2017高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第3讲 均值不
等式及其应用习题
A 组 基础巩固
一、选择题
1．下列命题中正确的是 ( ) A ．函数y ＝x ＋1
x
的最小值为2
B ．函数y ＝x 2＋3
x 2＋2
的最小值为2
C ．函数y ＝2－3x －4
x (x ＞0)的最小值为2－4 3
D ．函数y ＝2－3x －4
x
(x ＞0)的最大值为2－4 3 [答案] D
[解析] y ＝x ＋1
x
的定义域为{x |x ≠0}，当x ＞0时，有最小值2，当x ＜0时，有最大值
－2，故A 项不正确；
y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1
x 2＋2
≥2，
∵x 2
＋2≥2，∴取不到“＝”，故B 项不正确； ∵x ＞0时，3x ＋4
x
≥2·
3x ·4
x
＝43，
当且仅当3x ＝4x ，即x ＝2
3
3时取“＝”，
∴y ＝2－(3x ＋4
x
)有最大值2－43，故C 项不正确，D 项正确．
2．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是 ( ) A ．0 B.1 C ．2 D ．5
2
[答案] B
[解析] ∵a ＞1，b ＞1，∴lg a ＞0，lg b ＞0. lg a ·lg b ≤ lg a ＋lg b 2
4＝ lg ab
2
4＝1.
当且仅当a ＝b ＝10时取等号．
3．若函数f (x )＝x ＋1
x －2
(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于 ( ) A ．1＋ 2 B.1＋ 3 C ．3 D ．4
[答案] C
[解析] 因为x ＞2，所以x －2＞0，则
f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1
x －2
＋2≥2
x －2 ·
1
x －2
＋2＝4， 当且仅当x －2＝
1
x －2
，即x ＝3时取等号． 即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.
4．(2015·湖南)若实数a ，b 满足1a ＋2
b
＝ab ，则ab 的最小值为 ( )
A. 2
B.2 C ．2 2 D ．4
[答案] C
[解析] 解法一 由已知得1a ＋2b ＝b ＋2a
ab
＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22
ab ，∴ab ≥2 2.
解法二 由题设易知a ＞0，b ＞0，∴ab ＝1a ＋2b ≥2
2
ab
，即ab ≥22，选C.
5．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为 ( ) A.22
B.2 2
C. 2 D ．2
[答案] D
[解析] ∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ，
即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0， ∴2xy ≥2，∴xy ≥2.
6．已知a ＞0，b ＞0，若不等式m 3a ＋b －3a －1
b
≤0恒成立，则m 的最大值为 ( )
A ．4 B.16 C ．9
D ．3
[答案] B
[解析] 因为a ＞0，b ＞0，所以由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋
3b
a
＋3a b 恒成立．因为3b a ＋3a
b
≥2
3b a ·3a b ＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a
b
≥16，
所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.
二、填空题
7．点P (x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动，则z ＝3x
＋27y
＋3的最小值是________. [答案] 9
[解析] z ＝3x
＋27y
＋3≥23x
·27y
＋3＝23
x ＋3y
＋3＝9.
8．(2015·山东师范大学附属中学高三模拟)已知x ＞0，y ＞0，若2y x ＋8x y
＞m 2
＋2m 恒成
立，则实数m 的取值范围是________.
[答案] －4＜m ＜2
[解析] 根据题意，x ＞0，y ＞0，则2y x ＞0，8x
y
＞0，
所以2y x ＋8x y
≥2
2y x ×8x y ＝8即2y x ＋8x
y
的最小值为8.
若2y x ＋8x y
＞m 2＋2m 恒成立，必有m 2
＋2m ＜8恒成立，
所以m 2＋2m ＜8，m 2
＋2m －8＜0，即－4＜m ＜2.
9．(2015·重庆)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________. [答案] 3 2 [解析]
(a ＋1＋
b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋
2· a ＋1 2
＋ b ＋3 2
2＝9＋a ＋b ＋4＝18，所以a ＋1＋b ＋3≤32，当且仅当a ＋1
＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝3
2
时等号成立．所以a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.
10．已知a ＞b ＞0，则a 2
＋16
b a －b
的最小值为________.
[答案] 16
[分析] 由b (a －b )求出最大值，从而去掉b ，再由a 2
＋64a
2，求出最小值．
[解析] ∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0. ∴b (a －b )≤[
b ＋ a －b
2
]2
＝a 2
4
.
∴a 2
＋
16b a －b ≥a 2
＋64a
2≥2
a 2·64
a
2＝16.
当a 2
＝64a
2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．
∴a 2
＋
16
b a －b
的最小值为16.
三、解答题
11．(1)已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4
＋b 4
＋c 4
≥a 2b 2
＋b 2c 2
＋c 2a 2
≥abc (a ＋b ＋c )． (2)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1
c
≥9.
[证明] (1)∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4
≥2c 2a 2
， ∴2(a 4
＋b 4
＋c 4
)≥2(a 2b 2
＋b 2c 2
＋c 2a 2
)． 即a 4
＋b 4
＋c 4
≥a 2b 2
＋b 2c 2
＋c 2a 2
.
又a 2b 2
＋b 2c 2
≥2ab 2
c ，b 2c 2
＋c 2a 2
≥2abc 2
，
c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ，
∴2(a 2b 2
＋b 2c 2
＋c 2a 2
)≥2(ab 2
c ＋abc 2
＋a 2
bc )．
即a 2b 2
＋b 2c 2
＋c 2a 2
≥ab 2
c ＋abc 2
＋a 2
bc ＝abc (a ＋b ＋c )． (2)∵a ＋b ＋c ＝1，
∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c
＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b
c ＝3＋(b a ＋a b
)＋(c a ＋a c
)＋(c b ＋b c
) ≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3
时，取等号．
12．(2015·浙江嘉兴调研)围建一个面积为360 m 2
的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (x ＞0)(单位：米).
(1)将总费用y 表示为x 的函数；
(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用．
[答案] (1)y ＝225x ＋360
2
x
－360(x ＞0) (2)x ＝24 m 时最小费用为10440元
[解析] (1)设矩形的另一边长为a m ，
则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360. 由已知xa ＝360，得a ＝360x
，
∴y ＝225x ＋360
2
x
－360(x ＞0)．
(2)∵x ＞0，∴225x ＋3602
x
≥2225×3602＝10 800，
∴y ＝225x ＋3602
x
－360≥10 440.
当且仅当225x ＝3602
x
时，等号成立．
即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．
B 组 能力提升
1．(2015·河北“五个一名校联盟”高三质量监测)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且
a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m ＞0，n ＞0，则2m ＋1
n
的最小
值为 ( )
A ．2 2 B.4 C.52 D ．92
[答案] D
[解析] 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的解析式知，当x ＝－2时，y ＝－1，所以A 点的坐标为(－2，－1)，又点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2＝92，当且仅当m ＝n ＝2
3时等号成立．所
以2m ＋1n 的最小值为9
2
，故选D. 2．若不等式t
t 2
＋9≤a ≤t ＋2
t
2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是 ( ) A ．[1
6，1]
B.[1
6，22] C ．[16，413]
D ．[2
13
，1]
[答案] D
[解析]
t
t 2＋9
＝1
t ＋9t ，而y ＝t ＋9t 在(0,2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1
t ＋9t
≤213(当且仅当t ＝2时等号成立)，t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18，因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2
t 2
＝2(1t ＋14)2－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值范围为[2
13
，1]．
3．(2015·江西南昌市高三调研)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为
( )
A ．16 B.25 C ．36 D ．49
[答案] A
[解析] 因为a ，b ＞0，1a ＋1
b
＝1，所以a ＋b ＝ab ，
所以
4a －1＋16b －1＝4 b －1 ＋16 a －1 a －1 b －1 ＝4b ＋16a －20ab － a ＋b ＋1
＝4b ＋16a －20. 又4b ＋16a ＝4(b ＋4a )＝4(b ＋4a )(1a ＋1b )＝20＋4(b a ＋4a
b
)≥20＋4×2
b a ·4a
b
＝36， 当且仅当b a ＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝3
2
，b ＝3时取等号．
所以
4a －1＋16b －1
≥36－20＝16. 4．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． [答案] (1)64 (2)18
[解析] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2
y
＝1，
又x ＞0，y ＞0， 则1＝8x ＋2y
≥2
8x ·2y
＝8xy
，得xy ≥64，
当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.
(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2
y
＝1，
则x ＋y ＝(8x ＋2y )·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y
x
≥10＋2
2x y ·8y
x
＝18.
当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.
5．(2015·江苏徐州质检)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2
的十字形区域．现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4 200元/m 2
，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩，造价为210元/m 2
，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2
.
(1)设总造价为S 元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式； (2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？
[答案] (1)S ＝38 000＋4 000x 2
＋400 000x
2
(0＜x ＜102) (2)至少投入118000元 [解析] (1)设DQ ＝y ，则x 2
＋4xy ＝200， 所以y ＝200－x 2
4x
.
S ＝4 200x 2＋210×4xy ＋80×4×1
2
y 2
＝38 000＋4 000x 2
＋400 000x
(0＜x ＜102)． (2)S ＝38 000＋4 000x 2＋400 000x
2
≥38 000＋216×108
＝118 000， 当且仅当4 000x 2＝400 000x
2
，即x ＝10时， S min ＝118 000(元)．
故计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．