＝(40x＋3200)－(36x＋3600)＝4x－400（元）
（1）当y＜0时,即20＜x＜100,方案一比方案二省钱
（2）当y＝0时,即x＝100,方案一和方案二同样省钱
（3）当y＞0时,即x＞100,方案二比方案一省钱
答：当购买领带超过20条而不到100条时，方案一省钱，当购买领带等于100条时，两种方案一样省钱，当购买领带超过100条时，方案二省钱
二．分类的原则
分类讨论必须遵循一定的原则进行，在初中阶段我们经常用到以下几个原则
1.同一性原则
分类应该按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类依据，否则会出现重复的现象，例如有些同学认为三角形可以分为等腰三角形，等边三角形，锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，这样的分类是错误的，不但以边来分类而且以角来分类，等腰三角形可以是锐角三角形，钝角三角形或直角三角形，这样的分类犯了标准不同的错误
2.互斥性原则
分类后的每一个子类应该具备互不相容的原则，即不能出现有一项既属于这一类又属于那一类。例如学校举行运动会，规定每个学生只能参加一项比赛，初一六班的6名同学报名参加100和200米的赛跑，其中有4人参加100米比赛，3人参加200米比赛，那么就有1人既参加100米又参加200米比赛，这道题目分类的互
斥性原则
3.完整性原则
分类后的每一个子类合并起来应该等于总类，否则会出现遗漏的现象。例如某人把实数分为正实数和负实数，这样的分类是不完整的，因为零也是实数，但是零既不是正实数也不是负实数。
4.多层性原则
分类后的子类还可以继续再进一步分类，直到不能再分为止。例如实数可以分为有理数和无理数，有理数可以分为整数和分数，整数可以分为正整数，零和负整数
三．分类讨论的应用
我们用分类讨论的思想解决问题的一般步骤是：
（1）先明确需讨论的事物及讨论事物的取值范围
（2）正确选择分类的标准，进行合理的分类
（3）逐类讨论解决
（4）归纳并作出结论
下面浅谈一下分类讨论在初中阶段的一些简单的应用：
1.分类讨论在应用题中的应用
案例2：学校建花坛余下24米漂亮的小围栏，经总务部门同意，初一五班的同学准备在自己教室后的空地上建一个一面靠墙，三面利用这些围栏的花圃，请你设计一下，使花圃的长比宽多3米，求出花圃的面积是多少？分析：因为已知条件中并没有明确长和宽的位置,所以需要对长和宽的位置进行讨论
解：(1)假设平行于墙的一边为长x 米，则宽为(x －3)米，依题意可列方程
x ＋2(x －3)=24
解方程得x ＝10
经检验，符合题意
长为10米，宽为7米，面积为70平方米
（2）假设垂直于墙的一边为长x 米，则宽为(x －3)米，依题意可列方程
2x ＋(x －3)=24
解方程得x ＝9
经检验，符合题意
长为9米，宽为6米，面积为54平方米
答：当平行于墙的一边为花圃的长时花圃的面积是70平方米，当垂直于墙的一边为花圃的长时花圃的面积是54平方米。
学生在解此类题的错误往往是因为不认真审题，没有弄清已知条件中的各种可能情况而急于解题所造成，只有审清了题意，全面系统地考虑问题，才可以确定出各种可能情况，解答此类问题就不会造成漏解
2.分类讨论在绝对值方程中的应用
关于绝对值的问题，往往要将绝对值符号内的代数式看成一个整体，将这个整体分为正数，负数，零三种，再分别进行讨论。
案例3：求方程︳x ﹢2︳﹢︳3﹣x ︳＝5的解
分析：本题应该对于代数式︳x ﹢2︳应分为x ＝﹣2,x ﹥﹣2,x ﹤﹣2，对于︳3﹣x ︳应分为x ＝3,x ﹥3,x ﹤3，把上述范围画在数轴上可见对这一问题应划分以下三种情况分别讨论
解：①当x ≦﹣2时，原方程变为﹣﹙x ﹣2﹚﹢3﹣x ＝5，解得x ＝0与x ≦﹣2产生矛盾，故在x ﹤﹣2时原方程无解
②当﹣2﹤x ≦3时，原方程为x ﹢2﹢3﹣x ＝5恒成立，故满足2﹤x ≦3的一切实数x 都是此方程的解③当x ﹥3时，原方程为x ﹢2﹣﹙3﹣x ﹚＝5，解得x ＝3这与x ﹥3产生了矛盾，故在x ﹥3时原方程无解综上所述，原方程的解是满足2﹤x ≦3的一切实数。
3．分类讨论在解含有参数问题中的应用
所有含有参数的问题都要进行分类讨论，而且要对参数的不同取值范围分类讨论，不能有重复和遗漏。案例4：若关于x 的分式方程131=---x
x a x 无解，求a 的值解：方程两边同乘以x ﹙x ﹣1﹚，得﹙x ﹣a ﹚x ﹣3﹙x ﹣1﹚＝x ﹙x ﹣1﹚
整理得﹙a ﹢2﹚x ＝3
①当a ﹢2＝0即a ＝﹣2时，方程无解，则原方程也无解
②当x ＝1时方程无解，此时a ﹢2＝3，得a ＝1
③当x ＝0时方程无解，此时﹙a ﹢2﹚×0＝3无解
综上所述，a 的值为1或﹣2
4．分类讨论在解几何题中的应用
分类讨论思想在几何题中有广泛的应用，在有关点与线的位置关系，直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，等腰三角形等的题目中都需要进行分类讨论。
案例5：等腰三角形中，有一个角是另一个角的4倍，求等腰三角形的一个底角的度数？
分析：本题应该分为底角是顶角的4倍和顶角是底角的4倍两种情况进行讨论
解：（1）当一个底角的度数为x 度，顶角是4x 度时
依题意列方程x ﹢x ﹢4x ＝180解得x ＝30，底角等于30度
（2）当一个底角的度数为4x 度，顶角是x 度时
依题意列方程4x ﹢4x ﹢x ＝180解得x ＝20，底角等于80度
综上所述，等腰三角形的底角为30度或者80度。
5．分类讨论在解概率题中的应用
在求简单事件的概率时，我们通常会用“列表”或者是“画树状图”的方法来列举所有机会均等的结果，然后找出该事件所包含的结果，从而求出该事件发生的概率。事实上“列表”或者是“画树状图”的方法就是分类讨论的思想方法最直接的体现。
案例6：同时抛掷3枚普通的硬币一次，问得到“两正一反”的概率是多少
分析：每一个硬币都有正面和反面，我们可以用画树状图的方法分析先抛第一枚，再抛第二枚，最后抛第三枚，可知共有8种机会均等的结果它们是（正正正）（正正反）（正反正）（反正正）（反反正）（反正反）（正反反）（反反反），其中两正一反的结果有3种，可以求得概率是八分之三。
6．分类讨论在解函数题中的应用
分类讨论的思想方法贯穿于初中阶段学过的所有的函数中，一次函数y ＝kx ﹢b ﹙k ≠0﹚要对k ，b 取值范围进行分类讨论，反比例y=k ﹙k ≠0﹚函数要对k 的取值范围进行分类讨论，二次函数y ＝ax 2﹢bx ﹢c ﹙a ≠0﹚要对a 的取值范围进行分类讨论案例7：求二次函数y ＝ax 2﹢﹙3﹣a ﹚x ﹢1﹙a ≠0﹚与x 轴只有一个交点，求a 的值与交点坐标
解：①当a ＝0时，此函数为一次函数y ＝3x ﹢1与x 轴只有一个交点，交点坐标是（－3
1，0）②当a ≠0时，此函数是二次函数，因二次函数与x 轴只能有一个交点则判别式为零﹙3﹣a ）2﹣4a ＝0
解得a ＝1或a ＝9
当a ＝1时,与x 轴的交点坐标是（﹣1，0）
当a ＝9时,与x 轴的交点坐标是（3
1，0）【结语】分类讨论思想的应用非常广泛，涉及到初中的全部知识点，这里不能一一列举出来，分类讨论思想的关键是分清引起分类的原因，明确分类讨论的事物和标准，按可能出现的所有情况做出准确分类，再分门别类加以求解，最后将各类结论综合归纳，得出正确答案。数学中的分类思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类思想的训练，有利于提高学生对学习数学兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。
参考文献：
（1）2011年版义务教育数学课程标准
（2）任百花：初中数学思想方法教学研究（3）江国安：初中数学综合题的教学探索（4）赵峰：浅谈分类讨论思想在解题中的应用（5）王奎文：增强中学生的数学应用意识
专题一初中数学（特殊值法） (1)题目中没有出现具体的数据，只有倍数关系 （猜）（初一）1．一个圆柱的底面半径比一个圆锥的底面半径多3倍，高是原来的1/4，则这个圆柱的体积是原来圆柱体积的（） A、3/4 B、27/4倍 C、12倍 D、4/3倍 （猜）（初三）2.AB=2/3AH，AG=2/3AM，三角形ACF的面积是四边形CIKE的（） （猜）（初三）3.圆O被A,B,C,D,E,F,G,H八等分，求 ①∠BEC=（）度 ②与线段AB相等的线段有（）条（不包括自己） ③BC( )1/2CE (填等于大于小于) ④八边形ABCDEFGH是圆O面积的（） （初二）4. 已知关于x的一次函数y=ax-a+1和y=(a-1)x-a+2，它们的图象交点是。 （初一）5.若a<-2，则3-│3-│a-3││化简的结果是（）
A、3-a B、3+a C、-3-a D、a-3 （初一）6.当m＜0时，m与m的大小关系为（） A、m＞m B、m＜m C、m=m D、无法确定 ★（初二）7. （初一）8.已知有理数a、b满足a＞b，则下列式子正确的是（） A．-a＜b B. a＞-b C. -a＜-b D. -a＞-b ★（初三）9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点（－2，0），（，0），且。与y轴的正半轴的交点在点（0，2）的下方，则下列结论①a＜b＜0；②2a＋c＞0；③4a＋c＜0；④2a－b＋1＞0中正确的是。（写出序号） （初二）10．若a、b满足，则的值为。 ★（初三）11. （初一）12.若x＞0，y＜0，且│x│＜│y│，则x+y 0。 若x<0 ，y<0，且│x│＞│y│，则x+y 0 。 ★（初二）13. A、a、b、c都不小于0 B、a、b、c都不大于0 C、a、b、c至少一个小于0 D、a、b、c至少一个大于0
小学五年级数学应用题大全 （一）1、六年级同学收集了180个易拉罐，其中的1/3是一班收集的，2/5是二班收集的。两个班各收集多少个？ 2、小红体重42千克，小云体重40千克，小新的体重相当于小红和小云体重总和的1/2。小新体重多少千克？ 3、六年级三个班学生帮助图书室修补图书。一班修补了54本，二班修补的本数是一班的5/6，三班修补的是二班的4/3。三班修补图书多少本？ 4、小丽比小兰多12彩色画片，这个数目正好相当于小兰画片数的3/10。小兰有多少彩色画片？小丽有多少？ 5、六年级有学生111人，相当于五年级学生人数的3/4。五年级和六年级一共有多少人？ 6、小刚家买来一袋面粉，吃了15千克，正好是这袋面粉的3/4。这袋面粉还剩多少千克？ 7、光明小学美术组有30人，生物组的人数是美术组的1/3，航模组的人数是生物组的4/5。航模组有多少人？ 8、某饲养场养了2400只鹅，鹅的只数是鸭的3/4，鸭的只数是鸡的4/5，饲养场养了多少只鸡？ 9.五个同学有同样多的存款，若每人拿出16元捐给“希望工程”后，五位同学剩下的钱正好等于原来3人的存款数。原来每人存款多少？ (二) 1、一个长方体沙坑，长4米，宽2米，深0.5米，如果每立方米黄沙重1.4吨，这黄沙重多少吨？ 2、一个长方体，底面积是30平方分米，高3米，它的体积是多少立方分米？
3、我们学校要粉刷教室，教室长8米，宽7米，高3.5米，扣除门窗、黑板的面积13.8平方米，已知每平方米需要5元涂料费。粉刷一个教室需要多少钱？ 4、一个商品盒是棱长为6厘米的正方体，在这个盒的四周贴上商标，贴商标的面积最大是多少平方厘米？ 5、把长8厘米，宽12厘米，高5厘米长方体木块锯成棱长2厘米的正方体木块，可锯多少块？ 6、一个底面是正方形的长方体木料，长是5米，把它截成4段，表面积增加36平方米，求长方体的体积？ 7. 一块长40厘米、宽30厘米的长方形铁板，把它的四个角分别切掉边长为4厘米的正方形，然后焊接成一个无盖的盒子。它的容积是多少升？ 8、一个长方体铁皮水箱，长18分米，宽10分米，已知这个水箱最多可装水1620升，这个水箱有多深？ 9、一个盛药水的长方体塑料箱，里面长是0.6米，宽0.25米，深0.5米，如果把这一整箱药水装入每瓶可装400毫升的小瓶中，这箱药水最少装多少瓶？ 10、一个正方体钢坯棱长6分米，把它锻造成横截面是边长3厘米的正方形的长方体钢材，钢材长多少米？ 11、一个长方体油桶，底面积是18平方分米，它可装43.2千克油，如果每升油重0.8千克，油桶的高是多少分米？ 12、在一只长25厘米，宽20厘米的玻璃缸中，有一块棱长10厘米的正方体铁块，这时水深15厘米，如果把这块铁块从缸中取出来，缸中的水深多
小学四年级下册解方程练习题 姓名班别得分 4+x=7+5 4+x-2=7 x-6=9+3 9+3=17- x 16+2x =24+x 4x+2=18 24-x =15+2x 2+5x=18+3x 6x-2=3x+10 3(x+6) =2+5x 2(2x-1)=3x+10 30-4(x-5)=2x-16 2(x+4) -3=2+5x 100-3(2x-1)=3-4x 30+4(x-5)=2x-26 20x-50=50 28+6 x =88 32-22 x =10 24-3 x =3 10 x ×（5+1）=60 99 x =100- x 36÷ x=18 x÷6=12 56-2 x =20 36÷ x-2=16 x÷6+3=9 56-3x =20-x 4y+2=6 x+32=76 3x+6=18 16+8x=40 2x-8=8 4x-3×9=29 8x-3x=105 x-6×5=42+2x 2x+5=7 × 3 2（x+3）+3=13 12x-9x=9 6x+18=48 56x-50x=30 5x=15（x-5） 78-5x=28 32y-29y=3 5（x+5）=15 89 – 9x =80 100-20x=20+30x 55x-25x=60 76y÷ 76=1 23y÷ 23=23 4x-20=0 80y+20=100-20y 53x-90=16 2x+9x=11 12（y-1）=24 80÷ 5x=100 7x÷ 8=14 65x+35=100 3X+5X= 48 14X-8X=12 6×5+2X=44 20X- 50=50 28+6X=88 32-22X=10 24-
类比法 （一）什么叫类比法 类比法是一种从个别到个别（或从特殊到特殊）的推理方法．它是在甲、乙两个（或两类）事物之间进行对比，从它们的某些类似或相同（相异）的属性出发，根据甲具有某一种属性，推出乙可能也有与之类似或相同（相异）的另一属性． 在数学中，类比法推理的基本公式是： 因为，对象A有属性a、b、c，对象B有属性a′、b′（a′，b′分别与a、b相同或类似），所以，对象B也可能有属性 c ′（c ′与c相同或类似）． 由于类比推理把人们对甲类事物的认识推移（推广）到对乙类事物的认识，扩大了认识领域，所以，类比是从旧知识推出新知识的一种思考方法，是启发人们联想的思维工具，是创造性思维的一种形式． （二）类比法在立体几何中的应用 类比法在立体几何中主要有下列三方面的应用： 1．学习新知识 学习立体几何教材，最基本的方法之一是与平面几何类比． 学习立体几何时，对出现的新问题与平面几何的有关知识进行类比，大胆猜想，可以发现新知识，从而达到温故而知新． 首先要选好类比对象．例如，选三角形与三棱锥．这是因为，在平面上，用直线围成的封闭图形中，三角形所用的直线条数最少；在空间中，用平面围成的封闭图形中，四面体所用的平面个数最少，所以，三棱锥与三角形可以类比． 例1 如何用类比法学习三棱锥的体积公式． 【解】用类比法学习三棱锥的体积公式可分下列两步进行： （1）类比发现三棱锥的体积公式
如图1-17，因为三角形的底边长a 对应三棱锥的底面积S ，三角形的底边a 上的高h 对应三棱锥的底面S 上的高H ，三角形的面积公式A= （2）类比发现三棱锥体积公式的证法 证明三角形的面积公式是用割补法，即把三角形补成一个平行四边形，易得三角形的面积是平行四边形的面积之半．类似地，证明三棱锥的体积公式，应先把它补成一个三棱柱，然后再分割成三个等积的三棱锥（参看高中课本《立体几何》）． 2．发现新定理和编制新命题 科学家开普勒（Kepler ）说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的．” 在立体几何中，类比法是发现新定理和编制新命题的一个主要工具． 例2 把直三面角（即三个面角都是直角）与直角三角形类比，对直角三角形的勾股定理，你能发现直三面角有什么新定理？ 【解】如图1-18，在Rt △ACB 与直三面角P-ABC 中，Rt △ACB 的两条直角边长a 、b 对应直三面角P-ABC 的三个直角三角形PAB 、PBC 、PAC 的面积S △PAB 、S △PBC 、S △PAC ，Rt △ACB 的斜边长c 对应直三面角P-ABC 的△ABC 的面积S △ABC ，因此，与 直角三角形的
利用特殊值法巧解中考数学填空题利用特殊值法巧解中考数学填空题 解法二：取AE=AG的特殊位置(如图2-3)，则四边形AGPE、PFCH都是正方形。由矩形PFCH的面积为矩形AGPE面积的2倍，得出PH=-PE ∵PA=-PE ∴PH=PA，易得PA=PH=PF，以P为圆心，PA为半径画圆，则∠HPF=90°∴∠HAF=45° [点评]：这道题若按常规做法解题，过程非常繁杂；针对填空题的特点，采用特殊值法，则非常方便。解法一，主要利用相似三角形的性质和勾股定理的知识，解法与学生的想法基本吻合；解法二，通过作圆的辅助线，由同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系，得出结论，具有思路新颖，解法简单的特点。 例4.如图3-1所示，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN 的周长为____。(2019年辽宁省沈阳市中考题) [解析]：由题意可知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，M、N是在满足∠MDN=60°前提条件下AB、AC边上的动点，在移动过程中肯定存在MN∥BC的情况,取MN∥BC 的特殊位置，可以非常简单的求出△AMN的周长。 取MN∥BC的特殊位置，过D点作DH⊥MN垂足为H(如图3-2)，
可得△MDN也是等边三角形，∠BDM=∠HDM=30°， ∠MBD=∠MHD=90°，△MBD≌△MHD，∴MB=MH；同理可证，NC=NH，最后可得△AMN的周长=AB+AC=6。 [点评]：常规作法是延长NC到H点，使CH=BM，先证明 △DCH≌△DBM，得出∠BDM=∠CDH，∠NDH=∠NDM=60°，再证△NMD≌△NHD，得出NM=NH，最后得出△AMN的周长等于AB+AC=6。与常规作法相比，特殊值法的解法比较简单。 总之，利用特殊值法解决有关填空题，特别是对一些难度较大的题，会有很好的解题效果，这种解法充分体现了“特殊与一般”的辩证唯物主义的思想。 最后，提醒同学们两点： ①不是所有的填空题都适用特殊值法，所以一定要认真审题，要根据题的特点决定能否采用特殊值法。 ②采用特殊值法，设特殊的值或特殊的点时，一定要在允许的范围内。
四年级下册数学应用题 练习题库 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
四年级下册数学应用题练习 1.学校买来5盒羽毛球，每盒12只。用去20只，还剩下多少只？ 2、学校买来3个篮球，共花了96元；又买来一个足球，花了40元。买一个篮球和一个足球需要多少元？两种球的单价相差多少元？ 3、王霞买来一本140页的故事书，已经看了86页。剩下的计划6天看完，每天要看多少页？ 4、一把椅子的价钱是25元，一张桌子的价钱是一把椅子的3倍。买一把椅子和一张桌子共用多少元？ 5、班里图书角有58本故事书、34本科普读物。要放在一个4层的书架上，平均每层要放多少本书？ 6、李丽和王敏同时做纸鹤，李丽每小时做12只，王敏每小时做14只，做了3小时，两个人一共做了多少只纸鹤？ 7、同学们参加爬山比赛，女同学分成了4组，每组有15人。参赛的男同学有76名，一共有多少名同学参加爬山比赛？ 8、王大伯进县城卖了9只兔子，每只22元。还卖1只羊，得160元。 （1）王大伯的兔子和羊一共卖了多少钱？ （2）王大伯用卖兔子和羊的钱买了4瓶农药，每瓶13元。王大伯还剩多少钱？ 9、一桶3Kg的油42元，一桶5Kg的油65元，哪种瓶装的油便宜？ 10、一件上衣65元，一条裤子28元。（1）买4件上衣比4条裤子多花多少钱？（2）用150元钱买2套衣服，够吗？ 11、有两根铁丝，第一根长35米，第二根的长度比第一根的4倍多2米。第二根长多少米？
12、一个长方形的操场周长是400米，长是宽的3倍，这个操场的长和宽各是多少米？ 13、有两个同样的长方形，长是8分米，宽是4分米。如果把它们拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少分米？如果拼成一个正方形，这个正方形的周长是多少分米？ 14、冬冬借了一本科技书有40页，一周后归还，他每天准备看6页，能按时归还吗？ 15、三（2）班有44人，老师准备分成8个小组讨论，每组可分几人，还剩几人？ 16、用一段长4米的布料可以裁5件同样大小的背心。做一件背心要用多少布？ 17、一头小象重4吨，用一辆载重10吨的大货车运，一次最多能运几头小象？ 18、红旗连锁店原有瓶干632袋，卖出385袋，又运来200袋，这时店里有多少袋瓶干？ 19、学校买来810本练习册，一年级领走168本，二年级领走165本，还剩多少本？ 20、一列火车的第10号车厢原有116人，到某站后，有58人下车，有45人上本。再开车时，这节车厢有多少人？ 21、一台VCD要238元，一台扫描仪要458元，爸爸带了800元钱。够不够？ 22、张大爷打了700斤鱼，上午卖出523斤，下午比上午少卖出394斤。 （1）下午卖了多少斤？（2）这一天一共卖了多少斤？（3）还剩多少斤？ 23、小明和姐姐一道去书店，姐姐买一本《英语辞典》用去87元，小明买一本科技类的书用去24元。姐姐付给收银员150元，应找回多少元？ 24、要给一幅长30厘米，宽26厘米的画做画框。画框的周长至少是多少厘米？ 25、用两个长4厘米，宽3厘米的长方形拼成一个大长方形。大长方形的周长可能是多少？ 26、向阳小学的操场是一个长方形，长100米、宽65米。小强围着操场跑了2圈，小强一共跑了多少米？ 27、有学生31人，老师2人。每船限乘4人，至少要租多少条小船？
解方程 一、解方程。 y-24=45 2.5÷6=2.5 3x+2.4x=10.8 (26-x)÷12=0.5 5.3x-0.9x=14.7 32.8-9x=17.5 二、列式计算。 （1）比一个数的4倍多4.35的数是23.55，求这个数。 （2）96比一个数的2.5倍多6，这个数是多少？ （3）一个数的6倍与这个数的5倍的和是89.1，这个数是多少？ （4）一个数的5倍比这个数的2倍多10.5，求这个数。
（5）72除以0.9的商，乘2.06与1.34的差，积是多少？ （6）26.8减去2.3与3.5的和再除以3.2，商是多少？ 三、根据题意，写出数量关系式。 （1）商店运来一批水果，苹果和梨一共180筐。 （2）小红和妈妈的年龄加在一起是45岁。 （3）妈妈去超市买了3斤香蕉，5斤苹果共12元。 （4）长是宽的2倍。 （5）我的体重是小明的3倍。 （6）母鸡的只数比公鸡多100只。 （7）四年级男生人数比女生少5人。 （8）爸爸的体重比小明的4倍多10千克。 （9）桐树的棵树比杨树的3倍少12棵。 四、列方程解应用题。 1.四年级同学在这次劳动中共浇树165棵，比二年级小同学浇树棵树的4倍少7棵，二年级浇树多少棵？ 2.小明本学期获得的爱学习卡片是36张，比爱劳动卡片的3倍多6张，小明获得了多少爱劳动卡片？
3.一根铁丝长54厘米，用它围城一个长方形，使长是宽的2倍，长和宽各是多少厘米？ 4.甲、乙两地相距345千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出，3小时相遇，客车每小时行55千米，货车每小时行多少千米？ 5.妈妈去超市买了4瓶饮料和7瓶牛奶，共用去63元，饮料每瓶3.5元，牛奶每瓶多少元？ 6.买3枝铅笔比1枝圆珠笔多花0.5元，每枝圆珠笔3.4元，每枝铅笔多少元？ 7.张丽妈妈的年龄是张丽年龄的4倍，张丽比妈妈小27岁，她们两人年龄各是多少岁？
应用数学题库1-0-8
问题： [单选]在数据处理过程中，人们常用“四舍五入”法取得近似值。对于统计大量正数的平均值而言，从 统计意义上说，“四舍五入”对于计算平均值（） A.不会产生统计偏差 B.产生略有偏高的统计偏差 C.产生略有偏低的统计偏差 D.产生忽高忽低结果，不存在统计规律 从统计意义上说，正数的分布是随机的。而计算平均值而言，其最后的结果是“入”还是“舍”，也是随机的。就最后取舍的某一位而言，就是0～9之间的10位数字，对于0、1、2、3、4采取“舍”，对实际的数据影响是0、-1、-2、-3、-4。对于5、6、7、8、9采取“入”，对实际的数据影响是+5、+4、+3、+2、+1。因为各位数字出现的情况是等概率的，因此“入”的影响要大于“舍”的影响，所以，对于计算 正数平均值而言，会产生略有偏高的统计结果。
问题： [单选]图18-11标出了某地区的运输网。各结点之间的运输能力如表18-6（单位：万吨小时）。从结点 ①到结点⑥的最大运输能力（流量）可以达到（）万吨／小时。 A.26 B.23 C.22 D.21
问题： [单选]某学院10名博士生（B1～B10）选修6门课程（A～F）的情况如表18-7所示（用√表示选修）。现需要安排这6门课程的考试，要求是： （1）每天上、下午各安排一门课程考试，计划连续3天考完。 （2）每个博士生每天只能参加一门课程考试，在这3天内考完全部选修课。 （3）在遵循上述两条的基础上，各课程的考试时间应尽量按字母升序做先后顺序安排（字母升序意味着课程难度逐步增加）。 为此，各门课程考试的安排顺序应是（） A.AE，BD，CF B.AC，BF，DE C.AF，BC，DE D.AE，BC，DF 首先，我们直接从来考虑问题。可以根据试题的限制条件：“每个博士生每天只能参加一门课程考试，在这3天内考完全部选修课”，来进行判断各选项是否满足。如果按照A选项，第2天考BD，则因为B1同时选修了这2门课程，将违反“每个博士生每天只能参加一门课程考试”的约束。如果按照B选项，第1天考AC，则因为B2同时选修了这2门课程，将违反“每个博士生每天只能参加一门课程考
类比法在数学中的应用 类比是一切理解和思维的基础，作为一种逻辑方法，它在教学中有广泛的应用。在数学教学中应用类比法，可以帮助学生理解、鉴别各种概念、性质、定理、公式、题型等，达到正确认识，确定行之有效的解题策略的目的；这样既可以加强“双基”，又有利于培养学生良好的思维品质。 所谓“类比教学”，就是对有联系的知识进行归类比较，帮助学生找出知识之间的相同点、相似点和不同点，达到掌握知识的目的。在学习过程中，当新旧知识彼此相似而又不完全相同时，对原先知识又是一知半解，掌握不好时，新旧知识必然会混淆不清，应用时难免错漏百出，若不及时加以排解，势必影响其他章节的学习。因此，数学教学中，只有通过反复地归类比较，指出知识间的异同，帮助学生认识数学的本来面目，并加深印象，才能学好数学。 类比教学法既能从纵向找到新旧知识间的关系和区别，又能从横向找到有关知识的联系和区别，所以，在数学教学中应用类比方法进行教学与复习，就有着不可替代的作用，笔者在教学实践中的深刻体会是： 一、数学解题中多用类比法，讲解要少而精 教师对类比教学法在思想上要有正确的认识。在初中数学教学中，许多老师由于求胜心切，搞题海战术，题目讲得多而广，满堂灌，但都是为讲解而讲解，匆匆忙忙，往往收效甚微。如果在数学解题中多用类比法，讲解少而精，必定取得事半功倍的效果。正如奥苏伯尔所刘：“教育工作者向来强调学习广度的重要性，而把它与学习的深度对应，实际上如果在两者之间作出选择，我们宁愿少而精的知识，不愿要多而囫囵吞枣，少些但巩固的知识既有用又可以迁移，大量混淆不清的知识是完全无用的。” 二、运用类比法教学，要有针对性 类比教学中类比材料要有针对性，要从学生作业或试卷中的常见错误及缺漏中取得信息并寻求类比的典型材料。另外，课文的许多有内在联系，貌似实异，似是而非的知识都特别注意加以类比，寻求并分析各自的特点，掌握各知识在解题中的正确运用，避免张冠李戴，达到教与学的最佳效果。类比教学中我们要多掌握些实用的类比方法并灵活加以运用。常见的教学类比方法有：（一）因果类比法，是根据类比的两个对象各自的属性之间可能具有的一种因果关系而进行的一种推理方法。 （二）结构类比法。由于结构上极其相似，而将待证问题的条件或结论类比已知公式，进行适当代换，从而使问题获得解决的方法。
《经济应用数学（一）》(下) 考试试题库 适用专业: 怀德学院会计、营销、国贸、财务管理、人力、物流专业 一、定积分及应用 选择题（18题） 1. 设)(x f 可导，下列式子正确的是（ ） A. ()()t a d f x dx f x dt =? B. ()()x a d f x dx f x dx =? C. )()(x f dx x f dx d b a =? D. )()(x f dx x f b a ='? 2. 1 (2)f x dx '=? （ ）. A.2[(2)(0)]f f - B. 2[(1)(0)]f f - C. 1[(2)(0)]2f f - D. 1 [(1)(0)]2 f f - 3. 下列定积分的值为负的是（ ）. A. 20 sin xdx π ? B. 2 cos xdx π-? C. 2 33 x dx --? D. 2 25 x dx --? 4. 设()f x 在[,]a b 上连续.? =>= a I a x x f x I 0 23)0(d )(，则 （ ） ????a a a a x x xf D x x xf C x x xf B x x xf A 0 d )(21 . d )(21 . d )(.d )(.2 2 5. 设等于）（则极限连续?-→x a a x x x f a x x x f d lim ,)(（ ） A. af （a ） B. 0 C.1 D. 不存在 6. 设? ---a a x x f a a x f 等于）（分 上的连续函数，则定积为d ],[)(（ ） ?? ?---a a a a a x x f D x x f C x f B A d .d .2.0.0 ）（）（） （
四年级数学 一、解方程 （1）y-23=45 8+x=9.4 12-x=8.5 x÷4=15 8x=128 y+3.5=10 10÷y=5 （2）4y-24=16 2.5x÷6=2.5 3x+2.4x=10.8 （26-x）÷12=0.5 35÷（x+4）=7 10.7+x=21 5.3x-0.9x=14.7 32.8-9x=17.5 7×8+4x=128 二、列式计算 1、比一个数的4倍多4.35的数是23.55，这个数是多少？ 2、96比一个数的2.5倍多6，这个数是多少? 3、一个数的6倍与这个数的5倍的和是89.1，这个数是多少？ 4、一个数的5倍比这个数的2倍多10.5，求这个数。 5、72除以0.9的商，乘2.06与1.34的差，积是多少。 6、6.8与3.2的积减去一个数的4倍得5.24，求这个数。 7、26.8减去2.3与3.5的和再除以3.2，商是多少？ 三、根据题意，写出数量关系式 1、商店运进一批水果、苹果与梨共180筐。 2、小红和妈妈的年龄加在一起是45岁。 3、妈妈去超市买了3斤香蕉，五斤苹果共12元。 4、长是宽的2倍。 5、我的体重是小明的3倍。 6、母鸡只数比公鸡多100只。
7、四年级男生人数比女生少5人。 8、爸爸的体重比小明的4倍多10千克。 9、桐树的棵树比杨树的3倍少12棵。 四、列方程解应用题 1、四年级同学在这次劳动中共浇树165棵，比二年级小同学浇树棵 树的四倍少7棵，二年级浇树多少棵？ 2、小明本学期获得的爱学习卡片是36张，比爱劳动卡片的3倍多 6张，小明获得了多少张爱劳动卡片？ 3、张丽妈妈的年龄是张丽年龄的4倍，张丽比妈妈小27岁，她们 两人年龄各是多少？ 4、王大妈家里养了一些鸡，母鸡只数比公鸡多100只。又知母鸡只 数是公鸡只数的5倍，王大妈养公鸡母鸡各多少只？ 5、一根铁丝长54厘米，用它围成一个长方形，使长是宽的2倍， 长和宽各是多少厘米？ 6、甲乙两地相距345千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开 出，3小时相遇，客车每小时行55千米，货车每小时行多少千米？ 7、妈妈去超市买了4瓶饮料和7瓶牛奶，共用去63元，饮料每瓶 3.5元，牛奶每瓶多少元？ 8、买3枝铅笔比买1枝圆珠笔多花0.5元，每枝圆珠笔3.4元，每 枝铅笔多少元?
浅谈数学类比法 惠州市第一中学数学科组李海媚 科学史上有许多创造发明及现代科学研究，都广泛地运用了类比推理，例如仿生学可以说是专门使用了类比推理的科学。我们也可以用类比法来解决某些数学问题。为了解数 学问题B，我们可以联想到一个已经会解的问题A，问题B和问题A有许多类似的属性，于是我们推想问题B与问题A可能有某个或几个类似的结论，或者推测可以用解决问题A的类似方法来解决问题B，这种利用类比推理来寻找解决途径的方法叫类比法。其推理过程是:对象A具属性a、b、c、d 对象B具属性a、b、c 则对象B也可能具有属性d。下面浅谈数学类比法的一般方法。 一、一般与特殊的类比 研究一个较复杂的命题时，先解决命题的一个特殊情况，然后对解决特殊情况时所用的方法，所得的结果进行分析，大胆地与一般情况相类比，看能不能“照此办理”。当特殊问题不易求解时，也可先解决一般性问题。 :xR,,例1已知,为正常数且 1，f(x)f(x，a), 1,f(x) 则f(x)是否为周期函数,若是，求它的周期，若不是，说明理由。 分析:拿到已知条件很可能毫无思路，但我们注意到特例f(x)=tanx满足约束条件时，思路就豁然开朗了: ,1，tanx因为tan(x，),41,tanx ,且f(x),tanx是以,4，为周期的周期函数,所以可以猜测f(x)是以4a为周期的周期函数。,4
1，f(x)证明:？f(x，a),1,f(x) 1，f(x)1，1，f(x，a)11,f(x),,？f(x，2a),f(x，a)，a,,,,1，f(x)1,f(x，a)f(x)1, 1,f(x) 11,,？f(x，4a),f(x，2a)，2a,,,,,f(x)1f(x，2a),f(x) 因此()是以4为周期的周期函数，fxa。 32,，,1995219951993 例:2计算(1995年北京市初中数学竞赛题， 32，,199519951996 分析:本题很难就此计算，我们不妨将这种特殊情况转换成一般情况，看其规律，进行 求解。 1995,a 322 2(2)(2)(1)1993a,a,a,a,a,,,3221996(1)(2)(1)a，a,a，a，a, 二、生疏与熟悉的类比 对于某一数学问题，虽然我们暂时还不知道应该如何求解时，但发现这一问题的某些部分(条件、结论、图形、形式、数据等等)与我们熟悉的另一问题相类似，则可将两者加以类比，看能否把解决后一问题的方法移植过来，并逐步消除可能出现的差异，最后找出解决原来问题的解法。 例2设a满足:、、b、 2,a,bc,8a，7,0, ,22,b，c，bc,6a，6,0, 求a的取值范围。，1986全国高中数学竞赛试题， 解:把已知条件与我们熟悉的二元一次方程组的解法进行类比，容易想到代入法消c， 2 42222:baabaa由此得，(,14，13)，(,8，7),0
臧老师辅导课堂之 特殊值法专项训练 特殊值法是用满足条件的特殊值（式）代入题目去验证、计算，从而得到正确结论的一种方法．特殊值法在解题中有下列应用． 1．解选择题： 若a＞b＞c＞0，m＞n＞0．（m、n为数），则下列各式中成立的是[ ] A．a m b n＞b n c m＞c n a m B．a m b n＞c n a m＞b n c m C．c n a m＞a m b n＞b n c m D．b n c m＞c n a m＞a m b n 2．确定多项式的系数 已知当x是任何实数时，x2-2x+5＝a（x+1）2＋b（x＋1）＋c都成立，求a、b、c的值． 3．判断命题的真假 判断命题“式子a2＋（a＋1）2＋a2（a＋1）2=（a2＋a-1）2是恒等式”的真假． 4．解证定值问题 若a、b为定值，且无论k取何值时，关于x的一次方程 专项练习 1 已知a、b、c都是实数，且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是 [ ] 2．命题“式子x3＋9=（x＋2）3-6（x＋2）2+12（x+2）是恒等式”是真命题，对吗？ 值，求a、b应满足的关系式．并求出这个定值． 4．已知a＋b＋c≠0，求证：不论a、b、c取何实数时，三 5、设a、b、c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab，则x、y、z[] A．都不小于0B．都不大于0 C．至少有一个小于0D．至少有一个大于0 6、如果a、b均为有理数，且b＜0，则a、a-b，a＋b的大小关系是
[ ] A．a＜a+b＜a-b B．a＜a-b＜a+b C．a＋b＜a＜a-b D．a-b＜a＋b＜a 巧取特殊值解选择题 山东省茌平县傅平镇中学初三·一班鲁傅 我在解某些选择题时，采用了取特殊值法，使问题简捷，迅速地获得解决，如下面几例． 例1 已知a、b、c都是实数，且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是 [ ] （98年全国初中数学联赛）解：∵a＞b＞c， ∴可取a=1，b=0，c=-1代入各选择支，只有a+b=1＞b＋c=-1成立．故选（B）． 例2 设a、b、c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab，则x、y、z[ ] A．都不小于0B．都不大于0 C．至少有一个小于0D．至少有一个大于0 （94年全国初中数学联赛题）解：若令a=0，b=1，c=-1，则x=y=z=1，故可排除（B）、（C）； 再令a=0，b=c=1，则x=-1，y=z=1，又可排除（A）．故选（D）． （94年全国初中数学联赛题） 则[ ] A．M＜Q＜P＜N B．M＜P＜Q＜N
（一） 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 设四阶行列式b c c a d c d b b c a d d c b a D = ，则=+++41312111A A A A （ ）. A.abcd B.0 C.2 )(abcd D.4 )(abcd 2. 设(),0ij m n A a Ax ?==仅有零解，则 （ ） (A) A 的行向量组线性无关; (B) A 的行向量组线性相关; (C) A 的列向量组线性无关; (D) A 的列向量组线性相关; 3. 设8.0) (=A P ，8.0)|(=B A P ，7.0)(=B P ，则下列结论正确的是（ ）. A.事件A 与B 互不相容； B.B A ?； C.事件A 与B 互相独立； D.)()()(B P A P B A P += Y 4. 从一副52张的扑克牌中任意抽5张，其中没有K 字牌的概率为（ ）. A.552548C C B.52 48 C.5 54855C D.555548 5. 复数)5sin 5(cos 5π πi z --=的三角表示式为（ ） A ．)54sin 54(cos 5ππi +- B ．)54sin 54(cos 5π πi - C ．)54sin 54(cos 5ππi + D ．)5 4sin 54(cos 5π πi -- 6. 设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分 ?+-c n i z dz 1)(等于（ ） A ．1； B ．2πi ； C ．0； D ．i π21 二、填空题（每空3分，共18分） 1. 设A 、B 均为n 阶方阵，且3||,2|| ==B A ，则=-|2|1BA . 2. 设向量组()()() 1231,1,1,1,2,1,2,3,T T T t α=α=α=则当t = 时, 123,,ααα线性相关. 3. 甲、乙向同一目标射击，甲、乙分别击中目标概率为0.8， 0.4，则目标被击中的概率为 4. 已知()1,()3E X D X =-=，则2 3(2)E X ??-=??______.
解方程练习题及答案四年级减法 方程：含有未知数的等式叫做方程。 方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 解方程的依据：1. 等式性质同一个数，等式仍然成立。）. 加减乘除法的变形。 加法：加数1 + 加数= 和加数1 =加数= 减法：被减数–减数 = 差被减数 = 减数 =乘法：乘数1 × 乘数= 积乘数1 = 乘数=除法：被除数÷ 除数 = 商被除数= 除数= 一、解方程： 20x—50=50.8+x =8.2—2.x =10 10 x +5=60 .x+1 =100 .6÷ x=0.18 56— x =204y+0.2=6x+0.32=7.64—x =x÷0.6=0.1 0.3x+6=18 16+8x=40 x-0.8=0.84x-3×9=298x-3=105 2x-6×5=42x+5=+32x+3=1012x-9=9 6x+1.8=4.8 32y–29y=3 55x–25x=60 80y+20 y =100-20 80÷x=100
56x–50x=30x=15–x+x =1–x =80 15y÷.5=1 3y÷3=253x–90=1x+9x=11 1.6x÷=5x+35=1007.x –5x=100 x–20x=20+30x–20=0 12=19y+y=40 25-5x=19y+y=802x+28x=140x-1=8-2x 90y-90=90-90y 0y-90=70÷08y+2y=16088-4x=80-2x 9÷x=120x=40 – 10x 5y-30=1001y-y=100 85y+1=y+85x-50=40-45x 三、列方程解应用题：口算： a+2a= c+5c= m-2m=X+3x=x-x=6x-2x= 1.5x-x=3.6x+1.4x= 用方程表示数量关系： 1.火车每小时行120千米，汽车每小时a千米，火车每小时比汽车快6千米。_________ 2.男生人数比女生少16人，男生56人，女生x人。_____________________.苹果树和梨树共38棵，苹果树x 棵，梨树15课。___________________ 列方程解应用题 1.画出线段图： ①女生比男生的2倍多2人。 ②小明年龄比弟弟年龄的2倍少5岁。 2.上海野生动物园是中国首家野生动物园，截至2004年，一共有成年东北虎和白虎16只，东北虎的只数是白虎的7倍。你能提出什么问题？
类比法在数学解题中的应用 摘 要：类比是一种重要的逻辑方法，通过列举实例来说明类比法在数学解题中的应用，可以拓宽数学的解题思路，有助于培养学生的灵活性、独创性、广阔性和敏捷性。 关键词：类比法；数学解题；应用 类比是根据两个数学对象的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法，它通常称为类比法。它是以比较为基础，通过对两个(或两类)不同的对象进行比较，找出它们的相同点或相似点，然后以此为依据，将关于某一些知识或结论推移到另一种对象中去。其结论的可靠程度依赖于两个研究对象的共同属性，一般说来，共有属性愈多，结论的可靠程度就愈大；共有属性于是本质的，结论的可靠程度就愈高。类比既是一种逻辑方法又是一种科学研究的方法，它是人们思考问题和处理问题的重要手段，是发明创造的一把金钥匙。 类比分为简单类比和复杂类比两类。简单类比是一种形式性类比，它具有明显性、直接性的特征，其模式为 复杂类比是一种实质性类比，需要通过较为深入的分析后才能得出新的猜测，其模式为 类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其正确性，还必须经过严格的逻辑论证。运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：
类比思维在数学知识的延伸拓展过程中常借助于比较、联想，用作启发诱导以寻求思维的变异和发散。在数学学习中，我们可以通过类比学习新知识，也可以通过类比来寻求解题思路，甚至通过类比来推广数学命题。利用类比法，可使我们的思维能力、观察能力得到良好的锻炼。下面我们从数学解题的角度来谈谈类比法的应用。 一、平面几何与立体几何的类比 有些立体几何问题的解决可类比于平面几何问题解决的思路方法，有时可简化运算与推理，优化解题过程。 例1 如图1，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（于四个面都相切的球）的球心O ，且与BC 、DC 分别截于E 、F ，如过截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A —BEFD 与三棱锥A —EFC 的表面积分别为12,S S ，则必有( ) (A) 12S S > (B) 12S S < (C) 12S S = (D) 12S S 与的大小关系不能确定 图1 图2 分析 本题是立体几何问题，将立体中的有关图形、有关量与平面相应的元素进行类比: 由此可得到平面几何中相应的问题： 如图2，在ABC 中，直线EF 经过其内切圆的圆心O ，且与AB 、AC 分别交于E 、F ，如果线段EF 将ABC 分成面积相等的两部分,设AEF 与四边形EBCF 的周长分C
特殊值法巧解数列题示例 特殊值法在解决选择题与填空题中是比较常用的一种方法，在解题中能否灵活运用，体现了解题者的数学素养与能力.下面举例说明特殊值法(特殊数列、特殊数值)在解一些数列题中的应用. 【例1】已知}{n a 是等比数列,且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由252645342=++a a a a a a 得2 54252=?= a a ，故5253==+a a a ，所以选A. 【例2】在等差数列}{n a 中,若45076543=++++a a a a a ,则=+82a a ( ) (A)45 (B)75 (C)180 (D)300 【分析】取}{n a 为常数数列a a n =，则由45076543=++++a a a a a 得904505=?=a a ,所以180282==+a a a ,所以选C. 【例3】在各项均为正数的等比数列}{n a 中,若965=a a ,则=+++1032313log log log a a a ( ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)2+5log 3 【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由965=a a 得392=?=a a ,所以 103log 10log log log 31032313==+++a a a ,所以选B. 如果解题者心中有数（具备特殊化思想），那么直接观察利用心算立即可得结果，可大大地提高解题速度，避免不必要的计算。留心观察细事物，沙子也会变金银！
小学四年级解方程的方法详解 方程：含有未知数的等式叫做方程。如4x-3=21，6x-2(2x-3)=20 方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。如上式解得x=6 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 解方程的依据：方程就是一架天平，―=‖两边是平衡的，一样重！ 1. 等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以同一个非零的数，等式仍然成立。 2. 加减乘除法的变形： (1) 加法：a + b = 和则 a = 和－b b = 和－a 例：4+5=9 则有：4=9-5 5=9-4 (2) 减法：被减数a –减数b = 差则： 被减数a = 差＋减数b 被减数a－差= 减数b 例：12-4=8则有：12=8+4 12-8=4 (3) 乘法：乘数a ×乘数b = 积则： 乘数a = 积÷乘数b 乘数b= 积÷乘数a 例：3×7=21则有：3=21÷7 7=21÷3 (4) 除法：被除数a ÷除数b = 商则： 被除数a= 商×除数b 除数b=被除数a ÷商例：63÷7=9 则有：63=9×7 7=63÷9 解方程的步骤： 1、去括号：（1）运用乘法分配律；（2）括号前边是―－‖，去掉括号要变号；括号前边是―＋‖，去掉括号不变号。 2、移项：法1——运用等式性质，两边同加或同减，同乘或同除；法2——符号过墙魔法，越过―=‖时，加减号互变，乘除号互变。 注意两点：（1）总是移小的；（2）带未知数的放一边，常数值放另一边。 3、合并同类项：未知数的系数合并；常数加减计算。 4、系数化为1：利用同乘或同除，使未知数的系数化为1。
摘要：数学思想方法作为对数学知识内容的本质认识，往往隐藏在数学知识的背后，在课堂教学中应该创造机会，有意识让学生去体验、运用。类比法是一种重要的数学思想方法，在小学数学课堂教学中可运用类比法来探究新知；加深对概念的理解；建构知识网络，使知识更加系统化；激发创新思维。 关键词：类比法；小学数学；数学教学 数学思想方法是数学课程的重要目的，是发展学生智力的关键所在，是培养学生数学创新意识的基础，也是一个人数学素养的重要组成部分。而然而在数学思想方法的学习中发现，直接以小学数学内容为背景的数学思想方法及其教学的研究很少，在教育实习中也发现大部分小学数学教师认为小学数学教学内容简单、浅显，没有什么数学思想方法之谈，在课堂教学时主要局限于解题的技能与技巧层面。这很难让学生体验到数学的本质，很难领会到数学的魅力。从知识层面来看小学的数学教学内容较简单，但处处蕴含着数学思想方法，在教学中需要教师去挖掘与渗透。下面就类比思想方法在小学数学教学中的运用作些探析。 一、类比法的内涵 （一）类比法 类比是一种间接推理的思想方法，也是一种科学研究的方法。类比是利用两对象的某些相似性，由此对象的某些性质或结论，猜测乃至证明另一对象的相应性或结论，由处理此对象的某些方法，利用相似性移植或稍加改动后移植与另一系统，用以处理另一对象的相似的性质或结论。可见，类比是提出新问题和获得新发现的一条重要途径。正如著名的数学家波利亚所说：“类比是一个伟大的引路人”。 所谓类比法是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性，关系，特征，形式等）的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。 （二）类比的基本模式 类比的一般模式如下： S对象具有（或不具有）性质a、b、c、d； S′对象具有（或不具有）性质a′、b′、c′； a′、b′、c′与a、b、c、相同或相似； B类对象可能具有（或不具有）性质d′。