2013年高考模拟试题
理科数学
2013.5
本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项：
1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．
2．第1卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的． 1．复数z 满足方程(2)i z z =-(i 为虚数单位)，则z = （A ）1i +
（B ）1i - （C ）1i -+
（D ）1i -- 2．已知集合{}
{}
2
21=log 1A x x B x x =＞，＜，则()
A B =R e
（A ）(0,1]
（B ）(0,1)
（C ）[0,1]
（D ）[1,1]-
3．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有 （A ）12x x ＞，12s s ＜
（B ）12x x =，12s s ＜ （C ）12x x =，12s s ＞
（D ）12x x ＜，12s s ＞
4．下列选项中叙述错误．．
的是 （A ）命题“若1x =，则2
0x x -=”的逆否命题为真命题
（B ）若:p x ,?∈R 2
10x x ++≠，则 0002:,10
?∈++=p x x x R （C ）“1x ＞”是“2
x x -＞0”的充分不必要条件 （D ）若“p ∧q ”为假命题，则“p ∨q ”为真命题
5．设232
555
322(),(),(),555
a b c ===则,,a b c 的大小关系是
（A ）a c b ＞＞ （B ）a b c ＞＞ （C ）c a b ＞＞ （D ）b c a ＞＞
?
6．要得到函数()cos(2)3f x x =+π的图象，只需将函数()sin(23
g x x =+π的图象
（A ）向左平移2π
个单位长度 （B ）向右平移
2π
个单位长度 （C ）向左平移4
π
个单位长度
（D ）向右平移4
π
个单位长度
7．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为
（A ）
（B ）
（C
（D 8．2013年中俄联合军演在中国青岛海域举行，在某一项演练中，中方参加演习的有5艘军舰，4架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机. 若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），
且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有 （A ）51种
（B ）224种
（C ）240种
（D ）336种
9．如图是函数2()f x x ax b =++的部分图象，函数()e ()x g x f x '=- 的零点所在的区间是(,1)k k +()k ∈z ，则k 的值为
（A ）-1或0 （B ）0 （C ）-1或1 （D ）0或1 10．5
1
()(2x a x x
+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常
数项为 （A ）-40
（B ）-20
（C ）20
（D ）40
11．已知矩形ABCD 的边AB ⊥x 轴，且矩形ABCD 恰好能完全覆盖函数sin 2y a ax =
(0)a ＞的一个完整周期的图象，则当a 变化时，矩形ABCD
的周长的最小值为
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）12．某农户计划种植黄瓜和西红柿，种植面积不超过50亩，投入资金不超过48万元，
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和西红
柿的种植面积（单位:亩）分别为： （A ）10，40
（B ）20，30
（C ）30，20
（D ）40，10
第7题图
2013年高考模拟试题
理科数学
2013.5
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上.
13．若不等式24x a a -+≤的解集为{}
12x x -≤≤，则实数a = .
14．过双曲线22
221x y a b
-=的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF
（O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 .
15．已知三棱锥P —ABC ，点P ，A ，B ，C 都在球面上，若P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A =PB =2，PC =3，则此球的表面积为 .
16．如右图放置的正方形ABCD ，AB =1，A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC → ·OB →
的最大值是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知2
()cos
sin 2
2
f x x x ω
ω=-+
的图象上两相邻对称轴间的距离为()2ωπ＞0.
（Ⅰ）求()f x 的单调减区间；
（Ⅱ）在△ABC 中，,,a b c 分别是角A,B,C 的对边，若1
(),3,2
f A c ==△ABC 的面 积是a 的值.
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P —ABC 中, ∠APB =90°,∠P AB =60°, AB =BC =CA （Ⅰ）求证：平面APB ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角B —AP —C 的余弦值.
3e =
19．（本小题满分12分）
已知当5x =时，二次函数2()f x ax bx c =++取得最小值，等差数列{}n a 的前n 项和()n S f n =，27a =-.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）数列{}n b 的前n 项和为,n T 且2n n n
a b =，证明9
2
n T -≤.
20．（本小题满分12分）
某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[1000，
1500），单位：元）.
（Ⅰ）估计居民月收入在[1500，2000）
的概率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（Ⅲ）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看做有放回的抽样），求月收入在[1500，2000）的居民数X 的分布和数学期望.
21．（本小题满分13分）
已知直线l y x =：圆2
2
5,O x y +=：椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=：＞＞的离心率
直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点. （1）若AF → =2FB →
求直线l 的方程；
（2）若动点P 满足OP → =OA → +OB →
，问动点P 的轨迹能否与椭圆C 存在公共点？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分13分）
已知函数1()(2)(1)2ln ,()e
(,x
f x a x x
g x x a -=---=∈R e 为自然对数的底数）.
（Ⅰ）若不等式()0f x ＞对于一切1(0,)2
x ∈恒成立，求a 的最小值；
（Ⅱ）若对任意的0(0,e],x ∈在(0,e]上总存在两个不同的(1,2),i x i =使0()()i f x g x = 成立，求a 的取值范围.
2013年高考模拟试题
数学试题（理）参考答案及评分标准
2013.5 说明：
一、本解答只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分.
二、当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：（每小题5分，满分60分）
1.(B)
2.(A)
3.(B)
4.(D)
5.(A)
6.(C)
7.(D)
8.(C)
9.(C) 10.(A) 11.(B) 12.(A) 二、填空题：（每小题4分，满分16分）
13. 1 14. 15. 17
π 16. 2 三、解答题：
17. 解：由已知，函数()f x 周期为π.…………………………………………（1分）
∵2
1cos ()cos
2
2x
x f x x x ωωωω+=-=-………（2分）
11
cos 22
x x ωω=
-- 1
sin(62
x ω=--π),……………………………………………（3分）
∴2=2ω=
ππ, ∴1
()sin(2)62f x x =--π.……………………………（4分） （Ⅰ）由3222,262k
x k +-+πππ≤≤ππ 得25222,33k x k ++ππ≤≤ππ ∴5
()36
k
x k k ++∈z ππ≤≤ππ ∴()f x 的单调减区间是5
[,]()36
k
k k ++∈z ππππ.………………………（6分） （Ⅱ）由1(),2f A =得11sin(2)622A --=π，sin(2)16
A -=π
.…………………（7分）
∵0＜＜πA ，∴11
2666
A --ππ＜＜π，…………………………………（8分）
∴262A -=ππ，3A =π
.…………………………………………………（9分）
由1
sin 2
ABC S bc A ==3,c =
得4b =，……………………………………………………………………（10分）
∴222
12cos 169243132
a b c bc A =+-=+-???=,………………（11分）
故a =12分） 18．解（Ⅰ）过P 作PO ⊥AB ，垂足为O ，连结OC . 设AB =2，则 1
1,2
PA AO ==
,……………………………（1分） 在△AOC 中，1
,2,602
AO AC BAC ?==∠=,
由余弦定理得OC = ………………………（2分）
在△POC
中，2PO OC PC =
==, 则222PO OC PC +=, ∴PO ⊥OC .………………………………………（3分） 又AB
OC O =，∴PO ⊥平面ABC …………………………………………（4分）
又PO ?平面APB ，………………………………………………………（5分） ∴平面APB ⊥平面ABC.…………………………………………………（6分） （Ⅱ）以O 为坐标原点，OB 、OP 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示的空间直线坐标系，则
1
1(0,
,0)(3,,0),(0,0,)
222
A P -.……………………………………（7分） ∴1(3,1,0),(0,,),22
AC AP ==
设平面APC 的一个法向量为111(,,),x y z =n 则
0,0,
AC AP ??=???=
??n n
∴11110,
10,2y y z +=?+=??……………………………………（9分）
令11,x =则(1,=n .
而平面APB 的一个法向量为(1,0,0),=m …………………………………（10分） 设二面角B-AP-C 的平面角为α，易知α为锐角，
则cos α?=
=
=
n m n m
.……………………………………（
11分） 即二面角B-AP-C 的余弦值为
………………………………………（12分） 19．（Ⅰ）当1n =时，11,a S a b c ==++………………………………………（1分）
当2n ≥时，12,n n n a S S an b a -=-=+-………………………………（2分） 又1a 适合上式，得2,a b a a b c +-=++ ∴0c =.………………………（3分） 由已知2437,5,2b
a a
b a a b a
=+-=+=--
= 解方程组37,
52+=-??
?-=??a b b a
得1,10,a b =??=-?……………………………………（5分）
∴211n a n =-.……………………………………………………………（6分） （Ⅱ）2112n n
n b -=
, ∴297211222n n
n T ---=++???+ ①
21192132112222
+---=+???++n n n n n T ②……………………………………（7分） ①-②得21
1922211
...22222n n n n T +-=-+++-……………………………（8分）
1111(1)92112212212
n n n -+--=-+--
1171211
222
n n n -+-=---,………………………………………………………（9
分） ∴27
72n n
n T -=--.…………………………………………………………（10分）
则19
2T =-,
2979222T =---＜,
39759
2222
T =----＜,………………………………………………………（11
分）
当4n ≥时，270,2n n -＞ ∴279
7722n n
n T -=----＜＜, 综上，得9
2
n T -≤.……………………………………………………………（12
分）
20．解（Ⅰ）居民月收入在[1500,2000)的概率约为
1(0.000
20.00010.00030.000-+++??…………………………（2分）
10.001650010.80.2.=-?=-=……………………………………………（3分）
（Ⅱ）由频率分布直方图知，中位数在[2000,2500)， 设中位数为x ，则
0.00025000.20.0005(200x ?++-=…………………………（5分）
解得2400x =.……………………………………………………………（6分） （Ⅲ）居民月收入在[1000,2000)的概率为 0.000
2500
0.2?+=…………………………………………………（7分）
由题意知，X ~B （3, 0.3）,…………………………………………………（8分）
因此0
33(0)0.70.343,P x C ==?=
123(1)0.70.30.441,P x C ==??=…………………………………（9分） 223(2)0.70.30.189,P x C ==??=
333(3)0.30.027.P x C ==?=………………………………………（10分）
故随机变量X 的分布列为
……（11分） X 的数学期望为3×12分） 21．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离为
d =
=…………………………………………………（1分） ∴b ==…………………………………………………（2分）
由题意得 222
,c a a b c b ==+=…………………………………………（3分）
解得223, 2.a b ==
故椭圆C 的方程为22
1.32
x y +=……………………………………（4分） （Ⅱ）（1）当直线l 的斜率为0时，检验知2.AF FB ≠ 设11(,),A x y 22(,),B x y
由2AF FB =，得1122(1,)2(1,),x y x y --=-
则有122y y =- ①………………………………………………………（5分） 设直线l ：1,x my =+
联立221,
1,32
x my x y =+??
?+
=??
消去x ，整理得2
2
(23)440.m y my ++-= ∴1212
2244
,.2323
-+=-
=++m y y y y m m 结合①，得1222
84,.2323
m m
y y m m =-
=++…………………………（6分）
代入1224,23
y y m =
+ 得2823m m -
+×
2244
,2323
=-++m m m
即22
81,23m m =+解得m =
故直线l 的方程是 1.2
x y =±
+…………………………………………（7分） （2）问题等价于在椭圆上是否存在点P ，使得OP OA OB =+成立.…………（8分） 当直线l 的斜率为0时，可以验证不存在这样的点， 故设直线l 的方程为1,x my =+
用（1）的设法，可得P 1212(,).x x y y ++ 若点P 在椭圆C 上，则
22
1212()()1,32
x x y y +++= 即
2222
1122112222 1.32x x x x y y y y +++++= 又点A ,B 在椭圆上，有2222
11221,1,3232
x y x y +=+= 则
12122
10,3
x x y y ++= 即12122330x x y y ++= ②……………………（10分） 由（1）知1212(1)(1)x x my my =++
21212()1m y y m y y =+++
2
281,23
m m =-
++ 代入②式得222
1612
230.2323
m m m -+-+=++
解得2
12m =
，即2
m =±.……………………………………………（11分）
当m =
122423m y y m +=-
=+
121213()22;22
x x m y y +=++=-+=
当m =
时，122423m y y m +=-=+ 121213
()22.22
x x m y y +=++=-+=…………………（12分） 故椭圆C 上存在点
P 3
(,2，使得OP OA OB =+成立， 即动点P 的轨迹与椭圆C
存在公共点，公共点的坐标是3(,2
2
±
.…（13分） 22．解：（Ⅰ）由题意得(2)(1)2ln 0a x x ---＞在1
(0,)2
内恒成立， 即2ln 21x a x -
-＞在1
(0,)2
内恒成立，……………………………（1分） 设2ln 1
()2,(0,),12
x h x x x =-
∈-则2
2
2ln 2(),(1)
+
-'=-x x h x x …（2分） 设21()2ln 2,(0,),2x x x x ?=+-∈则222
()0,x x x ?'=-＜ ∴()x ?在1(0,)2内是减函数，∴1
()()22ln 20,2
x ??=-＞＞…（4分）
∴()0,h x '＞ ()h x 在1
(0,)2
内为增函数，
则1
()()24ln 2,2
h x h =-＜ ∴24ln 2a -≥，
故a 的最小值为24ln 2-.………………………………………（6分）
（Ⅱ）∵1()e
,x
g x x -=∴1()(1)e ,x g x x -'=-
∴()g x 在（0,1）内递增，在（1,e ）内递减. 又∵2e
(0)0,(1)1,(e)e g g g -===＞0,
∴函数()g x 在（0,e ）内的值域为（0,1]…………………………………（7分）
由()(2)(1)2ln ,f x a x x =--- 得(2)2
().a x f x x
--'=
①当2a ≥时，()0,f x '＜()f x 在（0,e]上单调递减，不合题意；……（8分）
②当2a ＜时，令()0,f x '＞则2;2x a -＞令()0,f x '＜则20.2x a
-＜＜ ⅰ）当
2e 2a -≥，即2
22e a -≤＜时，()f x 在（0,e]上单调递减，不合题意； ………………………………………（9分） ⅱ）当2e 2a -＜，即22e a -＜时，()f x 在2(0,]2a -上单调递减，在2
(,e]2a
-上单调递增.
令222()(
)2ln ,2,22e m a f a a a a ==----＜则(),2a
m a a
-'=- ∴()m a 在(,0)-∞上单调递增，在e
(0,2]2
-上单调递减；
∴()(0)=0m a m ≤，即22ln
02a a --≤在e
(,2)2
-∞-上恒成立.………（10分） 令22t a =-，则0,t ＞设1()ln ,0,k t t t t =+＞则21
(),t k t t
-'=
∴()k t 在（0,1）内单调递减，在(1,)+∞上单调递增，
∴()(1)=10k t k ≥＞，即1ln 0,t t +＞ ∴1ln t t
＞-，
∴1 e ,t
t -＞即
23
222
e e 2a a a
---＞＞. ∵当32
(0,e
)a x -∈时,()(2)(1)2ln 22ln 2(3)1,f x a x x a x a a =--------=＞＞
且()f x 在(0,e]上连续.………………………………………………………（11分） 欲使对任意的0(0,e]x ∈在(0,e]上总存在两个不同的(1,2),i x i =使0()()
i f x g x =成立，则需满足(e)1f ≥
，即3
2.e 1
≤--a 又∵23e 2
2(2)0e e 1e(e 1)
+-
--=--＞，∴2322,e e 1--
-＞……………（12分）
∴32.e 1a --≤综上所述，3(,2].e 1
a ∈-∞--……………………………（13分）