第9章 第6节 知能训练·提升
考点一：棱柱、棱锥的概念与性质
1．设有四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 以上四个命题中，真命题的个数是
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：命题①不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体．命题②不是真命题，若底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体．命题③也不是真命题，因为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两个对的侧面是矩形，但是不能推出侧棱与底面垂直．命题④是真命题，由对角线相等，可得出平行六面体的对角面是矩形，从而推出侧棱与底面垂直，这个平行六面体是直平行六面体．
答案：A
2．下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；
④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号) 解析：①正确．
②如图，可令AB ＝VB ＝VC ＝BC ＝AC ，则△VBC 为等边三角形而△VAB 和△VCA 均为等腰三角形，故不能判定为正三棱锥；
③侧面积相等只能证明斜高相等，并不能表示侧面为全等三角形，故不能判定为正三棱锥；④正确．
答案：①④
考点二：棱柱、棱锥的平行与垂直问题
3．在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝3
2
AB ，M 是BC 的中点，G 是△PAD 的重心，则在平面
PAD 中经过G 点且与直线PM 垂直的直线有________条．
解析：如图，若设正四棱锥的底面边长为a ，则侧棱为3
2
a ，由于PM ⊥BC ，所以
PM ＝(
32a )2－(a 2)2＝22
a ，
连结PG 并延长与AD 相交于N 点，则PN ＝
2
2
a ，又MN ＝AB ＝a ，所以PM 2＋PN 2＝MN 2，于是PM ⊥PN ，又PM ⊥AD ，所以⊥平面PAD ，因此在平面PAD 中经过G 点的任意一条直线都与PM 垂直．
答案：无数
4．如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝AB ，点E 是PD 的中点．
(1)求证：AC ⊥PB ；
(2)求证：PB ∥平面AEC ；
(3)求二面角E －AC －B 的大小．
解：(1)证明：由PA ⊥平面ABCD 可得PA ⊥AC ， 又AB ⊥AC ，∴AC ⊥平面PAB ，∴AC ⊥PB . (2)证明：如图所示，连结BD 交AC 于点O ，连结EO ，则EO 是△PDB 的中位线，∴EO ∥PB ，
∴PB ∥平面AEC .
(3)取AD 的中点F ，连结EF ， FO ，则EF 是△PAD 的中位线，
∴EF ∥PA ，又PA ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ， 同理FO 是△ABD 的中位线，∴FO ∥AB ，∴PO ⊥AC .
由三垂线定理可知，∠EOF 是二面角E －AC －D 的平面角．又FO ＝12AB ＝1
2
PA ＝EF ，∴∠EOF
＝45°，而二面角E －AC －B 与二面角E －AC －D 互补，故所求二面角E －AC －B 的大小为135°.
考点三：棱柱、棱锥中角与距离的计算
5．(2010·昆明)三棱锥S －ABC 中，SA ⊥底面ABC ，SA ＝4，AB ＝3，D 为AB 的中点，∠ABC ＝90°，则点D 到面SBC 的距离等于
( )
A.125
B.95
C.65
D.35
答案：C
6．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，CB ＝1，CA ＝3，AA 1＝6，M 为侧棱CC 1上一点，AM ⊥BA 1.
(1)求证：AM ⊥平面A 1BC ；
(2)求二面角B －AM －C 的大小； (3)求点C 到平面ABM 的距离． 解：(1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，易知面ACC 1A 1⊥面ABC ，∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥面ACC 1A 1
.
∵AC ?面ACC 1A 1，∴BC ⊥AM .
∵AM ⊥BA 1，且BC ∩BA 1＝B ，∴AM ⊥平面A 1BC . (2)设AM 与A 1C 的交点为O ，连结BO ， 由(1)可知AM ⊥OB ，且AM ⊥OC ，
∴∠BOC 为二面有B －AM －C 的平面角．
在Rt△ACM 和Rt△A 1AC 中，∠OAC ＋∠ACO ＝90°， ∴∠AA 1C ＝∠MAC . ∴Rt△ACM ∽Rt△A 1AC .
∴AC 2
＝MC ·AA 1.∴MC ＝62.
∴在Rt△ACM 中，AM ＝32
2
.
∵12AC ·MC ＝1
2
AM ·CO ，∴CO ＝1. ∴在Rt△BCO 中，tan∠BOC ＝BC CO
＝1.∴∠BOC ＝45°， 故所求二面角的大小为45°.
(3)设点C 到平面ABM 的距离为h ，易知BO ＝2，可知S △ABM ＝12·AM ·BO ＝12×322×2
＝3
2
. ∵V C －ABM ＝V M －ABC ， ∴13hS △ABM ＝1
3
MC ·S △ABC . ∴h ＝MC ·S △ABC S △ABM ＝62×3
232
＝2
2
.
∴点C 到平面ABM 的距离为
22
. 考点四：棱柱、棱锥的面积与体积计算
7．在三棱锥P －ABC 中，BC ＝3，CA ＝4，AB ＝5，若三侧面与底面所成二面角A －BC －P 为45°，B －AC －P 为45°，C －AB －P 为45°，则三棱锥P －ABC 的体积为
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：设三棱锥P －ABC 的高为h ，底面三角形的内切圆的半径为r ，则h ＝r ， 由12r (3＋4＋5)＝1
2
×3×4， 所以r ＝1，因此V ＝1
3
S △ABC h ＝2.
答案：B
8．(2010·东北模拟)正三棱锥底面边长为a ，侧棱与底面所成角为60°，过底面一边作一截面使其与底面成30°的二面角，则此截面的面积为
( )
A.34a 2
B.33a 2
C.13a 2
D.38a 2 解析：如图，E 为AB 中点，
CE ＝
32BC ＝3
2
a ，∠DEC ＝30°，∠DCE ＝60°，∴∠EDC ＝90° ∴DE ＝CE ·sin60°＝
32a ·32＝3
4
a ， ∴S △ACB ＝12·a ·34a ＝38
a 2
.
答案：D
1.(2009·辽宁)正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D －GAC 与三棱锥P －GAC 体积之比为
( )
A ．1∶1
B ．1∶2
C ．2∶1
D ．3∶2 解析：由题意可知V B －GAC ＝V P －GAC ，
∵三棱锥V B －GAC ＝V G －BAC ，V D －GAC ＝V G －ADC ，
又∵三棱锥G －BAC 与三棱锥G －ADC 等高，且S △BAC ∶S △ADC ＝1∶2， 综上可知V D －GAC ∶V P －GAC ＝2∶1，故选择C. 答案：C
2．(2008·全国卷Ⅱ)正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为
( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．18
解析：高h ＝23sin60°＝3，又因底面正方形的对角线等于23，
∴底面积为S ＝2×1
2
×23×3＝6，
∴体积V ＝1
3
×6×3＝6.
答案：B
3．(2009·全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1.
(1)证明：AB ＝AC ；
(2)设二面角A －BD －C 为60°，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小．
解法一：(1)取BC 中点F ，连接EF ，则EF 綊1
2
B 1B ，从而EF 綊DA .
连接AF ，则四边形ADEF 为平行四边形，从而AF ∥DE . 又DE ⊥平面BCC 1，故AF ⊥平面BCC 1，
从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC . (2)作AG ⊥BD ，垂足为G ，连接CG .
由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角A －BD －C 的平面角． 由题设知，∠AGC ＝60°.
设AC ＝2，则AG ＝2
3
.
又AB ＝2，BC ＝22，故AF ＝ 2.
由AB ·AD ＝AG ·BD 得2AD ＝23
·AD 2＋22
，解得AD ＝2，故AD ＝AF .
又AD ⊥AF ，∴四边形ADEF 为正方形．
∵BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF . 连接AE 、DF ，设AE ∩DF ＝H ，则EH ⊥DF ，EH ⊥平面BCD . 连接CH ，则∠ECH 为B 1C 与平面BCD 所成的角． ∵四边形ADEF 为正方形，AD ＝2，故EH ＝1，
又EC ＝1
2
B 1
C ＝2，∴∠ECH ＝30°，
即B 1C 与平面BCD 所成的角为30°.
解法二：(1)以A 为坐标原点，射线AB 、AC 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .
设B (1,0,0)，C (0，b,0)，D (0,0，c )，
则B 1(1,0,2c )，E (12，b
2
，c )．
于是DE →＝(12，b
2
，0)，
BC →
＝(－1，b,0)．
由DE ⊥平面BCC 1知DE ⊥BC ， DE →·BC →
＝0，求得b ＝1， ∴AB ＝AC .
(2)设平面BCD 的一个法向量为AN →
＝(x ，y ，z )， 则AN →·BC →＝0，AN →·BD →
＝0.
又BC →＝(－1,1,0)，BD →
＝(－1,0，c )，故?
??
??
－x ＋y ＝0，－x ＋cz ＝0.
令x ＝1，则y ＝1，z ＝1c ，AN →＝(1,1，1
c
)．
又平面ABD 的一个法向量为AC →
＝(0,1,0)，
由二面角A －BD －C 为60°知，〈AN →，AC →
〉＝60°，
故AN →·AC →＝|AN →|·|AC →
|·cos60°，求得c ＝12
.
于是AN →＝(1,1，2)，CB 1→
＝(1，－1，2)，
cos 〈AN →，CB 1→
〉＝AN →·CB 1→|AN →|·|CB 1→|
＝12，〈AN →，CB 1→〉＝60°.
∴B 1C 与平面BCD 所成的角为30°. 如图，已知在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面A 1C ⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝AA 1＝1.AB ⊥AC ，且侧棱AA 1与底面ABC 所成的角为60°.
(1)求证：AB ⊥A 1C ；
(2)求二面角C 1－BC －A 大小的正切值； (3)求该三棱柱的侧面积．
解：(1)证明：∵面A 1C ⊥面ABC ，面A 1C ∩面ABC ＝AC 且AB ⊥AC ， ∴AB ⊥面A 1C ，从而AB ⊥A 1C .
(2)过C 1作C 1M ⊥AC 的延长线于点M ，则C 1M ⊥面ABC . 过M 作MN ⊥BC 的延长线于点N ，连结C 1N ，则C 1N ⊥BC . ∴∠C 1NM 为二面角C 1－BC －A 的平面角的补角．
在Rt△C 1MN 中，C 1M ＝32，CM ＝1
2，
∴MN ＝
22CM ＝2
4
.
∴tan∠C 1NM ＝
C 1M
MN
＝ 6. 故二面角C 1－BC －A 的正切值为 6.
(3)由(1)知，ABB 1A 1为矩形，SABB 1A 1＝1.
由(2)知，C 1N ＝C 1M 2
＋MN 2
＝
144
， SBCC 1B 1＝2·
144＝72
. ∴S 侧＝SACC 1A 1＋SABB 1A 1＋SBCC 1B 1＝1＋3＋7
2
. ［例1］求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R )的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值范围.
选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.
解：(1)当m =2时，x 1＝x 2＝2，∴直线l 垂直于x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角
α=
2
π (2)当m ≠2时，直线l 的斜率k =2
1
-m ∵m ＞2时，k ＞0. ∴α=arctan
21-m ,α∈（0，2
π
）， ∵当m ＜2时，k ＜0 ∴α＝π＋arctan
21-m ，α∈(2
π
,π). 说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围. ［例2］若三点A (－2，3），B （3，－2），C （
2
1
，m ）共线，求m 的值. 选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解：∵A 、B 、C 三点共线， ∴ｋAB ＝ｋAC ，
.22
13
2
332+-=+--m 解得m =
2
1. 说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.
［例3］已知两点A (－1,－5),B (3,－2),直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率.
选题意图：强化斜率公式.
解：设直线l 的倾斜角α，则由题得直线AB 的倾斜角为2α.
∵tan2α=ｋAB =
.4
3
)1(3)5(2=-----
4
3tan 1tan 22
=-∴
αα 即3tan 2α+8tan α－3=0，
神书网https://www.doczj.com/doc/5816265109.html,/ 奀莒咽
解得tan α＝3
1
或tan α＝－3. ∵tan2α＝
4
3
＞0,∴0°＜2α＜90°, 0°＜α＜45°， ∴tan α＝
3
1. 因此，直线l 的斜率是
3
1 说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.