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非线性规划Nonlinear Programming

非线性规划Nonlinear Programming
非线性规划Nonlinear Programming

线性规划的概念

3.6:线性规划 目录: (1)线性规划的基本概念 (2)线性规划在实际问题中的应用 【知识点1:线性规划的基本概念】 (1)如果对于变量x 、y 的约束条件,都是关于x 、y 的一次不等式,则称这些约束条件为__线性约束条件__(),z f x y =是欲求函数的最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,叫做__目标函数_,当(),f x y 是x 、y 的一次解析式时,(),z f x y =叫做_线性目标函数__. (2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,称为__线性规划问题__ ;满足线性约束条件的解(),x y 叫做__可行解_;由所有可行解组成的集合叫做__可行域_;使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做_最优解__ 例题:若变量x 、y 满足约束条件2 10x y x y +≤?? ≥??≥? ,则z x y =+的最大值和最小值分别为 ( B ) A. 4和3 B. 4和2 C. 3和2 D. 2和0 分析:本题考查了不等式组表示平面区域,目标函数最值求法. 解:画出可行域如图 作020l x y +=: 所以当直线2z x y =+过()20A , 时z 最大,过()1,0B 时z 最小max min 4, 2.z z == 变式1:已知2z x y =+,式子中变量x 、y 满足条件11y x x y y ≤?? +≤??≥-? ,则z 的最大值是__3___ 解:不等式组表示的平面区域如图所示.

作直线0:20l x y +=,平移直线0l ,当直线0l 经过 平面区域的点()21A -,时,z 取最大值2213?-=. 变式2:设2z x y =+,式中变量x 、y 满足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ,求z 的最大值和最小值 分析:由于所给约束条件及目标函数均为关于x 、y 的一次式,所以此问题是简单线性 规划问题,使用图解法求解 解:作出不等式组表示的平面区域(即可行域),如图所示. 把2z x y =+变形为2y x z =-+,得到斜率为-2,在y 轴上的截距为z ,随z 变化的一族平行直线. 由图可看出,当直线2z x y =+经过可行域上的点A 时,截距z 最大,经过点B 时,截距z 最小. 解方程组430 35250x y x y -+=??+-=?,得A 点坐标为()5,2, 解方程组1 430x x y =??-+=? ,得B 点坐标为()1,1 所以max min 25212,211 3.z z =?+==?+= 变式3:若变量x 、y 满足约束条件6 321x y x y x +≤?? -≤-??≥? ,则23z x y =+的最小值为( C ) A. 17 B. 14 C. 5 D. 3

R语言求解线性规划和非线性规划

第七章线性规划与非线性规划 例1m a x z=10x 1+5x2 s.t.5x1+2x2<=8 3x1+4x2=9 x1+x2>=1 x1,x2>=0 首先可化为标准形式:min - z = -10x1 -5x2 s.t. 5x1+2x1<=8 -x1-x2<=-1 3x1+4x2=9 x1,x2>=0 library(Rglpk) obj<-c(-10,-5) mat<-matrix(c(5,2,-1,-1,3,4),3,2,T) dir<-c("<=","<=","==") rhs<-c(8,-1,9) Rglpk_solve_LP(obj,mat,dir,rhs) #直接求解 library(Rglpk) obj<-c(10,5) mat<-matrix(c(5,2,1,1,3,4),3,2,T) dir<-c("<=",">=","==") rhs<-c(8,1,9) Rglpk_solve_LP(obj,mat,dir,rhs,max=T) 非线性规划求解(Rdonlp2) 例2 有如下的条件约束最优化问题:

22min(sin cos ) 1001001001002133 2sin cos 3z x y y x x y x y x y xy x y =+-<

数学建模线性规划与非线性规划

实验7:线性规划与非线性规划 班级:2015级电科班,学号:222015333210187,姓名:吴京宣,第1组 ====================================================================== 一、实验目的: 1. 了解线性规划的基本内容。 2. 直观了解非线性规划的基本内容。 3. 掌握用数学软件求解优化问题。 二、实验内容 1. 两个引例. 2. 用数学软件包MATLAB求解线性规划与非线性规划问题. 3. 用数学软件包LINDO、LINGO求解线性规划问题. 4. 建模案例:投资的收益与风险. 5. 非线性规划的基本理论 6. 钢管订购及运输优化模型. 三、实验步骤 对以下问题,编写M文件: 1.某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过800箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资. 2)若每100箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划. 2.某厂向用户提供发动机,合同规定,第一、二、三季度末分别交货40台、60 台、80台.每季度的生产费用为(单位:元), 其中x 是该季度生产的台数.若交货后有剩余,可用于下季度交货,但需支付存储费,每台每季度c元.已知工厂每季度最大生产能力为100台,第一季度开始时无存货,设a=50、b=0.2、c=4,问:工厂应如何安排生产计划,才能既满足合同又使总费用最低.讨论a、b、c变化对计划的影响,并作出合理的解释.

区域分析规划基本概念

《区域分析与区域规划》要点 第一章绪论 1、区域概念:是一个空间概念,是地球表面上占有一定空间的、以不同的物质客体为对象的地域结构形式。其基本属性有四点:(1)地球表面的一部分,并占有一定的空间;(2)具有一定的围和界线;(3)具有一定的体系结构形式;(4)区域是客观存在的。 2、区域的高度相关性:一是区域部间特性的一致性和相似性,并以这种一致性或相似性区别于其他区域,称为匀质区域;二是结节区,或称功能区、枢纽区,它是由区域的核心以及与其功能上紧密相连,具有共同利益的外围地区所组成。 3、区域的本质特性:有两点:一是整体性,使区域部某一局部的变化会导致整个区域的变化。二是结构性,区域的构成单元,按一定的联系产生结构。具有层次性、自组织性、稳定性。 4、区域科学:是用各种近代计量分析和传统区位分析相结合的方法,由区域或空间的诸要素及其组合所形成的差异和变化的分析入手,对不同等级和类型区域的社会、经济发展等问题进行研究的一门应用学科,是一门有关区域或空间系统的治理、开发、管理的具有地域性、综合性和实践性的学科。研究对象:区域是一个能动的机体或区域系统。 5、区域科学研究的容和任务:(1)对影响区域发展的各种要素及其综合效益进行分析,从而研究各种社会经济现象的时空规律;(2)研究区位、聚落、城市化地区和全球性区域系统以及人类居住方式、经济活动、资源有效利用在自然环境背景下所有活动的地域差异;(3)对存在于区域的各种行为单位利益及价值观念的矛盾和冲突以及区域的社会、政治、经济活动与生态环境间的相互影响进行分析,并系统地探讨解决区域发展中出现的各类问题的方法,提出区域发展的优化模式。 6、区域研究的三大新动向:(1)改变区域资源的观念:信息资源和人才观念;(2)扩大区域研究围:从参与市场竞争的角度和运用新国际劳动分工的理论,强化区域的基础设施和创造良好的投资环境,吸引区外、国外的资源、资金、技术、人才,建立起外结合的经济运转系统,促进区域的发展;(3)确立可持续发展思想:成为区域研究的主题,其基本原则是实现人口、资源、环境的协调发展是区域发展的主要目的。 7、区域分析:对区域发展的自然条件和社会经济条件背景特征及其对区域社会经济发展的影响进行分析,探讨区域部各自然及人文要素间和区域间相互联系的规律。主要容包括:(1)区域发展的自然条件和社会经济条件的分析;(2)区域经济分析;(3)区域发展分析。8、区域分析方法:(1)地理学的比较法:常用实际考察法、统计图表法、地图和遥感技术法等;(2)经济学的分析法:均衡分析、动态分析、静态分析、比较静态分析、投入产出分析、边际分析、实物分析、价值分析、结构分析等;(3)数学的模拟法:数理统计(回归分析、趋势分析、主成分分析和随机过程分析)、运筹学(线性规划、非线性规划、图论)。 9、区域规划:我国规划体系分三级三类,三类指国民经济和社会发展总体规划、专项规划、区域规划;三级指国家、省(区、市)级、市(县)级规划。区域规划的一般定义是指对一定地域围未来国民经济和社会发展建设及土地利用的总体部署。我国的区域规划特指跨行政区的空间发展协调规划。国外区域规划的主要任务是:(1)区域资源开发和生态环境保护;(2)城乡、区域协调发展的重大问题和重要地区规划;(3)可持续发展的重大问题规划。 第二章区域资源环境基础分析 10、区域发展的资源环境基础分析:包括自然资源、自然环境分析及生态环境保护问题分析。人口与劳动力、技术条件。 11、自然资源:存在于自然界,能被人类利用并能产生经济或社会价值的自然条件。其特

第一章 非线性规划理论(1)

第一章非线性规划理论(1) 第一节非线性优化规划模型及其解的概念, 第二节凸函数与凸规划, 第三节下降迭代算法 第四节一维搜索方法 第一节非线性优化规划模型及其解的概念 线性规划的目标函数和约束条件都是其自变量的线性函数,如果目标函数或约束条件中含有自变量的非线性函数,则这样的规划问题就是非线性规划。有些实际问题可以表示成线性规划,但有些实际问题则需要用非线性规划模型来表达。 例1 求,使得 (1) 该数学模型中目标函数是一个二次函数,因此它是一个非线性规划。 又如:求,使得 (2) 是一个非线性规划。 1.1 非线性规划问题的数学模型 非线性规划数学模型的一般形式为 (3) 其中是维欧氏空间中的向量(点),是目标函数,为约束条件,、都是元实函数。 说明: (1)由于我们有,当需使目标函数极大化时,只需使其负值极小化即可,因而仅考虑极小化的情况不失一般性。 (2)若某约束条件是“”不等式,仅需要在约束两端乘以“-1”,即可将这个约束变为“”。又由于约束等价于 因而我们可以将非线性规划模型写成下面的形式: (4) 或 (5) 模型中的称为非线性规划的可行域,而中的元素称为可行解。 1.2 二维问题的图解法 当只有两个决策变量时,求解非线性规划也可以像线性规划那样用图解法。 例2

解:先画出可行域 X2 A B C D O x1 可行域 等值线 最优解 画出抛物线 , 即图中的曲线,再画出 直线,即图中的 直线,得可行域。 画出等值线 ,图中有一条等值线与抛物线 交于B点,当动点从A点出发延 抛物线移动时,动点从A移向B时,目标函数值下降,动点从B移向C 时,目标函数值上升,所以在可行域范围内B点的函数值最小,所以B 点是一个极小点。当动点由C点向D点移动时,目标函数再次下降,在D(4,1)点目标函数值最小,所以D点是最优解。 本例中,B点称为局部极小点,而D点称为全局极小点,即最小点。 1.3 非线性规划的基本概念 1.3.1关局部极小和全局极小的定义 设为定义在维欧氏空间的某一个区域上的元实函数,对于,如果存在某一个使得所有与距离小于的都有,则称为在上的局部极小点,而为局部极小值。如果当时,有,则称为在上的严格局部极小点,而为严格局部极小值。 设为定义在维欧氏空间的某一个区域上的元实函数,如果存在,对于所有,都有,则称为在上的全局极小点,而为全局极小值。如果当时,有,则称为在上的严格全局极小点,而为严格全局极小值。

简单的线性规划问题附答案)

简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题. 知识点一 线性规划中的基本概念 知识点二 1.目标函数的最值 线性目标函数z =ax +by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y =-a b x +z b ,在y 轴上的截距是z b ,当z 变化时,方程表 示一组互相平行的直线. 当b >0,截距最大时,z 取得最大值,截距最小时,z 取得最小值; 当b <0,截距最大时,z 取得最小值,截距最小时,z 取得最大值. 2.解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,解决简单线性规划问题的步骤可以概括为:“画、移、求、答”四步,即, (1)画:根据线性约束条件,在平面直角坐标系中,把可行域表示的平面图形准确地画出来,可行域可以是封闭的多边形,也可以是一侧开放的无限大的平面区域. (2)移:运用数形结合的思想,把目标函数表示的直线平行移动,最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解. (3)求:解方程组求最优解,进而求出目标函数的最大值或最小值. (4)答:写出答案. 知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1.线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大,收到的效益最大; (2)给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小. 常见问题有: ①物资调动问题 例如,已知两煤矿每年的产量,煤需经两个车站运往外地,两个车站的运输能力是有限的,且已知两煤矿运往两个车站的运输价格,煤矿应怎样编制调动方案,才能使总运费最小?

第八章 城乡规划管理基本知识

第八章城乡规划管理基本知识 第一节城乡规划管理概述 一城乡规划管理的概念 (1)城乡规划管理是城市政府的一项行政职能。 十二届三中全会《关于经济体制改革的决议》中明确指出,城市人民政府的主要职能是搞好城乡的规划、建设和管理。 (2)城乡规划管理的核心。根据对城乡规划管理的概念的解释,城乡规划管理核心包括三方面: 第一,城乡规划的组织编制和审批; 第二,城乡规划实施管理; 第三,城乡规划实施的监督检查。 二城乡规划管理的基本特征 一般特征:综合性、整体性、系统性、时序性、地方性、政策性、技术性、艺术性等诸多特征。 特殊特征:引导与控制的特性、宏观和微观管理特性、专业性和综合性属性、阶段性和连续属性

第二节城乡规划管理系统 一城乡规划管理系统 城乡规划管理是一个系统。 系统的特点:一是系统是由若干部分以一定的结构组成的互相联系的整体;二是系统整体具有层次性,每个层次的系统可以分解为若干基本要素;三是系统整体有不同于各组成部分的新功能。 城乡规划编制、审批、实施和监督检查是一个实践过程。 (1)决策系统:城乡规划的组织编制与审批管理 (2)执行系统:城乡规划实施管理 建设工程、道路交通工程、市政管线工程进行建设项目选址、建 (3)反馈系统:城乡规划监督检查 (4)保障系统:城乡规划法律规范

二城乡规划管理系统要素 1.管理目标 最终目标P115 2.管理者 管理的水平与成败在相当大的程度上取决于管理者的素质及其能力。如基层规划管理人员所扮演的角色和所起的作用:(1)(2)(3)3.管理对象 城市规划区内的土地的利用和各项建设活动。 4.被管理者 一是城乡规划项目(政府内部管理行为),二是建设用地或建设工程(政府外部管理行为)。 5.管理中介 (1)权力 审批权:审批城乡规划,审批“一书两证” 惩治权:查处违法建设和违法用地 执行权:执行城市政府方针、正常和重大决策 参议权:向城市政府反映情况,提出建议 表彰权:表彰实施城乡规划优秀建设项目 其他权:其他法律授权或因需制定管理规范的权力 (2)规则 批准的城乡规划文本、图纸,各种有关法律、法规及技术规范。

MAAB非线性规划及非线性约束条件求解

M A T L A B 非线性规划及非线性约束条件求解 【题1】求非线性规划问题:221212121min 262 f x x x x x x = +--- clear all clc f=@(x)((1/2)*x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-6*x(2)); A=[11;-12;21]; b=[2;2;3]; Aeq=[];beq=[]; lb=[0;0]; ub=[100;100]; x0=[11]'; intlist=[0;0]; [errmsg,Z,X]=BNB20_new(f,x0,intlist,lb,ub,A,b,Aeq,beq) 【题2】求非线性规划问题:123min f x x x =- clear all clc f=@(x)(-x(1)*x(2)*x(3)); A=[-1-2-2;122]; b=[0;72]; Aeq=[];beq=[]; lb=[];ub=[]; x0=[1;1;1]; intlist=[000]'; [errmsg,Z,X]=BNB20_new(f,x0,intlist,lb,ub,A,b,Aeq,beq) 【题3】求非线性规划问题:()12212122min 42421x f e x x x x x =++++ function [c,ceq]=nolic2(x) c(1)=x(1)*x(2)-x(1)-x(2)+3/2; ceq=[]; end clear all clc f=@(x)exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2) +1); A=[];b=[];Aeq=[];beq=[]; lb=[-10-10]'; ub=[]; x0=[11]'; intlist=[00]';

线性与非线性规划问题求解

线性与非线性规划问题求解 实验目的:学会用lindo 和lingo 软件求解线性和非线性规划,并作简单分析。 实验内容: 问题1:最佳连续投资方案 某部门在今后五年内考虑下列项目投资,已知 项目1 从第一年到第四年每年年初需要投资,并于次年末回收本利115%; 项目 2 第三年年初需要投资,到第五年末能回收本利125%,但规定最大投资额不超过4 万元; 项目 3 第二年年初需要投资,到第五年末能回收本利140%,但规定最大投资额不超过3 万元; 项目4 五年内每年年初可购买公债,于每年末归还,并加利息6%. 该部门现有资金10万元,问它应如何确定给这些项目每年的投资额,使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大? 提示:设ij y 表示第i 年年初投资给项目j 的资金额度(单位:万元),则各年的投资限制为 第一年:;101411≤+y y 第二年:年初拥有的资金额为,06.110141114y y y --+因此有 ;06.0101411242321y y y y y +-≤++ 第三年:年初拥有的资金额为 ;06.115.106.01024232124111411y y y y y y y ---+++- 因此有 ;06.006.015.0102423211411343231y y y y y y y y +--++≤++ 依次类推有: 第四年: ;06.006.015.006.015.01034323124232114114441y y y y y y y y y y +--+-+++≤+ 第五年: ; 06.006.015.006.015.006.015.0104441343231242321141154y y y y y y y y y y y +-+-++-+++≤本问题是要制定投资方案使第五年末该部门拥有的资金额最大,即 5441322306.115.125.140.1max y y y y f +++=. 问题2:运输问题 某公司有3个仓库A1、A2、A3,库存原料量分别为:A1为21吨,A2为12吨,A3为27

非线性规划的概念和原理

第五章 非线性规划的概念和原理 非线性规划的理论是在线性规划的基础上发展起来的。1951年,库恩(H.W.Kuhn )和塔克(A.W.Tucker )等人提出了非线性规划的最优性条件,为它的发展奠定了基础。以后随着电子计算机的普遍使用,非线性规划的理论和方法有了很大的发展,其应用的领域也越来越广泛,特别是在军事,经济,管理,生产过程自动化,工程设计和产品优化设计等方面都有着重要的应用。 一般来说,解非线性规划问题要比求解线性规划问题困难得多,而且也不像线性规划那样有统一的数学模型及如单纯形法这一通用解法。非线性规划的各种算法大都有自己特定的适用范围。都有一定的局限性,到目前为止还没有适合于各种非线性规划问题的一般算法。这正是需要人们进一步研究的课题。 5.1 非线性规划的实例及数学模型 [例题6.1] 投资问题: 假定国家的下一个五年计划内用于发展某种工业的总投资为b 亿元,可供选择兴建的项目共有几个。已知第j 个项目的投资为j a 亿元,可得收益为j c 亿元,问应如何进行投资,才能使盈利率(即单位投资可得到的收益)为最高? 解:令决策变量为j x ,则j x 应满足条件() 10j j x x -= 同时j x 应满足约束条件 1 n j j j a x b =≤∑ 目标函数是要求盈利率()1121 ,,,n j j j n n j j j c x f x x x a x === ∑∑L 最大。 [例题6.2] 厂址选择问题: 设有n 个市场,第j 个市场位置为() ,j j p q ,它对某种货物的需要量为j b ()1,2,,j n =L 。 现计划建立m 个仓库,第i 个仓库的存储容量为i a ()1,2,,i m =L 。试确定仓库的位置,使各仓库对各市场的运输量与路程乘积之和为最小。 解:设第i 个仓库的位置为(),i i x y ()1,2,,i m =L ,第i 个仓库到第j 个市场的货物供应量为i j z ()1,2,,,1,2,,i m j n ==L L ,则第i 个仓库到第j 个市场的距离为

非线性规划模型

非线性规划模型 在上一次作业中,我们对线性规划模型进行了相应的介绍及优缺点,然而在实际问题中并不是所有的问题都可以利用线性规划模型求解。实际问题中许多都可以归结为一个非线性规划问题,即如果目标函数和约束条件中包含有非线性函数,则这样的问题称为非线性规划问题。一般来说,解决非线性的问题要比线性的问题难得多,不像线性规划有适用于一般情况的单纯形法。对于线性规划来说,其可行域一般是一个凸集,只要存在最优解,则其最优解一定在可行域的边界上达到;对于非线性规划,即使是存在最优解,却是可以在可行域的任一点达到,因此,对于非线性规划模型,迄今为止还没有一种适用于一般情况的求解方法,我们在本文中也只是介绍了几个比较常用的几个求解方法。 一、非线性规划的分类 1无约束的非线性规划 当问题没有约束条件时,即求多元函数的极值问题,一般模型为 ()min 0 x R f X X ∈??? ≥?? 此类问题即为无约束的非线性规划问题 1.1无约束非线性规划的解法 1.1.1一般迭代法 即为可行方向法。对于问题()min 0x R f X X ∈??? ≥?? 给出)(x f 的极小点的初始值)0(X ,按某种规律计算出一系列的 ),2,1()( =k X k ,希望点阵}{)(k X 的极限*X 就是)(x f 的一个极小点。 由一个解向量) (k X 求出另一个新的解向量)1(+k X 向量是由方向和长度确定的,所以),2,1()1( =+=+k P X X k k k k λ 即求解k λ和k P ,选择k λ和k P 的原则是使目标函数在点阵上的值逐步减小,即 .)()()(10 ≥≥≥≥k X f X f X f 检验}{)(k X 是否收敛与最优解,及对于给定的精度0>ε,是否 ε≤?+||)(||1k X f 。 1.1.2一维搜索法 当用迭代法求函数的极小点时,常常用到一维搜索,即沿某一已知方向求目标函数的极小点。一维搜索的方法很多,常用的有: (1)试探法(“成功—失败”,斐波那契法,0.618法等); (2)插值法(抛物线插值法,三次插值法等);

第三章 非线性规划[001]

第三章 非线性规划 §1 非线性规划 1.1 非线性规划的实例与定义 如果目标函数或约束条件中包含非线性函数,就称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来,解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且,也不象线性规划有单纯形法这一通用方法,非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法,各个方法都有自己特定的适用范围。 下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式,介绍有关非线性规划的基本概念。 例 1 (投资决策问题)某企业有n 个项目可供选择投资,并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A 元,投资于第),,1(n i i 个项目需花资金i a 元,并预计可收益i b 元。试选择最佳投资方案。 解 设投资决策变量为 个项目 决定不投资第,个项目决定投资第i i x i 0,1,n i ,,1 , 则投资总额为 n i i i x a 1 ,投资总收益为 n i i i x b 1。因为该公司至少要对一个项目投资,并且总的投资金额不能超过总资金A ,故有限制条件 n i i i A x a 10 另外,由于),,1(n i x i 只取值0或1,所以还有 .,,1,0)1(n i x x i i 最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案,所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量(取0或1)的限制条件下,极大化总收益和总投资之比。因此,其数学模型为: n i i i n i i i x a x b Q 11 max s.t. n i i i A x a 10 .,,1,0)1(n i x x i i 上面例题是在一组等式或不等式的约束下,求一个函数的最大值(或最小值)问题,其中至少有一个非线性函数,这类问题称之为非线性规划问题。可概括为一般形式 )(min x f q j x h j ,,1,0)(s.t. (NP) p i x g i ,,1,0)(

非线性规划理论和算法

非线性最优化理论与算法 第一章引论 本章首先给出了一些常见的最优化问题和非线性最优化问题解的定义,并且根据不同的条件对其进行了划分。接着给出了求解非线性优化问题的方法,如图解法等,同时又指出一个好的数值方法应对一些指标有好的特性,如收敛速度与二次终止性、稳定性等。随后给出了在非线性最优化问题的理论分析中常用到的凸集和凸函数的定义和有关性质。最后给出了无约束优化最优性条件。 第二章线搜索方法与信赖域方法 无约束优化的算法有两类,分别是线搜索方法和信赖域方法。本章首先给出了两种线搜索方法即精确线搜索方法和非精确线搜索方法。线搜索方法最重要的两个要素是确定搜索方向和计算搜索步长,搜索步长可确保下降方法的收敛性,而搜索方向决定方法的收敛速度。 精确线搜索方法和非精确线搜索方法 对于精确线搜索方法,步长ακ满足 αk=arg min ?x k+αd k α≥0 这一线搜索可以理解为αk是f(x k+αd k)在正整数局部极小点,则不论怎样理解精确线搜索,它都满足正交性条件: d k T??(x k+αk d k)=0 但是精确搜索方法一般需要花费很大的工作量,特别是当迭代点远离问题的解时,精确的求解问题通常不是有效的。而且有些最优化方法,其收敛速度并不依赖于精确搜索过程。对于非精确搜索方法,它总体希望收敛快,每一步不要求达到精确最小,速度快,虽然步数增加,则整个收敛达到快速。书中给出了三种常用的非精确线搜索步长规则,分别是Armijo步长规则、Goldstein步长规则、Wolfe步长规则。第一个步长规则的不等式要求目标函数有一个满意的下降量,第二个不等式控制步长不能太小,这一步长规则的第二式可能会将最优步长排除在步长的候选范围之外,也就是步长因子的极小值可能被排除在可接受域之外。但Wolfe步长规则在可接受的步长范围内包含了最优步长。在实际计算时,前两种步长规则可以用进退试探法求得,而最后一种步长规则需要借助多项式插值等方法求得。紧接着,又介绍了Armijo和Wolfe步长规则下的下降算法的收敛性。 信赖域方法 线性搜索方法都是先方向再步长,即先确定一个搜索方向d k,然后再沿着这个搜索方向d k选择适当的步长因子αk,新的迭代点定义为x k+1=x k+αk d k。与线搜索方法不同,信赖域方法是先步长再方向,此方法首先在当前点附近定义目标函数的一个近似二次模型,然后利用目标函数在当前点的某邻域内与该二次模型的充分近似,取二次模型在该邻域内的最优值点来产生下一迭代点。它把最优化

第三章城市规划布局结构的基本概念

第三章城市规划布局结构的基本概念 现代城市规划学在其形成和发展过程中,先后吸收了经济学、社会学、地理学和生态学等方面的成果,并以传统的工程技术学科和建筑艺术理论为基础,不断选择、融合逐步形成了具有广阔理论基础和特点的综合性学科。 由于城市规划的目标明确,任务具体,所形成的理论和方法具有明显的实用性。在其发展过程中,根据不同时期城市发展的实际需要,从诸多相关学科中不断选取并进行实用化和现代化处理,实现了理论结合实际的过渡,并不断充实发展城市规划学的理论和方法,成为指导城市建设发展的实用技术学科。例如,经济学、社会学、地理学中关于城市化的理论,社会学中关于人口与劳动资源形成的学说、关于社会基础结构和居民生活方式的学说,经济地理学中关于生产和人口空间分布的学说,城市地理学中关于地域结构的学说、生态学中关于保护自然环境和创造人工环境以及人—技术—环境协调的思想等,都对充实、深化城市规划的理论基础作出了贡献,而现代工程技术诸学科的迅速发展,现代数学和计算技术的应用,为不断充实、发展、更新城市规划的理论和方法,开创了良好前景。现代城市规划学是在多种学科结合实践的过程中形成了具有特色的实用性很强的综合学科,在指导当代城市和空间发展中发挥着不可替代的作用。 一、城市形成因素 这一概念是建立在“城市的形成和发展源于社会经济发展”的历史唯物论的观点之上的。城市是在社会劳动分工过程中形成的地域性经济综合体,是国家和地区经济中心和组成部分。随着社会经济的发展,城市的功能和物质要素越来越复杂。但对城市的发展、衰退起决定作用的要素是构成城市许多物质因素中的一部分。理论工作者称这部分因素为“城市形成的因素”(以下称形成因素),其特点是因素所产生的效果和作用主要不表现于本市,而超越于本市的范围。它的产生和存在主要不决定于本市而决定于超越本市的经济的、社会的或政治的因素。在实行计划经济的条件下,主要取决于人口和生产力的布局和计划的平衡。在市场经济的条件下,则取决于因素所能形成的利润率和所需要的市场区(服务区)。如果它的市场区小

线性规划基本概念及模型构建

LP (Linear Programming)

Alex 有一个家庭农场。除了农场上的农作物以外,他还饲养了一些猪拿到市场上出售,猪可获得的饲料及其所含成分如下表:Alex如何喂养猪更好? 成分/每公斤 玉米槽料苜蓿每日最小需求量碳水化合物 蛋白质 维他命 成本(美分)903010842080207240606060200180150 问题1:科学养猪线性规划建模(猪饲料的配方)饲养成本最小

--- 每天玉米、槽料、苜蓿各喂多少公斤? --- 必须满足要求12--- 追求成本最低 Min. 84x 1+ 72x 2+ 60x 3 3x 1x 2x 3 知识点 建模三要素 决策变量约 束目标 90x 1+ 20x 2+ 40x 3 ≥ 20030x 1+ 80x 2+ 60x 3 ≥ 18010x 1+ 20x 2+ 60x 3 ≥ 150 x i ≥0 , i =1,2,3 成分/每公 斤 玉米槽料苜蓿每日最小需求量碳水化合物 蛋白质 维他命 成本(美分)903010842080207240606060200180150

s.t. 90x 1+ 20x 2+ 40x 3 ≥ 200 30x 1 + 80x 2+ 60x 3 ≥ 180 10x 1+ 20x 2+ 60x 3 ≥ 150 x i ≥0 , i =1,2,3 Min . 84x 1+ 72x 2+ 60x 3 目标函数约束函数符号中必含等号符号的右侧为常数线性--变量均为1次方 Max. 或 Min.线性--所有变量均为1次方常规约束:变量非负!知识点 模型表示

?线性规划模型能求解出来吗? 能!--- 万能的单纯形法 结合软件 QSB应用

场地设计的基本概念

场地设计的基本概念 (一)场地: 狭义基地内的室外场地 广义基地内一个整体的系统 基地中包含的全部内容所组成的整体、如建筑物、构筑物、交通设施、室外活动设施等绿化及环境景观设施和工程系统等 (二)场地构成要素 1.建筑物、构筑物 2.交通设施 3.室外活动设施 4. 绿化环境景观设施 5.工程系统 (三)场地类型的划分 1.按使用特征划分为:工业建设场地和民用建筑场地 2.按地形条件划分为:平坦场地和坡地场地 (四)场地设计概念 针对基地内建设项目的总平面设计,依据建设项目的使用功能要求和规划设计条件,在基地内外的现状条件和有关法规、规范的基础上,人为地组织与安排场地中各构成要素之间关系的活动。 (五)场地设计工作的目的 1、达到场地各构成要素之间关系的正确组织 2、使场地中的各项内容与基地形成良好的关系,提高基地利用的科学性,充分发挥用地的效益。 (六)场地设计的内容 现状分析场地布局交通组织竖向布置管线综合环境设计与保护技术经济分析 场地设计原则 珍惜土地、保护耕地 符合城市规划的要求 满足功能要求、技术经济合理 注意与环境保护、考虑可持续发展 ①珍惜、合理利用土地和切实保护耕地 ②符合当地城市规划要求 ③满足使用功能要求 ④技术经济合理 ⑤满足规范要求 ⑥满足交通组织要求 ⑦竖向布置合理 ⑧管线综合合理 ⑨合理进行绿化景观设计和环境保护 ⑩考虑可持续发展的要求 场地设计的表达方法 等高线法标高控制法坡面法方格网法

场地设计的依据 ①工程项目的依据 ②有关法律、法规、规范 东西不同的场地处理观念 基本观念 东:人工建造对自然的尊重与谦让。(天人合一背山面水负阴抱阳) 西:人工建造对自然的超越 基地条件 东:重视与环境的关系,场地处理上善于结合、利用基地的现有条件。 西:强调对基地的改造,更多地表现出将人为的秩序施加到基地上的倾向。 场地要素 东:重视场地中建筑物之外的部分,重视场地中各组成要素的平衡与协调关系,而不是单独调建筑物。 西:在西方的传统建筑中,相对于场地中的其他要素,建筑物受到了更多的重视。 如果说中国建筑是“虚”、“实”相生,以“虚”为主,那么西方建筑则可以说是“虚”、“实”自立,以“实”为主 场地设计工作的特点 综合性政策性地方性预见性与阶段性全局性技术性与艺术性 场地设计的两个阶段 第一阶段——场地布局设计 第二阶段——场地详细设计 场地分区 按功能来分区:动静分区公共性分区空间主次分区内外关系分区洁污分区 按基地利用分区:集中式分区均衡式分区 (十四)影响建筑布局的基本要素 日照因素风向因素用地条件 几种建筑布局方式: 集中式布局:节约用地,增加层数,烘托高大体量 空间式布局,建筑围合空间,形成中庭或内院,特点:交通在中间组织,形成向心形式,增加整体感和围合感。 穿插式布局:建筑与其他内容分散布局,形成建筑与空间相互穿插,彼此交错。特点:灵活具变化,场地空间更丰富、更有层次。建筑形象亲切近人。 场地设计的相关领域:1.生态 2.建筑设计 3.城市规划 场地设计的制约因素 场地设计的制约因素主要包括 前提条件:城市规划和相关的法规、规范对场地建设的公共限制 直接依据:设计任务书 客观基础:自然条件、建设条件 公共限制条件的实现 公共限制条件是通过对场地设计中的一系列技术经济指标的控制来实现的。 公共限制的内容 用地控制:场地界限、用地性质 交通控制:基地交通出入口方位、停车空间、道路 密度控制

第九章非线性规划

1. 非线性规划 我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。在科学管理和其他领域中,很多实际问题可以归结为线性规划,但还有另一些问题属于非线性规划。由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容,已发展为运筹学的重要分支,并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。 非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的,40年代后期进入系统研究,1951年H.W.库恩和A.W.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。 非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论,前者实际上就是多元函数的极值问题,是后一问题的基础。无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。关于带约束非线性规划的情况比较复杂,因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外,还要考虑近似解的可行性。总的原则是设法将约束问题化为无约束问题;把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。虽然这些方法都有较好的效果,但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。 1.1 非线性规划举例 [库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。假设该商店啤酒的年销售量为A 箱,每箱啤酒的平均库存成本为H 元,每次订货成本都为F 元。如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。 我们以Q 表示每次定货数量,那么年定货次数可以为 Q A ,年订货成本为Q A F ?。由于平均库存量为 2Q ,所以,年持有成本为2 Q H ?,年库存成本可以表示为: Q H Q A F Q C ?+? =2 )( 将它表示为数学规划问题: min Q H Q A F Q C ?+? =2 )( ..t s 0≥Q 其中Q 为决策变量,因为目标函数是非线性的,约束条件是非负约束,所以这是带约束条件的非线性规划问题。 [数据拟合问题] 假设一年期国债利率在市场中的波动符合下述模型

无约束非线性规划求解方法及其实现

无约束非线性规划求解方法及其实现 作者:杨玲指导老师:陈素根 摘要: 非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划,是运筹学的一个重要分支。非线性规划属于最优化方法的一种,是线性规划的延伸。非线性规划研究一个n元实函数在一组灯饰或不等式的约束条件下的极值问题,且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。非线性规划是20世纪50年代才形成的一门新兴学科。1951年H.W库恩和A.W塔克发表的关于最优性条件的论文是非线性规划正是诞生的一个重要标志。在50年代还得出了可分离规划和二次规划的n种解法,它们大都是以G.B.丹齐克提出的解线性规划的单纯形法为基础的。50年代末到60年代末出现了许多解线性规划问题的有效的算法,70年代又得到进一步的发展。非线性规划在工程,管理,经济,科研,军事等发面都有广泛的应用,为最优设计提供了有力的工具。20世纪80年代以来,随着计算机技术的快速发展,非线性规划在信赖域法、稀疏牛顿法、并行计算、内点法和有限存储法等领域取得了丰硕的成果,无约束非线性规划问题是非线性规划的一个重要内容,很多学者对非线性规划问题进行了深入且系统的研究,研究成果丰硕。

关键词最优化共轭梯度法非线性无约束 1 引言 1.1 无约束非线性规划问题是最基本的非线性规划问题,在1959~1963年幼三位数学家共同研究成功求解无约束问题的DFP变尺度法,该算法的研究成功是无约束优化算法的一个大飞跃,引起了一系列的理论工作,并陆续出现了许多新的算法。20世纪80年代以来,随着计算机技术的快速发展,非线性规划在信赖域法、稀疏牛顿法、并行计算、内点法和有限存储法等领域取得了丰硕的成果。无约束非线性规划问题是非线性规划的一个重要内容,很多学者对非线性规划问题进行了深入且系统的研究,研究成果丰硕。 1.2 本文主要研究无约束非线性规划问题,将文章分成四个部分,首先会具体介绍无约束非线性规划的相关概念,并在此基础上研究非线性规划的相关理论与基本算法问题,接着详细介绍无约束非线性规划的几种主要的求解方法,最后举例说明他在实际生活中的应用,并编程实现它。 2 正文 2.1主要介绍无约束非线性规划的相关概念 一个非线性规划问题的自变量x没有任何约束,或说可行域即是整个n维向量空间:n 错误!未找到引用源。,则称 x R

Matlab(11)-线性规划与非线性规划

辽宁工程技术大学上机实验报告

1、某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过800箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资. 2)若每100箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划. Exam7_1 Optimization terminated. x = 6.4286 4.2857 z = -102.8571 当x1=6.4286,x2=4.2857时,获得最大利润为102.8571万元 假设投资: Optimization terminated. x = 1.0e+03 * 0.8000 -0.3925 2.7775 z = -2.2455e+03 所获利润明显增大,所以应该做这项投资 改变甲利润的数据后: Optimization terminated. x = 6.4286 4.2857 z = -109.2857 最大利润的分配计划并未发生改变,所以不用改变生产计划。

2、 求下列函数的极小点: 1) ()212 3222118294x x x x x X f +-++=; 2) ()2121222 1222 3x x x x x x X f -+-+=; 3) ()()224121+-=x X f . 第1),2)题的初始点可任意选取, 第3)题的初始点取为()T 0,1X =. (1) function f=fun7_11(x) f=x(1).^2+4*x(2).^2+9*x(3).^2-2*x(1)+18*x(2); [x,z]=fminunc(@fun7_11,[0,0,0]) x = 1.0000 - 2.2500 -0.0000 z = -21.2500 (2) function f=fun7_11(x) f=x(1).^2+(3/2)*x(2).^2-2*x(1)*x(2)+x(1)-2*x(2); [x,z]=fminunc(@fun7_11,[0,0]) x = 0.5000 1.0000 z = -0.7500 (3) function f=fun7_11(x) f=(x(1)-1).^4+x(2).^2; [x,z]=fminunc(@fun7_11,[0,1]) x = 1.0045 -0.0000 z = 4.0848e-10 3、梯子长度问题 一楼房的后面是一个很大的花园. 在花园中紧靠着楼房有一个温室, 高3m ,温室伸入花园2m ,温室正上方是楼房的窗台. 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的. 现清洁工只有一架7m 长的梯子,你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小 长度为多少? a b

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