第2章 平面基本力系
在工程中常常碰到一些特殊力系，如图2-1和2-2所示。这种作用于物体上的各力作用线位于同一平面内，且汇交于一点的力系，称为平面汇交力系。
另外还有一种和转动作用有关的平面力偶系，如图2-3所示。
图2-1
图2-2 图2-3
本章主要研究平面汇交力系和平面力偶系这两个基本力系的合成和平衡问题。
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法
1) 两个汇交力的合成
两个力的合成可根据力的平行四边形法则或三角形法则求得合力的大小与方向。如图2-4(a)，作用在物体上的任意两个不平行的力1F 和2F ，根据力的可传性，可将这两个力分别沿其作用线移到汇交点，即成为作用在物体上同一点的两个汇交力。如图2-4(b)，其合力可根据力的平行四边形法则来确定，合力R 的作用线通过汇交点，用矢量式表示为
21F F R += (2-1)
图2-4
合力R 的大小和方向，可通过三角形法则求得：以α表示两个分力1F 与2F 之间的夹角，应用余弦定理，得合力大小为：
)180cos(22122212α-?-+=F F F F R (2-2) 或
αcos 2212221F F F F R ++= (2-3)
以?1和?2分别表示合力R 与两边的夹角，应用正弦定理：
21sin F ?=12sin F
?=)
-sin(180R α? 得：
α
?α?sin sin sin sin 1
22
1R F R F ==
(2-4) 式中21??α+=。由上式可确定合力R 的方向。
同理利用力的三角形法则也可确定合力R 的大小和方向。但必须注意力三角形的矢序规则，分力矢1F 和2F 沿环绕三角形边界的某一方向首尾相接，而合力R 则沿相反方向从起点指向最后一个分力矢的末端。作图时若变换分力矢1F 和2F 的顺序，则得到不同的力三角形。但合力矢的大小和方向不变。
如果在刚体的点A 作用两个共线的力1F 和2F 。如图2-5(a)所示，那么，当两力同向时，合力的大小等于这两力大小的和，方向与两力相同；当两力反向时，合力的大小等于两力的差，方向与其中较大的一个力相同，如图2-5(b)所示。
图2-5
2) 任意个汇交力的合成。
如图2-6(a)所示，设物体受到平面汇交力系1F 、2F 、3F 、4F 的作用。求此力系的合力时，可连续使用力的三角形法则。如先求1F 和2F 的合力1R ，再求1R 和3F 的合力2R ，最后将2R 与4F 合成，即得力系的合理R ，如图2-6(b)所示。
由作图的结果可以看出，在求合力R 时，表示1R 和2R 的线段完全可以不画。可将各力1F ，…4F 依次首尾相接，形成一条折线，联接其封闭边，即从1F 的始端指向4F 的末端所形成的矢量则为合力的大小和方向，如图2-6(c)所示，此法称为力的多边形法则。
上述矢量加法，推广到n 个力的汇交力系求合力，可得出结论：平面汇交力系的合力等于力系各力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。合力R 可用矢量式表示为
i n F F F F R ∑=+++=...21 (2-5)
图2-6
画力多边形时，若改变各分力相加的次序，将得到形状不同的力多边形，但最后求得的合力不变，如图2-7所示。
图2-7
2.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件
若刚体在一平面汇交力系作用下而处于平衡，则该力系的合力为零；反之，当力系
的合力为零时，则刚体处于平衡状态。由于平面汇交力系可用其合力来代替，显然，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。以矢量等式表示为
01
=∑=n
i i F (2-6)
在平衡情况下，合力为零，因此力的多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合，此时力的多边形成为封闭的力多边形。即在力多边形中，所有各力首尾相接，形成一闭合多边形（所有各力矢沿着环绕力的多边形边界的同一方向）。因此得出结论，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的力多边形自行封闭，这就是平面汇交力系平衡的几何条件。
例2-1 支架ABC 由横杆AB 与支撑杆BC 组成，如图2-8(a)所示。A 、B 、C 处均为铰链连接，B 端悬挂重物其重力W =5KN ，杆重不计，试求两杆所受的力。
图2-8
解：（1）选择研究对象，以销子B 为研究对象。
（2）受力分析、画受力图。由于AB 、BC 杆自重不计，杆端为铰链，故均为
二力杆，两端所受的力的作用线必过直杆的轴线。根据作用力与反作用力关系，它的约束反力1F 、2F 作用于B 点，此外，绳子的拉力W （大小等于物体的重力）也作用于B 点，
1F 、2F 、W 组成平面汇交力系，其受力图如图2-8(b)所示。
（3）根据平衡几何条件求出未知力。当销子平衡时，三力组成一封闭力三角形，
先画W ，过a 、b 点分别作2F 、1F 的平行线，汇交于c 点，于是得力三角形abc ，则bc 为1F 的大小，ca 为2F 的大小，力指向符合首尾相接的原则，如图2-8(c)所示。
由平衡几何关系求得：
1cot 308.66F W =?==KN 10230sin 2==?
=
W W
F KN
根据受力图可知AB 杆为拉杆，BC 杆为压杆。
例2-2 起重机吊起的减速箱盖重力W =900N ，两根钢丝AB 和AC 与铅垂线的夹角分别为?=45α，?=30β,如图2-9(a)所示，试求箱盖匀速吊起时，钢丝绳AB 和AC 的张力。
图2-9
解：（1）选择研究对象。以箱盖为研究对象。
（2）受力分析，画受力图。可以证明：作用在刚体上三个相互平衡的力，其作用线必相交于一点。这样，已知力W 和待求的钢丝绳张力AB F 和AC F 都作用在箱盖上，并必汇交于吊环中心A 处，画出它的受力图如图2-9(b)所示。
（3）应用平衡几何条件，求出未知力。W 、AB F 、AC F 必构成一自行封闭的力三角形。已知W 的大小和方向以及AB F 、AC F 的方向，只是AB F 和AC F 的大小未知。为此，先画W ，再过其两端a 和b 分别作直线平行于AB F 和AC F ，这两条线相交于c 点，于是得力三角形abc ，如图2-9(c)。AB F 和AC F 的指向应符合首尾相接的原则。可见，画力三角形是以受力图为依据。
若力三角形的几何关系不复杂，可运用三角公式来计算。例如在本题中，由正弦定理得
?
=
?=?105sin 45sin 30sin W
F F AC AB 于是得
466900966.05
.0105sin 30sin =?=??=N W F AB N
659900966
.0707
.0105sin 45sin =?=??=
N W F AC N
若在画力三角形时，W 是按图2-9(c)中选定的作图比例尺画出，则可在力三角形中直接量出结果。
460≈AB F N, 660≈AC F N
在工程中，当结构的几何尺寸关系复杂时，用作图法解题较为简便。
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
平面汇交力系合成的几何法，虽比较简单，但作图要十分准确，否则会引起较大的误差。工程中应用得较多的是解析法。这种方法主要是应用力在坐标轴上的投影作为基
础来进行计算。
2.2.1 力的分解
由上节知道，两个共点力，可以合成为一个合力，解答是唯一的；可是反过来，要把一个已知力分解为两个力，若无足够的条件限制，其解答将是不定的。因为在力的平行四边形法则21F F R +=中，每一个矢量都包含有大小和方向两个要素，故上式共有六个要素，必须已知其中四个才能确定其余两个。在已知合力大小和方向的条件下，还必须规定另外两个条件：例如，规定两个分力的方向；或两个分力的大小；或一个分力的大小和方向；或一个分力的大小和另一个分力的方向等。所以要使问题有确定的解答，必须附加足够的条件。
在工程实际中经常会遇到要把一个力沿两个已知方向分解，求这两个分力大小的问题。
2.2.2 力在直角坐标系上的投影
如图2-10(a)所示，设在平面直角坐标系Oxy 内，有一已知力F ，从力F 的两端A 和
B 分别向x 、y 轴作垂线，得到线段ab 和''b a ，其中ab 为力F 在x 轴上的投影，以X 表
示；''b a 为力F 在y 轴上的投影，以Y 表示。并且规定：当力的始端到末端投影的方向与坐标轴的正向相同时，投影为正；反之为负。图2-10(a)中的X 、Y 均为正值，图2-10(b)中的X 、Y 均为负值。所以，力在坐标轴上的投影是代数量。
图2-10
力的投影的大小可用三角公式计算，设力F 与x 轴的正向夹角为α，则对于图2-10(a)的情况为
α
αsin cos F Y F X == (2-7)
对于图2-10(b)的情况为
α
α
sin cos F Y F X -=-= (2-8)
如将力F 沿x 、y 坐标轴分解，所得分力x F 、Y
F ，其值与力F 在同轴的投影X 、
Y 值相等，但必须注意：力的投影与力的分量是两个不同的概念。力的投影是代数量，
而分力是矢量。只在直角坐标系中，两者大小相等，投影的正、负号表明分力的指向。 2.2.3 合力投影定理
合力投影定理建立了合力的投影与分力的投影之间的关系。图2-11表示平面汇交力系的各力矢1F 、2F 、3F 、4F 组成的力多边形，R 为合力。将力多边形中各力矢投影到x 轴上，由图可见
de cd bc ab ae -++=
图2-11
按投影定义，上式左端为合力R 的投影，右端为四个分力的投影的代数和，即
x x x x x F F F F X X X X R 43214321+++=+++=显然，上式可推广到任意多个力的情
况，即
∑==+++=+++=n
i ix nx x x n x F F F F X X X R 1
2121...... (2-9)
同理 ∑==
+++=+++=n
i iy
ny y y n y F
F F F Y Y Y R 1
2121...... (2-10)
于是可得结论：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和。这就是合力投影定理。
2.2.4 平面汇交力系合成的解析法
求平面汇交力系合力的解析法，是用力在直角坐标轴上的投影，计算合力的大小，确定合力的方向。
设在刚体上的点O ，作用了由n 个力1F 、2F 、…n F 组成的平面汇交力系，如图2-12(a)
所示，求合力的大小和方向。
设1X 和1Y 、2X 和2Y 、… 、n X 和n Y 分别表示力1F 、2F 、…、n F 在正交轴Ox 和
Oy 上的投影。根据合力投影定理，可求得合力R 在这两轴上的投影（图2-14b ）为：
∑==+++=+++=n
i ix nx x x n x F F F F X X X R 12121......
∑==+++=+++=n
i iy ny y y n y F F F F Y Y Y R 1
2121......
图2-12
根据式（2-3）可求得合力的大小和方向为：
∑∑==+=+=n
i n
i i i y x Y X R R R 1
1
222
2)()( (2-11)
x
y R R =
αtan (2-12)
式中的α表示合力与x 轴所夹的锐角，R 的实际指向由x R 、y R 的正负号决定。
例2-3 如图2-13(a)所示，在物体的O 点作用有四个平面汇交力。已知
1001=F N ，1002=F N ，1503=F N ，2004=F N ，1F 水平向右，试用解析法求其合力。
解：取直角坐标系Oxy 如图2-13所示。根据图2-13所给的角度在图上标出各力与坐标轴的夹角，于是有
?-?-?+=∑=20cos 60cos 50cos 4321F F F F F F x Rx =
()9397.02005.01506428.0100100?-?-?+N=66.98-N =?-?+?+=∑=20sin 60sin 50sin 0432F F F F F y Ry ()342.0200866.0150766.0100?-?+?N=1.138N
图2-13
从Rx F 、Ry F 的代数值可见，Rx F 沿x 轴的负向，Ry F 沿y 轴的正向，见图2-13(b)。由式（2-11）得合力的大小
()()N N F F F Ry Rx R 7.169]1.13866.98[2
2
2
2=+-=+=
我们可以用式（2-12）来确定R F 的方向
4.166
.981
.138tan ==
=
Rx
Ry F F θ 所以
8254'?=θ
2.2.5 平面汇交力系平衡的解析条件
平面汇交力系的平衡条件是力系的合力等于零。合力的大小为：
()()22∑∑+=
y x F F R
当合力为零时
()()02
2=+∑∑y x F F (2-13)
即
??
?==∑∑0
Y X F F (2-14) 由此可知，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系中所有力在任选两个坐标轴上投影的代数和均为零。
式（2-14）是平面汇交力系的解析条件，亦称平面汇交力系的平衡方程。由于平面汇交力系有两个独立的平衡方程，因此只能求解两个未知量。可以是力的大小，也可以是力的方向。
应用平衡方程来解决工程上的平衡问题是静力学的主要任务之一。下面，举例说明平面汇交力系平衡方程的应用。
例2-4 简易起重装置如图2-14所示，重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A ，绕在绞车D 的鼓轮上，定滑轮用直杆AB 和AC 支承，定滑轮半径较小，其大小可略去不计，设重物重力kN W 2=，定滑轮、各直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触均为光滑。试求匀速提升重物时，杆AB 和AC 所受的力。
图2-14
解：杆AB 和AC 的受力，可以通过它们对滑轮的反力求出。因此，可以选取滑轮为研究对象，其上受有AB 和AC 杆的反力AB N 和Ac N ，因AB 和AC 杆为二力杆，所以反力的方向沿杆的轴线。此外滑轮上还受有绳索的拉力F 及W ，二者大小相等。滑轮的受力图如图2-14（b ）所示。其中只有AB N 和Ac N 的大小未知，两个未知数可由汇交力系平衡
方程解出。 由
0=∑y F ， 030cos 30sin =-?-?-W F N AC
得
5
.0866
.02230sin 30cos ?--=
??--=
F W N AC KN 46.7-= KN 再由
0=∑x F ， 030sin 30cos =?-?--F N N AC AB
可得
()[]5.02866.046.730sin 30cos ?-?--=?-?-=F N N AC AB KN 46.5=KN
AC N 为负值，表明AC N 的实际指向与假设方向相反，因此，AC 杆为受压杆。
例2-5 压榨机简图如图2-15（a ）所示，在A 铰链处作用一水平力F 使C 块压紧物体D 。若杆AB 和AC 的重量忽略不计，各处接触均为光滑，求物体D 所受的压力。
图2-15
解：根据作用力与反作用力的关系，求压块C 对物体的压力，可通过物体对压块的约束力N 而得到，而欲求压块C 所受的力N ，则需先确定AC 杆所受的力。为此，应先考虑铰链A 的平衡，找到AC 内力与主动力F 的关系。
根据上述分析，可先取铰链A 为研究对象，设二力杆AB 和AC 均受拉力，因此铰链A 的受力图如图2-15（b ）所示。为了使某个未知力只在一个轴上有投影，在另一轴上的投影为零，坐标轴应尽量取在与未知力作用线相垂直的方向。这样在一个平衡方程式中，可只出现一个未知数，按图2-15（b ）所示坐标系，列出平衡方程，即
0=∑x F ， ()0290cos cos =-?--ααAC N F
得
α
ααsin 22sin cos F
F
N AC -
=-= 再选取压块C 为研究对象，其受力图如图2-15（c ）所示，取坐标系如图所示，列平衡方程，即
0=∑y
F
，cos 0AC
N N α'+= 选取杆AC 为研究对象，其受力如图2-15(d)所示，列平衡方程，即
AC
AC N N '=
得
h Fl F F N N AC 22cot cos sin 2cos ==
??
?
??--=-=αααα 例2-6 如图2-16所示的压榨机中,杆AB 和BC 的长度相等,自重忽略不计.A 、B 、C 处为铰链连接。已知活塞D 上受到油缸内的总压力为P =3000N ，h =200mm ，l =1500mm 。试求压块C 作用于工件的压力。
图2-16
解：根据作用力和反作用力的关系，求压块对工件的压力，可通过求工件对压块的约束反力Q 而得到。而已知油缸的总压力作用在活塞上，因此要分别研究活塞杆DB 和压块C 的平衡才能解决问题。
先选活塞杆DB 为研究对象。设而二力杆AB 、BC 均受压力。因此活塞杆的受力如图2-16(b)所示。按图示坐标轴列出平衡方程，即
∑=0x F ，0cos cos =-ααBC AB S S 解得
BC AB S S =
∑=0y F ，0sin sin =-+P S S BC AB αα
解得
α
sin 2P
S S BC AB =
= 再选压块C 为研究对象，其受力图如图2-16(c)所示。通过二力杆BC 的平衡，可知BC C S S =。按图示坐标轴列出平衡方程，即
∑=0x F ， 0cos =+-αC S Ｑ 代入得
25.112cot 2sin 2cos ====
h
Pl
P P αααＱKN
压块对工件的压力就是力Q 的反作用力，也等于11.25KN 。
例2-7 铰接四杆机构ABCD ，由三根不计重量的直杆组成，如图2-17(a)所示。在销钉B 上作用一力1F ，销钉C 上作用一力2F ，方位如图所示。若1001=F N ，求平衡
力2F 的大小。
图2-17
方法一
该机构在1F 、2F 二力作用下平衡，那么机构中各个杆件都处于静止平衡状态。取出
BC 杆，只有当作用在该杆上的力1F 、2F 在BC 杆上的投影相等，BC 杆才不运动，处
于静止平衡。所以，可以列出BC 杆方向的投影方程，即
030cos 45cos 0
21=?-?=∑F F F BC
所以 100866
.0707
.030cos 45cos 12?=??=
F F N 64.81=KN
求得平衡力 64.812=F N
方法二
由题意可知，由于外力作用在销钉轴上，各杆重量不计，故各杆均为二力杆件。取销钉轴B 和C 为研究对象。分析受力图如图2-17(C)所示。
先取销钉轴B 为研究对象，在B 点受力图上取直角坐标轴xBy ，对x 轴列投影平衡方程式，有
045cos 01=?-=∑BC x F F F
解得 10045cos 1=?=F F BC N /0.707=141.4N
再取销钉轴C 为研究对象，在C 点受力图上取直角坐标轴y C x ''，对x '轴列投影平衡方程式，有
20cos300x CB F F F ∑=-?=
解得 ?=30cos 2F F CB 由于 BC CB F F =
所以 4.14130cos 2=?=BC F F N /0.866=163.3N 求得销钉轴C 处的平衡力 3.1632=F N
分析讨论：方法二在取研究对象、分析受力建立解题思路上是正确的，符合题意要求。而方法一在取研究对称、分析受力和解题思路上是不正确的，只凭想象、感觉而以BC 杆为研究对象，在分析BC 杆受力时，又把AB 杆和DC 杆对BC 杆的作用力丢掉了。在向BC 杆投影时，CD F 垂直于BC 杆，丢掉了没有影响；而BA F 力在BC 杆上有投影，丢掉了就会直接影响计算结果。所以方法一计算结果是错误的，方法二计算结果是正确的。
通过以上的例题，可以看出静力分析的方法在求解静力学平衡问题中的重要性。平
面汇交力系平衡方程的应用主要步骤和注意事项可归纳如下：
1）选择研究对象时应注意：（1）所选择的研究对象应作用有已知力（或已经求出的力）和未知力，这样才能应用平衡条件由已知力求得未知力；（2）先以受力简单并能由已知力求得未知力的物体作为研究对象，然后再以受力较为复杂的物体作为研究对象。
2）取隔离体，画受力图。研究对象确定之后，进而需要分析受力情况，为此，需将研究对象从其周围物体中隔离出来。根据所受的外载荷画出隔离体所受的主动力；根据约束性质、画出隔离体上所受的约束力，最后得到研究对象的受力图。
3）选取坐标系，计算力系中所有的力在坐标轴上的投影。坐标轴可以任意选择，但应尽量使坐标轴与未知力平行或垂直，可以使力的投影简便，同时使平衡方程中包括最少的数目的未知量，避免解联立方程。
4）列平衡方程，求解未知量。若求出的力为正值，则表示受力图上所设的力的指向与实际指向相同；若求出的力为负值，则表示受力图上力的实际指向与所假设指向相反，在受力图上不必改正。在答案中要说明力的方向。
2.3 平面力对点的矩
力对物体的作用效应有两种情况：（1）如果力的作用线通过物体的质心，将使物体在力的方向上平动，例如放在光滑桌面上的矩形玻璃板，如图2-18（a），在力F作用下平动；（2）如果力F的作用线不通过物体的质心，物体将在力F作用下,边平动边转动，如图2-18(b)所示。
图2-18 图2-19 本节我们研究力对刚体的转动作用，由此引入力对点之矩的概念。
2.3.1力对点之矩的概念
实践表明，作用在物体上的力除有平动效应外，有时还同时有转动效应。必须指出，一个力不可能使物体只产生绕质心的转动效应。如单桨划船，船不可能在原处旋转。但是，作用在有固定支点的物体上的力将对物体只产生绕支点的转动效应。如用板手拧螺母，作用于板手上的力F使扳手绕固定点O转动，见图2-19。
由经验可知，使螺母绕O点转动的效果，不仅与力F的大小成正比，而且与O点至该力作用线的垂直距离h也成正比。同时，如果力F使扳手绕O点转动的方向不同，则其效果也不同。由此可见，力F使扳手绕O点转动的效果，取决于两个因素：力的大小
F ）和力使扳手绕O点转动的方向。可用一个与O点到该力作用线垂直距离的乘积（h
代数量Fh ±来表示，称为力对点之矩，简称力矩。用公式记为
()Fh F M O ±= (2-15)
O 点称为力矩中心，简称矩心，距离h 称为力臂。
在平面问题中，力对点的矩是一个代数量，力矩的大小等于力的大小与力臂的乘积。其正负号表示力使物体绕矩心转动的方向。通常规定：力使物体作逆时针方向转动时力矩为正，如图2-20（a ）所示；反之为负，如图2-20（b ）。
图2-20
力矩的单位在国际单位制中为牛顿米，符号为牛·米（N·m ），或千牛顿米，符号为千牛·米（K N·m ）。
力矩在下列两种情况下等于零： （1） 力的大小为零
（2） 力的作用线通过矩心，即力臂等于零。 2.3.2 合力矩定理
在计算力矩时,有时直接计算比较困难。这时，如果将力作适当分解，计算力的分力的力矩则很方便。利用合力矩定理，可以建立合力对某点的矩与其分力对同一点的矩之间的关系。
平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于力系中各分力对于该点力矩的代数和。即：
)(...)()()(21n O O O O F M F M F M R M +++=
或
)()(F M R M O O ∑= (2-16)
例2-8 图2-21中带轮直径D =400mm ，平带拉力15001=F N ，7502=F N ，与水平线夹角?=15θ。求平带拉力1F 、2F 对轮心O 之矩。
解：平带拉力沿带轮的切线方向，则力臂2D d =，而与角θ无关。根据Fd F M ±=)(0
得 2
4
.015002)(1110?
-=-=-=D F d F F M N·m =300-N·m 2
4
.07502)(2
220?
===D F d F F M N·m 图2-21 =150N·m
例2-9 如图2-22（a ），作用于齿轮的啮合力1000=n P N ，节圆直径D =160mm ，压力角?=20α，求啮合力n P 对于轮心O 之矩。
图2-22
解：（1）应用力矩公式计算
由图2-22（a ）中几何关系可知力臂αcos 2
D
d =
，则 2.7520cos 2
16
.01000)(0-≈??
-=?-=d P P M n n N·
m （2）应用力矩定理计算
将啮合力n P 正交分解为圆周力P 和径向力r P ，如图2-22（b ）所示，可知节圆半径是圆周力的力臂，根据合力矩定理，则
02
cos )()()(000+-=+=D P P M P M P M n r n α
=2.75216
.020cos 1000-=??-N·
m 工程中齿轮的圆周力和径向力是分别给出的，因此第二种方法用的较为普遍。
2.4 平面力偶系合成与平衡
2.4.1 力偶与力偶矩
在工程问题中，常常遇到承受力偶作用的物体。所谓力偶是由大小相等、方向相反、不共线的两个平行力F 与F '所组成，通常用符号（F ，F '）表示。两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面，而力作用线间的垂直距离称为力偶臂。如图2-23所示，用丝锥攻丝和汽车司机转动方向盘等，都是受到大小相等，方向相反但作用线不在同一直线上的两个平行力的作用。
图2-23
在力偶中，等值反向平行力的合力显然等于零，但由于它们不共线而不能相互平衡，它们能使物体改变转动状态。既然力偶不能合成为一个力或用一个力来等效替换，那么力偶也不能用一个力来平衡。因此，力和力偶是静力学的两个基本要素。
力偶由两个力组成，它的作用是改变物体的转动状态。因此，力偶对物体的转动效果，可用力偶的两个力对其作用面内某点的矩的代数和来度量。
设有力偶（F 、F '），其力偶臂为d ，如图2-24所示。力偶对点O 的矩为),(0F F m '，则
Fd
bO aO F bO F aO F F m F m F F m =-=?'-?='+=')()
()(),(000 (2-17) 因为矩心O 是任意选取的，由此可知，力偶的作用
效果决定于力的大小和力偶臂的长短，与矩心的位置无关。 图2-24
力与力偶臂的乘积称为力偶矩，记作),('
F F m ，简记为m 。
由于力偶在平面内的转向不同，作用效果也不相同。因此，力偶对物体的作用效果，由以下两个因素决定：
(1) 力偶矩的大小；
(2) 力偶在作用平面内的转向。
若把力偶矩视为代数量，就可以包括这两个因素，即
Fd m ±= 2-18）
于是可得结论：力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：逆时针转向为正，反之则为负。力偶矩的单位与力矩相同，也是牛顿·米（N·m ）。 2.4.2 力偶的等效条件
定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。
如图2-25所示，汽车司机用双手转动方向盘，作用于汽车方向盘上的力偶（1F ，'
1F ）与具有相同力偶矩的另外的力偶（2F ，'
2F ）使方向盘产生完全相同的运动效应。
由此可知，同平面内力偶等效的条件是：力偶矩的
大小相等，力偶的转向相同。并可得出两个重要推论： 图
2-25
(1) 只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶的位置可以在它的作用平面内任意移动或转动，而不改变它对物体的作用。
(2) 只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶的力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对物体的作用效果。 2.4.3 力偶的性质
力偶是两个具有特殊关系的力的组合，具有与单个力不同的性质，现说明如下： (1) 力偶的两个力在任何坐标轴上的投影代数和为零。力偶没有合力。因此力偶不能与一个力平衡，它必须用力偶来平衡。
(2) 力偶对物体的作用效应取决于力偶的二要素，而与力偶的作用位置无关。 (3) 力偶对于作用面内任一点之矩为一常量并等于其力偶矩。 2.4.4 平面力偶系的合成与平衡
1) 平面力偶系的合成
作用在一个物体上同一平面或平行平面内的多个力偶，称为平面力偶系。由于平面内的力偶对物体的作用效果，只决定于力偶的大小和力偶的转向，所以平面力偶系合成
的结果必然是一个合力偶，并且其合力偶矩应等于各分力偶矩的代数和。设1m 、
2m …n m 为平面力偶系中各力偶矩，M 为合力偶矩，则
∑==n
i i m M 1
（2-19）
2) 平面力偶系的平衡
由于平面力偶系合成的结果只能是一个合力偶，当其合力偶矩等于零时，表明使物体顺时针方向转动的力偶矩与使物体逆时针方向转动的力偶矩相等，作用效果相互抵消，物体处于平衡状态。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零。即
01
=∑=n
i i m （2-20）
式（2-20）称为平面力偶系的平衡方程。应用平面力偶系的平衡方程可以求解一个未知量。
例2-10 如图2-26所示，用多轴钻床在水平放置的工件上同时钻四个直径相同的孔,每个钻头的主切削力在水平面内组成一力偶，各力偶矩的大小为154321====m m m m N·
m ，转向如图。求工件受到的总切削力偶矩是多大?
图2-26
解：作用于工件的力偶有四个，各力偶矩的大小相等，转向相同，且在同一平面
内。可求出其合力偶矩为
60)15(44321-=-?=+++=m m m m M N·
m 负号表示合力偶为顺时针转向。
例2-11 一平行轴减速箱如图2-27（a ）所示，所受的力可视为都在图示平面内。减速箱输入轴I 上作用一力偶，其矩为501=m N·m ；输出轴II 上作用一反力偶，其矩为602=m N·m 。设AB 间距20=l cm ，不计减速箱重量。试求螺栓A 、B 以及支承面所受的力。
图2-27
解：取减速箱为研究对象。减速箱除受1m 、2m 的两个力偶矩作用外，还受到螺栓与支承面的约束力的作用。因为力偶必须用力偶来平衡，故这些约束力也必定组成一力偶，A 、B 处的约束反力方向如图2-27（b ）所示，且B A N N =。
根据平面力偶系的平衡条件，列平衡方程
∑==n
i i
m
1
0 012=--l N m m A
502.050
6012=-=-=
l m m N A N 50==B A N N N
约束力A N 及B N 分别由A 处支承面和B 处螺栓产生。其中A N 是支承面的反作用力，因而，A 处支承面受压力，B 处螺栓受拉力。
例2-12 在梁AB 上作用一力偶，其力偶矩大小为200=m KN·m ，转向如图2-28(a)所示。梁长2=l m ，不计自重，求支座A 、B 的约束力。
图2-28
解：取梁AB 为研究对象。梁AB 上作用一力偶矩m 及支座A 、B 的约束力A N 、
B N 。B N 的作用线沿铅垂方向，根据力偶只能与力偶相平衡的性质，可知A N 及B N 必
组成一个力偶，因此A N 的作用线也沿铅垂方向。梁AB 在两个力偶的作用下处于平衡状态，如图2-28（b ）所示，可列平面力偶系的平衡方程为
∑==n
i i
m
1
0 0=-m l N A
1002
200
===
l m N A KN 100==B A N N KN
此题说明，力偶在梁上的位置对支座A 、B 的约束力无影响。
小 结
本章研究了两种基本力系的合成和平衡问题： 1) 平面汇交力系的合成和平衡问题应用两种方法：
（1）几何法，平面汇交力系平衡的几何条件是该力系的力多边形自行封闭。 （2）解析法，应用解析法解决平面汇交力系的合成和和平衡问题是本章的重点。合成时分别求解x R =1X +2X +…+n X =∑=n
i i x F 1
，∑==+++=n
i i y n y F Y Y Y R 1
21...。然后利用
∑∑==+=+=n
i n
i i y i x y
x F F R R R 1
1
22
22
)()(进行合成。其平衡方程是
???==∑∑00
y
x F F 2) 应用平面汇交力系平衡方程时要注意：
（1）所选择的研究对象应作用有已知力（或已经求出的力）和未知力；
（2）先以受力简单并能由已知力求得未知力的物体作为研究对象，然后再以受力较为复杂的物体作为研究对象。
（3）进行受力分析时需将研究对象从其周围物体中隔离出来。画出受力图。 （4）选取坐标系应尽量使坐标轴与未知力平行或垂直，使力的投影简便且平衡方程中包括最少的数目的未知量，避免解联立方程。
3) 力偶系的合成和平衡应用下面公式进行求解
∑==n
i i m M 1
∑==n
i i
m
1
思 考 题 与 习 题
思 考 题
2-1 合力是否一定比分力大？
2-2 如图2-29所示两个力三角形中三个力的关系不否一样？
图2-29
2-3 力F 沿轴Ox 、Oy 的分力和力在两轴上的投影有何区别？
2-4 用解析法求平面汇交力系的合力时，若取不同的直角坐标轴，所求得的合力是否相同？为什么？
2-5 试比较力矩与力偶矩两者的同异？ 2-6 力偶是否可以用一个力来平衡？为什么？
2-7 从平面力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。但是为什么如图2-30所示的轮子上的力偶矩M 似乎与重物的力P 相平衡呢？原因在哪里？
图2-30
2-8 二力汇交，其大小相等且与其合力大小一样，则此二力夹角为 。 A ）?0； B ）?90； C ）?120； D ）?180
2-9 一物体受到两个共点力作用，无论在什么情况下，其合力 。
A) 一定大于任意一个分力； B) 至少比一个分力大；
C) 不大于两个分力大小的和，也不小于两个分力大小的差； D) 随两个分力夹角的增大而增大。
2-10 图2-31所示杆AC 、BC 用铰链C 连接，能否据力的可传性原理将作用于杆AC 上的力F 沿其作用线移至BC 杆上而成F '。
图2-31
eBook 工程力学 （静力学与材料力学） 习题详细解答 （教师用书） (第2章) 范钦珊 唐静静 2006-12-18
习题2－2图 第2章 力系的简化 2－1 由作用线处于同一平面内的两个力F 和2F 所组成平行力系如图所示。二力作用线之间的距离为d 。试问：这一力系向哪一点简化，所得结果只有合力，而没有合力偶；确定这一合力的大小和方向；说明这一合力矢量属于哪一类矢量。 解：由习题2－1解图，假设力系向C 点简化所得结果只有合力，而没有合力偶，于是，有 ∑=0)(F C M ，02)(=?++?x F x d F ， d x =∴，F F F F =?=∴2R ， 方向如图示。合力矢量属于滑动矢量。 2－2 已知一平面力系对A (3，0)，B (0，4)和C (－4.5，2)三点的主矩分别为：M A 、M B 和M C 。若已知：M A ＝20 kN·m 、M B ＝0和M C ＝－10kN·m ，求：这一力系最后简化所得合力的大小、方向和作用线。 解：由已知M B = 0知合力F R 过B 点； 由M A = 20kN ·m ，M C = -10kN ·m 知F R 位于A 、C 间，且 CD AG 2=（习题2－2解图） 在图中设 OF = d ， 则 θcot 4=d CD AG d 2)sin 3(==+θ （1） θθsin )2 5.4(sin d CE CD ?== （2） 即 θθsin )2 5.4(2sin )3(d d ? =+ d d ?=+93 3=d 习题2－1图 习题2－1解图 R
∴ F 点的坐标为（-3, 0） 合力方向如图所示，作用线过B 、F 点； 3 4tan = θ 8.45 4 6sin 6=× ==θAG 8.4R R ×=×=F AG F M A kN 6 258.420R == F 即 )kN 310,25(R =F 作用线方程：43 4 += x y 讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G 点与E 点重合。 2－3三个小拖船拖着一条大船，如图所示。每根拖缆的拉力为5kN 。试求：(1)作用于大船上的合力的大小和方向。(2)当A 船与大船轴线x 的夹角θ为何值时，合力沿大船轴线方向。 解：（1）由题意知 kN 5T T T ===C B A F F F 。 由习题2－3解图，作用于大船上的合力在x 、y 轴上的投影的大小分别为： kN 19.1)45sin 10sin (sin40kN 5kN 12.3)cos45cos10(cos40kN 5R R =??==++?=D D D D D D y x F F 所以，作用于大船上的合力大小为： kN 4.2119.112.3222R 2R R =+=+=y x F F F 合力与x 轴的夹角为： D 53.53 .1219 .1arctan arctan R R ===x y F F α （2）当要使合力沿大船轴线方向，即合力R F 沿轴线x ，则0R =y F 0)45sin 10sin (sin kN 5R =??=D D θy F 88.0sin =θ， T T A F B F C T F y R F 习题2－3解图 习题2－3图
第五章 空间任意力系 5.1解：cos 45sin 60 1.22x F F K N == c o s 45c o s 60 0.7 y F F K N == sin 45 1.4z F F K N == 6084.85x z M F m m K N m m ==? 5070.71y z M F m m K N m m ==? 6050108.84z x y M F m m F m m K N m m =+=? 5.2 解：21sin cos sin x F F F αβα=- 1c o s c o s y F F βα=- 12sin cos z F F F βα=+12sin cos x z M F a aF aF βα==+ 1sin y M aF β= 121cos cos sin cos sin z y x M F a F a aF aF aF βααβα=-=--- 5.3解：两力F 、F ′能形成力矩1M 1M Fa m ==? 11cos 45x M M = 10y M = 11sin 45z M M = 1c o s 4550x M M K N m == ? 11sin 4550100z z M M M M K N m =+=+=? C M m ==?63.4α= 90β= 26.56γ= 5.4 如图所示，置于水平面上的网格，每格边长a = 1m ，力系如图所示，选O 点为简化中心，坐标如图所示。已知：F 1 = 5 N ，F 2 = 4 N ，F 3 = 3 N ；M 1 = 4 N·m ，M 2 = 2 N·m ，求力系向O 点简化所得的主矢'R F 和主矩M O 。 题5.4图 解：' 1236R F F F F N =+-=
习 题 2-1 试计算图2-55中力F 对点O 之矩。 图2-55 (a) 0)(=F O M (b) Fl M O =)(F (c) Fb M O -=)(F (d) θsin )(Fl M O =F (e) βsin )(2 2b l F M O +=F (f) )()(r l F M O +=F 2-2 一大小为50N 的力作用在圆盘边缘的C 点上，如图2-56所示。试分别计算此力对O 、A 、B 三点之矩。 图2-56 m N 25.6m m N 625030sin 2505060cos 30sin 5060sin 30cos 50?=?=???=? ??-???=R R M O m N 075.17825.1025.630cos 50?=+=??+=R M M O A m N 485.9235.325.615sin 50?=+=??+=R M M O B 2-3 一大小为80N 的力作用于板手柄端，如图2-57所示。(1)当?=75θ时，求此力对螺钉中心之矩；(2)当θ为何值时，该力矩为最小值；(3) 当θ为何值时，该力矩为最大值。 图2-57 (1)当?=75θ时，（用两次简化方法） m N 21.20mm N 485.59.202128945.193183087.21sin 8025075sin 80?=?=+=???+???=O M (2) 力过螺钉中心 由正弦定理 )13.53sin(250 sin 30θθ-?= 08955.03 /2513.53cos 13.53sin tan =+??=θ ?=117.5θ (3) ?=?+?=117.95117.590θ 2-4 如图2-58所示，已知N 200N,300N,200N,150321='====F F F F F 。试求力系向O 点的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O 的距离d 。 图2-58 kN 64.1615 110345cos kN 64.4375210145cos 321R 321R -=+-?-=∑='-=--?-=∑='F F F F F F F F F F y y x x
课时授课计戈I 」 第三章空间力系与重心 掌握力在空间直角坐标系上的投影的计算 掌握力对轴的矩的计算 掌握空间力系的平衡条件 掌握重心的概念 空间力系的平衡条件 力对轴的矩的计算 第三章 空间力系与重心 第一节力在空间直角坐标系上的投影 第二节力对轴的矩 第三节 空间力系的平衡条件 第四节物体的重心 课本 教学方法 课堂教学 授课日期 2011.10.22 1044-3 目 的 要 求
教学过程： 复习：1、复习约束与约束反力概念。 2、复习物体受力图的绘制。 课: 第三章 空间力系与重心 第一节力在空间直角坐标系上的投影 1. 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解 若已知力F 与正交坐标系Oxyz 三轴间的夹角分别为a 、p 、丫， 如图4-1 所示，则力在三个轴上的投影等于力F 的大小乘以与各轴夹角的余弦, 即 X=F cos a Y=W cos p Z=F cos 丫 当力F 与坐标轴Ox Oy 间的夹角不易确定时，可把力 F 先投影到坐 标平面Oxy 上，得到力F 砂，然后再把这个力投影到x 、y 轴上。在图4-2 中, 已知角丫和卩，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为 (4-1) O 图4一 1 書
Z jr 乙Z
X=F sin 丫 COS 0 Y=F sin 丫 sin W Z=F cos 丫 若以人、人、人表示力F 沿直角坐标轴X 、y 、z 的正交分量，以i 、 j 、k 分别表示沿X 、y 、z 坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则 图4-2 戸=人+尸$+巧=为+Y +Zk 由此，力F 在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢 量间的关系可表示为 人=X ，人=Y ，人=zk (4-4) 如果己知力F 在正交轴系Oxyz 的三个投影，则力F 的大小和方向余弦为 F =J 护+尸+0 ￡ cos( F , i)= F (4-5) 例：图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力 E 的作用。已知斜齿 轮的齿倾角(螺旋角)P 和压力角a ，试求力E 沿x 、y 和z 轴的分力。 (4-2) (4-3)
第二章力系的简化和平衡方程 一、填空题 1、在平面力系中，若各力的作用线全部，则称为平面汇交力系。 2、求多个汇交力的合力的几何法通常要采取连续运用力法则来求得。 3、求合力的力多边形法则是：将各分力矢首尾相接，形成一折线，连接其封闭边，这一从最先画的分力矢的始端指向最后面画的分力矢的的矢量，即为所求的合力矢。 4、平面汇交力系的合力作用线过力系的。 5、平面汇交力系平衡的几何条件为：力系中各力组成的力多边形。 6、平面汇交力系合成的结果是一个合力，这一个合力的作用线通过力系的汇交点，而合力的大小和方向等于力系各力的。 7、若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的等于零。 8、如果共面而不平行的三个力成平衡，则这三力必然要。 9、在平面直角坐标系内，将一个力可分解成为同一平面内的两个力，可见力的分力是量，而力在坐标轴上的投影是量。 10、合力在任一轴上的投影，等于各分力在轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。 11、已知平面汇交力系合力R在直角坐标X、Y轴上的投影，利用合力R与轴所夹锐角a的正切来确定合力的方向，比用方向余弦更为简便，也即tg a= | Ry / Rx | 。 12、用解析法求解平衡问题时，只有当采用坐标系时，力沿某一坐标的分力的大小加上适当的正负号，才会等于该力在该轴上的投影。 13、当力与坐标轴垂直时，力在该坐标轴上的投影会值为；当力与坐标轴平行时，力在该坐标轴上的投影的值等于力的大小。 14、平面汇交力系的平衡方程是两个的方程，因此可以求解两个未知量。 15、一对等值、反向、不共线的平行力所组成的力系称为_____。 16、力偶中二力所在的平面称为______。 17、在力偶的作用面内，力偶对物体的作用效果应取决于组成力偶的反向平行力的大小、力偶臂的大小及力偶的______。 18、力偶无合力，力偶不能与一个_____等效，也不能用一个______来平衡. 19、多轴钻床在水平工件上钻孔时，工件水平面上受到的是_____系的作用。 20、作用于物体上并在同一平面内的许多力偶平衡的必要和充分条件是，各力偶的_____代数和为零。 21、作用于刚体上的力，可以平移到刚体上的任意点，但必须同时附加一力偶，此时力偶的_____等于_____对新的作用点的矩。 22、一个力不能与一个力偶等效，但是一个力却可能与另一个跟它_____的力加一个力偶等效。 23、平面任意力系向作用面内的任意一点（简化中心）简化，可得到一个力和一个力偶，这个力的力矢等于原力系中所有各力对简化中心的矩的_____和，称为原力系主矢；这个力偶的力偶矩等于原力系中各力对简化中心的矩的和，称为原力对简化中心的主矩。 24、平面任意力系向作用面内任一点（简化中心）简化后，所得的主矢与简化中心的位置____，而所得的主矩一般与简化中心的位置______。 25、平面任意力系向作用面内任一点和简化结果，是主矢不为零，而主矩不为零，说明力系无论向哪一点简化，力系均与一个_____等效。 26、平面任意力系向作用面内任一点简化结果，是主矢不为零，而主矩为零，说明力系与通过简化中心的一个______等效。 27、平面任意力系向作用面内任一点简化后，若主矢_____，主矩_____,则原力系必然是平衡力系。 28、平面任意力系向作用面内的一点简化后，得到一个力和一个力偶，若将其再进一步合成，则可得到一个_____。 29、平面任意力系只要不平衡，则它就可以简化为一个______或者简化为一个合力。 30、对物体的移动和转动都起限制作用的约束称为______约束，其约束反力可用一对正交分力和一个力偶来表示。 31、建立平面任意力系的二力矩式平衡方程应是：任取两点A、B为矩心列两个力矩方程，取一轴X轴为投影列一个投影方程，但A、B两点的连线应_____于X轴。
第三章 平面任意力系习题及解答 构架如图，不计各杆自重,已知力F 求铅直杆AB 上铰链A 、D 和B 所受的力。 解：1.取整体，画受力图 o F M c =∑)( 2.=-a F By 解得：0 =By F 2.取DEF 杆，画受力图 o F M E =∑)( 0..=-'F a F a Dy 解得： F F Dy =' o F M D =∑)( 02..45sin 0 =-a F a F E F F E 245sin 0 = o F x =∑ 045cos 0 ='-Dx E F F 解得： F F F E Dx 245cos 0 ==' 3.取ADB 杆，画受力图 o F M A =∑)( 02..=+a F a F Bx Dx F F Bx -= o F y =∑ =++By Dy Ay F F F 解得： F F Ay -= 图示构架中，物体重1200N ，尺寸如图，不计杆和滑轮的重量。求：A 、B 处的约束反力及杆BC 的内力 解：1.整体受力如图（a ），有 o F x =∑ =-T Ax F F
o F y =∑ =+-NB Ay F P F o F M B =∑)( )5.1(4)2(=----r F F r P T Ay 式中r 为轮的半径,F T =P, 解得： 1200N Ax =F 150N Ay =F 1050N =NB F 2.取ADB 为研究对象:如图(b) 22sin 2=-+Ay NB BC F F F θ 解得：1500N -=BC F (压力) 已知 r=a ,P=2F , CO=OD, q 。 求：支座E 及固定端A 处的约束反力。 解: 1.取COD 及滑轮为研究对象，如图(b) o F M =∑)(C )r a 2 3( -r F 3aF -aF 23T RD =++ 解得： F 2RD RE ==F F 2. 取ABCOD 为研究对象，受力如图(a),由 045cos 6=-+ RD Ax F aq F o F y =∑ 45sin =+-- RD Ay F F P F o F M D =∑)(∑=0x F
4-1、力系中，F 1=100 N 、F 2=300 N 、F 3=200 N ，各力作用线的位置如图所示。试将力系向原点O 简化。 题4-1图 4-2、正方体上作用有六个力，力的模相同（方向如图所 示），该力系简化的最简结果是什么？ A ：平衡力系； B ：合力； C ：力偶； D ：力螺旋 4-3、轴AB 与铅直线成β角，悬臂CD 与轴垂直地固定在轴上，其长为a ，并与铅直面zAB 成θ角，如图所示。如在点D 作用铅直向下的力F ，求此力对轴AB 的矩。 题4-2图
4-4、图示空间构架由三根无重直杆组成，在D端用球铰链连接，如图所示。A、B和C端则用球铰链固定在水平地板上。如果挂在D端的物重P=10kN，试求铰链A、B和C的约束力。 题4-4图 和6构成。在节点A上作用一力F，此力在 矩形ABDC平面内，且与铅直线成45°角。 ?。等腰三角形EAK、FBM和 EAK? FBM = NDB在顶点A、B和D处均为直角，又 EC=CK=FD=DM。若F=10 kN，求各杆的 内力。 题4-5图
4-6、图示三圆盘A 、B 和C 的半径分别为150 mm 、100 mm 和50 mm 。三轴OA 、OB 和OC 在同一平面内，AOB ∠为直角。在这三圆盘上分别作用力偶，组成各力偶的力作用在轮缘上，它们的大小分别等于10 N 、20 N 和F 。如这三圆盘所构成的物系是自由的，不计物系重量，求能使此物系平衡的力F 的大小和角θ 。 4-7、如图所示，已知镗刀杆刀头上受切削力500=z F N ，径向力150=x F N ，轴向力 75=y F N ，刀尖位于Oxy 平面内，其坐标x =75 mm, y =200 mm 。工件重量不计，试求被切 削工件左端O 处的约束反力。 题4-7图 题4-6图
第二章平面力系 一、是非题 1．一个力在任意轴上投影的大小一定小于或等于该力的模，而沿该轴的分力的大小则可能大于该力的模。（）2．力矩与力偶矩的单位相同，常用的单位为牛·米，千牛·米等。（）3．只要两个力大小相等、方向相反，该两力就组成一力偶。（）4．同一个平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩相等，这两个力偶就一定等效。（）5．只要平面力偶的力偶矩保持不变，可将力偶的力和臂作相应的改变，而不影响其对刚体的效应。（）6．作用在刚体上的一个力，可以从原来的作用位置平行移动到该刚体内任意指定点，但必须附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对指定点的矩。（）7．某一平面力系，如其力多边形不封闭，则该力系一定有合力，合力作用线与简化中心的位置无关。（）8．平面任意力系，只要主矢≠0，最后必可简化为一合力。（）9．平面力系向某点简化之主矢为零，主矩不为零。则此力系可合成为一个合力偶，且此力系向任一点简化之主矩与简化中心的位置无关。（）10．若平面力系对一点的主矩为零，则此力系不可能合成为一个合力。（）11．当平面力系的主矢为零时，其主矩一定与简化中心的位置无关。（）12．在平面任意力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。（） 二、选择题 1．将大小为100N的力F沿x、y方向分解，若F在 x轴上的投影为86.6N，而沿x方向的分力的大小为 115.47N，则F在y轴上的投影为。 ①0； ②50N； ③70.7N； ④86.6N； ⑤100N。 2．已知力的大小为=100N，若将沿图示x、 y方向分解，则x向分力的大小为N，y向分力 的大小为N。 ①86.6； ②70.0； ③136.6； ④25.9； ⑤96.6； 3．已知杆AB长2m，C是其中点。分别受图示 四个力系作用，则和是等效力系。 ①图（a）所示的力系；
《工程力学》第2次作业解答（平面力系） 2008 —2009学年第2学期 一、填空题 1 ?合力在某坐标轴上的投影，等于其各分力在_同一轴上投影的_代数和。 2.画力多边形时，各分力矢量—首尾相接，而合力矢量是从第一个分力矢量的—起点指向最后一个分力矢量的一终点。 3?如果平面汇交力系的合力为零，则物体在该力系作用下一定处于平衡状态。 4.平面汇交力系平衡时，力系中所有各力在两垂直坐标轴上投影的代数和分别等于零。 5.平面力系包括平面汇交力系、平面平行力系、平面任意力系和平面力偶系等类型。 6.力矩是力使物体绕定点转动效应的度量，它等于力的大小与力臂的乘积，其常用单位为N m或kN m。 7.力矩使物体绕定点转动的效果取决于力的大小和力臂长度两个方面。 &力矩等于零的条件是力的大小为零或者力臂为零（即力的作用线通过矩心）。 9 .力偶不能合成为一个力，力偶向任何坐标轴投影的结果均为零。 10.力偶对其作用内任一点的矩恒等于力偶矩与矩心位置无关。 11.同平面内几个力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。 12.力偶是由大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力组成的特殊力系。 13.力偶没有一合力，也不能用一个力来平衡，力偶矩是转动效应的唯一度量； 14.力偶对物体的作用效应取决于力偶矩的大小、力偶的转向和作用面三个要素。 15.平面任意力系向作用面内任一点简化的结果是一个力和一个力偶。这个力称为原力 系的主矢，它作用在简化中心，且等于原力系中各力的矢量合；这个力偶称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中各力对简化中心的力矩的代数和。 17.平面任意力系的平衡条件是：力系的主矢和力系对任何一点的主矩分别等于零；应 用平面任意力系的平衡方程，选择一个研究对象最多可以求解三个未知量。 二、选择题 1.力使物体绕定点转动的效果用（ A ）来度量。 A .力矩； B .力偶矩；C.力的大小和方向； D .力对轴之矩。 2.（ C ）是一种自身不平衡，也不能用一个力来平衡的特殊力系。 A .重力； B .共点二力； C .力偶； D .力矩。 3.作用在同一刚体上的一对等大、反向、作用线平行的力构成（ C ）。 A .一对平衡力；B.作用力和反作用力；C. 一个力偶；D.力矩。 4.力偶向某坐标轴投影为（ B ）；对坐标轴上任意点取矩等于（ A ）。 A .力偶矩； B .零；C.变化值；D .不确定。 5.同一刚体上，一力向新作用点平移后，新作用点上有（ D ）。 A .一个力； B .一个力偶； C .力矩； D .一个力和一个力偶。 6.一力作平行移动后，新作用点上的附加力偶一定（ A ）。 A .存在且与平移距离有关； B .存在且与平移距离无关；C.不存在；D .等于零。 7.平面任意力系平衡的充分必要条件是（ D ）。 A .合力为零； B .合力矩为零；C.各分力对某坐标轴投影的代数和为零； D .主矢与主矩均为零。
第五章 空间任意力系 解：cos 45sin 60 1.22x F F KN ==o o cos45cos600.7y F F KN ==o o sin 45 1.4z F F KN ==o 6084.85x z M F mm KN mm ==? 5070.71y z M F mm KN mm ==? 6050108.84z x y M F mm F mm KN mm =+=? 解：21sin cos sin x F F F αβα=- 1cos cos y F F βα=- 12sin cos z F F F βα=+12sin cos x z M F a aF aF βα==+ 1sin y M aF β= 121cos cos sin cos sin z y x M F a F a aF aF aF βααβα=-=--- 解：两力F 、F ′能形成力矩1M 1502M Fa KN m ==? 11cos 45x M M =o 10y M = 11sin 45z M M =o 1cos 4550x M M KN m ==?o 11sin 4550100z z M M M M KN m =+=+=?o 22505C z x M M M KN m =+=?63.4α=o 90β=o 26.56γ=o 如图所示，置于水平面上的网格，每格边长a = 1m ，力系如图所示，选O 点为简化中心，坐标如图所示。已知：F 1 = 5 N ，F 2 = 4 N ，F 3 = 3 N ；M 1 = 4 N·m，M 2 = 2 N·m，求力系向 O 点简化所得的主矢'R F 和主矩M O 。 题图
工程力学习题详细解答 （教师用书） (第2章)
第2章 力系的简化 2－1 由作用线处于同一平面内的两个力F 和2F 所组成平行力系如图所示。二力作用线之间的距离为d 。试问：这一力系向哪一点简化，所得结果只有合力，而没有合力偶；确定这一合力的大小和方向；说明这一合力矢量属于哪一类矢量。 解：由图(a),假设力系向C 点简化所得结果只有合力，而没有合力偶，于是，有 ∑=0)(F C M ，02)(=?++-x F x d F ，d x =∴，F F F F =-=∴2R ， 方向如图示。合力矢量属于滑动矢量。 2－2 已知一平面力系对A (3，0)，B (0，4)和C (－4.5，2)三点的主矩分别为：M A 、M B 和M C 。若已知：M A ＝20 kN.m 、M B ＝0和M C ＝－10kN.m,求：这一力系最后简化所得合力的大小、方向和作用线。 解：由已知M B = 0知合力F R 过B 点； 由M A = 20kN ·m ，M C = -10kN ·m 知F R 位于A 、C 间，且 CD AG 2=（图（a ）） 在图（a ）中： 设 OF = d ，则 θcot 4=d CD AG d 2)sin 3(==+θ （1） θθsin )2 5.4(sin d CE CD -== （2） 即 θθsin )2 5.4(2sin )3(d d -=+ d d -=+93 3=d ∴ F 点的坐标为（-3, 0） 合力方向如图（a ），作用线如图过B 、F 点； 3 4 tan = θ 8.45 46sin 6=?==θAG 8.4R R ?=?=F AG F M A kN 6258.420R ==F 即 )kN 3 10 ,25(R =F 作用线方程：43 4 +=x y 讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G 点与E 点重合。 习题2－1图 A F F 2R F C B d x （a ） 习题2－2图 y x R F O θ θ C G A D E F 4 2 3 d 5 .4- (a)
第四章 空间力系 4-5 轴AB 与铅直线成α角，悬臂CD 与轴垂直地固定在轴上，其长为a ，并与铅直面zAB 成θ角，如图所示。如在点D 作用铅直向下的力F ，求此力对轴AB 的矩。 解：将力F 分解为F 1、F 2两个力，F 1垂直于AB 而与CE 平行，F 2平行于AB 如图（a ）。这两个分力分别为： αs i n 1F F =，αcos 2F F = )()()(21F M F M F M AB AB AB +=0s i n 1+?=θa F θαs i n s i n Fa = 4-3 图示空间构架由三根无重直杆组成，在D 端用球铰链连接，如图所示。A 、B 和C 端则用球铰链固定在水平地板上。如果挂在D 端的物重W =10 kN ，试求铰链A 、B 和C 的反力。 解：取节点D 为研究对象，假设各杆都为拉力、受力如图（a ）。平衡方程为： =∑x F ，045cos 45cos =?-?A B T T （1） 0=∑y F ，015cos 30cos 45sin 30cos 45sin =?-??-??-C B A T T T （2）
0=∑z F ，015sin 30sin 45sin 30sin 45sin =-?-??-??-T T T T C B A （3） 把T=W =10 kN 代入式（3） 解出：kN 4.26-==B A T T （压力）kN 5.33=C T （拉力） 4-11 图示三圆盘A 、B 和C 的半径分别为150 mm 、100 mm 和50 mm 。三轴OA 、OB 和OC 在同一平面内，AOB ∠为直角。在这三圆盘上分别作用力偶，组成各力偶的力作用在轮缘上，它们的大小分别等于10 N 、20 N 和F 。如这三圆盘所构成的物系是自由的，不计物系重量，求能使此物系平衡的力F 的大小和角α。 解：画出三个力偶的力偶矩矢如图（a ），由力偶矩矢三角形图（b ）可见： mm N 5000400030002222?=+=+=B A C M M M 由图（a ）100?=F M C ，N 50100== C M F 由图（b ）可知：43tan ==B A M M β，'523687.36?=?=β '08143180?=-?=βα
平面一般力系的简化 平面一般力系是指各力的作用线位于同一平面内但不全汇交于一点，也不全平行的力系。平面一般力系是工程上最常见的力系，很多实际问题都可简化成平面一般力系问题处理。例如，图4－1所示的三角形屋架，它的厚度比其他两个方向的尺寸小得多，这种结构称为平面结构，它承受屋面传来的竖向荷载P，风荷载Q以及两端支座的约束反力X A、Y A、Y B，这些力组成平面一般力系。 在工程中，有些结构构件所受的力，本来不是平面力系，但这些结构（包括支撑和荷载）都对称于某一个平面。这时，作用在构件上的力系就可以简化为在这个对称面内的平面力系。例如，图4－2（a）所示的重力坝，它的纵向较长，横截面相同，且长度相等的各段受力情况也相同，对其进行受力分析时，往往取1m 的堤段来考虑，它所受到的重力、水压力和地基反力也可简化到1m长坝身的对称面上而组成平面力系，如图4－2（b）所示。 第一节力的平移定理 上面两章已经研究了平面汇交力系与平面力偶系的合成与平衡。为了将平面一般力系简化为这两种力系，首先必须解决力的作用线如何平行移动的问题。 设刚体的A点作用着一个力F（图4－3（a）），在此刚体上任取一点O。现在来讨论怎样才能把力F平移到O点，而不改变其原来的作用效应？为此，可在O点加上两个大小相等、方向相反，与F平行的力F′和F〞，且F′=F〞=F（图4－3（b））根据加减平衡力系公理，F、F′和F〞与图4－3（a）的F对刚体的作用效应相同。显然F〞和F组成一个力偶，其力偶矩为 m= Fd = ) M (O F 这三个力可转换为作用在O点的一个力和一个力偶（图4－3（c））。由此可得力的平移定理：作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须附加一个力偶，其力偶
第二章-2 平面任意力系 一、判别题（正确和是用√，错误和否×，填入括号内。） 3-1 力系的主矢量是力系的合力。（×） 3-2 若一平面力系向A，B两点简化的结果相同，则其主矢为零主矩必定不为零。 （×） 3-3 首尾相接构成一封闭力多边形的平面力系是平衡力系。（√） 3-4 力系的主矢和主矩都与简化中心的位置有关。（×） 3-5 当力系简化为合力偶时，主矩与简化中心的位置无关。（√） 3-6 平面一般力系，若力多边形中诸力矢首尾相接，自行闭合，则其合力为零。（×）3-7 任何物体系统平衡的充要条件是：作用于该物体系统上所有外力的主矢量F R = 0和主矩M = 0。（×） 3-8 当某平面一般力系的主矢F R = ∑F1 =0时，则该力系一定有合力偶。（×） 3-9 当平面一般力系向某一点简化为合力偶时，如果向另一点简化，则其结果是一样的。（√） 3-10 平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等于零。（×） 3-11 作用于刚体的平面一般力系的主矢是个自由矢量，而该力系的合力（若有合力）是滑动矢量，但这两个矢量等值、同向。（×） 3-12 只要力系的合力等于零，该力系就是平衡力系，（×） 3-13 只要力系是平衡的，它的合力一定等于零。（√） 3-14 在一般情况下主矢F R与简化中心的选择无关，主矩M O与简化中心的选择有关。（√） 3-15 某一平面力系，如其力多边形不封闭，则该力系一定有合力，合力作用线与简化位置无关。（√） 3-16 某一平面力系，向A、B两点简化的结果有可能相同，而且主矢、主矩的不为零。（√） 3-17 某平面任意力系向A点简化的主矢为零，而向另一点B简化的主矩为零，则该力系一定是平衡力系。（√） 3-18 若某平面任意力系向其作用面内任一点简化，如果主矩恒等于零，则力系一定是平衡。（√） 3-19 对于任何一个平面力系总可以用一个力和一个力偶来平衡。（×） 3-20 在同一刚体上同一平面内的A、B、C、D点分别作用有力F1、F2、F3、F4，则矢量
第二章力系的平衡方程及其应用练习题 一、选择题 1．将大小为100N的力F沿x、y方向分解，若F在x 轴上的投影为86.6N，而沿x方向的分力的大小为115.47N， 则F在y轴上的投影为 1 。 ① 0；② 50N；③ 70.7N；④ 86.6N；⑤ 100N。 2．已知力F的大小为F=100N，若将F沿图示x、y 方向分解，则x向分力的大小为 3 N，y向分力的大 小为 2 N。 ① 86.6；② 70.0；③ 136.6；④ 25.9；⑤ 96.6； 3．已知杆AB长2m，C是其中点。分别受图示四个力系 作用，则 3 和 4 是等效力系。 ①图（a）所示的力系；②图（b）所示的力系； ③图（c）所示的力系；④图（d）所示的力系。 4．某平面任意力系向O点简化，得到如图所示的一个力 R 和一个力偶矩为Mo的力偶，则该力系的最后合成结果为 3 。 ①作用在O点的一个合力； ②合力偶； ③作用在O点左边某点的一个合力； ④作用在O点右边某点的一个合力。 5．图示三铰刚架受力F作用，则A支座反力的大小 为 2 ，B支座反力的大小为 2 。 ① F/2；② F/2；③ F； ④2F；⑤ 2F。 6．图示结构受力P作用，杆重不计，则A支座约束力的大 小为 2 。 ① P/2；②3/ 3P；③ P；④ O。
7．曲杆重不计，其上作用一力偶矩为M 的力偶，则图（a ）中B 点的反力比图（b ）中的反力 2 。 ① 大；② 小 ；③ 相同。 8．平面系统受力偶矩为M=10KN.m 的力偶作用。当力偶M 作用于AC 杆时，A 支座反力的大小为 4 ，B 支座反力的大小为 4 ；当 力偶M 作用于BC 杆时，A 支座反力的大小为 2 ，B 支座反力的大小为 2 。 ① 4KN ；② 5KN ； ③ 8KN ；④ 10KN 。 9．汇交于O 点的平面汇交力系，其平衡方程式可表示为二 力矩形式。即0)(,0)(=∑=∑i B i A m m F F ，但必须 2 。 ① A 、B 两点中有一点与O 点重合； ② 点O 不在A 、B 两点的连线上； ③ 点O 应在A 、B 两点的连线上； ④ 不存在二力矩形式，∑X=0，∑Y=0是唯一的。 10．图示两个作用在三角板上的平面汇交力系（图（a ）汇交于三角形板中心，图（b ）汇交于三角形板底边中点）。如果各力大小均不等于零，则 图（a ）所示力系 1 ， 图（b ）所示力系 2 。 ① 可能平衡；② 一定不平衡； ③ 一定平衡；④不能确定。
1. 一物体在两个力的作用下，平衡的充分必要条件是这两个力是等值、反向、共线。 ( √ ) 2. 若作用在刚体上的三个力的作用线汇交于同一个点，则该刚体必处于平衡状态。 ( × ) 3. 理论力学中主要研究力对物体的外效应。 ( √ ) 4. 凡是受到二个力作用的刚体都是二力构件。 ( × ) 5. 力是滑移矢量，力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。 ( √ ) 6. 在任何情况下，体内任意两点距离保持不变的物体称为刚体。 ( √ ) 7. 加减平衡力系公理不但适用于刚体，而且也适用于变形体。 ( × ) 8. 力的可传性只适用于刚体，不适用于变形体。 ( √ ) 9. 只要作用于刚体上的三个力汇交于一点，该刚体一定平衡。 ( × ) 10. 力的平行四边形法则只适用于刚体。 ( √ ) 1.作用在刚体上两个不在一直线上的汇交力F 1和F 2 ，可求得其合力R = F 1 + F 2 ，则其合力的大小 ( B;D ) (A) 必有R = F 1 + F 2 ； (B) 不可能有R = F 1 + F 2 ； (C) 必有R > F 1、R > F 2 ； (D) 可能有R < F 1、R < F 2。 2. 以下四个图所示的力三角形，哪一个图表示力矢R 是F 1和F 2两力矢的合力矢量 ( B ) 3. 以下四个图所示的是一由F 1 、F 2 、F 3 三个力所组成的平面汇交力系的力三角形，哪一个图表示此汇交力系是平衡的 ( A ) 4．以下四种说法，哪一种是正确的 ( A ) （A ）力在平面内的投影是个矢量； （B ）力对轴之矩等于力对任一点之矩的矢量在该轴上的投影； （C ）力在平面内的投影是个代数量； （D ）力偶对任一点O 之矩与该点在空间的位置有关。 5. 以下四种说法，哪些是正确的？ ( B ) F F R ( F F R ( F F R ( F R F ( F F F ( F F F ( F F F ( F F F (
一、 导入 1、平面任意力系引论 2、特殊力系 二、 新授 2.1 平面任意力系的简化 2.1.1 平面任意力系向一点简化 1.主矢 (平面汇交力系各力的矢量和)： ∑∑=+???++==+???++=F F F F F F F F F n n R 2 1 ' '' 2' 1 ' 在平面直角坐标系oxy 中，根据合力投影定理 ∑∑=+???++==+???++=x nx x x x nx x x Rx F F F F F F F F F 21 ''' 2' 1' ∑∑=+???++==+???++=y ny y y y ny y y Ry F F F F F F F F F 21'' ' 2' 1' )主矢大小：2 22'2'')(()()(y x Ry Rx R F F F F F +=+=∑主矢方向：∑= X y F F αtan
2.主矩 (附加平面力偶系的合力偶): ∑∑==+???++=+???++=M M M M M M M M M o n o o o n o )() ()()(2 1 2 1 F F F F 注意：(1)一般情况下主矩与简化中心O 位置的选择有关 (2)原力系与主矢和主矩的联合作用等效。 3. 结论： 平面力系向一点（简化中心）简化的一般结果是一个力和一个力偶；这个力作用于简化中心，称为原力系的主矢，它等于原力系中所有各力的矢量和；这个力偶称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中所有各力对于简化中心力矩的代数和。
2.1.2 简化结果的讨论 1．主矢F ，主矩 M (一般情况) 合力的大小 F 、方向与主矢 F 相同；合力F 的作用线与简化中心O 点的垂直距离D=M/F 2. 主矢F 不等于0，主矩 M=0 3. 主矢F =0，主矩 M 不等于0 4. 主矢F =0，主矩 M=0 平面任意力系平衡的必要和充分条件为：主矢F =0 主矩M=0 例2.1 一端固定于墙内的管线上受力情况及尺寸如图2.3a 所示，已知 F 1=600N ，F 2=100N ，F 3=400N 。试分析力系向固定端A 点的简化结果，并求该力系的合力。 解：力系向A 点简化的主矢为： N N N F F F F x Rx 8.38245cos 40010045 cos 32'-=° --=N N N F F F Ry Rx R 2.962)8.882()8.382() ()(2 22 '2''=-+-=+=N N N F F F F y Ry 8.88245sin 40060045sin 31' -=°--=°--==∑
《土木工程力学基础力学》 2014-8-21 土木工程力学基础 幻灯片5 一.力的投影 1.力在直角坐标轴上的投影 α cos F F x = α cos F F x -= α sin F F y -= α sin F F y = 2014-8-21 土木工程力学基础 幻灯片6
一.力的投影 求合力 ?? ? ????=+=x y y x F F F F F αtan 2 2 α cos F F x = α sin F F y = 2014-8-21 土木工程力学基础
幻灯片7 例2-1试求出图2-5中各力在x、y轴上的投影。已知F1=100N，F2=150N，F3=F4=200N。 2014-8-21 土木工程力学基础 幻灯片8 二．平面汇交力系的平衡 ●力系的分类： ●平面力系——凡各力作用线都在同一平面内的力系。 ●空间力系——凡各力作用线不在同一平面内的力系。 ●平面汇交力系——若作用在刚体上各力的作用线都在同一平面内，且汇交于同一点的 力系。 ●平面平行力系——在平面力系中，各力作用线互相平行的力系。 ●平面一般力系——若作用在刚体上各力的作用线都在同一平面内，且任意分布的力系。 2014-8-21 土木工程力学基础 幻灯片9 二.平面汇交力系的平衡 1.平面汇交力系合成的几何法 力多边形法则——连续应用力的平行四边形法则，依次两两合
成各力，最后求得一个作用线也通过力系汇交点的合力R。 R=F1+F2+F3+…+F n=ΣF n 2014-8-21 土木工程力学基础 幻灯片10
二.平面汇交力系的平衡 2.平面汇交力系平衡的几何条件 该力系的合力等于零。用矢量式表示， 即 R = ΣF n = 0 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的力多边形自行封闭。 土木工程力学基础 幻灯片11 二.平面汇交力系的平衡 ● 3.平面汇交力系的平衡条件及应用 ● 合力投影定理——平面汇交力系的合力在任一坐标轴上的投影，等于它的各分力在同一坐标轴上投影的代数和。 ● 即： ● x nx x x x F F F F R ∑=+++= 21 y ny y y y F F F F R ∑=+++= 21 x y x y y x y x F F R R F F R R R ∑∑= = ∑+∑=+=αtan )()(2 22 2
力系的简化 1图示平面力系中F1＝56.57 N ，F2＝80 N ，F3＝40 N ，F4＝110 N ，M＝2000 N.mm 。各力作用线如图示，图中尺寸单位为mm 。试求：（1）力系向O点简化的结果；（2）力系的合力的大小、方向及合力作用线的位置。 解题思路： （1）根据力的等效平移定理把各力和力偶平移至O点，由式（4－1）求主矢的大小和方向；（2）由式（4－2）求主矩的大小和转向； （3）由力的等效平移定理求合力作用线到简化中心O的距离，并图示此合力。 答案：F'R＝150N ，M o=900N.m ，F R＝150N ，d＝－6mm 2如图所示的挡土墙自重G＝400 kN ，土压力F＝320 kN ，水压力F1＝176 kN 。试求这些力向底边中心O简化的结果，并求合力作用线的位置。 解题思路： （1）根据力的等效平移定理把各力和力偶平移至O点，由式（4－1）求主矢的大小和方向；（2）由式（4－2）求主矩的大小和转向； （3）由力的等效平移定理求合力作用线到简化中心O的距离，并图示此合力。 答案：F R＝608kN ，M o＝296.1kN.m，∠(F R，i )＝96.30 , x＝0.489m (在O点左侧) 3一平行力系由5个力组成，力的大小和作用线的位置如图所示，图中小方格的边长为10mm。试求此平行力系的合力。
解题思路： （1）根据力的等效平移定理把各力和力偶平移至O点，由式（4－1）求主矢的大小和方向（2）由式（4－2）求主矩的大小和转向； （3）由力的等效平移定理求合力作用线到简化中心O的距离，并图示此合力。 答案：F R＝20N，沿z轴正向，过作用点（60mm，32.5mm） 4（a）试求下列图形的形心。图中的长度单位为cm 。 解题思路： （1）设直角坐标系，把其中一根坐标轴设在图形的对称轴上； （2）把图形分割成两个矩形，由式（6－5）求其重心坐标。 答案：y c＝24cm （b）试求下列图形的形心。图中的长度单位为cm 。 解题思路： （1）设直角坐标系，把其中一根坐标轴设在图形的对称轴上； （2）把图形分割成三个矩形，由式（6－5）求其重心坐标。 答案：x c＝11cm