第八章 电磁感应 电磁场
8 -1 一根无限长平行直导线载有电流I ,一矩形线圈位于导线平面内沿垂直于载流导线方向以恒定速率运动(如图所示),则( ) (A ) 线圈中无感应电流
(B ) 线圈中感应电流为顺时针方向 (C ) 线圈中感应电流为逆时针方向 (D ) 线圈中感应电流方向无法确定
分析与解 由右手定则可以判断,在矩形线圈附近磁场垂直纸面朝里,磁场是非均匀场,距离长直载流导线越远,磁场越弱.因而当矩形线圈朝下运动时,在线圈中产生感应电流,感第八章 电磁感应 电磁场 8 -1 一根无限长平行直导线载有电流I ,一矩形线圈位于导线平面内沿垂直于载流导线方向以恒定速率运动(如图所示),则( ) (A ) 线圈中无感应电流
(B ) 线圈中感应电流为顺时针方向 (C ) 线圈中感应电流为逆时针方向 (D ) 线圈中感应电流方向无法确定
分析与解 由右手定则可以判断,在矩形线圈附近磁场垂直纸面朝里,磁场是非均匀场, 应电流方向由法拉第电磁感应定律可以判定.因而正确答案为(B ).
8 -2 将形状完全相同的铜环和木环静止放置在交变磁场中,并假设通过两环面的磁通量随时间的变化率相等,不计自感时则( )
(A ) 铜环中有感应电流,木环中无感应电流 (B ) 铜环中有感应电流,木环中有感应电流 (C ) 铜环中感应电动势大,木环中感应电动势小 (D ) 铜环中感应电动势小,木环中感应电动势大
分析与解 根据法拉第电磁感应定律,铜环、木环中的感应电场大小相等, 但在木环中不会形成电流.因而正确答案为(A ).
8 -3 有两个线圈,线圈1 对线圈2 的互感系数为M 21 ,而线圈2 对线圈1的互感系数为M 12 .若它们分别流过i 1 和i 2 的变化电流且
t
i t i d d d d 2
1 ,并设由i 2变化在线圈1 中产生的互感电动势为ε1
2 ,由i 1 变
化在线圈2 中产生的互感电动势为ε21 ,下述论断正确的是( ). (A )2112M M = ,1221εε= (B )2112M M ≠ ,1221εε≠
(C )2112M M =, 1221εε<
(D )2112
M M = ,1221εε<
分析与解 教材中已经证明M21 =M12 ,电磁感应定律t
i M εd d 121
21=;t
i M εd d 212
12=.因而
正确答案为(D ).
8 -4 对位移电流,下述四种说法中哪一种说法是正确的是( ) (A ) 位移电流的实质是变化的电场
(B ) 位移电流和传导电流一样是定向运动的电荷 (C ) 位移电流服从传导电流遵循的所有定律 (D ) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理
分析与解 位移电流的实质是变化的电场.变化的电场激发磁场,在这一点位移电流等效于传导电流,但是位移电流不是走向运动的电荷,也就不服从焦耳热效应、安培力等定律.因而正确答案为(A ). 8 -5 下列概念正确的是( ) (A ) 感应电场是保守场
(B ) 感应电场的电场线是一组闭合曲线 (C ) LI
Φm =,因而线圈的自感系数与回路的电流成反比
(D ) LI Φm
=,回路的磁通量越大,回路的自感系数也一定大
分析与解 对照感应电场的性质,感应电场的电场线是一组闭合曲线.因而 正确答案为(B ).
8 -6 一铁心上绕有线圈100匝,已知铁心中磁通量与时间的关系为
()Wb π100sin 100.85t Φ?=,求在s 100.12-?=t 时,线圈中的感应电动势.
分析 由于线圈有N 匝相同回路,线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数和,在此情况下,法拉第电磁感应定律通常写成t
ψ
t ΦN
ξd d d d -=-=,其中ΦN ψ=称为磁链.
解 线圈中总的感应电动势
()()t t
Φ
N
ξπ100cos 51.2d d =-= 当s 100.12-?=t
时,V 51.2=ξ.
8 -7 有两根相距为d 的无限长平行直导线,它们通以大小相等流向相反的电流,且电流均以
t
I d d 的变
化率增长.若有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内,如图所示.求线圈中的感应电动势.
分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律t
Φ
ξd d -
=来求解.由于回路处在非均匀磁场中,磁通量就需用??=S
Φ
S B d 来计算(其中B 为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B 1 与B 2 之和).
为了积分的需要,建立如图所示的坐标系.由于B 仅与x 有关,即()B B x =,故取一个平行于长直
导线的宽为dx 、长为d 的面元dS ,如图中阴影部分所示,则x d S d d =,所以,总磁通量可通过线
积分求得(若取面元y x S
d d d =,则上述积分实际上为二重积分).本题在工程技术中又称为互感现
象,也可用公式t
l
M
E M
d d -=求解. 解1 穿过面元dS 的磁通量为
()x d x
I
μx d d x I μΦd π2d π2d d d d 0021-+=
?+?=?=S B S B S B
因此穿过线圈的磁通量为
()4
3ln π2d π2d π2d 020
20Id μx x Id μx d x Id μΦΦd d d
d
=-+==??
?
再由法拉第电磁感应定律,有
t
I d μt ΦE d d 43ln π2d d 0??? ??=-
=
解2 当两长直导线有电流I 通过时,穿过线圈的磁通量为
4
3
ln π20dI μΦ=
线圈与两长直导线间的互感为
4
3ln π20d μI ΦM ==
当电流以
t
l
d d 变化时,线圈中的互感电动势为
t
I d μt I M
E d d 43ln π2d d 0??? ??=-=
试想:如线圈又以速率v 沿水平向右运动,如何用法拉第电磁感应定律求图示位置的电动势呢?此时线圈中既有动生电动势,又有感生电动势.设时刻t ,线圈左端距右侧直导线的距离为ξ,则穿过回路的磁通量
()ξf ΦS
,1d =?=?S B ,它表现为变量I 和ξ的二元函数,将Φ代入t
Φ
E d d -
= 即可求解,求
解时应按复合函数求导,注意,其中
v =t
ξ
d d ,再令ξ=d 即可求得图示位置处回路中的总电动势.最终结果为两项,其中一项为动生电动势,另一项为感生电动势.
8 -8 有一测量磁感强度的线圈,其截面积S =4.0 cm 2 、匝数N =160 匝、电阻R =50Ω.线圈与一内阻R i =30Ω的冲击电流计相连.若开始时,线圈的平面与均匀磁场的磁感强度B 相垂直,然后线圈的平面很快地转到与B 的方向平行.此时从冲击电流计中测得电荷值54.010C q -=?.问此均匀磁场
的磁感强度B 的值为多少?
分析 在电磁感应现象中,闭合回路中的感应电动势和感应电流与磁通量变化的快慢有关,而在一段时间内,通过导体截面的感应电量只与磁通量变化的大小有关,与磁通量变化的快慢无关.工程中常通过感应
电量的测定来确定磁场的强弱.
解 在线圈转过90°角时,通过线圈平面磁通量的变化量为
NBS NBS ΦΦΦ=-=-=0Δ12
因此,流过导体截面的电量为i
i R R NBS
R R Φq
+=
+=
Δ
则 ()T 050.0=+=
NS
R R q B i
8 -10 如图(a)所示,把一半径为R 的半圆形导线OP 置于磁感强度为B 的均匀磁场中,当导线以速率v 水平向右平动时,求导线中感应电动势E 的大小,哪一端电势较高?
分析 本题及后面几题中的电动势均为动生电动势,除仍可由t
ΦE d d -
=求解外(必须设法构造一个
闭合回路),还可直接用公式()l B d ??=?l
E
v 求解.
在用后一种方法求解时,应注意导体上任一导线元dl 上的动生电动势()l B d d ??=v E
.在一般情
况下,上述各量可能是dl 所在位置的函数.矢量(v ×B )的方向就是导线中电势升高的方向. 解1 如图(b)所示,假想半圆形导线O P 在宽为2R 的静止形导轨上滑动,两者之间形成一个闭合回路.设顺时针方向为回路正向,任一时刻端点O 或 端点P 距 形导轨左侧距离为x ,则
B R Rx Φ??
?
??+=2π212
即
B R t
x
RB t ΦE v 2d d 2d d -=-=-
= 由于静止的 形导轨上的电动势为零,则E =-2R v B .式中负号表示电动势的方向为逆时针,对OP 段来说端点P 的电势较高.
解2 建立如图(c )所示的坐标系,在导体上任意处取导体元dl ,则
()θR θB l θB E o d cos d cos 90sin d d v v ==??=l B v
B R θθBR E v v 2d cos d E π/2
π/2
===??-
由矢量(v ×B )的指向可知,端点P 的电势较高.
解3 连接OP 使导线构成一个闭合回路.由于磁场是均匀的,在任意时刻,穿过回路的磁通量
==BS Φ常数.由法拉第电磁感应定律t
Φ
E d d -
=可知,E =0
又因 E =E OP +E PO 即 E OP =-E PO =2R v B
由上述结果可知,在均匀磁场中,任意闭合导体回路平动所产生的动生电动势为零;而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势.上述求解方法是叠加思想的逆运用,即补偿的方法.
8 -11 长为L 的铜棒,以距端点r 处为支点,以角速率ω绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动.设磁感强度为B 的均匀磁场与轴平行,求棒两端的电势差.
分析 应该注意棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念,如同电源的端电压与电源电动势的不同.在开路时,两者大小相等,方向相反(电动势的方向是电势升高的方向,而电势差的正方向是电
势降落的方向).本题可直接用积分法求解棒上的电动势,亦可以将整个棒的电动势看作是O A 棒与O B 棒上电动势的代数和,如图(b)所示.而E O A 和E O B 则可以直接利用第8 -2 节例1 给出的结果. 解1 如图(a)所示,在棒上距点O 为l 处取导体元dl ,则
()()r L lB ωl lB ωE L-r
r
AB
AB 22
1
d d --=-=??=??
-l B v
因此棒两端的电势差为
()r L lB ωE U AB AB 22
1
--==
当L >2r 时,端点A 处的电势较高
解2 将AB 棒上的电动势看作是O A 棒和O B 棒上电动势的代数和,如图(b)所示.其中
221r ωB E OA =
,()22
1r L B ωE OB -= 则
()r L BL ωE E E OB OA AB 22
1
--=-=
8 -12 如图所示,长为L 的导体棒OP ,处于均匀磁场中,并绕OO ′轴以角速度ω旋转,棒与转轴间夹角恒为θ,磁感强度B 与转轴平行.求OP 棒在图示位置处的电动势.
分析 如前所述,本题既可以用法拉第电磁感应定律t
ΦE d d -
= 计算(此时必须构造一个包含OP 导
体在内的闭合回路, 如直角三角形导体回路OPQO ),也可用()l B d ??=?l
E
v 来计算.由于对称
性,导体OP 旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的. 解1 由上分析,得
()l B d ??=?
OP
OP E v
l αB l
o d cos 90sin ?=v
()()
l θB θωl
o d 90cos sin ?-=l
()?==L
θL B ωl l θB ω02
2
sin 2
1d sin
由矢量B ?v 的方向可知端点P 的电势较高.
解2 设想导体OP 为直角三角形导体回路OPQO 中的一部分,任一时刻穿 过回路的磁通量Φ为零,则回路的总电动势
QO PQ OP E E E t
Φ
E ++==-
=0d d 显然,E QO =0,所以
()2
2
1PQ B ωE E E QO PQ OP ==-=
由上可知,导体棒OP 旋转时,在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP 等效.后者是垂直切割的情况. 8 -13 如图(a)所示,金属杆AB 以匀速12.0m s -=?v
平行于一长直导线移动,此导线通有电流
I =40A .求杆中的感应电动势,杆的哪一端电势较高?
分析 本题可用两种方法求解.(1) 用公式()l B d ??=?l
E
v 求解,建立图(a )所示的坐标系,
所取导体元x l d d =,该处的磁感强度x
I
μB π20=
.(2) 用法拉第电磁感应定律求解,需构造一个包含杆AB 在内的闭合回路.为此可设想杆AB 在一个静止的形导轨上滑动,如图(b)所示.设时刻t ,杆AB 距导轨下端CD 的距离为y ,先用公式??=S
Φ
S B d 求得穿过该回路的磁通量,再代入公式
t
Φ
E d d -
=,即可求得回路的电动势,亦即本题杆中的电动势. 解1 根据分析,杆中的感应电动势为
()V 1084.311ln 2π
d 2πd d 50m
1.1m 1.00-?-=-=-==??=??
v
v v I μx x μxl E AB
AB l B 式中负号表示电动势方向由B 指向A ,故点A 电势较高.
解2 设顺时针方向为回路AB CD 的正向,根据分析,在距直导线x 处,取宽为dx 、长为y 的面元dS ,则穿过面元的磁通量为
x y x
I
μΦd 2πd d 0=
?=S B 穿过回路的磁通量为
11ln 2π
d 2πd 0m
1.1m 1.00??
-===S
Iy
μx y x I μΦΦ
回路的电动势为
V 1084.32π
d d 11ln 2πd d 500-?-=-=-=-
=Iy
μt y x I μt ΦE 由于静止的形导轨上电动势为零,所以
V 1084.35-?-==E E AB
式中负号说明回路电动势方向为逆时针,对AB 导体来说,电动势方向应由B 指向A ,故点A 电势较高. 8 -14 如图(a)所示,在“无限长”直载流导线的近旁,放置一个矩形导体线框,该线框在垂直于导线方向上以匀速率v 向右移动,求在图示位置处,线框中感应电动势的大小和方向.
分析 本题亦可用两种方法求解.其中应注意下列两点:1.当闭合导体线框在磁场中运动时,线框中的总电动势就等于框上各段导体中的动生电动势的代数和.如图(a)所示,导体eh 段和fg 段上的电动势
为零[此两段导体上处处满足
()0l B =??d v ],因而线框中的总电动势为
()()()()hg
ef hg
ef
gh
ef
E E E -=??-??=??+??=????l B l B l B l B d d d d v v v v 其等效电路如图(b)所示.
2.用公式t
Φ
E
d d -
=求解,式中Φ是线框运动至任意位置处时,穿过线框的磁通量.为此设时刻t 时,线框左边距导线的距离为ξ,如图(c )所示,显然ξ是时间t 的函数,且有v =t
ξ
d d .在求得线框在任意
位置处的电动势E (ξ)后,再令ξ=d ,即可得线框在题目所给位置处的电动势. 解1 根据分析,线框中的电动势为
hg ef E E E -=
()()????-??=hg
ef
l B l B d d v v
()
??+-=
2201000d 2πd 2πl l l l d I μl d I μv
v ()
12
02πl d I I μ+=
1vI
由E ef >E hg 可知,线框中的电动势方向为efgh .
解2 设顺时针方向为线框回路的正向.根据分析,在任意位置处,穿过线框的磁通量为
()()ξ
l ξξx Il μdx ξx Il μΦl 1
200
20ln
π2π21
++=+=?
相应电动势为
()()
11
20π2d d l ξξl l I μt ΦξE +=-
=v 令ξ=d ,得线框在图示位置处的电动势为
()
11
20π2l d d l l I μE +=
v
由E >0 可知,线框中电动势方向为顺时针方向.
*8 -15 有一长为l ,宽为b 的矩形导线框架,其质量为m ,电阻为R .在t =0时,框架从距水平面y =0 的上方h 处由静止自由下落,如图所示.磁场的分布为:在y =0 的水平面上方没有磁场;在y =0 的水平面下方有磁感强度为B 的均匀磁场,B 的方向垂直纸面向里.已知框架在时刻t 1 和t 2 的位置如图中所示.求在下述时间内,框架的速度与时间的关系:
(1) t 1 ≥t >0,即框架进入磁场前;(2) t 2 ≥t ≥t 1 ,即框架进入磁场, 但尚未全部进入磁场;(3)t >t 2 ,即框架全部进入磁场后.
分析 设线框刚进入磁场(t 1 时刻)和全部进入磁场(t 2 时刻)的瞬间,其速度分别为v 10 和v 20 .在情况(1)和(3)中,线框中无感应电流,线框仅在重力作用下作落体运动,其速度与时间的关系分别为v =gt (t <t 1)和v =v 20 +g (t -t 2 )(t >t 2 ).而在t 1<t <t 2这段时间内,线框运动较为复杂,由于穿过线框回路的磁通量变化,使得回路中有感应电流存在,从而使线框除受重力外,还受到一个向上的安培力F A ,其大小与速度有关,即()A
A F F =v .根据牛顿运动定律,此时线框的运动微分方程为
()t
v
v d d m
F mg A =-,解此微分方程可得t 1<t <t 2 时间内线框的速度与时间的关系式. 解 (1) 根据分析,在1t
t ≤时间内,线框为自由落体运动,于是
()11t t gt ≤=v 其中1t t =时,gh 2101==v v
(2) 线框进入磁场后,受到向上的安培力为
v R
l B IlB F A 2
2==
根据牛顿运动定律,可得线框运动的微分方程
t
v m v d d 22=-R l B mg
令mR
l B K 2
2=
,整理上式并分离变量积分,有
??
=-t t t g 1
10
d d v
v Kv v
积分后将gh 210
=v 代入,可得
()()[]
121
2t t K e gh K g g K
----=
v
(3) 线框全部进入磁场后(t >t 2),作初速为v 20 的落体运动,故有
()()()[]
()222031221
t t g e gh K g g K
t t g t t K -+--=
-+=--v v 8 -17 半径为R =2.0 cm 的无限长直载流密绕螺线管,管内磁场可视为均匀磁场,管外磁场可近似看
作零.若通电电流均匀变化,使得磁感强度B 随时间的变化率
t
d d B
为常量,且为正值,试求:(1) 管内外由磁场变化激发的感生电场分布;(2) 如
1s T 010.0d d -?=t
B
,求距螺线管中心轴r =5.0 cm 处感生电场的大小和方向.
分析 变化磁场可以在空间激发感生电场,感生电场的空间分布与场源———变化的磁场(包括磁场的空间分布以及磁场的变化率
t d d B 等)密切相关,即S B
l E d d ???-=??S S k t
.在一般情况下,求解感生电场的分布是困难的.但对于本题这种特殊情况,则可以利用场的对称性进行求解.可以设想,无限长直螺线管内磁场具有柱对称性,其横截面的磁场分布如图所示.由其激发的感生电场也一定有相应的对称
性,考虑到感生电场的电场线为闭合曲线,因而本题中感生电场的电场线一定是一系列以螺线管中心轴为圆心的同心圆.同一圆周上各点的电场强度E k 的大小相等,方向沿圆周的切线方向.图中虚线表示r <R 和r >R 两个区域的电场线.电场线绕向取决于磁场的变化情况,由楞次定律可知,当0d d B 时,电场线绕向与B 方向满足右螺旋关系;当 0d d >t B 时,电场线绕向与前者相反. 解 如图所示,分别在r <R 和r >R 的两个区域内任取一电场线为闭合回路l (半径为r 的圆),依照右手定则,不妨设顺时针方向为回路正向. (1) r <R , t B r t r E E k l k d d πd d d π2d 2-=?- =?=?=??S B l E t B r E k d d 2- = r >R , t B R t r E E k l k d d πd d d π2d 2-=?-=?=?=??S B l E t B r R E k d d 22-= 由于 0d d >t B ,故电场线的绕向为逆时针. (2) 由于r >R ,所求点在螺线管外,因此 t B r R E k d d 22-= 将r 、R 、 t B d d 的数值代入,可得15 m V 100.4--??-=k E ,式中负号表示E k 的方向是逆时针的. 8 -19 截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环,其尺寸如图(a)所示,共有N 匝(图中仅画出少量几匝),求该螺绕环的自感L . 分析 如同电容一样,自感和互感都是与回路系统自身性质(如形状、匝数、介质等)有关的量.求自感L 的方法有两种:1.设有电流I 通过线圈,计算磁场穿过自身回路的总磁通量,再用公式I ΦL = 计算L .2.让回路中通以变化率已知的电流,测出回路中的感应电动势E L ,由公式t I E L L d /d = 计算L .式 中E L 和t I d d 都较容易通过实验测定,所以此方法一般适合于工程中.此外,还可通过计算能量的方法求 解. 解 用方法1 求解,设有电流I 通过线圈,线圈回路呈长方形,如图(b)所示,由安培环路定理可求得在R 1 <r <R 2 范围内的磁场分布为 x NI μB π20= 由于线圈由N 匝相同的回路构成,所以穿过自身回路的磁链为 1 2 200ln π2d π2d 2 1 R R hI N μx h x NI μN N ψS R R ==?=?? S B 则 1 2 20ln π2R R h N μI ψL = 若管中充满均匀同种磁介质,其相对磁导率为μr ,则自感将增大μr 倍. 8 -20 如图所示,螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体,其截面积分别为S 1 和S 2 ,磁导率分别为μ1 和μ2 ,管长为l ,匝数为N ,求螺线管的自感.(设管的截面很小) 分析 本题求解时应注意磁介质的存在对磁场的影响.在无介质时,通电螺线管内的磁场是均匀的,磁感强度为B 0 ,由于磁介质的存在,在不同磁介质中磁感强度分别为μ1 B 0 和μ2 B 0 .通过线圈横截面的总磁通量是截面积分别为S 1 和S 2 的两部分磁通量之和.由自感的定义可解得结果. 解 设有电流I 通过螺线管,则管中两介质中磁感强度分别为 I L N μnl μB 1 11==,I L N μnl μB 222== 通过N 匝回路的磁链为 221121S NB S NB ΨΨΨ+=+= 则自感 22112 21S μS μl N I ψL L L +==+= 8 -21 有两根半径均为a 的平行长直导线,它们中心距离为d .试求长为l 的一对导线的自感(导线内部的磁通量可略去不计). 分析 两平行长直导线可以看成无限长但宽为d 的矩形回路的一部分.设在矩形回路中通有逆时针方向电流I ,然后计算图中阴影部分(宽为d 、长为l )的磁通量.该区域内磁场可以看成两无限长直载流导线分别在该区域产生的磁场的叠加. 解 在如图所示的坐标中,当两导线中通有图示的电流I 时,两平行导线间的磁感强度为 () r d I μr I μB -+ = π2π200 穿过图中阴影部分的磁通量为 a a d l μr Bl ΦS a d a -= =?=?? -ln πd d 0S B 则长为l 的一对导线的自感为 a a d l μI ΦL -== ln π0 如导线内部磁通量不能忽略,则一对导线的自感为212L L L +=.L 1 称为外自感,即本题已求出的 L ,L 2 称为一根导线的内自感.长为l 的导线的内自感8π 02 l μL =,有兴趣的读者可自行求解. 8 -22 如图所示,在一柱形纸筒上绕有两组相同线圈AB 和A ′B ′,每个线圈的自感均为L ,求:(1) A 和A ′相接时,B 和B ′间的自感L 1 ;(2) A ′和B 相接时,A 和B ′间的自感L 2 . 分析 无论线圈AB 和A ′B ′作哪种方式连接,均可看成一个大线圈回路的两个部分,故仍可从自感系数的定义出发求解.求解过程中可利用磁通量叠加的方法,如每一组载流线圈单独存在时穿过自身回路的磁通量为Φ,则穿过两线圈回路的磁通量为2Φ;而当两组线圈按(1)或(2)方式连接后,则穿过大线圈回路的总磁通量为2Φ±2Φ,“ ±”取决于电流在两组线圈中的流向是相同或是相反. 解 (1) 当A 和A ′连接时,AB 和A ′B ′线圈中电流流向相反,通过回路的磁通量亦相反,故总通量为 0221=-=ΦΦΦ, 故L 1 =0. (2) 当A ′和B 连接时,AB 和A ′B ′线圈中电流流向相同,通过回路的磁通量亦相同,故总通量为 ΦΦΦΦ4222=+=, 故L I Φ I ΦL 4422 === . 本题结果在工程实际中有实用意义,如按题(1)方式连接,则可构造出一个无自感的线圈. 8 -23 如图所示,一面积为4.0 cm 2 共50 匝的小圆形线圈A ,放在半径为20 cm 共100 匝的大圆形线圈B 的正中央,此两线圈同心且同平面.设线圈A 内各点的磁感强度可看作是相同的.求:(1) 两线圈的互感;(2) 当线圈B 中电流的变化率为-50 A·s- 1 时,线圈A 中感应电动势的大小和方向. 分析 设回路Ⅰ中通有电流I 1 ,穿过回路Ⅱ的磁通量为Φ21 ,则互感M =M 21 =Φ21I 1 ;也可设回路Ⅱ通 有电流I 2 ,穿过回路Ⅰ的磁通量为Φ12 ,则2 1212I ΦM M = = . 虽然两种途径所得结果相同,但在很多情况下,不同途径所涉及的计算难易程度会有很大的不同.以本题为例,如设线圈B 中有电流I 通过,则在线圈A 中心处的磁感强度很易求得,由于线圈A 很小,其所在处的磁场可视为均匀的,因而穿过线圈A 的磁通量Φ≈BS .反之,如设线圈A 通有电流I ,其周围的磁场分布是变化的,且难以计算,因而穿过线圈B 的磁通量也就很难求得,由此可见,计算互感一定要善于选择方便的途径. 解 (1) 设线圈B 有电流I 通过,它在圆心处产生的磁感强度R I μN B B 200=穿过小线圈A 的磁链 近似为 A B A A A A S R I μN N S B N ψ200== 则两线圈的互感为 H 1028.6260-?=== R S μN N I ψM A B A A (2)V 1014.3d d 4-?=-=t I M E A 互感电动势的方向和线圈B 中的电流方向相同. 第一章 质点运动学 1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v,t 至(t +Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ|r |),平均速度为v ,平均速率为v . (1) 根据上述情况,则必有( ) (A) |Δr |= Δs = Δr (B) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d s ≠ d r (C) |Δr |≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有|d r |= d r ≠ d s (D) |Δr |≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有|d r |= d r = d s (2) 根据上述情况,则必有( ) (A) |v |= v ,|v |= v (B) |v |≠v ,|v |≠ v (C) |v |= v ,|v |≠ v (D) |v |≠v ,|v |= v 分析与解 (1) 质点在t 至(t +Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs =PP′, 位移大小|Δr |=PP ′,而Δr =|r |-|r |表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注:在直线运动中有相等的可能).但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有|d r |=d s ,但却不等于d r .故选(B). (2) 由于|Δr |≠Δs ,故t s t ΔΔΔΔ≠r ,即|v |≠v . 但由于|d r |=d s ,故t s t d d d d =r ,即|v |=v .由此可见,应选(C). 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ; (2)t d d r ; (3)t s d d ; (4)2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x . 下述判断正确的是( ) (A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确 1.质点运动学单元练习(一)答案 1.B 2.D 3.D 4.B 5.3.0m ;5.0m (提示:首先分析质点的运动规律,在t <2.0s 时质点沿x 轴正方向运动;在t =2.0s 时质点的速率为零;,在t >2.0s 时质点沿x 轴反方向运动;由位移和路程的定义可以求得答案。) 6.135m (提示:质点作变加速运动,可由加速度对时间t 的两次积分求得质点运动方程。) 7.解:(1))()2(22 SI j t i t r )(21m j i r )(242m j i r )(3212m j i r r r )/(32s m j i t r v (2))(22SI j t i dt r d v )(2SI j dt v d a )/(422s m j i v )/(222 s m j a 8.解: t A tdt A adt v t o t o sin cos 2 t A tdt A A vdt A x t o t o cos sin 9.解:(1)设太阳光线对地转动的角速度为ω s rad /1027.73600 *62 /5 s m t h dt ds v /1094.1cos 32 (2)当旗杆与投影等长时,4/ t h s t 0.31008.144 10.解: ky y v v t y y v t dv a d d d d d d d -k y v d v / d y C v ky v v y ky 2 22 121, d d 已知y =y o ,v =v o 则2 020 2 121ky v C )(22 22y y k v v o o 例1:1 mol 氦气经如图所示的循环,其中p 2= 2 p 1,V 4= 2 V 1,求在1~2、2~3、3~4、4~1等过程中气体与环境的热量交换以及循环效率(可将氦气视为理想气体)。O p V V 1 V 4 p 1p 2解:p 2= 2 p 1 V 2= V 11234T 2= 2 T 1p 3= 2 p 1V 3= 2 V 1T 3= 4 T 1p 4= p 1V 4= 2 V 1 T 4= 2 T 1 (1)O p V V 1 V 4 p 1p 21234)(1212T T C M m Q V -=1→2 为等体过程, 2→3 为等压过程, )(2323T T C M m Q p -=1 1123)2(23RT T T R =-=1 115)24(2 5RT T T R =-=3→4 为等体过程, )(3434T T C M m Q V -=1 113)42(2 3 RT T T R -=-=4→1 为等压过程, )(4141T T C M m Q p -=1 112 5)2(25RT T T R -=-= O p V V 1 V 4 p 1p 21234(2)经历一个循环,系统吸收的总热量 23121Q Q Q +=1 112 13 523RT RT RT =+=系统放出的总热量1 41342211 RT Q Q Q =+=% 1.1513 2 112≈=-=Q Q η三、卡诺循环 A → B :等温膨胀B → C :绝热膨胀C → D :等温压缩D →A :绝热压缩 ab 为等温膨胀过程:0ln 1>=a b ab V V RT M m Q bc 为绝热膨胀过程:0=bc Q cd 为等温压缩过程:0ln 1<= c d cd V V RT M m Q da 为绝热压缩过程:0 =da Q p V O a b c d V a V d V b V c T 1T 2 a b ab V V RT M m Q Q ln 11= =d c c d V V RT M m Q Q ln 12= =, 卡诺热机的循环效率: p V O a b c d V a V d V b V c ) )(1 212a b d c V V V V T T Q Q (ln ln 11-=- =ηT 1T 2 bc 、ab 过程均为绝热过程,由绝热方程: 11--=γγc c b b V T V T 1 1--=γγd d a a V T V T (T b = T 1, T c = T 2)(T a = T 1, T d = T 2) d c a b V V V V =1 212T T Q Q -=- =11η p V O a b c d V a V d V b V c T 1T 2 卡诺制冷机的制冷系数: 1 2 1212))(T T V V V V T T Q Q a b d c ==(ln ln 2 122122T T T Q Q Q A Q -= -== 卡ω 第八章 光的偏振 8.1 两偏振片组装成起偏和检偏器,当两偏振片的偏振化方向夹角成30o时观察一普通光源,夹角成60o时观察另一普通光源,两次观察所得的光强相等,求两光源光强之比. [解答]第一个普通光源的光强用I 1表示,通过第一个偏振片之后,光强为I 0 = I 1/2. 当偏振光通过第二个偏振片后,根据马吕斯定律,光强为I = I 0cos 2θ1 = I 1cos 2θ1/2. 同理,对于第二个普通光源可得光强为I = I 2cos 2θ2/2. 因此光源的光强之比I 2/I 1 = cos 2θ1/cos 2θ2 = cos 230o/cos 260o = 1/3. 8.2 一束线偏振光和自然光的混合光,当它通过一偏振片后,发现随偏振片的取向不同,透射光的强度可变化四倍,求入射光束中两种光的强度各占入射光强度的百分之几? [解答]设自然光强为I 1,线偏振光强为I 2,则总光强为I 0 = I 1 + I 2. 当光线通过偏振片时,最小光强为自然光强的一半,即I min = I 1/2; 最大光强是线偏振光强与自然光强的一半之和,即I max = I 2 + I 1/2. 由题意得I max /I min = 4,因此2I 2/I 1 + 1 = 4, 解得I 2 = 3I 1/2.此式代入总光强公式得 I 0 = I 1 + 3I 1/2. 因此入射光中自然光强的比例为I 1/I 0 = 2/5 = 40%. 由此可得线偏振光的光强的比例为I 2/I 0 = 3/5 = 60%. [讨论]如果I max /I min = n ,根据上面的步骤可得 I 1/I 0 = 2/(n + 1), I 2/I 0 = (n - 1)/(n + 1), 可见:n 的值越大,入射光中自然光强的比例越小,线偏振光的光强的比例越大. 8.3 水的折射率为1.33,玻璃的折射率为1.50,当光由水射向玻璃时,起偏角为多少?若光由玻璃射向水时,起偏角又是多少?这两个角度数值上的关系如何? [解答]当光由水射向玻璃时,水的折射率为n 1,玻璃的折射率为n 2,根据布儒斯特定律 tan i 0 = n 2/n 1 = 1.1278, 得起偏角为i 0 = 48.44o. 当光由玻璃射向水时,玻璃的折射率为n 1,水的折射率为n 2,根据布儒斯特定律 tan i 0 = n 2/n 1 = 0.8867, 得起偏角为i 0 = 41.56o. 可见:两个角度互为余角. 8.4 根据布儒斯特定律可测量不透明介质的折射率,今测得某釉质的起偏角为58o,则该釉质的折射率为多少? [解答]空气的折射率取为1,根据布儒斯特定律可得釉质的折射率为n = tan i 0 = 1.6003. 8.5 三个偏振片堆叠在一起,第一块与第三块偏振化方 向互相垂直,第二块与第一块的偏振化方向互相平行,现令第二块偏振片以恒定的角速度ω0绕光传播方向旋转,如图所 示.设入射自然光的光强为I 0,试证明:此自然光通过这一系 统后出射光强度为I = I 0(1 – cos4ωt )/16. [证明]自然光通过偏振片P 1之后,形成偏振光,光强为 I 1 = I 0/2. 经过时间t ,P 3的偏振化方向转过的角度为θ = ωt , 根据马吕斯定律,通过P 3的光强为I 3 = I 1cos 2θ. 由于P 1与P 2的偏振化方向垂直,所以P 2与P 3的偏振化方向的夹角为φ = π/2 – θ, 再根据马吕斯定律,通过P 2的光强为 I = I 3cos 2φ = I 3sin 2θ= I 0(cos 2θsin 2θ)/2 = I 0(sin 22θ)/8= I 0(1 – cos4θ)/16, 1P 3 2图8.5 x L h 书中例题:1.2, 1.6(p.7;p.17)(重点) 直杆AB 两端可以分别在两固定且相互垂直的直导线槽上滑动,已知杆的倾角φ=ωt 随时间变化,其中ω为常量。 求:杆中M 点的运动学方程。 解:运动学方程为: x=a cos(ωt) y=b sin(ωt) 消去时间t 得到轨迹方程: x 2/a 2 + y 2/b 2 = 1 椭圆 运动学方程对时间t 求导数得速度: v x =dx/dt =-a ωsin(ωt) v y =dy/dt =b ωcos(ωt) 速度对时间t 求导数得加速度: a x =d v x /dt =-a ω2cos(ωt) a y =d v y /dt =-b ω2sin(ωt) 加速度的大小: a 2=a x 2+a y 2 习题指导P9. 1.4(重点) 在湖中有一小船,岸边有人用绳子跨过一高处的滑轮拉船靠岸,当绳子以v 通过滑轮时, 求:船速比v 大还是比v 小? 若v 不变,船是否作匀速运动? 如果不是匀速运动,其加速度是多少? 解: l =(h2+x2)1/2 221/2 122()d l x d x v d t h x d t ==+ 221/2()d x h x v d t x += 当x>>h 时,dx/dt =v ,船速=绳速 当x →0时,dx/dt →∞ 加速度: x y M A B a b φ x h 220d x d t =2221/22221/2221/2221/2221/22221/2()1()11()()1112()2()d x d h x v dt dt x d h x v dt x d dx d h x dx h x v v dx x dt x dx dt dx x dx h x v v x dt x h x dt ?? +=??????=?+???? +??=?++ ???=-?+++ 将221/2()d x h x v d t x +=代入得: 2221/2221/2 221/2 22221/21()112()()2()d x h x x h x h xv v v v d t x x x h x x ++=-?+++3222232222)(x v h x v v x x h dt x d -=++-= 分析: 当x ∞, 变力问题的处理方法(重点) 力随时间变化:F =f (t ) 在直角坐标系下,以x 方向为例,由牛顿第二定律: ()x dv m f t dt = 且:t =t 0 时,v x =v 0 ;x =x 0 则: 1 ()x dv f t dt m = 直接积分得: 1 ()()x x v dv f t dt m v t c ===+?? 其中c 由初条件确定。 由速度求积分可得到运动学方程: 答案在试题后面显示 模拟试题 注意事项: 1.本试卷共三大题,满分100分,考试时间120分钟,闭卷; 2.考前请将密封线内各项信息填写清楚; 3.所有答案直接做在试卷上,做在草稿纸上无效; 4.考试结束,试卷、草稿纸一并交回。 一、选择题 1、一质点在平面上作一般曲线运动,其瞬时速度为,瞬时速率为,某一时间内的平均速度为,平均速率为,它们之间的关系必定有:() (A)(B) (C)(D) 2、如图所示,假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑,轨道是光滑的,在从A至C的下滑过程中,下面 哪个说法是正确的?() (A) 它的加速度大小不变,方向永远指向圆心. (B) 它的速率均匀增加. (C) 它的合外力大小变化,方向永远指向圆心. (D) 它的合外力大小不变. (E) 轨道支持力的大小不断增加. 3、如图所示,一个小球先后两次从P点由静止开始,分别沿着光滑的固定斜面l1和圆弧面l2下滑.则小 球滑到两面的底端Q时的() (A) 动量相同,动能也相同.(B) 动量相同,动能不同. (C) 动量不同,动能也不同.(D) 动量不同,动能相同. 4、置于水平光滑桌面上质量分别为m1和m2的物体A和B之间夹有一轻弹簧.首先用双手挤压A和B 使弹簧处于压缩状态,然后撤掉外力,则在A和B被弹开的过程中( ) (A) 系统的动量守恒,机械能不守恒.(B) 系统的动量守恒,机械能守恒.(C) 系统的动量不守恒,机械能守恒.(D) 系统的动量与机械能都不守恒. 5、一质量为m的小球A,在距离地面某一高度处以速度水平抛出,触地后反跳.在抛出t秒后小球A 跳回原高度,速度仍沿水平方向,速度大小也与抛出时相同,如图.则小球A与地面碰撞过程中,地面给它的冲量的方向为________________,冲量的大小为____________________. 第八章 恒定磁场 8-1 均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面.今以该圆周为边线,作一半球面S ,则通过S 面的磁通量的大小为[ ]。 (A) B r 22π (B) B r 2π (C) 0 (D) 无法确定 分析与解 根据高斯定理,磁感线是闭合曲线,穿过圆平面的磁通量与穿过半球面的磁通量相等。正确答案为(B )。 8-2 下列说法正确的是[ ]。 (A) 闭合回路上各点磁感强度都为零时,回路内一定没有电流穿过 (B) 闭合回路上各点磁感强度都为零时,回路内穿过电流的代数和必定为零 (C) 磁感强度沿闭合回路的积分为零时,回路上各点的磁感强度必定为零 (D) 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时,回路上任意点的磁感强度必定为零 分析与解 由磁场中的安培环路定理,磁感强度沿闭合回路的积分为零时,回路上各点的磁感强度不一定为零;闭合回路上各点磁感强度为零时,穿过回路的电流代数和一定为零。正确答案为(B )。 8-3 磁场中的安培环路定理∑?=μ=?n L I 1i i 0d l B 说明稳恒电流的磁场是[ ]。 (A) 无源场 (B) 有旋场 (C) 无旋场 (D) 有源场 分析与解 磁场的高斯定理与安培环路定理是磁场性质的重要表述,在恒定磁场中B 的环流一般不为零,所以磁场是涡旋场;而在恒定磁场中,通过任意闭合曲面的磁通量必为零,所以磁场是无源场;静电场中E 的环流等于零,故静电场为保守场;而静电场中,通过任意闭合面的电通量可以不为零,故静电场为有源场。正确答案为(B )。 8-4 一半圆形闭合平面线圈,半径为R ,通有电流I ,放在磁感强度为B 的均匀磁场中,磁场方向与线圈平面平行,则线圈所受磁力矩大小为[ ]。 (A) B R I 2π (B) B R I 221π (C) B R I 24 1π (D) 0 分析与解 对一匝通电平面线圈,在磁场中所受的磁力矩可表示为B e M ?=n IS ,而且对任意形状的平面线圈都是适用的。正确答案为(B )。 8-5 一长直螺线管是由直径d =0.2mm 的漆包线密绕而成。当它通以I =0.5A 的电流时,其内部的磁感强度B =_____________。(忽略绝缘层厚度,μ0=4π×10-7N/A 2) 分析与解 根据磁场中的安培环路定理可求得长直螺线管内部的磁感强度大小为nI B 0μ=,方向由右螺旋关系确定。正确答安为(T 1014.33-?)。 8-6 如图所示,载流导线在平面内分布,电流为I ,则在圆心O 点处的磁感强度大小为_____________,方向为 _____________ 。 分析与解 根据圆形电流和长直电 流的磁感强度公式,并作矢量叠加,可得圆心O 点的总 习题9 9.1选择题 (1)正方形的两对角线处各放置电荷Q,另两对角线各放置电荷q,若Q所受到合力为零, 则Q与q的关系为:() (A)Q=-23/2q (B) Q=23/2q (C) Q=-2q (D) Q=2q [答案:A] (2)下面说法正确的是:() (A)若高斯面上的电场强度处处为零,则该面内必定没有净电荷; (B)若高斯面内没有电荷,则该面上的电场强度必定处处为零; (C)若高斯面上的电场强度处处不为零,则该面内必定有电荷; (D)若高斯面内有电荷,则该面上的电场强度必定处处不为零。 [答案:A] (3)一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ,则在距球面R处的电场强度() (A)σ/ε0 (B)σ/2ε0 (C)σ/4ε0 (D)σ/8ε0 [答案:C] (4)在电场中的导体内部的() (A)电场和电势均为零;(B)电场不为零,电势均为零; (C)电势和表面电势相等;(D)电势低于表面电势。 [答案:C] 9.2填空题 (1)在静电场中,电势梯度不变的区域,电场强度必定为。 [答案:零] (2)一个点电荷q放在立方体中心,则穿过某一表面的电通量为,若将点电荷由中 心向外移动至无限远,则总通量将。 [答案:q/6ε0, 将为零] (3)电介质在电容器中作用(a)——(b)——。 [答案:(a)提高电容器的容量;(b) 延长电容器的使用寿命] (4)电量Q均匀分布在半径为R的球体内,则球内球外的静电能之比。 [答案:1:5] 9.3 电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题9.3图示 (1) 以A处点电荷为研究对象,由力平衡知:q 为负电荷 1某质点的运动学方程x=6+3t-5t 3 ,则该质点作 ( D ) (A )匀加速直线运动,加速度为正值 (B )匀加速直线运动,加速度为负值 (C )变加速直线运动,加速度为正值 (D )变加速直线运动,加速度为负值 2一作直线运动的物体,其速度x v 与时间t 的关系曲线如图示。设21t t →时间合力作功为 A 1,32t t →时间合力作功为A 2,43t t → 3 C ) (A )01?A ,02?A ,03?A (B )01?A ,02?A , 03?A (C )01=A ,02?A ,03?A (D )01=A ,02?A ,03?A 3 关于静摩擦力作功,指出下述正确者( C ) (A )物体相互作用时,在任何情况下,每个静摩擦力都不作功。 (B )受静摩擦力作用的物体必定静止。 (C )彼此以静摩擦力作用的两个物体处于相对静止状态,所以两个静摩擦力作功之和等于 零。 4 质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动,经过时间T 转动一圈,那么在2T 的时间,其平均 速度的大小和平均速率分别为(B ) (A ) , (B ) 0, (C )0, 0 (D ) T R π2, 0 5、质点在恒力F 作用下由静止开始作直线运动。已知在时间1t ?,速率由0增加到υ;在2t ?, 由υ增加到υ2。设该力在1t ?,冲量大小为1I ,所作的功为1A ;在2t ?,冲量大小为2I , 所作的功为2A ,则( D ) A .2121;I I A A <= B. 2121;I I A A >= C. 2121;I I A A => D. 2121;I I A A =< 6如图示两个质量分别为B A m m 和的物体A 和B 一起在水平面上沿x 轴正向作匀减速直线 运动,加速度大小为a ,A 与B 间的最大静摩擦系数为μ,则A 作用于B 的静摩擦力F 的 大小和方向分别为(D ) 轴正向相反与、轴正向相同 与、轴正向相同 与、轴正向相反 与、x a m D x a m x g m x g m B B B B ,,C ,B ,A μμT R π2T R π2T R π2t V 第八章 热力学基础 8-1如图所示,bca 为理想气体绝热过程,b1a 和b2a 是任意过程,则上述两过程中气体做功与吸收热量的情况是:(B ) (A) b1a 过程放热,作负功;b2a 过程放热,作负功 (B) b1a 过程吸热,作负功;b2a 过程放热,作负功 (C) b1a 过程吸热,作正功;b2a 过程吸热,作负功 (D) b1a 过程放热,作正功;b2a 过程吸热,作正功 8-2 如图,一定量的理想气体由平衡态A 变到平衡态B ,且它们的压强相等,则在状态A 和状态B 之间,气体无论经过的是什么过程,气体必然( B ) (A)对外作正功 (B)内能增加 (C)从外界吸热 (D)向外界放热 8-3 两个相同的刚性容器,一个盛有氢气,一个盛氦气(均视为刚性分子理想气体),开始时它们的压强温度都相同,现将3J 热量传给氦气,使之升高到一定温度,若使氢气也升高同样温度,则应向氢气传递热量为( C ) (A) 6 J (B) 3 J (C) 5J (D) 10 J 8-4 有人想象了如题图四个理想气体的循环过程,则在理论上可以实现的为 ( ) (A) (B) (C) (D) 8-5一台工作于温度分别为327o C和27o C的高温热源和低温源之间的卡诺热机,每经历一个循环吸热2 000 J,则对外作功( B ) (A) 2 000 J (B) 1 000 J (C) 4 000 J (D) 500 J 8-6 根据热力学第二定律( A ) (A) 自然界中的一切自发过程都是不可逆的 (B) 不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程 (C) 热量可以从高温物体传到低温物体,但不能从低温物体传到高温物体 (D)任何过程总是沿着熵增加的方向进行 8-7 一定质量的气体,在被压缩的过程中外界对气体做功300J,但这一过程中气体的内能减少了300J,问气体在此过程中是吸热还是放热?吸收或放出的热量是多少? 解:由于外界对气体做功,所以:300J = W - 由于气体的内能减少,所以:J ?E = 300 - 根据热力学第一定律,得:J ? + =W = E Q 300- 600 300 = - - 《大学物理》课后作业题 专业班级: 姓名: 学号: 作业要求:题目可打印,答案要求手写,该课程考试时交作业。 第一章 质点力学 1、质点的运动函数为: 5 4;22 +==t y t x , 式中的量均采用SI 单位制。求:(1)质点运动的轨道方程;(2)s 11=t 和s 22=t 时,质点的位置、速度和加速度。 1、用消元法 t=x/2 轨迹方程为 y=x2+5 2、运动的合成 x 方向上的速度为x'=2, y 方向上的速度为y'=8t+5 将t 带入分别求出x 和y 方向上的速度 然后合成 x 方向上的加速度为x''=0 y 方向上的加速度为y''=8 所以加速度为8 2、如图所示,把质量为m 的小球悬挂在以恒加速度水平运动的小车上,悬线与竖直方向的夹角为θ,求小车的加速度和绳的张力。 绳子的拉力F ,将其水平和竖直正交分解为 Fsinα 和 Fcosα 竖直:Fcosα=mg 水平:Fsinα=ma a=gtanα 方向水平向右 3、一质量为0.10kg 的质点由静止开始运动,运动函数为j i 23 53 += t r (SI 单位) 求在t=0到t=2s 时间内,作用在该质点上的合力所做的功。 质点的速度就是 V =dr / dt =5* t^2 i +0 j 即质点是做直线运动,在 t =0时速度为V0=0;在 t =2秒时,速度为 V1=5*2^2=20 m/s 由动能定理得所求合力做的功是 W 合=(m*V1^2 / 2)-(m*V0^2 / 2)= m*V1^2 / 2=0.1*20^2 / 2=20 焦耳 第二章 刚体力学 T 1 1、在图示系统中,滑轮可视为半径为R、质量为m0的匀质圆盘。设绳与滑轮之间无滑动, 水平面光滑,并且m1=50kg,m2=200kg,m0=15kg,R=0.10m,求物体的加速度及绳中的张力。 解将体系隔离为 1 m, m, 2 m三个部分,对 1 m和 2 m分别列牛顿方程,有 a m T g m 2 2 2 = - a m T 1 1 = β2 1 22 1 MR R T R T= - 因滑轮与绳子间无滑动,则有运动学条件 R aβ = 联立求解由以上四式,可得 R M m m g m ? ? ? ? ? + + = 2 1 2 1 2 β 由此得物体的加速度和绳中的张力为 2 2 1 262 .7 15 5.0 200 50 81 .9 200 2 1 - ? = ? + + ? = + + = =s m M m m g m R aβ N a m T381 62 .7 50 1 1 = ? = =N a g m T438 ) 62 .7 81 .9( 200 ) ( 2 2 = - ? = - = 第四章静止电荷的电场 1、如图所示:一半径为R的半圆环上均匀分布电 荷Q(>0),求环心处的电场强度。 解:由上述分析,点O的电场强度 由几何关系θd d R l=,统一积分变量后,有 y x O 哈工程大学物理(下)作业答案(二) 79. 一半径r=10cm 的圆形闭合导线回路置于均匀磁场B ( B=0.80T)中,B 与回路平面正交。若圆形回路的半径从t=0开始以恒定的速率(d r /d t=-80cm/s)收缩,则在t=0时刻闭合回路的感应电动势的大小是多少?如要求感应电动势保持这一数值,则闭合回路面积应以怎样的恒定速率收缩? 80. 一导线弯成如图形状,放在均匀磁场B 中,B 的方向垂直图面向里。.,600 a cd bc bcd ===∠,使导线绕 轴O O '旋转,如图转速为每分钟n 转。计算εoo’ ? ? 'O ? 解: 4 /32/32 122a a S == t BS ωΦcos =, 60/2n π=ω ∴ t BS t O O ωωΦsin )/d (d =-=' ?)60/2sin()60/2(nt BSn ππ= )60/2sin()120/3(2 nt B na ππ= 81. 电荷Q 均匀分布在半径为a 、长为L ( L >>a )的绝缘薄壁长圆筒表面上,圆筒以角速度ω绕中心轴线旋转.一半径为2a 、电阻为R 的单匝圆形线圈套在圆筒上(如图所示).若圆筒转速按照)/1(0 t t -=ωω的规律(ω 0和t 0是已知常数)随时间线性地减小,求圆形线圈中感应电流的大小和流向. 解:筒以ω旋转时,相当于表面单位长度上有环 形电流π ? 2ω L Q ,它和通电流螺线管的nI 等效.按长螺线管产生磁场的公式,筒内均匀磁场磁感强度为: L Q B π=20 ω μ (方向沿筒的轴向) 筒外磁场为零.穿过线圈的磁通量为: L a Q B a 22 2 ωμΦ=π= 在单匝线圈中产生感生电动势为 = -=t d d Φ?)d d (22 t L Qa ω μ-0 2 02Lt Qa ωμ= 感应电流i 为 202RLt Qa R i ωμ= = ? i 的流向与 习题精解 8-1 一根无限长直导线有交变电流0sin i I t ω=,它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD ,如图8.3所示,长为l 的AB 和CD 两边与直导向平行,它们到直导线的距离分别为a 和b ,试求矩形线圈所围面积的磁通量,以及线圈中的感应电动势。 解 建立如图8.3所示的坐标系,在矩形平面上取一矩形面元dS ldx =,载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为 02m i d B dS ldx x μφπ=?= 通过矩形面积CDEF 的总磁通量为 00ln 22b m a i il b ldx x a μμφππ==? 由法拉第电磁感应定律有 0ln cos 2m d il b t dt a φμωεωπ=- =- 8-2 有一无限长直螺线管,单位长度上线圈的匝数为n ,在管的中心放置一绕了N 圈,半径为r 的圆形小线圈,其轴线与螺线管的轴线平行,设螺线管内电流变化率为dI dt ,球小 线圈中感应的电动势。 解 无限长直螺线管内部的磁场为 0B nI μ= 通过N 匝圆形小线圈的磁通量为 20m NBS N nI r φμπ== 由法拉第电磁感应定律有 20m d dI N n r dt dt φεμπ=- =- 8-3 一面积为S 的小线圈在一单位长度线圈匝数为n ,通过电流为i 的长螺线管内,并与螺线管共轴,若0sin i i t ω=,求小线圈中感生电动势的表达式。 解 通过小线圈的磁通量为 0m BS niS φμ== 由法拉第电磁感应定律有 000cos m d di nS nSi t dt dt φεμμωω=- =-=- 8-4 如图8.4所示,矩形线圈ABCD 放在1 6.010B T -=?的均匀磁场中,磁场方向与线圈平面的法线方向之间的夹角为60α=?,长为0.20m 的AB 边可左右滑动。若令AB 边以速率1 5.0v m s -=?向右运动,试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。 解 利用动生电动势公式 电势、导体与 ※ 电介质中的静电场 (参考答案) 班级: 学号: 姓名: 成绩: 一 选择题 1.真空中一半径为 R 的球面均匀带电 Q ,在球心 O 处有一带电量为 q 的点电荷, 如图所示, 设无穷远处为电势零点,则在球内离球心 O 距离为 r 的 P 点处的电势为: (A ) q ; ( B ) 1 ( q Q ) ; 4 0 r O r P 4 0r R Q q R (C ) q Q ; ( D ) 1 ( q Q q ) ; 4 0 r 4 0r R 参考:电势叠加原理。 [ B ] 2.在带电量为 -Q 的点电荷 A 的静电场中,将另一 带电量为 q 的点电荷 B 从 a 点移动到 b , a 、 b 两点距离点电荷 A 的距离分别为 r 和 r ,如 1 2 图,则移动过程中电场力做功为: (A ) Q ( 1 4 0 r 1 qQ ( 1 (C ) 4 0 r 1 1 ) ; ( B ) qQ r 2 4 r 1 ) ; (D ) 4 2 ( 1 1 ) ;(-Q)A r 1 B a 0 r 1 r 2 qQ r 2 ( q ) b r ) 。 0 ( r 2 1 参考:电场力做功=势能的减小量。 A=W-W =q(U -U ) [ C ] ab a b 。 3.某电场的电力线分布情况如图所示,一负电荷从 M 点移到 N 点,有人根据这个图做出以 下几点结论,其中哪点是正确的? (A )电场强度 E <E ; ( B )电势 U < U ; MN M N (C )电势能 W M < W N ; ( D )电场力的功 A > 0。 N M [ C ] 4.一个未带电的空腔导体球壳内半径为 R ,在腔内离球心距离为 d ( d < R )处,固定一电 量为 +q 的点电荷,用导线把球壳接地后,再把地线撤去,选无穷远处为电势零点,则球心 O 处的点势为: (A ) 0; ( B ) 4 q d ; R q q ( 1 1 ) 。 O +q (C ) - ; ( D ) d 4 0R 4 0 d R 参考:如图,先用高斯定理可知导体内表面电荷为 -q ,导体 外表面无电荷(可分析) 。虽然内表面电荷分布不均,但到 O 点的距离相同,故由电势叠加 原理可得。 [ D ] ※ 5.在半径为 R 的球的介质球心处有电荷 +Q ,在球面上均匀分布电荷 -Q ,则在球内外处的电势分别为: Q Q Q (A ) 4 r 内 , 4 r 外 ; ( B ) 4 r 内 , 0; 参考:电势叠加原理。注:原题中ε为ε0 (C ) 4 Q Q r 内 4 R ,0; ( D ) 0, 0 。 [ C ] 班级___ ___学号____ ____姓名____ _____成绩______________ 一、选择题 1. m 与M 水平桌面间都是光滑接触,为维持m 与M 相对静止,则推动M 的水平力F 为:( B ) (A)(m +M )g ctg (B)(m +M )g tg (C)mg tg (D)Mg tg 2. 一质量为m 的质点,自半径为R 的光滑半球形碗口由静止下滑,质点在碗内某处的速率为v ,则质点对该处的压力数值为:( B ) (A)R mv 2 (B)R mv 232 (C)R mv 22 (D)R mv 252 3. 如图,作匀速圆周运动的物体,从A 运动到B 的过程中,物体所受合外力的冲量:( C ) (A) 大小为零 (B ) 大小不等于零,方向与v A 相同 (C) 大小不等于零,方向与v B 相同 (D) 大小不等于零,方向与物体在B 点所受合力相同 二、填空题 1. 已知m A =2kg ,m B =1kg ,m A 、m B 与桌面间的摩擦系数 =,(1)今用水平 力F =10N 推m B ,则m A 与m B 的摩擦力f =_______0______,m A 的加速度a A =_____0_______. (2)今用水平力F =20N 推m B ,则m A 与m B 的摩擦力 f =____5N____,m A 的加速度a A =. ( g =10m/s 2) 2. 设有三个质量完全相同的物体,在某时刻t 它们的速度分别为v 1、v 2、v 3,并且v 1=v 2=v 3 , v 1与v 2方向相反,v 3与v 1相垂直,设它们的质量全为m ,试问该时刻三物体组成的系统的总 动量为_______m v 3________. 3.两质量分别为m 1、m 2的物体用一倔强系数为K 的轻弹簧相连放在光滑水平桌面上(如图),当两物体相距为x 时,系统由静止释放,已知弹簧的自然长度为x 0,当两物体相距为x 0时,m 1的速度大小为 F m A m B m M F θ A O B R v A v B x m 1m 2 大学电磁学习题1 一.选择题(每题3分) 1.如图所示,半径为R 的均匀带电球面,总电荷为Q ,设无穷远处的电势为零,则球内距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小和电势为: (A) E =0,R Q U 04επ= . (B) E =0,r Q U 04επ= . (C) 204r Q E επ= ,r Q U 04επ= . (D) 204r Q E επ= ,R Q U 04επ=. [ ] 2.一个静止的氢离子(H +)在电场中被加速而获得的速率为一静止的氧离子(O +2)在同一电场中且通过相同的路径被加速所获速率的: (A) 2倍. (B) 22倍. (C) 4倍. (D) 42倍. [ ] 3.在磁感强度为B ?的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ,S 边线所在 平面的法线方向单位矢量n ?与B ? 的夹角为? ,则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) ?r 2B . . (B) 2??r 2B . (C) -?r 2B sin ?. (D) -?r 2B cos ?. [ ] 4.一个通有电流I 的导体,厚度为D ,横截面积为S ,放置在磁感强度为B 的匀强磁场中,磁场方向垂直于导体的侧表面,如图所示.现测得导体上下两面电势差为V ,则此导体的霍尔系数等于 (A) IB VDS . (B) DS IBV . (C) IBD VS . (D) BD IVS . (E) IB VD . [ ] 5.两根无限长载流直导线相互正交放置,如图所示.I 1沿y 轴的正方向,I 2沿z 轴负方向.若载流I 1的导线不能动,载流I 2的导线可以自由运动,则载流I 2的导线开始运动的趋势 ? y z x I 1 I 2 10题图 第八章 磁场 填空题 (简单) 1、将通有电流为I 的无限长直导线折成1/4圆环形状,已知半圆环的半径为R ,则圆心O 点的磁 感应强度大小为 。 2、磁场的高斯定律表明磁场是 ,因为磁场发生变化而引起电磁感应,所 产生的场是不同于回路变化时产生的 。相同之处是 。 3、只要有运动电荷,其周围就有 产生;而法拉弟电磁感应定律表明,只要 发生变 化,就有 产生。 4、(如图)无限长直导线载有电流I 1,矩形回路载有电流I 2,I 2回路的AB 边与长直导线平行。电 流I 1产生的磁场作用在I 2回路上的合力F 的大小为 ,F 的方向 。 (综合) , 5、有一圆形线圈,通有电流I ,放在均匀磁场B 中,线圈平面与B 垂直,I 则线圈上P 点将受到 , 力的作用,其方向为 ,线圈所受合力大小为 。(综合) 6、∑?==?n i i l I l d B 0 0μ 是 ,它所反映的物理意义是 。 7、磁场的高斯定理表明通过任意闭合曲面的磁通量必等于 。 8、电荷在磁场中 (填一定或不一定)受磁场力的作用。 9、磁场最基本的性质是对 有力的作用。 10、如图所示,在磁感强度为B 的均匀磁场中,有一半径为R 的半球面, B 与半球面轴线的夹角为α。求通过该半球面的磁通量为 。(综合) 11、当一未闭合电路中的磁通量发生变化时,电路中 产生感应电流;电路中 产生感应电动势(填“一定”或“不一定”) (综合) > 12、一电荷以速度v 运动,它既 电场,又 磁场。(填“产生”或“不产生”) 4题图 5题图 14题图 13、一电荷为+q ,质量为m ,初速度为0 的粒子垂直进入磁感应强度为B 的均匀磁场中,粒子将作 运动,其回旋半径R= ,回旋周期T= 。 14、把长直导线与半径为R 的半圆形铁环与圆形铁环相连接(如图a 、b 所示),若通以电流为I ,则 a 圆心O 的磁感应强度为 _____________; 图b 圆心O 的磁感应强度为 15、在磁场中磁感应强度B 沿 任意闭合路径的线积分总等于 。这一重要结论称为磁场的环路定理,其数学表达式为 。 16、磁场的高斯定理表明磁场具有的性质 。 17、在竖直放置的一根无限长载流直导线右侧有一与其共面的任意形状的平面线圈,直导线中的电流由上向下,当线圈以垂直于导线的速度背离导线时,线圈中的感应电动势 ,当线圈平行导线向上运动时,线圈中的感应电动势 。(填>0,<0,=0)(设顺时针方向的感应电动势为正) 18、在磁场空间分别取两个闭合回路,若两个回路各自包围载流导线的根数不同,但电流的代数和相同,则磁感应强度沿两闭合回路的线积分 ,两个回路的磁场分布 。(填“相同”或“不相同” ) ( 判断题 (简单) 1、安培环路定理说明电场是保守力场。 ( ) 2、安培环路定理说明磁场是无源场。 ( ) 3、磁场的高斯定理是通过任意闭合曲面的磁通量必等于零。 ( ) 4、电荷在磁场中一定受磁场力的作用。 ( ) 5、一电子以速率V 进入某区域,若该电子运动方向不改变,则该区域一定无磁场;( ) 6、在B=2特的无限大均匀磁场中,有一个长为L1=2.0米,宽L2=0.50米的矩形线圈,设线圈平 面的法线方向与磁场方向相同,则线圈的磁通量为1Wb 。 7、磁场力的大小正比于运动电荷的电量。如果电荷是负的,它所受力的方向与正电荷相反。 8、运动电荷在磁场中所受的磁力随电荷的运动方向与磁场方向之间的夹角的改变而变化。当电荷的运动方向与 大学物理第八章课后习 题答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第八章电磁感应电磁场 8 -1一根无限长平行直导线载有电流I,一矩形线圈位于导线平面内沿垂直于载流导线方向以恒定速率运动(如图所示),则() (A)线圈中无感应电流 (B)线圈中感应电流为顺时针方向 (C)线圈中感应电流为逆时针方向 (D)线圈中感应电流方向无法确定 分析与解由右手定则可以判断,在矩形线圈附近磁场垂直纸面朝里,磁场是非均匀场,距离长直载流导线越远,磁场越弱.因而当矩形线圈朝下运动时,在线圈中产生感应电流,感应电流方向由法拉第电磁感应定律可以判定.因而正确答案为(B). 8 -2将形状完全相同的铜环和木环静止放置在交变磁场中,并假设通过两环面的磁通量随时间的变化率相等,不计自感时则() (A)铜环中有感应电流,木环中无感应电流 (B)铜环中有感应电流,木环中有感应电流 (C)铜环中感应电动势大,木环中感应电动势小 (D)铜环中感应电动势小,木环中感应电动势大 2 3 分析与解 根据法拉第电磁感应定律,铜环、木环中的感应电场大小相等, 但在木环中不会形成电流.因而正确答案为(A ). 8 -3 有两个线圈,线圈1 对线圈2 的互感系数为M 21 ,而线圈2 对线圈1的互感系数为M 12 .若它们分别流过i 1 和i 2 的变化电流且t i t i d d d d 21<,并设由i 2变化在线圈1 中产生的互感电动势为ε12 ,由i 1 变化在线圈2 中产生的互感电动势为ε21 ,下述论断正确的是( ). (A )2112M M = ,1221εε= (B )2112M M ≠ ,1221εε≠ (C )2112M M =, 1221εε< (D )2112M M = ,1221εε< 分析与解 教材中已经证明M21 =M12 ,电磁感应定律 t i M εd d 12121=;t i M εd d 21212=.因而正确答案为(D ). 8 -4 对位移电流,下述四种说法中哪一种说法是正确的是( ) (A ) 位移电流的实质是变化的电场 (B ) 位移电流和传导电流一样是定向运动的电荷 (C ) 位移电流服从传导电流遵循的所有定律 (D ) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理 分析与解 位移电流的实质是变化的电场.变化的电场激发磁场,在这一点位移电流等效于传导电流,但是位移电流不是走向运动的电荷,也就不服从焦耳热效应、安培力等定律.因而正确答案为(A ).大学物理试题库及答案详解【考试必备】
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