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应用数值分析(第四版)课后习题答案第5章

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第五章习题解答

1、给出数据点:0134

19156

i i x y =??

=?

(1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。 (2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。 (3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。

解:(1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数

2

20

2

1303011915

01031013303152933

()()()()()()

()()()()()()()()

i i i x x x x x x L x l x y x x =------==

?+?+?-------++=

代入可得2151175(.).L =。

(2)利用123134,,x x x ===,1239156,,y y y ===构造如下差商表:

于是可得插值多项式:

229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+-

代入可得215135(.).N =。

(3)用事后误差估计的方法可得误差为

150

1511751350656304

.(.)(..).R -=

-=-◆ 2、设Lagrange 插值基函数是

0012()(,,,,)n

j i j i j

j i

x x l x i n x x =≠-==-∏

试证明:①对x ?,有

1()n

i i l x ==∑

②00110001211()()(,,,)()()n

k

i i i n n k l x k n x x x k n =?=?==??-=+?

其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。

证明:①由Lagrange 插值多项式的误差表达式10

1()()()()()!n n

i i f R x x x n ξ+==-+∏知,对于函

数1()f x =进行插值,其误差为0,亦即0

()()n

i i

i f x l x f

==

∑精确成立,亦即

1()n

i i l x ==∑。

②分别取被插值函数()k f x x =,当k n ≤时Lagrange 插值多项式的误差表达式

1001()()()()()!n n

i i f R x x x n ξ+==-=+∏,即0()()n i i i f x l x f ==∑,亦即0

()n

k k i i i l x x x ==∑,对于0k =,由①可知结论成立;对于12,,,k n = 时,特别地取0x =,则有0

00()n

k i i i l x ==∑;

而当1k n =+时知其Lagrange 插值误差为100

1()()()()()()!n n

n

i i i i f R x x x x x n ξ+===-=-+∏∏,于是有0

()()()n

i i

i f x l x f

R x ==

+∑,即1

1

()()n

n

k k i i

i i i x

l x x

x x ++===+-∑∏,特别取0x =可

1201010

011()()()n

k n n

i i n n i l x x x x x x x ++==-=-∑ ,证毕。◆ 3、试验证Newton 插值多项式满足22()()n N x f x =。

解:由Newton 插值多项式0010012()()[,]()[,,]n N x f x f x x x x f x x x =+-+

1

01010

()()[,,,]()n n i i x x x x f x x x x x -=--++-∏

可知

20012001220211021102110

020*********()()[,]()[,,]()()

()()

()()()()()()()()

()()

n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x f x f x f x f x f x x x x x f x x x x x x x x x x x f x =+-+-----

---=+-+----=◆

4、已知0101()()()()(,,,n i f x x x x x x x x i n =---= 互异,),

求函数()f x 的p 阶差商01[,,,],p f x x x p n ≤ 。

解:由差商和函数值的关系式010

0,()

[,,,]()

p

j p p

j j i i i j

f x f x x x x x ==≠=

-∑

可知,当p n ≤时总有

010[,,,]p f x x x =

5、若()()()f x u x v x =,试证明:

01001011[,]()[,][,]()f x x u x v x x u x x v x =+

证明:由差商定义

101100

011010

11010100101010101010001011()()()()()()[,]()()()()()()()()

()()()()()()

()[,][,]()

f x f x u x v x u x v x f x x x x x x u x v x u x v x u x v x u x v x x x u x u x v x v x v x u x x x x x u x v x x u x x v x --=

=

---+-=

---=+--=+

6、若已知2n n y =,求4n y ?和4n y δ。 解:由向前差分、中心差分和函数值的关系可得

4

4

440432143211464242624222()***k k

n n k k n n n n n n n n n n n

y C y y y y y y +-=++++++++?=-=-+-+=-+-+=∑

4

4

420211221122

1464242624222()***k k n n k k n n n n n n n n n n n y C y y y y y y δ+-=++--++---=-=-+-+=-+-+=∑

7、考虑构造一个函数01()([,])x

f x e x =∈的等距节点函数表,要使分段线性插值的误差不大于

41

102

-?,最大步长h 应取多大? 解:由等距分段线性插值的误差表达式

222401110882

()

()max ()x h h R x f x e -≤≤≤=≤?

从而可得

2

00121.h -≤

8、考虑构造一个函数01()([,])x f x e x =∈的等距节点函数表,要使分段Hermite 插值的

误差不大于

41

102

-?,最大步长h 应取多大? 解:由等距分段Hermite 插值的误差表达式

4444

401

110423842

()()max ()!x h h R x f x e -≤≤≤=≤? 从而可得

121002899.h -≤≈ 9、对函数()f x ,取节点012,,x x x ,且已知001122''

(),(),()f x y f x y f x y ===;

①试对()f x 构造二次插值多项式

2001122'

()()()()P x h x y h x y h x y =++

确定上式中基函数012(),(),()h x h x h x 。

②若要使2()P x 存在且唯一,插值节点012,,x x x 应满足什么条件? 解:①依题意,二次多项式基函数012(),(),()h x h x h x 应分别满足:

000010200'

(),(),()h x y h x h x === (1) 101111200''(),(),()h x h x y h x === (2) 202122200'(),(),()h x h x h x y ===

(3)

由(1)(2)(3)可得

2120

00210222()()()()()

x x x x x y h x x x x x x +--=

+--,

021

11022'

()()()()

x x x x y h x x x x --=

--,

0100

22012022()()()()()

x x x x x y h x x x x x x +--=

+--

②由(1)(2)(3)可知欲使2()P x 存在且唯一,只需且必须插值节点02,x x 互异且

02

12

x x x +≠

。 10、设301()[,],,[,]f x C a b x x a b ∈∈,证明:

101010

0210012

012

102'

()()()()()()()()()()

()()

()x x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x f x R x x x ---+--=

+---+

+-

其中201011

6

'''()()()()()R x x x x x f x x ξξ=

--≤≤。

证明:令二次多项式

101012002

10012

012

102'

()()()()()()()()()()

()()

x x x x x x x x x P x f x f x x x x x x x f x x x ---+--=

+---+

-

则易见2()P x 满足:200200211''()(),()(),()()P x f x P x f x P x f x === 于是2()()()R x f x P x =-满足:0010'()()()R x R x R x ===

因而201()()()()R x K x x x x x =--,引入辅助函数201()()()()()g t R t K x t x t x =---,则()g t 共有01(,x x x 二重),四个零点,依广义Rolle 定理,存在01[,]x x ξ∈满足:

26660'''''''''''''''()()()()()()()()g R K x f P K x f K x ξξξξξ=-=--=-=

从而6

'''()()f K x ξ=,20116'''()()()()R x x x x x f ξ=--。证毕。

11、设(),()i i h x h x 为Hermite 插值基函数,012(,,,,)i n = ,试证明: ①

01()n

i i h x ==∑

(()())n

i

i

i i h x x

h x x =+=∑

证明:由Hermite 插值0

'()()()()n n

i

i

i

i

i i f x h x y h x y

R x ===

++∑∑,其误差表达式

2220

22()()()()()!n n

i i f R x x x n ξ+==-+∏,故对于次数不高于一次的多项式函数()f x 有0()R x =,从而0

'

()()()n

n

i i i i i i f x h x y h x y ===

+∑∑,特别地取1(),f x x =,分别可得 ①

1()n

i

i h x ==∑;②0

(()())n

i

i

i i h x x

h x x =+=∑

12、试构造一个Hermite 三次多项式3()H x 逼近函数()f x ,满足以下条件。

3333

000111003110

'''

'

()(),

()()()(),

()()H f H f H f H f ====???==-==??

解:取0101,x x ==,由H e r m i t e 插

值1

1

'

()()()()i

i

i

i

i i f x h x y h x y

R x ===++∑∑,

1

1

30

'()()()i i i i i i H x h x y h x y ===+∑∑,其中

2

2001122111001()()()x x h x x x --?

???=+=+- ???--????, 2

211012320110()()x x h x x x --????=+=- ???--????, 2

2010101()()()x h x x x x -??=-=- ?

-??, 22

101110()()()x h x x x x -??=-=- ?

-??

代入可得3

23103593()()()H x h x h x x x x =-=-+-。 13、试判断下面函数是否为三次样条函数:

①3

3301001112[,)()[,)()[,]

x f x x

x x x x ∈-??=∈??+-∈?

②23

21

10221

01[,)()[,]

x x x f x x x x ?++∈-?=?++∈??

解:据三次样条函数的定义①中函数是三次样条函数,②中函数不是三次样条函数,因其在

内节点0处二阶导数不连续。 14、给出如下的数据:

1010132020'

''x y y y =-??=?

?=-??=?

①试用重节点差商法构造五次Hermite 插值多项式5()H x 满足所给条件,并给出插值误差式。

②若用Lagrange 型基本函数法,应如何构造节点基函数。

23323

55

4321

21101713118

121131788

()()()()()()()

H x x x x x x x x x x x x =-+++-+++-+=---+-

插值误差为:62

35116()()()()()!

f R x x x x ξ=

+- ②若用Lagrange 型基本函数法,设基函数为012010(),(),(),(),(),()x x x x x x αααββγ,

2

1

500

'''()()()()i i j j i j H x x y x y x y αβγ===++∑∑ 其中001201()(,,),()(,),()i j x i x j x αβγ==均为五次多项式且满足

00000001101011''''

()()()()(),()αααααα==-==-=-=,

11111111101001''''()()()()(),()αααααα-==-==-==,

22222210101011''''

()()()()(),()αααααα-==-==-==,

00000010101011''''()()()()(),()ββββββ-====-=-=, 11111110111001''''()()()()(),()ββββββ-===-=-==,

00000010110011''''()()()()(),()γγγγγγ-===-==-=。

15、已知数据对

0817********(,){(,),(,),(,),(,),(,)}x y =--

①给出自然边界条件040''''()()y y ==,试用三弯矩方程构造三次样条函数()S x ,并计算

25(.)f 的近似值。

②给出固定边界条件0044''(),()y y ==,试用三转角方程构造三次样条函数()S x ,并计算25(.)f 的近似值。

解:①依三弯矩方程及自然边界条件040''''()()y y ==可得线性方程组

01234200052051805205

360520554020......M M M M M ??????

? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?

? ? ?????

?? 解得012340642861028572442860,.,.,.,M M M M M =====,于是可得

2573304(.).f ≈

②依固定边界条件0044'

'

(),()y y ==可得

2557589(.).f ≈

数值分析课后答案

1、解:将)(x V n 按最后一行展开,即知)(x V n 是n 次多项式。 由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ,.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ,即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高 次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。 故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解:(1)设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时,有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式, ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ, ξ介于j x 之间,.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地,当0=k 时, 10) (=∑=n j x j l 。 (2) 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x )利用(。 7、证明:以b a ,为节点进行线性插值,得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ,故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ,b a <<ξ。 故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解:设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=, k x x g =)(,记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ,则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ, ξ介于n x x ,...,1之间。 当20-≤≤ n k 时,0)()1(=-ξn g , 当 1-=n k 时,)!1()(1-=-n g n ξ, 故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解:根据差商与微商的关系,有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f , [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。 ( 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式, 故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f )。 25、解:(1) 右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。 (2)左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")(("

数值分析课后题答案

数值分析 第二章 2.当1,1,2x =-时,()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解: 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6.设,0,1,,j x j n =L 为互异节点,求证: (1) 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L (2)0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 (1) 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ,则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q

(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证: 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解:令01,x a x b ==,以此为插值节点,则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --

数值分析课后题答案

数值分析 2?当x=1,—1,2时,f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解: X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点,求证: n (1 )7 x:l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j £ 证明 (1)令f(x)=x k

n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n,则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)!

.f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j :o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解:令x^a,x^b,以此为插值节点,则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj

数值分析课后习题答案

习 题 一 解 答 1.取3.14,3.15, 227,355113 作为π的近似值,求各自的绝对误差,相对误差和有效数字的位数。 分析:求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意,不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求,即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位,再确定有效数的末位是哪一位,进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后,可以根据定理2更规范地解答。根据定理2,首先要将数值转化为科学记数形式,然后解答。 解:(1)绝对误差: e(x)=π-3.14=3.14159265…-3.14=0.00159…≈0.0016。 相对误差: 3()0.0016 ()0.51103.14r e x e x x -==≈? 有效数字: 因为π=3.14159265…=0.314159265…×10,3.14=0.314×10,m=1。 而π-3.14=3.14159265…-3.14=0.00159… 所以│π-3.14│=0.00159…≤0.005=0.5×10-2=21311 101022 --?=? 所以,3.14作为π的近似值有3个有效数字。 (2)绝对误差: e(x)=π-3.15=3.14159265…-3.14=-0.008407…≈-0.0085。 相对误差: 2()0.0085 ()0.27103.15r e x e x x --==≈-? 有效数字: 因为π=3.14159265…=0.314159265…×10,3.15=0.315×10,m=1。 而π-3.15=3.14159265…-3.15=-0.008407… 所以│π-3.15│=0.008407……≤0.05=0.5×10-1 =11211101022 --?=? 所以,3.15作为π的近似值有2个有效数字。 (3)绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差:

第五章习题解答_数值分析

第五章习题解答 1、给出数据点:0134 19156 i i x y =?? =? (1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。 (2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。 (3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。 解: (1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数 2 20 2 1303011915 01031013303152933 ()()()()()() ()()()()()()()() i i i x x x x x x L x l x y x x =------== ?+?+?-------++= ∑ 代入可得2151175(.).L =。 (2)利用 134,,x x x ===,9156,,y y y ===构造如下差商表: 229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+- 代入可得215135(.).N =。 (3)用事后误差估计的方法可得误差为 ()()()02222 03-x 150 x x x -=117513506563-04.()()()(..).x f L R L x N x x x --≈= -≈- ()()()3222203-154 x x -=1175135-1.0938-04 .()()()(..)x x f N R x L x N x x x --≈=-≈- 2、设Lagrange 插值基函数是 0012()(,,,,)n j i j i j j i x x l x i n x x =≠-==-∏ 试证明:①对x ?,有 1()n i i l x ==∑ ②00110001211()()(,,,)()()n k i i i n n k l x k n x x x k n =?=?==??-=+? ∑ 其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。 证明: ①由Lagrange 插值多项式的误差表达式10 1()()()()()!n n i i f R x x x n ξ+==-+∏知,对于函数1()f x =进行

数值分析习题集及答案

(适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》) 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令

数值分析第四版习题及答案

第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?

数值分析第四版习题及答案

第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2%,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、

数值分析课后习题答案

第一章 题12 给定节点01x =-,11x =,23x =,34x =,试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项: (1) (1) 3 ()432f x x x =-+ (2) (2) 4 3 ()2f x x x =- 解 (1)(4) ()0f x =, 由拉格朗日插值余项得(4)0123() ()()()()()()0 4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=; (2)(4) ()4!f x = 由拉格朗日插值余项得 01234! ()()()()()() 4! f x p x x x x x x x x x -= ----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---. 题15 证明:对于()f x 以0x ,1x 为节点的一次插值多项式()p x ,插值误差 012 10()()()max () 8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤. 证 由拉格朗日插值余项得 01() ()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-= --,其中01x x ξ≤≤, 01 0101max ()()()()()()()() 2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max () 8x x x x x f x ≤≤-''≤. 题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==,(1)(1)1p p '==的插值多项式 ()p x : (1) (1) 用待定系数法; (2) (2) 利用承袭性,先考察插值条件(0)(0)0p p '==,(1)1p =的插值多项式 ()p x . 解 (1)有四个插值条件,故设230123()p x a a x a x a x =+++,2 123()23p x a a x a x '=++, 代入得方程组001231123010231 a a a a a a a a a =? ?+++=?? =? ?++=? 解之,得01230 021 a a a a =??=?? =??=-?

(参考资料)数值分析课后答案1

1第一章 习题解答 1 设x >0,x 的相对误差限为δ,求 ln x 的误差。 解:设 x 的准确值为x *,则有 ( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 所以 e (ln x )=| ln x – ln x * | =| x – x * | ×| (ln x )’|x=ξ·≈ ( | x – x * | / | x *| ) ≤ δ 另解: e (ln x )=| ln x – ln x * | =| ln (x / x *) | = | ln (( x – x * + x *)/ x *) | = | ln (( x – x * )/ x * + 1) |≤( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。 解:| e (x ) | = |e (– 2.18)|≤ 0.005,| e (y ) | = |e ( 2.1200)|≤ 0.00005,所以 ε( x )=0.005, ε( y ) = 0.00005。 3 下近似值的绝对误差限都是 0.005,问各近似值有几位有效数字 x 1=1.38,x 2= –0.0312,x 3= 0.00086 解:根据有效数字定义,绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知,x 1,x 2, x 3有效数末位数均为小数点后第二位。故x 1具有三位有效数字,x 2具有一位有效数字,x 3具有零位有效数字。 4 已知近似数x 有两位有效数字,试求其相对误差限。 解:| e r (x ) | ≤ 5 × 10– 2 。 5 设 y 0 = 28,按递推公式 y n = y n-1 – 783/ 100 ( n = 1,2,…) 计算到y 100。若取≈78327.982 (五位有效数字),试问,计算 y 100 将有多大的误差? 解:由于初值 y 0 = 28 没有误差,误差是由≈78327.982所引起。记 x = 27.982,783?=x δ。则利用理论准确成立的递推式 y n = y n-1 – 783/ 100 和实际计算中递推式 Y n = Y n-1 – x / 100 (Y 0 = y 0) 两式相减,得 e ( Y n ) = Y n – y n = Y n-1 – y n-1 – ( x – 783)/ 100 所以,有 e ( Y n ) = e ( Y n-1) – δ / 100 利用上式求和 δ?=∑∑=?=100111001)()(n n n n Y e Y e 化简,得 e ( Y 100) = e ( Y 0) – δ = δ 所以,计算y 100 的误差界为 4100105001.05.0)(?×=×=≤δεY 6 求方程 x 2 – 56x + 1 = 0的两个根,问要使它们具有四位有效数字,D=ac b 42 ?至少要取几位有效数字? 如果利用韦达定理,D 又应该取几位有效数字? 解:在方程中,a = 1,b = – 56,c = 1,故D=4562?≈55.96427,取七位有效数字。

《数值分析》第五章答案

习题5 1.导出如下3个求积公式,并给出截断误差的表达式。 (1) 左矩形公式:?-≈b a a b a f dx x f ))(()( (2) 右矩形公式:))(()(a b b f dx x f b a -≈? (3) 中矩形公式:?-+≈b a a b b a f dx x f ))(2 ( )( 解:(1) )()(a f x f ≈, )()()()(a b a f dx a f dx x f b a b a -=≈?? (2) )()(b f x f ≈,??-=≈b a b a a b a f dx b f dx x f ))(()()( )()(2 1)()()()(2 ηηξf a b dx b x f dx b x f b a b a '--=-'=-'=??,),(,b a ∈ηξ (3) 法1 )2 ( )(b a f x f +≈ , 法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式 )(x H 满足 )2()2( b a f b a H +=+,)2 ()2(b a f b a H +'=+',则有 2 )2 )((!21)()(b a x f x H x f +-''= -ξ, ),(b a ∈ξ 于是 2.考察下列求积公式具有几次代数精度: (1) ?'+ ≈1 )1(2 1 )0()(f f dx x f ; (2) )3 1()31()(1 1f f dx x f +- ≈?-。 解: (1)当1)(=x f 时,左=1,右=1+0=1,左=右; 当x x f =)(时,左21= ,右=2 1 210=+,左=右; 当2 )(x x f =时,左=3 1 ,右=1,左≠右,代数精度为1。

数值分析第五章学习小结【计算方法】

第五章最小二乘法与曲线拟合小结 一、本章知识梳理 1、 从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差 (i=0,1,…,m) (i=0,1,…,m)绝对值的最大值,即误差向量 的∞—范数;二是误差绝对值的和,即误差向量r的1—范数;三是误差 平方和的算术平方根,即误差向量r的2—范数;前两种方法简单、自然,但不便于微分运算,后一种方法相当于考虑 2—范数的平方,因此在曲线拟合 中常采用误差平方和来度量误差 (i=0,1,…,m)的整体大小。 数据拟合的具体作法是:对给定数据 (i=0,1,…,m),在取定的函 数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小,即 从几何意义上讲,就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小 的曲线(图6-1)。函数称为拟合函数或最小二乘解,求拟合 函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 2、多项式拟合 假设给定数据点 (i=0,1,…,m),为所有次数不超过的多项式构成的函数类,现求一,使得 (1) 当拟合函数为多项式时,称为多项式拟合,满足式(1)的称为最小二乘 拟合多项式。特别地,当n=1时,称为线性拟合或直线拟合。 显然 为的多元函数,因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件,得 (2) 即

(3) (3)是关于的线性方程组,用矩阵表示为 (4) 式(3)或式(4)称为正规方程组或法方程组。 可以证明,方程组(4)的系数矩阵是一个对称正定矩阵,故存在唯一解。 从式(4)中解出 (k=0,1,…,n),从而可得多项式 (5) 可以证明,式(5)中的满足式(1),即为所求的拟合多项式。我 们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差,记作 由式(2)可得 (6) 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步: (1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图,确定拟合多项式的次数n; (2) 列表计算和; (3) 写出正规方程组,求出; (4) 写出拟合多项式。 在实际应用中,或;当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛 顿插值多项式。 3、曲线拟合: 曲线拟合,即把一组数据拟合为曲线,需遵循最小二乘法。常用双曲线型和指数型函数。

数值分析第四版习题及答案

第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试 指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的 绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数

字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin ,2s ab c = 其中c 为弧度, 02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 20000112111 2 1 ()(,,,,)11 n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x x x ----== 证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- . 2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式. 3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.

数值分析课后题答案

数值分析 第二章 2.当1,1,2x =-时,()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解: 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4; ()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--= =-+-----= =------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 1 4(1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6.设,0,1,,j x j n =L 为互异节点,求证: (1)0 ()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L (2) 0()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 (1) 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ,则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()n k n j j j L x x l x ==∑。 插值余项为(1)1()()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤Q

(1)()0()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0 ()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 000(2)()() (())()()(())n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 0()n k i j j j x l x x ==∑ 0()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证: 21max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解:令01,x a x b ==,以此为插值节点,则线性插值多项式为 10101010()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0 ()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2 f x f x x x x x ''∴=--

数值分析 第五章习题

第五章 习 题 1. 用高斯消去法解方程组 123234011921261x x x ????????????=??????????????????? 2. 用LU 分解,将第1题中的系数矩阵分解为L 和U 的乘积,L 是对角线元素为1的下三角矩阵,U 是上三角矩阵. 3. 用平方根法和T LDL 分解为求解方程组 123121332522334x x x x x x x ++=??+=??+=? 4. 证明 (1)两个下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵. (2)下三角矩阵之逆仍为下三角矩阵. 5. 用列主元素消去法解方程组 1231231 233472212320x x x x x x x x x ?+=???+?=?????=? 取4位数字计算. 6. 对四阶Hilbert 矩阵为系数的方程组 12341234 1234 12341111 234111102345111103456111104 567x x x x x x x x x x x x x x x x ?+++=???+++=???+++=???+++=? 试求其系数方程组A 的条件数()cond A ∞并分析方程组的性态。 7. 如果A 是一个对称正定矩阵,且带宽为21m +,证明在A 的三角分解T A LL =中出现的矩阵L 也是带状矩阵. 8. 设有三对角方程组

11121 2122232 b x c x d a x b x c x d +=+++= (121111) 1n n n n n n n n n n n n a x b x c x d a x b x d ???????++=+= 其系数矩阵有严格对角优势. 试写出用LU 分解求其解的计算公式. 9. 画出2R 中满足下列不等式的集合. (1)11x ≤ (2)21x ≤ (3)1x ∞≤ 10. 求证1I ≥,11A A ?≥. 11. 试证明2 21A A A ∞≤ 12. 对矩阵 2100121001210012A ????????=???????? 求A ∞,2A ,1A 和2()Cond A . 13. 比较下面两个方程组的解. 123123123111 2311102341110345x x x x x x x x x ?++=???++=???++=?? ,1231231231.000.500.3310.500.330.2500.330.250.200x x x x x x x x x ++=??++=??++=?

最新数值计算课后答案1

习 题 一 解 答 1.取3.14,3.15, 227,355113 作为π的近似值,求各自的绝对误差,相对误差和有效数字的位数。 分析:求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意,不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求,即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位,再确定有效数的末位是哪一位,进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后,可以根据定理2更规范地解答。根据定理2,首先要将数值转化为科学记数形式,然后解答。 解:(1)绝对误差: e(x)=π-3.14=3.14159265…-3.14=0.00159…≈0.0016。 相对误差: 3()0.0016 ()0.51103.14 r e x e x x -==≈? 有效数字: 因为π=3.14159265…=0.314159265…×10,3.14=0.314×10,m=1。 而π-3.14=3.14159265…-3.14=0.00159… 所以│π-3.14│=0.00159…≤0.005=0.5×10-2=21311 101022 --?=? 所以,3.14作为π的近似值有3个有效数字。 (2)绝对误差: e(x)=π-3.15=3.14159265…-3.14=-0.008407…≈-0.0085。 相对误差: 2()0.0085 ()0.27103.15 r e x e x x --==≈-? 有效数字: 因为π=3.14159265…=0.314159265…×10,3.15=0.315×10,m=1。 而π-3.15=3.14159265…-3.15=-0.008407… 所以│π-3.15│=0.008407……≤0.05=0.5×10-1=11211 101022 --?=? 所以,3.15作为π的近似值有2个有效数字。 (3)绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137 e x π=-=-=-≈-L L 相对误差:

数值分析复习题答案

数值分析复习题 一、填空 Chapter1 绪论 近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 3 位有效数字. 用1000.1近似真值1000时,其有效数字有 4 位, 已知准确值x*与其有t 位有效数字的近似值12 10.10(0)s n x a a a a =?≠的绝对误差为 1 x*-x 102s t -≤ ?。 设 2.40315x * =是真值 2.40194x =的近似值,则x * 有 3 位有效数字。 设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字,则其相对误差限是44 11 1010224--?=?? ,其绝对误差限是4 1 102-?。 当x 很大时,为防止损失有效数字,应该使 = 。 Chapter2 插值方法 设642 ()3651f x x x x =+-+,则[3,2,1,0,1,2,3]f ---= 3 。 若 42 f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]= 0 。 对 32f(x)=x +3x -x+5,差商f[0,1,2,3,4]= 0 。 设 643()35f x x x x =-+-,则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 1 。 已知y=f(x)的均差 021[,,]5f x x x =, 402[,,]9f x x x =, f[x4, x3, x2]=14, f[x0, x3, x2]=8 ,.那么 均差f[x4, x2, x0]= 9 。(交换不变性) 设有数据112 032 x y -则其 2 次 Larange 插值多项式为 32 (1)(2)(1)(1)23x x x x -+-++-,2次拟合多项式为 (最佳平方逼近可求)。??? 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为 ()k l x ( k =0,1,2,…,n),则 n k k=0 kl (x)= ∑ x 。??(注: k y k =,则有拉格朗日插值公式:

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